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Die Anwendung der Planckschen Erweiterung der Quantenhypothese auf rotierende Gebilde mit zwei Freiheitsgraden in einem Richtungsfelde.

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a
1918.
18.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIERTE FOLBE. BAND 57.
1. D i e Amwemdurcg der Plamnckschm ElrweCterung
tier Quantmhypothese auf rotCerende Geb4lde mit
xwed Zreih&tsgraden Cm ednem RCchtu.ngsfe2de3;
uon SophC e Rotsxajm.
3 1. Kachdem die Quantentheorie von P l a n c k selbst
und nach ihm von Sommerfeld, Schwarzschild und
Eps t ein auf Gebilde mit mehreren Freiheitsgraden erweitert
wurde, ist es von yrinzipiellem Interesse, verschiedene Probleme, die vorher notgedrungen fur Gebilde mit einem Freiheitsgrad gelost worden sind, auf dieser erweiterten' Grundlage zu behandeln.
Zu jenen Problemen gehoren: erstens die direkte Berechnung der rotatoris'ch-spezifischen Wgrme fur Gebilde mit
zwei Freiheitsgraden und dann das mit diesem in Zusammenhang stehende Problem des rotierenden Gebildes in einem
Richtungsfelde, wie z. B. die Berechnung der SuszeptibilitHt
der paramagnetischen Korper.
Das erste Problem ist von Plaiick2) und E p s t ei n s ) be1) Die vorliegende Untersuchung wurde auf Anregung von Hrn.
E'rivatdozent Dr. S. Ratnowsky itusgefiihrt. Sie entstand ohne jede
Kenntnis der Abhandlung des Hrn. Dr. F. Reiche (Ann. d. Phys. 64.
p. 401. 1917), was daraus hervorgeht, dal3 diese Arbeit schon am 8. Juli
1917 der hohen philosophischen Fakultiit, Sektion 11, der Universitiit
Zurich als Inauguraldissertation eingereicht wurde. Eine vorliiufige Mitteilnng wurde auch auf der am 5. Mai 1917 in Biel stattgefundenen Versammlung der Schweizerischen Physikalischen Gesellschaft (vgl. Archives
des Sciences Physiques et Naturelles, GenBve, 122. annb, 4.pbriode)
gemctcht. &Bere Umstiinde haben indes die Veroffentlichung dieser
Vntersuchung bis heute verhindert.
Zurich, 25. Mai 1918.
2) Vcrh. d. D. Physik. Ges. 12. p.416. 1915. - Diese Arbeit bezeichnen wir mit Planck I. Die beiden anderen uns hier interessierenden
Arbeiten von Planck: Verh. d. D. Physik. Ges. 24. p. 438. 1915 und Ann.
d. Phys. 60. p. 385.1916 zitieren wir mit Planck 11bzw. mit Planck 111.
3) Verh. d. D. Physik. Ges. 22/28. p. 398. 1916.
Annden der Phyeik. IV. Folge. 67.
6
82
8. Rotszajrc.
handelt worden. P l a n c k fuhrt seine Berechnung fur eine
frei rotieredde Gerade durch, unter der Voraussetzung, daB
die beiden Freiheitsgrade kohiirent 1) sind, und gelangt zu
einer Formel, die fur hohe Temperaturen den Aquipartitionswert liefest, fur tiefe Temperaturen aber den Wert
Ga = N12 li o2e - 2 ~ .
Dieser Ausdruck weicht von dem verdoppelten Werte der
rotatorisch-spezifischen Wiirme fur Gebilde mit einem Freiheitsgrade, wie sie vorher von Holm2) bestimmt wurde, durch
einen Zahlenkoeffizienten (12 statt 8) ab. E p s t e i n kommt
aber durch Anwendung eines von ihm und Schwarzachild
ausgebildeten Verfahrens zu einer Formel, die, obschon er
fur zwei Freiheitsgrade rechnet, fur hohe Temperatuieii nur
die Hiilfte des Aquipartitionswertes liefert ; fur tiefe Temperaturen erhiilt er fur
C2R=N9k~ae-3a.
Das Verfahen, das eine gewisse formale Ahnlichkeit
dem
P l a n c kschen fur den Fall der inkohhenten Freiheitsgrade
h a t , scheint in diesem Punkte mit irgendeinem Versehen
behaftet 5u sein.
Das zweite oben zitierte Problem ist auf quantentheoretischem Wege von J.< v. WeyssenhofP) fiir den Fall
rotierender Gebilde mit einem Freiheitsgrad eingehend behandelt worden.
$ 2. Wir haben uns die Aufgabe gestellt, das zweite
allgemeinere Problem auf der Grundlage der erweiterten
Quantenmethode zu liisen. Zu diesem Zwecke muBte in erster
Linie ein Problem erfaBt werden, welches an sich fur die
Quantentheorie von Interesse- ist. Dies ist das Problem der
Struktur des Phasenraumes bei dem von uns gewahlten Modzll.
Es m a t e ubrigens such die Frage entschieden werden, ob
die Freiheitsgrade als kohiirent oder inkohiirent zu betrachten
sind. Die Zerteilung des Phasenraumes bei zwei inkoharenten
Freiheitsgraden ist von P l a n c k fur zwei voneinander prin-
. ."
1) 1. c. P l a n c k 111, p. 393: ,$a die Richtung usw..
2) E.A. Holm, Ann. d. Phys. 42. p. 1311. 1913.
3) J. v. Weyssenhoff, Ann. d. Phys. 61. p.286. 1916.
Planchche Erweiterung der Quantenhypothese usw.
83
zipiell nicht verschiedeno Modelle (den quasi-elastischen und
den Coulombschen Oszillator) bestimmt worden, so daD es
wiinschenswert erscheint, die Anwendbarkeit der Planckschen Grundideel), wie sie namenblich in der Arbeit uber
,,Die physikalische Struktu des Phasenraumes" dargestellt
worden ist, auf immer weitere, von einander wesentlich verschiedene, Gebilde zu priifen.
Zunlichst wollen wir hier die Resultate der Anwendung
des Planckschen Verfehrens auf den in einem homogenen
Magnetfelde um einen festen Punkt rotierenden Dipol ,,ein
sphiirisches Pendel" fur kohlirente Freiheitsgrade angeben.
Obgleich diese Annahme bei Einfuhrung des Feldes, der P l a n c k schen Auffassung nach, nicht begriindet sein SOU, schien es
urn trotzdem nicht ohne Interesse, diesen Versuch durchzufiihren.
Die Resultate, um die es sich hier handelt, beziehen sich
auf die rotatorisch-spezifische Warme einerseits und auf die
Suszepiibilitlit paramagnetischer Korper anderseits. Was die
Frage der rotatorisch-spezifischen Wiirme anbetrifft, erhalten
wir, wie es von vornherein zu erwarten war, bei Vernachliissigung des Feldes den Planckschen Wert.
der Berechnung der Suszeptibilitiit bekommen wir
eine Formel, die, obschon sie fiir hohe Temperaturen das
C$ri e - Lang evinsche Gesetz liefert, fur tiefe Temperaturen
erfahrungswidrig, und sogar im Gegensatze zur genauen
La ng evi nschen Formel
den Wert 00 und fur alle anderen Temperaturen der statistischen Mechanik gegeniiber einen zu groSen Wert ergibt.
Es ist bemerkenswert, daD die erhaltene Formel ausschlieJ3lich vom Oten Elementargebiete herriihrt.
Es erweist sich somit das Verfahren mit kohgrenten Freiheitsgraden als eine ungeniigende Zerteilung des Phasenraumes, und es wird damit entschieden, daS fiir das betreffende
Model1 die Freiheitsgrade als inkohiirent aufzufassen sind.
Die Hauptaufgabe dieser Arbeit ist also das P l a n c k sche Verfahren bei Inkohiirenz der beiden Freiheitsgrade an1) 1. c. Planck 111.
6-
84
S. Rotszaja.
zuwenden. Es ist nun im voram ersichtlich, daB man d a m
durch vorherige Einfuhrung des Feldes, infolge der wesentlich vrrschiedenen Behandlungsweise, nicht nur fur die Suszeptibilitat, sondern such fur die rotatorisch-spezifische Warme
Resultate erhiilt, die von denjenigen, welche fur das Model1
mit koharenten Freiheitsgraden sich ergeben, abweichend sind.
Als erstes wird hier eine Zerteilung des Phasenraumes
vorgenommen, deren BweckmiiBigkeit durch die erlangten
Ergebnisse bestiitigt wird. (Die Elementargebiete werden
durch Zeichnungen in den Figg. 2, 3 und 4 veranschaulicht.)
Fur die rotatorisch-spezifische Wiirme erhalten wir namlich eine Formel, die sowohl von der Planckschen wie der
Eps t einschen verschieden ist. Sie enthiilt eine Doppelreihe,
die als eine naturliche Verallgemeinerung deri E h ren f es tschen
Formei erscheint und sich iibrigens als eine einfsche Reihe
schreiben la&. In dieser Petzten Gestalt zeigt sie wesentlich
denselben Bau, wie die Plancksche Formel. Sie liefert aber
fur tiefe Temperaturen nicht den P l a n c kschen, sondern den
verdoppelten E p s t einschen Wert, abgesehen von der Zusammensetzung der Konstanten u T. Entsprechend ergibt
unsere Formel fur hohe Temperaturen, im Gegensatze zu der
E p s t einschen, den richtigen Aquipartitionswert fur zwei Freiheitsgrade. Die sonstige Ubereinstimmung der beiden A&driicke fur tiefe ,$emperaturen ist bemerkenswert. AuBertlem stimmt unsere Formel bei tiefen Temperaturen bei passendcr Wahl von uT genau mit der Ehrenfestschen uberein,
~ a gegenuber
~ s
P l a n c k und H o l m erfreulichist, da die P l a n c k sche und Holm-v. Wnyssenhoffsche Formel sich uberhaupt nicht vereinbaren lassen. Es erweist sich also dab
PI a n c ksche Verfahren gegenuber dem S c h war zs chi Id Eps t einschen als eine Methode, die fur das hier behandelte
Problem Resultate liefert, gegen welche man keine prinzipiellen Einwiinde machen kann. Die BUS den erhsltenen
Formeln berechnete Kurve hat einen sehr befriedigenden
Verlauf, im Vergleich mit allen bisher nuf Grund der Quantenhypothese konsequent ausgcrechnetcn Formeln. Es ist schon
gesagt worden, daI3 unsere Formel dem Bau nach der P l a n c k schen iihnlich ist. Nichtsdestoweniger liefert sie voraussichtlich
bessere Werte als die Plancksche. Denn die v. Weyssenhoffsche Kurve zeigt von vornherein das Bestreben, zu hoch
Plancksche Erweiterung der Quantenhypothese usw.
85
zu steigen, und Planck erhiilt fur tiefe Temperaturen noch
einen 3/2mal groBeren Wert als der verdoppelte E o l m v. Weyss enhoffsche.
Fiir die ZweckmiiSigkeit der gewiihlten Phasenstmktur
spricht auch das Resultat der Berechnung des Rotationsanteiles der Entropie eines zweiatomigen Gases bei hohen
Temperaturen. Es ergibt sich namlich ein Ausdruck, der im
wesentlichen mit dem vorerst von Tetrodel), sodann auf
anderem Wege van Planck2) unter Annahme der Koharenz
der beiden Freiheitsgrade und auf Grund der Hypothese der
Eigenenergie von Ratnows ky 8) abgeleiteten iibereinstimmt.
Auch das letzte Ziel, die Berechnung der Suszeptibilitiit,
lii.St sich auf Grund der hier gewiihlten Phasenraiimtruktur
ebenfalls durchfiihren. Man muf3 aber dabei die Liicka im
Phasenraume, die duroh die Ote g-Fliiche begrenzt wird und
lauter physikalisch zullissige Zustiinde enthiilt, mit zum 0,Oten
Elementargebiete rechnen, da dieser Teil dea Phasenraumes
beim besagten Probleme eine bevormgte Rollespielt (vgl. p. 113).
Wir erhalten auf diese Weise eine Formel, die, in einfache
Reihe verwandelt, einen iihnlichen Bau wie die v. Weyssenhof fsche'hat. Sie entspricht auch somt allen Erwartungen.
Fur hohe Temperaturen ergibt unsere Formel das CnrieLangevinsche Gesetz
fur, ttndere Temperaturen liefert sie gegeniiber diesem Gesetze
kleinere Werte, wobei mit sinkender Temperatur x sich einem
von Null verschiedenen G r e m e r t e niihert.3
5 5. Das Model1 ist also ein um einen festen Punkt
drehbarer Dipol, dessen Lage durch sphiirische Koordinaten
0
q~ < 2n, 0 .6 Q A bestimmt ist. Ein iiuSeres Feld von
der Intensit&t H wirkt in der Richtung der Polachse. Unter
diesen Bedingungen ist der Ausdruck fur die Energie
<
~
<
1) H. Tetrode, Proc. Amsterdam 17. p. 1167. 1916.
2) Planck I, p. 419.
3) Mitt. d. Physik. Ges. Zurich. Nr. 18. 1916. Zum Andenken an
Prof. Dr. Alfr. Kleiner.
4) Der positive Kern der Formel riihrt aber hier nicht aUsSChliefilich vom 0,Oten Elementargebiete her. Im Fdle eines E'reiheitsgrades
ist nur der vom Oten Elementargebiete h e d r e n d e Beitrag positiv.
(1)
dabei sind:
(2)
*'
.'1¶
+ 2Jsio4Q + AZ sin* 4
25
q =Jsin28+,
91
=JS,
die zu den allgemeinen Koordinaten ip, 9 gehorenden allgemeinen Impulse. J ist des Tragheitsmoment.
(3)
A2=27nH ,
wo m das elementare Moment bezeichnet.
Welche Fliichen sollen vom Standpunkte der Pldnbkschen Tbeorie els Begrenrmngsfliichen der Elementargebiete
der Wahrscheinlichkeit gewghlt werden und geben die Fliichen
konstanter Energie in diesem Falle eine giimtige Zerteilung
des Phasenraumes? P l a n c k l ) sagt: ,,Dime Voraussetzung
ist bei einem einzigen Freiheitsgrade stets erfiillt ;bei mehreren
Freiheitsgraden aber nur in besonderen Fiillen, wie in der
ersten MitteilungP) in dem dort 7 behandelten Felle einkr
um einen festen Punkt fr6i drehberen stsrren Geraden, da
hier die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes nur von der @oSe
der Drehungsgeschwindigkeit, also von der Energie, nicht
aber von der Richtung der Drehungsachse abhiingen kann.
Nehmen wir aber z. B. einen in einor bestimmten Ebene um
eine feste Gleichgewichtslage schwingenden Massenpunkt, der
ebenfalls zwei Freiheitsgrade besitzt, so hiingt aach der
Quantenhypothese, im Gegensatze zur klassischen Theorie, die
Wahrscheinlichkeit irgendeines Zustandes nicht allein von
der Energie ab, sondern auch von der Form der Bahnkurve,
und zur Feststellung der Elementargebiete der Wahrscheinlichkeit ist die Schar der Flichen komtanter Energie nicht
mehr geeignet."
Daraus durfte schon der SchluB gezogen werden, daB in
unserem Falle, wo das &&ere Feld den Bewegungen des
Dipols eine Tendenz aufzwingt, die Fliichen konstanter Energie
nicht zu den BegrenmgsflSichen der Elementargebiete der
Wahrscheinlichkeit gehoren konnen. Trotadem wollen wk,
wie friiher erwiihnt, zuniichst versuchen, die Niveaufltchen
der Energie als Begrenzungsflichen zu wiihlen und somit die
beiden Freiheitsgrade als kohiirent anzunehmen. Es wird
1) 1. c. Planck 11.
2) 1. c. Planck I.
Planckscfte Erweiterung der Quantenhypothese usw.
87
durch folgende Rechnung, die in kurzer Zusammenfassung
mitgeteilt wird, endgiiltig entscbieden, daB diese ,Amahme
keineswegs zul&sig ist.
p 4. Da die Koordinate 'p im Ausdruck fur die Energie
nicht vorkommt, bedienen wir uns bei der Darstellung des
dreidimensionalen 8,q,y-Raumes. Es miissen hier sowohl
positive wie negative Werte von y berucksichtigt werden,
dagegen bei irikohiirenten Freiheitsgraden nur y
0. Die
Flachen konstanter Energie schneiden die 6, VEbene 1Bnp
der Kurven, die in der Arbeit von v. Weyssenhoff die Fig. 2
zeigt; dabei mul3 aber nur die Hilfte der Figur zwischen 0
und 7c in Betracht gezogen werden. Die Fliichen bilden eine
Wolbung iiber und unter dieser Ebene und streben an keiner
Stelle ins Unendliche, im Gegensatze zu dem Verhalten der
Flachen bei inkohiirentep Freiheitsgraden, was an der entsprechenden Stelle Q 12 erlliutert wird. Die aus der Ebene
y = konstant 0 ausgesohnittenenKurven schneiden die Parallelen zur &Achse nach 0 und vor n,,erreichen also die beiden
Parallelen 6 = 0 und 6 = 7c nicht. Die Elementargebiete
werden durch die Fliichen u = %, u = us, . . begrenzt, das
Ote Elementargebiet durch u = y. Zur Charakteristik der
ganzen Rechnung ist folgendes zu sagen: eine Integration
mehr bewirkt es, daJ3 die elliptischen Integrale ausgeschaltet
werden, indem man mit elementaren Integralen auskommt
und im Laufe der Rechnung keiner Vernachlbsigung bedarf.
Die Kurve
>
+
(4)
trennt zwei Gebiete der (6,q)-Ebene. Fur die Flachen, die
wie (6,7)-Ebene aderhalb der Kurve (4) schneiden, muJ3
die Integration bei dei Berechnung des von ihnen begrenzten
Volumens zwischen 0 und IG, bei den innerhalb (4) schneidenden
zwischen
o und 2 arc sin
E,
ausgefuhi-t werden. Der Kurve (4) selbst entspricht eine Flache,
die dw Volumen
2 s 1 1 $ d S . d q ~ d g= 4n2JAa
.
einschlieBt
u<A*
S. Rotszajn.
83
Wollen wir das Feld so schwach annehmen, daB die Integration schon an der Greiise des Oten Elementargebietes
zwischen 0 und z ausgefiihrt werden darf, so rnuB das Volumen
4n2JA2 = 8 n 2 J m H kleiner sein a h das Volumen h a des
0 ten Elementargebietes. Das liefert die Beziehung
H < - -8nYhzJnz
oder
H < 106,
(5)
iru wesentlichen dieselbe Einschrankung, die auch v. W eyssriihoff erhalt. Wir bemerken, daB diese Beziehung bei der him
durchwegs beiiutzten Bezeichnmg
sich auch so sohreiben llBt
Das durch eine beliebige Fliiche u begrenste Volumeii ir;t
woraus unter Beachtung der Integratiomgrenzen
fiir 0 (0 b k z,
fiir u
> A 2 , und 0 bis 2 arc sin d%fiir u <442)
Nach dem Quantenansatz mug
f2 (u,J = 8n2J (wn - ncH) = n2h2
sein, woraus folgt
uo = 0.
P2Qrtcksch Erweiterung der Qwntenhypothese usw.
89
Unter Benutsung der Formeln (7) und (8) haben wir fur die
mittlere Energie ebes Elementsrgebietes
'
*
"*a
%+I
SudG
US+].
judo
,u
"n
= (2n .+ 1)hS
8n"(21,
+ 1)liO
hs
-- 8ms J ( n 2 + n + # + m H
Wir haben also die Formel
i
n =t= O : < = oRT(ns + n
(9)
I
+ +) + rn H ,
u,=+oRT+mH--
mit
0-=
maE'
6okT'
h3
8m'Jk T
Duroh Einsetzon in die sllgemeinen Formeln erhiilt man fiw
die thermodynamische Funktion
Berechnet men daraus die rotntorisch-speziche Whrme
und beriicksichtigt man fiir tiefe Temperaturen die ersten
Glieder, so erhiilt man
und da nach (6)
klein ist, so redwiert sich die Formel auf Caa = N 12 k oz e-2*,
ubereimtimmend mit P l a n c k.
5 6. Wir gehen zur Berechnung des G 6 iiber. Man
darf wohl sagen, daS die Quantentheorie die klassische statistische Mechanik such insofern ersetsen und korrigieren kann,
indem sie eine allgemeine Vorschrift fiir die Bereohnung be-
S. Rotszajn .
90
liebiger Mittelwerte liefert. Es werden innerhalb eines Elementarge bietes einf aoh Jntegralmittelwerte genommen, diese
mit den zugehorigen Vert,eilungszahlen multipliziert und die
Summe uber alle Elementargebiete erstreokt. Diese Vorsohrift liefert fur den Mittelwert der potentiellen Energie in
irgendeinem Element argebiete
Xuf Grund von (10) erhalten wir also fur
Duroh Einsetzen von (11) in die Formel
2
-
cos19,1L
= 1 - - * P,
A*
kommen wir zum folgenden Resultat :
(12)
und somit
w-
cos €9-=
2
cos 8'*wn = COB 9, - w o .
=0
91
Die Verteilungszahl w,,naoh der Pormel
-
20, =
aus (8) bereohnet, hat man endgultig
Plancksche Erweiterung der Quaitdenhypothese usw.
1
91
/mE\Z
und fur die Suseeptibilitat
Fur hohe Temperaturen (1' groB und o Q 1) wird der
Zahler des zweiten Bruches, da er im Exponenten 1 !, T enthalt, zu 1. Der Nenner liefert
cT(2yi + 1 ) e - a ( ~ i ? + I ~d71=
)
b- 1
=1
,
l3
0
so daB wir fur
mP
x=- N31cT
'
also das Curie-Lengevinsche Gesetz, erhalten.
Fur tiefe Temperaturen ( T klein und o
1) dagegen wird
der Ziihler des eweiten Bruches maBgebend und wird 00, was
in keiner Ubereinstimmung mit der Erfahrung und, wie in
0 2 erwahnt, der nicht abgekurzten Langevinschen Formel
steht. Die Formel (13) zeigt aber sogar fur d l e Temperaturen
in1 Vergleiche zur statistischen Mechanik einen zu groJ3en Wert.
Solange also bei zwei Freiheitsgraden der Pbasenraum
nicht durch aqdere Flachen als Flachen konstanter Energie
zerteilt wird, erhalten wir keine sachgemaBe Struktur des
Phasenraumes ; wir miissen somit die beiden Freiheitsgrade
sls inkoharent betrachten.
3 6. Wir knupfen an unsere Energieformel (1) und (2)
p. 86 an. Die Phasenbahnen unseres spharischen Pendels sind
clann durch die H a m i l t onschen Gleichungen gegeben
>
Die in Betracht kommenden Konstanten dieser Differentialgleichungen sind die Energie u und die Projelrtion v = ly
cles Rotationsmomentes auf die Polachse. Dabei beschranken
S. Rotszaja.
92
wir uns nach P l a n c k l ) nur auf die Halfte des Phasenraumes,
fur welche v = y
0 ist. Es mussen nun die Anfangsflachen
bestjmmt werdcn, an die d a m die weiteren Begrenzungsfllichen angeschlossen werden. Fur die Bes timmung dieser
Anfangsflachen ist in den ersten Mitteilungen2) von P l a n c k
der Standpunkt maBgebend, deB die von vornherein bestehenden Grenzen des Phasenraumes mit zu den Begrenzungsflachen gehoren sollen. Formal kommt diose Bestimmung
darauf hjnaus, die Realitatsgrenze gewisser Wurzeln zu bestimmen oder die Diskriminante einer Gleichung gleich Null
zu setzen. Man kann ubrigens, wie es P l a n c k spiiterselbst
getan hat, diese Ausfuhrung durch Bestimmung gewisser
Maxima und Minima ersetzen. Auf einer wenigstens BuWerlich
prinzipiell anderen Grundlage ist die Ermittlung der Anfangsfliichen in den Annalen aufgebaut. Unter allen Bewegungeu,
die einem gegebenen Model1 zuganglich sind, sind hier im
voraus gewisse ausgezeichnete zu wahlen und die snslytiscbe
Fassung der Bedingung fur die Ausfulirungsmoglichkeit dieser
Rewegungcn als Gleichungen der besagten Anfangsflachen zu
nehmen. 111dieser Formulierung scheint eirie gewisse Willkur
zu liegen; die Art aber, wie P l a n c k die ausgezeichneten Bewegungen beim Oszillator wahlt, zpigt, daB dime Wahl moglichst unmittelbar geschehen soll, d. h. es sollen auffallend
sich auszeichnende Merkmale ins Auge gefaSt werden.
Die Bahnen, die ein Pol unseres Modelles auf der Kugeloberflache beschreibt, sind im allgemeiiirn doppelt gekriimmte
Kurven; es gibt jedoch zwei Arten von Bewegungen, deren
Bahn in einer Ebene liegt. Das sind Meridianbewegungen
(gewohnliches Pendeln oder Rotation in einem Meridian) und
Parsllelkreisbewegungen, bei denen kleine Kreise der Kugeloberf lache parallel der Aquatorebene bes chrieben werden
Diese Bemegungen nehmen wir als ausgeseichnete an; denn
unter allen doppelt gekriimmten Bahnen zeichnen sich vor
allem diejenigen em, denen die Schraubung abgeht.
Die Bedingung fur die Meridianbewegungen ist y = const,
somit nach (2) v = y = 0, und wir haben diese Fliiche mit
der Anfangsflache g’ = 0 zu identifizieren:
(15)
9’ = 0 ist mit v == 0 identisdh.
>
.
1) Planck III, p. 394.
2 ) Planck 11, p. 440.
Plancksche Erweiterung cler Quantenhypothese usw.
93
Die Bedingung fur die Ausfuhrungsmoglichkeit der Parallelkreisbewegungen ist 8 = const, oder nach (2) rj = 0. Die entsprechende Hamiltonsche Gleichung liefert
d ’ I-- - - va
-_J‘I _
dB
J
COB
B
sins$
*’2
sin 6 = 0.
Beriicksichtigt man noch die Energiegleichung fur 7 = 0, so
hat mail nach Wegsohaffung der Nenner aus den Gleichungeii
v2
u
cos
VY
sin2 9.
-
sin4 9. = o ,
V=
-- A2 sin2-4
sin2 6 = 0
2
2J
6 zu eliminieren. Wir setzen x = cos 6 und erhalten, wenn
wir nach x ordnen
2 2 - x -
--1
=o,
(4
) + -A$J
?IUf
aus welchen Gleichungen x eliminiert werden SOU. Man konnte
sohon auf (16) die klassischen Eliminationsmethoden anwenden ;
die Rechnung wiirde aber sehr muhsam werden. Man kann
den Weg erheblioh abkiirzen. Addiert man niimlich die mil
2 z multiplizierte zweite Gleichung von (16) zu der ersten, so
erhiilt man die Gleichung
3 s 4 + 2 -. - 1 23 - 4 2 2 - 2 - - l ) z + l = o ,
(Z
;(
die offenbar f 1 als Wurzeln hat und somit nach Wepchaffung
2 2 - 1 auf
3 . ~ ~ +2 u2 ( ~ - 1 ) ~ - 1 = 0
reduziert wird. Da f1 keiner der Gleichungen (16) genugt,
haben wir schlieBlich auszudriicken, daB die beider, Gleichungen
lnindestens eine gemeinsame Wurzel haben.
schreiben wir in der Sylvesterschen Form
Die Reaultate
1) Man verlangt offenbar dadurch sugleich, daD die er&e Gleichung (17) eine Doppelwurzel hat, wap aus der mechanischenBedeutnng
dieses Polynoms auch ohne weiteres folgt.
S. Rotsxajn.
94
2u-
1
-($-l)+FJ
-1
?Je
0
A?
0
1
3
2(+1)
0
3
0
0
-2A*u-
1
:(
)
3
(S- 1) + B"J
V*
0
-1
2 --1
-
-1
0
- 1
0
2 ( 9 - 1 )
-1
und nach ublichen Reduktionen
3
vs
erhalt man ausgerechnet
(2- I ) -~ -&($- I ) ~ - 2 (3- I ) ~
27
v4
4
8 4 5 s
+1=0-
I n allen unseren Rechnungen werden wir nur die erste
Potenz von A 2 beriiclrsichtigen ; dementsprecheiid lassen wir
in der Gleichung (18) nur die Potenzen 1/A8 und 1/A6 stehen:
Sammelt man die Glieder mit w auf eine Seite, so erhiilt mail
1
v2=2Ju
- 2 -A%
u
3 A,'
1 - --
2 u
und indem man die Quadratwurzel auszieht uiid in der Einomialreihe nur die Glieder mit A 2 beruchichtigt,
Dies ist also die Flache der Parallelkreisbewegungen uiid somit
die zweite Anfangsflaclie g = 0:
y = o ist mit u' = 1/25u
(19)
identisch.
95
Plancksche Erweiterung der Quantenhypothese usw.
$ 7. Xachdem die Anfangsflachen bestimmt sind, miissen
wir, um die anderen Begrenzungsflachen a n diese anzuschliel3en,
auf zweierlei Weise die Bewegungsfreiheit unseres Modells
auf einen einzigen Freiheitsgrad herabsetzen.
Setzen wir zuniichst v = y = 0 fur die Meridianbewegungen
und fuhren diese Gleichung als feste Bedingung in unsere
Bewegungsgleichungen ein, so erhalten wir
(Wie immer ist A4 bei der Auflosung weggelsssen.)
haben wir die Bestimmungsgleichung
Fur 9
dg =S S d B d g .
U
I n clieser Gleichung ersetzen wir die Variable q durch
mit Hilfe der Gleichung
4 2 = 3 ~ ( -u AB sin2
21
2) ,
8
wobei, da die Transformation in 7 nicht eineindeutig ist und
sowohl positive wie negative Werte von 7 beriicksichtigt
werden mussen, das Schluljresultat verdoppelt werden mu13.
Es ist dann
dg =
D Id8du
mit
21Ji
(21)
u
+ all
tp max
dg=2~~~dt9.dU=Briu
-Urdu'.
2+
J
d min
U
T
bedeutet die Dauer eines Ausschlages zwischen 8 m i n und
wiihrend einer Bewegung, die zu einem bestimmten u
1) Wir lamen in der Det.ermina,nte die Stellen, die auf das SchluEresultat keinen EinfluLi h b e n
unbesetzt.
. ..
S. Rotszajn.
96
gehort. @& ist immer Null und die tiefste Stelle, die passiert
werden muD. Ds wir hier die Grenze des O.Oten Elementargebietes jedenfalls uberschritten heben, nehmen wir an, dsB
6,, = z ist.1) Aus (2) und (20) folgt
und somit wird
und indem wir die Entwicklung des elliptischen Integrals
n,a
0
benutzen, erhalten wir fur
Setzen wir dieses in (21) ein, indem wir uberell u a m (20) durch
u’ ausdrucken und die Binome entwickeln, so folgt
welches integriert liefert
und irgendeine Begrenzungsflache der Schar‘ g wird d a m
durch
(24)
g=nh
bestimmt.
Einfecher erledigt sich der andere Ubergang auf einen
1) Die Diskussion der Zuliissigkeit dieser Annahme versohieben
wir suf das Ende (p. 109). Wir zeigen dam, dsB sowohl aus den speziellen
Bestirnmungen dieser Stelle wie auch aus der allgemeinen Betrachtung
der Begrenzungsfliiohen die schon friiher abgeleitete Einschr?inkung ( 5 )
fur die Feldstlirke herauskommt.
Plancksche Erweiteruny der Qwzntenhypothese us w.
97
Freiheitsgrad. Wir setzen u' = 0 fur die Parallelkreisbewegungen
und erhslten
v6'
u=-+2J
A'
'
2
und durch
g' _I n' h
( 26)
werden die Begrenzungsflachen der Schar 9' bestininit. J.)a
wir zwei inkoharente Freiheitsgrade haben, mu8 nach P l a n c k
das Volumendifferential dG als Produkt der Flachendifferentiale
dg und dg' sich darstellen lassen. Wir fuhren in
dG
dtjc d 8 d v d q
=ydJj-J'
s79
d
statt y und q die Variablen g und g' auf Grund von (23) und
(25) ein. Da (23) in nicht eineindeutig ist, muIj das Integral verdoppelt werden.
mit
l
o
0 , o
1
0
0
2
1
0
da nach (1) und (22)
fimax 1)
(27)
*mi,
wie verlangt.
1) Es komte hier die &age aufgeworfen werden, daB das Integral
a d eine beliebjge (riiumlicho) Bewegung sich bezieht, dagegen T fiir
ebene Bewegungen im Meridian berechnet worden ist. Da wir aber die
Annnden der Phyaik. IY. Folge. 67.
'I
98
.
S Rotszajlz.
8 8. Die Berechnung der ZustandsgroBen gwtalbet sich
einfach. Auf Grund von (23) und (25) haben wir
und da in unserem Falle
pnnr
= [(n + 1) - n ] [(n’ + 1)
und d a m
- n’] = 3
Gn,nl = p n , n’ h2 - f42
ist, SO erhalten wir fur die mittlere Energie des .m,n‘ten
Element argebie’tes
hg
wo 0 in Ubereinstimmung mit E h r e n f e s t , Holm, Planok
und R a t n o w s k y den Zahlenfaktor 8 enthiilt.
Da der Ausdruck in der Klammer im wesentliohen ein
vollstiindiges Quadrat ist, erhiilt man endgiiltig
__
un,nr= 8 a R T + a k T ( n + n’ + 1)’ + m Z€
(28)
Beziehung dG = d g dg‘ nur bei Ausrechnung der rotatorisch-spezifischen
Wiirme gebrauchen werden und bei den Rotationen alle Bahnen eben und
keine auggezeichnet ist, fiillt fur uns die Fmge weg. Die Beziehung gilt
ubrigens niiherungsweise im h l l e schwacher Felder, die hier ausschliefllich in Frage kommen.
1) Wir bemerken, daB auf Grund dieser Formel die Schnittknrve
einer g-Fliiche mit einer g‘-Flache eine Kurve konstanter Energie ist.
Dagegen veriindert sich offenbar (vgl. 8 13, p. 113) liings dieser K m
der Wert von 8, was bewirkt, daB bei der Berechnung des
die
vorige Methode mit Benutzung der Fliichendifferentiale d g dg‘ nicht
ohne weiteres anwendbar ist. Was daa eventuelle Bedenken betrifft, da6
d g innerhalb des 0,Oten Elementargebietes nicht benutzt werden darf.
so ist dies fur die rotatorisch-spezifische Warme und die ZustandsgroBen
$
ohne Belang. Dagegen ist dieser Umstand bei der Berechnung von =
wesentlich, wo aber die Rechnung nach dem Gesagten ohnehin direkt
sein muB.
a
Planclcsche Erweiterung der Quaittenhypothese usw.
99
und daraus fir die Verteilungszahlen
e -a(% + O' + 1)'
(29)
%,n'
= w m
C
e-u(n+n'+f)*
n'=O n=O
Die thermodynsmisohe Funktion
und deraus die rotatorisoh-spezifische Warme
Gruppieren wir die Glieder der Doppelreihe diagonalenweise,
erhalten wir (da es fur TZ n' $-1 = m, m Glieder gibt)
die einfachere Formel
SO
+
$ 9. Diese Formel erinnert an den Ausdrwk
den E h r en f es t fur die rotatorisch-spezifische WIrme einw
Freiheitsgrades berechnete. - Der von Plancli aus der Reien
Geraden bereohnete Ausdruck la& sich folgendermaSen
schreiben
und zeigt also im wesentlichen denselben Bau wie Formel (11).
Fuhren wir in (11) die Differentiation am und beiiicksichtigen
hier bei hinreichend tiefen Tempernturen (a gro8) die ersten
Glieder, so erhalten wir
(31)
6,= 3 1 8
Das ist (abgesehm von der Zusammensetzung der Konstanten 02')
das. Doppelte des Ausdruckes, den E p s t ein sua der Behandlung des allgemeinen Kreiselproblemes nech der von ihm und
?*
S. Rotsaajn.
100
Schm-arm child ausgebildeten Methode erh8lt. Dies setzt
voram, dal3 sich fur hohe Temperaturen der richtige Aquipartitionswert zweier Freiheitsgrade N k ergibt. In der Tat,
da man Iiir hohe Temperaturen (u klein) die Summation durch
Integration I) ersetzen kann, erhelten wir
und mit Hilfe der Transformation
und $a das zweite Integral
f
G $ e-
ist und deshalb mit r -+m gegen Null konvergiert
m
00
m
1
= -(1
20
-f
i d a - c..
1
.) = 2u
8\
1) Diesc Art der Grenzwertbestimmung ist zwar mathenmtisch
einwandsfrei, steht e h r solchen Hilfsmitteln gegeniiber, wie die Transformation8formel der Thetafunktionen, weit zuriick. Man erhalt hicr
immer des erste Glied richtig; wir kommen im niichsten Paragrephen
darauf zuriick.
2) Noch einfacher folgt dize &us (11),wo man sofort &us dem Integral
Plandcsche Erweiterung der Quantemnhypothese usw.
101
untt clai aus
G B= N A a 2 d-01%
(up
I n 2 4 = Nk.
Der Ausdruck fur tiefe Temperaturen stimmt mit den Euc kensoheri Idessungen vollig iiberein bei aT = 1901), da dieser
bei jener Annahme dem Ehrenfestschen Ausdrncke hr2 ka2e-u
mit oT = 570 zahlenmiil3ig genau gleichkommt. Somit gehen
diem Ausdriicke, wie friiher bemerkt, nicht awebander, wie
es bei Planok und Holm-v. Weyssenhoff der Fall ist.
Daraus wfmde sich als Trligheitsmoment fur das Wassentoffmolekiil
J~~= 2,12 10 - 41
.
Der strenge Beweis dieser Beziehung
ES ist
wird etwa so geftlhrt.
I1
=1
n=l
Nun ist
waa nur durch groBe p ,
p no& so groB, daS
fiir alle noch SO kleine u, klein wird. Wiihlt man
P
OD
le-s'xdu
nahe j e - z a s d a
0
0
Iiegt, so wird dann h i m so gewiihlten festen p die erste Summe 4durch
hinreichend kleine o nahe
Q)
j' a - * x d s
=
0
I ) \'gL P. S. Epstein, p. 402, 1. c.
+.
102
S. Rotszaja.
ergeben.. Bum Vergleich stellen wir die von verschiedenen
Autorsn erhaltenen Werte des Tragheitsmomentes fur das
Wasserstoffmolekiil zusammen :
Nernst S,56.
E i n s t e i n - S t e r n 1747.10-41; Holm
1,36.
E h r e n f e s t 0,69.
R s t n o w s k y 0,89.
v. Weyssenhoff 0,34.
8 10. Wir miissen noch den sonstigen Verlauf der Kurve
in bezug auf die Ubereinstimmung mit den experimentellen
Daten priifen und unter anderem untersuchen, euf welche
Weise unsere Kurve sich dem Bquipartitionswerte nahert
imd ob sie gleich der Ehrenfestschen einen Bucliel besitzt.
Die Formel (11) hat nach Ausfuhrung der Differentiationeil
die Gestalt
190
mit a T = 190, d. h. mit c = T (das niichste Glied ist e-I2.)
ist aber nur gut brauchbar fiir nicht zu hohe Temperatureri;
fedenfalls kann man diese Formel unbedenklich bis T = 2000
fiir die Berechnung benutzen. Fur sehr hohe Temperaturen mu6
man sich nach einem andetn Ausdruck umsehen. Die weiteren
Glieder von (52) darf man, wie in der Fufhote 1, p.100 angefiihrt, nicht benutzen, da sie bei der Grenmertbestimmung
mit Hilfe eines Integrals oft rein zufiillig sind.
E h r e n f e s t und v. Weyssenhoff heben zwecks Herstellung einer fur hohe Temperaturen gut konvergenten Reihe
die Tranaformationsformel der Thetafunktionen benutzt. Da
aber unsere Formel (11) unter dem Logarithmus eine Reihe
enthalt, die keine Thetareihe ist, sind diese Formeln und das
Prinzip der Transformation nicht anwendbar. Man kenn
aber bei kleinem Q in (11)n durch
(33)
1) Dasselbe Verfahren iat auch auf die in der Planckschen Formel
auftretende Reihe anwendbar. Es liegen zwar gegen die Anwendung
dieser Substitution ernatliche Bedenken vor. Die Bestimmung des Anniiherungscharaktera dem Aquiprtitionswerts scheint aber damit nicht
bel8Stet zu sein. Die Ibechnungsresultate, die bei u n ~
im Bereiche von
26Oo-46O0 liegen, scheinen trotz dieser Bedenken doch den1 wirklicbtn
Sachverhalt zu entsprechen.
Ylancksche Erweiteruptg der Quantenhypothese usw.
103
ersetzen. Man erhiilt d a m eine Differenz zweier Thetafunktionen
Setzt man dimen Ausdruck in (11) ein, so erhiilt man
nach den Differentiationen und gehorigen Vernachliissigungen
die Formel
mit
190
rs=-
T
Diese Formel ist dann f i r die Temperaturen T hinreichend
uber 190° gut brauchbar. Es zeigt sich, daf3 die rotatorischspezifisohe Wlirme fur hohe Temperaturen dem Aquipartitionswerte aufsteigend zustrebt , ubereinstinlmend mit allen bisher
erhaltenen Formeln.
1) A. Krazer, Lehrb. d. Thetafunktion. Leipzig, Teubner 1903. p. 30.
2) 1. c. p. 98.
3) Wir sehen daraua, daS das erste Glied I/, (I, welches wir durch
dae Integrelverfahren gewonnen haben, sicher riohtig war, obwohl die
weiteren einen rein zufiilligen Charakter haben.
104
S. Rotszajn.
Fig. 1 stellt das Bild der Kurve neben der experimentellen Euckenschenl), der von E h re n fe s t z) berechneten
nnd der v. WeyssenJoffschen8) Kurve dar. Man ersieht
aus der Figur, daB die Kurve bis 2500, bei welcher Temperatur
die Ehrenfestsche eine Erhebung hat, sich sehr gut der
experimentellen anschlieBt, verlauft aber von da an etwas
flacher wie die Euckensche, auBerordentlich l a w a m ansteigend, allen Vermutungen entsprechend.
Moglicherweise wiirde die direkt fur zwei Freiheitsgrade
herechnete P l a n c ksche Formel ebenfalls einen befriedigenderen
Fig. 1.
Verlauf zeigen als die verdoppelten Ausdriicke fur einen Freiheitsgrad ( E h r e n f e s t und Holm-v. Weyssenhoff). Da aber
die v. Weyssenhoffsche Kurve von vornhereiii das Bestreben hat, zii hoch zu steigen, und die Plancksche Formel
schon fur tiefe Temperatnren 6inen noch groBeren Wert als
die verdoppelte Holm-v. Weyssenhoffsche liefert, ist es
anzunehmen, daB der Veilauf, im Gegensetze zu demjenigen
der hier berechneten Kurve, doah vie1 zu wijnschen ubrig
lassen wiirde.
Die hier gegebene direkte Ableitung der rotatorischspezifischen Wiirme zweier F'reiheitsgrade durfte der erste
Versucb sein, diese auf Grund der Planokschen Erweiterung
der Quantentheorie fiir mchrere Freiheitsgrade unter Annahme
der Inkoharena durchzufuhren. Denn nach der Quantentheorie ist bei einer frei-rotierenden starren Geraden kein
AnlaB vorhanden, die Freiheitsgrade als inkoharent zu be1) A. Eucken, Sitmmgsber. d. Kgl. PreuS. h d . d. Wissensch.
p. 148. 1912.
2) P. Ehrenfeat, Verh. d. 1). Physik. Ces. 16. p.456. 1913.
3) J. v. Wcyesenlioff, 1. c. p. 289.
Phncbche Erweiterung der Quantenhypothese usw.
105
trachten. Nur die Einfiihrung des Feldes bewirkt, daB beide
Freiheitsgrade voneinander getrennt werden. Unter den Kurven,
die durch Anwendung einer konsequenten Ausrechnung (ohne
Zusatzannahmen) auf Grund der Quantentheorie erhalten
worden sind, schlieBt sich die hier mitgeteilte am besten der
aus den Euckenschen Messungen entstandenen an (Planck
hat den Verlauf seiner Kurve nioht mitgeteilt ; daruber vgl.
p. 104). Andererseits entsteht am der Moglichkeit eweier verschiedener Betrechtungsweisen eine Quelle fur die Nichteindeutigkeit der Resultate, die auf Grund der erweiterten
Quantentheorie erhalten werden k o w n , was bei einem Freiheitsgrade nicht der Fall ist. Fuhrt man niimlich hier das Feld
ein, so ist man gezwungen, die Inkohiirene anzunehmen und
einen wesentlich anderen Weg einzuschlagen. Es ist dann
liein Ubergang BU frei-rotierenden Geraden mehr moglich, da
der Grenmert der Formel bei AB 0 ein neues Resultat 1iefert.l)
Der Vergleich der Planckschen und der hier abgeleitetei
Formel fur die rotatorisch-spezifische Wiirme hat uns gezeigt,
daS die letete vie1 bessere Resultate liefert, was darauf hinzuweisen scheint, daS man imrner die Freiheitsgrade womoglich inkoharent anzunehmen hat.
-
5 11. Wir wollen noch aus unseren Ergebnissen den
Rotationsanteil der Entropie zweiatomiger Gase fur hohe Temperaturen bermhnen. I;an&chqt haben wir a h die allgemeine
Formel fur die Entropie
____--
1) Vgl. Epstein, I. c. p. 399 oben, analoge Bemerkung.
2) Dieser Ausdruck liiBt aich ubrigena auf dieselbe Weiae wie (I)
durch Diagonalenanmmierung mit einfachen Fkihen folgendermehn
schreiben :
S. Rokzqirc.
106
Fur hohe Temperaturen (a klein), wo man die Summen
durch Integrale ersetzen kann, haben wir unter Benutzung
der enalogen Rechnung wie im Falle der rotatorisch-spesifischen
WIrme
ifit, erhalten wir endgiiltig
e
= N k l p , =Lo
Nhln
4nBJ k
h4
Te
'
Fiir hohe Temperaturen hat man dann
und unhr Beruck8ichtigung der Fuhote 2, p. 100, kommt nian noch
cinfacher zu demselben Resultat wie im Text. Man sieht auch hier, daR
die Glieder , die nach
1
bei den Ausreohnungen folgen, rein zufiillig sind.
2 0%
1) Das zweite Integra,l ist hier kleiner als
n
-(I
2
und konvergiert mit r =
+20r3e-uy*
gegen 0.
Ylancksche Eyu'eiterung der Qucantenhypothese usw.
107
wiihrend bei T e t r o d e , P l a n c k und R a t n o w s k y in1 Zahler
unter deiri Logarithmus statt 4, 8 steht.l) Man niuB aber
bedenken, daB P l a n e k mit koharenten Freiheitsgraden und
R a t n o w s k y auf Grund der Hypothese der Eigenenergie mit
ungetrennten Variablen gerechnet haben. Dieser Unterschied
im Zahlenfaktor kann deshalb auf die Annahme der Inkoharrnz
der Freiheitsgrsde zuruckgefuhrt werden. Andererseits komnit
es doch schlieRlich auf die zahlenmaBige, nicht bloB auf die
formale Ubereinstimmung an. Jeder der oben zitierten Autorefi
ist nlmlich genotigt, damit seine Formel fur die rotatorischspesifische Warme mit den E u c kenschen rxperimentellrn
Resultaten fur Wasserstoff im Einklang steht, fur
einen snderen Wert anzunehmen. So muB Plnnck, da seinz
Formel von der Holmschen wenig abweicht, a T = 285, R a t nowsky, da er eine dem Bau nacH mit der Nernstsohen
ubereinstimmende Formel erhalt, (T T = 450 annehmen, bei
uns aber, wie oben bemerkt, o T = 190 gesetzt werden ma6.
ZehlenmiiBig erhalten wir fur Wasserstoff bei hohen Temperaturen
NIbln- T e ,
380
wahrend die genannten Autoren Planck
Ratnows ky
Nkln- T e
460
-
Der Wert 380 ist ungefahr das Mittel der beiden anderen
Werte.
4 12. Um noch die fri&er erwiihnte Diskussion p. 96
uber die durch die gewahlte Struktur bedingte Einschrankung
der Feldstiirke nachzuholen
und eine Grundlage fur die direkte
Berechnung von cos t? zu gewinnen, miissen wir urn uber die
Form der Begrenzungsflhchen und die Gestalt der Elementargebiete die niihere Rechenschaft geben. Wie schon am Anfang
1) mrigem ist der Unterschied, da der Faktor 4 odcr 8 unter dein
Logarit.hmus vorkommt, unbedeutend.
S. Rotsxain.
108
gtsagt, bedienen wir uns dabei des clreidimensionaleii 6, y, qRaumes unter Weglassung der Koordinate cp, die in unseren
Cileichungen nicht voIkommt,
Wir wollen zunachst die Fliiche 9 untesuchen, und d a m
iiiii.;sen wir die Gleichung (23)
nach r j auflosen. Es ergibt sich wie fruher (11. 98), w n n man
vorher nach der Energie auflost
'36)
I
Oder
99
=-
,2
+
cotgw.
8 . 1p2 -
g5
+ Sn + a
+ A' J C O S
4n
8
q - &.
- A2 J co8 8 = 0 .
4
Unsere Begrenzurigsflachen g sind vollstandig beatimmt,
wenn wir z. B. ihre Schnittkurven mit allen Ebenen 6 = comt
mgeben, die hier am leichtesten zu untersuchen sind. Uni
aber ein moglichst klares Bild zu gewinnen, wollen wir noch
die Schnittkurven mit den Ebenen ly = 0 und r j = 0 in Bet,racht ziehen.
Was die Schnittkurven y = 0 (17, 6-Ebene) anbetrifft., S O
whiilt man, wenn man in (86) y = 0 setzt
(37)
Diese Kurven sind der Form nach mit denjenigen, die
bei v. Weyssenhoff (also im Falle eines Freiheitsgrades) die
Begrenzungsschar bilden, identisch. Nur ist hier die erste
Kurve g = 0 nicht der Ursprung des Koordinatensystms,
sondern nach (37)
(37a)
' 7 = * A p p 3 .
Wir sehen, daS diese Kurve bei 6 =
endigt. Sol1 auf der
ersten iiuBeren BegrenzungsflLche g = h , wie wir es friiher
angenommen haben, die Integration nach 6 zwischeii 0 und 7t
susgehbrt werden, so muS die Gleichung
Plancksche Erweiterung der Quantenhypotkese usw.
109
in 6 keine reellen Wurzeln haben, und dies erfordert
he
1
8neJdB
>y
oder
h9
a< 8 nSJm '
also wieder die fruhere Beziehung (5). Fur die Schnittkurven
3 = 0 erhalten wir am (88) durch Auflosen einer quadratischen
Gleichung, v m der wir nur eine Wurzel brauchen konnen
1
sin4
Q = - -2%
( 9COBS 9:
sin 9.+ vga
+ 4nzJ A z
COB*
9)
.
Diese Kurven haben fur 6 = 0 oder 6 = n, den Ordinatenwert p = 0, geben also siimtlich durch die Punkte 6 =0,
6 = n, der &Ache, wenn der Ausdruck unter d\er Wurzcl
nicht negativ wird. Dies wird schon fur die Fliiche g = 7~
sicher dey Fall sein, wenri der Radikand bei 6 = n noch
positiv ist, also bei h2 - 4n2J A2 > 0, woraus wieder die
Beziehung (5) folgt.
Fiir die Fliiche g = 0 erhalten wir a k Schnittkurve wieder
nicht den Ursprung des Koordinatensystems, sondern die
Kurve
(384
n
rn
die auch, wie (37a), bei 9 =z endigt; bei 9. = a wird in
(38) ly = 00 und alle Kurven sind an dieser Stelle zerrissen,
was bei kohlirenten Freiheitsgraden nicht der Fall ist.
Die Schnittkurven mit den Ebenen 6 = const sind nach
(36) im allgemeinen Ellipsenbogen, deren Mittelpunkt M und
Achsen a, 8 durch folgende Formeln gegeben sind:
H(q = 0,
Q = 2- tga
2n
6 > 0)
9
b
-a= ~ c o t g 9 . ( .
Speziell wird dime Ellipse bei 9. =
dem Radius
zu einem Kreis mit
S. Rotsxajn.
110
und bei 4 =
5
zu der Parabel
,e=g(v+&)
9
die die Geracle
q=o,
79=E
2
zur Achse hat und deren Brennpunkt auf der *-Ache liegt.
Wir konnen noch hinzufugen, deB die Schnittkurven
y = const
0 auf Grund von (36) an die 6-Werte 0 und n
nicht heranreichen und sonst geschlossen sind.
Was die Fliichen g' betrifft, so sind es der (6,q)-Ebene
parallele Ebenen.
Diese Auseinandersetzung gibt uns den AufschluB uber die
Gestalt der Begrenzungflachen, die in unseren Figuren dargestellt sind.
Selbstredend mussen die Zeichnungen qualitativ aufgefaat
werden, da die wirklichen Kurven infolge der Kleinheit der
Koeffizienten auberordentlich flach und nahe zueinander verleufen. Auberdem muJ3 man siah in den Figg. 3 und 4 die
Kurven an der (y,8)-Ebene gmpiegelt denken.
+
/v
Fig. 2a.
Fig. 2 b.
Fig. 2 stellt die Schnittkurven einer Fliiche g mit den
Ebenen 6 = const dar. Sie ist fur die Flache g 2 n A
gezeichnet worden. Die Schnittkurven mit den anderen
=L
Plancksche Erweitermg der Quantenhypothese usw.
111
Flachen g haben denselben Charakter, nur daB die Fig. 2b nicht
mit einem Punkte, sondern wie Fig.2a mit einer Strecke
abschliefit. Der Wert 8,zu welchem jede der Kurven gehort,
ist jedesmal nuf dieser angemerkt. In Fig. 3 sind die
Schnittkurvcn verschiedener FlSicheii 9 mit den E benen y = 0
7
I
Fig. 3a.
Fig. 3c.
Fig. 3 b.
Fig. 4.
und 6 = 0 dargestellt, sodann mit zwei verschiedenen Ebenen
y = const, niimlich den Begrenzungsfllchen 9' = h und g' = 2h.
Die letzten Kurven sind, wie schon erwiihnt, Kurven kon-
S. Rotszajn.
112
stanter Energie. Die zu dem Elementargebiete ( 1 , l ) gehiirenden
Ausschnitte sind nur auf den Figg. 3 schraffiert. Die Form
dieses Elementargebietes ist eodann mit Hilfe der Fig. 9
leicht zu erkennen und ist in Fig. 4 raumlich dargestellt.
Die (7,6)-Ebene ist die Flache g’ = 0 der Meridianbewegungen. Die Schnittkurven y = 0 und = 0 der Flache
g = 0 der Parallelkreisbewegungen sind durch die Gleichungen
(37a) und (Ma) gegeben. Beide endigen, wie schon bemerkt, bei
n
19= 7 ; die Parallelkreisbewegungen 8 = const entsprechen
also den Werten
.0<8<$,
was wohl begreiflich ist, wenn man bedenkt, daB das Feld
in der Richtung der Polachse wirkt.
Da die Fliiche g = 0 nicht ein Punkt ist, hat w e r Zustandsraum y 0 und 0 Q 6 < n ein Loch, das durch die
F’liiche g = 0 begrenzt ist. Es sind also, physikalisch gesprochen, verschiedene Zustlinde ausgeschlossen. Von den zu
den Meridianbewegungen gehorenden Zustiinden sind z. B. alle
diejenigen auSer Betracht gelassen, die einer Energie kluiner
?
I
als m H entsprechen. Da m H die potentielle Energie bei 9. =
>
ist, konnen die Bahnkurven, die von irgendeinem dieser ausgeschlossenen Zustandspunkte ausgehen, nie zu den Zustiinden
mit 4
fuhren, weil die Molekule an dieser Stelle ihre
>%
s b t l i c h e kinetische Energie einbuBen wiirden. Es sind also
unter den Meridianbewegungen diejenigen ausgeschlossen, bei
welohen die Stelle 4 = nioht paesiert werden kann.
Das Volumen des Loches ist auf Grund der Formel (39),
wenn man dort g = 0 setzt,
p
-nA2J
2l
0
sini+di3=EA2J
P
2
und i’st also von der GroBenordnung 10-66, wiihrend das 0,Ote
Elementargebiet gleich allen anderen dw Volumen h2 von der
GroBenordnung
besitzt. Die Lucke ist jedenfalls hundert-
Plancksche Erweitemng der Quawtewnhypothese usw.
113
ma1 kleiner als das 0,Ote Elementargebiet und kann folglich
nur in diesem eusgepragt sein.l)
8 13. Nachdem im vorigen die Gestalt der Elementargebiete abgekliirt ist, gehen wir zur Berechnimg der Suszeptibilitat uber. Man muB dabei folgendes erwagen: Der Phasenraum hat, falls man die Anfangsfliichen als eine Trennungsfliichen im Sinne d e r ersten P l a n ckschen Abhandlung auffaBt, eine Lucke, die aber lauter phpikalisch zuliissige Zustlinde enthiilt, z. B. die Meridianbewegungen mit kleiner
Energie. Zwar ist diese Lucke, wie oben erwiihnt, hundertmal
kleiner als das 0,Ote Elementargebiet ; sie enthiilt eber lauter
Zustande mit positivem COB 6. Fur die Rotation spielt diese
Weglassung keine Rolle, da dort letzten Endes das Loch
eliminiert wird. Dagegen fur die Orientierung sind die Zustiinde mit positivem und negativem cos 6 von wesentlich
verschiedenem EinfluB. Man wurde selbstverstandlich ein
sehr ungiinstiges Resultat bekommon, wiirde man lauter Zus t b d e mit guter Orientierung weglassen. Das Loch, das bei
der Bestimmung der Suszeptibilitiit eine ausgezeichnete Rolle
spielt, muS also zum 0,O ten Elementargebiete gerechnet
werden. Man kern dann allgemein verlangen, daB in den
Fiillen, wo der Phasenraum eine Lucke aufweist, die aber
lauter physikalisch zulbsige Zustiinde enthillt, und die wie
in dem betreffenden Problem eine ausgezeichnete Rolle spielen,
diese immer zum 0,O ten Elementargebiete gerechnet werden
SOU. Man muJ3 aber d a m die Anfangsflhche nicht als Grenze
des Phasenraumes, sondern als ein Mittel zum AagchluB der
weiteren Begrenzungsfliichen P uffassen.3 Um nun den Mittelwert von cos 8 im n,n'ten Elementargebiet zu bestimmen,
ordnen wir die Rechnung wie folgt an. Wir bestimmen zuniichst den Mittelwert von cos 6 fur die Rgur, die durch die
nt e g-Flache am der Ebene y = konstant ausgeschnitten
wird. Man braucht dann nur nach y zu integrieren (zwischen
ferner die Dfferenz fur zwei g-Flachen zu bilden und schliefilich durch das Volumen des Elementargebietes h2 zu diuidieren.
1) Ein tihnliches Verhalten ist auch bei Planck III, p. 404.
2) Vgl. lhnliche Differenzen zwischen Planck und Sommerfeld.
Planck 111, p. 404).
Annalen der Phplk. IY. Folge. 67.
8
S. Rotszajn.
114
Urn m e r e Rechnung ubersichtlicher zu gestalten, fuhren wir
folgende Bezeichnungen ein:
I
wobei
und
A'J@
2
(a.+ Ips)=
-
As J y s
4-
-
-4n die E'ormel (86) anknupfend,
q a = - c o t 2 Q . - y / a + y 9 y + ss=
+A2Jc08a
beaeichnen wir mit qn das zur Fliiche g = nh gehorige r] und
erhalten unter Beriicksichtigung obiger Einfuhrung fur
q,, = van
(42)
- &g2
9. Ya
+ 2' JCOB
4 ;
ferner sei
(2)
(1)
(2)
wo 6, , 8,, die Wurzeln von T,, = 0 sind, zwischen denen der
Radikand positiv bleibt. Ist dann
n
so haben wir schlief3lich
x
an
115
Plancbche Erweiterung der Quantenhypothese usw.
wobei 252 von der Integration nach q~ herruhrt; auBerdem
miissen die Formeln verdoppelt werden, da wir in (42), (42a),
(42b) nur positive berucksichtigt haben.
Transfromiert man noch die Variablen, indem man
cos 6 = x setzt, so ist
__
5
fn(w) = JVan - (a, + v7 2 + A2 J ( x - " 3 ) 3 -B4 d x
7
xz
wo x2 und z3 diejonigen Wurzeln des Polynom dritten Grades
unter dem Radikal sind, fur welche z1> xp > r 3 ist, wenn
z1 die dritte Wurzel des Polynoms bezeichnct; wir miissen
unsere Rechnung approximativ fuhren.
Die Wurzeln r 2 und x3 sind in erster Annaherung
- -k,1
und
1
+ k,.
Reohnet man aber mit diesen Wurzeln, so erhalt man fur
eine Formel. die fur hohe Temperaturen nur die Halfts
x
i?m=
6kT
des C u r i e - L a n g e v i nsohen Wertes liefort. Wir bestimmen
deshalb nach dem Newtonschen Approximatiomverfahren
noch ein Korrektiongglied
-f(*&)
f+$)
wo j ( s ) den Radikand bezeichnet, und erhalten dann
%a=-ZQ
Fur z1 kann man dann
1
k. + r n
1
I
=+ k, + rn -
l)
a, + v2
-~
A* J
und fur das Polynom unter der Wurzel
[& +
--
- 311 [x- (rn - 211 (an + v J+~ ~
1
(rn
1) Vgl. Anhang.
8'
a ~ x )
S. Rotszajn.
116
seteen. Indem wir noch die Transformation z T,,
fiihren, erhiilt das Integral die Form
1
+ -km
+ z BUS-
--
Wir beriicksichtigen jetzt, daB r, von der GroBenordnung
4 2 ist, entwickeln die zwei letzten Ausdriicke unter dem
Integral nach den Potenzen von A 2 und lassen alle hoheren
Potenzen von A 2 weg.
Es ist dann naherungsweise
fa,+
v2+ A 2 J ( 3 +
A'Jx
YJ
=y
"rt =====
und das Produkt der beiden Anedriicke
da r,, wie gesagt, A 2 enthiilt.
Fur fn ( y ) ergibt sich daraus der Ausdruck:
+ -k
1
f, (w) =
van A"
xdx+
T,
- -1
1 -5 2
dx
kn
+-
1
+2%
1
+rc
J d- p
x x d x +-- A 2 J
(1 xP)P
- -1
kn
2 G k n
j d z
--x 2 d x ;
_ -ka
da das erste Integral Null ist, haben wir unter Benutzung
der Formeln (41)
Pkncksche Erweiterung der Quantenhypothese usw.
117
+ -1
+2
I-k
1
-
/
1
-
7
j (1 - s y
3
XZdX '
li.
Oder wieder nach (41)
f,(y)=-mH-
J nsh2
B n
1
J
1
(* + g)¶
Daraus nach (42b)
+1
an h
nI
SchlieBlich nach (43)
.7
+1
an
n'
18
118
S. Rotszajn.
-&fit Hilfe
dieser Formel bildet man in beksnnter Weise
cos 8 und ferner
x=-
Nm cot38 =
H
wobei das 0,O te Elementargebiet susgeschieden ist.
Wieder werden die Glieder diagonalenweisc. gruppiert
und nech Benutzung der Formel
2 na
7
n(n
+ l ) ( 2 a+ 1)
6
n=l
sind dann die Summanden der ersten Doppelreihe von der
Form
1
1.
3 m(mP-1)'
wobei tn = 2 , 3 . . ., bei der zweiten Doppelreihe aber alle
gleich Null sind, und somit erhiilt m e r e Formel die Gestalt
5
(V)
X
-
Nd
7
--B
4
922
J-
nz
m
-u
+
3-
5
n=l
'
#-on*
n(n9
- 1)
12. e - " n s
c
Man sieht, daB diese Formel der v. Weyssenhoffschen
X ' S
16
1) Der Strich bei der Doppeleumme bedeutet die Weglassung dee
Indexpaares (0,O).
Plancksche Erweiterung der Quantenhypothese usw.
119
dem Bau nach iihnlich ist. Die Formel (V) konvergiert iibrigem
besser als die von v. Weyssenhoff.
Fiir tiefe Temperaturen (0 groB) haben wir
d. h. die Suszeptibilitlit nlihert sich mit sinkender Temperatur
einem Grenzwerte, dem in der v. Weyssenhoffschen Formel
der Wert
X'T
16
entspricht .
Fiir hohe Temperaturen (a klein) wird der Nenner, wie
fruher gezeigt, zu 1/20. Die Summe in1 Zahler wird zu
somit erhalten wir fiir hohe Temperaturen
also die Curie-Gangevinsche Formel.
sioh auch so schreiben
-u
1
Unsere Farmel 1liiSt
2
n=l
wo mail am deutlichsten ersieht, daB diese Formel gegeniiber
dem Curia*L s n g evinschen Gesetze kleinere Werte liefert.
Allerdings besteht zwischen der Formel von v. Weyssenhoff und der hier mitgeteilten der Unterschied, dal3 indieser
letzteii der positive Beitrag nicht ausschlief3lich vom- 0,O ten
Elementargebiete herriihrt, wie es in jener der Fall ist. (Vgl.
die FuBnote 4, p. 85.)
Gehen wir anf dss Begrenzungsnetz dea Phasenraumw
znmck, so bemerken wir, daS bei v. Weyssenhoff nur das
Ote Elementargebiet uberwiegend Zustande mit guter Orien-
1a0
S. Rotszajn.
tierung (kleine 8) enthiilt, in unserem Falle dagegen e k e
ganze Reihe von Elementargebieten (die namlich um den
ins Unendliche sich erstreckenden Rif3 der Begrenzungsfltichen
liegen und bei der Berechnung der SuszeptibilitLt auch das
Loch umfassen) lauter kleinen Werten von 6 entsprechen
und deshalb positive BeitrLge liefern.
Zueammenfiueung.
1. Die Quantelung des in einem homogenen Felde rotie-
renden Gebildes, die im Falle der Gebilde mit einem einzigen
Freiheitsgrade schon friiher von v. Weyssenhoff durchgefuhrt worden ist, wird in der vorliegenden Arbeit im allgemeinen Falle der Rotation um einen festen Punkt vorgenommen.
Als singuliire (Anfengs-) Fliichen werden die Bewegungen
mit ebenen Bshnen - im Meridian und im Parallelkreise gewiihlt. Die beiden Freiheitsgrade werden demgemgI3 als
inkohiirent hetrachtet . Ausgehend von diesen Anfangsflachen
wird sodann die vollstiindige Struktur des Phasenraumes angegeben.
2. Als das erste wesentliche hier erhaltene physikalische
Ergebnis betrachten wir die Formel fur die rotatorischspezifische Wiirme zweier Freiheitsgrade
die wesentlich neu und allen bisher erhaltenen ahnlichen Formeln uberlegen ist. Auch die von Plrtnck aus der ,,koh&renten"
Behandlung desselben Problems abgeleitete Formel
steht hinter der oben abgeleiteten zuriick. Selbstredend ist
hier die vorherige Einfuhrung des Feldes nur ein Mittel sur
.,inkohiirenten" Behandlung, da es nach der P l a n c kschen
Theorie keine Moglichkeit gibt, das frei rotierende Gebilde
,,inkohiirent" zu quanteln.
3. Auch das von T e t r o d e abgeleitete wichtige Resuitat
beauglich der Rotationsentropie aweiatomiger Gase bei hohen
Temperaturen ergibt sich im wesentlichen aus unserer ,,inkoharenten" Behandlung muhelos.
Plcsncksche Erweiterung der Quantenhypothese usw.
121
4. Die quantentheoretische Berechnung der magnetischen
Ruszeptibilittit f i i r paramagnetische Korper, wie sie v. Weyss en hoff auf Veranlassung von R a t n o w s k y zunachst ausfuhrte,
l a B t sich auf Grund unserer Phasenraumzerteilung ebenfalls
durchfuhren. Wir erhalten dabei die Formel, die so lautet :
1
5
x = -ivm/spm?
ZJ-
c
O0
e-~n*
4 P + T = a n (n' - 1)
__
..
-m
3 ne-unP
n=l
Sie gibt fur tiefe Temperaturen einen von Null verschiedenen
Grenzwert, fur hohe den Curie-Langevinschen Wert
N 7?L?
3kT
und entspricht sonst ihrem Bau nach, der demjenigen der
I-. Weyssenhoffschen Formel'analog ist, allen Erwartungen.
Zum Schlusse erfiille ich noch die angenehme Pflicht,
Hrn. Privatdozent Dr. S. R a t n o w s k y fur die Anregung und
Leitung clieser Arbeit herzlich zu danken.
Anhang (zu p. 115).
Statt dessen kann man naturlich, wie es Reichel) (im
-4nschluB an So m m e rfe l d , getan hat, zur Berechnung von
2.
Auch die Integration in der komplexen Ebene benutzen, wobei
man zu demselben Ausdruck mit Doppelindizes gelangt. Die
Zwischenrechnung wird dann aber noch einfacher wie im Texte.
Die Entwicklung des Integranden nach den Potenzen von A 2 ist
Piihrt limn di'e Integration in der komplexen Zahlenebene
sc, herum, und
wiihlt man den,Wcg so, daB auch die beiden Veraweigungspunktp
Bus, urn die beiden Verzweigunbpunkte 5%und
__
1)
F. Reiche, Ann. d. Phya. 64. p. 401.
1917.
S . Rotszajn.
1 22
des in der Entwicklung vorkommenden Radikals, durch diesen
Weg umschlossen n.erden, so erhalt man, wenn man durch
das Integral auf dem erwiihnten Wege bezeichnet,
I
Nach dem Residupnsatz ist dies aber gleich
dabei sind R i l , RY1, Rk die Reeiduen des ersten Integranden
fur die Pole & 1 und im Unendlichen, RE das entsprechende
beim zweiten Integranden.
Nun ist.
-x
~
_
R:, = lim ( x - 1)=*
1/1--R,a,o
= limip,,W 1
x=l
2=11
-
+z
=
- -12 i p ,-b2-1,
1
---
= - il/R,s
2
-1,
_
Plancksch Ermiteyung der Quantenlzypothcse usw.
123
worms
Ersetzt man hier die Bezeichnungen a, uncl k,, dureh
ihre Ausdriieke in y, so erhiilt man fur
n‘
-h
+1
2n
was integriert auf den Ausdruck da Textes fiihrt.
Zurich, Physik. Inst. d. Univers.
(Eingegengen 29. Mai 1918.)
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