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Die Ausbreitung ebener elektromagnetischer Wellen lngs eines geschichteten Leiters besonders in den Fllen der drahtlosen Telegraphie.

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43
2. D i e Ausbreitung
eberner elehtromagnetischer Wellern langs eines
geschichteten Leiters, besonders in den $'allen der
drahtlosen Telegraphie;
uon l?. E a c k .
In einer unlangst veroffentlichten Arbeit I): ,,Uber die
Fortpflanzung ebener olektromagnetischer Wellen langs einer
ebenen Leiterflache und deren Beziehung zur drahtlosen Tele
graphie" hat Hr. Zenneck"die Frage aufgeworfen, in welcher
Weise die Wellen der drahtlosen Telegraphie dadurch beeinfluBt werden, da6 der Untergrund aus zwei Schichten besteht,
die hinsichtlich des Leitvermbgens und der Dielektrizitatskonstante erheblich voneinander verschieden sind. Im Einverstandnis mit Hrn. Z e n n e c k habe ich die Durchfuhrung
der Untersuchung iibernommen; Hr. Z e n n e o k hat auch die
Ergebuisse einer Durchsicht unterzogen.
-
I. Bereohnung der FeldgroBen aus den M a x w e l l s c h e n
Gleichungen.
Die angenomrnene Lage des Koordinatensystems entspricht
der Fig. 1 ; die ebene Welle bewege sich in der Richtung der
Fig. 1.
1) J. Zenneok, Ann. d. Phys. 23. p. 846f. 1907. Die Kenntnis
dieser Abhandlung wird im folgenden vorausgesetzt und die Abhandlung
mit 1. c. zitiert.
I? Back.
44
zunehmenden x; in den Bezeichnungen seien Luft, obere und
untere Erdschicht durch die Marken 0, 1, 2 unterschieden. Die
Bedeutung der Buchstaben ist, wie bei Z e n n e c k , 1. c. p. 846:
E = elektrische Feldintensitlt,
M = magnetische Feldintensitiit,
a
= Dielektrizitltskonstante,
D
v
1
= po =
im C.G.S.-System,
4n
= LeitvermSgen,
= m .Wechselzahl,
p = Permeabilitiit
~
1=l/--T,
1
2,
= __ im C.G.S.-System.
476
Den Ausgangspunkt, der Untersuchung bilden auch hier
die Maxwellschen Gleichungen in der bei Z e n n e c k angegebenen Form. Nimmt man fur den Leiter 1 in der z-Richtung
das Vorhandensein einer hinlaufenden und einer reflektierten
Welle an und fuhrt noch die Funktion
(1)
F=
e!(vl+az)
ein, so ergibt die Integration der Maxwellschen Gleichungen
folgende Werte der FeldgriiBen :
Schicht 0 (Luft):
(4)
Ti
+$=--
82
.
(5)
=
,r; +
-
L V P b I +LVQ
82
LYP(U2 + L V E 2 )
r2 +sz=--
8%
5 Y K = c I o =0,
Y &
go=>,
V2
(7)
Vl
1
Y E
UIP
-.
Y-~
vP
= El
1
Q
=-L,
Ul
Demzufolge gehen die Gleichungen (5) und (6) uber in:
r: + s2 = "1 Po
= A,,
(8)
1 a,(1
1 Q1) = A , ,
+
sowie :
-1- b1 = 1,
F. Hack.
46
Eliminiert man zwischen den vier Gleichungen (9) die
GriiBen a,, b, , a,, so erhiilt man die fur die Lijsung der Aufgabe entscheidende Beziehung zwischen To, r1, rz oder gems6 (8)
eine Bestimmungsgleichung fur die eine Unbekannte 8,.
Setzt man:
so ergibt die Ausfihrung der Rechnung:
Qci ro
to = arctg ,
cz y 2
ra = arctg __,
r1
Ti
so erEBlt man die sehr einfache Beziehung:
r, + r, + r1 T = 0 .
(12)
Die rechte Seite dieser Gleichung kijnnte durch ein Vielfaches von TC ersetzt werden; fur die numerische Aufl6sung
der Gleichung ist dies belanglos.
1st Ir, 7‘1 so klein, daB innerhalb der Genauigkeitsstufe
der Rechnung tg(rl T)durch r1 T ersetzt werden darf, so tritt
an die Stelle der transzendenten Gleichung (12) die algebraische Gleichung :
+
(13)
C, ro C, r, = I’(C,,C, T,, ra - T;);
diese laBt sich auch unmittelbar aus (9) ableiten, wenn man
dort die Naherungswerte:
e L r i T = 1 + irl
e-LriT=
1 - ir, I
einfuhrt.
~, C, und den
Bei geeigneten numerischen Werten V Q C
in r,,, r , , T, enthaltenen Konstanten A,, A,, A, ist auch (13)
noch weiterer Vereinfachung f ahig. Beziiglich der Vorzeichen
ist zu beachten, da6 das Vorzeichen von r1 unbestimmt bleibt;
ro und ra sind beide mit positivem imaginaren Anteil zu
elraz
wahlen; denn nur so verschwindet e - l r o z fur t =-a,
fur 2: =+a.
Endlich geben wir noch die aus (9) und (10) folgenden
Werte an, welche der Quotient
Ausbreitung e6ener elektromagnetz'scher Wellen usw.
47
an der oberen und unteren Grenze des Mediums 1 annimmt:
(15)
@(O) = 1- ca 9.0
rl
,
@(T)=-1%,
r1
11. Anwendung auf den Fall der na8sen Oberechioht.
Zunachst mogen die vorstehenden Gleichungen auf den
Fall angewendet werden, da6 Medium 1 eine von Regenwasser
durchfeuchtete Erdschicht von geringer Tiefe ist, Medium 2
aus trockenem Boden besteht.
Eine ungefahre Abschatzung zeigt, da8 unter dieser Annahme in (13) das Glied T r : mindestens fur die erste Annaherung vernachlassigt werden kann; die Glieder Co ro und
C, T , werden im allgemeinen von gleicher GroBenordnung sein.
Bei hinreichend kleinem Wert von T la& sich d a m die
Gleichung
(16)
f(sa) = Co ro + C2rz - T Co C
, rora = 0
durch allmahliche Annaherung auflosen, indem man von dem
Wert T=O ausgeht. Die zugehorigen Werte von sa, rot T~ sind:
Man uberzeugt sich leicht von der Ubereinstimmung dieser
Werte mit der Formel (7) in der Arbeit von Zenneck.')
Zu weiterer Anngherung benutzen wir das von Newton
angegebene Verfahren.,) Es ist:
f(9)= - T C, Ci To Fa ;
bezeichnet man ferner Derivierte nach sa durch Akzente, so
hat man nach (8):
r0 r0' = r1 r1' =
7'
2
p'=2
1
-a'
Somit erhalt man aus (16):
1) 1. c. p. 848. Die Werte von r,, und r bei Zenneck, GI. (7),
sind zu vertauschen; bei s, ra und r mussen die imaginaren Anteile
positiv ausfallen, woraus sich die Vorzeichen bestimmen.
2) Vgl. e. B. E. Cestlro, Elementares Lehrbuch der algebraischen
Analysis und der Infinitesimalrechnung, deutsch von G. K o w a l e w s k i)
p. 453 ff. Leipzig 1904.
3'. Hack.
48
also ist die an s2 anzubringende Verbesserung:
Der so gefundene Wert sa + 6 wird dem genauen, der
Gleichung (13) genugenden Wert schon sehr nahe kommen.
Dieses Anniiherungsverfahren ist jedoch nur dann brauchbar, wenn in (16) der dritte Term erheblich kleiner ist als die
beiden anderen. Trifft dies nicht zu, so setze man:
und berechne hieraus die Zahlenwerte von:
(
Fur
P,=2P,
hat man dann die biquadratische Gleichung:
p ( u )= u4 pl u3 + p , ua p S u p , = 0 .
(21)
Eine geniiherte Aufliisung dieser Gleichung findet man
folgenderma8en. Es sei:
(22)
p r = p T + L q r t . ) ( r = 1 , ...4),
sowie :
a(~)=u~++~u~+IS~~~+a~u$-P,,
(23)
q1 us 412 ua q 3 u c 414 *
q(u) =
1st ferner :
(24)
s = - A + LB, s = - A + CB,
so gilt, wie die Durchfuhrung der Untersuchung zeigen wird,
sehr nahezu:
A = A + - - - 6 v T 10-18.
s2 = u
1
(25)
+-
+
+
Ti-
+
+
15
>
au6erdem kann man mit hinreichender Genauigkeit
u = A , - 2 AB1 = m - 117;
(26)
Ausbreitung ebener elektromagneiischer HTellen usw.
49
Dann erhalt man m' aus:
setzen.
wodurch auch B = m.12 A bestimmt ist.
Den auf diese Weise erhaltenen Wert von s hat man
nur noch um einen sehr kleinen Betrag zu verbessern, damit
er der Gleichung (13) genugt.
1st s dern ungefahren Betrag nach bekannt, so wird man indessen am einfachsten unmittelbar von (13) ausgehen; nach einigen
Versuchen erhalt man leicht eine hinreichend genaue Lasung.
Uer Zahlenrechnung wurden durchweg die Werte:
k, = 3-= 15, A , = % - - 2 ,
%
80
G1 = 10-13,
o2 = 10-16
in Einheiten des C.G.S.-Systems zugrunde gelegt, dagegen fur
die Wellenlange 1 und die Tiefe T des Mediums 1 verschiedene
Annahmen gemacht: I = 300 m , 600 m, 1000 m, 2000 m;
1' zwischen 0 und 50 cm.
Die Rechnungsergebnisse fur das elektrische Feld sind in
den Figg. 2-13 dargestellt.
Fur T = 0 ist in der Luft eine namentlich bei grogen
Werten von I nicht unerhebliche Drehfeldkomponente vorhanden
und die Richtung cler grogten Amplitude der elektrischen Feldstiirke gegen die Normale zur Leiteroberflache ziemlich stark
geneigt. Die Uurchfeuchtung des Bodens bewirkt ein starkes
Zuriicktreten der Drehfeldkomponente; fur T = 40 cm ist auch
bei 1= 2000 m ein nahezu reines Wechselfeld vorhanden; Hand
in Hand damit geht eine wenn auch geringfugige Abnahme der
Neigung gegen die Normale der Leiteroberflache.
I n der durch relativ hohes Leitvermogen ausgezeichneten
Zwischenschicht 1 entsteht ein beinahe vollkommenes Wechselfeld in der Richtung der X-Achse; die Drehfeldkomponente
ist auBerordentlich gering ; man uberzeugt sich hiervon leicht
(lurch Berechnung der Ausdriicke:
B,,
= 0,88.
deren absolute Betrage zwischen loa und lo5 liegen.
Annalen der Physik. IV.Folge. 27.
4
3. Hack.
50
T = 20 C l l l
Fig. 2.
Fig. 3.
~ = i o o 771
o
cr:0
T - ~ cm
O
Fig. 4.
A-TOO0
Fig. 5.
rn
T= 0
T-20
an
Fig. 8.
Fig. 7.
Das Verhalten im Medium 2 ist aus den Zeichnungen
ersichtlich.
Die Fortpflanzungsgeschwind9keit kngs der X-Bchse ist,
wenn, wie friiher, s = - A L 3 gesetzt w i d :
+
Y
(29)
c z = a '
Ausbreitung ebener elektromagnetischer Jellen usw.
51
F u r kleine Werte von F ist c, nicht unwesentlich gr68er
als die Lichtgeschwindigkeit’ c ; mit wachsendem T nahert sich cZ
der Grenze c (Fig. 10). Beides riihrt im wesentlichen von der
Neigung der Strahlungsrichtung gegen die Erdoberflache her.
Solange T < 10 cm ist, nimmt c, mit wachsendem L unbedeutend
ab; fur gr6Bere T ist der Einflu6 von il unmerklich. Aus
Fig. 10 ist auch Gleichung (25) empirisch abgeleitet.
Die B h r p t i o n in der PortpjL’anzungsrichtung hiingt in
hohem Grade von il und T ab, wie dies in Figg. 1 1 und 12
dargestellt ist; die Ordinaten geben den Briggsschen Logarithmus derjenigen Entfernung 1 / B in
A-1000 n
Kilometern an, in welcher die Amplitude
auf l / e ihres Betrages herabsinkt. Die
mit F bezeichnete gestrichelte Kurve der
Fig. 12 zeigt die GroBe der Absorption
fur den Fall, daB das gesamte Erdreich
von der Beschaffenheit des Leiters 1
ware; die Linie T I 0 gilt fur durchaus
trockenen Boden.
I n Fig. 13 ist die Absorption beim
Eindringen in den Jeiter 1 dargestellt;
Fig. 6.
ist r1 = f ( C + lo),so ist 1/B die Tiefe,
in welcher die Amplitude sich auf 1/e
ihres Wertes vermindern wurde; der
Betrag von T kommt hierbei nicht
merklich in Betracht. Bei den hier
vorausgesetzten Werten von T (250 cm)
erfahrt also die Amplitude innerhalb
des Leiters 1 nur eine ganz geringfugige
Veranderung.
Bei dem Portgang der Yellen durch
den Jeiter 2 erleidet die Amplitude nochmals eine Verkleinerung; ist h = 1000 m
Fig. 9.
und T = 20 cm, so reduziert sich die
Amplitude auf l / e im Abstand etwa ti00 m von der Erdober0ache ; fur kleinere Wellenlingen oder gro6ere Werte
von 27 vermindert sich diese Zahf urn einige Prozent.
Aus dem Bisherigen ergibt sich fur die Praxis der drahtlosen Telegraphie etwa €olgendes: hinsichtlich der Absorption
4*
52
3'. Hack.
in der ~orL'pflanrungsrichtung wirkt die Durchfeuchtung der
obersten Erdschicht durchweg giinstig, am meisten fur Stationen,
9 ms
Fig. 10.
die mit kurzen Wellenlangen arbeiten; unter dem EinfluB der
Durchfeuchtung gestaltet sich ferner das elektrische Feld in
der Luft zu einem fast reinen Wechselfeld, auch schon bei
4.0
3.0
2.0
v.0
m
Fig. 11.
geringer Tiefe der durchnabten Erdschicht ; die Neigung der
Feldrichtung gegen die Vertikale nimmt dagegen nur unerheblich ab.
Um wenigstens an einem Beispiel den EinfluB einer ver-
Ausbreitung e6ener elektromagnetisciier Wellen usw.
53
anderten Beschaffenheit der Leiter kennen zu lernen, wurde
noch der folgende Fall berechnet:
il=lOOOm,
I=20cm,
R1='-=50,
60
q und die ubrigen Konstanten wie p. 49 angegeben. Diese
Zahlen entsprechen etwa der Annabme, daI3 trockene Erde von
einer ma6ig tiefen Schneedecke iiberlagert wird; Dielektrizitatskonstante und Leitfahigkeit des Schnees sind allerdings innerhslb ziemlich weiter Grenzen willkurlich.
4
Fig. 13.
Die Ausfuhrung der Rechnung ergab fur das Diagramm
der elektrischeh Feldstarke nahezu wieder das Bild von Fig. 5,
nur iat die Annaherung an dns .Wechselfeld in der Luft noch
vollkommener. Die Absorption in der Fortpflanzungsrichtung
ist geringer, als wenn die Oberschicht? von feuchter -Erde gebildet wird; man erhalt diesmal fur 1 = 1000 m etwa diejenige
Kurve, welche in Fig. 11 dem Wert il = 600 m entspricht.
Beim Eindringen in die Leiter 1 und 2 ist die Absorption fast
genau die gleiche, wie in den fruheren Fallen.
In der Hauptsache gelten also die seitherigen Ergebnisse
wenigstons qualitativ auch fur den Fall, daB an Stelle der
nassen Erdschicht eine Schneedecke tritt.
111. Anwendung auf den Fall vorhmdenen Grundwaasere.
Wir gehen nunmehr zu dem Falle uber, in welcheln sich
unter trockenem Boden Grundwasser befindet. Die Tiefe T
F. Hack.
54
der trockenen Schicht wird nicht mehr als 100 m betragen;
daB die aus Grundwasser bestehende Schicht nach unten unbegrenzt angenommen wird, ist eine Vereinfachung, deren Zuliissigkeit weiter unten gepruft wird.
Urn die das Feld bestimmenden GrOBen zu ermitteln, hat
man auch hier die Gleichungen (12) oder (13) aufzulbsen; d a
fast in allen untersuchten Fallen jr,Tj < 1 ist, so kann (13) als
Busgangspunkt der Anniiherung dienen. Dabei findet noch
die Besonderheit statt, dab zunachst sa gegen A, vernachliissigt, also
durch A, ersetzt werden kann; folglich ergibt
sich aus (13):
COTO(1 - rc,
+ T r ; = - CJ&
I
pJ
1%
fur
ist derjenige Wert zu nehmen, dessen imaginarer Anteil positiv ist. Setzt man nun:
so findet man durch eine einfache Rechnung den Naherungswert :
(31) s2 = A, + B1 - 2 [B, - f m A o + B, - A, - B,)].
Die hier auftretende Quadratwurzel ist von Bo nicht
allzusehr verechiiden , woraus sich ihr Vorzeichen bestirnmt ;
der bei Anwendung dieser Naherungsformel begangene E'ehler
betragt in dem ungunstigsten der durchgerechneten Falle etwa
13 Proz. 1st lBo/ hinreichend groB gegen IA,+Bl- A,I, so
erhalt man durch Reihenentwickelung aus (3 1):
auch dime Formel gemahrt eine befriedigende Genauigkeit,
12 50 m ist.
wenn A 600 m, 1
Unter Benutzung des Wertes von s2 bekommt man unschwer eine genaue Losung der Gleichung (12); besteht hierbei
zwischen den reellen Zahlen a , 6 , g, r] die Beziehung
E + r q = arctg(a + t b ) ,
so findet man zuerst q~ und qt aus:
Ausbreitung ebener eleklromagnetischer Wellen usw.
55
sodann E und 7, die letztere GroBe mit Hilfe einer Hyperbelfunktion l), Bus:
E=;,
zgq=tg;.
Der Rechnung liegen die Zahlen:
E,,
k, = 5
= 2 , A , = % =e0
80
= 0,88.
cl =
10-16,
62
80,
= 5.10-14
in Einheiten des C.G.S.-Systems zugrunde; fur T wurden Werte
zwischen 0 und 100 m, fiir A wie seither die Zahlen 300 m,
600 m, 1000 m und 2000 m angenommen. Die in Fig. 38 enthaltenen Angaben fur I . = 400 m und il = 500 m sind durch
Interpolation bestimmt.
Die Ergebnisse der Zahlenrechnung sind in Figg. 14-38
veranschaulich t ; um die Vergleichung zu erleichtern , wurden
auch die Figg. 2, 4, 7 nochmals aufgenommen (Figg. 23, 28, 33).
Wahrend bei trockenem Boden die Richtung, in welcher
die Amplitude der elektrischen Iieldstarke ein Maximum ist,
von der Vertikalen erheblich abweicht, bewirkt das Grundwesser eine entschiedene Annliherung der genannten Richtung
an die Vertikale. Bei geringer Tiefe des Grundwasserspiegela
unter der Erdflache ist die Drehfeldkomponente geringfugig,
besonders fur grijBere Wellenllingen; j e weiter aber der Grundwasserspiegel von der Erdflache abriickt, desto starker wird
die Drehfeldkomponente und erreicht namentlich bei kiirzeren
Wellenlangen einen auffallend groBen Betrag (Figg. 14-33).
I)as Verhalten des Feldes an der oberen Grenze des
Leiters 1 bietet nichts besonders Bemerkenswertes; an der
unteren Grenze entsteht ein nahezu reines Wechselfeld, dessen
Richtung von der Vertikalen nicht allzusehr verschieden ist ;
man vergleiche hierzu Fig. 34, welche ziemlich gleichmahig
fur alle in Betracht kommenden Werte von 17 und il gilt; j e
groher 1, desto geringer ist die Drehfeldkomponente.
I n dem Leiter 2 entsteht ein nahezu horizontal gerichtetes
Wechselfeld ;in den berechneten Fallen liegt [Ez/Bz1
etwa zwischen
10 und 25; das Grundwasser spielt also hier eine ahnliche Rolle,
wie in dem friiher behandelten Falle die nasse Oberschicht.
1) W. L i g o w s k i , Tsfeln der Hyperbelfunktionen und der Kreiefunktionen, Berlin 1889.
56
3’.Hack.
moom
&=30om
il =a00 m
T-SO Tll
Fig. 14.
Fig. 19.
,?=1000TIL
T-5m
Fig. 24.
Fig. 15.
Fig. 16.
il-600 ni
X 60011~
T-lorn
T=50m
Fig. 20.
Fig. 2 1.
23000 Tii
T=lOm
‘P:50 7fi
Fig. 25.
Fig. 26.
n-zooom
h-2000 rn
T-Jm
Fig. 29.
~
T-SO ~ J L
Fig. 30.
Fig. 31.
Ausbreiturzg ebener elektromagnetischcr Wellen U S I U .
a=mom
2-300 m
T=I00 ITL
Fig. 17.
Kein Wndwaseer
Fig. 18.
Kein ~ n d w a s s e r
Fig. 22.
,
t
=
Fig. 23.
iooom-
2’- 100 m
Fig. 81.
Fig. 28.
T - 1 0 0 I!L
Kein &undwasser
Fig. 32.
Fig. 33.
57
58
30
2,75
2 , .i
2.23
T=O
26
50
75
7 0 0 7%
Fig. 35.
Fig. 35 gibt die
-
Portpflanzungsgeschwin
digheit cz llngs der
X-Achse an; wie man
sieht, sinkt cz namentlich bei kurzerenwellenllngen erheblich unter
den Betrag der Lichtgeschwindigkeit herab. I)
Die Absorption i n
der Portpfianzungsrichtung ist in Figg. 36
und 37 wiedergegeben;
in Fig. 37 bedeutet die
mit R bezeichnete gestrichelte Linie den
Betrag der Absorption
fur den Fall, da6 das
Erdreich nur aus trockenem Boden (ohne Grund-
?'
Fig. 37.
1) Ein tihnliches Ergebnis hat F. H a r m s in
dem von ihm behandelten,
dem vorliegenden einigermaBen analogen Falle gefunden; vgl. Ann. d. Phys.
23. p. 44f. 1907.
Ausheitung ebener elektromagnetischer Welleii usw.
59
wasser) besteht ; die Kurve T = 0 gilt, wenn die trockene Erdschicht fehlt. Auch hier ist 1 l B die Entfernung, welche die
Amplitude auf l / e reduziert. Eine auflerordentlich starke Absorption findet statt bei groflen Werten von T und gleichzeitig
kurzen Wellenlangen ; bei groflen Wellenlilngen von 2000 m
und mehr diirfte die Absorption niemals von praktischer Bedeutung werden.
Aus Fig. 38 ist die Absorption beim Eindringen in den Jeiter I
ersichtlich; 1 / D ist die Tiefe, in welcher die Amplitude auf
Fig. 38.
l / e vermindert wird. Wie man sieht, kann die Absorption
hier vollig verschwinden; bei Wellenlangen iiber 1000 m ist
1/DI
550-620 m. Tatsachlich erfahrt also in keinem der
hier betrachteten Falle die Amplitude eine merkliche VerBnderung, solange die Wellen den Leiter 1 durchsetzen.
Weit starker ist die A6sorption innerhalb des Leiters 2 ;
beim Eindringen in das als unendlich tief vorausgesetzte Grundwasser nimmt die Amplitude auf l / e ab in einer Tiefe unter
F. Hack.
60
dem Grundwasserspiegel, welche sich fiir h = 300 m auf etwa
11 m, fur il = 2000 m auf etwa 20 m belauft; der Wert yon T
hat lreinen wesentlichen EinfluB.
F u r die drahtlose Telegraphie lehren die vorstehenden
Betrnchtungen hauptsachlich folgendes : die Wirksamkeit der
mit langen Wellen arbeitenden groBen Stationen wird durch
vorhandenes Grundwasser entschieden giinstig beeinflu&, besonders hinsichtlich der Absorption in der Fortpflanzungsrichtung; fur Stationen mit kurzen Wellenlangen kann dagegen
die Absorption der Wellen durch die Anwesenheit von Grundwasser vergr6j3ert werden, auBerdem wird fur solche Stationen
die Richtung des Feldes durch das Auftreten einer starken
Drehfeldkomponente erheblich beeinflu6t.
IV. Einfuhrung einer weiteren leitenden Schicht.
In der eingangs erwahnten Arbeit von Z e n n e c k sind verschiedene Bedenken gegen die Verwendbarkeit der gewonnenen
Resultate fur die drahtlose Telegraphie aufgezahlt l); es bedarf
kaum der Erwahnung, daB alle diese Einwande auch gegen die
vorliegende Arbeit geltend gemacht werden konnen: insbesondere
bleibt es fraglich, ob der gewahlte Ansatz den Verhaltnissen
der drahtlosen Telegraphie iiberhaupt entspricht.
F u r den unter 111.behandelten Fall kommt noch die weitere
Schwierigkeit hinzu, daB der einfacheren Rechnung wegen die
Tiefe des Grundwassers unendlich groB angenommen wurde.
Dies la& sich einigermaBen dadurch rechtfertigen, daB, wie im
a
vorstehenden angegeben, die Amplitude
im Grundwasser verhBltnismaf3ig rasch
abnimmt; bei nicht gar zu geringer
Machtigkeit der Grundwasserschicht
durfte also - von den ubrigen Bedenken abgesehen - immerhin eine
fur die Praxis geniigende Annaherung
an die Wirklichkeit erzielt sein.
Es liegt nahe, dem Ubelstand
dadurch abzuhelfen, daB man eine endFig. 39.
liche Machtigkeit der Grundwasser1)
J. Zenneck, 1.
c. p. 855f.
Ausbreitung ebener elebromagnetischer Wellen usw.
61
schicht annimmt, also das in Fig. 39 dargestellte Schema zugrunde legt: zu oberst Luft (0), dann zwischen eine begrenzte (1)
und eine nach unten unbegrenzte (3) Schieht trockenen Erdreichs eingeschlossen eine Grundwasserschicht (2) von der
Xachtigkeit 2' - 2:.
Zu den Gleichungen (1) bis (3) treten die folgenden:
Schicht 2 (Grundwasser):
I M Z y =(a,ehr2* + b2e-trez)li),
z,,
=
Y'"
-___U9+LLVfJ
E2, = - -~
1 21 P
u2 +
(a2etr%z
-6
e - i r Z z ) ~ ,
2
(a2etrzZ + b,e-c%Z)Ji.
1 Y Eq
Untere Erdschicht 3, beschaffen wie 1:
M3y= a3 eLr3zF ,
I
J
(341
I
L v r,
B ~ ~ UI =+ 1 u e, a3e61'3ZE,
1US
-&3:3a=
-I u#,+
1 Y €1
a3 e k r a z 3'.
Die in (7) und (8) eingefuhrten GroBen behalten ihre Bedeutung bei; es kommt noch hinza:
r ; + sa = - L c t l ( l + 'ql) = A,.
(35)
Hiernach ist also r3 = _t r1 ; nimmt man l)
r3 = - r1 '
(36)
und setzt, wie bisher, a, = 1 , so erhalt man die folgenden
Grenzbedingungen:
a1 t b , = I ,
(al
a,eLT.Tl
- h ) rl l___+rq,
Qu
+ b2 e-crzl;
_-
= a1 e t T i T i
To
;
+ b, e-Lri4
a3e-'riTz = a2eLrzTz + b,e-~rzTz
\
- a 3 e - ~ r l ~ 2a- 5I +- t. q~, - = a,ecrB~e- I , e-kraTp,
ra
01
1 + 6 91
Haben C,, und C, die scitherige Bedeutung und kiinnen
die Quadrate von Ir, Fll, I T , T,J, lr2 !t21gegen 1 vernachlassigt
1) Ygl. unten p. 62.
I? Hack.
62
werden, so ergibt sich durch Entwickelung der Exponentialfunktionen:
u1 - b, = L
a2
(38)
+ 6, +
a, - b,
+
1
I
rl
=1
r2 Ti (a, -
+
1
(a1 - b1) 9
+ b2) = (a, - 6, +
= u, + b, + cr, T, (a, - b,),
6 r1
r, T, (a,
u3e - c T I T *
a ? o ;
a3 e - l r i T 2 =
I
c2 7-2
?a
L
~
[u,
- b,
+
i
r2 T,(a,
1
rl T,);
+ b,)].
Setzt man den Wert yon a, - b, in die zwei nachstfolgenden Gleichungen ein und aubtrahiert die zwei letzten
Gleichungen, so erhalt man fur a, + b, = h und a,
b, = q :
-
+
g 1 r, TI17 = 1 - To c, T,,
r ; c, T,g + T.2 cz77 = - (To co .:TI),
(TI
r,”C, r,)g 1 T, (rl T, - c,)77 = 0 .
+
+
+
Aus diesen Gleichungen folgt :
= 0.
Hatte man in (36) r3 = T~ gesetzt, was aber den vorhergehenden, hier nicht aufgenommenen Zahlenrechnungen widersprechen wiirde, so ware in (39) r1 durch - T , zu ersetzen.
Nimmt man fur Leitf ahigkeit und Dielektrizitatskonstante
die bisherigen Werte, ferner T, = lo3 cm, T, = 1,l. lo3 cm,
also T, - TI= 1 m an, so 1aBt sich statt A die Naherung
benutzen:
1
TI
1
A = riC,T,
-C,
i ( r o C o + T ~ T l =) O .
1
Die Ausrechnung ergibt:
(40)
1 (To
Q,
T,
+ .:T , p , - 2:)
I
0
=
c, (1 + TIq,
f-;
*
Es bietet keine Schwierigkeit, aus dieser Gleichung die
Werte der gesuchten GroBen zu berechnen; allein die Resultate
Ausbreitung ebener elektromagnetischer Wellen usw.
63
erweisen sich als physikalisch unmdglich, indem z. B. r0 der p. 46
gegebenen Vorzeichenregel nicht geniigt, auch zeigt sich mit
wachsendem T, keine Annaherung an die friiheren Ergebnisse.
Dies ruhrt davon her, daS der gewahlte Ansatz in diesem
F d l e nicht den Verhaltnissen der drahtlosen Telegraphie entspricht: da der Raum ober- und unterhalb der relativ gut
leitenden Schicht 2 annahernd gleichwertig ist, so findet Energiestromung in die Schicht 2 von oben und unten statt; bei
der drahtlosen Telegraphie hingegen kommt in den Raum 3
nur solche Energie, welche vorher die Schicht 2 durchsetzt hat.
S t u t t g a r t , Juni 1908.
(Eingegangen 14. Juni 1908.)
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