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Die Anwendung relativistisch bewegter Bezugssysteme in der Elektrodynamik.

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Annalen derPhysik. 7. Folge, Band 33, Heft 1, 1976, S. 65-69
J. A. Bsrth, Leipzig
Die Anwendung relativirtisch bewegter Bezugssysteme
in der Elektrodynamik
Von z. I. GUZUNAJEW,ITT. D. KASATSCHKOW und J. P. TERLEZKIJ
Sektion Theoretische Physik der UniversitLt der Volkerfreundschaft ,,P.
Lumumba",
Moskau (UdSSR)
Inhaltsubersicht. In der Arbeit mird eine Methode des Ubergangs vom Inertialbezugssystem zu relativistisch bewegten Systemen dargelegt. Die hergeleiteten Transformationsformeln
werden zur Losung einiger -4ufgaben der Elektrodynamik benutzt.
Use of Relativistically Moving Systems in Electrodynamics
Abstract. The method of transition from inertial systems of reference to relati\ istically
moving systems is regarded in this work. The obtained transformation formulae are used to
solve some problems of electrodynamics.
1. Einfuhrung
Die Verwendung relativistischer nichtinertialer Bezugssysteme, d. h. solcher Spsteme, deren Raum- und Zeitkoordinaten durch nichtlineare Tmnsforulationen niit
den Koordinaten eines gewissen InertiaIbezngssysteins verbunden sind, erneist sich
bei der Losung bestiminter elektrodynamischer Aufgaben als iiberans niitzlich. Die
Einfuhrung nichtinertialer Bezugssysteme gibt in einer Reihe roil Fiillen die Moglichkcit, die nichtstationiire Aufgabe auf eine statische zririickzufiihren nnd \-ci-einfac.ht
nnd erleichtert damit die Untersuchung des zii losenden Problems.
Es ist jedoch zu bemerken, daW eine eindeutige Ubereinst ininlung z n isehen Bezugs- und Koordinatensystenlen nur fiir eine geradlinige iind gleidifiirm ige Beirepiing
festgestellt werden kann. I m allgeineinen Fall einer relativist kchen beschlciin~gtcn
Bewegung dagegen lioiiimt es zu einer solchen Verforiniing dcr IGjq)cr, init denen dils
Bezugssystein verknupft ist, daW die wirklichen Zejt- nnd Wega1,stlndc i n eiric .Ahhangigkeit von Ort und Zeit der Beobachtung geraten. Dadrircli cntstchen gev isse
Schwierigkeiten bei der eindeutigen Bestimmiing des Begriffs der 13czugsspstellle IJci
der relativistischen ungleichforniigen Bewegnng.
Das Problem des Uberganges von Inertialsystomen zn belichigen nndcwn, i i i i
allgemeinen beschleunigten Systemen sowie ihre dnn.endiing 111 rlcr Elcktrotlyna 111ik
geht noch auf die Zeit der fruhen Arbeiten EINSTEIX-S
[l]zirriicl; u n d dientc in clcr
Folgezeit des ofteren als Diskussionsgegenstand in C t c Literatiir
~
(s. z. IS. [a- 81).
I n vorliegender Arbeit wird eine Methode zur Einfiihrung relativistischcr \xschleilnigter Bezngssysteine betrachtet, die im weiteren frir ein niclit stnndardgcinffllcs
Verfahren zur Losung einigcr Aufgaben der Elektrodpaniik hcniitzt irerdan.
2. Eindimensionale relativistische Bewegung des Bezugssystems
2.1. Transformationsformeln
Bekanntlich besitzt die dem Galileischen Koordinatensystem entsprechende
Metrik die Form
ds2 = C' dT2 - d X 2 - dYa - dZ2
(2.1)
Z. I'. GUZUNAJEW,
W. D. KASATSCHEOW
u. J. P. TERLEZKIJ
5G
und der Ubergang von eineni Galileischen Koordinatensystem zum anderen kann mit
Hilfe der Lorentz-Transformation erfolgen.
Wir fiihren die Transformation in vereinfachter Form
xi
X' =
(t, 2, y, z ) ,
(2.2)
init i = 0, 1, 2, 3 so durch, daB das Gleichungssystem nach den Veranderlichen t , x, y
nnd z auflosbar wird :
'
X = xi ( T ,X , Y , 2).
Die Funktionen T , X , Y und 2 nehmen wir als stetig und differenzierbar, ihre
Transformationsdeterminante (2.2) als ungleich Null an:
Mit Hilfe der Transformation (2.2) gehen wir, allgemein gesprochen, zu einem nichtgalileischen Koordinatensystem iiber, das durch eine Metrik der Form
as2 = gik dxiclxk
(2.4)
darstellbar ist.
Von den nichtinertialen Bezugssystemen stellen die geradlinig (ohne Drehung)
bewegten Systeme die einfachsten dar.
Mogen im Anfangsmoment (T = t = 0) die Koordinatenanfangspunkte 0 und 0'
des Inertialsystems ( T ,X , Y , 2) und des beschleunigtensystems (t, x, y, z ) zusammenfallen und moge sich weiterhin 0' gegeniiber 0 entlang der 2-Achse verschieben.
Hierbei wird offensichtlich nur die Koordinate Z und die Zeit T transformiert. Entsprechend den Transformationsformeln
T = T(t,z ) , X = X, Y = ?j, 2 = Z(t, z )
(2.5)
lrann die Raum-Zeit-Metrik in den Veranderlichen t, x,y und z ohne Einschrankung
der Allgemeinheit in der Form
+
ds2 = -ax2 - dy2 - dz2
c2D(t, Z ) dt2
(2.6)
geschrieben werden. Die Bedingung, daB der Raum-Zeit-Kriimmungstensor gleich Null
sei, ergibt
D(t,z) = [l
+
TI2,
worin a(t) eine willkiirliche Funktion ist.
Die gesuchten Formeln des Ubergangs zu relativistisch bewegten Systemen konnen durch Losung folgender Gleichungen fur die partiellen Ableitungen gefunden werden :
Es ergibt sich
T=
f [/
ch
a ( t )dt
+
sh
/wt+ to,
C
0
worin
to,zo
re
4
und to willkiirliche Konstanten sind.
(2.10)
Relativistische bewegte Bezugssysteme in der Elektrodynamik
57
Der Sinn der in diese Transformationsformeln eingehenden Funktion a ( t ) ist
leicht festzustellen, wenn man die Bewegung des Punktes z = 0 des nichtinertialen
Bezugssystems betrachtet. Aus (2.10) l&Bt sich entwickeln
-312
(2.11)
d P
d.h. a(t)ist die Beschleunigung des Punktes z = 0, ausgedruckt in der Zeit
(2.12)
2.2. Hyperbolische und relativistische Schwingungsbewegung
Als Anwendungsbeispiele der Resultate des vorhergehenden Abschnittes betrachten wir den speziellen Fall eines gleichmiiBig beschleunigten und eines schwingenden
Bezugssystems. Bekanntlich wird in der relativistischen Kinematik die Bewegung
eines Punktes dann als gleichmaBig beschleunigt bezeichnet, wenn die GroBe der Beschleunigung a(t) im eigentlichen Bezugssystem (in jedem gegebenen Moment) konstant bleibt. I n diesem Fall ist a ( t ) = a,, und aus (2.10) folgt
(2.13)
mit sh yo =
3(1 -
.
C
Bei V , = 0 ergeben sic11 die Kottler-Moller-Transformationsformeln,wahrend bei
a, = 0 die Formeln (2.13) in die Lorenz-Transformation ubergehen.
Betrachten wir nunmehr ein relativistivches schwingendes Bezugssystem. Fur diesen
Fall erhalten wir
*A
a(t) = - xo ~ s (u,
n k,)
(2.14)
m0
und durch Integration von (2.10)
(2.15)
worin sn (Z L , Lo), dit (u,Lo), cn (u,ko) und E (u,k,) die Jacobischen elliptischen Funktionen sind und
-
Bei c + 00 streben ko -+ 0 und w --+ xofvmo.Hieraus ergeben sich die nichtrelativistischen Formeln des Ubergangs zum schwingenden Bezugssystem :
Z. I. GUZUNAJEW,W. D. KASATSCHEOW
u. J. P. TERLEZKIJ
68
2.3. Elektromagnetisches Feld einer rolativistisch gleichmaflig beschleunigten Ladung
Das elektromagnetische Feld einer Ladung, die eine hyperbolische Bewegung vollfuhrt, wurde erstmals von BORN[9], spater auch von SCHOTT
[lo] untersucht. Ausgehend von der Losung BORNSkamen PAULIund L A u E zu dem Ergebnis, daB sich
die hyperbolische Bewegung dadureh auszeichnet, da13 sie nicht mit der Bildung einer
Wellenzone und der entsprechendenden Stmhlitng verbunden ist. I n der Folgezeit
kam eine Reihe von Autoren zu den) Schlull, daB eine Ausstrahlung der Ladung bei
hyperbolischer Bewegung existiert. Eine niiifassende Bibliographie zu diesein Problem ist in der Arbeit [ 11 ] angefiihrt.
I m folgenden wird eine mit l-lilfe des Ubergaiigs Zuni nichtinertialen Bezugssystein
nach den Kottler-Moller-Formeln gefiindene L(isiing fur das elektromagnetische
Peld einer gleichmaflig beschlennigten Ladung hotrachtet. Das genannte Problem
wird dabei auf die Bereehnung des statischen Feldes einer im gleichmiifiig beschleunigten System unbeweglichen Ladung ziiriickgefiilirt.
I n willkiirliclien gekriiininten Koordinatcn merdcn die Maxwellschen Gleichungen
zusarnnien mit der Lorentzschen Bedingung i n folgender Form wiedergegeben :
I m relativistisch gleichniiiflig besc*hleunigteii Bezugssystem, das durch die entsprechende Metrik beschrieben mird, kann die liisiing dieser Gleichungen in der Form
gesucht werden, wahrcnd A b dann der Gleic*hiing
genugt, dcren Tiisung die Fttnktion
darstellt.
I m Inertialbezugssystem sind die Koiiiponenten des kovarianten Vektors A i:
(2.19)
Relativistische bewegte Bezugssysteme in der Elektrodynamik
59
Hieraus erhalten wir
p,=Ay=O,
iuit
Zii dieser Losung kam erstmalig BORN[S].
2.4. Strahlungsleistung bei hyperbolischer Bewegung
Die Energie, die von einer beschleunigten Ladung pro Zeiteinheit abgestrahlt wird
(Strahlungsleistung), kann nach der Lihardschen Formel errechnet werden
_ -dW
dt'
2
3
- - e2
u2
- [Uuy
(2.21)
( I - u2)3
und hetragt fiir die hyperbolische Bewegung
2
_ -dTP
- -dt'
3
d. h. sie bleibt konstant. I n dem hier verwendeten MaSsystem ist c = 1.
I n der Arbeit [12] wurde die Spektralwinkelverteilung der vollen (d.h. von t = -m
bis t = +a)
Strahlungsenergie bei der hyperbolischen Ladungsbewegung berechnet.
])as Ergebnis wird in der Arbeit [ 131 bestatigt.
Die Unterschiede in den Endergebnissen der genannten Arbeiten machen jedoch
die praktische Nutzung der hergeleiteten Pormeln unmoglich. Des weiteren gestattet
es die von den Autoren henutzte Methodik der Berechnung der vollen Strahlungsenergie nicht, die Gro Se der Strahlungsenergie bei hyperbolischer Ladungsbewegung,
die atis der Liknardschen Formel (2.21) folgt, ZLI bestimnien.
Zndem sie eine physikalische Interpretation der erhaltenen Unterschjede in der
vollcn Strahlungsenergie geben, schreiben die Autoren, dai3 diese nicht verwunderlich
seien, da die Strahliingsintensitat nach der Lihardschen Forinel endlich und folglich
die volle Stmhliingsenergie von der gesamten Teilchentrajektorie wahrend einer
iincndlichen Zeitdauer unendlich sei.
Es wcrde nun folgender Ansatz betrachtet : Die Ladung fuhrt eine hyperbolische
I3ewegung wiihrend einer endlichen Zeitdauer von t' = 0 bis t' = T aus. Gesiicht
wird die Spektralwinkelverteilung der Strahlungsenergie im genannten Zeitraum T
der 1,adungshe~~~e~iing.
Wir benutzen dazu die in die zylindrischen Koordinaten e,
q~ nnd z umgeschriebene BoRNsche Losung (2.20) im Inertialbezugssysten1
8ea2ez
4eola(e2 - 2%
t2
cc2)
, H,=- 8 ecc2et
E,=E, = E , = I-r, = 0) E, = 7
9 3 '
83
+ +
)
Z. I. GUZUNAJEW, W. D. KASATSCHKOW
u. J. P. TERLEZKIJ
60
mit
1
a=-,s=
l/(e2
+
22
- t2 - a
+
2 ) ~
4a2e2,
x =
z
+ a.
a0
Die Beobachtungszeit t ist mit der Strahlungszeit t' durch das Verzogerungsverhaltnis
t = '1
+
+ ( x -l / t ' 2 ) 0 2
verkniipft. I n der Wellenzone ergibt sich
Mit Hilfe der Fourier-Transformation der Punktion
1
8o"'
kijnnen die Felder als Integrale der Frequenzen ausgedriickt werden.
Die durch das Elektron pro Zeiteinheit abgestrahlte Energiemenge liifit sich mit
Hilfe des Poynting-Theorems
(2.22)
bestimmen. Es gilt
dW
-=
dt
dl2,
1.
mit j = -H , (E, cos 8 - E, sin 8) oder
472
(2.23)
m
x j dw' co' h',(aw' sin 8) cos [w'(t - r ) ] .
0
Wenn man (2.23) in den Grenzen von
Ergebnissen der Arbeiten [12] und [13].
--oo
bis +co integriert, kommt man zu den
Reletivistische bewegte Bezugssysteme in der Elektrodynsmik
61
Betrachten wir nunmehr eine endliche Ladungsbewegung von t' = 0 bis t' = T . I n
diesem Fall mu13 in (2.23) zu der neuen Veranderlichen t' iibergegangen werden. Durch
Integration nach w' und t' erhiilt man
COB (Ot)
dt
(2.24)
Aus dieser Formel ergibt sich durch Integration nach w und t die vom Teilchen pro
Raumwinkeleinheit abgestrahlte Energie
1
t
--=-
t2
+ a2sin20+ 2012 sin28
3
t
arc tg+ 262 sins e
a sine
1
z,=T- \I!P+dCosO
(2.25)
r, = --acose
Diese Formel ist der prazise Ausdruck fur die Winkelverteilung der Strahlungsenergie des Teilchens bei seiner Bewegung von t' = 0 bis t' = T.
SchlieBlich folgt aus (2.25) bei Integration nach den Winkeln die volle Strahlungsenergie des Elektrons fiir die Dauer der Beschleunigung
2
- W ( T )=
e2agT.
2
Fur die Strahlungsintensitiit erhalt man die GroBe - e2a$ die genau dem Ergebnis
3
der Lihardschen Formel entspricht.
3. Rotierendes Bezugssystem
3.1. Transformationsformeln
Betrachten wir ein Bezugssystem mit den zylindrischen Koordinaten e, p,, z und t,
das sich gegeniiber dem Inertialsystem (R, @, 2, T)urn die Achse z = Z dreht. Fur
den ubergang zu einem solchen Bezugssystem besitzen die Transformationsformeln
die allgemeine Form
Hierbei kijnnen die metrischen Koeffizienten bei de dp, und de dt ohne Einschrankung
der Allgemeingiiltigkeit der betrachteten Aufgabe gleich Null gesetzt werden. I m
weiteren wird eine dritte zulassige Bedingung fur die metrischen Koeffizienten benutzt,
die wir folgendermaBen wahlen:
v-s
=
e-
Fur die gesuchten Funktionen R, @ und T erhalten wir dann aus der Bedingung,
daB der Raum-Zeit-Kriimmungstensor gleich Null ist, und unter der Voraussetzung,
dalJ die metrischen Koeffizienten in (3.2) nicht von p, abhangen, das folgende Glei-
2. I. GUZUNAJEW,
w. D. KASATSOHKOW
62
U.
J. P. TERLEZEI3
chungssystem :
(3.3)
worin u(t)eine willkiirliche Funktion von t ist.
Wenn w ( t ) = wo = const., so entspricht diesem System die Losung
+
R = e, @ = mot p, T = t,
wahrend die metrischen Koeffizienten in (3.2) lauten
(3.4)
A = 1 - e2 ~ f ,B = 1, C = e2, D = e2wo.
(3.5)
Da uns im weiteren Fragen der Strahlung einer sich spiralformig bewegenden
Ladung interessieren werden, gehen wir auf die Kinematik einer solchen Bewegung
etwas ausfuhrlicher ein. Die Trajektorie einer Ladung eo mit der Masse m, bei der Bewegung in einem homogenen Magnetfeld H entlang der 2-Achse ist eine Schraubenlinie,
die die Superposition einer gleichformigen Bewegung entlang der 2-Achse mit der
konstanten Geschwindigkeit vz = cP3 und einer Kreisbewegung auf dem Radius
RE = vL /wH mit der Winkelgeschwindigkeit oH in einer dem Feld perpendikularen
Fliiche darstellt. Dabei ist
?I
mit /? = - =%
''
c
+
c
" und:G
=
& + I$.
Die Geschwindigkeitskoniponenten vx und
vY sind die Projektionen der Perpendikulargeschwindigkeit v L auf die X - und Y -
Achse des unbeweglichen Inertialbezugssystems. Sie konnen durch die LorentzTransformation der entsprechenden Komponenten der Perpendikulargeschwindigkeit, die eine mit der Winkelgeschwindigkeit oo= w 1/1 - ,t?g auf einem Kreis mit
dem Radius Ro = vLo/wo rotierende und sich entlang der 2-Achse mit der Geschwindigkeit vz bewegende Ladung besitzt, dargestellt werden :
-
1
/
1
,t?fcos mot,
us = Rooo
vy =
Dabei ist
-
~
11
~ -w
pf sin~ oot.
Durch Einsetzen dieser Werte von 'vx und v y in (3.6) erhiilt man die Winkelgeschwindigkeit, die eine sich spiralformig bewegende Ladung gegenuber einem un-
Relativistische bewegte Bezugssysteme in der Elektrodynamik
63
beweglichen Beobachter besitzt :
(3.7)
Soinit nehmen die Transformationsformeln bei der Betrachtung eines Bezugssystems (e, v, z , t ) , das neben der Rotation noch eine fortschreitende Bewegung entlang der Z-Achse mit einer beliebigen konstanten Geschwindigkeit cB3 vollfuhrt, die
folgende Form a n :
3.2. Strahlung einer sich spiralformig bewegenden Ladung
Die Formel fur die Spektralwinkelverteilung der Strahlungsintensitat einer anf
einem Kreisbogen gleichformig rotierenden Ladung wurde erstmals von SCHOTT
[ 101
hergeleitet. Die genaue Herleitung der entsprechenden Formel fiir den Fall der Ladungsbewegung auf einer Schraubenlinie ist in [14] enthalten. I m weiteren wird eine
Losung dieser Aufgabe angegeben, die durch den Ubergang Zuni nichtinertialen Bezugssystem nach den Formeln (3.8) gefunden wurde.
Da die Formeln (3.8) die Form der Metrik ( 3 . 2 ) niit den metrischen Koeffizienten
(3.5) nicht verandern, kann man die Maxwell-Gleichungen zusammen mit der LorentzBedingung (2.16) so darstellen:
mit
I n diesen Gleichungen sind die Glieder mit den Ableitungen nach der Zeitkoordinate
t gleich Null, da entsprechend dem rechten Teil der ersten Gleichung eine Losung
gexucht wird, die nicht von t abhangt.
Ilurch Einfuhrung von
A ; , = =mo; 2 ( A ;
1
A'@ = -o ( A ;
+ A ; ) - A',
+ Ah).
1
A; = - 2( iA ;
- A;),
(3.10)
64
Z. I. GUZUNAJEW,W. D. KASATS~HEOW
u. J. P.TERLEZKIJ
erhiilt man
4 ne
A'A' =O-
e
d(@ - eo) d(9) d(Z),
(3.11)
J
A'A; = 0.
Wir benutzen nunmehr die Transformationsformel (2.19), die es zusammen mit
(3.8) und (3.10) gestattet, solche Losungen der G1. (3.11) zu wkihlen, die der Verzo-
gerungsbedingung im Inertialbezugssystem genugen. Unter Beriicksichtigung von
(3.10) nehmen diese Losungen die Form an:
.
(3.12)
im
m2wf
Hier sind H m = H,(ey) = y2 = -x2
Iml J m ( e y )- N m (ey), J m = J m (@or),
c2
und J , und N , die Besselschen bzw. Neumannschen Funktionen. Es wird nur das
m2w2
Gebiet O> x2 betrachtet, da der F a m2w2
l l 2 < x2 zu Losungen fiihrt, die exC2
C2
ponentiell gegen Null streben.
Durch Verwendung von (3.8), (2.19) und (3.12) findet man die (in dreidimensionaler
Form dargestellten) Potentiale einer sich gegenuber dem feststehenden Inertialbezugssystem spiralformig bewegenden Ladung:
9
mit
(3.13)
Relativistische bewegte Bezugssysteme in der Elektrodynamik
65
Durch Obergang mittels der Lorentz-Transformation zu einem entlang der Z-Achse
init einer Geschwindigkeit cB3 bewegten Inertialbezugssystem erhiilt man fur die
Potentiale die Ausdrucke
oder, unter Beriicksichtigung von (3.13),
Iib2p H' J'
EZ
Eo
H@
vm
imxv HmJm
mnr+
= - 40 2 eimn(@-@oTL) & eixZ&
2
s
mBzvHmJh
Ry21/1-p$
HLJA
+ --xp
.
(3.16)
YR
YVl-BP
-BzY HmJh
Hz
(3.17)
Durch Einsetzen der Feldwerte aus (3.16) in (3.17) ergibt sich nach dem Umforinen
die Formel der Spektralwinkelverteilung der Strahlungsintensitat der Ladung bei
spiralformiger Bewegung
(3.18)
worin J und J' die Funktionen des Argumentes
--
mp2l/l - p$ sin 8
Y R 0 = 1 - p3 eos 6
sind.
Bei ,!I3 = 0 geht diese Formel uber in die SCHOTTSChe Formel fiir dic gleichfijrniige
Kreisbewegung der Ladung.
5
Ann. Plrysik. 7. Folge, Bd. 33
66
Z. I. GUZUXAJEW,
W. D. KASATSCHKOW
u. J. P. TERLEZKIJ
Es sei weiterhin festgestellt, daB man beim tihergang zum gestrichelten Inertialhezugssystem mit Hilfe der Lorentz-Transformation aus (3.18) fur die Winkel wiederum die SCHOTTSChe Formel fur die gestrichelten Grol3en erhalt.
SchlieBlich ergibt sich durch Integration von (3.18) nach den Winkeln und Suminierung der Ausdmek fur den vollen EnergiefluB, der von einer Ladung bei spiralformiger Bewegung abgestrahlt wird
(3.19)
Dieser Ausdruck stimmt genau mit der Libnardschen Formel (2.21) uberein.
3.3. Geladenes Teilchen in einem rotierenden Magnetfeld
Der tfbergang zum nichtinertialen Bezugssystem bei den Untersuchungen zur Beschleunigung des Elektrons und Elektronenstrahls wurde schon in den Arbeiten [I51
und [ 161 benutzt, die als Grundlage fur die theoretische Berechnung des Linearbetatronbeschleunigers dienten.
Hier wird ein neues Verfahren zum Einfangen und Beschleunigen geladener Teilchen durch ein Magnetfeld spezieller Konfiguration, das im weiteren als rotierendes
Magnetfeld bezeichnet wird, vorgeschlagen.
Betracliten wir die zweite und dritte Gleichung von (3.11) ohne Quellen
(3.20)
Wir suchen die Losung der statischen Aufgabe im nichtinertialen Bezugssystem; deshalb streichen wir sowohl in den Gleichungen (3.20) als auch in den Gleichungen (3.9)
und (3.11) die Ableitungen nach der Zeitkoordinate. Durch Losung dieser Gleichungen
und erneutem Ubergang zu A ; und A ; kommen wir zu
(3.21)
+
z2 und A = const.
mit r =
Durch Verwendung von (2.1 9) finden wir die Komponenten des Vektorpotentials
ini 1nertialhezugssS.stem :
(3.22)
Die Kraftlinien des durcli diesc P o t entiale beschriebenen Magnetfeldes stellen einen
Kreis dnr, auf dein sirh eine Kngelschsr mit einer Flachenschar schneidet. I n
Ahb. 1 sind diese Kraftlinien fur einen gewissen Moment t = to dargestellt. I n den
darauffolgenden Momenten dreht sich das Bild der Kraftlinien mit einer Winkelgeschwindigkeit von coo urn die Z-Arhse ohne Formveranderung.
Betracliten wir nunniehr, wie sich ein geladenes Teilchen in diesem rotierenden
Magnetfeld verhalt. Die relativistischen Bewegungsgleichungen eines geladenen
Teilchens in einein anBeren elektroinagnetisehen Feld im zylindrischen Koordinaten-
Relativistische bewegte Bezugssysteme in der Elektrodynitmik
67
system haben folgende Form:
(3.23)
.
Es ist unschwer festzustellen, dalS die Losung dieses Systems die Teilchentrajektorie
R = R,, Z = 0, @ = w,T
(3.24)
darstellt, wenn das Feld auf der Gleichgewichtsbahn die Bedingung erfullt
C
c
(3.25)
Somit kann das Teilchen im betrachteten Magnetfeld auf einer in der Fliiche
Z = 0 gelegenen Gleichgewichtsbahn mit konstantem Radius eingefangen werden.
Abb. 1 Die Kraftlinien des rotierenden Magnetfeldes
Die Winkelfreqiienz der Teilchenrotation stimmt mit der Frequenz der zeitlichen Anderung des Magnetfeldes uberein.
Gehen wir nunmehr zur Frage der Stabilitiit der Ladungsbewegung auf der Gleichgewichtsbahn (3.24) uber. Dazu schreiben wir die Bewegungsgleichungen (3.23) fir
kleine Abweichungen
A R == R - R,, A Z = 2, A @ = @ - wOT.
Nach der Umformung ergibt sich folgendes Gleichungssystem fur die Abweichungen :
A'k
oc,A'R + & A & = 0
+
A~+y,A@+6,A~=O
63 + ?lo A Z = 0 .
(3.26)
Z . I. GUZUNAJEW,W. D. KASATSCHEOW
u. J. P. TERLEZRIJ
68
Hierin bedeuten:
a0 = -
“0
C
C
sin -
Aus diesem System ist ersichtlich, daB die Verschiebung des Teilchens entlang der
2-Achse bei qo > 0, d. h. wenn
0 < -WORO< 1
(3.27)
C
und A > 0 ist, einen Schwingungscharakter triigt. Was die Radial- und Winkelverschiebungen anbetrifft, so werden unter der Bedingung (3.27) und bei a. > 0 alle
Wurzeln der entsprechenden charakteristischen Gleichung
A4
+ + yo - sop,, A2 + ‘yoyo
0
rein imaginar. Die Ungleichung a0 > 0 kann bei entsprechender Wahl des konstanten
Teils des Magnetfeldes Hzo immer erfiillt werden. Infolgedessen erfolgt die Schwingung des Teilchens um die Trajektorie (3.23) mit nicht anwachsender Amplitude,
wenn die GroBe der Teilchengeschwindigkeit der Bedingung (3.27) genugt.
AbschlieBend sol1 das Problem der Teilchenbeschleunigungmit Hilfe einer stetigen
Veranderung der Rotationsfrequenz wo des Magnetfeldes untersucht werden. Die
Frequenz oo moge sich um einen geringen Betrag d o erhohen, d. h. wo -+ w1 =
oo Aw. I n diesem Falle geht, wie aus den Ausdriicken fur die Felder und &us den
Bewegungsgleichungen (3.23) folgt, die Zunahme der Teilchenenergie zu Lrtsten des
azimutalen Anteils der Feldstiirke des elektrischen Feldes, AE,, vor sich :
(010
=
+
Hier ist Tldie Zeitdauer, in der sich die Rotationsfrequenz des Magnetfeldes von wo
auf w1 andert. Der Radius der Teilchenbahn wird dabei durch das Verhaltnis (3.25)
bei Vertauschen von coo gegen w1 bestimmt.
Somit kann ein ungleichmaflig rotierendes Magnetfeld als Steuerfeld fur die Beschleunigung geladenkr Teilchen benutzt werden. Die Maximalenergie, die das Teilchen dabei annehmen kann, betragt
Relativistische bewegte Bezugssysteme in der Elektrodynamik
69
und hangt von der maximal erreichbaren Winkelgeschwindigkeit der Rotation des
Magnetfeldes mmaXab. Das Charakteristische des dargelegten Mechanismus der Beschleunigung geladener Teilchen besteht darin, da13 in jedem Stadium der allmiihlichen
Beschleunigung des Teilchens die oben hergeleiteten Bedingungen uber die StabiIitlit
der Bewegung unveriindert bleiben.
Auf der Grundlage der hier entwickelten Theorie der Teilchenbewegung im rotierenden Magnetfeld kann die Frage der Schaffung eines zyklischen Teilchenbeschleunigers, in dem ein Magnetfeld der angegebene Konfiguration benutzt wird, euf die
Tagesordnung gestellt werden.
Literaturverzeichnis
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Bei der Redaktion eingegangen am 27. Februar 1975 (revidiert am 6. Juni 1975).
Anschr. d. Verf.: Dr. Z. I. GUZUNAJEW,
W. D. KASATSCHKOW
und Prof. J. P. TERLEZKIJ
Sektion Theoret. Physik d. Univ.
d. Volkerfreundschaft ,,P. Lumumba",
Moskan V-302, (UdSSR), Ordshonikidzestr. 3
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