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Die Ausbreitung der Schallwellen in einem Horn von der Gestalt eines Rotationsparaboloides bei Anregung durch eine im Brennpunkt befindliche punktfrmige Schallquelle.

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ANNALEN D E R PHYSIK
5.FOLeE
E E P T 6
BAND48
1948/43
Die Auebreitung der 8challwellerz
4n &gm
E m von d6r Geutalt
e4nee R o t d o n e p a r a b o M d e e be4 Anregung
durch edme im Brmnpunkt be@&dl(ohep u n k f l r m d g e
Schallquelle
Volt H e r b e r t B u c h h o l x
(Mitteilung nus dem Zentrallaboratorium fdr Fernmeldetechnik der
AEG)
(Mit 6 Abbildungen)
LLte dor Formelmdohen
exp
(
Zeitgesetc der eintanigen Schwingangen mit
1 :i =
/ 1
,
die Wellenliluge der freien Keumwelle in cm and die Wellentahl
in licm,
die Kreisfrequeue und die Scbwingungecabl in Hz,
der Schdldruck in gi(cm.a'),
die Schallgeschwindigkeit in cmia
(fUr Lnft ist c = 3,478-10' bei 2OoC,
fur Wmaer c = 1,498.10L bei 15OC),
die mittlere Dichte des den Schall fortpflaneenden Mediums
in g cm',
der Schallwellenwiderstd in g/(cm' . a) ( f i r Luft 43,
fur Wasser 1,5 IW),
die Komponenten der Schallschnelle in cm/s,
die einseitige Oberflhhe der im Brennpunkt vibrierenden Kugel
in cm' und ihre maximale Badialgeeehwindigkeit in cmp,
die niarimale Auelenkung der Kugeloberflhhe nus ihrer Gleichgewichtslage in cm,
die Entfernung eines Aufpunhtee vom Brennpunkt iu cm,
die Schalleiatung in g.cm'/s* = erg/s,
die Romponenten einea Aufpunktes in Zylinderkoordinaten,
die Komponenten eines Aufpunktes in den Roordinaten eines
Rotatiomparaboloidea,
der Festwert der Koordinste q fur dasjenige Paraboloid, das die
innere BepncungefIlLche des Horns bildet,
der Schallwellenwiderstand fur die n te Teilwelle im Horn,
eine der unendlich vieleu Wurzeln der GI.
- i o t ) dae
-
m'!'),(1%
2iq0/ci
=
u
mit
n =
1, 2, 3 . .
.,
der Zshlenfaktor von K r o n e c k e r mit dem Wert 0 fur n + p
und dem Wert 1 fur n = p .
28'
424
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 42. 1942143
1. Dna Ziel der Arbeit nnd die Urundgleiohnngen due Sohall8
Das Studium der Qesetze, denen die Ausbreitung der Schallwellen in langgestreckten Hohlrlumen unterworfeu ist, geetaltet sich
am einfachsten an Hand der von A.G.Webster1) eingefuhrtan Betrschtungsweise. Die grofle Durchsichtigkeit, die diesem Verfahren
anhaftet, wird im wesentlichen dadurch erzielt, daB die Druckschwankongen im Horn als nur von der Ungskoordinate ab.
hangig betrachtet werden. Ee versteht eich von selbst, da0 die in
dieser Annahme steckenden Vorauseetzungen nur bei groflen Wellenliingen und bei geeignetar Anregung mit ansreichender An niihernng
erftillt sein werden. I m Hinblick auf die leichtq Handhabbarkeit und
die gro0e Anpaesungefahigkeit dieser Methode an die verechiedenen
Hornformen nimmt man jedoch die mit der nur niiherungsweiee
richtigen Beschreibung verbundenen Nachteile gern in Kauf.
Bei der standig zunehmenden Bedeutung der gerichteten Abstrahlung von Wellen aller Art wird es jedoch notwendig, die
Gesetze der Schallfortpflanzung in den Hornen genauer kennenzulernen nnd zum mindeaten fiir die wichtigsten Formen solcher
Hohlkiirper einen tieferen Einblick in den Ausbreitnngsvorgang zu
gewinnen. Bei dem Ausbsu eiuer solchen verecharften Theorie wird
man sich natilrlich mit dem Grade der Strenge begntigen dllrfen, wie
er in der Annahme blofl linearer Storungsglieder im Qleichgewicht
der Luftteilchen zum Ausdruck kommt. Im fibrigen aber braucht
man bei der Ausgestaltung der strengen Theorie dann nicht mehr
dabei etehen zu bleiben, dafl fur die betreffende Hornform lediglich
die verschiedenen Arten existenzfahiger Wellen beetimmt werden,
sondern man kann dariiber hinaus auch den Einflut3 der Anregung
auf die Entatehung der einzelnen Teilwellen untersnchen.
I n diesem Sinne wurde vor einiger Zeit bereita an anderer
Stellea) vom Verfasser das Schallfeld in einem kegelfiirmigen Horn
berechnet, wenn die Schallschwingungen von einer in der Spitze
des Kegels angeordneten, vibrierenden Kugelklappe angeregt werden.
Selbstverstiindlich unterrichtet eine eolche weitergehende Untersuchnng zugleich auch ilber die besondere Frage nach dem in
einem Kegelhorn anftretenden Wellentypus, die vordem fiir eine
stehende Schwingung bereite von V . k H o e r e c h s ) beantwortet worden
war. F u r das rotationshyperboltkche Horn sind die darin existenzfahigen Wellentypen im Zuaammenhang mit der Frage nach der
akustiechen Impedanz eines solchen Horns von J. E.F r e e h a f e r 4 )
untersucht worden. Der EinfluB der Anregung auf das Zustandekommen der einzelnen Teilwellen wird in diesem Aufaatz nicht
behandelt. In beiden Arbeiten wird in der fiblichen Weiee das
H . ~!Iuchholz. Die Audweibuny derSchalkoeUen in oinem H
m
UM.
4%
Horn ale nnendlich lang nnd seine inaere Begrensnngefliiche ale
vollkommen starr angeeehen.
Die vorliegende Arbeit beechiiftigt eich unter den gleichen Vorlruesetzungen mit der Anebreitnng der Schallwellen in einem Horn
von der Gestalt einee Rotationsparaboloi~. Von der Schallquelle wird
die denkbar einfachete Annahme gemacht, daS aie an8 einer ,,atmenden'
Kugel mit der sehr kleinen Oberfiilche F 4nb' beetaht, die im Brennpunkt des Pvboloidee angeordnet iet nnd dort einmnige Schwingungen
mit der Kreiefrequenz w auefilhrt. Die GlrBBen V , nnd a der Schwingungehewegung, deren Redentqng aue der Liste der Formelzeichen hervorgeht, etehen dann bei einem Zeitgeeetz exp(- i o t ) in dem d m h
Gl. (1,l) beechriebenen Zusammenhang miteinander, wAhrend die
-
-
V . = - i o) . a
primilre Druckwelle, die eich von dem oezillierenden Kolben am
t
171)
p(c)(p,z)=-
'3.
. y I .F
21
efkR
.-B
(,-*re
I=
1)
in den freien h u m hinein ausbreitet, daa Gesetz (1,2) befolgt.
Ale den fir die Beechreibung des Schallfeldee maSgebenden SLolar
werden wir im folgenden den Druck p eelbst verwenden. Bei dem
angegebenen Zeitgeeetz ist er mit der Schnelle b fiber die (31. (1,3)
I1,3)
D =
-
1
(i Q~ c k)
. grad P
verknnpft, in der c po die Redeutung dee Schallwellenwideretandee
in der Wellenzone der freien Raumwelle h a t Aue den Gl.(1,2)
iind (1,3j berechnet rich dann eofort ftlr die Energiemenge, die
Fine frei im Raume etebende punktfarmige Schallqnelle je Zeib
(44)
LY
= ncp,.
( 'ir)'= m 3 - c p 0 . ( 2 a ~ ) x .z,
einheit in den h u m ablrtrahlt, der Ausdrnck (1,4), da die d u d
i1,5)
S'L =
p
a
bi. dt
ein Fliichenelement d F je Zeiteinheit in der zu ihm aenkrechten
Richtung N hindurchtretende Energiemenge dumb Gl. (I$) beetimmt ist. Der Drnck p eelbet hat die bekannte Wellengleichnng
xu erfiillen.
2. Die mathemabiaahs Formulierung der Aufgaba unter Benubung
rotrtiompsnbolotdiraher Hoordinaten
Zur Libsung der damit nmrieeenen Anfgabe verwenden wir dss
in Abb. 1 dargeetellte ~rotationeparaboloidieohe Bezngaeyetew der
6, q, q , daa zwar sin hmmlinigeo iet, in dem jedocb die yon
Pnnkt zn Paakt reriinderlichen Riohtungen, nach denen die 6, q
426
A m k n der Physik. 5.Folge. B d 4 2 . 1942143
nnd 'p bei jeweile alleiniger Znnahme weisen, etete dieeelbe Lage
zneinander haben wie die drei Acheen einee rechtwinkligen nnd
rechtehindigen Achsenkreozee. Mit den gewchnlichen C a r t e e iechen
Abb. 1. Die Lage der vemchiedenen Berogaeyeteme rueinander
Koordinaten 2, y, z stehen die Koordinaten Q, q , 'p in dem durch
das Gleichungesyetem (2,l) angegebenen Zueammenhang. Die GI. (2,2a)
Q*coe'p
2 ) / 5 * COB v,
(291a)
5
(291b)
c)
y = Q ein 'p = 2
p
-
w
) / f i e
sin 'p,
z=t-q
nnd (2,2b) beechreiben die boiden konfokalen Parabelscharen, die eine
beliebige, die z-Achse enthaltende Meridianebene aue dem System
der Paraboloide herausechneidet, in den Koordinaten Q , rp, z dee
zu (2, y ,z) gehorenden zylindrischen Koordinateneystema Um alle
Pntlkte dee h a m e durch die Koordinaten 1,q , pl zn erfmsen,
gentigt 88, die E , q das IntervaU 0 2 6, q < oc, und den Winkel cp
den Bereich O z ' p s 2 n durchlanfen zn laseen. Da alle Para-
H.~ w h l e~ . i Ausbreirvng
e
am schaawua in sinem H O W w. 427
boloide znr e-Achse symmeixisoh liegen und die im Brennpnnkt a = 0 erfolgende Anregung dee Schallfeldes dime Symmetric
R = 6 + q a ($ + z’f”
(273)
nicht start, so l i t sich voraussehen, das weder der Drnok p noch
die Schnelle b vom Azimutwinkel cp abhangen werden. Das gleiche
gilt von dem Anedruck (2,3)fb die Entfernung R eines beliebigen
Aufpnnktes mit den Koordinaten (t,q,’p) vom Brennpnnkt a 0.
Nach den obigen Definitionsgleichungen ist im tibrigen in der
rechten Raarnhblfta etets ,$>.I und in der linken stets g < q . Die
Punkte t = q liegen elimtlich in der sy-Ebene.
Bus den 01. (2,l) lassen sich sofort nach bekannten Begeln
die spliter beniitigtsn Beziehungen fiir die Qr8Be der Oberfkhenelemente und f a r die GriiSe der Komponenten des Vektore grad
herleiten. So gilt z. B. fih ein Flachenelement in der Obedliche
eines Paraboloides, fur das g = to ist, der Anadruck (2,4a). Die
Formel ftir d F , ergibt sich daraus dnrch einfache Vertauschung
-
(2,4a)
(2,4b)
der
lo und
+
dF€,= 2 ’ [to (60 .I)P* dlir * dcp t
dV= 2-(6+r/)-dt*d~.dcp
q. Fiir das Volumenelement besteht die Beziehnng(2,4b).
Es vergrii6ert sich also proportional mit eeinem Abstand vom Brennp u n k Far die drei Komponenten dee Vektors grad # in Richtung
zunehmender Werte von
6, q
und cp gelten die drei GCl.(2,6a,b,c).
Far die geometrische Dentung dieser nnd iihnlicher Beziehnngen
ist es anSerdem ganz ntitzlich, sich kkrzumachen, daS die auf der
rechten Seite der QL (2,5a, b) auftretenden Faktoren, wie die QL (2,6)
erkennen lassen, in anmittelbarem Znsammenhang mit dem Winkel /?
stehen, den die in einer Yeridianebene an die Parabe1 q = qo
gezogene Tangente im Berlihrnngspunkt (6, qo, 9) mit der a-Ache
(Va)
tg #L? =
(+)”a,
438
A m a h der Physik. 6. Folge. Band 42 1942143
bildet. Die Tatsache, daS her Winkel a, am den die im Punkt
(& qo, 'p) an die Parabel E = const gezogene Tangenta gegen die
z-Achse geneigt ist, die Gleichung
tg
a!
=-
(+)l'a
befolgt, besatigt die oben ausgeprochene Behauptung von dem
senkrechten Durchschneiden beider Parabelscharen.
Wegen 'der schon vorhin erwahnten Unabhhgigkeit der FeldgrijSen vom Azimutwinkel 'p mu6 sowohl der primiire als auch der
resultierende Schalldruck p $,q) auf Grund der bereits in der alteren
Arbeit angestellten Rechnungen der W ellengleichung in der einfacheren
Gestalt der G1. (2,7) geniigen. Dahinzu kommt &Is Randbedingung
die Porderung, daS an der inneren Oberfliiche des rotationsparaboloidischen Hohlraums, der von dem Paraboloid q P go gebildet
werden moge, die Komponente b,, der Schnelle, d. h. der durch
(31. (2,i'a) dargestellte Ausdruck, fur alle Werte von 6 und 'p ver-
schwinden muf3. Zufolge dieser Gleichung wird das auch schon
immer dann der Fall sein, wenn die Ableitung 8 p J q &lbst far
ein q = q 0 zu Null wird.
Fiir die Heratellung der Losung ist es auch im vorliegenden
Falle das bequemste, sich den gesamten Schalldruck im Innern
des Paraboloides zunschst in zwei Anteile zerlegt zu denken.
niimlich in die primare Druckwelle p@)(g, q) von (31. (1,2), die bei
einer Ausbreitung des Schalles i n den unbegrenzten freien h u m
hinaus in dieser Form allein auftriite, and in die reflektierte Druckwelle p ( r )(E, q), die ihr Zustandekommen lediglich dem Umstande vwdankt, dab die von der Schallqdelle ausstrahlenden Schallwellen an
der Begrenzung des Paraboloides q = q o ins Innere des Hohlraums
swckgeworfen werden. Von dieser reflektierten Druckwelle wird
zu verlangen sein, da6 sie iiberall im Innern, d. h. ffir alle S 0
und flir alle q mit O f q sqo,zu endlichen Werten fur den Druck
ftlhrt. Das gilt insbesondere far alle P u n b auf der &tationsachse des Paraboloides, fiir die q = 0 ist fiir alle 1 und 6 = 0 ist
far alle q dee Bereiches O z q go. Far das totale Druckfeld ist
sohlieSlich noch die Fordernng zu beachten, daS die von dern
tl. Ruchholz. Die Ausbreitung dm Schallwelkn.ineinem Horn urn. 129
Schallfeld mitgefuhrte Energie fur unbegrenzt zunehmende W e d
von
eindeutig einen von der Schallquelle fortwandernden Energiestrom darstellt.
3. Die Heratellung der LoEUUg
Xach dieeer Aufzahlung der E'orderungeri, die an die richtige
Losung zu stellen sind, wenderi wir uns der Herleitung der Loeung
selbet zu. Wir benotigen zu dieeem Zweck in erster Linie einer
geeigneten Darstellung des Ausdrucks :1?2)fur die VOII der Schallquelle erzeugte primire Druckwelle.
Nacli dem Vorbild des
Liieurigsvorgauges bei der uriter 2. behandelten Aufgabe liegt das
weseutliche Merkmal einer solchen Daretellung darin, daB sie die
fur die Dipolstrahlung charakteristische Funktion exp.:k
'!-
durch
eiue uuendliche Reihe oder durch ein Integral uber das Produkt
aus zwei Partiknlarlijsungen der Wellengleichung (2,T) ausdrlickt, von
denen jede nur vou einer der beiden Ortsvariablen und 91 abhangt. Eine Beziehung dieser Art ist vom Verfaseer bereits in
einer anderen Arbeit K, hergeleitet worden. Mit ihrer Hilfe l&St
sich die Gl. (1.2) fur die primare Druckwelle in der folgenden Form
schreiben:
I
" t 1-
I n (3:l) ist w:'[z;
die fur rerschwindende U'erte von z im allgemeinen singulare Losung zweiter Art der Differentialgleichnng (3,2),
die mit der Whittakereclien Funktion W s ,,,p(z) uber die GI. (3,38)
zusammenhangt.
(3.3 a)
w(Pl
" (4 =
[ ;:-) 'I. . w*,p/2 (4
9
:i,3 b
Fur die an der iunereri Obertliiche des Paraboloidee 2; = T , ~
reflektierte Druckwelle p r ) ( $ , >I) macheii wir im Hinblick auf GI. (3,l)
den Aneatz (44). Er enthklt an Stelle der Funktion w T d ( - 2iqk)
die Wellenfunktion erster Art n ~ ! :I~ 2iv,k\, die durcti die G1.(3,3b)
A ~ i i i a l r nder i'lissih.
G tolpe
42
29
.-Acon
I
(8) *
d8
n8
(o< a <
+)
defiaisrt ist. Sie iet daher ebenfalls eine Partikularliiaung der
Didksntidglsiohnng (3,2), jedoch hat diem Partikdarlbenng die
E&~enechrrR, fflr verschwindendes Argument endlich zn bleikn.
Damit d i U t uneer Aneatz zugleich die Forderung, d d p(')(E, q)
fflr q P 0 endlich bleibt.
Stellen wir nun mit Hilfe der QL(3,l) nnd (3,4) den Auedruck
ftir die totale Dmckwelle zueammen, 80 l a t eich der im vorigen
Abechnitt aufgeetellten Forderung (2,7 a) sofort dadurch genllgen,
+ A (8) .m'+ ,(-
2iq0k) = o
(3,4) anftretende unbekannte Funktion A @ ) die 01.(3,6)
erftlllt. Damit erhalten wir far den totden Druck im Innern dee
Rotationeparaboloidea q = qo voreret den Auedmck:
(SP)
d d die in
+*
w''O)(-
2iq0k)
(396)
- w(o)-,(-
(0 < o < +)
2ilk).ds.
Von' dem vorechriftsmaSigem Verschwinden der Ableitnng dpldr]
f a r q = qo kann man sich an Hand dieeer Qleichnng leicht noch
einmal uberzengen.
Wir machen nun an dieser Stelle von der wichtigen Beziehung (3,7)Gebrauch. Ein im vorliegenden Falle besonders einfacher Beweie d i e m Gleichung ist im mathematischen Anhang m
dieeer Arbeit angegeben. Der allgemein giiltige Beweis ist in der
Arbeit6) des Verf. zu finden. Wird das Vorzeichen vor dem
8
(3,7) m:('-
2iqk) =
+f )
);
c--.wl_O!(2iqk)+ e-.w+*((0)
2iqk)
n i (a
r
(+
-8)
n I(,-
r($
+8)
ersten Qliede rechte in das negative amgewandelt, so gilt die GI. (3,7)
auch fiir die Ableitungen der darin auftretenden Funktionen nach
ihrem jeweiligen Argument. Wir ersetzen mit Hilfe dieser Relation
die beiden im Zghler von (3,6) vorkommenden Wellenmnktionen
H.Buchholz. Die Ausbreitung
der Schallwelh in e i m Horn usw. 431
erster Art durch die der zweiten Art. Die gleichzeitige Berilcksichtigung der Beziehung
fiihrt dann von der G1. (3,6) zu dem etwas anders aufgebauten Ausb u c k (3,6a). Die hier im Integranden enthaltenen Funktionen w,
I
-o+im
sind in bezng auf s ganz und transzendent. Der Integrand von (3,6a)
und damit auch der von (3,6) kann demnach an Singularitiiten, die
im endlichen liegen, nur haben
1. die einfachen Pole der Funktion r s + - , die an den
(
1
Stellen s = - p - - mit p
2
=
0, I, 2, 3
. . . liegen,
9
und
2. die etwaigen Nullstellen der Funktion my: (- 2iq, k) in
bezug auf s.
Die unter 2. angegebene Moglichkeit, daJ3 die Nennerfunktion
von (3,6a) Nullstellen haben konne, ist nun in der Tat in Betracht
zu ziehen. Fur sehr groBe Werte von s mit Wes 0 ist nilmlich
m+,tz)-' (0)
(:)".(~z,
so da8 die zu erwartenden Nullstellen jedenfds einfacher Art sind
und bei einem Argument z = - 2 i q,,k in unendlicher Zahl fast alle
auf der positiv imaginiiren Achse der s-Ebene liegen. Dieses Ergebnis einer nur heuristisch zu wertenden Betrachtung wird durch
die genauere Rechnung besttitigt. An anderer Stelle5) konnte nilmlich
gezeigt werden, da6 fur mi'o'(zj mit s = i t und z = i c unter anderem
die folgenden beiden absolut und unbeschrankt konvergenten Reihenentwicklungen gelten: Es ist fur ein T > 0, 5 > 0 eder fur ein
r < O , :<0
A n n a h der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942143
432
nnd fiir ein t > 0 , j < O
oder T < O , < > O
?,s
Hierin sind bis zu
6 dieKoeffizienten i: durch die besondere G1.(3,9)
bestimmt. Ihr zufolge besteht z. B. yf) fiir il=3 nur aus drei Gliedern,
(3,9)
I
+O)
1
(<) =
(i)lfl
__ +
r(1+2)
2 1 - 5- .
10
($)I-'
3!(,1-i)!
-3 - 5 . 7~
1'- 2561 - 129
+ 28
-.
(+)A-3
~ .
5!(1-$)!
.
+ ~6.13-1188.rl*+3082~1-7035
.
7!(1-5)!
--
.qq
5'
'
da (- 2)! unendlich groS wird. Nacb den GL (3,9) hat demnach die
Funktion m;:)(i<) rein imaginiire U'erte, und es ist im besonderen an8
Gl. (3,9 b) sofort zu ersehen. dab die groSen Wurzeln von mi (i 5)=0
in bezug a d T im wesentlichen durch die Nullstellen der Besselschen F'unktion Jl bestimmt werden. Natiirlich hangt die genauere
Lage dieser Wurzeln gleichzeitig von 5 ab. Welcher Art diese Abhiingigkeit ist, l&St die G1. (3,lO) erkennen, in der jlneine der
1"'
unendlich vielen gro6en Wurzeln von J, (z) = 0 ist. Fur die direkte
Berechnung der ersten Wurzel zl' scheint es eine allgemeine Beziehung einfacherer Art nicht zu geben. Jedoch kann man iiber sie
die allgemein gUltige Aussage machen, daS tl' fur ein < S O die
einzige nnter den unendlich vielen Wurzeln T; der G1. mlr)(i5 ) = 0
ist, die das gleiche Vnrzeichen wie 5 hat. Alle nachfolgenden Wurzeln
haben das entgegengesetzte Vorzeichen wie 5 und nehmen dann
ihrem Betrage nach an GroSe stiindig zu. Fur die Berechnung
von t,' als der wichtigsten W-urzel besteht nach dem Gesagten keine
andere Moglichkeit als die der schrittweisen Annaherung. Die Reihe,
die dazu am vorteilhaftesten benutzt wird, gibt die G1. (3,ll) wieder.
I n ihr ist das unter dem Summenzeichen auftretende Produkt fur 2. = 0
einfach gleich 1 zu setzen. Der allgemeineverlauf der Funktion m;(p)(iC),
3 nach G1. (3,11) errechnet und der zugleich
der sich im Bereich I T I
-
H . Buchholz. Die Awbredung der Schallwellen in knem Horn w . 499
Abb. 2. Perspektivische Darstellung der k'unktion
(;I
2
ir
' P
.
7, m : y t i ~ )
ein erstes, wenn auch noch sehr verbeseernngebediirftiges Bild von
der Lage der Nullletellen liefert, ist in sogenannter perepektivischer
Daretellung ane Abb. 2 zu ersehen. und zwar fur die Parameterwerte j = 0, 1, 2, . . . 6. Der Hefriedigung gro6erer Ansprilche an
(lie Glenauigkeit. ah sie die Zeichniing zu gewahren vermag, dient
434
Anndsn der Physik. 5. F o b . Band 42. 1942143
Tabelle 1
Tdel der F'unktionmrerte von
I
sugleich
Fkt.-Wert 7
2
3
4
6
-- 0 , m t 0,42689
0,24085 - 0,07712 - 0,23281 - 0,18381
-3,0
-0,41782 t 0,30946 + 0,31940 + 0,07915 - 0,13274- O,XM78
-2,5
-2,0
-0,56027 + 0,13386 + 0,31184 + 0,20931 + 0,02036
0,12828
-0,63739
- 1,5
0,01431 + 0,20166 + 0,25251 + 0,16525 + 0,04156
1,O -0,61717
0,26625 + O,o0202 + 0,15859
0,20546 + 0,16601
-0,4W9
0,35647 - 0,21494 2 0,06777 + 0,06611 + 0,13611
-45
-0,12113 - 0,22003 0,27897 0,28836
0,24865
0,16953
*O,O
+0,45727
0.33634
0,33049 + 0,13445 - 0,10105
0,52939
+0,5
+1,34052 + 1,55810 + 1,68179 + 1,36586 + 0,90137 + 0,23746
+I,O
3,82446 4,96719 + 5,76625 + 6,01365 + 5,49712
+2,80814
+1,5
+4,34471
7,61989 +11,63415 +15,9989 + #).0899 + 23,1343
+2,0
+6,66146 +13,57127 +23,6625 +36,8762 + 52,57345 + 69,3319
+2,6
+9,67811 +22,5290 +43,9659 +76,0741 + 119,981 +I75244
+3,0
1
1-5-
+
-
-
+
+
+
-
+
-
-
-
+
Tdel der d e n drei Nullstellen
, 4,
von mi
--~
0
+ 0,12361
+ 0,26004
+ 0,40715
+ 0,57031
+ 0,74854
+ 0,93881
_. _ -aJ
- 3,6893
- 1,6756
- 0,9956
- 0,6310
- 0,3957
- 0,2236
io)
(i c)
~
-~
- _.
- __
-a
- 12,92
-
5,99
3.84
2,75
- 2,06
-
1,58
die voretehende Tab. 1, die die Funktionewerte von m;(10)(ic)inner-
<
halb dee gleichen Bereiche von r nnd mit einer Genanigkeit von
6 Dezimaletellen bringt. Uraprtinglich ist sie bis zu 7 Dezimalstellen
vorgetrieben worden. Die darans dnrch Interpolation beetimm'ten
drei m t e n Nullatellen r,', r,' und r i sind in der Tab. 2 znsammengestellt, nnd zwar sind sie angegeben mit einer Qenanigkeit bis zn
5 Dezimaletellen bei rl', bie zn 4 Dezimalstellen bei r i nnd bia
a d 2 Dezimaletellen bei rS'. Die Abb. 3 gibt die Lage der drei
eraten Nullatellen ron m;r)(i<) znm Zweck einer eraten rohen Interpolation a d Zwischennerte von 5 graphisch wieder. Aua Abbildung
und Tafel geht in gleicher Weiae bervor, daO far ein 5 > 0 mit znnehmender Ordnaognzshl n die Wurxeln r,' +- co gehen. Fiir
'5 < 0 branchen lediglich die Vorzeichen der Wurzeln nmgekehrt zn
refden.
H . Bwhholz. Die Ausbreitzsng det SchallmUen e;7a eCem Horn taw. 4%
Aus den G1. (3,9a, b) nnd (3,11) ergibt sich im tibrigen fiir 5 - 0
tibereinstimmend der Wert
'(0)
Emir ( i < ) ~ ~=-is.
=,,
wiihrend m z (0)= 1 i s t
(3,lla)
(5) .
'ir
+7
-44
-4 6
-08
-?4 /
-2
Abb. 3. Der Verleuf der l., 2. und 3. Nullstelle von
(y. L
at
m!w (it)
11
in Abhhgigkeit von t im Bereich 0 2 5 S 6
F >7
In der Integrddarstellung (3,6)liegt eine ganz allgemein giiltige
Form fiir die Lasung der hier zur Behandlung stehenden Anfgabe
vor. Wir leiten zunachst aus ihr eine Reihenentwicklung her, die
fur das eigentliche Paraboloidhorn mit 6 > 7 giiltig ist.
Nach den obigen Ausfiihrungen ist es als erwiesen anzusehen,
da6- der Integrand von G1.(3,6a) und damit anch der von (31. (3,6)
rechts vom Integrationsweg nur die unendlich vielen, einfachen N d stellen s = i in
der im Nenner auftretenden .Funktion my: (- 2i q#
als Pole hat. Sie liegen wegen <=- 277" k mit q,,> 0 mit Ausnahme von t,'< 0 durchweg auf der positiv imaginaren Zahlen3,l. D i e R e i h e n e n t w i c k l u n g e n d e r L o s u n g im R e u m t e i l
A n n a b der Physik. 5.Folge. Band 42. 1942la3
456
achse der s-Ebene. Wir denken uns nun den Integrationsweg von (3,6)
gemaS Abb. 4 in der recbten s-Halbebene durch den aehr weit enifernten Balbkreis s = s]. eix mit 1x1 5 2. zu einem geschloesenen
,
2
Integrationsweg erganzt. Dam verschwindet anf diesem Wege fUr
alle 6 > q der Integrand von (3,6)exponentiell. Fur den ersten
Abb. 4. Der Integrationsweg des Integrals von GI. (3,6).
Bei SchlieBung des Integrationsweges durch den rechten Halbkreis
enteteht die Reihenentwicklung (3,12),
bei SchlieBung durch den linken Halbkreis die Entwicklnng (6,l)
Summand des Zgihlers folgt dies aus der Tatsache, daS er sich nach
den Angaben in der friiheren Arbeit des Verf.3 asymptotisch im
wesentlichen verhilt wie
( - .2 - v 2 q k . Is1. sin (9- ): - 2 . i%&w[*
cos (% - :)}
~~
exp
Ds nun z. B. fiir 0 < x
im ganzen Quadranten Btets
H . Buchholz. f i e Ausbreitmg der Schallwellen an einem Horn usw. 457
ist, so hat fur ein 6 > 7 der Exponent in der Tat stets negative
Werte. Zu dem gleichen Ergebnis fuhren die Betrachtungen am
zweiten Summanden des Zahlem unter dem Integralzeichen von (3,6).
Das erkennt man hier sogar ohne eine neue Rechnung, denn der
Bestandteil mT)8( - 2i 11 k) w(OJ8
- (2i 6 k) dieses zweiten Summanden
1st derselbe wie in1 Integral (3,l)und von ihm ist bereits an anderer
Stelle5) gezeigt worden, daB er fur ein 6 > q gleichfalls exponentiell
verschwindet. Der eu6erdem im zweiten Summanden steckende
'(0)
Quotient
-w{G
h d e r t wegen der gleichen Werte der Zeigervariablen
m+ 8
und des Argumentes an diesem Verhrtlten nichts. Somit ist es also
in der Tat ohne Wertanderung des Integrals (3,6) statthaft, zu dem
parallel der imaginflren Achse verlaufenden Integrationsweg von (3,6)
auch noch den unendlich fernen Halbkreis der s-Ebene hinzuzunehmen.
Auf Grund dieser Angaben konnen w i r dann aber wegen der
Eindeutigkeit der am IntegrationsprozeB beteiligten Funktionen auf
das Integral (3,6) den Residuensatz von Cauchy anwenden. Wi,
werden dabei wie schon vordem die Nullstellen des Nenners gema6
der G1. (3,14)mit s = ir,' bezeichnen und erhalten dann ohne jede
weitere Schwierigkeit aus (3,6)fiir den Druck p (& 7) im Raumteil 5 77
die folgende erste Darstellnngsform in Gestalt einer absolui mvergenten Reihe:
4nceCl
. v z .F
12
Nun ist aber anf Grund einer schon friiher5) bewiesenen Beziehung
fiir jedes beliebige 2 und if:
(3,131
my
. wr'(z) - mp)(2) . w' to' (2) =
(2)
n
2
.j
-1
Setzt man hierin Y = i T n ' und z = - 2iq0 k, so laat sich in Rucksicht. auf (3,14) der erste Faktor hinter dem Summenzeichen in (3,12)
488
Atrndcn der Phyeik. 5. Folge. M 4 2 . 1942143
d u d den reziproken Wert von mZa (- 2 i q 0 k ) ausdrticken. Beachtet
man ferner noch die Ql. (3,16), so erhklt man neaerdings ale ztwib
Dmtelluugsform fUr p @, 7)den Auediuck:
Wir merken an dieser S u e sogleich noch eine b i h e von
Formeln an, die in Rackeicht anf die namerieche Berechnnng der
in (3,16) aaftretenden finktionen sowieeo mitgeteilt werden maStan.
Die ersten drei dieser Formeln bilden das Gegenstclck ZP den schon
frlther angegebenen GL (3,9a, b) und (3,ll). 9ie lauten
nit der bia zu 1
7 Ntigen Definitionegleichung
I t \.1
Anbrdem hat man noch die Beziehung:
1 t \*-4
H.Buchholz. Die Ausbredung
des SchdlweUen in einem Horn taw. 439
In h r wie in der entspreohenden GI. (3,ll) ist das unter dem Snmmenzeichen auftretende Produkt fiir A = 0 gleich 1 zu setzen. 1st e n t
gegen der zu Q1. (3,18) gemachten Angabe r < 0 , so W i t m a n dem
am einfachsten dadurch Rechnung, dat? man in (3,18) r m d 5 mit
den entgegengesetzten Vorzeichen einsetzt , ah sie in Wirklichkeit
haben, denn die F’unktion m
): (i 5) iindert ihren Wert nicht, wenn r
und 5 gleichzeitig ihr Vorzeichen wechseln. Die den 01. (3,17a, h)
nnd (3,18) entsprechdnden Beziehnngen fiir die in (3,16) vorkommende
Ableitung von m z (ic)nach T und 5 wird sich der Leser eelbst heretellen kiinnen. Statt dessen bringen wir hier noch die Entwicklung (3,19) fiir w z (i 5). Sie steht in ihrem Anfbau in Parallele
zur (31. (3,18), und sie ist wie diese zur nnmerischen Berechnung
geeignet, eolange etwa T < 3 . . 4 und 5 < 6 . . 7 ist. Um den
Fall z < 0 zu beherrschen, bedenke man, daS bei einem gleichzeitigen Vorzeichenwechsel von r und g die Funktion w z (ig) in die
konjugiert komplexe GroBe iibergeht. Alle hier mitgeteilten Reihen
sind im ubrigen in bezug auf t nnd 5 absolnt und unbeschriinkt
konvergent.
Aus den 01. (3,17) nnd (3,18) fiir die Funktion m;: (ig) geht nun
aofort hervor, daS jedenfalls in dem zum Raumteil 5 > q gehbrenden
Abschnitt der Psraboloidachse der Druck p ( I , q) tatsachlich endlich
bleibt. AuSerdem erkennt man an dem Anfbau der einzelnen
Reihenglieder von (3,16b da6 p(E, q) 6 0 W O h l mit z = 2i 1k als auch
mit z = - 2 i q k der Differentialgleichnng (3,2) firr p = 0 und damit
.
.
+
440
Anmkn der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942143
auch der Wellengleichung in den Koordinaten eines Rotationsparaboloides geniigt. Ferner ist gewiS fur q = I],, wegen (3,14)
auch b,= 0. Demnach haben wir nur noch zu priifen, ob die
Losung (3,16)fiir g-+ r, auch der Ausstrahlungsbedingung geniigt.
Dieser Nachweis ist als erbracht anzusehen, wenn sich zeigen lafit,
da6 fiir E d 0 0 das Druckfeld im Paraboloid im wosentlichen aus
vom Brennpunkt forteilenden Wellen besteht. Nun ist bekanntliche)
fur 6 --t 0 0 :
i-
2! (- 2iE k)”
Da wir nun unseren Rechnungen das Zeitgesetz exp (- i mi) zugrunde gelegt hatten, so stellen die einzelnen Glieder der Reihe (3,16)
tatstichlich ein in Richtung zupehmender Werte von 8 fortschreitendes
Wellensystem dar, und wegen der. absoluten Konvergenz der Reihe
gilt dasselbe dann auch von dem Wellenaggregat. Die Losung (3,16)
erfiillt demnach wenigstens im Raumteil E > q alie an sie zu stellenden
Fordernngen. Auf die Verhaltnisse im Raumteil 6 < q werden wir
noch in einem spateren Abschnitt zu sprechen kommen.
4. Der Energieatrom im Paraboloidhorn
Ehe wir darangehen, die Aussagen der Losungsgl. (3,16)nach
ihrem physikalischen Inhalt zu erortern, empfiehlt es sich, erst noch
die Beziehungen fiir den Energiestrom im Horn aufzustellen, da sie
das Bild der Schallwellenbewegnng wesentlich vervollstandigen. Wir
sind dabei in erster Linie an der GroSe der Energiemenge interessiert,
die in der Zeiteinheit durch einen beliebigen Querschnitt des Horns
hindurchbefdrdert wird. ZweckmaBigerweise bestimmen wir diesen
Energiestrom nicht fiir einen zur Achee des Paraboloides senkrechten
Querschnitt, sondern fiir eine beliebige, aber feste und unveranderliche Paraboloidflache 6 = const. Nach den Gl. (1,5) und (2,4a) ist
nun die sekundlich durch diese Paraboloidflache hindurchtretende
Energiemenge allgemein durch den Ausdruck gegeben:
H . Buchhok. Die Awbreituray der Schallwellen in einem Horn usw. 441
Geht man hierin mit der G1. (2,5b) ein und fuhrt gleichzeitig die
Integration uber
aus, so erhalt man nach einer naheliegenden
Vnriablentransformation fur die in Rede stehende Energiemenge den
Ausdriick:
Nun gilt aber fur die in (4,la) vorkommende Ableitung des Dmckes,
d a die FuLktion m im Gegensatz zur Funktion w gegen einen gleichzeitigen Vorzeichenwechsel von Zeiger und Argument unempfindlicli
ist,, die Beziehung:
.-
a p t t , q) -
Qo
-i
2 i-71(,
a(2kEr
v:.F
.2r (2,--
- i .P)
p-1
rn""
-1r
+ 2 i rj ic) * w:"!'( + 2 i E k )
,
p
~~~
~~~
([I\
mi,;,(- 2 i r / , , k ) .
I
'
a m.i"/r(2:
~~
~
[
w, ; . i ,
I
-I
I
rn
i i < \ . m ' O- 1' r ,, l i , f . d , = -
h
71 Y
. (E > 91)
~~~
k)]
aT
~~~~
U'egen der Orthogonalitatseigensc!iitften
Funktion ni ist. aber andererseits 5 \ :
\4,q
~~~~~
* = T
P
der hier benutzten
. ~ i ~ t , !~O > . 1 1 ~ - ~ ~ ~ ( 2 i
. [ 6 m ~ ~ r ~ ~ i k1q , , )
~~
51
~~~~
j.=.b'
Fur dic in der Zeiteinheit durch die Fliiche des Paraboloides
const hindurchbeforderte Energiemenge entsteht demnach endgultig der folgende, im allgemeinen komplexwertige ilusdruck:
6
=
Die Nenner sind in dieser Reihe absichtlich auf eine Form
gsbracht worden, in der sie Liir alle 1 2 als rein realle Zahlen erscheinen.
Ehenso ijt auch der Faktor ror dem Summenzeichen von (4,3) stets
rein reell. Er l5Bt aich noch einfacher schreiben, wenn die Schallleistung Ti (Z1 t i ) aiclit in ihrer absoluteu GroBe, sondern im Verhaltnis
mr Schalleistung L, von Gl. (1,4) angegeben wird, die unter gleichen
Redingungen iiber F und T'z voii der Schallquelle in den freien Rauiii
hinausgesan!!t u i d . Danu lautet die GI. (4,3) wie folgt:
Armdcn der Physik. 5.Folge. Band42. 1942p.3
442
Fiir l-+ 00 strebt dieses Verhiiltnis gegen einen reellen, von
nnabhiingigen Grenzwert. Nach GL (3,20) hat man niimlich
1
w(O)
- i r , (2iEk)
I
8
,
-+( ~ ) " 1 . e ' ~ k . ( - 2 i ~ k ) - ~ - ~ r n
nnd also
Fur den Energiestrom im Unendlichen gilt daher im besonderen die
reellwertige Beziehnng :
=
-
nl
~.
8 'lo
Bei der Benrteilnng der Gro6enverh&ltnissezwischen den einzelnen
Qliedern der Reihe ist zu beachten, dab von den T: allein T; < 0 ist.
me folgenden Wnrzeln sind grij6er als Null und nehmen Dach
GL (3,lO) urn so schneller an QriiBe zu, je kleiner 27j0 k ist.
5. Der Bohallwellenwiderstsnd der einselnen Teilwellen
nnd die physikralleche Diakaseion der L6ann.g
'
Nach der GL (3,16)setzt sich im h u m t e i l > q das gesamte
h c k f e l d im Paraboloidhorn aus unendlich d e n Teilwellen zusammen.
Fiir jede einzelne von ihnen berechnet sich die Abhangigkeit des
Drncks von den beiden Ortsveranderlichen 5 nnd 71 gems6 der QL 6?1),
w&hrend die Amplituden P, der Teilwellen bei der hier angenommenen
Erregung des Schallfeldes durch eine im Brennpunkt angeordnete,
(6,l)
.
p(")(E,q)= Pn mi:;(-
-
2i71k) )!w
' ,(rn
2iEk),
8 > 7)
H.Buchhdz. Die Ausbredung der S W k w u S n in einun Hom u m . 448
,,abendeu Kngel eich an8 der (31.(6,la) beatimmen laeeen. Filr
die beiden Komponenten b( und b9 der Schnelle beetehen a d Qrund
der QL (1,3) und (2,5a, b) die Beziehnngen (6,2a, b).
Fur den Schallwellenwidemtand der n-ten Teilwelle in Richtnng
znnehmender Werte von gilt mithin die Formel (5,3), der zufolge dieeer
("
Widerstand von dem Faktor
Koordinate 6 abhangt. Fur
die GI. (5,4a)
6
r
')
00
)'"
abgeeehen allein von der
berechnet sich darans eofort
Sie lehrt, daS in sehr grober Entfernung von der Schallquelle der
Schallwellenwidemtand mr alle Teilwellen praktisch denselben Wert
hat wie fiir die freie Ranmwelle. Er besitxt dort jedenfalls nur noch
eine sehr kleine induktive Komponente. 1 s t anderemeits sehr klein,
so berechnet sich an8 (31. (5,3) nahernngsweiae die Formel:
2-
(5.1 = - i [& (E + .~)l"*
k.
a
In diesem Fall wird also .zn(8)ftir einen genfigend kleinen Wert
von 6 eine vorwiegend imaginiire, wenu auch nur eehr kleine Qriltle.
Die Berechnnng von q,@) fiir mittlere Werte von kann jederzeit
mit Hilfe der schon friiher mitgeteiltan Formeln dnrchgefUhrt werden.
Es zeigt sich dabei, dsS sich bei Zunahme von 6 der tfbergang des
Schallwellenwiderstandes von einem weeentlich imaginlren Wert zn
einem wesentlich reellen hanptsachlich in dem Bereich vollziehf in
dem 26 k angenahert gleich q,' ist.
Der Ausbreitungemodns der unendlich vielen Teilwellen kommt
nach G1. (3,20) fiir jede von ihnen, wenn man eie nnr geniigend weit
bei ihrem Lauf durch das Horn verfolgt, schlie6lich immer mehr dem
einer mit der Geechwindigkeit c fortschreitenden ebenen Welle beliebig nahe. Dabei geechieht'der Angleich in um so entfernteren
44
Annalen der Pkysik. 5. Folge. Band 42. 1942143
Teilen des Horns, je hoher die Ordnungszahl n der Teilwelle ist.
Eine Diimpfung weisen sie in diesem Teil des Horns nicht mehr
ad: wohl aber nehmen bei der hier vorausgesetzten Art der Anregung ihre Arnplituden ziemlich stark mit der Ordnungszahl ab.
Weit weniger leicht ist dns Verhalten der Teilwellen in der Niihe
dee Brennpnnktes zu iiberblicken. Kur bei den Teilwellen der
niedrigsten Ordnung besteht auch hier schon eine Ahnlichhit mit
dem .Ausbreitungsvorgang .einer ebenen Welle. Auch dies laLlt hich
aus der G1. (3,20) ablesen. Fur die Teilwelle niedrigster Ordnung
ist z. B. nach Tafel 11 bei einem negativen Wert von = - 271, k
mit I j l < 7 rl' selbst negativ und absolut kleiner als 1. Bei einem
Aufpunktsabstand f vom Brennpunkt in der GroBenordnung einer
Wellenlange, fur den also 2 5 li = 4 n .
f schon
gro6er als 19 ist,
stellt dann aber fiir diesen M-ert von 5,' die asymptotische Eutwicklung (3,20)schon eiuen recht brauchbaren Naherungsausdruck
dar. Wir konnen mithin sagen, da6 sich die niedrigste Teilwelle
im Horn, die wir die Hauptwelle nennen aollen, schon in Brennpunktabstiinden von einer Wellenliinge, und noch mehr nattirlich in
gro6eren Abstiinden, sehr ahnlich einer freien Raumwelle verhalt..
Dasselbe gilt nach Tafel LI ini wesentlichen auch noch fur die
Teilwellen der 2. und 3. Ordnung. aber hier doch nur rnit der physikalisch bedeutsamen Einschrankung, daB dabei zugleich die R e r t e
von 5 = - 2 ?lo k einen gewissen Absolutbetrag nicht unterschreiten
durfen, da sonst die zugehihigen Wurzelwerte r2' und r3' zu gro6
werden, um fur den ge~iihltenWert von 25 k fur G1. (3,20) noch
brauchbar zu sein. Fiir ein und dasselbe Horn liegen also mit
anderen Worten die in Wellenlangen gemessenen Brennpunktabstande,
von denen ab sich die Teilwellen rnerklich nach Art freier Raumwellen ausbreiten. urn so weiter auseinander, je groSer die Wellenlange der aufgedriickten Schwingung ist.
Um das Verhalten der Teilwellen in den brennpunktsnahen
Aufpunktbereichen beurteilen zu kiinnen, in denen die Darstellung (3,20)
wegen zu groBer Werte von rn' gegenuber 25 k versagt, la6t sich
der Ausdruck (5,5) verwerten, fur dessen zweckmiifiige Anwendung 2 5 k
klein nnd r' groB sein muS. Seine Herleitung und die Bedeutung
der darin vorkommevden Funktionszeichen ist au6 dem Anhang zu
H . Huchholz. Die Ausbreitccng der SchallweUen i n eanein Horn
USU~.
145
ersehen.
I n der dort angeschriebenen GI. (A131 sind a u c i
die hoheren Glieder der Entwicklung angegebeb. S u s der GI. (5,5)
ist nun aber sofort zu ersehen, daB bei gro6en Werten von T die
(- 2 i t k) als die zur Funktion w("~' 2 i 6 k) koujugiert)
Funktion
komplexe GroSe noch in keiner Weisz den fiir eine fortschreitende
Welle typischen apalytischen Aufbau besitzt, sondern weit eher den
einer aufgestauten und somit fast st,ehenden Welle.
Bei der Untersuchung des Ausbreituiigsvorganges der Schallwellen
i n einem Kegelhorn2) hatte sich ergeben, daB hei der Teilwelle
niedrigster Orduung der Druck nur ahhangt vom Radiusvektor r ,
so da6 also in diesem Falle auch die Schnelle durcliweg nur eine
radiale Komponente besitzt. Die siiingemiiBe ~ b e r t r a g u n g theses
Ergebuisses :Luf den vorliegeaden Fall wiirde darauf hinauslaufen,
da13 auch im Paraboloidhorn bei tler Hauptwelle die Hewegung der
r i
leilchen stets derart erfolgen rniifite! da6 b, niclit bloH am Rande,
sondern auch fur alle 7; < t r n verschwiudet. h'ach GI. (6.211)ist dies
aber keineswegs der Fall, und da das gleiche aucli fiir das hyperI ~ J so darf man iinraus allgemein schlieBen! da6
bolische H O ~ I gilt,
bei allen Hornen mit krummliniger Regrenzung aush schon bei der
Hauptwelle Teilchenbewegungen senkreclit zur Hegrenzungskoordinate
vorkomm -7. Wohl aber besteht iu anderer Hinsic'ut eine weitgehende
$nnlogie mit den Verhaltnisseu im Kegelhorn. Auch in1 vorliegenden
Falle giht es niinilich fur beide Komponente~~
der Sc,hnelle cine mit
')(
i n T~' linear zunehmende %ah1 vun linotenflachen in Gestalt von
Sotationsparaboloiden ?;
't;,,! in denrn die scha-:ngenden Teilcben
a u tlem z'i der betrefenden 'l'eilwelle gehorenclen J3ewegungsLiodus
nicht teilvehmen. t ) a s zeigt am iihersichtlichsten die Abb. 3. Geht
man hierin etwa von der dritteu Teilwelle ans und macht die Annahme, daB unter den vorliegenden Verhaltnissen 2 k !lc gerade ddn
Wert 4:42 hat, so ist uacb Abh. 3 tn'= tg'= 2,24 zu setzen, damit
durch diese M-ah1 yon tg' erreicht wird, daB die Paraboloidflache
'
7'
lo
- 4'42
- (2kJ
die
innere
Begrenzungstlache
eines
l'araboloidhorns
abgiht. Nun verschwindet ahcr fur den gleichen Kel-t ron tg'die
Funktion mi:'(2 i 7 4 und dariiit auch tj, bei stetiger Abnahme
3
von 7; noch ein zweites Mal. iiiltl zwnr tiitt das iiach Ahh. 3 ein,
wenn 7, den Wert 2,4/3 k erreicht. \Tegen*des Faktors ,r;'* in G1. (5,2 b)
verschwindet dann b7 fur 7; = 0 noch eiii drittes Ma]! jedoch gilt
dies nicht vou der Funktion
IU:('!'(--
2 i q k), wie die G1. (3,t l a )
'3
erkennen la&. Mit dem Verhalten der Funktion mi?'( - 2 i q k ) steht
3
Annalen der Physik. 5. Folge. 1 2
30
446
Armabn &r Phyrik. 5. F o b . Band&. 1942143
d.s der Funktion mig,!(- 2iq k) in dem bekannten ZdrwIluaenhan&
d& deren Nullwerte &rischen denen der zumt genannten F'unLtion
liegen. Diem QeeetzmHBigkeit 1 3 t eich anf der Qmndlrrge der
Starm-Lionrilleachen Theorie der Eigenfnnktionen aach allgemein
formuliaren. Dae chaiaLterietieche Merkmal der Hwptaelle id
danach in erster Linie 'in den beiden Eigensch.Rsn zn erbliclren,
d d far eie die Komponente b,, der Schnelle a n b r in der Bep p m n g d b c h e dee Horns sonet nirgende verechwindet and daB der
tn ihr gehhnde Eigenwert T~' ftlr q -+ 0 eelbat zn Null wird.
6. M o B o i h o n o n ~ u n g&r Lzi.png im B.pmt.il€ < q
h i der Angabe der Meung in Form einer mendlichen Beihe
hatten air ME bieher aneechlieBlich auf den Bsumteil > q beschrknkt, d. h. auf den Ted, der die h o r n d g e Verlgngemg der
ftir gewbhnlich ale Parabolepiegel bezeichneten Kappe des Paraboloidee
bildet. Wir nenden an8 nnnmehr dem nnr begrenzt grohn Ranmteil & < 9 zn, der zum eigentlichen paraboliechen bleflektor gehbrt. Die
btegddarutellnng (3,6)der Lbenng gilt f i r beide hnmteile, md art
die Auflbenng dieeee Integrals in eine Reihe macht ee, wie wir geeehen
bben, notwendig, zwiechen den beiden FHllen 6 Z q za untarscheiden.
Ist nHmlich entgegen der bisherigen Annahme & < q, 80 iet ee nicht
mehr titatthaft, den offenen Integrationsaeg der GL (3,6)durch den
unendlich fernen Etalbkreie der reclJcn s-Halbebene zu schlielbn,
weil a d ihm mter dieeer gegenteiligen Voraneeetzung der lntegrand
expogeutiell Mendlich w i r d Stattdeesen bietet eich flLr ein 6 < q
die Y6glichkeitdar, den Integrationeweg von GI. (3,6)durch den nnendlich fernen Halbheie der Zinkcn s-Etalbebene zu eehliekn. Das
folgt wiedernm aue den asymptotiachen Darstellungen ffir den Integranden von (3,6)auf h n d der Angaben in der Arbeit').
Nun liegen aber nach Abb. 4 a d der linken Seite dee Integrstionen+mit A = 0 , 1 , 2 ....
weges nur die einfachen Pole 8
Mithin e r h t m a n ftir das Drnckfeld im Ranmteil & < q eofort die
folgende crate Daretellnngeform:
-- (
H.BraMdr. L?ie Awbredwng &w S&UtoeUen
in
&em H m uaw. 447
Anch diese Usnng e f l l t alle an sie zu stellenden Fordernngen.
Da jedes Glied der fUr 6 < q absolut konvergenten W e von (6,1),
in der sie sich darbietet, fiir sich selbet die Wellengleichang befriedigt, so gilt diese Featstellung wegen der gleichmaeigen Konvergenz
der Reihe im Interval1 B < 3 auch von der Summe der Raihe und
damit zngleich vom Druck. Ferner iet fiir q = q,, gem86 dem A d bau der Usungsgleichnng anch stet8 D, 0, and echlie0lich b e U t
such der Drnck p g , 9 ) selbet in der Achse des Paraboloides, wo k = O
ist, solange wenigetens der Brennpnnkt von dieeer Betrachtung a m
geechlossen bleibt, stets einen endlichen We$ denn die eineige
Ansnahme von der Regel, gemiLB der die Stelle z = 0 ffh die
Funktion wy'(z) durchweg eine s i n w e Stelle iet, bildet nllein der
Fall, wo bei nichtnegativ ganzzphligen Werten von n und p der
-
Zeiger
8
n
I
+ 'p3
wird. Unter dieeer Voranssetzung ist nHmlich
a
nach QL (6,2)die Funktion
W ~ + ~ , ~ (im
Z ) wesentlichen
identiech mit
dem Polynom L,(z) von Laguerre. Dahingegen wird die Funktion w'_"', -o,6 (z) ftir alle n = 0, 1, 2 . . . an der Stelle .z = 0 nach wie
vor unendlich. In der (31. (6,l)
wird demnech allein der erste Summand
im Brennpankt B = q = 0 selbst sin-.
Des ist aber auch in der
Ordnung, denn nach Q1. (3,l) stellt dieeer Teil der unendlichen
Reihe (6,l)
nichts anderes ale den dnrch GL (1,2)gegebenen p r i m h n
Dmck dar, fiir den sich die Singularitiit im Ursprnng selbet versteht.
In der Tat last man die QL (3,l)nnter der Voranssetzung eines < r]
in derselben Weise auf wie die G1. (3,6), so entetaht die Enb
wicklnng (6,3),'deren Ynmmenwert darch Q1. (1,2) gegeben ist. Wir
- 2iBk)
kbnnen daher der Liisungsreihe (6,1),indem wir davon den eratsn
Summanden abspalten, anch noch die nachetehende zzoeitc Darstellungsform gem&S GL (6,4) geben. In dieser Gleichnng r e r u t
sich nun das Reihenglied, das nichts anderes als die reflektierte
Druckwelle wiedergibt, in allen Ranmpunkten 0
q qo durchweg regulilr. An dae durch 01. (6,4) gegebene Drackfeld achlieSt
30 *
448
A?WUXlen der Physik. 5,Folge. Band42. 1942,l43
sich in stetiger Weise das durch 01. (3,121 heschriehene Druckfeld
an. Den Reweis ftir diese Behauptung, der auf direktem F e g e
wohl kaum zu erhringen wLre, liefert die Integraldarstellung (3,6)
als der genieinsanie Ursprung dieser beiden vcrschiedenartigen Darstellungsformen.
Eine besonders einfache Formel entsteht a m (6,4)fiir deu Druck
an der inneren Begrenzungsflache des Paraholoides. 1)s an ihr TI = q,,
ist, so kann man in (6,4) von der G1. (3,131Gebrauch macheu Von
der unendlichen Reihe l%Btsich d a m ein Glied abspalten, daR en'tgegengesetzt gleich dem primaren L h c k an der inneren Oberfliche ist,
und 8 8 bleibt somit nur noch der Ausdruck (6,4a)iihrig. Im Scheitelw-
I(-
2i€k)
punkt der Parabel vereinfncht sich diese Reziehung noch weiter zu
der GI. (6,4b).
Was nun das Verhalten und die Miigliclikeit tler zahlenni86igen
Rerechnung der in den vorstehenden (fleichungen auftretenden
E'wktionen wip'+ o,6) (21 und m:0,'+ o,6) (2) anbetrifft, 83 liegen bier die Verhaltuisse insofern etwas einfacher als in dexn fruhercn Falle, weil
sich die genannten Funktioneu teilwaise auf Polynome reduzieren.
Yiir die Fuuktion W ~ ) ~ + , , ~ ( Zgeht
)
das bereits au3 der G1. 16,2)
hervor. Die gleiche Hehauptung trifft aber auch auf' die Funktion rn(O'%- " , (2)
~ su. Aus der G1. (3,i), die j a fur alle Werte von s gilt,
1
= 0 fiir n=O, 1,2 ...
folgt.nauiich fur eiu s = -(n+O,6) wegen .
r (- n)
der Zusammenhang:
ti. Buckholz. Die .4usbreitung der Schallwellen an eanem Horn
USW.
449
Rei der Entstehung dieeer Gleichung aus (3,7) ist dlerdinga
noch die stillschweigende Vorauasetzuiig zu machen , da0 sich die
Das iet
Funktion d"'
(2) fur T!. = 0, 1, !! . . . reguliir verhiilt.
-n-
-
0
aber nach GI. (6,e). die einc? in z absolnt und unbeschrankt kon-
I
r i . [L'
. yt1 + j,\ - Y ( 1 + i+
TIJ
- lnz]
vergente Reihe darstellt. tiitsiichlich tler Fall. Aus der (31. (ci,5)
lblgt fur die Ableituug der links stehendeu Funktion nach ihreiu
Argument die neziehurig (6.5al
Mit. der Xntwicklung ,6,4) hlieii air nun auch die Losung der
ttiiigangfi formulierteri Aufgahi. fur den Hereich 6 < j, gefunden, wie
sit! der Anregung des Xc1i:illfeldes clurch eine im Urennpunkt gelegene, eintonige Ychallquelle entspricht. Gegeniiber der Losung
der gleichartigen -4ufgabe fur das Kegelhorn weist eie den fundaineutalen TJnterschied mi', diiB fiir (lie beideii Rauniteile zwischen
cler Hornkappe und der 8traliluiigsquelle einerseitR und zwischeu
tler Strahlungsquelle iind der sehr weit entfernten Hornmuudung
irndererseita xwei ganz verschiedeiiartige :malytiache Darstellungsformen bestehen : In der hornartigen Fort.setzung des Psrabolspiegele
hat die Losung den Charakter eiiier Eigenwertliisung. Die primare
und die reflektierte Stralilung siud hier zu einer einheitlichen
Wellenstrahlung verschniolzen ! die sich aus unendlicti vielen Teilwellen msammensetzt, voii denen eiiie jede eine niogliche Ausbreituugsforni wiedergibt. Im engeren Bercich des I'arabolspiegels,
tler von dem h u m t e i l zwischen der Kappe des Paraboloides und
tler dnrch den Rrennpunkt geheiiden Querschnittsebene gebildet
wird, Lrscheinen hingegen die primare und die retlektierte Strahlung
analytisch deutlich voneinauder getrennt. Die reflcktierte Strahlung
ellein stellt sich zwar aucli in dieseni Teil ails das Krgebnis der
tibedagerung nnziihlig vieler strahluugsanteile tlar! aber nur in
einem rein formalen Siniie, denn diese 8tr~hluogakomponenten
Mden iii diesem Falle gar keine fur sich allein existenzfahigen
Wellen. da sie die Randbedingungen nur im Zusamnienwirken mit
tler primaren Strahlung erf'iillen. Auch setzen sie sich untereinander
riicht zii einern orthogonalen Systeiil znsammeri, so dab es auch fur
450
A m a h der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942143
dieeea J h ~ ~ t enicht
il
angebnacht iat, ftlr ihn etaa mittela der
QL(q4) sine Bbxiehung fih die geeamte abgestrahlte Schalleistung
hedeitan.
7. BohlnBbemerkungen
In den rorstehend durchgefnhrten Untersuchungen werden die
GesetzmliSigkeiten aufgestellt, denen dae Schallfeld im Innem eines
bohlen Rotatiomparaboloides unterworfen ist, wenn die Anregung
der Schallwellen von einer im Brennpunkt des Paraboloides angebrdneten, punktfbrmigen Schallquelle ansgeht, die regelmaige,
eintbnige Schwingungen eneagt. Die Aufgabe wird gelbt mit
Hilfe der hktionentheoretiach verallgemeinerten Methode der
Partilmlsrl6sungen, die erstmalig von (3. N.W at s on 11) angewandt
worden iet, nnd der mch der Verfseser auch bereits in den h i
Hlteren Arbeiten nber dm Kegehorn'),e), '3 bedient hat. In bezug a d
die geometrieche Gestalt dee fih die Wellenausbreitung zur Verf Q m g atehenden b u m s steht zu der vorliegenden Abhandlung in
einer gewiseen Parallele die Arbeit von W. Magnns@). Sie behandelt
die h e , Xe sich die elektromagnetiechenWellen im Innern eines
paraboliechen Zylindere mit vollkommen leitenden Wandungen ausbreiten, wenn die monochromatische Strahlungequelle in gleichmdichter Belegung die Brennlinie des Zylindere erfnllt. Auch
diem Aufgabe wird nach der obenerwiihnten Methode erfolgreich
in An@
genommen. Die noch ausstehende Lbsung der analogen
A m b e filr das Rotationsparaboloid, in deesen Brennpunkt ein
elektrischer oder magnetischer Dipol steht, wird von dem Verfaaeer
in Anlehnung an die vorliegende, gleichartige Arbeit auf dem
akuatiechen Qebiet in Kilrze herausgebracht werden.
W'eeentlich einfacher ale die Liieung dieser inneren Problem
gestaltat sich die Behandlung der Adgaben, die sich mit der Frage
der Reflexion von ebenen ahstischen oder elektromsgnetiechen
Wellen an der iiupsren Oberfhhe einee htationsparaboloidea oder
&nee paraboliechen Zylinders befassen. Mit sehr einfachen Xtteln
sind derartige Aufgaben achon vor lbngerer Zeit von H. Lamb'?
gelbst worden.
M&henuti.oher Anhang
In diesem Teil der Arbeit werden in maglichst groBer Kiirre einige der
im Text benntrten Formeln besondera hergeleitet, sei ea nun, weil anderenorts
dartibez nichb ra &den iet und sie doch wicbtig p a g dud, eei es m , . w e i l
me dort unrichtig pngegeben eind, wie daa von der hriehung (3,7)gilt.
1. An e r e Stelle bringen wir einen sebr einfwhen Beweis der (31. (3,7).
ICr hst in der hier mitgetailten Form ledigiicb den Nachteil, d.B er nur
den FaU p = 0 von 01. (3,3) und f%r einen sebr beschrl[nlten Bereich der
*
H.Buchhdz. Die Aurbrsikmg darSchaUwBUen in S i ~ m
H a w . 481
beiden Pummeter I und t anwendbar ist. W u gehea & h i von den deibitiombestebenden 01. (A 1 al und (A 1b) sun, in denen die beiden W-ln
gems
I
Abb. 5. Die Uhlweine der Pbuenwinkel mc(t f 1) im Integral (A2)
ihre notitrlicben positiven Werte hnben, und nehmen dsnn im Binblick oaf
die GI. ( A l b ) dan Integral (82)mit t > 0 lings einen Weges 6,dsr sue der
w e n aellen Acheb der cainchen den Punkten 1 und + 1 anfgenchnittenv
-
l-Ebene und aue dem unendiich fernen Halbkreis der unteren HUfte diener
Ebene beateht. Die Phasenwinkel der Vektoren 1 + 1 und t - 1 l&ga dienen
Wegen wlthlen wir entnprechend den Eintrsgungen in Abb. 5. Der unendlich
ferne Halbkreis liefert cu dem Werte diews Integrale aof Grund der Vorauenetrung iiber t nur einen vernchwindend kleinen Beitreg. Da iiberdien d~
Integral innerhalb dieeee Wegee keine Singnlruitlten snfweiet, so m d schon
die phanengerechte Integration lings der reellen Achre allein den Wed Null
ergeben.
Annalen der Yhysik. 5 . Folge. Band 42. 1942143
452
Auf Grund der Vereinbarung iiber dis Zliblweiae der Phaaenwinkel kann
nun zwischen den Punkten -a,. . . - 1
t + 1 = (u - 1 ) ~ e - ~ und
'
und
+ 1).
mit
e-ni
1z u < W
- 1...+ 1
und zwiachen den Punkten
t + l = l + v
1 - 1 = (u
t-l=(l-o).e-ni
mit
- l z c s + l
gaeetzt werden. Damit entsteht der Ausdruck:
. t
.e
- 1 . - . v
2
.--
02
dV
Vi-
t+l
+J(,)
1
at
- i . 5 . b
ir
.e
)G=-i-
*
= 0.
Nach den obigen Definitionegleicbr~ngeniat aber diese Beziehung identisch
mit der G1. (A. 3) fur 5 > 0, die fur - i z = s und also I = is und 5 P 2 7 k
+ ( n r + $)
(A3) m t ) i r ( - i : ) = =
..-
r
(f+ i z y
+)
(nz-
. w(0).
+
(+ i );
I%
+ e-
r
(g
- -
.w(")
-iI(-iO
--ir
in die G1. (3,7) des Textes iibergeht. D a die in t3,7) linkastehende Funktion
nach G1. (A l a ) eelbst reel1 ist, wenn dies von z und 5 gilt, so haben zufolge
dieser aleichung die beidcn Funktioncrn wyi (i 5 ) und ~ ( 0( - ) i ~0 bei
~ gleichen
Realteilen entgegengesetzt gleiche imtrginlre Romponenten, d. h. sie Bind
konjugiert komplex.
2. An riceiter Stelle wollen wir in aller Kiirze den W e g beschreiben,
auf dem man zu der G1. (3,19) gelangen kann. Etwas auefuhrlicher werden
wir im Anachlu6 drran die Iierleitung der Beziehung (5,5) fur wf",' (it)
bei gro6en Werten von r besprechen.
Es ist bekanntlich fur beliebige Wertc von p e,
'Ersetzt man bierin bei geniigend kleinen Werten von p die Funktion mi,fp)
durch den Ausdruck (A 1a) und geht zur Grenze p . . -- t 0 iiber, so fihrt eine
einfache Rechnung geradenwegs zu der folgenden besonderen Integraldarstelluog fur die Funktion wit) (i 5 ) :
e b m m wie die Funktion mi? (s 0, wie
man leicht erksnnt, ihren Wort nieht h d w , weum die beiden P.runeter 1
ond 5 ihr Vorseichen g l e i o k i t i g r e c h d n , m ergibt rich m c h biersd d
die beiden Funktihen wi:' ( - i t ) und w(!),= (+ i t) konjagiert tomplexe
Gr&n sind.
Do d m hierin vorkommende Ink!@
Mit der Gubstitntion (1- 0 = exp (22) ist nnn aber
(I+O
-
,
f l
- 1
Verfihrt man mit dem letsten Integral auf die vom VerfsMer in der Arbeit')
dargelegten Art, so kommt man ohne weiteres zn der im Text angegebenen
Entwicklung (3,19), die dss Gegensmck zu der Darstellang (3,18)f i r die
Funktion m): f - i i)bildet.
Um auch en einer Entwicklung fur wi:)(ia eu gelangen, die in Parallele
zur GI. (3,l?b) eteht and die sich beaondera fiir die numerisehe Behcbnang
dieser Funktion bei grohn Werten von I nnd kleinen Werten von e i p e t ,
behandeln wir das Integral von 0). (A5) eun&hst in eben dermlbem Weise
wie oben nnd nenden dpnn etwa unter der Voraunnetcung einee z > 0 auf das
Integral mit den t3renxe.n - m und + m den k i d n e n s a t z von C s n c h y an,
indem wir anch noch den nnendlich fernen Halbkreis der oberen z-Halbebene
EU dem Integrationsweg dienea Integrals hinsunehmen. Der Integmnd im
Ausdruck filr X besitzt nnn nicht nnr in den Punkten
z=i.(2p+
mit
11.
p = 0 , 1 , 2 ...
eine unendliche Folge weeentllcher SingduitMen, aondern in der Funktion
In (Gi z ) Anch einen unendlich vieldeotigen Beatandteil. Dieoer Umutand
niitigt dazn, in der oberen z-Ealbebene einen Venweigungwhnitt vommben,
der im Punkt in/2 beginnt nnd von dort 1hp der imsgintiren Achse sum
Punkt i m verlinft. Nach dem Residnenaatz darf dann das obige Integral
fih X l b g a des in Abb. 6 eingezeichneten und am den Verzweigungaochnitt
herumlautenden W w s genommen werden. Die beiden nnendlich fernen
ViertelLreiee liefern dsbei fiir ein I > 0 gewi6 keinen Beitrag eu dam Wert
dea Integrals. IKnga den Kreiies K , aber setzen wir
und
also
Bofz=sin(eeiw)
und
Zg z
=
+ i - ctg (Q e ' q )
454
Annalen det Physik. 5.Folge. Band42. 1942143
und wir erhalten dann mit den A b k b u n g e n
Abb. 6. Der von - m noch + verlaufende Integrationsweg
den Integrals in der emten Gleichung auf S. 461 und sein Ersatc
durch den unendlich fernen Ealbkreis der oberen z-Halbebene
n
nebst dem Umlauf urn den Verzweipngsschnitt i . -- bis i m
2
ale Beitrag, den die Integration uber deu Umfang des Kreises K, zum
gesamten Integrdwert beisteuert, den Ausdruck :
--n
Im tiefsteh Punkt a des Kreises A-, hat dabei In ((5.01 P I , wie es sein rnuB,
den Wert In (sin (4 e i q ) mit cp = 0. Hingegen hat er
im Punkte A,' den Wert In (sin Q) + n i
und im Punkte B,' den Wert In (sin Q) - ni.
Auf dem geradlinigen Wege von A,' nach A, und R,' nach B. Retzen
wir anderemeits
.
H.Buchholz. Die Ausbredung der SchcrUwellen an einem Horn USW.
I h n geht
7)
von
lfings A,' A , :
Q
=
- ..n -
Q,
In (sin 11)
455
uud es ist In (&o\z)
+ ni
iind
lings H,' Bi: = In (sin 1') - n i
.
I m glrnzen wird damit nach leichter Rechnuiig
Fiihrt man auf d i p e Weise fort, so erkennt mau sehr bald die einfache
GeaetzmUigkeit, die den Aufbau der Integrale (A 7 a ) und (A 7 b) fur die
anderen linearen Wegstiieke und Rreise beherrscht. Sie gestattet sogar die
Summation der einzelnen Beitriige uud fuhrt damit fur X selbst zu dem
folgenden Ausdruck :
+
e
.7
[nu8 U U I I der \\'c.rt V O I I X i l l dcr I)arstcIIuug v o n ( A 7 )
2
\ o m Radius e uuabhangig aein. \Vir htlbru es daher it1 der Hand, ihn in)
Kahmm dieser Einschrfinkung miiglichst zwec.kmb;Big zu wiillen, und wir tun
dies- indem wir fur ein : - : 0 die* CTriiEe von e gemlB der (:I. i A ( r )
E'iir allv
c'
2
1
.
S u u aestatteu die beiden Hilfsfunktioiien der (I:
steheridcn lCntwickluiigt~n:
( A 0 2 , 1)) die
UdCll
466
Hi&
Anindan dcr P h w . 5.Fdge. M 4 2 . 1942143
rind die Koe&%enten
c'p(l tl) dnrch die GL (3,17) dea Textee gegeben,
do)(1 51) bin sn A 57 dam durch GI. (A 10,wieder-
r6hrend f iir die Koef6sienten
besteht. G h t man mit dieaen beiden Ddrstellangen
gegebene Bddin die GL (A 7) ein und k d c b i c h t i g t die GI. (A8), I Q zeigt sich, da8 sich mit
A u a n h e den letzten Integrals der GI. (A7) alle abrigen Integrale dnrch
Zylinderfunktionen oder damit verwandte F'unktionen damtellen laown. F d t
man dao d d t fRr X gewonnene Ergebnie sogleich mit der ersten Zeile von
GL (A5)maammen, no entstaht der folgende vollatfindige Anodrnck:
H. Buchholz. Die Awbreikrng &r Schalkdbn in ahem Horn SUM. 487
EA(z) bedeutet die W e b e r - A n g e r a c h e Funktion in d m Bexeiehnangsaeire nad
Definition von G. N. W s t s O n ? und S1@) dm dumb QI. (A 11b) dednisrte
1
m=O
Polynom. Die Entwicklung ( A l l ) ist im iibrigen gtiltig fUr nlle 7 und 5; die
der Bedingung (A 8s) geniigen.
Der eigentliche Annendungsbereicb der GI. (A 11) lie@ vor ffir ein 7 s k
bei kleinen oder m P s i gro6en Werten von l.Sie vereinfacht skh dann gum
wesentlich, denn einmd genfigt ee in diesem Fdle. r e n n von den mendlichen
Reihen jeweils nur die ersten Glieder berucbichtigt werden. Aderdem d a d
e- n r
dann noch dan Glied mit dem Faktor ~ganz fortgelaemn werden.
14 * 60)n r)
SchlieSlich bat fiir solche Werte von I dan in (A 11) suftretende Integral nur
einen sehr kleinen Wed. En gilt n&nlicb f u r d i e m Integral die Entwicklung (A 12), in der Q (z,v ) die durch GI. (A 1213) definierte unvollstendige
(A 128)
2
Gammafunktion d s r s t d t , ffir die, sobald A - p < 1 ist, aehr bequem berechenbare esymptotische Entwicklungen beatehen. Filr positiv ganwnblige
Werte POD 1 - p ist aber Q (qA - p ) fiir gro6e 2 nsch GI. (A 12b) e b e n f d s
nur klein. 1st die Q r 6 h g in GI. (A 12) gleich Null, so bekanntlich die Be-
"
dehung (A 12c)
00
In genau der gleichen Weise k m n man an der 01. (A 7) verfahren fILr
ein t
h 0. WIblt man dann riedernm den &dim 4 geinlt6 der QI. (A 8s),
so wird im oorliegenden F d e
0
and die gem& (A 7) enfatehenden Integrale loenen sich dann e b e n f d s cum
gr(l6ten Teil durch Zyllnderfunhionen oder d d t verwandte Funktionen am-
Annalen der Physik. LFoZqe. Band42. 1942/43
460
driicken. Ee kommt dann schlie6lich unter den jetcigee Bedingungen die
Formel zustande:
I
00
I
W
9
Auch hierin mu6 wie friiher
definierte Polynom hedeutet.
T
--::
> 1%
sein, wahrend S; (z)
das durch G1. (A14)
f i r das in (A13) anftretende Integral iindert
sich die aqrmptotieche Entwicklung (A 12) nur insoweit, ale im vorliegenden
Falle hinter dem Summenzeichen noch der Faktor ( - ) p stehen m u k
Die im Hinblick auf die G1. (A 11) und (A 13) noeh ausstehenden beiden
Piille z < 0, t = f 151 erledigen sich durch den Hinweis, daS ein gleichzeitiger Vorceichenwechsel von T und i die Funktion w
i
:
) (i 5 ) in. ihren konjngiert komplexen Wert iiherfiihrt.
Zunammenfaaeung
In der vorliegenden Arbeit werden die Gesetze der Ansbreitung
von Schallwellen im Innern eines hohlen Rotationsparaboloides mit
vollkommen starren Wanden untersucht, wenn die Erregung des
Schallfeldes durch eine punktformige , im Brennpunkt gelegene
Schallqnelle f lir eintonige Schwingungen erfolgt. Ftir die Loenng
der Anfgabe, die yon der Wellengleichung in den Koordinaten eines
Rotationsparaboloides ausgeht, wird die Metbode der Partikular-
H . Buchholz. Die Ausbredung der SchaUweUen in einem Horn w . 459
losungen in .&rer leistungsf ahigeren fnnktionentheoretischen Form
herangezogen , wobei von der anscheinend neuen Integraldaxstelexp (ik R )
ebrauch
lung (3,l) fiir die bekannte Anregungsfunktion Bgemacht wird. Die endgiiltige, den Randbedingungen angepaSte
Losung stellt sich nach ihrer Auflosung in eine unendliche Reihe
in zwei wesentlich verschiedenen Formen dar.
I n dem Teil des Rotationsparaboloides, der zwischen dem
Brennpunkt mit der Strahlungsquelle iind dem sehr weit entfernten
Endquerschnitt des Paraboloides liegt, besteht das gesamte Drnckfeld
des Schalles aus einem einfach unendlichen System vcn Teilwellen,
von denen jede fiir sich im Horn existenzfahig ist. In geniigend
groSer Entfernung vom Brennpunkt verhalten sie sich alle wie
einfache, ebene Wellen, die vom Brennpunkt divergieren. Fur die
Wellen der niedrigsten Ordnung geniigen dazu Entfernungen von
der (3roBenordnung einer Wellenlange. J e hoher die Ordnung der
Welle ist, um so groSer mu8 diese Entfernung vom Brennpunkt
werden, damit das charakteristische Bild der ebenen Welle hervortritt. Die Ordnung der Teilwelle bestimmt sich aus der Lage der
zu ihr gehorenden Nullstelle in der Folge der unendlich vielen
einfachen Nullstellen der bekannten kon0uenten hypergeometrischen
Punktion M,,,(z) in bezug auf k bei rein irnaginarem Argument.
Diese Nullstellen sind selbst rein imaginiir. Die Lage dieser Wurzeln
hkngt selbstverstandlich von z ab, in dem als Faktoren die Wellenzahl und der geometrische Parameter stecken , der die begrenzende
Paraboloidflache festlegt. Von der die Nullstellen bestimmenden
Funktion ist der Arbeit eine kleine Tafel beigefugt. ELenso sind
auch die ersten drei Nullstellen in ihrer Abhangigkeit vom Argument
vertafelt worden. Zwei Kurvendarstellungen erleichtei n die nbersicht. Die Funktionen, die das Verhalten der Teilwellen in diesem
Teil des Schallfeldes beschreiben, bilden ein System orthogonaler
Funktionen. Uementsprechend la& sich auch die Schalleistnng in
diesem Bereich durch eine homogene quadratische Form dieser
Eigenfunktionen ausdriicken. Das primare unll das reflektierte
Schallfeld erscheinen in dem hornartigen Fortsatz des Parabolspiegels analytisch als ein nicht mehr zu trennendes Ganzes.
Einen ganz anderen Charakter hat die Losung in der Kappe
des Rotationsparaboloides zwischen dem Scheitelpunkt und dem
Brennpunkt. Hier zerfallt analytiwh das Druckfeld deutlich in die
beiden Komponenten der primaren und der reflektierten Strahlung,
ohne da8 es zu einer Verschmelzung beider zu einer unendlichen
Folge f iir sich existenzfahiger Teilfelder kame.
dso
AnmaZm dar Physik. 5.FoIga. Bond&.
1942143
Ftlr die numerimhe Berechnung der Fnnktionen aerden an den
&gnetm
Stellen allla dazu erforderlichen Formeln mitgeteilt.
&weit dabei nioht ant andere Literatmetellen Bezug genommen
aerden konnte, werden die Formeln in einem beeonderen mathematieahen Anhang abgeleitet.
BohriittrunsPerreiohnir
1) A. U. W e b s t e r , Journ. nat. Acad. of Science 6. 8. 275. 1919.
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4) J. E Freehafer, Journ. Acoustical 8oc America 11. 8.467-476.1940.
5) H. Buchholr, znrcunmenfpseender Bericht fiber die konfluente hyper-
gaometrische h k t i o n mit beaonderer Beriickeichtigung ihrer Bedeutung ffAr
die Integration der Wellengleichung in den Koordinsten einea Rotetionepurrboloidea, erecheint demnhhst in der Ztechr. f. anger. Math. u. Mech.
6) W h i t t a k e r - W a t s o n , A Course of modem Analysis, 4. Edition,
Cambridge 1927.
7) G. N. W a t r o n , A Treatiee on Beadfanetiom, Cambridge 1922.
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9)H.Buchholr, Ann. d. Phys. [5] 37. 8.173-225. 1940.
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12) E B u c h h o l s , Jahrbuch der AEU-Fomhnng 7. 8.137-150. 1940.
Berlin
(Eingegsngen 5. Jpnupr 1943)
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