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Die arodynamischen Gleichungen und der erste Hauptsatz der mechanischen Wrmetheorie.

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I n einern jungst erschienenm Werke l) wird die Behauptung aufgestellt, dxss die aerodynamischen Grundgleichungen
mit den aus warmetheoretiachen Betrachtungen sich ergebenden Stromungsformeln in1 Widerspruche stehen. Von einem
solchen kann wohl nicht die Rede sein, selbst dann nicht, wenn,
wie Hr. L i n d n e r meint, die nerodynamischen Gleichungen unrichtig waren. Denn mitderzustandsgleichung (dem G a y - L u s sac'schen Gesetze der vollkommenen Gase) und der Continuitiitsgleichung zusammen bilden die aerodynamischen Formeln
ein System von fiinf Gleichungen, zu welchen noch eine s e c h s t e
hinzutreten muss, wenn die sechs Grossen p , Q , T,u. v , tu
bestimmt sein sollen. Die sechste Gleichung ist eben der
warmetheoretische Satz, der dariiber aussagt, was itus der
Warme wird, die eine bestimmte Gasmasse auf ihrem Wege
aufgenommen hat.
Wenn das Gas als eine sclilecht leitende Masse mit
gut leitenden Wanden n i c h t in Beriihrung tritt, so ist die
Annahme gerechtfertigt, dass jeder Theil des Gases fur sich
den Zuwachs seiner lebendigen Rraft, sowie die nach aussen
abgegebene Arbeit aus seinem Warmevorrathe zu decken
hat. Man pflegt in solchen Fallen als Zustandsgleichung ohne
weiteres die P o i ss on'sche Relation einzufuhren. Dies unterliegt aber, wie Hr. L i n d n e r richtig bemerkt, einem Einwande,
da die Herleitung dieser Relation auf warmetheoretischem
Wege jeden Energieumsatz in lebendige Kraft ausschliesst.
Welche Zustandsgleichung entspricht dann dem warmetheoretischen Satze, welcher als sechste Gleichung zu den ubrigen
funf Gleichungen hinzutritt?
Betrachten wir eine bestirnmte Gasmasse, welche in
einem Augenbliclte t durch eine geschlossene Flache begrenzt
1:) G e o r g L i n d n e r . ,!Theorie dcr C+asbewegniig"; Berlin, Leonh.
S i m o n . 1Y:)O.
F. Kolu'c'ek.
152
ist. Die Grenzflachen derselben rucken wahrend der Zeit d t
um den Weg (u cos n.z + v cosny + zu cosnz)dt nach auswiirts und verrichten eine Arbeit, deren Betrag per Zeiteinheit durch die Relation:
=Jdw (u cosnx
+ v cosny + w cosnzlp,
oder durch:
gegeben ist. do ist ein Flachen-, dt ein Volumenelement.
Man ersetze dpldx etc. durch ihre Werthe aus den
aerodynamischen Gleichungen. Wenn (u'
v2 + w2)812 = it
gesetzt wird, so geht G1. (1) iiber in:
+
Der Gewinn derselben Basmasse an lebendiger Kraft in der
Zeiteinheit ergibt sich durch die Formel:
at
@ = J d r . wd t)
+bo.
pi(u
+ v cosny + w cosaz).
COSRX
Man sieht dies ein durch die Ueberlegung, dass von der
lebendigen Kraft unserer Gasmasse in ihrer neuen Begrenzung zur Zeit d t + t der Betr,ag derselben in ihrem urspriinglichen Volumen zur Zeit t abzuziehen ist. Der Ausdruck
fur d L / d t ist dann bis auf Grossen der Ordnung d t : 1 genau.
Man kann auch nach Verwandlung des Flachenintegrals in
ein Raumintegral mit Rucksicht auf die Continuitatsgleichung schreiben:
(3)
BUS(2) und (3) ergibt sich:
Bus der Continuitatsgleichung folgt :
@ + * + -dv= - - - Be
wobei:
dx
dy
dz
1 ,
Dt e
Aero dy na m isc he Gleichungeii.
D g = d g + u .dP + ? ,dLo
Dt
dt
ds
dy
153
a
+u72
gesetzt ist.
Nach Einfuhrung des durch die Relation p V = l definirten specifischen Volumens V findet man:
(4)
Der Gewinn d L j d t + d A / d t ist aber der Abnahme der
inneren Energie ( V )gleich, und zwar fur jedes Gaatheilchen
fiir sich, wenn Leitungsfahigkeit ausgeschlossen wird. Diese
Abnahme per Volumeneinheit betragt offenbar:
_ _ a_
' ._
D v_ . I-.-d U D T (Tdie
V a V Dt
V dT D t
Temp.).
Damit folgt als einzufuhrende Zustandsgleichung thatsLchlich die gewohnliche adiabatische Relation:
dP
dV+
cClT!d T + p d V = 0.
Nimmt man Warmeleitung an, so betragt der Warmegewinn des Volumelementes dx dy d z auf seinem in der Zeit d t
erfolgenden Wege bis auf Grossen hoherer Ordnung ebenso
viel, als wenn dasselbe still gestanden ware. Damit ergibt
sich als sechste Gleichung die Relation:
Die Anwendung dieser Formeln auf Stromungsprobleme
in Rohren mogen fur eine andere Mittheilung vorbehalten sein.
B r i i n n , den 15. Juli 1890.
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