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Die adiabatischen Invarianten bedingt periodischer Systeme.

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196
Imvar&m&m bed&@
peoJoeuscher @atema');
5. Dle a&iabat&ahet,
v m J.
X.Burgarcr.
Binleitang.
In letzterer Zeit hat die Quantentheorie groI3e Fortschritte gemacht durch das Studium der sogenannten ,,bedingt periodischen" Systeme.z) Fur diese Systeme charakteristisch ist die Eigenschaft : das Wirknngsintegral
W=$2T.dt
( T = kinetische Energie) ist zu zerlegen in einer Summe von
Integralen, von denen jedes nur von einsr Koordinate abhiingig ist:
W = F$d9,liP,(g,).
(1)
Im allgemeinen hat jede Koordinate eine ,,Librationsbewegung"
zwischen zwei festen (aus den htegrierten Bewegungsgleicthungen
zu bestimmenden) Grenzen.*) Bei diesen Systemen wird ah
Quantelungsprinzip folgender Ansatz benutzt :
I, = S d qk
wo bei der Integration
hin und her geht.
qk
fwJn, A
=
(n,: p n e e Zahl)
einmal zwischen ihren Grenewerten
1) Zuerat erechienen in Verel. h a d . van Wefemsah. Amsterdam
(Comm. Leiden, Suppl. 410). Einige him nur an-
(25. November 1916.)
gedeuhte Rechnungen sind dort aufiihrlicher behendelt wordem.
2) K. Schwarzschild, Sitzuqpber. d. Berliner Akad. p. MS. 1916.
P. Epstein, Ann. d. Phye. 60. p. 490. 1916; 61. p. 168. 1916. P. Debye,
(3%.Nwhr. p. 142.1916; Phyeik. Zeitschr. 17. p. 607,612. 1916. A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 61. p. 1. 1916. Phyeik. Zeitsohr. 17. p. 491. 1916.
- Eine grab Gruppe dieser Systeme iet zueret von P. Stiickel engagebsn
wordea (Compt. Rend. 116. p. 486. 1893; 1$1. p. 489. 1896). Ausfilhrlicli
ist die Thmrie behandelf von Charlier, Die Mechanik des Himmele, I.
3) Vgl. Charlier, 1. c. Vgl. auch FnEnote 2 p. 196.
J . M. Burgers.
196
Nun hat P. Ehrenfestl) gezeigt, welche groBe Bedeutung
fiir die Quantentheorie die ,,adiabatischen Invarianten" be-
sitzen, das sind GroBen, deren Wert nicht geiindert wird bei
einer adiabatischen Beeinflussung (Definition bei E hrenf es t ,
1. c. und unten 1) des Systems. Speziell hat er gezeigt,
daB die Zilteren, von P l a n c k , Debye, Bohr und Sommerf eld benutzten Quantenanstitze sich auf solche GroBen beziehen.
Wie schon von Hm. Ehrenfest bemerkt worden ist,
wiirde es also von Wichtigkeit sein, zu untersuchen, ob die
obengenunvten Funktionen Ik auch aaiabatische Invahnten
s h d . I m folg&
sol1 g e z a weram, &$ dieses in der Tat
zutrifft. (Speaielle Entartungsfiille verlangen eine besondere
Behandlung.)
8 1. Allgemeines uber die adisbatinohhe Beeinflussung
einee meohanisohhen Systems.
Betrachten wir ein mechanisches System von n Freiheitsgraden; die Koordinaten werden bezeichnet mit q, . . . q,:
die Momente mit p,. . . p,; die Hamiltonsche Funktion sei
H (q, p, a). Vorlaufig wird nur angenommen, daB keine Koordinate oder Moment ins Unendliche wachsen kann, und
daB die Koordinaten sich immer zwischen festen Grenzen
bewegen.g) (Annahme A).
H ist auBer von den q und p von gewissen Parametern a abhkgig; z. B. von Massen, elektrischen Ladungen, Stiirke eines elektrischen Feldes usw. Eine Variation
dieser GroBen a wird definiert als adkbatisch-mversibeversible Beeinflussun des Systems, wenn sie folgenden Annahmen genugt :
(I
t)
i e Variation geschieht unendlich langsam im Vergleich zu den Bewegungen des Systems; d h e r
prazisiert: in einer Zeit, worin jede Koordinate
vide Male zwisohen ihren Grenzwerten hin und her
geht, haben die a um einen unendlich kleinen Betrag der 1. Ordnung zu- oder abgenommen.
1) P. Ehrenfest, Ann. d. Phys. 61. p. 327. 1916.
2) In den von Epstein und anderen untemuchten Problemen tritt
unter den g o o r d i n a h ein azimuteler Winkel cp auf, welchar unbeschriinkt
wachsen kenn. Die Konfiguration des Systems ist aber periodisch in
bezug a d diem Variable. Das Anwachsen von cp mit 2 R tritt hier an die
Stelle dea Hin- und Herpendelns der iibrigen Koordinaten. Mit einigen
geringftigigen h d m n g e n gilt die ganm Betrachtung auch fiir Koordi-
neten diem Art.
Die adiab&chen Inuarimfm bedingt perwdider Systeme. 197
(11) Anniiherungsweise ist d a / d t konsbant.
(111) Wahrend des Prozesses sollen die Gleichungen:
ihre Gultigkeit behalten.')
Geht man von einem bestimmten Bewegungszustand,
worin die a und die Integrationskonsfsnten der Bewegungsgleichungen gewisse Werte besitzen, adiabatisch-reversibel zii
einem anderen uber, so iindern sich auch die Werte der Intrgrationskonstanten. 1st c = f ( q , p , a , t ) ein erstes Integral
der Bewegungsgleichungen, so folgert man aus Annahme (111).
daS die totale knderung von c alhrcnd des Variationsprozesses
betriigt :
(4)
(Der Einfachheit halber nehmen wir an, daS nur eine von dell
a variiert wird.) Der Strich uber a f / a a bezeichnet einen in
geeigneter Weise bestimmten Mittelwert. Nach Annahme (11)
konnen wir den Zeitmittelwert nehmen, wshrend nach (I)
wir uns begniigen konnen mit dem Zeitmittel fur die unuat.iierte Baosgung.
Jetst wird eine adiobatische Invarbnte definiert als eint.
Funktion der Integrationakonstanten und der Parameter,
deren totale Variation bei der adiabat ischen Beeinflussung
verschzoindet.')
3 2.
Denken wir uns die Bewegungsgleichungen des mechanischen Systems vollstiindig integriert. D a m ist es immer
moglich, die p auszudriicken als Funktionen der q , der a ,
und von n (kanonischen) Integrationskonstanten: a' . . . a".
1) Dieses ist e. B. immer der Fell, wemn nur die a, welche in der
i o n aufhten, veriiert werden. (Intannitit dea elektriachen
bldea in der Epsteineohen Theorie dea Stmrketfekts.) - In einem
Sptam mit zyklischen Koordinetsn LAnnnn die eykI. Momenta ale Pareme&@ aufhten; much die
Gemhwiudigkeiten, WBM men anstatt
von E die M i o n : R = E - C p m .
q,,w. benutzt.
2) Nb;heree vgl. in der obengem~snntanM.Abhplldlnng.
3) Iat ein Integral c = f unehhibgig von dea u, 80 iet c eine adimbtioohe Inveriante. Beispiel: I)ss Fllichenmoment in der h t r a l bsnseang.
m
@.
-
J . M. Burgers.
198
Die ,,bedingt periodischen" Systeme sind nun charakteriaiert
durch die Eigenschaft: jedes Moment pk l&St sich ausdriieken
als Funktion nur m qk, in Verbindung mit den Q und a ;
pk = vTk(qk,
u'... am,u ) .I)
Im AnschluS an Annahme A (Q 1) sol1 beziiglich der
Funktionen F,,angenommen werden :
8) Jede Gtleichung F,= 0 hat (wenigstens) m e i aufeinanderfolgende einfache Wurzeln tk, qk, mischen
denen Fk psitiv ist.3
b) In einem bestimmten Moment liegt jede Koordinate
zwisehen den zugehorigen Wurzeln.
Dann kann bewiesen werden, daS jede e e k e Libretiombewegung zwischen diesen Wurzeln ausfuhrt. a)
Mit den Gleichungen (5) iiquivalent ist das System von
n ersten Integralen:
a m = H - ( y , p , a).
(6)
Eine von den a, z. B. a', ist gleich der Totakmergie; dann
ist H1die Hamiltonsche Funktion.
(5)
.
- -.
__
1) Geometriache Interpretation d i e m Formel: Zeiohnen wir fiir
die Koordinate g&eine q p-Figur. 80 beachreibt der Funkt (9, p) hierin
-
14
eine geechloasene Kurve, deren Form unabhbgig iat von den Werten der
a n d m q.
2) Dse Wurzelzeiohen iiber Fk iat gewiihlt worden, demit in den
h i i n f i g b F i i l h die Funktion F k dbd wird. hderpolfella hiitte 88
hier h e i h eollen: pk wird an den s t e h n gk = &, qk = Q Null von der
Ordnung 1/2. Die Existenz der Libretionabewegung und der untm zu
besprechemden Periodizitiitseigensch8ft.m dea Spteme atiltrm aicli eben
d d , de6 die Funktion & ( q t ) Vemceiqunqapankfe beaitzt.
3) vgl. Cherlier, 1. c.
nie adiabdischm I m w i a n t e n bedingt p d i s c h u r Sy-.
199
Hetrachten wir nun die ,,Phasenintegrale" :
Vk
'Ik
(i)
Ik = 2 $ p k d q k
Iy
= 2[dqk)/P, =
Ik(a'
... aaa),
ek
so findet man nach einer kurzen Rechnung, daS die hderung
von I k bei einrr diabatischen Beeinflwsnng dea 8ptems
betragt l) :
Urn zeigen au konnen, daS die GroSen Ik adiabatische Invarianten sind (also daS d Ik = 0 ist),bediirfen wir einer Methode m r Berechnung der Mittelwerte aH-/ao. Dam miiesen
wir etwas naher eingehen auf die Periodieitiitseigenschaften
der betrachteten Systeme.
$ 8. Periodisithdgenmhaften der betreohtoten -0.
Setzen wir zur Abkiiranng
die Determinant0 tlieser Funktionen sei F. Es werden die
GroSen eingefiihrt :
(9)
.
W4ihrend dw Hrwepng des Systems sind t, . . t,, Konstanten;
dagegen isi t, = t - 6. Alle Phastkn unseree Systems sind zu
cherakterisirrrn durch die q und p; oder durch die q und a;
oder durch die t und a. Wir untersuchen nun die Abbildung
folgender n-dimensionaler R h m e aufeinander (erhelten durch
Konstantsetzung der a) :
(I) Des q-Ilrtumes (begrenzt durch die Ebenen: qt = t k ;
qk
= Tk) ;
(11) des
f-Htilllllt'S.
vz
1) Da en den Integratiomgrmzem &, der htegrmd
= 0 ist,
brwohsa wir den Veriationem dsr Orauen bine Rmhnung c11 tamgtm.
Im Felle einee azimutslen Winkele p vemohwindet dia Vari.fion der
G m m dadurch. da8 sie ffir cp = paund cp = po + 2 s gleiohe Werte hat.
200
J . M. Burgers.
Die t sind mehrwertige Funktionen der 4 mit den Periodizitiitsmoduln 0 k i . l ) Hier ist :
'lk
( 10)
wki=
2sdqk'fki
'k
der Zuwachs VOD t i , wenn qk eiamal zwischen &?k und q k hin
und her geht, wiihrend die anderen q konstant bleiben.2) Der
t - Raum kann deshalb in Periodenzelbn unterteilt werden:
zu kongruenten Punkten dieser Zellen gehort derselbe Punkt
des q-Raumes. Die Abbildung einer Periodenzelle auf den
nach (I) begremten q-Raum ist eindeutig; jeder Punkt des
q-Raumes wird jedoch in mehreren Punkten einer Periodenzelle abgebildet, derart, da5 die positiven und negativen Werte
auseinander gezogen werden.
von p , =
Setzen wir noch die Determinante der mki gleich a, ihre
Minoren Q k i und uki= 8"/9.8 ist gleich dem Volumen
einer Periodenzelle.
Die Bewegung des mechanischen Systems wird im t-Raum
reprgsentiert durch eine gerade parallel zur 4-Achse, welche
schief durch die Periodenzellen geht. Ersetzen wir jeden
Punkt dieser Geraden durch den kongruenten Punkt in einer
bestimmten Zelle, so kann gezeigt werden, da5 im allgemeinen
diese Zelle dicht von Punkten erfiillt wird.8) Jetzt behaupten
wir, da5 der zeitliche Mittelwert einer GroBe 2, d. h. der
Mittelwert von 2 fiir alle Zustiinde, repriisentiert durch ein
sehr gro5es Stuck der t-Linie, ersetzt werden darf durch den
Mittelwert von 2 fur alle Punkte einer Periodenzelle.4) Also:
1) Vgl. Charlier, 1. c.
2) Diese Integrale erhalten eine einfache Bedeutung, wenn man
qk
als h p k z e Vdable auffaI3t. Vgl. Sommerfeld, Physik. Zeitschr.
17. p. 600. 1916.
3) Diema Theorem riihrt her von Stiickel. Es stutzt sich suf Siitze
von Jacobi nnd Kronecker. Vgl. z. B. Kronecker, Werke 3.1. p. 47.
Erforderlich ist, daD zwischen den GroDen rdl (die Schwarzschildschen
mittleren Bewegnngen) keine Beziehungen existieren von der Form :
.1
Cm,w3 =O,
j
wo die nzj ganze, positive oder negative Zahlen sind.
4) Die Richtigkeit dieser Behauptung b n n bewiesen werden mit
m f e einer Entwicklung der G r b b Z in eine mehrfache Fouriersche
Reibe, wobei als Argumente nicht die t, sondern die Schwarzschildschen ,,Winkelvarisblen" auftreten. Vgl. die Aked. Abhmdlung.
B-
... d t , - 2,
1
=x
J...idtl
wo die Integration uber das Volumen einer Zelle erstreckt
ist. Transfonniert auf die q als Integrationsvariablen wird
die Formel:
ds nach (9)
ist.
Benutzen wir diese Formel zur Berechnung der GroSen
a~H"
'
~
aa
so finden wir nach einigen Umformungen:
(13)
§ 4.
Wenn man den in (13) erhaltenen Wert in die Gleichung (8)
einsetzt, zeigt es sich, daS 6 I k = 0 kt. Es sind also wirklich die ,,Phasenintegrale" I k invanant bei einer adiabatischen
Beeinflussung des Systems.
&ulurmmenfewung.
Fur mechanische Systeme, welche folgende Eigenschaften
besitzen :
1. Jedes Moment p k 1hSt sich ausdrucken als Funktion
der zugehorigen Koordinate q k in Verbindung mit den
Integrationskonstanten der n ersten kanonischen Integralen und mit Parametern a;
2. jede Koordinate hat eine Librstionsbewegung ;
3. zwischen den mittleren Bewegungen Oi' existieren keine
Rationalitiitsrelationen;
sind die Phasenintegrale
= p k a q k bei unendlich langI n d n
samer Veriinderung der Parameter a &&ch
im Sinne der Definition von Ehrenfest.
S
1 ) Niiheres vgl. in der Akad. Abhandlung.
202
J . M. Burgers. Die adidotischen Invarianten
zisw.,
Diejenigen Systeme, mo zwischen den mittleren Bewegungen kommensurable Reziehungen von der Form
C m'! &'
3
=0
f
bestehen, erfordern eine besondere Behandlung. l) Es kann
gezeigt werden, daS wenn man sich auf adiabatische Beeinflussungen beschriinkt, welche diese Beziehungen unveriindert
lassen, wenigstens bestimmte lineare ganzzahlige Kombinationen der Phasenintegrale invariant sind. Diese Kombinationen haben die Form:
y1=Crsk *Ik,
wo die Koeffizienten r i . . . r: ein primitives System ganzzahliger Wurzeln der Gleichungen
mf . t i = 0
2
3
sind. Wie E p s t e i n 2 ) gezeigt hat, ist auch die Totalenergie a'
des mechanischen Systems, wenn ausgedriickt in den I k , nur
von denselben linearen Kombinationen abhangig.
Leiden, 15. Dezember 1916.
1) Versl. Akad. van Wetensch. Amsterdam, Sitz. v. 30. Dez. 1916.
2) P. Epetein, Ann. d. Phys. 51. p. 180. 1916.
(Eingegangen 20. Dezember 1916.)
Nachschrift bei der Korrektzir.
An Hand der Fourierentwicklung der Koordinaten untl
Momente nach Vielfacheu der ,,Winkelkoordinaten*rwl. ..w,
(vgl. Schwarzschild, Sitzungsber. d. Berl. Akad. p. 548. 1916)
liiSt sich zeigen (unter analogen Beschriinkungen als in dieser
Abhandlung) daf3 die zu den w, kanonisch lionjugierten Momente adiabatische Invarianten sind. Fur diejenigen Systeme,
welche Separation der Variabeln zulassen, fallen diese Momente
mit den l k zusamnien; die Moglichkeit Winkelkoordinaten einzufiihren, ist jedoch nicht auf diese Systeme beschrankt.
'Vgl. Versl.Akac1. van Wetensch. Amsterdam, Sit2.v. 27. Jan. 1917.
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