close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Die Aktivierungsflche bei der Versetzungsbewegung.

код для вставкиСкачать
Annalen der Physik. 7. Folge, Band 28, Heft 2, 1972, S. 141-146
J. A. Berth, LeiDzin
Die Aktivierungsflache bei der Versetzungsbewegung
Von P. GRAUund G. BERG
H e r r n Prof. Dr. M . Hieke zum 65. Geburtstag gewidmet
Inhsltsiibersicht
Es wird die Aktivierungsfliiche bei der Versetzungsbewegung thermodynamisch mit
Hilfe der Theorie des Obergangszustandes abgeleitet. Wird eine exponentielle Abhiingigkeit
der Abgleitgeschwindigkeit von der iiuBeren Spannung angenommen, kann unter Beachtung vereinfachender Voraussetzungen die Aktivierungsfliiche aus experimentell bestimmbaren Parametern ermittelt werden. Es ist dabei zwischen den verschiedenen Definitionen
f u r die Aktivierungsfliiche zu unterscheiden.
Abstract
The activation area for the motion of dislocations is deduced by means of thermodynamic theory of t h e transition state. Assuming a n exponential dependence of t h e slip
velocity as a function of the applied stress and using additional simple statements the
activation area is obtained in terms of parameters, which can be determined experimentally.
Further on i t is shown t h a t one has t o distinguish between different definitions of t h e
activation area.
1. Einleitung
Der Zusammenhang zwischen der Abgleitgeschwindigkeit y bei plastischer
Deformation und der mittleren Versetzungsgeschwindigkeit v wird durch
.jl = be,v
(1)
beschrieben [l].Dabei sind b der Betrag des BURGERS-Vektors und em die Dichte
der beweglichen Gleitversetzungen. Es wird vorausgesetzt, daB em nicht von
der Zeit abhgngt und damit v als die die Versetzungsbewegung bestimmende
GroBe aufgefaat.
Die Abgleitgeschwindigkeit y ist sowohl von der Temperatur T als auch von
der in der Gleitebene der Versetzung wirkenden Spannung t abhangig. Wird
angenommen, daB diese beiden GroBen nur die Versetzungsgeschwindigkeit v
beeinflussen, so kann fur v ein ARRHENIUS-Ansatz
v = wo exp
(- AG
@)
benutzt werden [2]. Dabei ist vo ein konstanter Faktor, A G die freie Enthalpie,
die im Verlauf der thermischen Aktivierung der Versetzung aufgebracht werden
muB. Die Spannung t ist nur noch in A G enthalten.
Wird die Versetzungsgeschwindigkeit durch die Wirkung lokaler Hindernisse bestimmt, so wird fur A G (8. z.B. GIBBS[2, 31)
AG=dF,-~*bbd =AFi-~*bAA'
(3)
142
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 28, Heft 2
*
1972
abgeleitet, A F , ist der Anteil der freien Energiedifferenz, der direkt von dem
lokalen Hindernis herruhrt ; die Liinge 1 eines Versetzungssegmentes ist die mittlere Entfernung zweier lokaler Hindernisse bei t* = 0 und die Aktivierungsdistanz d ist der Abstand der Gleichgewichtslage der Versetzung vor dem Hindernis von dem zu uberwindenden Potentialmaximum. Das Produkt Id wird zur
Aktivierungsflache d A' zusammengefaBt. Die Spannung t* ist der Teil von t,
der unmittelbar an der Versetzung wirkt, wahrend der andere Anteil tPzur nberwindung des langreichweitigen Spannungsfeldes aufgebracht werden mu13.
I m AnschluB an den sich aus (1)mit (2) und (3) ergebenden Zusammenhang
.i, = f ( 4
wird die experimentelle Aktivierungsfliiche A A durch
definiert [4]. Es wurde dabei mit SEEGER[5] angenommen, daB sich t* und t p
additiv zur Gesamtspannung t zusammensetzen, wobei tPnahezu konstant ist,
so daB
(2)
= (&*AT)
at T
gilt. G1. (4)liefert mit (3)
Um diese Relation zu vereinfachen, wird der aus der Thermodynamik abgeleitete Zusammenhang
benutzt, wodurch sich
A A , = AA'
(8)
ergibt, d. h. die experimentell ermittelte Aktivierungsflache entspricht der in
der freien Enthalpiedifferenz (3) auftretenden, wenn em und v,, spannungsunabhangig sind.
G1.(7)folgt &usder allgemeinen Beziehung
AG = A F p AV,
wobei p dem Druck und A V der dazugehorigen Volumeniinderung entsprechen. Es wird
niimlich
+
Aus dem Potentialcharakter von AGfolgt
d AG = - A S dT $- A V d]],
d.h. es ist
wodurch sich
ergibt
.
P. GRAUu. G. BERG:Die Aktivierungsfliiche bei der Versetzungsbewegung
143
Werden in (9) A F mit AF,, A V mit b AA' und p mit -t* identifiziert, ergibt
sich G1. (7). Das ist aber nicht korrekt, da es sich bei t* nicht u m einen Druck
und bei b AA' nicht um eine echte Volumeniinderung handelt, da mit der Versetzungsbewegung nur eine Gestaltanderung verbunden ist. Statt dessen ist
die Spannung t ein zushtzlicher auDerer Parameter und die thermodynamischen
Potentiale sind entsprechend zu erweitern.
Da G1. (8) thermodynamisch nicht richtig ist, sol1 nachfolgend gezeigt werden, daD es moglich ist, mit Hilfe der Theorie des ubergangszustandes zu ermitteln, wie die experimentell bestimmbare Aktivierungsflache in die freie
Enthalpie eingeht.
2. Tbeorie des Ukergangszustandes
Wenn sich das Versetzungssegment aus einer Gleichgewichtslage uber das
Potentialmaximum, den sogenannten ubergangszustand, in eine benachbarte
Gleichgewichtslage bewegt, so kann dieser Vorgang wie eine chemische Reaktion behandelt werden. Die Versetzungsgeschwindigkeit entspricht der Reaktionsgeschwindigkeit. Diese laBt sich mit der Theorie des ubergangszustandes
[GI berechnen.
Der Grundgedanlie der Theorie ist, daB sich die Teilchen in der Gleichgewichtslage und
im ubergangszustand im thermodynamischen Gleichgewicht befinden, d.h., daB fur ihre
Konzentrationen
C*
~-
CICZ
-
... c,
{
1 (G* - G~
exp - kT
- G, - ... -
gilt. Dabei sind c* und G* Konzentration bzw. freie Enthalpie im Obergangszustand,
clr c,, -., c und G,, G,, .-,G, Konzentrationen bzw. freie Enthalpien in den Gleichgewichtszuskden. Der Nullpunkt aller freien Enthalpien ist auf denselben Ausgangszustand
bezogen. Die Reaktionsgeschwindigkeitr wird [S]
r=clcZ*..c,x-exp
kT
h
{
--((C*--l-
lT
G,
- ... -
x ist der DurchlaBkoeffizient und h das PLANCEsche Wirkungsquantum.
Wird diese Theorie auf die Versetzungsbewegung angewendet, bei der nur
ein Reaktionspartner beteiligt ist, so wird, wenn G,-der freien Enthalpie des
Potentialminimums und GB der des Maximums entsprechen, die Versetzungsgeschwindigkeit
v = x-exp(--(GB
kT
1
- a,)}.
h
Diesen Ausdruck fur v benutzen auch KRAUSZ
und EYRING[7] und er entspricht
formal dem Ansatz (2). Wesentlich ist, wie aus der kurzen Beschreibung hervorgeht, daD in (10) G g der freien Enthalpie des ubergangszustandes und G a
der des Gleichgewichtszustandes vor der thermischen Aktivierung entsprechen.
3. Neue Berechnung der AktivierungsflHche
Um die Abgleitgeschwindigkeit i, zu berechnen, wird (10) in (1)eingesetzt,
wobei wiederum angenommen wird, daD der Faktor vor der Exponentialfunktion von der Spannung unabhangig ist. Weiterhin ist GB in (lo), die Hohe des
Potentialmaximums, von der Spannung unabhiingig. Die Gleichgewichtslage
144
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 28, Heft 2
*
1972
der Versetzung vor dem Hindernis, die mit A bezeichnet werde, wenn in der
Gleitebene keine Spannung wirkt, moge sich bei t
0 nach A' verschieben. Die
Entfernung A T = AA werde als Aktivierungsdistanz bezeichnet, 1 A A sei die
Aktivierungsflache A A . Diese unterscheidet sich von der Aktivierungsflache
AA' in G1. ( 3 ) durch die unterschiedliche Definition der Aktivierungsdist,anz d
bzw. AA.
An der Versetzung selbst greift die Spannung t* an. Durch diese wird bei
der Verschiebung der Versetzung von der Gleichgewichtslage A nach der neuen
Gleichgewichtslage A' die Arbeit
+
t*bl A A = t*b AA
geleistet, um die sich die innere Energie erhoht.
Weiterhin andert sich beim Obergang von A nach A' die Entropie von S-4
auf S,.. AuBerdem entspricht jeder Lage der Versetzung ein p V , wenn p der
auBere Druck und V das Volumen des Systems sind.
Wirkt an der Versetzung keine Spannung, so gilt fur die freien Enthalpien
der Gleichgewichtslage
+
GA = u.4 - TSA
PVA
und des Obergangszustandes
+
GB = U B- TSB PVB.
Wird dieses GA fur G;1 in (10) eingesetzt, so wird die die Versetzungsgeschwinddigkeit bestimmende Enthalpiedifferenz
+
AGAR = GB - GA = U s - 77-4 - T ( S B - SA) ~ ( V B V A ) . (11)
Diese ist vorauseetzungsgemaB von der auBeren Spannung t unabhangig. Wird
die Versetzung durch t* in die neue Gleichgewichtslage A' verschoben, so wird
die freie Enthalpie fur den Ausgangszustand
+
GA' = UA t * b AA - TSA.
und damit die Enthalpiedifferenz.
+ PVA,
+
A G A ~=
B GB - G.<*= AGAR - T ( S A - S A ~ ) ~ ( V A V A , )- t * b d A .
(12)
Sailund V-4, hangen von der Spannung ab. I m allgemeinen wird aber SS4m SA*
und VA M VA, gesetzt. Dann wird so aus G1. (12)
dGA*B = AGAB - t * b A A .
(12a)
Zur Vereinfachung der folgenden Betrachtungen wird mit (12a) weiter gerechnet.
Um die experimentelle Aktivierungsflache mit (4) zu berechnen, wird fur
AG der Ausdruck fur AGA'B aus (12a) eingesetzt. Es wird dann
Bei der Differentiation sind der LuBere Druck p und die Temperatur T konstant
zu halten. Veranderlich sind t bzw. t*,d. h. die Spannung ist als zuslitzliche
aul3ere Variable einzufuhren. Dies fuhrt dazu, phanomenologisch eine weitere
P. GRAUu. B. BERG
: Die ;\ktivierungsflaclie bei der Versetzungsbewegung
145
Aktivierungsflache A&, die als thermodynamische Aktivierungsflache bezeichnet werden soll, zu beriicksichtigen.
Wie S zu T ist bAlh die zu t kanonisch konjugierte Zustandsvariable. Fur das
Differential der freien Enthalpie gilt dann
dG
S dT
woraus sofort mit (5)
=
-
+ V d p - (bAt.b)dz,
folgt. 1st auch AGd,B eine Potent#ialfunktion, so ist im Fall der Versetzungsbewegung
-bAA
Ih
-
aAcl B
(*-
at
’
>p,T
.
Durch Vergleich mit (4) und (13) ergibt sich
Diese Gleichung bedeutet im Unterschied zu (8), daB die im vollstiindigen Differential der Differenz der freien Enthalpien als kanonisch konjugierte Variable
auftretende thermodynamische Aktivierungsflache
gleich der experimentellen Aktivierungsflache A A , ist, wilhrend die in dem Ansatz (2) wegen (12a)
fur die Versetzungsgeschwindigkeit erscheinende Aktivierungsflache A A erst
durch Integration von (15)gewonnen werden kann. Es wird
1
T*
d A = - J AAth at*
t* 0
(16)
mit der Snfangsbedingung
AA(t*
=
0) = 0,
die nach obiger Ableitung wegen A A ( t * = 0) = 0 plausibel ist, d. h. die Aktivierungsflache d A in (21a) ist ein Mittelwert der thermodynamischen Aktivierun gsf 1ache A A th.
4. Bemerkungen zur Aktivierungsfliiche
In der Berechnung wurde angenommen, daB em in (1) sowie v0 in (2) nicht
von der auBeren Spannung abhiingen. 1st das aber nicht der Fall, so sind in (4)
und damit in (15) weitere Zusatzglieder zu beriicksichtigen. Nur wenn es gelingt, die einzelnen Anteile theoretisch abzuschatzen, kann tatsachlich AA
s u s A A , bestimmt werden.
Wescnt,lich fur das Ergebriis (1.5) ist nicht das Model1 fur die thermisch
aktivierte Versetzungsbewegung in allen Einzelheiten, das dem Vorgang zugrunde liegt, sondern die Form des Ansatzes fur die Abgleitgeschwindigkeit
wobei nur A G von der Spannung abhangt. Der &RHENIuS-Faktor mu13 nicht
die Sprungwahrscheinlichkeit fiir die Bewegung der Gleitversetzungen iiber
Hindernisse darst,ellen, sondern kann z. B.] auch von der Erzeugungsrate
10 Ann. Physik.
5. Folge, Bd. ‘78
146
Annalen der Physik
*
i . Folge
*
Band 28. Heft 2
*
1972
fur die Gleitversetzungen herruhren [8]. An der Rechnung und dem Ergebnis
(1.5) andert sich nichts, nur die geometrische Bedeutung von A A ist dem Model1
eines Versetzungsquellenmechanismus anzupassen.
Eine wesentliche Vereinfachung der vorliegenden Rechnung, die sicherlich
das Resultat beeinfluat, bedeutet die Tatsache, daB alle Versetzungsspriinge
als voneinander unabhangig angesehen werden, wahrend doch tatsachlich die
Sprungwahrscheinlichkeit an einem Hindernis durch die erfolgreiche Oberwindung eines benachbarten, das dieselbe Versetzung behindert, beeinfluat wird.
Fur genauere Berechnungen mussen diese zu erwartenden Korrelationseinflusse
berucksichtigt werden [9].
Weiterhin wurde angenommen, daB ~ G A fur
H alle im Kristall beweglichen
Versetzungen den gleichen Wert hat. I m andern Fall muate, um die freie
Enthalpie fur den gesamten Kristall zu berechnen. iiber das zu erwartende
Energiespektrum gemittelt werden.
Herrn Doz. Dr. habil. F. FROHLICH
danken wir fur die st'et,ige Unt,erstut,zung
der Arbeit und fur wertvolle Diskussionen.
Literaturverzeiehnis
[l] SEITZ, F., u. T. A. READ,J. Appl. Phys. 15 (1941) 470.
[2] GIBBS, G. B., Mat. Sci. Engng. 4 (1969) 313.
[3] GIBBS, G. B., Phil. Mag. 16 (1967) 97.
[4] CONRAD,H., u. H. WIEDEBSICR,Acta metallurg. 8 (19GO) 128.
:5] SEECER,A., in Hdb. d. Phys. Bd. VII/s, Berlin, Heidelberg 1958.
[GI EYRINC,
H.. u. E. M. EYRINO,
Modern Chemical Kinetics, New York 1965.
"71 KRAIJSZ,A. 8.. u. H. EYRINC.J. Appl. Phys. 42 (1971) 2382.
[8] MECKINC,H., u. K. LUCKE,Scripta Met. 4 (1970) 427.
[9] ESCAIQ,B.. Cryst. Lat. Def. 1(1970) 189.
H a l l e I S . , Sektion Physik der Martin-Lut,her-Universitiit.
Bei der Redaktion eingegangen a m 2 . November 1971.
Anschr. d. Verf.: Dip].-Phys. P. URAUund Dr. G. BERG
Sektion Physik d. Univ. Halle
401 Halle/S., Friedemann-Bach-Platz 6
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
301 Кб
Теги
bei, die, der, versetzungsbewegung, aktivierungsflche
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа