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Die bei Interferenz von Rntgenstrahlen durch die Wrmebewegung entstehende zerstreute Strahlung.

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615
3 Die &ed Interferenx urn Rtintgsnst~*ahkm
dumh &e
lVClmnsbewegwng mtstehmde xerstreute Stmhlung;
von H 4 l d h g FaoSn.
-
'In seiner beiiihintrn Abhandlung ,,17aerferenz von Rhtgenslrahler, und Wiirmebewegung"') bereohnet P. D e b ye die Einwirkung, die die Wiirmebewegung der Kristallatome auf die
vq)II F r i e d r i c h K n i p p i n g L a u e enkleckte Interferene von
Rontgenstrahlen in Kristallen ausubt.
Die folgende Rechnung hat den Zweck, an einer Stelle
divser Theorie die SchluSfolgeivng konsequenter durchzufihren.
Wir knupfen an die E'orniel ('29)2) an. Dort kommt ein
P%wametrr8 vor, von dem sich D e b y e auf der niiohstfolgenden
&.ite befreit, indem er fiir einen Augenblick von seinen Grundaiiiiahmen abweicht. Nun ist hier dieses inkonsequente Verfsliren ganz unnotig, und wir gelangen gleich gut zuin Ziel,
oline vorliiufig die gegen die ganze ubrige Abhandlung streitende
Arinahme einzufiihron, daS die Ekwegungen benaohbaitei
A tome voneinander vollig unabhiingig seien.
Wir wollen daher die von ihm weggelessene Mittelwertbtwchnung hier durchfiihren.
Zuerst berechnen wir den Mittelwert des Klammerausd uckes
{ cos (n- 6) COB (sz' b]}Z
-
-
-
-
himichtlich eines variierenden b. Der Ausdruck liiSt sich
whrdben
[COfi'
52
+
-t [sin2 D
-L
COS2
G' - 2 COS f2 COS Q'] COS' 6
+
+ sin2 Q' - 2 sin Q sin Q'] sin2 6 4-
2 [cob $2 - cos 52'1 [sin i2 - sin Q'] sin 6 cos 6 .
1 ) P. Debye, Ann. d. P h p . 48. p. 49. lQl4.
2) P. Debye, 1. c. p. 64.
H . Farht.
616
Der Mittclwert von cos2 d wie von sin'd ist 4 und von
sin 8 cos 6 Null. Der gesuchte Mit\telwert ir;t folglich
1 - t#W (sz - Q') .
Wir haben also von D e b y r s Formel (89) in der folgenden
Form aussugehen
I
Wir numerieren die Atome niit 1ndf.x r und die ,,w
laubten Punkte" im Phasenraiim
-.lrF<+.,
\ -.L
q<+n',
I-.<x<+.,
mit
sl),
fiihren die Abkiirsupgen
12 (0,
2n
xy
(2) 2'_.-..___
2 /4 GIk*
lbwk
...
e 2 z kT
-1
".-
4 %+(F-rs,)
-
%+(U
$la
-Yo)
+
-
= 3,.I
(3) 51 - L
!' = (I 2') y + (m m')y (n - n') x = xr, ,
(Bin, und korinen dann (1) in folgendrr Form
- N = S[N,(l cos zr,JI
.(
-
schrciben. Setzt nian dann den in cler Fornwl (3) bei D(.bytz
vorkommenden Exponrnten
[!a
it
--
:4
J-
SO
+
(B - P o ) (Yo Yo') 4-(7 .- Yo) (20 - 2O')l
l&Bt sich diese Formel von Dtbbyr schreiben
ao) ( 2 0 - yo')
gleich x,.
5-?
- s [a'.
(1-
CGE*,,)]
eixr
=
2
1'
ci
xr
s
?-N, (1 - mrr,, I
,
D e b y e gibt p. 65-66 rille Kursiv getlruckte Zueammerifsssung iibcr die Bt4mniung von N , . Uni die Rcchnungen
-
-. .-..
1) Dim Indizierung mit s weicht von der von Debye (p. 61)
eingeMrten Numerierung der Eigenschwingungen ab, denn jeder erlaubte Punkt dea Phrtsenraumes entapricht dwi Eipnmhwingungen. r w i d
durchgehend etat.t r, r' geachrieben, z. B. x,,, st.att z,;7., I,
stott C .
r
r, 7'
Interferenz vim Riintgenstrahh usw.
617
wenig zu wrkiiraen, bemerken wir, daS die beiden PhasenpuI;kte (9,y, x) nnd (-q, - y , -2) naoh D e b y e s Formel (7)
fii. die Koeffizienten A, B, C, D,E, F dieselben Werte geben.
D m n wird D e b y e s System (6) f i b diese beiden Punkte gleich,
111 (1 m2. N, 2
.3 und 6 erhalten dieselben Werte. Aus umerer
Fcprmel (.2) ersehen wir, daS diese beiden Phasenpunkte N ,
deriselben Wert geben, und au8 unserer Formel (S), daS sie
xr I denselben Wert, aber mit entgegengesetztem Zeichen
g e h . Es ist (4) identisch n i t ,
eiii
deiln das hinzugefiigte Glied im letzten Exponenten hebt sich
be i der Produktbildung auf.
Jetzt fiihrt man die Multiplikation am, welche mit dem
Produktzeichen beabsiohtigt wird. Man erhiilt eine Summe
vo'i Gliedern, jedes von dem Aussehen
'
. . + 1'-
%,
*.I .
Wir summieren alle Glieder mit denselben Werten der
Intlizes v l , v Z , . . ., vn, und erhalten
Dann sehen wir, daI3 (4) in folgender Form
e n h e i n e n kann.
H . Fax&.
618
Die Summe, die jetzt zuletzt steht, summiert sich nach
dem Laueschen Verfahren und gibt, wenn die Grenzen des
Krishlls f L a , f A1 b und f N c Rind
2 e ’ [ Y r + ~ ~ z r , n , + Y ~ ~ .~ , +. +
+*nz,,qn]
*
r
s i n P ( 2 L + 1 ) ( ( 1 - a 0 ) u x + ~ 1 ~ l + . . . + ~,, . ( ~
2
-_
=-
sins (pr--a!) a y
+
‘I
yl
c .
+ v. w,’
-1-
+ v,, ry.,
2
(B - 0 ) h x +
sin1(2M+1)---- 0
-TOT6
*I
1’1
2
x
+ ”L*l +
f
y.v. ’
2
sins (2 N + 1)(7 1%jc
x f
1’1
XI
2
-
sing(7- 70) c x
+
y,
XI
2
+
+ ”.
1.
+ . . + _ _ X,,
y.
Man bezeichne dieses Glied, das mit dem Koeffizienten
versehen ist, mit L t , wo t ein lndex fur die Numerierung cier
Glieder ist, wo also Lo der Lauesche Ausdruck
I;,
=
2
eixr
I’
id.
So erhalten wir ftir die Intensitat den Ausdruck
Ekortern wir jedes Glied L, in der gleichen Weise, wie
L a u e es mit Lo tut, so erhalten wir, daI3 Lt nur dort einen
Wert hat, den wir zu berucksichtigen brauchen, wo gleichzcitig gilt
1
+
+
+
+
+
+ ...+
+ . ..+
+ .+
2 h,
~
1
~~2 ~21
v n = 2 h,n
~1X I
~ 2 x 2 * xti = 2 h 3 ~
Aus diesen Gleichungen kann man die Richtungskosinus
a, B, y der Maximalintensitiit der L,entsprechenden Strahlung
bestimmen.
(a - ao)a x
(B - Po) b x
(7 -YO) c x
~
1
~~g p12
1
+
vn Vn
=
Interferena mn &tgemtr&
Fiir das Glietl Lo ist
pll
= vZ =
. . . = v,
619
usw.
= 0,
und
jst (18s Glied, welches Debye in der Abhandlung untersuchte,
auf die wir uns bezogen haben.
Die iibrigen Giieder des Ausdruckes (6) fassen wir in
dewelben Weise zusammen, wie es in Formel (5) geschehen
jst, d. i. cp, tp und x nehmen alle erlaubten Wed; an; nur
die Glieder aber, wo Y , , v2 . v, denselben Wert haben, werden
zufiammengestellt. Dies hat zur Folge, daB die Interferenzmaxima praktisch genommen in alle Richtungen fallen. Da
nun L, den Koeffizienten
..
mrhalt, niiissen die Maxima, die vom Gliede Lt herkomrpen,
an und fur sich sehr schwachsein, da ja die Koeffizienten N ,
klejn sind. Die Mmxima aber, die zu sehr kleinen Werten cler
Richtungsfunktionen 9, p, x gehoren, sind verhhltnismaI3ig
vie1 intensiver. Sind niimlich (9,p, x) und (pp,
py, p x ) beide
erlaubte Phasenpunkte, und gibt der erstere nach Debyes
Formeln (6) und (7) die Frequenz mk und die Koeffizienten
’&, ‘Be,Gk,so gehoren p mk, ‘&, !&, gk m den letzteren. Aus
unjctrer Formel (2) ersehen wir daher leicht, daB fiir kleine
Wvrte der Richtungsfunktionen die Koeffizienten N , am
grd3ten sind.
Mimmt man das erste Glied aus der in Formel (6) enthaltenen Summe weg, so werden die ubrigen Glieder dieser
Sunlme eine kontinuierliche Strahlung nach allen Richtungen
gelien. Diese Strahlung ist jedoch betriichtlich intensiver in
der Nghe der Maxima, deren Ursprung das erste Glied ist,
welche Maxima mit den von L a u e und Debye untersuchten
idcntisch sind und welche in die Richtungen fallen, wo die
Ri~:litungskosinus a, 16, y den Gleichungen
I
gen$igen, wo h,,
(a - a , , ) a x = 2 & n
(p - Do) b x = 2 h2It
(y - yo) c x = 2 la3 It
&, I+,
ganze Zahlen sind.
H . Faxdn. Inkrferenz m
i RihtgenstraMmk
690
ISW.
Die rusanimengelegte Intensitiit dieser kontinuierlichen
Strahlung und derer, die in die Laue-Debyesohe Maxima
fallen, muS von der Bewegung der Atome unabhangig sein.
Denn nach der Grundannahme sendet jedes Atom, Hu y g en s
Prinzip gemtif), eine Irugelformige Welle aus mit der Amplitude
6 i (uf
-x
r)
A--
,
und in Laue-Debyes Rechnungen gibt es keinen Grund
dafiir, daS die msammengelegte Energie der Strahlung aller
Atome w n der Summe der Energie der Strahlung der verschiedenen Atome abweichen konnte.
Nimmt man in der Rechnung sogenannte Nullpunktsenergie nit'), so bleiben alle hier ausgefiihrten Rechnungen
unveriindert, nur wird der Sinn der Koeffizientm N , m
N,
-72(IL%.-k
z p mf
2
an
hUP
1 [(e - ao>Ek
__
hob
BaRliT
+ (p -
-1
8k
I
+ (7 - %I*
YO)
geandert. Die Erliiuterungen in der aitierten Abhandlung uber
die Mijgliehkeit, die Exjatenz einer Nullpunktsenergie experimentell feststellen zu kiinnen, bleiben also aucb unvertindert.
5ueemmenfaeeung.
Die hier durchgefiihrte Art, die in der Abhandlung von
De bye p. 65 weggdassenen Rechnungen auszufiihren, iindert
im allgemeinen seine Resultate nicht, lilBt uns aber wissen,
dsS die mrstreute Strahlung in der Ntihe der Interferenzmaxima am intiensivsten ist und deS Satz (6), p. 99, nicht
]anger begriindet ist.
U p s ala , 6. Dezember 1917.
1) P. Debye, 1.0. p. 66.
(Eingegangen 10. Januer IQlS.)
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