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Die Bedeutung der Kraftlinien und Niveauflchen fr die Optik.

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6. Dde B e d e u t u n g der Xraftldnden u n d Ndveau-
$%&en
f i i r dge Opt&-; v o n W.Ruoss.
Zwischen einem electrischen Korper und einer Lichtquelle
besteht insofern eine Behnlichkeit , als die electrischen graftwirkungen und die Starkeii der Beleuchtung abnehmen i n
Quadrat der Entfernung und proportional sind der electrischen
Menge beziehungsweise der Lichtstarke. Den Problemen der
Electrostatik lassen sich also Probleme der Beleuchtung gegeniiberstellen, von denen einige nicht nur von theoretischem sondern auch von practischem Interesse sind; dahin gehort die
Frage nach den schattenlosen und nach den maximal beleuchteten Flachen.
Ftir denjenigen, der schreibt, zeichnet, photographirt, erlangen diese Fragen Bedeutung, sobald er kiinstliche Beleuchtung anwendet, sobald ihm mehrere Lichtquellen zur Verfiigung stehen. So verlangt im allgemeinen der erstere, dass
das Licht von links kommt; der andere, dass sich seine Utensilien in schattenlosen Flachen bewegen; der dritte, dass die
abzubildenden Korper moglichst stark beleuchtet seien.
Da bei den Problemen das Bunsenphotometer (ein weisses
Papier mit einem Stearinflecken) eine hervorragende Rolle
spielt, so sei hier kurz das Princip desselben angefuhrt.
1st die Helligkeit auf der einen Seite des Photometers J,
auf der anderii J', ( J ' > J ) , und sind die Coefficienten der
Durchlassung des Lichtes durch den Flecken A und durch
das nicht beflekte Papier k, SO ist auf der einen Seite die
Helligkeit des Fleckens (1-?.) J + ?,J' und die des nicht befleckten Papiers (1 - k ) J + k J'.
Der Flecken tritt desshalb auf dieser Seite hervor gegeniiber dem Papier mit einer Starke (A - k ) (J'- J ) , welche proportional der Differenz der beiderseitigen Helligkeiten ist.
(J' - J ) ist also ein iliaass f u r die Sichtbarkeit des Rechens.
F u r J' = J ist die Sichtbarkeit U.
Im weiteren Verlauf werde ich beziiglich der Definitionen
und Citate, soweit sie sich auf Electricitiit erstrecken, mehr-
78
H. Ruoss.
fach auf das Lehrbuch der Electricitat und des Magnetismus
von M a x w e l l zurtickkommen.
Befinitionen. Die Helligkeit , welche die Strahlen eines
Lichtpunktes von der Stiirke 1 in der Entferiiuiig 1 cm bei
senkrechtem Susfall erzeugen, sei 1.
Die Lichtmenge 1 erhalte 1 qcm einer Flache bei der
Helligkeit 1. Ein Flgchentheil knnn in einem Punkt auf beiden
Seiten beleuchtet sein ; zu jeder dieser Beleuchtungen gehort
dann eine Normale, welche nuf der Seite der Beleuchtung gezogen wird.
Hat man nun einen Lichtpunkt L von der Starke i , so
ist fur einen Punkt P in der Entfernung T die Helligkeit i / r *
bei senkrechtem Auffall der Strahlen; diese Grosse nennen
wir Helligkeitsintensitiit des Punktes P (entsprechend der electrischen Kraftintensitlt Maxwell's, vgl. I. art. 44 und 68 des
oben erwiihnten Werkes).
Die Helligkeitsintensitiit i / r 2 wird als Strecke (Kraft) von
P aus auf P L - T abgetrngen.
1st nun in Y ein Flachenelement d P vorhanden, und macht
seine Normale niit T den Winkel 6 , so ist die Helligkeit des
Flachenelementes i / r 2 cos B, d. h. gleich der Projection von
i/ r 2 auf die Flachennormde.
Da liach obigem die Normale auf der beleuchteten Seite
gezogen wird. so ist i / r 2 .00s e stets positiv und die Projection
fallt auf die Normale (nicht nuf die Ruckwiirtsrerlangerung
d erselben).
Die Helligkeiteii voii Flachen werden also bei diesel Darstellung immer auf ihreu Nornlalen als Qtrecken abgetragen.
Sind nun mehrere Lichtpinkte vorhanden, welche dE' beleuchten, so zerfallen die Helligkr?itsintensitaten des Punktes P
in solclie ill.', i,/rl2 etc., welchc die eine Seite von dE' mit
der Normale S beleuchten, und in solche i ' / T ' 2 , i ; / P etc.,
V beleuchten.
welche die andere Seite mit der Normale i
Konstruirt man die Resultante I- der Helligkeitsiiiteiisita~n
der ersteren uiid projicirt dieselbe auf
so ist die Projection
J gleich der Helligkeit 1-011dF auf der ersten Seite. Verfahrt
nian ebenso mit der Resultante r' der aiidern Helligkeitsintensitaten und projicirt dieselbe auf A-', so erhalt man die Helligkeit J' der slidern Seite. (Es sei J' > J.)
hrraftlinien und NiveaufEiichen.
79
Die Begriindung hierfiir liegt in dem Satze: Projicirt man
Krafte auf eine Gerade Ar, so ist die Projektion ihrer Resultante gleich der Summe der Projektionen der einzelnen Krafte.
Nun geben im Punkt P alle Helligkeitsintensitaten i / r 2 ,
i , / r I 2 , T / r I 2 , i i / r l f 2etc. eine Resultante R die ,,resultirende
HeZliykeitsintensitaP' (entsprechend der resultirenden electrischen
Kraftintensitat oder electromotoriechen Intensitit Maxwell's.
I. art. 68), welche somit auch dcr Resultanten T und r' ist.
1st Q die Projection von R auf die Normale N' von d F ,
so ist
Q=J-J;
Somit: Projicirt man in einem Yunkt Y einer Plache d P
die resultirelede Hell~~kaitsiwtensitat
auf die Plachennormale , so
ist die Projection gleich der Biferent der beiderseitigen Beleiichtunyen der Flache oder yleich der Grosse der Sichtbarkeit des
Bunsen'schen Pleckens in P. l) Liegt dP in einer Ebene
durch die Strecke der resultirenden Helligkeitsintensitat, so ist
obige Projection 0 , der Flecken ist unsichtbar, d F wird auf
beiden Seiten gleich stark beleuchtet. Steht dagegen d P senkrecht zu jener Strecke, so ist die Projection ein Maximum, der
Flecken hat die grosste Sichtbarkeit.
Da iiber die Zahl der Lichtpunkte keine Beschriinkung
vorliegt, so gelten die angefiihrten Siitze fur jede Beleuchtung
uiid wir haben das uberraschende Resultat :
Burch jeden Punkt P des Raumes geht eine Axe (die Strecke
der resultirenden Helligkeitsintensitit), so dass alle B e n e n
diirch dieselbe in diesem Punkt beiderseits gleich stark 6eleuchtet
merden. Biejeniye Xbene, iuelche in P senkrecht zur Axe steht,
besitzt dort den grossten Unterschied in der Helliykeit beider
Seiten.
F u r die ersten Ebenen verschwindet also der Bunsenflecken
in P, fiir die letztere Ebene zeigt er die grosste Sichtbarkeit.
Dieser Satz lasst sich experimentell leicht bestatigen und
kaim, wenn das Photometer drehbar gemacht, wird, zu einer
grosseren Genauigkeit der photometrischen Messungen beitragen.
1) Wir denken uus dabei die Fliiche F BUS weisseni Papier und
in P einen transparenten Flecken. Bei spiitercn Versurheii werden auf
der Fliiclie trmsparente Linien gezogen.
H. RUOSS.
80
Construirt mail nun die Kraftlinien und Niveauflachen fur
das Lichtfeld mit den Lichtpunkten von den Starken i7 ill ia etc.
ganz wie beim electrischen Feld, so ist die Strecke der resultirenden Helligkeitsintensitaten des Punktes P Tangente an die
Kraftlinie durch P, und wir erhalten:
Legt man durch eine Kraftlinie eine beliebige Flache, so
wird dieselbe langs der Kraftlinie auf beiden Seiten gleich
stark beleuchtet. 1st daher langs der Kraftlinie eine transparente Linie gezogen (vgl. die Fussnote weiter oben), so verschwindet dieselbe. Dies gibt ein Mittel an die Hand, die
Kraftlinien aufzusuchen. Hat man z. B. 2 Lichtpunkte, so
nimmt man eiuen schmalen Papierstreifen, zieht mitten durch
denselben eine transparente Linie (mit Oel oder Stearin, das
man in Belhiii aufgelost hat) und legt die Streifen so, dass
die transparente Linie verschwindet. Die Lage des Streifens
ergiebt dann eine Kraftlinie.
Kraftrohren uqd echattenloee FlBchen.
Eiiie Flache, die in jedem ihrer Punkte auf beiden Seiten
gleich stark beleuchtet wird, ist eine schattenlose, deren
sammtliche Theile ebenfalls schattenlos sind. Solche Flachen
gibt es im Lichtfeld unendlich viele. Man erhalt eiiie eindeutig bestimmte schattenlose Flache, wenn man die Bedinguug
stellt, dass die Fliiche eine beliebige andere Curve k' noch
enthalten soll. Zieht man nainlich durch alle Punkte von K
die Kraftlinien, so gibt dieses Curvensystem eine F1ache. Jeder
Theil dieaer Flache wird aber nach obigem Satz auf beiden
Seiten gleich stark beleuchtet, also ist die Flache schattenlos.
Die KraftTiihren, d .
sind also schattenlos.
A.
die von Iiraftlinien gebildeten Rachen,
A)zmer/cu?ig. Es ist selbstverstiindlich, dass das Liclit in jedem
Punkt der Fliiche auf beiden Seiten Zutritt habe, was durch Entfernen
eines Theilee der Flgche herbeigefuhrt werden kann.
Die Niveauflachen und die Flachen maximaler Beleuchtung.
In jedem Punkte der Niveaufliiche ist der Bunsenflecken
am sichtbarsten, d. h. yon allen Flachen, die durch einen
Punkt gehen , hat die Niveauflache den sichtbarsten Bunsenflecken.
Stellt man sich nun die Aufgabe: Durch einen Punkt P
81
A-ruftlinien und 1Yiveaufliichen.
ein Flachenelement d P so zu legen, dass es yon allen Lichtpunkten auf einer Seite maximal beleuchtet werde, so folgt
nach den friiheren Entwickelungen, dass dies zutrifft, wenn
1. d P senltrecht zur Strecke der resultirenden Helligkeitsintensitaten des Punktes P steht und
2. d F nur von einer Seite aus beleuchtet wird.
Eine Flache , deren Elemente d P diese Eigenschaften
besitzen, also maximal von allen Lichtquellen beleuchtet werden, heisse Flache maxinialer Beleuchtung.
E s ist hieraus ersichtlich, dass diese Flachen diejenigen
Theile cler Niveauflachen sind, welche nur auf einer Seite beleuchtet werden. Daher:
Solche L\TiveaufZiichen oder solche Theile van Niveau@achen
welche nur auf einer Seite beleuchtet werden, sind Flachen maximalet Be1euchtun.q.
Eine Niveauflache kann sich auch selbst schneiden in so-
genannten Gleichgewichtslinien (Maxwell I. art. 46). Jeder
Punkt einer solchen Linie hat die Eigenschaft, dass jede beliebige Flache in ihm beiderseits gleich stark beleuchtet wird.
Ein Bunsenphotometer wird also in solchen Punkten in jeder
beliebigen Lage fleckenlos I) erscheinen.
Das folgende Beispiel sol1 eine Anwendung der gefundenen
Gesetze bilden.
Lichtfeld mit den Lichtpunkten A und B, deren Starke
4 und 1 eei.
Die Gleichung der Niveauflachen ist 4 / r + 1 / =~ Con~
stante; die der Kraftlinieii 4 cos y - cos spl = Constante, wo
und 'pl die Winkel von r und r1 mit A B sind.
I n Figur 1 sind diese Curven mittels der bekarinten Construction M it x w e 11's aufgezeichnet worden.
Schattenlose Flachen sind z. B. die Rotationsflachen,
welche die Kraftlinien K bei der Drehuiig urn A B beschreiben.
Punkt P ist Gleichgewichtspunkt.
Zieht man von A und B Tangenten an die Niveaulinien,
so liegen die Beriihrungspunkte auf einer Curve C. Alle Niveau1j Bei den iiblichen photometrischen Messungen befindet sich dss
Photometer inimer in einem Punkt der Gleichgewichtslinien.
Aun. d. Phys. u. Chem. N. F. 53.
6
H. 871OSS.
a2
fllchen, welche von C nicht geschnitten werden, sind FlPchen
maximaler Beleuchtung ; alle anderen zerfallen durch C in
2 Theile, yon denen der ausserhalb C gelegene Theil Licht
nur von einer Seite erhalt, also maximal beleuchtet wird.
Die Zeichnungsebene zerfallt also durch C in 2 Theile.
Innerhalb C existiren keine maximal beleuchtete Flachen im
Sinn unserer obigen Definition, wohl aber ausserhalb. Wollte
man eine Flachenstuck d P innerhalb C maximal beleuchten,
so konnte dies nur durch beiderseitige Beleuchtung geschehen,
man wurde dP senkrecht zu den Strahlen desjenigeii Lichtpunktes stellen, fur welchen i / r 2 am grossten. Die Curve C
Fig. 2.
Fig. 1.
spielt also die wichtige Rolle, dass fur eine maximale Beleuchtung innerhalb derselben eine der Lichtquellen entbehrlich
ist, dass man also mit den 2 Lichtquellen nicht mehr erreicht
als mit einer.
Die Curve C hat ferner die Eigenschaft, dass fiir ihre
Punkte die resultirende Helligkeitsintensitat gleich iet einer
ihrer Componenten 4 / r a odcr 1/ria. Bei allen Punkten ausserhalb C ist die resultirende Helligkeitsintensitit grosser als jede
der Componenten, bei allen innerhalb C kleiner als eine der
Componenten.
Allgemein ergielt sich, dass im Liclrtfeld Plachen existiren,
iooelche diejenigen Geliete der Xiveaufllichen umfassen, in denen
83
Kraftlinien und A'iveau$achen.
keine maximal beleuchteten Flachen im Sinne obiger Definition
existiren. In diesen Gebieten erreicltt man mit einem The2 der
Lichtqclellen elensoviel toie mit allen, so dass es him iibertiissig
erscheint, alle Lichtquellen zu verwenden.
Die Gleichung der Curve C ergiebt sich durch Betrachtung
der Fig. 2. F u r den Bertihrungspunkt 1' der Tangente aus -4
folgt namlich:
cos a = d--I,'r
dr
und da P
r
I
+= const.,
rl
Der Ort der Beriihrungspunkte kann daher als Schnittpunkte der Curven
dargestellt werden.
Gibt man I einen beliebigen Werth, so erhalt man zwei
Curven, deren Schnittpunkte Punkte von C sind. Die erste
Curve ist ein Kreisbogen fiber A B,der den Winkel arc cos- 4 il
fasst. Die 2. Curve ist der geometrische Ort aller Punkte,
deren Entfernungsquadrate von A und B ein vorgeschriebenes
Verhaltniss haben, also ebenfalls ein Kreis. Die Curve C kann
also punktweise durch 2 Kreisschaaren erzeugt werden.
Da I positiv sein muss, so muss u stumpf sein ; die Curve C
liegt also innerhalb des Kreises uber A B.
Liohtmenge.
Wird eine Flache F im Lichtfeld nur auf einer Seite beleuchtet, so ist die Lichtmenge, welche sie erhalt:
i l l = . f R cos Ed$',
wo R die resultirende Helligkeitsintensitat und E der Winkel
von R mit der Normalen ist. Die Grosse X wird in der
Electricitat als Induction der Flache bezeichnet (Maxwell
art. 75).
Durch Umwandlung des Flachenintegrals in ein Raumintegral erhalt man bekanntlich:
6*
84
H. Ruoss. h-raftEinien und Xiveauflachen.
Die Induction aller Flachen , welche eine Kraftrohre
schliessen, ist constant (art. 22).
In unseren Fall lautet der Satz:
AZle einseitig beleuchteten FZuchen , welche eine schattenlose
PZache schliessen, erhalten gleiciwiel Zicht. Wiirde man also
z. B. in Fig. 1 die schattenlose Rotationsflache der Curve K
unterhalb 3 abschliessen durch beliebige einseitig beleuchtete
Flachenstiicke (etwa durch die zwei ausseren Niveauflachen,
soweit sie in der Rotationsflache liegen), so waren die Lichtmengen, die diese Flachen erhielten, gleich gross.
S t u t t ga r t - C a n n s t a t t, August 1893.
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