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Die Ausdehnung der Krystalle durch die Wrme.

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528
E. Blasius.
der einaelnen Curven voneinander goring sind, kann der begangene Fehler nur unbedeutend sein.
Was die derselben Lage einer Platte entsprechenden,
auf dieselbe Anfangstemperatur reducirten Curven betrifft,
beschranke ich mich auf die Angabe, dass die Abweichungen
dereelben sich tLuf hochstens 3 Proc. belaufen. Ich fag@
dagegen in den Figuren 3 und 4 die auf die angegebene Weise
fiir die beidcn Platten erhaltenen wahrscheinlichsten Temperaturcurven bei; darin ist mit A die Linie bezeichnet, die
man erhalt, wenn der Wiirmestrom vom analogen zum antilogen Pol geht, rnit B die der entgegengesetzten Richtung
entsprechende.
Wie man sieht, fallen fur jede der heiden Platten die
Curven A und B sehr nahe zusammen; die grosste Differenz
zwischen zwei zusammengehorigen Ordinaten ist etwa 1 Proc.,
also jedenfalls nicht grosser als die Differenzen, die sich fur
verschiedene Versuche bei derselben Lage der Platte ergeben
hatten.
Man kann darsus also den Schluss ziehen, dass eine
unilaterale Leitung der Warme im Turmalin entweder nur
einen sehr geringen Betrag erreicht oder, was mir wahrscheinlicher ist, gar nicht vorhanden ist.
Phys. Inst. der Univ. S t r a s s b u r g i. E., M n i 1884.
V. Die Ausclelmumy cler Kqjstcclle clzwch d4e Wdrrne;
v o n Eug. Blasius.
(Hlerzu Tnf. V1I H g . 3-S.)
Die Thcorie von der Ausdehnung der Krystalle durch
die Wiirme ist von sehr grosser Bedeutung fur die Krystsllographie, ihre Behandlung ist aber wegen der Rechnungen,
die dabei angewandt wurden, lceine leichte gewesen, und obwohl Gelehrte, wie F. E. N e u m a n n l), G r a i 1 ic h und v. L a n g 2,
I ) F. E. N e u m a n n , Pogg. Ann. 5.p. 240. 1833.
2) Grai1ic.h 11. v. L a n g , Wien. Ber. 33. p. 369. 1859.
E. Blasius.
529
und C. N e u m a n n ' ) sich mit dem Gegensthnde beschiiftigten, war es maglich, dass bis in die neueste Zeit recht
unklare und verkehrte Neinungen dartiber vorkamen. Das
Verdienst L. F l e t c h e r ' s a ) ist es, in den letzten Jahren nicht
nur anf die dunkeln Punkte der Theorien aufmerksam gemacht, sondern auch die ganze Lehre aufs neue aufgebaut
und erweitert zu haben.
Die einzige Voraussetzung, die man in dieser Theorie
macht, ist nach unseren heutigen Anschauungen iiber die
Krystalle eine sehr sichere, namlich die, dass alle Geraden
des Krystalles (alle Kanten) Clerade bleiben, und dass parallele
Gerade parallel bleiben, wenn die Temperatur sich Bndert.
Diese Grundlage ist ausserordentlich einfach , dagegen sind
die Rechnungen schon ziemlich complicirt.
D a die Verhaltnisse bei der Ausdehnung der Krystalle
durch die Wtlrme, sowie wir sie jetzt kennen, in der That
der Auffassung manche Schwierigkeiten darbieten, ist es angebracht, jede BestMigung einer beztiglichen Theorie anzufuhren, urn so mehr, wenn die Methode, wie die im Folgenden gegehene, es erlaubt, neue Resultate zu den in einfacher
Weise abgeleiteten bekannten Thatsachen hinzuzufiigen.
Die Grundlage der ganzen Lehre von der Ausdehnung
der Krystalle durch die Whrme ist, wie oben erwtlhnt, die
Annahme, dass alle Punkte, die bei einer Temperatur in
einer Geraden liegen, auch bei jeder anderen Temperatur
in einer Geraden liegen, und dass parallele Gerade fur alle
Temperaturen parallel bleiben.
Daraus folgt :
1. D i e v e r s c h i e d e n e n C o n f i g u r a t i o n e n , i n d i e
ein K r y s t a l l bei A e n d e r u n g d e r T e m p e r a t u r iiberg e h t , s i n d a l l e u n t e r e i n a n d e r affin.
Ftir den Geometer ist mit diesem Satze die game
Theorie von der Ausdehnung der Krystalle durch die W k m e
gegeben. Dass auf denselben nicht schon frtiher hingewiesen
1) C. N e u q a n n , Pogg. Ann. 114. p. 492. 1861.
2) L. F l e t c h e r , Phil. Mag. 9. p. 81. 1880. Uebersetzt: Groth's
Zeitschr. f. Kryst. 4. p. 337. 1880. Phil. Mag. 16. p. 275, 344, 412. 1883.
Uebersetzt: Groth's Zeitschr. f. Kryst. 8. p. 465. 1884.
Ann. d. Php. U. Chem. N. F. XXII.
34
530
E. Blasius.
wurde, liegt daran, dass sich wenige Geometer mit krystallographischen Fragen und wenige Krystallographen mit neuerer
Geometrie beschliftigen. Aus demselben Grnnde sehe ich mich
im Folgenden zuweilen geniithigt, auf beiden Gebieten elementare Erllluterungen zu geben. Da aber unsere Methode die
Anwendung auch solcher SLtze gestattet, die nicht zu den
allerleichtesten der Georpetrie gehoren, so muss ich es allerdings auch oft bei einer Angabe der Stelle bewenden lassen,
wo der Beweis gegeben ist.
Endlich mochte ich noch bemerken, dass sogar die Bewegungen solcher Systeme, die sich in affine Systeme verwandeln, Bearbeiter gefunden hat, freilich ohne dass dabei
auf die Ausdehnung der Krystalle Bezug genommen wurde.
Hr. D u r r a n d e ' ) hat diesen Fall analytisch, Hr. B u r m e s t e r z, synthetisch behandelt. Ich fand die betreffenden
Abhandlungen erst, nachdem ich mit meiner Arbeit fertig
zu sein glaubte.
W i r haben es also bei unserem Thema mit der merkwiirdigen Erscheinung zu thun, dass fertige mathematische
Entwickelungen einer einfachen Anwendung auf die Beantwortung ziemlich verwickelter praktischer Fragen harren.
Der Einfachheit halber fangen wir mit der Ausdehnung
in der Ebene an. Die Satze gelten fur allc ebenen Erystallflachen.
I. D i e Ausdehnung in der Ebene.
2. Nach der Lehre von den affinen Ebenen verwandeln
sich bei einer Ausdehnung Ellipsen in Ellipsen, Hyperbeln
in Hyperbeln und Parabeln in Parabeln. Ein auf die Krystallfliiche gezeichneter Kreis verwandelt sich demnach im allgemeinen in eine Ellipse. Die Axen der letzteren entsprechen
als conjugirte Durchmesser zwei aufeinander senkrecht stehenden Durchmessern des Kreises, sie sind die Linien der
grossten und kleinsten Ausdehnung, und man hat sie in einer
1) Durrande, Compt. rend. 74. p. 1243. 1872; 75. p. 1177. 1872;
78. p. 1036. 1874. Ann. scient. de l'bcole norinale supbrieure (2) 2. p. 81.
1873.
2) Burmester, Zeitschr. f. Math. u. Phys. 28. p. 108. 1878.
E. Bhsius.
53 1
Zeit, als man ihre Bedeutung ilberschatzte, , , t h e r m i s c h e
A x e n " genannt.
3, Denkt man sich einen Kreis aus der Krystallflache
herausgcschnitten und seinen Mittelpunkt festgehalten, so
verwandelt sich der Strahlenbiischel S , der aus allen durch
den Mittelpunkt gehenden Strahlen besteht, in einen zu S
projectivischen Strahlenbiischel S, , wie wir ebenfah aus der
Theorie der affinen Ebenen wissen.
4. Von dem Strahlenbiischel S, fallen hachstens zwei
Strahlen auf die entsprechenden Strahlen des Biischels 5'.
TVirken nur die durch Temperaturanderung hervorgebrach.
ten inneren Krafte, so sind, wie F l e t c h e r bewiesen hat,
die zmei Strahlen reell, und F l e t c h e r nennt dieselben
,,a t r o p i s che" L i n i e n.
D a wir durch Messung der Winkel des Krystalles erst
bei einer Temperatur, dann bei der anderen nur wissen,
in melchen Strahlenbiischel S , der Strahlenbiischel S iibergegangen ist. aber nicht, wie wir den Buschel S, zu S
stellen mussen, um anzudeuten, dass nur innere KrZlfte gemirkt haben, 60 ist auch nichts iiber die Lage der atropischen
Linien aus solchen Winkelmessungen zu erfahren.
5. Urn die atropischen Linien wirklich zu finden, ist
es nbthig, dass man die Lage eines Strahles von S im Haum,
bei einer Temperatur beobachtet, dann den Krystall eohne
Einwirkung ausserer Krafte sich ausdehnen lasst , und
schliesslich den Winkel misst, den die neue Lage des Strahles
mit der frilheren einschliesst. Uadurch ware die Lage des
Strahlenbuschels 8, gegen S vollig bestimmt, und infolge
dessen auch die atropischen Linien.
Da solche Messungen, wie die beschriebene, noch von
niemand gemacht sind, steht es uns frei, den Strahlenbilschel
S, zu dem Buschel S zu legen, wie wir wollen. Es gilt
dann der oben schon erwkhnte Satz, dass hochstens zwei
Strahlen des einen Biischels auf die entsprechenden Strahlen des anderen fallen. Legen wir S, so auf S, dass irgend
ein bestimmter Strahl a auf den ihm entsprechenden Strahl
a, zu liegen kommt, so haben die Biischel S und S, im
allgemeinen noch einen Strahl b, resp. b, entsprechend gemein,
34 *
532
E. Blasius.
und es folgt daraus, da der Winkel, den a und I einschliessen,
derselbe sein muss wie der, den a, und b, einschliessen:
6. Z u i r g e n d e i n e m S t r a h l a litsst s i c h i m a l l g e m e i nen ein und n u r ein S t r a h l b finden, dessen Neigung
z u a v o r d e r A u s d e h n u n g d i e s e l b e i s t , wie n a c h h e r .
Diese Verhaltnisse lassen sich am leichtesten iibersehen,
wenn wir Gebrauch machen von einer der wichtigsten Eigenschaften der projectivischen Strahlenbtischel, namlich derjenigen, dass sie sich in perspectivische Lage bringen lassen,
Sei a die Punktreihe, deren Schein die Biischel S und S,
heide sind. Legen wir dann durch die Punkte S und Sl
irgend einen Kreis, der u schneidet, und verbinden die Schnittpunkte A und B desselben rnit den Punkten S und S,, so
entsprechen den Strahlen S A und S B beziehungsweise die
Strahlen S , A und SIB, zugleich muss der Winkel A S B
gleich dem Winkel A S , B sein.
7. Daraus lernen wir zu irgend einem Strahl a des
ersten Biischels denjenigen Strahl zu construiren, der vor
und nach der Ausdehnung rnit a denselben Winkel einschliesst.
W i r brauchen nur durch S, S, und den Punkt A, in dem Q
die Gerade u schneidet, einen Kreis zu legen, und S rnit
dem zweiten Schnittpunkte B des Kreises mit u zu verbinden.
Die Gerade S B ist die gesuchte.
8. Um die ,,thermischen Axen", d. h. die Geraden, die
sowohl vor wie nach der Ausdehnung aufeinander senkrecht
stehen, zu finden, ist ein Kreis durch S und S, zu legen,
dessen Mittelpunkt M auf u liegt (Fig. 5). Verbinden wir
dann die Schnittpunkte A und B des Kreises und der Geladen u sowohl mit S wie mit S,, so sind S A , S B , resp.
S,A und S,B die thermischen Axen. Der Mittelpunkt M
wird gefunden, indem man in dem Ealbirnngspunkte der
Strecke SS, auf dieser ein Loth errichtet, welches u in M
schneidet.
Statt nun wie bisher nur zivei Phasen der Aenderung
unseres Systems zu beobachten, ziehen wir jetzt eine dritte
Phase hinzu und untersuchen also den Fall von zwei Ansdehnungen. Der Strahlenbtischel S moge durch die eine
Ausdehnung in S,, durch die andere in S, ubergefuhrt werden.
E. Blasius.
633
W i r konnen S und Slwie oben in perspectivische Lage zu
einer und derselben Punktreihe u bringen. S, ist dann projectivisch auch zu u und liisst sich ebenfalls zu der Punktreihe u in perspectivische Lage bringen. Durch die Centra
der drei Bttschel S , S, und S, kann ein einziger Kreis gelegt werden. Verbindet man dann die Punkte A und B, in
denen der Kreis u schneidet, mit den Punkten S, S, und S,,
so sind die Winkel A S B , AS,B und AS,B alle gleich, und
die Strahlen S A und S B sind die einzigen im Blischel S,
die nach beiden Ausdehnungen dieselbe Neigung gegeneinander haben als vorher; sie sind daher die einzigen Linien,
die fur beide Ausdehnungen atropisch sein konnten. Es folgt:
9. B e i zwei A u s d e h n u n g e n d e s S y s t e m s g i b t e s
n u r zwei L i n i e n , d i e n a c h b e i d e n A u s d e h n u n g e n
d i e s e l b e N e i g u n g z u e i n a n d e r h a b e n wie v o r h e r .
Ferner:
10. S i n d b e i zwei A u s d e h n u n g e n d i e a t r o p i s c h e n
L i n i e n d i e s e l b e n , so m u s s e n d i e t h e r m i s c h e n A x e n
b e i d e n b e i d e n A u s d e h n u n g e n v e r s c h i e d e n e sein.
S i n d d i e t h e r m i s c h e n A x e n bei zwei A u s d e h n u n g e n
d i e s e l b e n , s o m i i s s e n die a t r o p i s c h e n L i n i e n f a r
d i e s e A u s d e h n u n g e n v e r s c h i e d e n sein. E i n e A u s n a h m e von diesem S a t z i s t d e r F a l l , in welchem die
a t r o p i s c h e n L i n i e n s e l b s t d i e t h e r m i s c h e n A x e n sind.
Haben wir es nicht mit drei Phasen, sondern mit beliebig vielen zu thun, und sollen die atropischen Linien
immer dieselben s e h , so liegen alle Mittelpunkte der Strahlenbiischel S,, S,, S, etc., in die der Strahlenbiischel S iibergeht, wenn man die Strahlenbuschel idle in perspectivische
Lage zu einer Punktreihe u gebracht hat, auf der Peripherie
eines Ereises K.
11. Betrachten wir dann. unter derselben Voraussetzung,
dass die atropischen Linien immer dieselben sein sollen,
s t e t i g e Aenderungen des Systems, so muss, wenn wir die
verschiedenen Phasen des Strahlenbiischels S in perspectivische Lage zu einer und derselben Punktreihe bringen,
das Centrum dieses Strahlenbiischels sich stetig auf dem
Kreise K bewegen. Dann 1Lst sich auf folgende Weise die
684
E. Blasius.
Lage der thermischen Axen in jedem Moment der stetigen
Aenderung des Systems angeben. Man sucht den Kreis K,,
der durch die beiden sehr nahe aneinander liegenden Punkte
S und Sl auf K geht, und dessen Mittelpunkt auf der
Bunktreihe u liegt. I m Grenzfalle (Fig. 6) wo S, rait S zusammenfallt, construirt man die Tangente in S und errichtet
in S auf dieser eine Normale, bis letztere u in Ml schneidet,
d. h. einfacher, man verliingert den durch S gehenden Radius
M S von K bis zum Schnitte Ml mit u und beschreibt mit
dem Radius M I S einen Kreis Kl. Dieser schneidet u in
zwei Punkten X und Y , die, mit S verbunden, die thermischen Axen ergeben.
12. F u r den Fall, dass bei stetiger Aenderung des
Systems die atropischen Linien nicht immer dieselben bleiben,
beschreibt das Centrum des Strahlenbuschels S, wenn wir
wieder alle seine Phasen in perspectivische Lage zu einer
Punktreihe u bringen, nicht mehr, wie eben, die Peripherie
eines Kreises, sondern dasselbe bewegt sich auf irgend einer
Curve. Diese Curve gibt uns zusammen mit der Punktreihe u ein Bild von den thermischen Aenderungen des
Systems. Beispielsweise wurde fur eine jede Ebene eines
regularen Krystalles, wo lteine WinkelOnderungen auftreten,
und daher die verschiedenen Phasen des StrahlenbIischels S
lauter projectivisch gleiche Biischel sind, die Curve aus einem
einzigen Punkte bestehen. F u r den Fall einer Symmetrieebene im rhombischen System, wo die beiden Axen zugleich
constante thermische Axen und atropische Linien sind, ist
die Curve ein Kreis, dessen Nittelpunkt auf u liegen muss.
13. 1st die fiir die Ausdehnung charakteristische Curve C
gegeben und die Punktreihe u, so lasst sich auch wieder sehr
leicht die Lage der thermischen Axen fur jede Phase des
Systems finden, wenn wir unter den thermischen Axen fur
eine Phase des Systems diejenigen thermischen Axen verstehen, die fiir die Aenderung von der betreffenden in eine
unendlich benachbarte Phase gelten. W i r construiren wieder
denjenigen Kreis K, der C in dem die Phase bestimmenden
Punkte S tangirt, und dessen Mittelpunkt auf u liegt. Sind
E. Blasius.
536
X und Y die Schnittpunkte von K mit u , so sind S X und
S Y die thermischen Axen.
14. W i r wenden uns jetzt zu der Aufgabe, duroh Construction die atropischen Linien zu finden. Dttmit disselbesl
hestimmt seien, forderten wir oben (unter 5.) als nothwendige
und hinreichende Angaben die beiden Phasen des Strahlenbiischels S und ihre gegenseitige Lage. Angenommen wurde
noch, dass dieselben concentrisch seien. Wir verfahren naoh
Reye') folgendermassen. Durch S werde ein Kreis gelegt
(Fig. 7). Derselbe schneide drei Strahlen des ersten BUschels
in A , B und C, die entsprechenden Strahlen des zweiten
Btlschels in A,, B, und C,. Verbinden wir dann durch die
Gerade u den Schnittpunkt von A B , und A,B mit dem
Schnittpunkte von BC, und B,C und bringen u mit dem
Kreis6 zum Durchschnitt in M und iV, so sind S M und S N
die gesuchten atropischen Linien.
Sollen fur eine Reihe weiterer thermischer Veriinderungen dieselben Krystalllinien atropische Linien bleiben, so
ist nothwendig, dass sich (Fig. 8) AB, und A,B, AB, und
A3B, AB, und A,B auf M N schneiden, wobei A2,B,, C,,
A S ,B3, C, und A,, Bq, C, die Schnittpunkte der Krystalllinien S A , S l ? , S C in ihren neuen Lagen nach jeder Ausclehnung mit dem oben erwahnten Kreis sind. Ebenso ist
ferner nothwendig, dass sich auf M N schneiden BC, und
B,C, l?C3 und B,C, BC, und B4C Daraus folgt, dass
der Strahlenbuschel A ( B , B , B , B , ) perspectivisch zum Btischel
B(A,A,A,A,)
ist. Danun A(B,B,B,B,)
projectivischist zu S(B,B,B,B,)
und B ( A , A ~ Aprojectivisch
~A,)
ist zu S(A,A,A,A,),
so ist endlich
~A,)
zu S ( B , B , B , B , ) . E s folgt
der Biischel S ( A ~ A ~ Aprojectivisch
demnach der Satz:
15. W e n n d i e a t r o p i s c h e n L i n i e n b e i e i n e r R e i k e
v o n t h e r m i s c h e n A e n d e r u n g e n dieselben b l e i b e n ,
so beschreiben die durch ihren S c h n i t t p u n k t S
g e h e n d e n S t r a h l e n S A , S B , S C etc. zu e i n a n d e r p r o j e c t ivisc h e St r a h l e n bii s c hel.
Die entsprechend gemeinen Strahlen aller dieser Strahlen1) Reye, Geomctrie der Lagc. 2. Aufl., 1. p. 140-141.
1882.
536
E. Blasius.
buschel sind die atropischen Linien SM und S N , wovon
man sich leicht an der Figur iiberzeugt.
Wir nennen mit S e y d e w i t z die Punkte und Geraden
eines Systems, welche auf die ihnen entsprechenden Oebilde
eines affinen Systemsfallen, S i t u a t i o n s p u n k t e und S i t u a t i o n s g e r a d e n . Dieselben hangen natiirlich von der gegenseitigen Lage der beiden Systeme ab. Zu den Yituationslinien zweier affinen Systeme gehort immer die unendlich
ferne Gerade, ausserhalb dieser haben zwei affine Systeme
im allgemeinen noch einen Punkt gemein und zwei durch
diesen gehende Gerade. Nehmen wir a n , dass ein 0ystem
eine Wlrmeausdehnung erfahre, ohne dass itussere Krafte
mit zur Bewegung beitragen, so miissen diejenigen beiden
Linien, die ihre,Lage im Raume beibehalten, also die beiden
Situationslinien fur diesen Fall die atropischen Linien
F l e t c h e r ’ s sein. Verschieben wir dngegen willklirlich das
System, nachdem es sich ausgedehnt hat, so kiinnen wir
irgend zwei Gerade, die ihre Neigungen bei der Ausdehnung nicht verandert haben (vgl. oben 6.), zu Situationslinien
machen. D a die atropischen Linien im Sinne F l e t c h e r ’ s
in geometrischer Beziehung nichts vor den iibrigen mijglichen Situationslinien voraus haben, so lassen sich verschiedene von den obigen Siltzen, in denen die atropischen Linien
vorkommen, erweitern, indem man an die Stelle der atropischen Linien die Situationslinien setzt. Dasselbe gilt auch
fur das Folgende.
Eine Punktreihe 9, deren Trager einer atropischen Linie
a, parallel ist, verwandelt sich in eine zu ihr parallele und
projectivische Punktreihe gl. Verbinden mir einen beliebigen
Punkt von 9 mit dem entsprechenden Punkte von yl, und
verlilngern die Verbindungslinie v bis zum Schnittpunkt P
mit der anderen atropischen Linie a 2 , so gohen durch P
die Verbindungsgeraden von drei einander entsprechenden
Punkten der Geraden 9 und y,; namlich die Gerade v , die
atropische Linie az und eine Gerade parallel zu a,, welche
die unendlich fernen einander entsprechenden Punkte von y
und g1 projicirt. Es folgt, dass 9 zu yI perspectivisch liegt.
P ist dabei das Centrum der Projection. Also:
E. Blusius.
537
16. E i n e P u n k t r e i h e g , d e r e n T r a g e r e i n e r a t r o r
pischen L i n i e parallel lauft, verwandelt sich i n eine
d a z u p e r s p e c t i v i s c h e u n d p a r a l l e l e P u n k t r e i h e , wobei d a s Oentrum d e r Projection auf der a n d e r e n
atropischen Linie liegt.
Wir betrachten wieder mehrere Ausdehnungen, bei denen
die atropischen Linien dieselben sein sollen, und nehmen an,
dass der Punkt A in allen Phasen dieser Ausdehnungen sich
auf einer geraden Linie bewegen SOL Die Punktreihe g,
die man durch A parallel zur atropischen Linie al legt, ist
nach dem vorigen Satz perspectivisch zu allen Punktreihen
g1, g, etc., in die sie bei den Ausdehnungen iibergeht. Weil
die Verbindungslinien des Punktes A mit seinen entsprechenden Punkten alle in v zusammenfallen, wie man aus der
Voraussetzung sieht, so muss der Schnittpunkt von v mit
der atropischen Linie u2 Mittelpunkt eines Strahlenbuschels
sein, zu welchem alle Punktreihen y , gl,g2 etc. perspectivisch liegen. Daraus folgt, dass jeder Punkt der Geraden y
in allen Phasen der Ausdehnung sich auf einer Geraden des
Raumes befinden muss. Dieselbe Beweisfuhrung lehrt uns,
dass das Gleiche fur alle Punkte einer Punktreihe q der
Fall ist, die durch den Punkt A parallel zur zweiten atropischen Linie gelegt wird. Durch jeden Punkt dieser letzten
Geraden q legen wir nun Pnnktreihen parallel zur ersten
atropischen Linie q. Auch alle Punkte dieser Punktreihen,
d. h. alle Punkte der Ebene besitzen die Eigenschaft, die
wir zuerst nur bei A vorausgosetzt haben, und es gilt der Satz:
17. B e w e g t sich e i n P u n k t infolge t h e r m i s c h e r
A u s d e h n u n g e n , bei den'en d i e a t r o p i s c h e n L i n i e n
d i e s e l b e n bleiben, a u f e i n e r G e r a d e n , so b e s c h r e i b e n
a u c h alle iibrigen P u n k t e der Krystallebene g e r s d e
Linien.
Ein Parallelstrahlenbuschel verwandelt sich durch eine
Ausdehnung wieder in einen Parallelstrahlenbltschel. Die unendlich ferne Gerade haben beide gemein, daher sind sie
perspectivisch. Eine Gerade des ersten Buschels wird im
Schnittpunkte der atropischen Linien von der entsprechenden
Geraden des zweiten Buschels geschnitten, und daraus folgt,
538
E. Blasius.
dass die Punktreihe, deren Schcjn b i d e Strahlenbiischel sind,
durch den besagten Punkt geht. Also:
18. A l l e S t r a h l e n e i n e s ParallelstrahlenbUschels,
schneiden sich mit ihren entsprechenden S t r a h l e n
auf einer d u r c h den Schnittpunkt d e r atropischen
Linien gehenden Geraden.
Ein Strahlenbuschel S , dessen Mittelpunkt auf einer
atropischen Linie al liegt, geht in einen Strahlenbuschel S,
uber, dessen Mittelpunkt ebenfalls auf c+ liegt. Durch den
Schnittpunkt P zweier entsprechender Strahlen legen wir
eine Parallele g zur anderen atropischen Linie a 2 , dann
haben die projectivischen Punktreihen, in denen 9 von S und
S, geschnitten wird, drei Punkte entsprechend gemein ; niimlich P und die beiden Schnittpunkte yon g mit den beiden
atropischen Linien , wovon der eine im Unendlichen liegt.
Infolge dessen sind S und S, perspectivisch zu 9.
19. E i n S t r a h l e n b u s c h e l , d e s s e n C e n t r u m a u f
einer atropischen L i n i e liegt, und sein entsprechender Strahlenbtischel sind perspectivisch und Scheine
einer Punktreihe, deren Trager der anderen atrop i s c h e n L i n i e p a r a l l e l lauft.
Ein einziger Strahl eines solchen Ytrahlenbiischels S
bestimmt mit seinem entsprechenden Strahl die Punktreihe,
zu der sowohl dieser Strahlenbtischel S als sein entsprechender perspectivisch Bind. Nun sollen bei mehreren Ausdehnungen die atropischen Linien constant bleiben; ausserdem
wollen wir annehmen, dnss die verachiedenen Geraden des
Systems, in die eine gewisse Gerade a des Krystalles tibergeht, sich allo in einem Punkte des Raumes schneiden.
Die Gerade a schneidet die atropische Linie a, in einem
Punkte 5'. Der Strahlenbtischel, dessen Mittelpunkt S ist,
liegt perspectivisch zu den siimmtlichen Strahlenbuscheln, in
die er iibergeht, und zwar sind sie sammtlich perspectivisch
zu einer Punktreihe g, die dnrch den Schnittpunkt von a
mit den entsprechenden Geraden a , , u , , as etc. parallel zur
anderen atropischen Linie gelegt wird. Sammtliche Strahlen
des Biischels S haben infolge dessen dioselbe Eigenschsft
wie a , jeder schneidet sich mit allen Geraden, i n die er iiber-
E. Blasius.
539
geht, in einemPunkte von g. Alle Strahlen eines Busclaels
S, , dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt einer der Strahlen
des Buschels S mit der zweiten atropischen L i n k a2 ist,
haben dieselbe Eigenschaft wie a. Ein jeder dieser Biischel
enthalt naimlich eine Gerade SS , welche die Eigenschaft
hat, und daraus ergibt sich, wie wir eben fur S geaehen
haben, dass alle Strahlen des Biischels S, die Eigenschaft
habcn. Damit ist der Satz bewiesen:
20. G e h t e i n e G e r a d e a i n m e h r e r e n P h a s e n d e r
A u s d e h n u n g , bei d e n e n d i e a t r o p i s c h e n L i n i e n d i e selben sind,durch einen P u n k t P d e s Raumes, so geht
s u c h j e d e a n d e r e G e r s d e 6 des Systems bei diesen
P h a s e n d u r c h d e n s e l b e n P u n k t Q.
Fiir den Fall, dass die Bedingungen des vorigen Satzes
bei einer Aufeinanderfolge von stetigen Aenderungen des
Systems erfullt sein sollen, ist noch der Weg zu untersuchen,
den ein Punkt des Krystalles beschreilit. Der Strahlenbiischel, dessen Mittelpunkt ein beliebjger Punkt P der Ebene
ist, geht in einen projectivischen Bllschel iiber. Bei der ersten
Ausdehnung mag der Buschel, dessen Mittelpunkt P ist, in
einen Buschel P1 iibergehen. Entsprechende Strahlen von
P und Pl schneiden sich, wenn die atropischen Linien reel1
sind, auf Punkten einer Hyperbel H, die durch den Schnittpunkt der atropischen Linien geht, und deren Asymptoten
den letzteren parallel laufen. Bei der folgenden Ausdehnung
gehe Pl in einen Buschel Pzuber. Aus unseren Bedingungen
folgt, dass jedcr Strahl von P
' durch den Punkt der Hyperbel II geht, in dem sich die entsprechenden Strahlen von
P und P, schneiden. Dies ist, da P
' zur Hyperbel projectivisch ist, nur moglich, wenn Pz selbst auf der Hyperbel
liegt.') Es folgt also:
21. B l e i b e n b e i s t e t i g e n A u s d e h n u n g e n d e s
Systems die (reellen) atropischen Linien dieselben,
u n d ~ i s td i e B e d i n g u n g e r f i i l l t , d a s s e i n e u n d f o l g lich jede G e r a d e d e s K r y s t a l l e s in allen Phasen
d e r A u s d e h n u n g d u r c h d e n s e l b e n P u n k t g e h t , so
1)
R e y e , Geometric der Lagc:. 1. p. 108. 1382.
540
E. Blasim.
b e w e g t s i c h im a l l g e m e i n e n e i n j e d e r P u n k t d e s
Systems auf einer Hyperbel.
Die Satze 16, 18 und 19 eind nur Specialfhlle einiger
von S e y d e wi t z I) fur die Situationelinien und Situlttionspunkte ausgeeprochener Siitze.
Da eine Punktreihe a bei einer Ausdehnung in eine zu
Q projectivische Punktreihe a, verwandelt wird , so bilden
die Verbindungslinien entsprechender Punkte einen Strahlenbuschel zweiter Ordnung, und da a und u1 ahnlich sind, so
umhullt dieser Strahlenbuschel zweiter Ordnung eine Parabel.
Also :
22, B e i e i n e r u n e n d l i c h k l c i n e n A u s d e h n u n g
urnhiillen die B e w e g u n g s r i c h t u n g e n a l l e r P u n k t e
einer Geraden e i n e Parabel. Bei einer endlichen
A e n d e r u n g des S y s t e m s u m h i i l l e n d i e V e r b i n d u n g e n
ftller P u n k t e , d i e vor d e r A u s d e h n u n g a u f e i n e r
G e r a d e n l i e g e n , m i t den e n t s p r e c h e n d e n P u n k t e n
nach der Ausdehnung eine Parabel.
Ausnahmefalle, wo die einander ontsprechenden Punktreihen perspectivisch liogen, wo also die Bewegungsrichtungen
der Punkte einer Geraden alle durch eidon Punkt gehen,
haben wir schon friiher (vgl. Satz 16) kennen gelernt.
Nun mag noch hier der Satz B u r m e s t e r ' s 2 ) seinen
Platz finden:
23. D e r g c o m e t r i s c h e 0 r t d e r S y s t e m p u n k t e
einer P h a s e eines affin verandorlichen ebenen Sys t e m s , w e l c h e g 1ei c he G e s chw i n d i g k e i t e n .h csi t Zen,
ist eine Ellipse, deren Mittelpunkt der Geschwindigkeitspol ist.
,,OeschwindigkeitspoP nennt Hr. B u r m e s t e r den sich
selbst entsprechenden Punkt der beiden Systeme. Da bei
der Ausdehnung der Krystalle die Zeit keine Rolle spielt,
so habe ich den Ausdruck Oeschwindigkeitspol sonst nicht
gebraucht. An die Stelle von ,,Geschwindigkeiten (' kann
inan in dem obigen Satz ,,Verschicbungen" setzen.
1) S c y d e w i t z , Grunert's Arch. 8. p. 25. 1846.
2) B u r m e a t c r , Zeitschr. f. Math. 11. Pliys. ?3. 1). 123. 1878.
E. Blasius.
64 1
Hiermit ist die Reihe leicht abzuleitender SHtze ftir die
Ausdehnung in der Ebene nicht abgeschlossen. W i r verlassen aber jetzt diese einfachere Theorie und wenden uns
zu der Lehre von der Ausdehnung der Krystalle als affinveranderliche raumliche Systeme.
11. D i e A u s d e h u u n g i m R a u m e .
Fur die asymmetrischen Krystalle ist die thermische
Ausdehnung im Raume von hoher Eedeutung. Die Anwendung der Geometrie der Lage auf diesen allgemeinen Fall
zeigt sich noch niitzlicher, als ihre Anwendungen auf die
thermischen Veranderungen in der Ebene. Hier, wo die
rechnenden Methoden sehr hohe Anforderungen an das Anschauungsvermogen stellen, lasst sich am ehesten der Vortheil
der geometrischen Methode wtirdigen.
Wir haben es jetzt also mit affinen raumlichen Systemen
zu thun. E s lasst sich fast alles, wie bei den obenen Systemen wiederholen. Ausser der unendlich fernen Situationsebene besitzen zwei affine Systeme im allgenieinen einen
Situationspunkt im Endlichen. Durch diesen gelien d a m
noch hochstens drei Situationsebenen und drei Situationsstrahlen, wenn wir nicht den besonderen Fall der perspectivischen Lage haben.
Zu den Situationsebenen gehijren die atropischen Ebenen
Fle.tcher’s, und mar sind dies diejenigen Situationsebenen,
die wir erhalten, wenn die gegenseitige Lage der beiden
Systeme der thermischen Ausdehnung ohne Einwirkung
ausserer Krafte entsprich t. W ie schon fur die Ausdehnung
in der Ebene bemerkt wurde, haLen wir im allgemeinen
noch keine Beobachtungen fiber die Lage der atropischen
Ebenen. In besonderen Fallen allerdings, niimlich f i r die
regularen und optisch einaxigen, sowie fur die rhombischen
Krystalle lassen sich die Verhiiltnisse schon ohne weiteres
iibersehen. Fur das regulkre Erystallsystem mussen alle
Ebenen atropisch sein, fur die einaxigen Krystalle alle durch
die Esuptaxe gelegten Ebenen und die zu ihr senkrechte
Symmetrieebene, und fiir die rhombischen Krystalle die drei
Symmetrieebenen. I n letzterem Falle sind die thermischen
542
E. Blnsius.
Axen zugleich atropische Linien. Bei den Erystallen des
lnonosymmetrischen Systems lllsst sich noch eine atropische
L i n k upd eine atropische Ebene angeben; nBmlioh die Symmetrieaxe und die Symmetrieebene. Ueber die atropischen
Ebenen im asymmetrischen System 18sst sioh nichts sagen,
weil keine experimentellen Angaben vorliegen ; fir die beiden
atropischen Ebenen die im monosymmetrischen Systeme
noch unbekannt sind, k s s t sich nur behaupten, dass sie
senkreoht auf der Ebene der Symmetrie stehen miissen.
24. V o n e i n e m Biischel p a r a l l e l e r E b e n e n irn
ersten S y s t e m und dem ihm entsprechenden Bilschel
i m a n d e r e n S y s t e m s c h n e i d e n s i c h j e zwei h o m o loge E b e n e n auf einer durch den S i t u a t i o n s p u n k t
gehenden Ebene.
Die beiden Biischel sind nSlmlich projectivisch und haben
ihre unendlich ferne Ebene entsprechend gemein, liegen also
perspectivisch. I n dem Situationspunkt aber schneiden sich
zwei homologe Ebenen der Bilschel.
25. Hiernach ergibt sich die Construction des Situationspunktes, wenn vier Paar hoinologe Punkte oder Ebenen der
ttffinen Systeme gegeben eind. Dieselben bilden zwei einander entsprechende Tetraeder. 1 s t s die Schnittlinie von zwei
einander entsprechenden TetraBderflachen und s1 diejenige
der zu ihnen beziehungsweise parallelen Ebenen, welche durcli
die gegeniiberliegenden Tetraederecken geheu, so liegen s
und s1 mit dem gesuchten Situationspunkte in einer Ebene 6 .
Man erhillt auf diese Weise vier Ebenen 6 , welche sich in
dem Situationspunkte schneiden.
26. Einer Kugel im einen affinen System entspricht ein
Ellipsoid im anderen. Den drbi Hauptaxen des Ellipsoides
entsprechen als conjugirte Durchmesser drei aufeinander
senkrecht stehende Durchmesser der Kugel. Dies sind die
Linien der grassten, kleinsten und mittleren Ausdehnung
oder die t h e r m i s c h e n Axen.
Jeder Strahlenbundel des einen Systems geht in einen
collinearen Strnhlenbiindel des anderen Systems iiber und
es gilt der Satz:
I n zwei collinearen StrahlenbundeIn gibt es allemal ein
E. Blusius.
543
paar homologe rechtwinklige Dreikante, d. h. es gibt drei
zu einander rechtwinklige Strahlen des einen, welchen drei
ebensolche Strahlen des anderen entsprechen.') Diese Tripel
von rechtwinkligen Strahlen sind die t h e r m i s c h e n Axen.
Zwei collineare rilumliche Systeme erzeugen im allgemeinen einen Strahlencomplex zweiten Grades. Zwei einander
entsprechende Ebenen der collinearen Systeme schneiden sicli
in einem Strahl desselben, und zwei einander entsprechende
Punkte werden durch einen seiner Strahle verbunden. Die
entsprechend gemeinen Punkte und Ebenen der beiden collinearen Riiume nennt man Hauptpunkte und Hauptebenen
des Complexes. Sind diese alle reell, so gibt es im allgemeinen hochstens vies Hauptpunkte und vier Hauptebenen.
Diese sind die Ecken und Flachen des sogenannten Haupttetmeders. Zwei affine Raume erzeugen einen Strahlencomplex, dessen eine Hauptebene die unendlich ferne Ebene
ist. Wir nennen mit Hrn. B u r m e s t e r diesen tetragdralen
Strahlencomplex , dessen eine Hauptebene im Unendlichen
liegt, einen t r i e d r a l e n S t r a h l e n c o m p l e x . Den im Endlichen l i e g e d e n , sich selbst entsprechenden Punkt oder
Situationspunkt der beiden affinen Systeme nennt B u r i n e s t e r den G e s c h w i n d i g k e i t s p o l . Wir wollen ihn im
Folgenden den , , V e r s c l ~ i e b u n g s p o l " nennen. Bei einer
thermischen Aenderung des Krystalles von einer Telnperatur
zu einer urn eine endliche Differenz davon verschiedenen
Temperatur wird jeder Punkt .des Krystalles eine Curve beschreiben. In den folgenden Satzen nennen wir die Strecke,
die die Anfmgslage eines Punktes mit seiner Endlage verbindet, die V e r s c h i e b u n g des Punktes. F u r eine \Terschwindend kleine Temperaturdiiferenz ist diese Verschiebung
der wirkliche Weg des Punktes. I n denjenigen der folgenden Satze, die von B u r m e s t e r entlehnt sind, ersetzen wir
die ,,GeschwindigkeitenLL,welche B u r m e s t e r braucht, durch
,,Verschiebungen.': Die Beweise der nachsten Satze ergeben
sich ohne weiteres.
27. D i e G e s a m m t h e i t a l l e r G e r a d e n i n e i n e r
P _h_a s e.- e i n e s a f f i n v e r a n d e r l i c h e n S y s t e m s , d e r e n
1)
Vgl. S e y d e w i t z , Grunert's Arch. 9. p. li0. 1847.
E. Blasius.
544
P u n k t e in einer Ebene liegende Verschiebungsr i c h t u n g e n besitzen, bilden einen t r i e d r a l e n S i r a h lencomplex; und die i n einer Ebene liegenden Vers c h i e b u n g s r i c h t un ge n um hii 1l e n e i n e Par a b el.1)
28. D i e V e r s c h i e b u n g s r i c h t u n g e n d e r P u n k t e
e i n e r G e r a d e n des a f f i n v e r l n d e r l i c h e n S y s t e m s e r f ii 11e n e i n h y p e r boli sc h e s P a r a b o 1oi d.2)
29. D i e V e r s c h i e b u n g s r i c h t u n g e n d e r P u n k t e
jeder durch den Verschiebungspol gehenden Gerad e n 6ind ~ a r a l l e l . ~ )
30. D e r g e o m e t r i s c h e O r t d e r S y s t e m p u n k t e
einee affin verilnderlichen Systems , deren V e r schiebungsrichtungen durch einen P u n k t gehen, ist
e i n e R a u m c u r v e d r i t t e r O r d n u n g , welche d i e s e n
P u n k t u n d d e n V e r s c h i e b u n g s p o l e n t h t i l t , und d i e s e
R i c h t u n g e n erftillen e i n e K e g e l f l a c h e z w e i t e r O r d n u n g4)
,,Zwei entsprechende Ebenenbiischel in zwei affinen
Systemen erzeugen ein durch die selbstentsprechenden Punkte
gehendes Hyperboloid", daraus folgt:
31. B e i e i n e r v e r s c h w i n d e n d k l e i n e n A e n d e r u n g des K r y s t a l l e s durch die W a r m e drehen sich
alle, d u r c h eine Gernde desselben gehenden E b e n e n u m G e r a d e e i n e s H y p e r h o l o i d s . Ferner:
32. D e r g e o m e t r i s c h e O r t d e r P u n k t e e i n e s
a f f i n ve r a n d e r 1i c h e n S y s t e m s , d e r e n V e r s c h i e b u n g srichtungen eine Gerade schneiden, i s t ein durch
diese G e r a d e und den Verschiebungspol gehendes
H y p e r b o l o i d , und d i e G e s a m m t h e i t d i e s e r R i c h t u n g e n u m hu 11t e i n e C om pl e x f 1a c h pS6)
Ein Parallelebenenblischel u verwandelt sich in einen
Parallelebenenbuschel u,. Die entsprechenden Ebenen der
beiden Buschel schneiden aich auf einer (lurch den Verschie1) Burrnest er, 1.
2) Burrnester, 1.
3) Burrnester, 1.
4) Burrnester, 1.
c. Sxtz 30.
c. Satz 31.
c. Satz 32.
c. Satz 33.
5) Burrnest er, 1. c. Satz 34.
E. Blusius.
546
bungspol gehenden Ebene 6. Alle Punkte, deren Verschiebungen in den Ebenen des Bllschels u1 stattfinden, miissen
auf der E t e n e E liegen. Diese Verschiebungen sind alle
senkrecht zii der Normalen auf dem Bilschel u l ; daraus folgt:
33. A l l e P u n k t e i n e i n e r P h a s e e i n e s a f f i n
veriinderlichen Systems, deren Verschiebungsricht u n g e n s e n k r e c h t zu e i n e r G e r a d e n s i n d , l i e g e n in
e i n e r d u r c h den Verschiebungspol gehenden Ebene.
Dieser Satz ist \Ton Hrn. D u r r a n d e l ) analytisch abgeleitet worden. Der synthetische Beweis riihrt von Hrn. B u r m es t er a) her.
Eine Ebene El im affinen System S, gehe bei einer
gewissen Aenderung der Temperatur in die Ebene E2 im
System S, Liber. Der Schriittgeraden von El und E, im
System S2 entspricht eine auf El liegende Gerade im System
S,. Projiciren wir die Punkte der Ebene E, senkrecht auf
die erste Ebene El, so sind das urspriingliche ebene System El
und die auf E, liegende Projection von E, zu einander affin
und haben einen im Endlichen liegenden Punkt und zwei
durch diesen gehende Gerade, die nicht reel1 zu sein brauchen, entsprechend gemein; hieraus folgt:
34. In j e d e r E b e n e El e i n e r P h a s e e i n e s a f f i n
veriinderlichen Systems g i b t es einen P u n k t , dessen
V e r s c h i e b u n g s r i c h t u n g s e n k r e c h t zu d i e s e r E b e n e
El i s t , und zwei d u r c h d i e s e n P u n k t g e h e n d e r e e l l e
oder imaginare Gerade, d i e solche P u n k t e tragen,
d e r e n V e r s c h i e b u n g s r i c h t u n g e n i n s e n k r e c h t s u f El
s t e h e n d e n E b e n e n l i e g e n , uncl f e r n e r e i n e G e r a d e ,
f u r deren P u n k t e d i e Verschiebungsrichtungen in
d e r E B e n e El s e l b s t liegen.
Ausgeschlossen sind bei diesem Satz die sich selbst entsprechenden (atropischen) Ebenen von S, und 8,. Satz und
Beweis sind von Hrn. Burmester.3)
Ohne den Beweis fiihren wir hier den zu 23. analogen
Satz an:
__ -
1)
- ---
.
Durrande, Compt. rend. 74. p. 1243. 1872.
2) B u r m c s t c r , 1. c. Satz 95.
3) B u r m e u t e r , 1. c. Satz 36.
Ann. d. Phye.
U.
Chem. N. tz. X X I I .
35
E. Blasius.
546
36. D e r g e o m e t r i s c h e O r t d e r S y s t e m p u n k t e e i n e r
P h a s e e i n e s a f f i n v e r a n d e r l i c h e n S y s t e m s , welche
gleiche Verschiebungen erleiden, i s t ein Ellipsoid,
d e s s e n M i t t e l p u n k t d e r V e r s c h i e b u n g s p o l ist.1)
Ein tetraedraler Strahlencomplex ist bestimmt, wenn
das Haupttetraeder gegeben ist und ausserdem ein Strahl
des Complexes. Ein trigdraler Strahlencomplex ist daher
bestimmt, wenn die drei im Endlichen liegenden Hauptebenen und ein Strahl gegeben sind. F u r unseren Fall heisst
das: Der Complex von Verschiebungsrichtungen aller Punkte
ist gegeben durch die atropischen Ebenen und die Verschiebungsrichtung eines Punktes. Wenn wir annehmen, dass
bei stetigen Aenderungen des Systems zwischen verschiedenen
Temperaturen die atropischen Ebenen dieselben bleiben
sollen, und entweder:
1. ein Punkt sich immer auf einer Geraden des Raumes
bewegen 6011, oder:
2. eine Ebene immer durch eine Gerade des Raumes
gehen 8011,
80 muss bei einer Ausdehnung aus irgend einer der betrachteten Phasen in irgend eine andere immer derselbe trisdrale
Ytrahlencomplex entstehen, und es ergibt sich 2, :
36. B l e i b e n d i e a t r o p i s c h e n E b e n e n fiir e i n e
R e i h e von s t e t i g e n A e n d e r u n g e n e i n e s K r y s t a l l e s
d i e s e l b e n , und b e w e g t s i c h e i n P u n k t d a b e i i m m e r
auf e i n e r G e r a d e n , s o b e w e g t s i c h j e d e r a n d e r e
P u n k t ebenfalls a u f einer Geraden, und jede Ebene
beschreibt einen E benenbuschel d r i t t e r Ordnung.
37. B l e i b e n d i e a t r o p i s c h e n E b e n e n f a r e i n e
R e i h e von s t e t i g e n A e n d e r u n g e n eines K r y s t a l l e s
dieselben, und sclineidet sich eine E b e n e E m i t allen
i h r entsprechenden in einer G e r a d e n g des Raumes,
s o s c h n e i d e t s i c h a u c h j e d e a n d e r e E b e n e El d e s
K r y s t d l e s mit ihren entsprechenden i n einer Ger a d e n gl,u n d j e d e r P u n k t b e s c h r e i b t . e i n e R a u m curve d r i t t e r Ordnung.
-- --
.- .
1) B u r m c s t e r , 1.
c. Satz 33. p. 127.
2) R e y e , Geometric der Lagc. 2. p. 144. 1882..
E. Blasius,
547
Betrachten wir drei Phasen S,, S, und S, eines Strahlenbiindels S. Dieselben sind collinear, von ihren homologen
Ebenen schneiden sich je drei in einem Punkte, und der
Ort dieser Punkte ist eine Fl'ache dritter Ordnung. Es gibt')
im allgemeinen hochstens sechs Gerade, in denen je drei
homologe Ebenen der Biindel sich schneiden.
38. V o n a l l e n E b e n e n , d i e d u r c h e i n e n P u n k t
eines E r y s t a l l e s gehen, drehen sich im allgemeinen
h o c h s t e n s s e c h s bei zwei a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n v e r s c h w i n d e n d k l e i n e n A u s d e h n u n g e n j e um d i e s e l b e
Gerade des Raumes.
Man bezeichnet in der Krystallographie a19 zu einer
,,Zone" gehiirig, solche ebene Frachen, die derselben Geraden
parallel laufen. E s ist von besonderem Interesse, zu erfahren,
wie die gegenseitige Neigung solcher in einer Zone liegenden
oder tautozonalen FFlichen sich mit der Temperatur Bndert.
Bei unseren Betrachtungen reprasentirt der Ebenenbiischel I.
Ordnung, der aus allen durch eine Gerade gehenden Ebenen
besteht, soweit Neigungen zwischen den verschiedenen Ebenen
in Betracht kommen, die Zone im krystallographiachen
Sinne.
Jeder Ebenenbiischel I. Ordnung verwandelt sich bei
der Ausdehnung in einen zu ihm projectivischen Ebenenbllschel. Schneiden wir beide Ebenonbiischel durch Ebenen
senkrecht zu den Axen, so erhalten wir zwei Strahlenbiischel,
die ebenfalls zu einander projectivisch sind. Zwei Strahlen
eines dieser Strahlenbuschel schliessen den Pu'eigungswinkel
der entsprechenden Ebenen ein. Indem wir die beiden
Strahlenbiischel in perspectivische Lage bringen, lassen sich
leicht die folgenden SBtze beweisen, fur die wir auch nur
auf die Satze 6, 7 , 8 , 9 und 10 des ersten Theiles hinzuweisen brauchen.
39. Z u j e d e r E b e n e e i n e r Z o n e liisst s i c h e i n e
andere Ehene finden, die vor und nach der A u s dehnung mit jener denselben W i n k e l einschliesst.
40. Es l a s s e n s i c h i m m e r zwei E b e n e n f i n d e n ,
I ) R e y e , Geometrie der Lage. 2. p. 216. 1882.
35 *
548
E. BEasius.
die vor und nach der Ausdehnung einen gegebenen
W i n k e l einschliessen.
41. E s g i b t i n e i n e r Z o n e zwei E b e n e n , d i e v o r u n d
n a c h d e r Ausdehnung aufeinander senkrecht stehen.
42. In e i n e r Z o n e g i b t es n u r zwei E b e n e n , d i e
i n drei Phasen des Systems denselben Winkel eins c hli essen.
43. In e i n e r Z o n e g i b t es i m a l l g e m e i n e n g a r
k e i n e E b e n e n , d i e i n v i e r oder m e h r P h a s e n d e s
S y s t e m s d e n s e 1b e n W i n k e 1 e i n s c h 1i es s e n.
Es kann unter besonderen Umstanden aber eintreten,
dass alle Ebenen einer Zone ihre gegenseitige Neigung bei
der Ausdehnung beibehalten. Fur das 'regullre Krystallsystem haben alle Zonen diese Eigenschaft, bei den optisoheinaxigen nur die Zone, deren Axe Hauptaxe ist. Nach
einem Satze, der wohl unter den neuen, durch Anwendung der synthetiechen Blethode gefundenen Satzen der
wichtigste ist, miissen auch bei der Ausdehnung von Krystallen, die den anderen Systemen angehiiren, solche Zonen vorhanden sein. Wenn die Winkel zwischen allen Ebenen einer
Zone in zwei Phasen der Ausdehnung die gleichen sein sollen,
so miissen zwei homologe projectivisch gleiche Ebenenbiischel
vorhanden sein. In zwei collinearen Strahlenbiindeln S und
S, sind aber in der That zwei Paar homologe projectivisch
gleiche Ebenenbiischel vorhanden. Dieselben lassen sich nach
R e y e ' ) finden. W i r konnen sie die ,,isogonalen" Zonen
nennen.
44. Es g i b t f u r j e zwei P h a s e n d e r A u s d e h n u n g
zwei ,,isogonale" Z o n e n , d. h. zwei Z o n e n , i n w e l c h e n
alle Ebenen nach d e r Ausdehnung dieselben Winkel
e i ns c h l i e 8 s en, w ie v o r h e r..
Aus der Construction der Axen dieser Zonen ergibt
sich, dass dieselben in einer der Symmetrieebenen desjenigen
Ellipsoides der zweiten Phase liegen, in welches eine Kugel
der ersten Phase ubergeht, und dass sie zu den beiden
1)
Reye, Geornetrie der Lage. 8. p. 267. 1882.
E. Blasius.
649
anderen Symmetrieebenen desselben Ellipsoides symmetrisch
liegen. Also :
45. D i e A x e n d e r i s o g o n a l e n Z o n e n l i e g e n i n d e r
E b e n e zweier t h e r m i s c h e n A x e n und s y m m e t r i s c l i
zu denselben.
Im rhombischen Systeme liegen also die beiden Axen
der isogonalen Zonen ikhnlich wie die optischen Axen, d. h.
in einer Symmetrieebene und symmetrisch zu den beiden
anderen. Ebenso wie die thermischen Axen und atropischen
Linien fiir verschiedene Temperaturintervalle nicht dieselben
zu sein brauchen, ist es auch nicht nathig, dass bei verschiedenan Ausdehnungen eines Krystalles die isogonalen
Zonen dieselben seien.
S c h l u ss.
Manche der oben aufgefiihrten neuen Satze konnen nicht
den Anspruch machen, fur die Krystallographie von Wichtigkeit zu sein. Aber auch sie durften beweisen, wie werthvoll die Beachtung der Beziehung der Affinitiit fiir eine klare
Einsicht in die verwickelten Verhtiltnisse bei der Ausdehnung der Krystalle ist. Denselben Zweck erfiillen auch
die einfachen Herleitungen schon bokannter Satze durch
unsere Methode. Am besten hat sich aber die Methode bew a r t bei der Ableitung einiger neuer SLtze, die auch
krystallographisches Interesse besitzen, so des Satzes von
den ,,isogonalen" Zozlen. Endlich ist zu bemerken, dass von
der Ftille leicht abzuleitender SLtze nur einige liier ihre
Aufnahme gefunden haben. E s ist selbst nicht unwahrscheinb
lich, dass von den ubrigen Satzen, die sich auf diese Weise
ableiten lassen, manche die hier gegebenen an Wichtigkeit
tibertreffen. Der Zweck dieser Arbeit ist j a nur, darauf hinzuweisen, wie sich die ganze Lehre von der Ausdehnung der
Krystalle mit der bekannten Lehre von den affinen Systemen
deckt.
Physik. Inst. d. Univ. S t r a s s b u r g , Juni 1884.
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