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Die axialsymmetrische elektromagnetische Strahlung zwischen konfokalen Drehparabolen bei verschiedenen Anregungsarten.

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Die axialsymmetrische elektromagnetische Strahlung swischen
konjokalen Drehparabolen bei uerschiedenen Anregungsarten
1'01~H e r b e r t B u c h h o l z
(Mit 3 Abhildungen)
Inhaltsiibersicht
Die vorliegende Arbeit bringt die strenge Integratioii der Differentialgleichungen des elektrouiagnetischen Feldes in dem unbegrenzten Raum xwischen
zwei vollkommen leitenden konfokalen Drehparabolen, wenn die dabei mitheriicksichtigte Anregung des Feldee in diesem Raum durch eiiien zur Rotationsa c h e konzentrischen elektriscben oder inagnetischen Stroniring erfolgt uiid also
clas Feld axialsymnietrisch ist. Die Losung erscheint zuniichst in der Gestalt
eines komylexen Integrals, dessen Iiitegrand sich aus eineni Produkt oder einer
Sumnie von Produkten mit den beiden konfluenten hypergeometrischen Funktioneii Af,,+ und F,,
+ oder deren Ableitungen zusammensetzt. Die Integrationsvariable iRt der vordere Parameter 8 dieser Funktionen. Die Losung basiert auf
dcr schon an anderer Stellel) vom Verfasser hergeleiteten Integraldarstellung
der eben beschriebenen Art fiir die G r e e n sche Funktioii exp (ik r),hder Wellengleichung bei beliebiger Lage von Aufpunkt und Quellpunkt.
Die in den G1. (2.10) und (5.3)angegebene Losung umfallt infolge ihrer grol3eii
Allgemeinheit eine ganze Reihe Sonderfalle, unter denen einige von grolJer technischer oder physikaliacher Bedeutung sind. Eine e r s t e Gruppe von Soliderfallen wird im Abechnitt 3 behandelt. Sie ist gekennzeichnet durch das Fehleii
des inneren Drehparabols. Sie betrifft also die elektromagnetische Strahluiig im
Innern eines unendlich langen hohlen parabolischen Horns. Nach der Art der
Anregung werden unterschieden der freistehende magnetieche Stromring, die
zonale 8CMK in der inneren Oberflache des auf3eren Parabols, die man sich durch
eine fremde Stromquelle geliefert zu denken hat und die langs eines ringformigen
khlitzes im aufgeschiiittenen Drehparabol wirksam ist, nnd der in der Achse
liegende achsenparaliele Dipol in beliebiger Orientierung zum Brennpunkt. Die
beiden euletzt erwahnten Anregungsformen entstehen aus dem freisteheiiden
magnetischen Stromring, wenn er entweder in die aullere Begrenzungsfliiche
hheinriickt oder auf die Achse zusamn~enschrumpft.
f i r die z w e i t e Gruppe der im dbschnitt 4 besprochelien Sonderfalle der
allgemeinen Liisung ist charakteristisch, dall hier das a&re Drehparabol fehlt,
weil d e w n Begreneungsflache ins Unendliche hinausgeriickt worden ist. Nach
der Art der Anregung werden wider unterschieden der freistehende magnetische
Stromripg, die zonale EMK in der Oberflache des ehemals inneren Parabols und
cler arhsellparallele elektrische D i p 1 auf dem noch augangliahen Teii der Rota__-.-
-
H. Buchholz, Intogml- und Reihendamtellungen fiir die vemhiedenen Wellentypen der mathematiachen Phy& in den Koordinaten einw Hotationsparaboloids,
Z. Phpik, (1944),in1 Emcheinen begriffen.
1)
186
An+
der Physik. 6.Folge. Band 2. 19J8
tionsachxe. Auch hier stelleii die beiden zuletzt erwahiiten Formen der Anregung
lediglich Grenzfalle des freistehendenRinges dar, die dadurch verwirklicht werden,
daD der Ring entweder in die Oberflache des Parabols oder in die Achse hineinriickt. SchlieDlich wird in diesem Abschnitt auch noch die Losung fur den Fall
angegeben, da13 der Adenraum gema13 Abb. 3 durch zaei konfokale, sich orthogonal schneidende Drehparabole begrenzt ist. Fiir die physilialisch bedeutsanieii
Anordnungen werden aus den Integraldarstelluiigen auch die fur die numerische
Rechnung wichtigeren Reihenentwickluiigen hergeleitet. Sie entstehen aus den
Integralen durch Anwendung des Residuensatzk und erfordern die Kenntnis
der Nullstellen von M,,* mid W,,+
oder deren Ableitungen in-bezug auf 8 . Die
daruber notwendigen Angaben Bind an den betreffenden Stellen zu finden.
Der Abschnitt 5 bringt die allgemeine Losuiig der eingangs beschriebenen
Aufgabe fur den elektrischen Stromring.
1. Die Voraussetzungen der Arbeit
In einer erst kurzlich erschienenen Abhandlung') wird die axialsymmetrische
Strallung im Innern eines hohlen unendlich langen und vollkommen leitenden
Drehparabols untersucht, wenn dabei der sie erzeugende, axial gerichtete Dipol
elektrischer oder niagnetiacher Art in oder t o r dem Brennpunkt selk?st in der
Bchse liegt. In der vorliegenden Arbeit wird das Problem der axialsymmetrischen Strahlung in wesentlich allgemeinerer Form angepackt. Im Hinblick auf
die altere Arbeit werden wir es uns dann ersparen konnen, die erzielten Ergebnisee
iiberall dort, wo wesentlich gleichartige Bedingungen vorliegen, mit der gleichen
Ausfiihrlichkeit wie friiher zu beaprechen. Andererseits geben die in mehrfacher
Hinsicht allgemeineren Voraussetzungen der vorliegenden Arbeit die Moglichkeit,
auch solche Falle zu behandeln, die vordem auDer Betracht geblieben sind.
Die gr6Dere Allgemeinheit der neuerdings gewahlten Aufgabenstellung kommt
einlnal darin zum Ausdruck, daD der fur die Abstrahlung zur Verfugung stehende
Raum zunkchst von m e i konfokalen nnd gleichparametrigen Drehparabolen begrenzt gedacht wird. Aber auch die Anregung des Feldea sou, obgleich sie immer
noch axialsymmetrisch angenommeii wird, voii allgemeinerer Art sein. Sie
mag im vorliegenden von einem zur gemeiiisamen Rotationsaohse der beiden
Drehparabole konzentrischen und zwischen ihnen liegenden magnetischen oder
elektrischen Stromring ausgehen. Dem magnetischen Stromring kommt dabei
die besondere Bedeutung zu, da13 er nach dem Hineinriicken in die Oberfliiche
eines der beiden Paraboioide die felderzeugende Wirkung einer eingepragten
zoiialen EMK wiedergibt. La& man dann das Innere der beiden Drehparabole
mehr und mehr an Gr6De zusammenschrumpfen, so liegt der Fall des einzelnen
hohlen Drehparabols vor. Reduziert sich dabei gleichzeitig der Durchmesser dea
Stromrings auf Null, so verhalt sich der magnetische Stromring wie ein elektrischer acheenparalleler Dipol, der selbst in der Achse liegt und umgekehrt. Dabei
liegt die Wahl seiner Lage auf der Achse vollig in unserer Hand. Riickt andererseits das aurJere der beiden Drehparabole mehr und mehr ins Unendliche, 80 ge*) H.Buchholz, Daa Feld der elektromagnetischen Strahlungim Innern eines hohlen
DrehparbboL mit einem axial gerichteten elektriachen oder magnetischen Dip1 im oder
vor den1 Bmm unkt, Zentrale Mr hnschaftliches Berichtaweaen der Luftfahrtforkxachungsbericht Nr. 2009.
achung (ZWB),
laiigeu wir zu dem Fall deH frei endigenden unendlich lengen D r e h t a von der
Ceetslt eiiie.9 schlanken Rotutionspraboloid. hllen hieran wie an einer Antenne
die erzwiuigeuen Schwingungen einer in der Oberfliiche dee Dlahtea liegenden
mielen EYK untemcht werden, so la& sich ouch die diesem Fall enbprechende
h u n g sofort der ollgemeinen Lbung entnehmen, indem IMU den Stromring
i n die Oberfliiche dea Drahtes hineinriicken 1iiQt. SchlieQLich macht ea nur geringe
Hiihe, die Lhung der Aufgabe such nach der Richtung hin zu erweitern, da6
etwe in dem culetGt betrachteten Falle der AnOenraum euf der einen Seite nmh
durch ein zur Drahtoberfliiche orthogonsled und konfokalea Drehparabol begrenzt iet. Dieae Auttiihlung von Sonderfiillen mag gentigen, urn LU e r b m e n ,
daS die IRIeung der pben formulierten, miichst reclit a M k t emheinenden
-4ufgabe tugleich die Lbung cohlreicher einfacherer Aufgaben in sich schliek,
die unmittelbar fitr Phyeik und Technik von Bedeutang sind. Ee vemtaht sich
im tibrigen YOU db&, da6 f i r die Herstellung der Liieung daa Materiel der Drehparabole ela vollkommen leitcnd angesehen wird.
2. Die H e r s t e m dor Pllgemoinen ~hIIgsgk9iChMg!fir
den magnetleehen
rwiiechen rwci Drehpnbdon liegonden Stromrlng
In dem durch die Q1. (2.18, b, c) definierten rotatiompamboliachen Bemgasystem der (t,I), q,) atellen sich die oben
beaprochenen, der Auigabe z u p n d e
-
x = 8 cosq, = 2
Y ~ Imq,
)
y = e sinq, = 2 @I)
sinq,
z=[-q
(2.1s)
(2.lb)
(2.lc)
liegenden VomuAeetzungen geniiiB Abb.1
wie fo& dar: Die innere und &&re
Begrenaungafliicbe des fUr die A h h lung zur Verfttgung stehenden Raumea
bilden die beiden Panboloidflicbeu
7 / = q l and q = q . mit 7. > q , > O .
Jeder im h u m zwischen &esen beiden
Grenzpmboloiden liegende Aufpankt
bat eine Koordinate q mit q1 < rj < 7
..
Die gleiahe Koordinate haben ouch
alle diejenigen b k t e , die mit dem
enfanga hucrwgegiffenen auf dem
gleichen dlv Rotationes~hae konzentrischen und a d ihr senkrecht stehenden
Knise liegen. Die Oleicbung € = comt.
bescbreibt ein Byatern yon Drehparsbolen, das mit dem der q-fkhar den
Brennpunkt F gemeinesm hot und
jedea Parabol dieaer Schar senkrecbt
durchachneidet. Im Scheitelpunktjedm
der q-Panbole iat (=O,
in d e u
o n d m n Punkten i h m Oberfl&he iSt
€ > 0, m da0 € alle positiven reellen
t’
188
Anwaleen der Physik. 6. Folge. Band 2. 1948
Zahlenwertc niit EinschluB der Null annehmeii kann. Die Lagc des Stroinrinp-.
tier das die Strahlung erregende Feld hervorruft, sci fixiert durch das Wertep a r (tu,
77,J
mit 71, < ilp < ?la.
Besteht nun allgeniein in einem unbegrenzten, hoiuogenen uiid isotropen
Medium init den Stoffkonstanten E,, und u
,, ein in seiner Verteiluiig bekanntei,
ganz im Endlichen gelegenes System von eingepriigten elektrischeii und inagnetischcn Stromen &(c) uiid &(A) und steheii dabei in dem von ihnen erzqugten
elektromagnetischen Feld die beiden Feldvektoren Q uiid $j in dein durch die
Feldgl. (2.2a, b) und durch die Divergenzbedingungen (2.2x, p) angegebeiien
+
rot @ = - i u) E, Q @)
r o t @ = + i w p o Q - 6 (11)
div$ = 0
div @ = 0 fur
(2.2R)
(2.21))
(2.h)
W k=)0.
Zeitgesetz:
ecirul
(2.2p)
Zusammenhang, so laat sich auf Grund der Linearitat dieser Gleichungeii das
resultierende elektromagnetische Feld steta in zwei Teilfelder zerlegen, von deiieii
das eine nur von dem gegebenen elektrischen Strom W, das andere nur toii
dem gegebenen magnetkchen Strom &(A) h e d r t . In dem zuerst genannten
Feldanteil konnen @ und $j mittels der GI. (2.3a, b) aus einem Hilfsvektor O(e)
- i w E,, . Q = 'k
+ grad div
8 = rot EN,
(2.3n)
(2.31))
berechnet werden, der seinerseits durch die G1. (2.3) bestimmt ist.
I n dieser Gleichung bedeutet R den Abstand des Aufpunktes (z, y, z ) vom Orte
(z', y', z'), an dem das elektrische Stromelement liegt. Bei dem zweiten Feldant.ei1 lassen sich (E und $jgemiia den GI. (2.48, b) aus einem Hilfsvektor a ( h )
(2.4a)
(2.ib)
ableiten, der init der gegebenen Verteilung der niagnetischen Strome iiber die
GI. (2.4) zusammenhiingt
I n dem zuniichQt zu behandelnden Falle des magnetkchen Stromringes ist nun
offenbar im Hinblick auf die lineare Struktur des niagnetischen Stromfadeiis
und hierin ist I f ) noch Voraussetzung uber den gallzen Umfang des Stromrinps
als konstant anzusehen. Nun hat 'grundsatzlich der Beitrag eines jeden Stronielements 1;) pu * dq,, zum Vektor El(*) die Richtung dieses Stromelementa. Diese
-
Xiclituiig Iddet aber i i n Aufpunkt A, der nach Abb. 2 die Koordinaten
(c,. T) hnt. init dcr dort gcltenden Richtwig zunehniender U-erte voii p den Winkel
p,, - y. Mithin ist cler Beitrag rtamtlicher Stroinelemente zur Vektorkomponente
‘C‘Y
\-(’’)
voii 5“’’
iri A durcli dir GI. (2.5a) gegehcn.
(2.h)
Der von dein einzelnen Stromelement in P herriihrende Beitrag Zuni Vektor
in A hat aber auch eine Komponente in Richtwg zunehmender Werte von Q.
Fiir alle Stromelemente zugleioh gilt fur diesc Vektorkoinponente im Punkt -4
iler Ausdruck (2.5b)
Hingegen besitzt 62 sicherlich keine Komponente in einer Richtung, die senkrecht
zur Ebene von -4bb.2 steht. ES ist aber
leicht einzusehen, daB auch 62:h’ = 0
ist, denn die Funktion exp ( i k R)IR ist
notwendig eine in q-va gerade Funktion. Hat aber der Vektor
voii G1. (2.4)
nur die eineige nicht vemhwindende Komponente D
:
’
, die obendrein von p gar
nicht abhiingt, so besitzt nach den
GI. (2.4a, b) wegeii div
= 0 das zugehorige elektromagnetivche Feld in den
rotationsyarabolischen Koordinaten nur die
drei Komponenten @+,, @€ und &, fur
die im einzeliien die GI. (2.6a, b, c) gelten
Abb.l. Der Kreis stellt den Stromring in Richtung der negativen z-
Achse dar. Das Bild.erl&utert die
Znsammensetzung der elementaren
Beitriige der einzelnen Dipolelemente
dea Stromrings zu einem resultierenden Vcktor in Richtung zunchmender Werte von e und im
Aufpunkt
(2.6b)
(2.6~)
a,”’
Die Komponente
des von dem magnetischen Stromring erzeugten priinaren Feldes 1aBt sich dann aber mit Hilfe der schon anderenorta [I, 2 1 be-
190
dmctten der Phyysik. G. Folge. Band 2. I 9 d S
(2.7)
a-ice
viiesenen Forniel (2.7) auch sofort in den Koordinaten
(t,7, p)
angeben.
(t',q', 4: . . .) = 2 k (t?17, t, . . .)
(2.8)
Werden dabei zur Abkurzung an Stelle von l, 7.. . die durch G1. (2.8) definiertes reduzierten Koordinateii t',17' . . . ben'utzt, so entsteht fur $$) die
GI. (2.7a).
-a+iw
1
(2.7a)
Fur das zusatzliche Feld, $as sich im stationiiren Zuatand inblge der Reflexion
des primaren Feldea an den beiden Begrenzungsflachen 7 = 7 l i und 17 = qa ausbiidet, niachen wir den im ganzen Raumteil q i < q < q d gultigen Ansatz (2.9)
-a
+ icu
r)
' w - ,
+ (- i.li)
i 6;) . W-#,+
(- i E')
8011 auf der Flache 11 = qi fur alle > 0 die Komponente EE verschwinden, so
< 1)
((01
M - , +(-
'(M-8,*
i
(-
mu13 im Hinblick auf die GI. (2.6b) die G1. (2.9a)
B ( s ) * M;, Q (- i TI:)
A ( s )* Mi, + (- i qh)
+ B(s) W;, (+ B(8). W;,* (*
f
a (- i 7/b) (2.9a)
i qi) = - Mi,4 (- i 7;) w#,
i q:) = - M I , (- i 7); * W8,*(- i 71;) (2.9b)
*
erfiillt sein. Aus den gleicheii Grunden mu8 auf der Flache 71 = l;la die G1. (2.9b)
bestehen. Aus diesen beiden Gleichungen konnen die bis dahin noch unbekannten
beiden Konstanten A ( e ) und B(e)leicht berecbnet werden. Fa& man alle Glieder
gchorig ztlsanimen, so IdBt sich der Ausdruck fur dax resultierende Feld, das
der an tler Stelle (Fa, ?la) skhende iiiagnet,ische Stroniring in den1 Raum zwischen
den beidrii vollkonimtn leitenden Drehparabolen q = 11, und 11 = 1la erzeugt,
auf die folgcnde Form hrinpen: Es ist filr I],, < 11 ( q o
-a4
im
(2.10)
In1 Raunitcil q, 7 q < r], tritt in den1 Ausdruck fur 8, (l,q,tp) in der drcireihigen Detenninante an Stelle des ersten links ohen stehenden Elements
W 8 , * ( - i q ’ ) * M 8 , , ( - i i i ) das Element X8,*(-iq’) W8,4(--irjh).
(2.10a)
Unter den angeschriebenen Bedingungen uber die gegenseitigen Grollenverhaltnisse der 4, ta. . . konvergiert das Integral von (2.10) absolut und gleichniiilig.
Wir untersuchen sogleich die Frage nach den Singularitaten des Integranden
von GI. (2.10), deren Kenntnis im Hiiiblick auf die Lage des Integrationsweges
und fiir die Umformung in Reihen von grolter Wichtigkeit ist. In dem Integrandeii
von (2.7a) sind die einzigen im Endlichen gelegenen Singularitiiten die einfachen
Pole s = f 1, & 2 . . . von slain (np), dehn die Funktionen H,,*
und W8,+
sind in bezug auf s ganze transzendente Funktionen. Der Intcgrand der GI. (2.10)
verhiilt sich jedoch im Gegensatz dazu in den Punkten 8 = 1, 2, 3 . . .
durchaus regular, da fiir. alle ganzzahligeii Werte 1-011 7t und p zqischen den Funktionen JI und W die Relation (2.11) hesteht mit LT’ ( z ) als Laguerre-Polynom,
+ + +
die von der auDersten rechteii Gleichungsseite abgesehen unveriiiidert auch fur
die Ableitungen dimr Funktionen nach z gultig bleibt. In der dreireihigen Determinante von (2.10) werden d a m aber die zweite und dritte Zeile einander gleich.
Hingegen sind die Punkte 8 = - 1,- 2,- 3 . . . nach wie vor auch einfache
Pole des Integranden von (2.10). Zu ihnen gesellen sich aber ale weitere singulare
Stellen, und zwar wiederum in Gestalt einfacher Pole, die Nullstellen des Aus-
192
Annukn der Phyaik. 6. F o b . Band 2. 1948
drucks (2.12), der in (2.10) a h Neiiner nuftritt. Wir gelangen zu einer vorIaufig ausreichenden Information iiber die Lage der Nullstellen von (2.12),
(2.12)
wenn fur die darin vorkommenden Funktioneu und dereii Ableitungen ihre
asymptotischen Naherungen (2.13a, b) eingesetzt werden. Fur die Determinante
(2.12) kommt dadurch der Niiherungsausdruck (2.13) zustande.
. .
(2.13)
Seinein Aufbau aufolge besitzt demnach A;!+in bezug auf s eine unendliche Folge
einfacher Nullatellen, die auf der positiv imaginaren Ache der s-Ebene liegen.
Die kleinste dieser Nullstellen liiDt sich fiir beliebige We& dks Argumentes
iiur schwer genauer angeben. Ohne lange Rechnungen kann dariiber nur soviel
gessgt werden, daS dieae Nullstelle urn so kleiner ausfiillt, je grokr die Differenz
gewiihlt wird. Hingegen liil3t sich mit leichter Miihe die Frage entscheiden, unter welchen Bedingungen die kleinste oder erste Nullstelle von
(2.13) in den Nullpunkt der 8-Ebene eelbst hineinriickt. Da namlich fiir 8 = 0
nach (2.14) und (2.15) die Funktionen X und W in die einfachen Kreisfunktionen entarten, so stellt sich in diesem bemnderen Falle auch die Determinante
v$iiz
M , ,(- iq') = - 2 i sin
(2.14a)
($)
(2.14b)
M;,+ (- i q')
= cos
(2.15s)
H';,+(J iq')
-0
--i
1 r,
=--p.
tl'
= c o s g . Ci (q')
1'
(2.15b)
+ sin tl' - Si (9')-
- Si (7')+ sin
t?'
*
'I'
cos---hi
2
( y q ' ) (2.15a)
.
[In ( y 7')- Ci (q')]
(2.158)
In y = C = 0,577 2157
(2.13) in der weitaux einfacheren Form der G1. (2.16) dar. Aus dieser Darstellung
(2.16)
H.Buchblz: Die axialaymmetrische eleklromagnetiache Stralrlung
193
folgt aber sofort, d a l die erste und kleinste Wurzel von (2.13) in bezug aufs gerade
der Null pleich wird, wenn 7; und 7,: die GI. (2.168, a) erfiillen.
?
#
(2.16a)
qi = 2,2
?)a-
(2. 16~ )
In dem allgenieineren Falle der G1. (2.16b) ist die Stelle s = 0 nicht mehr die
716
(2.16 b)
-71: = 2 n 2;
qa-qi = “0 - p
2
(p = 1 , 2 , 3 . . .)
(2.168)
erste und kleinste Wurzel, Bondern die p-te Wurzel. Die ersten p- 1 Wurzeln
von (2.13) sind dann negativ imaginar.
Der Integrationsweg in G1. (2.10), der in der Ausgangsgl. (2.7) die reelle Achse
der s-Ebene noch an einer beliebigen Stelle zwischen den Punkten 8 =- 1 und
s = 1 schneiden dnrfte, muB in der endgriltigen Losungsgleichung zwischen
den Punkten s =- 1 und s = 0 hindurchlaufen, denn tate er dies zwischen
den Punkten 8 = 1 und 8 = 0, so konnte man, ohne die absolute Konvergenz des Integrals (2.10) zu gefahrden, den Integrationsweg beliebig weit nach
rechts verschieben, ohne je auf eine im Endlichen gelegeiie Singularitat zu stolen.
Die Komponente $jP
wiirde daher bei dieser Lage des Integrationsweges identisch
verschwinden. An einer identisch verschwindenden Losung besteht aber nkturlich
kein Interesse.
Im ubrigen erkennt man ohne weiteres an dem Aufbau der G1.(2.10), da13
sie in der Tat eine Liisung unserer Aufgabe darstellt. Einplal erfullt sie die fiir
@? geltende Differentialgl. (2.17) 80 gut wie die G1. (2.7). Daruber hinaus befriedigt sie aber auch die Randbedingungen fur (&, denn die gemaS GI. (2.6b)
+
+
(2.17)
nach Erweiterung mit (Eq)f vorzunehmende Ableitung \.on (2.10) nach q erzeugt iu der dreireihigen Determinante nach dem ubergang von q zu qa und
nach Herausnahme des gemeiusamen Faktors W;,
t (- i 7):
zwei gleichgebaute
erste Zeilen. Das gleiche trifft nach Beriicksichtigung von (2.10a) fur q = qi zu.
3. Die axialsymmetrisehe Strahlung im Innenraum
des einzelnen hohlen Drehparabols
Wir gehen nun die verschiedenen, in der allgemeinen Losung (2.10) steckenden
anderfalle im einzelnen durch. Zuniichst wollen wir m s mit dem Fall beschaftigen, d a l daa innere Drebparabol mit der Oberfliiche q = qi kleiner und kleiner
w i d und schliellich auf Null zusemmenschrumpft. Nun ist in Riicksicht auf
-I
Ma,*
GI. (3.1) fur z
(z) = z * e
,F, (1-s;2; z )
(34
=0
(3.la)
b-ia, 1(0) = 0
M;,,(o) = 1.
Ann. Pbyeik. 6. So@,
Bd. 2
(3.1b)
13
194
Ann&
der P h y ~ k .6.Fdqc. B a d 2 . 1948
Andererseita bestehen fur die Funktion W 8 , i ( z )im Rinblick auf die G1. (3.2)
die beiden Grenzwertgl. (3.28, b). Bei immer kleiner werdenden Werten von
- -a
wait ( 2 ) =
In2
* (++r
e
*
--a
z-e
m + r(-
r(m)
02r(i+ a 00
8)
a-0
. (y(1+ 1 - 8 ) - Y(a + A)- y(1+ 1);. 2'
(3.2a)
(3.2b)
qi wird also sowohl in der zwei- wie in der dreireihigen Determinante von G1.
iq;) mehr und mehr zu dem die GroSe der Deter(2.10) daa Element I+';,+(minante allein bestimmenden Glied. Der Grenzwert, dem unter diesen Umetiinden der Quotient aus der drei- und zweireihigen Determinante mstrebt,
laDt sich nach diesem Hinweis ohne Schwierigkeit bestimmen.
8.1. Die L ~ l e i c h n n gbei Anregung d m h den ireistehenden
magnetbehen Stromring
Die Durchfiihrung deg eben beschriebenen Grenzuberganges fW fiir die
einzige' nichtverschwindende Komponente 8. deg resultierenden magnetimhen
Feldtxi zu der folgenden Integraldarstellung: Es ist fur qG < q <qa
Um hieraus den fiir ein 0 y q < qr giiltigen Ausdruck zu erhalten, braucht
man nur in der zweiten Zeile der Gleichung die Argumente q' und r,~:miteinander
zu vertsuschen. Offenbar bewahrt d i w r Ausdruck in der Ache des Drehparabols,
wo entweder E = 0 oder q = 0 ist, einen durchaus endlichen Wert. In Rucksicht auf den Raummangel verzichten wir darauf, dies Integral in eine Reihe
aufzulosen, sondern verweisen wegen der dabei zu beachtenden Regeln auf den
Abschnitt 3.12.
8.11. Die L6sang8gleiehung be1 Anregung d m h dine in der Grendlllahe 7 = q.
wlrkssme sonale EME
Die Anregung des Strahlungsfeldes durch einen freistehenden magnetischen
Stromring im Innern eines hohlen Drehparabols entartet durch den Obergang
von qi eu qi oder zu Null in zwei Anregungsformen, denen eine Eegondere praktiache Bedeutung zukommt. Riickt niimlich der magnetische fjtromring in die
innere Oberfliiche des Drehparabols hinein, so erzeugt er dasselbe iinSeIe Feld
wie eine fremdgespeiste zonale E m , die zwischen den liings des Stromrings
H.Bwhholz: Die azicrlayrnmetrieche e l e k t r ~ i 8 c h eStrahk~ng
195
aufgemhnittenen beiden Teilen des Drehpsrabols ihreii Site hat. Die Grolle U
dieser EMK ist dabei direkt mit I F ) identisch. Die G1. (3.3), voii der fiir die
Durchfiihrung des Grenziiberganges die im Raumteil 0 7 q < ?iq giiltige Form
zu nehmen ist, vereinfacht sich dabei in Riicksicht auf die GI. (3.4) ganz erheblich, 80 dall fur $jv (t,q ) nunmehr die G1. (3.5) zustande kommt.
Das Verschwinden von @E auf der Flache q = q a Zeigt sich in dieaer Liisnng
daran, daS nach dem Verschwinden dea Nennera im Integranden von (3.5) der
Intagrationsweg beliebig weit nach rechts vemhoben werden kann, ohne dabei
eine Singularitit EU pagsieren. Das Integral ist danh identisch Null.
8.13. Die IAhngsgleIcbungen be1 Anreyng dnrah einen in der Ache liegemden
acheenparallelen elelrtrieahen Dip1
Amtatt den Stromring wie im vontehenden Abschnitt in die a u k r e Begrenzungsfliiche hineinriicken zu laseen, konnen wir auch seinen Durchmesser stiindig
verkleinern, bis er eu einem Kreise von eehr kleinem Radius w i d , der die Ache
dee Drehparabols umschlingt. In seiner Wirkung nach a u h n nahert er sich
dann mehr und mehr der eines elektrischen Dipole, der auf der Windungsflache
des magnetischen Stromringes eenkrecht ateht und also die Richtung der A c h e
der konfokalen Drehparabole hat. Das Moment diesea elektrischen Dipols von
der Griille If)bt hangt mit 1;) und der der von dem Stromring umschlungenen
elementaren Flache Fq bekanntlich iiber die G1.(3.6) zusammen. Es versteht
sich von selbst, dall natiirlich bei diesem Grenzubergang, wenn der immer kleiner
werdende Stromring nach aullen uberhaupt eine endliche W i r h n g ansuben soll,
die Intensitit I:’) dee magnetischen Stromringee in demselben Ma& eunehmen
mull, wie die umschlungene Flache Fq dabei abnimmt.
Geht nun eq = 2 . (ta*qq)* gegen Null, so kann dieg in den Variablen 6,
und qq gesehen entweder eine Folge deg Vemhwindens von tqoder auch von qa
aein. Wird eq= 0, wed tq--f 0 strebt, wahrend qq seinen urspriinglichen Wert qa
mit 0 < qq < qa heibehiilt, 80 kommt gemiiB Abb. 1 der aus dem magnetischen
Stromring sich entwickelnde elektrische Dipol schlielllich in den Teil der Parabelachee zu liegen, der sich zwiechen dem Scheitelpunkt der Parabel q = q,, und
13*
196
An&
der Phyaik. 6. Folge. Band 2. 1948
dem Brennpunkt erstreckt. Die in d i w m Grenefall aus (3.3) entstehende
Formel fiir $, mu13 dann in die fur 8. aufgestellte Beziehung der alteren Arbeit
ubergehen. Nun ist nach G1. (3.1) fiir E; --f 0
---,,(-k~;)~!i~=+2iX:F
4n i
Jci
= --tQ.qa=l-,&09,
Im Hinblick auf die G1. (3.6)wird dann fur
'o
--f
Ia
L*F
'-&*la
a @ ' -
a*
0
Mithin erhalten wir in diesem Falle fiir &, im Raumteil v0< 7 < q,,die Integraldarstellung (3.7). Die ia Raumteil 0 7 7 < qq giiltige
-a
+ ico
Beziehung geht aus (3.7)durch die Vertauschung der A r p e n t e qq und q unter
dem Integraleeichen hervor. In dieser tweiten Form stimmt die G1. (3.7) mit
der G1. ( 3 . 6 ~der
) alteren Arbeit iiberein.
Wird anderemita e, = 0,weil qa + 0 geht, wahrend tqseinen urspriinglichen
Wert behiilt, so liegt nach Vollzug dee Grenzilberganges gem813 Abb. 1der am dem
magnetischen Stromring entatehende elektrische Dipol auf dem Teil der Parabelachse, der sich vom Brennpunkt a u bis ins Unendliche erstreckt. Damit kt d a m
die Dipollage erreicht, deren Behandlung in der alteren Arbeit noch auegeschloseen
wurde. Nach dem Voranstehenden geht aber fur 7; --f 0 der Audrnck
Lie@ alm der axial gerichtete elektrische Dipol auf dem Teil der Parabelachse,
der durch 7 0 beschrieben wird, so besteht fiir 8, im Raumteil tq< 5' < O O
die Integraldaratellung :
=
I
-a+iw
Urn die im Raumteil 0 7 t < tqgiiltige Beziehung fur &, zu erhalten, braucht
man lediglich in (3.8)unter dem Inteplzeichen die Gr6Ben 6' und ti nliteinander
t u vertauschen.
8 3 . Die seihenentniclrlnngen beim Innemurnproblem
Am der Lntegraldarstellung (3.8) lassen sich mittels des Residuensatzea auf
die gleiche Weise wie in der alteren Arbeit auB der G1. (3.7) ewei Reihenentwick-
lungen herleiten, von denen die eine und wichtigste, auf die wir uns deehalb an
d i e m Stelle beachranken wollen, dadutch gewonnen werden kann, daB man den
Integrationsweg von (3.8) uber die auf der imaginaren Achse von (3.8) gelegenen
Pole des Integranden hinwegschiebt und ihn dann in der Halbebene der Re (a) > 0
ins Unendliche riicken lafit. Dabei sind in diesern Teil der 8-Ebene nach den frtiheren Darlegungen die Pole des Integranden die durch GI. (3.9) beschriebenen
N ~ , ; . ~ ( - i q i ) = O ( n = 1 , 2 , 3 ...)
(3.9)
(3. 94
q : = n m + 1)
(3.9B)
Nullstellen von Mi,+(-iq;) in bezug auf a, die rein imaginiir sind und im folgenden mit i zk bezeichnet werden mogen. Die groBen Wurzeln von (3.9) befolgen
naherungsweise die G1. (3.9a), und die kleinste Wurzel oder die p-te der niedrigsten
Wurzeln wird nach G1. (2.14b) gerade gleich Null, wenn 1: die G1. (3.9B) erfiillt.
Die geschilderte Behandlung des Integrationsweges bt mlassig, solange z. B. far
ein &, < 6 <m die Ungleichung t > ta 17 2 (11.; &)* erfiillt ist. Der Giiltigkeitsbereich der auf diese W e k entatehenden Reihenentwicklung (3.94 ist aber
+ +
hinterher an diese Bedingung nicht langer gebunden, do die Reihe selbst schon konvergiert, sobald nur t > 6, ist. In dem Bereich 0 < [ < &, tritt an Stelle der Entwicklung (3.9a) fur QV die Entwicklung (3.9b). Der Vollstiindigkeit halber und zum
bequemeren Vergleich geben wir schliefilich fur &, auch noch die am G1. (3.7)
folgende Entwicklung ( 3 . 9 ~ )an, die auch schon in der alteren Arbeit zu finden
ist. Sie gilt dann, wenn der D i p 1 auf der Rotationsachae der Parabel zwischen
La
&(t',?,')
=- - : - - - I
z VE'
I)?
00
f) sg
*
c z:,
n-1
*
T ( i7 : ) . &A,
(- i ,j)* W_iTA,+(-
i t')*
dem Scheitelpunkt und dem Brennpunkt liegt. Wie man mit Hilfe der G1. (3.1)
sofort erkennt, entsteht fiir ,fjv im Falle eines im Brennpunkt selbst angeordneten
Dipols am den G1. (3.913) und (3.9~)genau dieselbe Entwicklung. Beim Durchgang von [ durch die Stelle verhalt sich im ubrigen 8, durchaus stetig.
AnMLerP der Phymk. 6. F&.
198
Band 2. 1948
Aue hummangel muD ea unterbleiben, auch noch die gemiil(2.6 b, c) aus den
GI. (3.9) folgenden Reihenentwicklungen fiir (Et und @, besondexz anzuechreiben.
E b e W m-n
wir es une vemagen, hier noch einmal auf eine Diskussion iiber die
Eigemhaften der verschiedenen Teilwellen einzugehen, in die den GI. (3.9) ZUfake die readtierende Strahlung zerfallt. Wir verweisen auch in dieser Hinsicht
auf die iiltere Arbeit. Dahingegen m6ge auch an dieser Stelle noch einmal auf die
Tatsache hingewiesen werden; d a l unter dieaen unendlich vielen Teilwellen besonders derjenigen eine groBe praktieche Bedeutung zukommt, fiir die = 0
wird, weil 7): nach GI. (3.98) d a m gerade gleich n ist. I m Hinblick auf die
G1. (2.14) und (2.15) fiillt die Beeiehung fur !& und damit auch fiir die anderen
beiden Komponenten bei dieser Teilwelle sehr einfach Bus. Enteprechend den
echon oben unterschiedenen drei Fallen lautet sie:
.:
Wegen der weiteren Schlullfolgerungen vergleiche man die iiltere Arbeit.
4. Die sxialsymmetrischeStrahlnng imAuSenraum eines einzelnenDrehparabols
Wir wenden une nun der Besprechnng dea anderen Grenzfalles der G1. (2.10)
m,der dadurch gekennzeichnet ist, daB die iiullere Begrenzungsfliiche q = q, inr,
Unendliche geriickt worden ist. Urn entscheiden m konnen, wie &ch durch di&n
Grewtibergang die zwei- und dreireihigen Determinanten von G1. (2.10) vereinfachen, halten wir uns an die beiden aaymptotischen Anedriicke (4.la, b) ftir die
Funktionen Ma,+ und Wa,+ bei einem uber alle Grenzen wachsenden Wert des
(4.lb)
Arguments. In G1. (4.1b) gilt dabei in exp(fni.9) das obere oder daa
untere Vorzeichen, je nachdem - 3 z/2 < arc (z)< 4 2 oder - 4 2 < arc (2)
< 3n/2 ist. Solange d a m k gemiil der biaherigen Annahme eine rein reelle
Zahl ist, behalten allexdings beide Funktionen auf Grund dieser Gleichungen fiir
ein z =- i r]: = - 2 ik 7, auch im Falle eines qa +00 dieselbe Gr6Denordnung. Bei Fragen dieaer Art ist es jedoch notwendig, zugleich auch solche
Fiille mitenberiickeichtigen, bei denen sich das Medium, in dem eich die Ambreitung vollzieht, disaipativ verhiilt. Bei dem hier zugrunde gelegten Zeitgesetz exp (- iOJ t ) hat in detartigen Medien die Wellenzahl k eine wenn auch
in der Regel nur sehr kleine positiv imaginiire Komponente. Dann geht fiir
I]+
, 00 die obige Funktion Wa,+ mit dem Argument - 2 ik gegen Null, die Funk-
+
-
-
H . Buchhk: Dip axklsymm&sche
ekkirinnagndie StraMung
199
tion MB,+aber gegen Unendlich. In der zwei- und dreireihigen Determinante von
GI. (2.10) w i d daher fiir 7: --too das Element N;,+
das die GroDe der Determiiiante allein bestimmende Glied.
4.1. Die L ~ g s g l e i c h n n gbe1 Anregnag dureh den frelstehenden
magnetlschen Stromring
Fiir die Komponente ,Qa, des Strahlungsfeldes, das ein rnagnetischer Stromring im Aul3enraupl einea mit dem Stromring koaxialen Drehparabols q = q,
ereeugt, gelangt man nach den obigen Bemerkungen zu der folgenden I D t e g d darstellung: Es ist im Raumteil q,,< q <oo
@a,
("9
177 =
-2 n
-0
I"'
1
.L.I F 7 2ni
& v ~ o
--a
(F < 6,)
+ im
.l-
- icQ
n8
-* h
S
(n8 )
(5 > 6u)
(a<1, q u < q < 4
Fiir ein q , 7 q < q,,hat man unter dem Integralzeichenq&mit q' zu vertauschen.
Wie das Ausgangsintegral (2.10), so konvergiert auch das Integral (4.2) mter
den angegebenen Bedingungen gleichmaBig und absolut. Man beachte, daB
ftir Punkte in der Achse a u k h a l b des Drehparabols 7 = q, nur 6 = 0 werden
kann. Selbstveratandlich mu13 in solchen Punkte @+, verschwinden, und nach
GI. (4.2) ist das auch in der Tat der Fall. Die Lage der Singularititen ist bei der
vorliegende Losung eine andere als friiher. Wir werden jedoch auf diese Frage
erst im Abschnitt 4.2 eingehen. An dieaer Stelle mag der b lo h HinweL genilgen,
daS auch die Funktion W;,+ (- iq:) im Nenner von (4.2) eine unendliche Kette
einfacher Pole 8; beaitzt, fiir die Re (8;) > 0 ist, so daD in (4.2) mwie in den daraua
abgeleiteten G1. (4.3) und (4.4) der Integrationsweg wie friiher zwischen zwei nach
links und tech& auseinanderatrebenden Folgen unendlich vieler einfacher Pole
hindurchlauft und sie voneinander trennt. Vorerst sollen noch zwei Grenzfalle
der GI.(4.2) hergeleitet werden.
-
4.11. Die LhngsgleiehQng be1 Anregaag dweh eine in der BepnnmgearOne
r]
q6 wirkrmme sonale EIKR
Wir I a n wie im Abschnitt 3 den magnetischen Stromring in die Oberfliiche
dee den Au&xraum nach innen begrenzenden Drehparabols 7 = qdhineinriicken.
Es wird dann in der Determinante von (4.2) qi = q ; und im Hinblick auf die
G1. (3.4) geht dadurch der Ausdruck (4.2) in die weit einfachere Beziehung (4.3)
iiber. Die Int,ensitiit 1;') dea Stromrings ist darin wiederum durch die Spannung
U (6;) ersetzt worden. Diese Spamung miDt wie vordem die im Quemhnitt
- n + im
200
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 2. 1948
6 = [,,von a d e n eingepragte zonale EMK, die man sich von einer fremden
Hochfrequenz-Stromquelle geliefert zu denken hat und die zwischen zwei dickt
gegeniiberliegenden Querschnittsflachen des bei 6= 6, aufgeschnittenen Drehparabola q = q, zur Wirkung kommt. Eine solche EMK erzeugt nach auaen bin
genau daa gleiche Feld wie ein an der gleichen Stelle angeordneter magnetischer
Stromring mit der Intensitiit I?) = U, 80 daS sie geradezu als der physi:
kalische Reprhntant ekes auf der Leiteroberflache aufliegenden Stromrings
sngesehen werden kann.
Die Bedingung eines ftir aye 0 7 [ <00 a d '7 = qt verclchwindenden Wertes von
4wird durch die Ltisung (4.3)im Hinblick auf die G1. (2.6 b) dadurch gewahrleistet,
da13 in dieeem Falle der Integrand von (4.,3) rechta vom Integrationsweg singularitatenfrei ist, und da dann der Weg beliebig weit nach rechts vemhoben werden
kann, ohne die Konvergenz einimbaen, so ist in der Tat (&= 0.
4.18. Die I&ungsglelehung be1 Anregung dureh ehen in der Aobse
lregenden elelrtrlschetl Dlpol
Geht in-der G1. (4.2) der Abstand e9 = 2 (6,-q,)f des Stromrings von der
Rotatidnsachse gegen Null dadnrch, daS bei festgehaltenem Wert von q, die
Parabelkoo+nate 6, immer kleiner wird, so verhiilt sich wieder bei entgprechender
Zunahme von I:) der magnetische Stromring in eeiner Wirkung nach a&n hin
mehr und mehr wie ein elektrischer Dipol, d e w n Richtung mit der Rotationsachse zassmmenfallt. Selbstverstiindlich kann er dort auf dem Abschnitt E = 0
dieser Achse nur in solche P u n h dieser Achse eu liegen kommen, fiir die qarqf
ist, de ja der tibrige Teil d i w s Achsenabschnittea von dem gegebenen Drehparabol
nmhullt wird. Im iibrigen vollzieht sich dieser Brenziibergang nach.genau den
gleichen Gesetzen wie im Abschnitt 3.12, und eg kommt somit.fiir die Komponente $jpdes zngehorigen Strahlungefeldes schliealich die folgende Darstellung
zustande: Es w i d im Raumteil q, p '7 <00
Um den fiir ein q, 7 q <q, giiltigen Ausdruck zu erhalten, braucht man
lediglich unter dem Integralzeichen von (4.4) 7'mit q; zu vertauschen. Das Verschwinden von Q tritt im vorliegendea Falle aua demselben Grunde ein wie'bei
der G1. (4.3).
4.2. Die Beihenentwieklungen beIm AnSsnronmproblem
Um auch beim Adenraumproblem wenigetem einen ergten Einblick in die
physikalische Auasage der Lijsung en gewinnen, m,lissen wir wie beim Innenraumproblem eu geeigneten keihenentwicklungen EU gelangen suchen. Wir werden uns
dabei im folgenden in erster Linie an die G1. (4.3) halten. Der Integrand dieser
Gleichung weist wie der der davon nur wenig verschiedenen G1. (4.4) zwei unendliche Ketten von einfachen Polen auf. Die eine dieser Polketten riihrt von der
H.Buchhdz: D i e azialaymnaetrisehe eWromapet&che Str&ung
201
..
r-Funktion her und wird von den Punkten 3 = - n mit n = 1, 2 , 3 . gebildet.
Uin mit Hilfe des Residuensatzes nach den Residuen dieser einfachen Pole entwickeln zu konnen, inussen wir den Integrationsweg von (4.3), der jedenfalls noch
rechts yon den am weitesten rechts gelegenen Polen dieser Kette verlauft, nach
links hinuberziehen. Mit Hilfe der fiir die Funktionen Mu,+und Wu,t bei unbeschriinkt wachsenden Werten von 8 giiltigen asymptotischen Entwicklungen, wie
sie z. B. it1 der unter 1) erwiihnten Arbeit enthalten sind, liiBt sich leicht entscheiden, daD eine solche Liiiksi,erschiebung in der Tat unbegrenzt moglich ist, sobald
die unter der GI. (4.5) stehende GroBenbeziehung erfullt ist. Die Entwicklung
fur &,, die auf diese Weise zustande komnit, Iautet dann wie folgt: Es ist fur alle
<’oo.
I],
Die Entwicklung (4.5) gilt also vornehnilich fiir solche Punkte des Strahlungsfeldes, die geniiil3 Abb. 1 links von der durch den Brennpunkt gehenden und adf der
Rotationsachsc deq Parabols senkrecht st,ehenden Ebene liegen, und sie ist unter
der angegeben Bedingung absolut und gleichmaBig konvergent,. Auf der Oberfliiche der den AuBenrauiii nach innen begrenzenden Parabolfliiche gilt sie nirgendwo. Daher ist es auch fur den Entscheid uber ihre Richtigkeit gegenstandslos,
daD sie nicht ohne weitmes erkennen la&, ob durrh sic die Bedingung eines verschwindenden Wertes von (sb liings der Flache ‘1 = q i erfullt ist. Auch hefriedigt
zwar jedcs Glicd der Reihenentwicklung (4.5) filr sich selbst die Differentialgleichung fiir @,, jedoch gilt dies eben nicht von der gerade erwahnten Grenzbedingung.
Fur schr grol3e Werte von ?/’, die obendrein der zu (4.5) gehorigen Vorschrift
genugen, bestininit ini wesentlichen schon das erste Glied in der Entwicklung
von (4.5)die GriiBc von &, denn es ist in diesem Fallc
(- i j,’)
( - ~ i ,,’)- . (, ii(.rl.
IVN
J‘
~
Ferncr ist n w l i (:I. (3.1)
C i
JIl,
(-
i 5’) .~ (~~ i 5’) . e ’
und auBcrdein If,’-
,, ( z )
:
:.. 6
-+ j-,
1 . e-ZL&
II
I
-
- ...
2
:
(2
,
. z . p
’ Ei(-z).
Daraus folgt dann
I
p
11-L I , !
(2)
=r
z
f
2 1 .)
-
-;
P
Ei ( - z ) .
Das erste Glicd i n dcr Eutwicklung (4.5) liefert, dainit bei groDen Werten von q’
fur $, d m folgrnilen Niiherungsausdruck : Es ist fiir --f 00
cotg(i)
.-._
)
sit12
eikr
(5) ’
A/cm .
(4.54
2 02
Annalen der Physik. 6. Fdge. Band 2. 19.18
Dabei ist gemaB den Definitionsgleichungen fur die parabolischen Koordinaten
die Entfernung r zwischen Brcnnpunkt und Aufpunkt gleich 5 + 7 und z =
E-7 gesetzt worden. Uberdies ist mit z = r * cos 6 in (4.5a) auch der Polarwinkel 6 eingefuhrt worden. Im Hinblick auf die allgemeine Gultigkeitsbedingung
von G1. (4.5) mu0 der Winkel 6 in der letzten Gleichung stets groBer als'n/2 sein.
Wir wenden uns nunniehr der zweiten Moglichkeit zu, von GI. (4.3) oder (4.4)
aus zu einer Reihenentwicklung zu gelangen, indem wir gemal3 den bei der G1. (2.10)
vorgefundenen Verhaltnissen nach Polen rechts vom Integrationsweg Umschau
halten. Da auch im vorliegenden Falle die zweireihige Determinante des Integranden fiir positiv ganzzahlige Werte von s verschwindet, so werden solche Pole,
falls sie uberhaupt vorhanden sind, gewil3 nicht von den Nullstellen von sin (ns)
gebildet. Beim Integral der G1. (4.3) entfallt die Moglichkeit zu solchen Polen
von selbst. Es bleibt also nur noch zu prufen, ob eventuell die Funktion Wi, (- iq;)
als Funktion von 9 betrachtet Nullstellen besitzt. GemaB G1. (2.13b) trifft diese
Vermutung aber tatsachlich zu. Danach sind auch bei dieser Funktion unendlich
viele Nullstellen in bezug auf s vorhanden. Nach G1. (4.10~)nahern sie sich mit
wachsender Ordnungszahl mehr und mehr der positiv reellen Achse der s-Ebene.
Bei i h e r wirklichen Berechnung beschranken wir uns im folgenden auf sehr kleine
Werte von 7;:
Im Hinblick auf die Beziehung (3.2) fur Wb,+(z)empfiehlt es sich dabei, von
vornherein gleich nach den Nullstellen der Funktion I'(- s) Wi,+ (- i 7:) zu
suchen. Dann stort aber noch an der fur G1. (3.2) gewiihlten Schreibweise, daB fur
einen Wurzelwert s p , der etwa in der Nahe der positiven ganzen Zahl p liegt,
wegen des Faktors Y (1 + A- 8 ) alle Glieder der Reihe rnit A S p - 1 in sehr unubersichtlicher Weise unendlich werden. Ihre Herausnahme wird dadurch ziemlich
muhselig. Wir inachen aus diesem Grunde von der Beziehung
P(1+ A - s)
= Y (s - I
) + .z cotg 7.5 (8- A ) = Y (s- 1)+ n cotg (ns)
Gebrauch und erhalten damit fur die Funktion W8,i(z) .
auf die G1. (3.1) auch noch die andere Darstellung:
I'(-
9).
Wo,+( z ) = z . e
- -2z
r (-
s) im Hinblick
e-z:2
. lFl(l- s; 2; z) . [hi c
+ x cotgn
-
91-
Nach kurzer, rein elementarer Rechnung folgt daraus die weitere Beziehung :
I
I'(-s).e
+;-
2
-W;,,(z)
=
1
r2 -5+ 1 F , ( 1 - s s ; 2 ; z ) + ( l n z + n c o t g n s ) ~
S;
2;
y
x ) +(1-s)z
.,F1(2--; 3; Z )
1
H . Buchholz: Die axiabymmetrische ekktromagnetkche Strahlung
203
Durch die fur die beiden letzten Gleichungen gewahlte Schreibweise ist damit
erreicht, daU die Singularitaten der rechten Gleiehungsseite iii s =p mit p = 1,2,3.. .
nur noch in dem Faktor cotg (n8 ) stecken, wahrend alle Glieder dcr beiden unendlichen Rcihen a11 dirsen Stellen endlich bleiben.
Wir niachcii davoii Gel)rauch, daB voraussetzungsgeinaI3 piL in 1,; = 2 k
eine sehr kleiiie Zahl win 8011, und vernachliissigen dementsprechend in der GI. (4.7)
alle Glieder nrit z , ?, . . . i r i i t Ausnahmr von io und In (2). Dann ist niiherungsweise niit C - Y(1) I t r ( y )
~
I’(- .)
~
c
. .
!I.:,; (:)
* r’1
,~
1
‘P(..) .i x cotg (xs ) i-
Iii
(i y2)
.
(4.7a)
Nach dem ahergang vnn z. zii - i 1,: haiitlclt rs sich nlso um die Auflosung der
folgenden transzendeiitcii Gleichuiig nach s :
Da nun hierin geniiiI3 unserer Voraussetzung dcr Logarithmus cine groBe Zahl sein
8011, so muD offenbar die kleinste Wurzel so dicser Gleichung in der Nahe von Null
liegen, denn bei kleineni so ist Y(1- so) I n (1’ y ) und fur die GI. (4.8) darf dann
naherungsweise gesetzt rerden :
1
2,;;
1
21’
~
r’
‘I1
(2
x: ,,,
;,2)
Fur die kleinste Rurzel 5: der Gl. (4.!))koinmt mithiii der Naherungsausdruck
(4.10a) zustande. Urn die iiiichst hohrrcw \Vurzc*lii zu gewinnen, setze man in
(4.9)
(4.10a)
,s;
p 4-x niit p = 1 , 2, 3 . . . Betrachtet man dann auch hierin a als
(4.8) s :
eine kleine Zahl, YO erhalt man fur 5; nach kurzer Rechnung die Formel (4.10b).
Diese Gleichung ist jedoch nicht unbeschrankt fur beliebig groUe Werte von p
mit dem gleichtn Grade von Genauigkeit gultig. Da namlich Y (p)mit wachsenden
Werten von p wie der In (p) uber alle Grenzeli wachst, so trifft in der G1. (4.8) fur
groBe Werte von p nicht mehr die fur die obeu angewandte Auflosungsmethode
wesentliche Redingung zu, daB in dieser Gleichuiig allein der Logarithmus von
l/(qi .y2) eine groBe Zahl vorstellt und mitliin tatsiichlich a in 8; = p 01 nur klein
ist, weil von diesem Logarithmus noch der auch Iiicht mehr kleine Wert von !P @)
in Abzug zu bringen ist, wie das in der G1. (4.10b) zum Ausdruck kommt. AuSerdem ist es naturlich bei groBen Werten von p und damit von s selbst bei kleinen
Werten voii z iiicht mehr statthaft, in G1. (1.7) z. B. das Glied z . (1- s)/2 in der
Funktion J,von G1. (4.7) fortzulassen. Fur groBe Werte voii s muB daher fur die
+
204
Annulen der Phyaik. 6. Fo2ge. Band 2. 1948
Berechnung der Wurzeln von (4.9) die asymptotische Darstellung der Funktion
W6,+
ftir grode Werte von a durch G1. (2.13b) herangezogen werden. Aus Raunimange1 mussen wir uns daniit begnugen, die auf diesem Wege gewonnenen und fur
groBe I, gultigen Naherungsausdrucke fur die Nullstellen der GI. (4.9) hier ohne
Herleitung mitzuteilen. Es gelten danach fur sie die Beziehungen :
(4.10~
)
+
I m Grenzfall p -+ 00 gehen also die Wurzeln 8; -+ p
‘la,
da der Hilfswinkel y
hierbei gegen Null strebt. Vernschlassigt man noch in (4.10a) die Glieder z i / 2
und ns/4 im Ziihler und Nenner des Bruches, so stimmt die Beziehung fur s: niit
dem von M. Abraham3) angegebenen Wert von 6 uberein.
Nach diesen Untersuchuiigen tritt mithin auch bei den Integralen (4.2) untl
(4.4) auf der rechten Seite des Integrationsweges eine Kette von unendlich vielen,
einfachen Polen s = ah auf. Um dieser Tatsache gemad diese Integrale nach dem
Residuensatz in Reihen umwandeln zii konnen, deiiken wir uns den zur imaginaren
Achse parallelen Integrationsweg durch einen auf seiner rechten Seite angesetzten
Halbkreis von sehr grodeni Radius zu eineni geschlossenen Integrationsweg ergiinzt. Dann verschwindet der Integrand langs dieses Halbkreises, wie man
mittels der z. B. in 2) mitgeteilten asyinptotischen Darstellungen von M,, und
W6,+
fur s -+ 00 zeigen kann, imnier dann hiiiliiiiglich stark, sobald zwischen den
t k usw. die Ungleiehung (4.11a) erfullt ist.
Bei Anregung des Strahlungsfeldes durch cine auf der Oberflache des Drehparabols 7 = l;li an der Stelle angeordnete zonale EMK herechnet sich auf ditw
Weise fur @+,, die folgendc Reihcnentwicklung : Es ist
r,
(4.1 1 )
Dabei ist die Uinforniung des Integrals in die Reihe (4.11) an die Voraussctzmip
gebunden, dad die Ungleichung
(4.11a )
besteht. Wir haben also in G1. (4.11) cine an der inncren Begrenzungsflache des
Strahlungsraums gultigc Entwicklung vorliegen. Im Gegensatz zu der Reihendarstellung (4.5) fur 8, erfullt in der G1. (4.11) jedes Reihenglied fur sich allein
sowohl die Differentialgleichuilg auch als auch die Randbedingung an der Flachc
7 = qi. Jedes Glied fur sich repriisentiert dcinzufolge einen physikalisch moglichen Ausbreitungsmodus der Strahlung.
3) M. Abraham, Elektrische Schwingungcn in cincm frci mdigcnden Draht, Ann.
Physik ( 4 . Folge) 2, 32-GO (1900).
Erfolgt die Strahlungs-Anregung wie bei G1. (4.4) dtuch einen in der A&m
liegenden elektrischen Dipol, der an der Stelle r] = qq steht, go gilt in diesem Falle
fur QP,die Reihenentwicklung (4.12), deren Gultigkeit an die Voraussetzung > 0
gebunden ist. Im ubrigen andert sie ihre Gestalt nicht, gleichgiiltig ob nun 7 5 vq
ist .
fjber einige physikaliuche Folgerungen, die sich aus den Losungsgl. (4.11) und
(4.12) ziehen lassen, vergleiche inan die unter *) zitierte Arbeit von M. Abraham.
Die namlichen Folgeruiigen bespricht H. M. Mac d o n a 1d in seinem unter ‘)
a n g e a r t e n Buche, in den1 er zum Ullterschied gegen A braham den frei endigenden
Draht unter dem Bilde eines spitzen Kegels
betrachtet.
4.8. Der freistehende magnetisebe Stromring
in einem 8118 zwei konfokalen und orthogonalen Drehperabolon begrenden h u m
In der soeben eraahnten Arbeit von
M. A b r a h a m begnugt sich der Verfasser
von vornherein mit der Herstellung einer
Naherungslosung, wobei er aber methodisch
in ganz anderer Weise vorgeht, als es in der
vorstehenden Arbeit der Fall ist. A b r a h a m
gelangt dabei zu einer einzigen moglicheu
Ausbreitungsforni der Strahlung, namlich
nur zu derjenigen, die in den obigel1
Reihenentwidklungen der kleinsten Wurzil8:
entspricht. Andererseits betrachtet jedoch
A b r e h a m insoferii einen allgemeineren Fall,
als in seinen Untersuchungen das Drehparabol, das den frei endigenden Draht darstellt, nur eine endliche Lange hat und am
Ende dieser Laiige gemiiD Abb.3 in ein
zweites sich bis ins Unendliche erstreckende
Drehparabol einniiindet, das das den Draht
verkorpernde orthogonal schneidet. Bedeutet [ = [,. die parabolische Koordinate
der inneren Begrenzungsflache dieses zweiten
Paraboloids, so spielen sich die von
A b r a h a m untersuchten Schwingungen in
dem h u m zwischen dem drahtformigen
Drehparabol mit der Oberflache r] = q und
dem dazu senkrechten Parabol ruit der
4,
H. hl. Mncdonald, Electromagnetism,
London 1934.
Abb.3. Der Stromring steht nach
wie vor im Schnittkreia der beiden
Drehparabole t] = qq und t = ta.Die
Begremug dea Raums wird eber
jetzt gebildet von dem Drehpmbal
q = ql und dem dam konfokelen und
orthogonakn Drehparabol € = Er
206
Annalen der Phyaik. 6.Folge. Band2. 1948
Oberfliichengleichung 5 = 5, ab. Selbstverstjindlich ist dann fur alle Punkte
und 711 7 vi < 00. Im
(E, q ) des von der Strahlung erfiillten Raums 0 7 6 5 t,
besonderen ist auch zunachst 5, < lrund q, < qa.
Es ist keineswegs schwierig, auch die Losung (4.4) fiir den aueerhalb des Parabols angeordneten, freistehenden magnetischen Stro:nring dieser Modifikation
anzupassen. Wir brauchen zu diesem Zweck der G1. (4.2) fur @+, nur eine weitere
Gleichung hinzuzufiigen, die sonst in allen Faktoren den gleichen Aufbau hat wie
die Ausgangsgleichung, sich von dieser jedoch darin unterscheidet, daD an Stelle
der geschweiften Klammer im Integranden das Glied
A (8) . M -
#,I
(- i 5’)
steht. Physikalisch reprasentiert dieser zweite, zu &, hinzutretende Ausdruck die
Veranderung von &, durch die reflektierende Wirkung der neu hinzukommenden
Oberfliiche 5 = 5,. Da diese reflektierte Strahlung fur 5 = 0 einen endlichen
Wert behalten muD, so scheidet im Hinblick auf die G1. (3.2b) die Wahl der
Funktion Wd8,&(-i 5’) als Ansatz aus. Die Bestimmung der noch unbekannten
Funktion A in dem mithin allein moglichen obigen Ansatz gelingt dann ohne weiteres mittels der Forderung, daD an der Flache 5 = 5, fur alle q die Feldkomponente @ verschwinden muD.
Die Feldkomponente &, des Strahlungsfeldes, das ein an der Stelle (5,,qa)
angeordneter, freistehender magnetischer Stromring im Innern eines zu ihm koaxialen Drehparabols 5 = E, mit der gemaD Abb. 3 in das Innere hineinragenden para bolischen Spitze 9 = qt erzeugt, ist demgemiio im
Raumteil 6, 5 < 5, und tia < )I
durch die nachstehende Integraldarstellung gegcben :
< 00
I O f 1 - J
-2It.I;’
$?I
(9’9 9 ) =
A,, . I/p,~q,
. I/”
11‘
“n i
7 u
I 1111.
I WL
.I‘
I
W
I(
sin ( x 8 ) ’
-11AM;,&
(- i
6;) lL’#. _(- i pi’)
(i 6;)-
*
II.:,;(- i ?I:,*
1
(4.13)
i E;) 111- 8 , + (- i E’) 1 1 w;,
1 (- i I / : ) W8,4
(- i I / ; )
,*as
’
I , (i 6:) If’- 8 , & (- i 6’)1 lvi,+ ()/:) A1f8, f ()/;)
0 < IS< Re (sb).
Die fur den Raumteil 0 7 6 < 5, gultige Darstellung geht aus (4.13) durch
Vertauschung der Argumente 6; und 5’ unter dem Integralzeichen hervor und die
fiir den Raumteil qi 7 r/ < qa durch Vertauschung dcr Argumente qa und q. Die
G1. (4.13) erfiillt nicht nur die fur @+, vorgeschriebenc Differentialgleichung (2.17).
Sie befriedigt auch die Randbedigungen uber das Verschwinden von @€ auf der
Fliiche q = q i und das von 0-, auf der Fliiche 5 = f,, denn die beiden Determinanten in (4.13) bestehen in diesem Falle aus zwei gleichlautenden Spalten.
An dem Integral der GI. (4.13) ist auBerdeni bemerkenswert, daD die Singularitiiten seines Integranden nur noch von den Nullstellen der Funktionen ML t
(- i 5;) = Jf;,*(+ i 5:) und W;,, (- i 9;) gebildet werden. Die ersteren liegeii
wie im Falle der G1. (3.3) auf dcr imaginiircn Achse der s-Ebene, jedoch im vorliegenden Falle fast alle auf der negativen Halfte dieser Achse, die zweiten liegen nach
Abschnitt 4.2 in der Halbebene der Re (s) > 0, wo sie sich nlit zunehmender
Ordnungszahl asymptotisch der retllen Achse niiliern. Die Nullstellen von sin (nS)
bilden in (4.13) weder in der rechten nocli in der linken Halbebene Pole des
8,
1 (-
+
Integranden, denn fur ein s = f (n 1) mit n = 0, 1 , 2 . . . verschwindet gemiiD
der G1. (2.11) Kegen der Gleichheit zwcier Zeilen entweder die linke oder die rechte
Determinante. Sol1 daher das Integral (2.13) nicht einfach gleich Null sein, so
mu0 im vorliegenden Falle sein Integrationsweg rechts von der irnaginaren Achse
der a-Ebene verlaufen und sich zwischen der senkrechten Polkette auf der imaginaren Achse diescr Ebene und der wesentlich horizontalen Polkette von seiten der
Funktion W i , + hindurch ziehen. Das Integral (4.13) konvergiert im ubrigen nnter
den angegebenen GroDenuiigleichmigei~f iir clic E’ und q’ absolut und gleichmallig.
Entsprechemi den beiden Polketten dcs Integranden von (4.13) lassen sich ini
vorliegenden Falle durch Herumlegen des Integrationsweges nach rechta oder
links zwei vollig vcrschiedene Reihenentwicklungen aufstellen. An diesen Reihen
ist bemerkenswert, daB jedes ihrer Glieder h i d e Randbedingungcn zugleich erfiillt. Handelt es sich z. 13. iim die Reihcnentwicklung nach den Nullstellen der
Funktion M i , * . so wird (lie Randbedingung langs 6 = tpbefriedigt, weil dabei
eine Eigenfunktion ins Spiel kommt, untl die Randbedingung fiir 0.: langs q = qr,
weil jedes Glicd init, cinein Faktor bchaftet ist, drr fiir 71 = ’li verschwindet. Der
umgekehrte Fall liegt bri dcr anderen Ent\vic.klung vor.
Es versteht,sich von selhst, daD auch die Liisungsgl. (4.13) auf die in den friiheren
Abschnitten hehandelten hcsonderen Anregungsformen spezialisiert werden kann.
Als eine physikltlisch besonders interessante Form dcr Strahlungserzeugung erwiihnen wir darunter diejenige, bei der die Anregung durch eine zonalc EMK erfolgt, die in d e r Schnittkurve der beiden Paraholflachen 6 = 5, und 11 = qi liegt.
Die Gleichung fur Qa ninimt in diesem Falle ini Hinblick auf die GI. (3.4) die einfache Gestalt der GI. (4.13a) a n . Uiiter prakt~ischenVerhaltnissen wiiirde diese
--
13.-
(t,
;::
(i
//t.
5 I.‘
:r)
Art der Anreguirg dildurch verwirklicht wcrdc~n konnen, dal3 von auDen her in
die Kappe des Parabols 5 = 5, und korizentrisch zu dessen Rotcltionsachse eine
koaxiale Lcitung cingefiihrt, wird, deren Mittellciter ini Innern dieses Parabols
in die zweite Parabolfliichc 71 = ? j i ausliiuft. Die zonale EMK wird hierbei dargestellt durch d a s elektrische Feld in cleni kreisringformigen Endquerschnitt der
koaxialen Leitnng.
Als Musterheispit-1 fiir tlir anderen FLllc ge1)en wir noch die zur Integraldarstellung (4.13a) gehorigen Reihenentwickluiig~~ian. Wir legen zunachst den
Integrat,ioiisweg nach links herum, so daB cr die im wesentlichen auf der negativ
imaginarcn Achse gelegenen Pole unischlingt. Das ist immer st,atthaft,, solange
9 > q i wid .t, > 6 ist und fuhrt zu der absolut rind gleichmaDig konvergenten
Reiheneiit\vicklriii~ ( . i . l 4 a ) , in der die T : ~dic GI. (4.143) erfiillen. DaD auch
i g u i i0~ auf
= >ii hefricdigt ist, laDt
in diescni F;rllc t l i v ( ~ r c ~ i ~ z l ~ e d i ~GE
~
((J
7 5 . . 6,)
208
Annalen der Phyeik. 6.Folge. Rand 2. 1948
sich zwar clcr Reilie selbst nicht ohne weiteres ansehen. EHfolgt dies aber zwangsliiufig aus der Inte~raldarstelluiig(4.13a), denn fiir ein 7 = q i fiillt dann unter
dem Integralzeichcn auch iioch der Quotient aus den beiclcn IV-Funktionen fort
und fur ein 6 < 6, kann zuin mipdesten fur ein I m (k)> 0 der Integrationsweg
beliebig wcit nach rechts rerschoben werden, ohnc je auf eine Singularitat zii
stol3en oder die Konvergenz zu verlieren, so da13 also das Integral identisch vcrschwindet. Fur jedes E‘ < 5: mu13 daher die Nullentwicklung (4.15) gelten.
(4.15)
Besteht zwischen den 6,trusw. die zu GI. (1.16) angegebene Ungleichung, so
darf in (4.14a) der Integrationsweg nacli rechts herumgelegt werden und auf die
dort liegenden Pole zusammengezogen werden, die von den Nullstellen der Funktion W ; , i herriihren. EHergibt sich so die Entwicklung (4.16). Sie hat in crster
Linie in
Vi’J > 15 + \/r;-
VGi
dcm Bereich um das innere Parabol heruni Geltung und gilt iibcrhaupt nicht
der Oberflache des dazu orthogonalen aul3eren Drehparabols.
nii
6. Die allgemcine Liisungsglaichung f i i den elektrischen Stromring
zwisehen zivci Drehparabolen
Der Vollstandigkeit hallxr wollen wir auch noch in allcr Iiiirze auf den Fall
eingehen, da13 das axialsyniiiietrisclie Strahlungsfeld zwischen den beiden Drehparaboleii 97 = 71 und 71 = tia seine Herkunft einein elektrischen Stromring verdankt, der a n der Stclle (to,
?la) koaxial zur Rotationsachsc angeordnet ist. Aus
demselben Grunde mie im Abschnitt 2 liat dann der Vektor
von G1. (2.3), init
dessen Hilfe sich das primare Struhlungsfeld cines solehen Ringes beschreiben
laat, wegen
($6)
(x’,y’, z’) .dl”
= 6(e)
rlx’ dy’ d:‘ = 1:’
. po .dv., . cT.,
[I:)]
=A
nur die einzige, durch GI. (5.1) miedergegebene Koniponciite @, und das Feld
selbst hangt mit
iiber die G1. (5.2a, b, c ) zusammen. Fur die Koniponente ’ @
:
des primaren Feldes gilt dann gaiiz die namliche G1. (2,7) \vie fiir $$) niit
Qt)
277
(5.1)
(5.2b)
( X C )
H . Buchholz: Die azialsymmlrbche clektromagnetieche 8tmMu?kg
209
dem einzigen geringfugigen Unterschied, da13 in dem A u s h c k fiir (iff’ der
Faktor
in den Zahler zu stehen kommt, und daselbst an Stelle von I$‘)
die Amplitudenkonstante 1
:
’ auftritt.. Dieselben Anderungen muB der der
zeigen. Die
G1. (2.9) entsprechende A4nsatz fiir das zusatzliche Feld
darin vorkomniendeii Funktionen A ( 8 ) und B(s) behrnmen sich dann neuedngs
ails der Forderung, da13 fiir das redt.iereiide Feld die Feldkomponente (EV =
AGq sowohl fiir 17 = rji als auch fur 27 = ? / R verschwinden muB. Daraus ergibt sich dann nach kurzer Rechnung fur die Komponente (Ev des Strahlungafeldes, das ein an der Stelle (la,
r j J stehender elekt,rischer Stromring in dem Ram
zwischen den beiden Drehparabolen r j = q i und 97 = rj, erzeugt, der folgende
Ausdruck: Es ist, im Falle eines rja < 77 <’ )I,(
lio/&o
@?) +
-
c, (t‘,91’)
/‘l!
=
c,,
,
?xi
Jf8,
t (-
i
Ws,i(- i
Fur ein q z q r j <
Ecke an Stelle von
-
(5‘ < t;)
;. j a
-
.I‘
1
-0
W8, (- i j , ’ ) . Ms,
1 (- i);,
(;
‘
,O.~
MI),(- i ),’)
& (i 5’) . ti’. .1 Ns,
sin (7s)
IAV,1 (i 5;) Jv7s
I),
f
(- i
I ,&
5;)
(- i 6‘)
(5‘ > 5;)
. W8,
1(--
1.
i 1,;) W8,*(- i 9,’) . Ma,*(- iq:)
*Ifs,1 (- i r/;)
M8,*(-i$)
u7s,;(--
W8,&(-i7?i)
irl;)
.
steht in der dreireihigen Determinante in der linken oberen
WS,*(i71’) ..&I8,?(-i q;) das Element M 8 , t ( - i ~ / ‘- )Wa,*(-irjh).
Die weiteren sich hieran anschlieBenden Rechnungen konnen methodisch in derselben Weise durchgefiihrt werden wie in den Abschnitten 2.4. Auch das, waa
friiher iiber die Lage der Singularitaten gesagt worden ist, bleiht qualitativ bestehen. Nur andern sich natiirlich, da neuerdings in der Nennerdeterminante die
Funktionen MI,+ und Wa,+selbst auftreten und nicht mehr wie friiher ihre Ableitungen, die quantitativen Angaben uber die Nullstellen. SchlieBlich verdient
noch bemerkt zii werden, daB im vorliegenden Falle das Hineinriicken des Stromringes in die innere oder aulere Begrenzungsflache zu einem trivialen Ergebnia
fiihrt, da die maogebenden Determinant’en hierbei in der Grenze verschwinden.
Das entspricht dem physikalischen Sachvcrhalt.
6. SchluSbemerkungcn
Mit den Verallgemeinerungen, die in der vorliegenden Arbeit hinsichtlich der
Art der Anregung und der Formgebung des Raums gegeniiber der alteren Arhit
vorgenonimen worden sind, sind die Untersuchungen iiber das axialsymmetrische,
elektromagnetische Strahlungsfeld unter Berucksichtigung der Erzeugung in
einem von Paraboloiden begrenzten Raum im grol3en und ganzen zum Abschld
gebracht. Wenn dabei hier nur von dem magnetischen und elekBrischen Stromriq
als der axialsymmetrischen Strahlungsquelle die Rede gewesen ist, so geschah diee
aus dem guten Grunde, weil sich alle anderen derartigen Anregungsformen a d die
hier ausgewa hlten als Grundformen zuruckfuhren lassen.
14
Ann. Physik. 6. Folgc, Bd. 2
210
Annuten Jer Physik. 6. Folge. Band 2. 191s
Wird z. B. das quasi-axialsymmetrische Feld von einer Vielzahl elektrischer
Dipole erzeugt, die syrnmetrisch zur -4chse der Drehparabole in den Ecken cines
regelmaaigen Polygons angeordnet Find, und die im ubrigen die Richtung der
Rotationsachse haben, so la& sicli i n diesem Fall die Losungsgleichung fur &,
dadurch aus der allgemeinen Losung (2.10) gewinnen, daB man statt eines magnetischen Stromringes deren zwei betrachtet, die bei nur wenig voneinander verschiedenen Radien e, und e,-6ea in einer und derselben zur Rotationsachse senkrechten Ebene liegen, jedoch von dem magnetischen Strom in entgegengesetzter
Richtung durchflossen werden. Steht dann der Ring mit dem Radius wie fruhcr
an der Stelle (t,,,),so steht der zweite Ring wegen
6za = 6&-
S1j4 =
0
Entwickelt man nun in dem zum zweiten Stromring gehorigen Ausdruck fur
,f+, die Funktionen mit den Argumenten t k und qh in Reihen nach 6e, und bricht
sie wegen. dessen Kleinheit mit der ersten Potenz von 6e, ab, so hebt sich der zuin
ersten Stromring gehorige Ausdruck fur
gegen das erste Entwicklungsglied
fort, und in dem stehenbleibenden Ausdruck erscheint vor dem Integralzeichen u. a.
das Produkt 1;) 69,. Bedeutet andererseits
* S
[ die gegebene Dichte der elektrischen Dipolmomente, bezogen auf den cm-Umfang des Kreises mit dem Radius e,, so ist auf Grund von G1. (3.6):
.@,
-
$5'
Damit ist bereits die Umrechnung der Losungsgleichung auf die neue Art der
Anregung dea Strahlungsfeldes im wesentlichen vollzogen. Noch einfacher gestalten sich diese Rechnungen, wenn die einzelnen Dipole in den Ecken des Polygons zur Achse senkrecht stehen oder die Richtung der Tangente an die Parabelfliichen 5 = const oder 11 = const haben. D a m muB man zwei Stroniringe benutzen, die auf dem dazu senkrechten, durch den Dipolkranz gehenden Parabol
liegen. In genau der gleichen Weise lielie sich der Fall eines Ringes magnetischer
Dipole axialer Richtung mit der Momentgndichte ,$)' 6 [, falls er von praktischcr
Bedeutung ware, unter Benutzung der Forniel (6.2)
auf die fur den elektrischen Stromring der Stiirke Zz)angegebenen Losung zuruckf uhren.
B r a u n s c 11JV e i g , Saarbriickcner StraBe 269.
(Rci der licdaktion eingegangcn am 13. Juni 194G.)
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