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Die Bercksichtigung der Ionisation durch Elektronensto in der Elektronenkinetik des schwachionisierten anisothermen Plasmas III. Das instationre Verhalten bei groer impulsfrmiger Feldstrung

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~
Annalen der Physik. 7. Folge, Band 37, Heft 1, 1980. s. 35-56
~~~
~~
J. A. Barth, Leipzig
Die Berucksichtigungder lonisation durch Elektronenstoa inder
Elektronenkinetik des schwachionisiertenanisothermen Plasmas
I11. Das instationlire Verhalten bei gro6er impulsf6rmiger Feldst8rung
Von J. WILKELM
und R. WINKLER
Zentralinstitut fur Elektronenphysik, Institutsteil V,
Gasentladungsphpik ,,Rudolf Seeliger", Greifswald
I nhaltsiibersicht. Es wirddaa Zeitverhalten der Elektronenkomponente bei einmaliger impulsformiger Storung des elektrischen Feldes im Plasma berechnet. Die Untemuchungen erfolgen am
Beispiel des schwachionisierten Neon-Plasmas, wobei neben elastischen und anregenden StijDen zusiitzlich die Direktionisation durch ElektronenstoD sowie ein Elektronenverlustterm mit konstanter
Lebensdauer in die Berechnungeneinbezogen werden. Die Bestimmung der Zeitentwicklung aller interessierenden makroskopischen GroOen der Elektronen erfolgt ausgehend von stationiiren Zustiinden
durch Lijsung der zeitabhiingigen Boltzmanngleichung. Neben der Berechnung der ausgepriigten
zeitlichen hderungen z. B. der Elektronenkonzentration, der ElektronenstoDfrequenzenfur Anregung und Ionhierung und der einzelnen Energieubertragungeraten wird insbesondere das Relaxationsverhalten der Elektronenkomponente nach dem Ein- und Ausschalten der rechteckformigen
Feldstorung analpiert.
The Influence of Ionization by Electron Collisions on the Electron Kinetics
of the Low Ionized Anisothermal Plasmas
111. Nonshtionary Behaviour during Great Pulse-like Perturbations
o! the Electric Field
Abstract. The time behaviour of the electron component was calculated during the additional
application of a single pulse to the electric field in the plasma. The investigations were performed for
the weakly ionized Ne-plasma as a typical example taking into account supplementarily the direct
ionization due to electron collisions and an electron loss term with a constant life time besides
elastic and exciting collisions. Using the instationary Boltzmann equation we determined the time
behaviour of the essential macroscopic quantitiea. Besides the caluclation of the marked temporal
development of such quantities as the electron concentration. the electron collision frequencies for
excitation and ionization and the different energy transfer rates especially the relaxation of the electron component was analysed after switch on and switch off the additional rectangular pulse.
1. Einleitung
Ausgehend von der in [l]vorgenommenen Andyse des StoBintegrals fur die Direktionisation und von dem in [2] untereuchten EinfluB der verschiedenen Modelle fiir den
differentiellen Wirkungsquerschnitt der Direktionisation euf den Beitrag des Ionisierungsstoliintegrds zur Boltzmam-Gleichung unter stationiiren Bedingungen wird jetzt
3'
J. WILHELM
u. R. WINKLER
36
die instationare Entwicklung der Elektronenkomponente bei Mitberiicksichtigung der
Direktionisation und eines adaqusten Elektronenverlustters untersucht. Dies erfolgt
am Reispiel des Zeitverhaltens des Elektronenensembles bei groflen inipulsformigen
Storungen des elektrischen Feldes ausgehend von stationiiren Zustanden der Elektronenkomponente.
Insbesondere wird fur das anisotherme schwachionisierte Neon-Plasma das Zcitverhalt en der Isotropverteilung, der Elektronenkonzentration und des Energiehaushaltes der Elektronenkomponente be; starker rechteckforniiger Anderung des elektrischen
Feldes numerisch berechnet und das damit verbundene Relaxationsverhalten der Elektronenkomponente analysiert.
2. Die theoretisehen Grundlagen fur die instationPe Behandlung
Als Ausgangspunkt formulieren wir zunachst unter Verwendung der in [11 gegebenen
Darstellungen der Elektronenstoflionistion zur Boltzmann-Gleichung der Elektronen
die fur ein instationares homogenes anisothermes Plasma adaquate Bestimmungsgleichung fiir den Isot,ropteil der Geschwindigkeitsverteilungsfunktionder Elektronen.
Mit der iiblichen Entwicklung der Geschwindigkeitsverteilungsfunktionund der
Boltzmsnn-Gleichung nach Legendreschen Polynomen [3] erhalt man nach Abbruch
der ent stehenden Gleichungshierarchie mit den ersten beiden Entwicklungsgleichungen
fiir fo(v, t ) und fl(v, t ) bei Kopplung dieser Gleichungen und Einfiihrung des Voltaquivalentes U der kinetischen Momentanenergie mittels eoU = mvaJ2 (v Betrag der mo-mentanen Elektronengeschwindigkeit)[4, 21 sowie nach ubergang zur normierten Zeit
t = pot (p,, zeitunabhangiger Neutralgasdruck bei O O C ) die instationare Bestimmungsgleichung
fur die Isotropverteilungsfunktionf( U,fi.
Dabei bedeutet f (U, 4 die entsprechend
auf die Anfangskonzentrstion n,, = ne(fA)normierte Isotropverteilungsfunktion.
Auflerdem ist E @ )drts zeitabhangige elektrische Feld, Qa(U )derTransportquerschnitt,
Q,(U) der summarische Querschnitt fur anregende StoSprozesse, Qi(U )der totale Querschnitt fur direkte Elektronenstofiionisation und nu = 3,54 10’6
T o r 1 die Neutralgaskonzentration bei po = 1Torr.
.
Ionisation durch ElektronenstoD in der Elektronenkinetik des Plasmas.I11
37
I n GI. (1) beschreibt der erste Term die zeitliche Anderung der Isotropverteilung
infolge der Feldwirkung, der verschiedenen StoBe sowie eines noch naher zu diskut ierenden Elektronenverlustterms.
Der zweite Term von (1)erfaflt die Wirkung des elcktrischen Feldes auf die Elektronen. Dieses Glied wird durch Elimination von fl erhalten; dabei wurde von den1 in [4]
gewonnenen Ergebnis Gebrauch geniacht, wonach sich der anisotrope Anteil der Verteilungsfunktion in wesentlich kurzeren Zeiten auf einen neuen Zustand einstellt a19 die
lsotropverteilung und somit die Anisotropiekomponente fl(u, t ) quasistationar beschrieben werden kann.
Der EinfluB der elastischen und anregenden StoBe wird durch den dritten bis funften
Tern1 in ( 1 ) beschrieben, wobei U, das Voltaquivalent der Anregungsenergie darstellt.
Die darauf folgenden drei Glieder erfassen die Direktionistttion. Dabei wurde diese Darstellung niit Hilfe eines 6-funktionsformigen Modellquerschnitts fiir die Energieverteilung der Elektronen nach ionisierenden StoBen gewonnen [ f , 21, wonach im Ergehnis
ionisierender Stofle zu gegebener Elektronenenergie U der stoflenden Elektronen zwei
Elektronengruppen resultieren, welche den /?-fachen bzw. den (1 - P)-fachen Teil der
Restenergie U - Uimit Ui a19 Ionisierungspotential besitzen. Wie die Untersuchiingen
in [2] fiir den stationaren Ball gezeigt haben, erweist sich die Auswirkung der Direktionisat ion auf die Bestimmung der Isotropverteilungsfunktjonunter den hier betrachteten Bedingungen d s nur geringfiigig abhangig von der Wahl verschiedener Modellquerschnitte fur die Energieverteilung der Elektronen nach ionisierenden Stoflen; eine Aussage, welche auch unter nichtstationaren Bedingungen giiltig bleibt.
Wie einleitend bereits bemerkt, sol1 ini weiteren das Zeitverhalten der Elektronenkomponente bei groBcn impulsformigen Storungen des stationaren Zustandes berechnet
werden. Dabei wird ausgehend von einem stationaren Anfangszustand nach Abklingen
der impulsformigen Storung und der hierdurch hervorgerufenen zeit lichen Veranderungen schliel3lich wieder ein neuer stationarer Zustand angenommen.
Um unter der Wirkung ionisierender Stofle stationare Zustande iiberhaupt erreichen
zii konnen, ist es erforderlich, einen zusatzlichen Elektronenverlustterni mit zu beriicksichtigen, welcher im stationaren Zustand gerade die Tragerneuerzeugung durch Direktionisation kompensiert. Aus dieseni Grunde wurde in (1) als letzter Term ein solches
moglichst einfaches Elektronenverlustglied eingefuhrt, das einen Verlust proportional
zur im Energieintervall dU vorhandenen Anzahl von Elektronen mit der von der Elektronenenergie U unabhangigen Lebensdauer t beschreibt. Ein solcher Verlustterm kann
Zuni Beispiel die raumlich gemittelten Verluste der Elektronen durch Diffusion qualitativ erfassen.
Aus (1)ergeben sich bei Integration uber U von 0 bis 00 bzw. nach vorheriger Multiplikation niit U und analoger Integration bei zusatzlicher Beachtung der Forderung, daB
der Feldterm der Boltzma~gleichung keine Erzeugung von Elektronen verursacht
(( i?f18U)c,o = 0, [4]), die konsistente Konzentrationsbilanz
d
n,@)
B
bzw. Energiebilanz
=;
- vi(i)
1
- n,Q) Po
POT
ne(t)
(3)
J.WILEELMU. R.\vINSLER
38
der Elektronen [4, 21. Die hierin auftretenden makroskopischen GroBen lassen sich uber
die berechnete Verteilungsfunktion entsprechend den Beziehungen
dantellen. Hierin sind nee) die zeitabhangige Elektronenkonzentration, vi(i) die Ionisierungsfrequenz,
die mittlere Energie, OF@)
der Energiegewinn aus den1 elektrischen Feld, beit)die Elektronenbeweglichkeit, oel@)
bzw.
der Energieverlust durch
elastische bzw. mregende StoBe sowie p@)bzw. PG)der Energieverlust durch Direktionisation bzw. durch den Elektronenverlustterm.
Infolge der in (5) bis (14) vorgenommenen Abspaltung der Elektronenkonzentration ne
- stellen vi, U, U p , be, gel,ga,va,
und @ jeweils auf einElektron bezogeneGroBen dar.
Aus der Konzentrationsbilanz (3) ergibt sich eine zeitliche Anderung der Elektronenkonzentration, wenn sich der Term der Elektronenerzeugung durch Direktionisation
nicht mit demjenigen fur den Elektronenverlust kompensiert ; der stationare Fall tritt
gerade dann ein, wenn diese Kompensation erfolgt.
Die G1. (4)bilanziert die Dichte der kinetischen Energie des Elektronenensembles,
- _gegeben durch die GroDe ne(t)U ( t ) ,in ihrem zeitlichen Verlauf. Neben einem Erzeugungsterm, der von der Aufheizung durch das elektrischeFeld herriihrt, werden vier Yerlustprozesse wirksam, die von den elastischen StoBen, den anregenden und ionisierenden
StoBen und schlieBlich von dem zusatzlicli mitberiicksichtigten Elektronenverlustterm
herriihren. Auch in dieser Bilanz werden zejtliche h d e r u n g e n der Energiedichte n , g
verursacht, wenn zwischen dem Gewinnterm und den Verlustgliedern keine vollstandige
Kompensat,ion besteht.
o(i)
u'(r)
Ionisation durch ElektronenstoD in der Elektronenkinetik des Plasmas. I11
39
3. Verfahren zur numerischen L8sung der zeitabhiingigen Gleichung
Das i i i i weiteren verwendete Verfahren stellt letztlich eine Verallgenieinerung der in
[4]fur einen Spezialfall der GI. (1)entwickelten Losungsmethode dar. Dieser Spezialfall
ergibt sich &us (1)bei Vernachlassigung der Direktionisation iind des zusatzlichen Elektronenverlustgliedes. Dabei konnen ebenfalls die in [3] forniulierten Randbedingungen
ohne Anderungen zur Behandlung des jetzt vorliegenden verallgenieinerten Problems
lierangezogen werden.
I n [1] wurde Zuni Zwecke der Diskretisieriing die U , t-Ebene in ein Rechteckgitter
mit den Punkten U,, ik unterteilt. An den Git,terstellen U,, &+li’Lerfolgte die rberfiihrung der vereinfachten Gleichung unter Verwendung von im Sinne einer Reihenentwicklung quadratisch korrekten Differenzenanttloga in ein System von linearen nifferenzengleichungen. Die analoge Entwicklung der Randbedingringen’ergab nach Einarbeitung dieser ein vollst.andiges inhomogenes lineares Gleichungssystem, aus aelchem
sicli iiiittels des in [1] angegebenen Algorithmus die Funktionswerte f( U,, In.+*) zuin
Zeitpunkt ?k+l aus den Wertenf( Ul,’tk)zuin Zeitpunkt tkberechnen lassen, was den Zeitsblauf vonf( U , liefert.
Dabei wurde die Gittereinteilung beziiglich der Energieachse U so gewahlt, da13 niit
ZT1 auch U, U, stets wieder init eineni Gitterpunkt zusaminenfallt, was fur die Behandlung des von der Einstreuung bei den anregenden Stoljen herriihrenden Differenzenterms (U
V , ) &, ( U f U,)f(U
U,, T) zweckmiifiig ist. Auf Grund eines solchen
Vorgehens resultiert dann iin Egebnis ein lineares Gleichungssysteni niit tridiagonder
Koeffizientenniatrix, wobei die Matrix noch infolge dieses Differenzenternis eine zusatzlichc weit entfernte rechte Seitendiagonale besitzt. Wegen des grogen -4bstandes cler
zusatzlichen Seitendiagonale war es moglich, diese iterativ zii behandeln.
Bei der Losung der jetzt vorliegenden allgenieineren GI. (1) kann die zusatzliche
Beriicksichtigung des Elektronenverlustteriiis und des ersten Terms der Direktionisat ion ohne grundsiitzliche h d e r u n g e n im Rahnien des bisherigen Verfahrens erfolgen.
Dagegen erfordert die Mitberiicksichtigung des zweiten und dritten Terms der Direktionisation in (1) eine Verallgemeinening der Net.hode. Die in diesen hei der Diskretisierung auftretenden Arguniente U1/p U ibzw. UJ(1 - p )
Ui fallen bei der getroffenen Gitt,ereinteilung der Energieachse fur beliebiges fi aus 0,5 5 /3 < 1 nicht wieder
iiiit Gitterstellen zusaninien. Uni auch die Funktionswerte f(UJP $- Ui, tk+l) bzw.
f(U l / (1 - p ) Ui,
ik+l)
iiii gleichen Gitter darzustellen, werden diese durch paraholische
Interpolation aus dein der Stelle U,/#l + U ibzw. UJ(1 - p ) + Ui jeweils niiclistgelegenen diskreteii Wert, f ( U , , ik+l)iind den hierzu benachbarten Werten f(Us-l, ?k+])
iind f(U a C I&, + l ) bestimnit. Somit werden dnrch jeden dieser beiden genannten Terine
tlcr Direktionisation in1 oberen Teil der Koeffizientenniatrix zusatzlich in jeder Reihe
jeweils drei von der Hauptdiagonale weit entfernte nicht verschwindende Eleniente bei
groI3eren U verursacht, wobei diese jeweils stets unmittelbar nebeneinander liegen.
Dnrch ein solches 1-orgehen ist es dann iiiiiglich, aiich die weit entfernten nicht
veracliwindenden Eleinente bei der jeweiligen Liisung des lineareti Gleicliringssystenisfiir
jcde Zeitkette iterativ zu behandeln.
U l , f k + l ziiiii
)
Zeitpunkt, ik+! wurde abDie iterative Bestiniiiiung der Werte
gebrochen, wenn die Funktionswerte zweier nacheinanderfolgender IQerationsschritte
j und j
1 an jeder Gitterstelle Ul hinreichend genau iibereinstiminen, was niit wenigen
It erationsschritten stets erreicht werden konnt el).
9
+
+
+
+
+
+
+
l ) In [A] wurde diese Abbruchbedingiing infolge eines Druckfehlers unvollstPndig nngegeben.
Sie fand in der folgenden Form ~f(~+l)(Ul.~~+l)/f(f)(U~.~k+l)
- 1 I < 0,nnoOl Venvendung.
J. W I L H E Lu.~ ~R. WINKLER
40
&+,
Zur t'berpriifung der Gute der zii jedeiii Zeitpunkt
gewonnenen Losiingf(U, t)
der GI. (1) erfolgte die Kontrolle der Erfiillung der mit dieser Gleichung konsistenten
instat ionaren Konzentrations- und Energiebilanz (3) und (4).
Hierbei wurden niit Hilfe der berechneten Isotropverteilungf( U,i)unter Verwendrrng
von ( 5 ) bis (14) die in (3) uind (4) auftretenden niakroskopischen Gro13en bzw. zusatzlich
durch nuinerische Differentiation ihre ersten Zeitableitungen ermittelt. Bei geeigneter
Wahl der Zeit- und Energieschrittweiten konnten die airs (3) und (4) folgenden von innerer Kompensation freien Bedingungen
bzw.
u nd
(1Ob)
PF)
u.l(i)
Po
Po
-=-
@(t)
PF)
+--+-+Po
PO
Fcl,
Po
in jedeni Zeitpunkt t gleiclizeitig erfiillt werden, was einer maximalen Verletzuno
- - 0- der
instationaren Bilanzen (3) und (4) uin weniger als
entspricht. Dabei ist nc(t)UT(t)/p,,
die totale Energieverliistdichte der Elekt ronen.
4. (iewiihltcs Model1 und Parameterhedingungen
Wie bereits erwahnt. untersuchen wir das Zeitverhalten des Elektronenensenibles
bei krinzeitiger Einwirkung eiiies Rechteckimpulses des elektrischen Feldes ausgehend
von einem stationaren Zristand Zuni Zeitpunkt tA.Denientsprechend wird die Feldfunktion in der Foriii
mit der Feldstarke ( E / P ~des
) ~stat ionaren Zustandes, der Feldstarkeanderung (E/po)Ai
und der Inipulsdauer TE gewahlt.
Fur die in (18) auftretenden Parameter ( E / P ~ ) ~ ,
undtA wurden die fol-
cE
Ionisation durch ElektronenstoB in der Elektronenkinetik des Plasmas. I11
41
genden Wertesystenie
( E / P , )=
~ 5 V/(cm Torr), (El%), = 15 V/(cm Torr),
5 10-7, 1 . 10-6 Torrs;
( E / P " )=
~ 20 V/(cni Torr), (E/P,,)~= - 15 V/(cm Torr) ,
-
tE:
-
(19)
-
t E :5 *
1- 10-6 Torr s
(20)
und ta4= 0 gewahlt.
Die stationare Isotfopverteilung und die zugehorige stationare Lebensdauer t zu
den vorgegebenen (E/po)8-Werten, welche init den1 Kehrwert der stationaren Ionisierungsfrequenz iibereinstininit, wurde mit Hilfe der in [2] angegebenen Methode bestininit.
Diese stationare Isotropverteilung diente dann als Anfangsbedingung fiir die Berechiiring des nichtstationaren Verhaltens der Isotropverteilung. Dabei wurde, da sich
die Lehensdauer der Elektronen infolge z. B. der ambipolaren Diffusion bei Einwirkung
einrr kunzeitigen impulsforniigen Storung zeitlich nur langsani andert, die GroBe z wahrend dieser inipulsformigen Storung unverandert. auf ihrem Were in1 stationaren Ausgangszustand gehalten. Die Berechnungen erfolgten fur ein schwachionisiertes NeonPlasnia, wobei unverandert die in [4] angegebenen und bereits auch in [2] benutzten
Wirkrin 9 uerschnitte Q d ( U ) ,Q,(U) und Qi(U)Verwendung fanden.
In t8.9
bereinstimmung niit, dem qualitativen Verlauf reeler Energieverteilungen von
Elektronen nach ionisierenden St6Ben [5] wurde in den Ionisierungsgliedern von (1)der
Parameter /3 zu 0,9 gewahlt [2].
6. Diskussion der Ergebnisse
5.1. Isotropverteilungsfunktion und Teilchenbilanz der Elektronen
-41s ein typisches Beispiel fiir die zeitliche h d e r u n g der Isotropverteilungsfunktion
f(U,
1, wird diese in Abb. 1 fiir die Paranieterwerte aus (19) zu = I .
Torrs gezeigt. Qiialitativ ist zu ersehen, daR die Verteilungsfunktion in ihreni Hochenergieteil
wahrend der kurzen Zeit von a 4 10-8 Torrs stark angehoben wird. Deni schliefit sich
eine Phase an, in welcher die Verteilung fiir alle Energien U in gleicher Weise his ZII
t= anwachst. &lit den1 Abschalten des Impulses erfolgt ein starker Abbau der
Verteilungsfunktion iiii Hochenergieteil, welcher bereits nach einer Abbauzeit von
-2 .
Torr s in den neuen stationaren Zustand mit wesentlich groaerer Elektronenkonzentration iibergeht. Dieses eben geschilderte Verhalten kann als Grundlage fiir das
Verstandnis der iiii weiteren angegebenen zeitlichen Veranderungen verschiedener
makroskopischer Grofien dienen.
In Ahb. 2 ist das zeitliche Verhalten der norniierten Elektronenkonzentration
n(t) = n,(t)/n,, fiir alle vier in (19), (20) angegebenen Falle aufgetragen. Dabei entsprechen die ini oberen Teil der Abbildung gelegenen Kurven einer Felduberhohung entsprerhend (19). Beide Verlaufe stiminen bis zur Zeit = 5 10-'Torr s wegen gleicher
Anfangsverteilung
und gleicher Werte von ( E / P , , ) und
~ (E/p0), iiberein. Der weitere
Verlauf zu t E = 1Torr s ist dann als gestrichelte Kurve und derjenige zu j E =
5 . 10-7 Torr s als ausgezogene Kurve gezeichnet. Analog ist die Darstellung zu (20) iin
unteren Teil der Abbildung ausgefiihrt.
Die Ergebnisse zeigen, dalJ die Elektronenkonzentration bei VergroBerung des elektrischen Feldes monoton bis etwa zu t = TE anwachst bzw. bei Verkleinerung des Feldes
-monoton bis etwa zu t = abfallt. I n beiden Fallen niiiiiiit die Konzentration fiir
t > iEohne weitere merkliche Anderung schnell einen konstanten Wert an.
rE
rE
J. W I L H H ~u.~R. WINKLER
0
10
20
30
6
-40
50
Abb. 1 Das zeitliche Verhalten der Isotropverteilungsfunktionf( U, zu (19) niit tE = 1 . 1 P Torr s
und mit 7 in Torr 8 ah Knrvenpnrameter
Bereits wahrend der kurzen Impulsdauer vollzieht sich eine groSenordnungsnd3ige
Anderung der Elektronenkonzentration.Die Ursache hierfiir besteht darin, daS sich im
wesentlichen wahrend der Impulsdauer -& die Neuerzeugung von Elektroncn und der
Verlust mit zeitunabhangiger Lebensdauer t nicht mehr konipensieren.
Das Zeitverhdten der Erzeugungsdichte von Elektronen pro Zeiteinheit durch Direktionisation n(qvi$p, - normiert auf die Anfangskonzentration n,, und den zeit unabhangigen Druck po - wird in Abb. 3 in gleicher Weiso wie in Abb. 2 fur die vier Parameterkombinationen (19), (20) dargestell t. Da die Berechnung dieser GroBe jeweils ausgehend von stationaren Zustiinden erfolgt, sind in ubereinstimrnung mit der Teilchenbilanz (3) fur den Zeitpunkt t = 0 die jeweiligen Werte von nvi/p, identisch mit l/(p,,t)
und bestimmen damit jeweils die zugehorige zeitunabhangige normierte Lebensdauer
wahrend des jnstationaren Ablaufs.
Ionisation
43
1
Xbb. 2 Das zeitliche Verhalten der normierten Elektronenkonzentration n(1) zu (19) und (20)
Wie physikalisch zu enverten, wachst bzw. fallt die Eneugungsdichte nvi/po nach
Einschalten des Impuses mit zunehmendem bzw. abfallendem Feld praktisch bis zu dem
Zeitpunkt 7 = tE,bei welchem der Impuls wider abgeschaltet wird. AnschlieBend findet
dann je nach Richtung der vorher einwirkenden Feldstorung entweder ein sehr schneller
Abfall bzw. Anstieg dieser GroBe statt, wobei sich nsch einer ubergangszeit wiederuin
der stationare Wert dieser GroBe zum gleichen elektrischen Feld, jetzt aber mit merklich veranderter Elektronenkonzentration,einstellt. Die erwahnte schnelle und starke
Anderung ist die Folge des enalogen Verhaltens der Isotropverteilung im Energiehereich
ionisierender StoBe unmittelbar nach der sprungartigen Feldanderung. Aus den in
Abb. 3 gezeigten Verlaufen ist ferner zu ersehen, daB sich nach Anlegen des Impnlwes
eine starke und relativ schnelle hnderung der Eneugungsdichte vollzieht, der sich dann
eine langsamere rein exponentielle Bnderung bis t M & anschlieflt.
J. WILEELMu. R. WINKLER
Abb. 3 Die
Ionisat ion drirch ElektronenstoD in der Elektronenkinetik des Plasmas. 111
45
Der in Abb. 2 gezeigte analoge exponentielle Verlauf der Elektronenkonzentration
nach Anlegen des Impulses kann sich nach der Elektronenteilchenbilanz (3) und bei
konstantein p o nur
~ dann ergeben, wenn die Ionisierungsfrequenz vi(t)/p0sich zeitlich
nicht inehr andert und damit eine zeitunabhangige Differenz zwischen der Ionisierungsfrequenz vi/p, und der reziproken Lebensdauer l/(poz)besteht. Ein solcher Sachverhalt
wird durch die Abb. 4 bestatigt, in welcher der Quotient aus der Erzeugungsdichte
nvi/po und der Verlustdichte n/(poz)der Elektronen fur die Parameterbedingungen
(19)) (20) aufgetragen ist. Dieser Quotient stellt gleichzeitig das Verhaltnis der Ionisierungsfrequenz zur reziprokenLebensdauer dar. Wie zu emehen, wird er nach einer kurzen
Ubergangszeit bereits wahrend des Anliegens des Impulses konstant und ist dabei
1
I
I
I
I
\L
s -10-7
I
I
I
1
I
I
\
~
\
A
‘
I
Para meter :
-
tE in Torr s
I
I
I
10-6
L
i no-6 Torr sl
0
.
0,s
Abb. 4 Der Quotient [n?) i ~ ~ ( t ) / ~ ~ ] / [ n ( t )zu
/ ( p(19)
o . ) lund (20)
I
I
I
I
1,o
-
J. W
-
46
u. R.WINKLER
wesent.lich vom Wert 1 verschieden. Nach Abschdten des Impulses fallt bzw. wachst
diese GroBe schnell und erreicht den Wert 1, welcher dem neuen stationaren Zustand ententspricht. Dieser ist durch eine mit dem Anfangswert identische Ionisierungsfrequenz
viJp0, jedoch durch eine erhohte bzw. abgesenkte Elektronenkonzentration chsrakterisiert.
5.2. Die Energiebilsnz und zugeordnete makroskopische CfrUen
Nachdem wir im vorengegangenen Abschnitt das zeitliche Verhalten der Elektronenkonzentration und der einzelnen Terine der Tragerbilau bei Einwjrkung der impulsforniigen Feldstorung verfolgt haben, wenden wir uns jetzt der Untersuchung des Energiehaushaltes der Elektronenkomponente bei Vorliegen der gleichen Storungen zu. Aus
Abb. 5 ist zunachst das Zeitverhalten der auf die Anfsngskonzentmtion n,, bezogenen
10
I
I-
F
102
FE in Torr.
10'
100
Parameter :
s
s
c
\
\
\
\
\
\
\
10-6
/----
\
10-11
I
I
I
I
I
I
085
Abb. 5 Die mittlere Energiedichte n(t). U<)zu (19) und (20)
I
I
I
I
'$0
I
L
Ionisation diircli ElektronenstoD in der Elektronenkinetik dea Plasmas. 111
-
--
47
iiiittleren Energiedichte n(t) U(t) ersichtlich. Auch hier zeigt sich wiederum, da5 diese
Gr65e nach einer kunen ubergangszeit ein exponentielles Verhalten annimmt. Ihm
schlie5t sich nach dem Abschalten des Impulses eine schwach gegenlaufige Veranderung
nil, wonach diese GroBe einen konstanten Wert erreicht, welcher dem neuen stationaren
Zustand entspricht.
In1 Vergleich zur Ionisierungsfrequenz vi/p,, andert sich jedoch die inittlere Energie 8
der Elektronen infolge der impulsformigen Storung nur wesentlich geringer, was bereits
aus den1 oben besprochenen zeitlichen Verhalten der Isotropverteilungsfunktion verstandlich ist. Wie aus der Energiebilanz (4) ersichtlich wird das eben gezeigte Zeitverhalten der mittleren Energiedichte durch die Differenz der Energiegewinndichte n(6 O*F(t)/p,,
infolge des elektrischen Feldes und der totalen Energieverlustdichte n(t) uT(t)/p,,mit
o T e ) / p , ,gema5 (17) bestimmt.
Zur Illustration der Verletzung der Konipensation in der Energie-Zufuhrung und
-Abfiihrung infolge des elektrischen
ist in Abb. 6 bzw. 7 das Zeitverhalten des
- - - Impulses
Quotienten dieser GroBen UF(t)/UT(t)
fur die Parameter aus (19) bzw. (20) dargestellt.
Im stationaren Ausgangszustand besitzt dieser Quotient den Wert 1. Das zeitlose Einschalten des Rechteckimpulses bewirkt eine sprunghafte Veranderung dieser GroBe und
eine nachfolgende stetige Einstellung auf einen zeitunabhangigen Wert, welcher von 1
verschieden ist. Beim zeitlosen Abschalten des Impulses wird wiederum eine sprunghafte
Anderung des Quotienten verursacht mit einer sich anschlie5enden stetigen Einmundung in den dem stationiiren Endzustand zugeordneten Wert 1.
0
Abb. 6
45
-- Der Quotient [n(t) UF(t)/po]/[n(t)
cT6)/p0]zu (19)
J.WILHELM
u. R. WINKLER
48
Wie diese Ergebnisse insbesondere zeigen, existiert hei Anliegen der Inipulse auch
nach der jeweiligen Ubergangszeit eine Diskrepanz zwischen Energie-Zufiihrung und
-Verlust, d. h. es bildet sich auch in energetkcher Hinsicht zwischenzeitlich kein stationarer Zustand heraus, was auch bereits a m dein erwahnten exponent,iellen Verhalten von
nV in Abb. 5 ersichtlich ist.
IU
.
10 - 1
-- -
- - -
Abb. 7 Der Quotient [n(t) CTF(t)/po]/[n(t)
U T ( t ) / p Ozu
] (20)
Im weiteren sollen noch die einzelnen Energieverluste in ihrer Zeitabhiingigkeit fur
die Parameterkombinationen aus (19) iind (20) zu tE= 1 10-8Torrs analysiert werden. I n den Abb. 8 und 9 ist zunachst das Zeitverhalten der t,otalen Energieverlustdichte
noT sufgetragen, wobei der zugehorige OrdinatenmaRstab auf -der rechten
- Bildseite
- gewahlt wurde. AuRerdeni sind die relativen Anteile
U a / U T , UilUT und Ur/UT
der Energieverluste diirch elastische, anregende und ionisierende StoRe sowie d u d den
zusatzlichen Elektronenverlustterm iw den1 totalen Energieverlust OT dargestellt.
Wie die Resultate erkennen lassen, ergibt sich unniittelbar nach Anlegen des Impulses
eine schnelle und starke Anderung der totalen Energieverlustdichte, wobei der Verlauf
in eine exponentieue Veranderung iibergeht. Nach dem Abschalten dea Impulses erfolgt
eine riicklaufige Anderung, wobei sich nach einer kurzen Obergangszeit der neue s t tionare Wert dieser Grofie einstellt. Andererseits besitzen die relativen Energieverluste
nach einer schnellen anfanglichen Anderung wahrend des weit eren Anliegens des I m pulses konstante Werte; nach Abschalten des Jmpulses kehren sie kontinuierlich in jhre
Anfangswerte zuriick.
-
Ionisation durch ElektronenstoB in der Elektronenlrinetik des Plasmas. I11
49
Die Tatsache, daB sanitliche relativen Energieverluste bereits wahrend der Impulseinwirkung konstante Werte annehmen, legt die Vermutung nahe, daB die exponent(iel1e
Anderung der totalen Energieverlustdichte n o T praktisch allein durch die zeitliche
Anderung der Elektronenkonzentrrttion verursacht wird und sich soniit die Isotropverteilung nicht niehr beziiglich ihrer Energieabhangigkeit zeitlicli andert.
(19)
Da ausgehend voin jeweiligen stationaren Zustand die Lebensdsuer p o t wahrend der
weiteren Zeitentwicklung konstant bleibt, ergeben sich insbesondere hinsichtlich der rela-. tiven Energieverluste U'/UT und @loTsehr untenchiedliche zeitliche h d e r u n g e n
wahrend des Anliegens des Impulses, je nachdem ob das Feld wahrend des Impulse8
4 Ann. Phyrik. 7. Folge, Bd. 37
J. WILFIELX11. R.WINELER
60
erhoht oder abgesenkt wird. 1111 ersteren Falle findet eine starke Zunahnie des relativen
Energieverliistes infolge der Ionisation und eine entsprechende Ahnahiiie des relativen
Energieverlustes infolge des Elektronenverlustes statt. Die entgegengesetzte Entwirkliing
- ist iin zweiten Fall zit erkennen, wobei sogar die relative Energieabfuhrung U'/UT
durcli Elektronenverliist zwischenzeitlich
zuin g;riiBten energetischen ProzeB wird.
- - Die Energieaufnahiiie n(t) UF(t)/poder Elektronen aus den1 elektrisclien Feld ist
nach (8) durch das Produkt aus den1 Feldverlauf genia8 (18) und der lnit der norniierten
Elektronenkonzentration multiplizierten Elektronenheweglichkeit n($ p&t) bestininit
und kann soniit hei Kenntnis der letzteren leicht ermittelt werden. Der Verlaiif von
np,b, selbst ist in Abb. 10 zii (19), (20) dargestellt.
-- -
-*- -
_-_
Abh. 9 -Das Zeitverlialten von n ( t ) UT(t)kp,, und [ a ( ! )Uk(t)/p,,]/[n(t)CrT(t)/po], k = el. n, i.
'
(20) lnit tE = 1 -10-6Torr s
7 211
Ionisation durch EIektronenstoB in der Elektronenkinetik des Plasmas. 111
51
Erganzend wird schliel3lich in Abb. 11 das Zeitverhalten der Anregungsdichte
nv,lp, gezeigt, welche unmittelbar entsprechend (11)den Energieverlust durch anregende
StoBe n @ / p o festlegt. Diese ebenfalls durch den Hochenergieteil der Isotropverteilung
bestiniinte GroSe andert sich qualitativ in ahnlicher Weise wie die in Abb. 3 dargestellte
Ionisierungsdichte nvi/p,,.
10 8
10 7
10 6
10 5
I
I
I
I
0
I
0.5
I
I
I
I
1,O
Abb. 10 Die GroBe n(ii pob,fi zu (19) und (20)
5.3. Einstellung stationlrer Zustande wahrend der impulsftirmigen Sttirung
Die vorausgehend gef undene sich bereits wahrend des anliegenden Impul&s einstellende Zeitunabhangigkeit der Ionisierungsfrequem vJp0 pro Elektron sowie der relativen Energieverliiste und die dabei vorliegende exponentielle Anderung der Elektronenkonzentration ~prechendafiir, daS es zwischenzeitlich wahrend der Einwirkung des
4'
J. WILHELMu. R. WINKLER
62
10 8
10 1
10 6
\
10 5
/-------
'.'.
I
I
:
10'6
I
I
1
I
I
1
I
I
I
0
I
I
I
I
0,s
I
I
I
I
I
1
180
Abb. 11 Die Anregungsdichte n@) va(t)/p,,zu (19) und (20)
Impulaea zur Einstellung einea stationiiren Zustandes der auf ein Elektron bezogenen
Isotropverteilungafunktjon
j (u,7)=f (u,I)/n(ij
(21)
Ioniaation durch ElektronenatoB in der Elektronenkinetik des P l a s m . 111
63
komrnt, wobei der Normierungsrelation
eo
$ U’/2j(U,i)dU = 1
(22)
0
gemal3 (5) geniigt.
Fiir die so normierte Isotropverteilungj(U, t‘, multiert dann aus (1)bei Verwendung
der Konzentrationsbilanz (3) die Bestimmungsgleichung
In analoger Weise wie bei der Ableitung von (4) erhalt man aus (23) die auf ein Elektron
bezogene Energiebilanz zu
-
@yi) -@(fi -@
--(
Y ii
( t ))
--do@) =-6-q)- -U(t)- 9
(24)
li?
Po
Po
Po
PO
PO
welche auch unniittelbar durch Kombination der Konzentrations- und Energiebilanz
( 3 ) und ( 4 ) folgt. Hierin ist zum Beispiel nach (6)
d.h. vi/po ist vollstiindig durch Angabe der mit (21), (22) eingefiihrten Isotropverteilungsfunktion j ( U , t ) bestimmt; dies gilt in gleicher Weise fur die weiteren GroBen
Ofi), ~ F c t ) l P o ,m j ) / P O , @qi,/PO, @@/Po.
I n der Energiebilanz (24) encheint der weitere totale Energieverlust
pro Elektron im Zeitpunkt Hieraus ergibt sich im Vergleich zu (17) an Stelle des Verluates ar@)/po
= g(t)/(p0t)
der Term g@)a & ~ ~fur die Energieabfuhrung durch Verlust eines Elektrons.
Die Abb. 12 und 13 zeigen den Zeitverlauf des Quotienten FF($e(Gfur die Parametersiitze (19) und (20). Dieser erweist sich fur die einzelnen Falle in qualitativer Hinsicht analog
- - zu dem in den Abb. 6 und 7 dargestellten Verhalten des Verhaltnissea
OF(t)/UT(t).Entscheidend ist aber, daB jetzt nach der adhnglichen ubergangsphase der
neueingefiihrte Quotient stets den Wert 1annimmt. Daxaus folgt, daD die mit der Bestimmungsgleichung ( 2 3 ) fur U , t’, konsistente Energiebilanz (26) bereits wahrend der Ein-
I(
J.~VILHELM
u. R.WLNKLER
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wirkung des Impulses stationar wird und sich somit auch fur die Isotropverteilung
f(U,t)zwischenzeitlich ein stationarer Zustand im wahrend des Anliegens des Impulses
+
konstanten elektrischen Feld (El%),
(Elp,,), einstellt. Jedoch ist aus der speziellen
Struktur des Elektronenverlustterms in der Bestimmungsgleichung (23) fur .f( U,i)
zu ersehen, daB in diesem stationaren Zustand die Lebensdauer der Elektronen nicht
durch den Anfangswert pot, sondern durch die momentane Ionisierungsfrequenz vJpo
im Impulsfeld (Elp,,),
( E / P ~bestimnit
)~
ist.
Besonders interessant ist, daR als Auswirkung eines hinreichend langen Impulses
die aiif ein Elektron normierte Isotropverteilung f( U, nach einer kurzen Ubergangsphase stationar wird, wahrend sich die Elektronenkonzentration selbst und daniit auch
f(U,;) weiter zeitlich exponentiell andern.
+
3
10 1
',S
10 0
1 10-6
I
I
I
10-1
I
I
1
0
0,5
Abb. 12 Der Quotient [6F[)/po]/[U$j/pol zu (19)
AbschlieBend sei noch etwas nSiher auf die entsprechenden Einstellzeiten einerseits
fur das gefundene exponentielle Verhalten einiger makroskopischer GroBen bzw. des
zwischenzeitlichen stationaren Zustandes der auf ein Elektron normierten Isot ropoerteilungj(U, beim Anlegen des Impulses und andererseits fur die Einstellung des stationaren Zustandes aller GroBen nach Abschalten des Impulses eingegmgen.
Bereits bei der Diskussion des Zeitverhaltens der auf die -4nfangskonzentration n,,
der Elektronen normierten Isotropverteilungf( U , in Abb. 1fur die 2. Paranieterkomhination von (19) zeigte es sich, daB die erste Einstellphase durch eine Einstellzeit von
- 4 10-8 Torr s und die zweite Phase durch eine solche von ~2 10-7 Torr s charskterisiert ist. Eine detaillierte Betrachtung der in den Abb. 3- 13 dargestellten Ergebnisse
lafit erkennen, daB sich dieselben Zeiten fur die beiden Einstellphasen auch fiir die cwte
Parameterkombination von (19) ergeben.
6
6
a
Ionisation dnrch ElektronenstoB in der Elektronenkinetik des Plasmas. I11
10 1
10 0
10-1
- -
Abb. 13 Der Quotient [FF(t)/po]/[Ug(t)/p,,]
zu (20)
Fcrner ist aus den Ergebnissen zum Parametersatz (20) zii eraelien, da13 die eben genannten Einstellzeiten erhalten bleiben, aher beziiglich der beiden Einstellphasen ih re
Rolle vertauschen. Dieser Sachverhalt steht uniiiittelbar daniit im Zusaninienhang, daB
sich die Werte des elektrischen Feldes E/po bei ein- und ausgeschaltetein Tinpuls bei den
Parametersatzen von (19) iind (20) gerade gegeneinander enstauschen. Grnndsatzlich
crgeben sich auch dieselben Einstellzeiten fiir das exponentielle Verhalten bzw. den stationaren Zustand der Elektronenkonzentration,da dies genial3 der aiis (3) folgendcn Beziehung
wesentlich durch das Einstellverlialten des Zeitintegrals iiber die in Abb. 3 gezeigto Ionisicrringsfrequenz vi(.$po bestininit, wird. Jedoch lalJt Abb. 2 erkennen, daR sich ae($ne,,
stcts in noch etwas kiirzeren Zeiten sowohl rruf das exponentielle Verhalten als auch in
den stationaren Zustnnd einstellt, was diirch die schnelle Aufhebung bzw. Wiederhcrst elliing der Konipensat ion ini Exponenten von (26) infolge der hereits hesprochenen
sehr schnellen ersten h d e r u n g der Ionisierungsfrequenz bedingt wird.
Die gefundenen Ejnstellzeiten von w 4 .lo-* Torr s und w2 . lo-’ Torr s beider Einstellphasen werden bedingt durch den zeitlosen Ubergang des elektrjschen Feldes von
5 nsch 20 V/(cm Torr) wid von 20 nach 5 V/(cin Torr) und durch das damit verbundene
Einstcllverhalten der auf ein Elektron norinierten Isotropverteilnngsfunktion U , in
neue stationare Zustande ausgehend von jeweils stetionaren Zust,anden.
Die hier vorliegenden Einstellzeiten stationarer Zustande von iordnen sich zwanglos
in die in [6] erhaltenen Ergebnisse iiber solche Einstellzeiten ein, welche ebenfalls ini
i( 6
J. \VILEELM u. R.WINKLER
56
schwachionisierten Ne-Plasnia fiir einnialige zeitlose ubergiinge des elektrischen Feldee
zit Endfeldstarken ( E / P ~insbesondere
)~
aus dem Interval1 0,5 V/(cm Torr) _< ( E / P , ) 5
~
3 V/(cni Torr) gewonnen wurden.
Nacli diesen Ergebnissen erweist sich die Einstellzeit neuer stationiirer Zustiinde
praktisch als allein abhangig vom elektrischen Feldstarkewert (El%), des jeweiligen
stationaren Endzustandes.
I n [6] wurden die Untersuchungen bei Vernechlassigung der Tragerneueneugung
und des hier berucksichtigten Elektronenverlristterms und damit unter Verhdtnisven
niit zeit nnabhangiger Elektronenkonzentration vorgenommen. Die jetzt vorliegenden
noch grofleren Feldstiirken uach den1 jeweiligen Schaltvorgang und die zusiitzlich hier
auft,retenden Energieverluste infolge des Ionisierungsprozesses und des Elektronenverlustes bedingen die gefundene schnellere Einstellung und daniit eine weitere Abnahme
der in [6] erhaltenen kleinsten 'Einstellzeit von w5 lo-' Torr s, welche dem groflten
dort hetrachteten Feldstarkewert voii ( E / P ~=) 3~ V/(cni Torr) zugeordnet ist.
.
Literat urverzeichriis
[l] J. WILEELM11. R. WINKLER,
Ann. Phyaik, Leipz. 36, 333 (1979).
[2] J. WILHELBI11. R. WINKLER,
Ann. Physik, Leipz. 36,352 (1979).
[3] R.WISKLER,J. WILEELM11. V. SCH~LLER,
Beitr. Plasmaphys. 10, 51 (19iO).
[4] J. WILHELX11. R. WINKLER,
Beitr. Plasrnaphya. 16, 287 (1976).
[5] H.EHRHARDT,K. H.HESSELBACHEE,
K. JUNG,&I. Smaz, T. TEKMT11. K. WILLMANN,
z. Phys. 244, 254 (1971).
[6] J. WILIIELJI11. R. WINKLER.Anii. Phj-sili, Leipz. (7) 34, 119 (1957).
Bei drr Redaktion eingegangen am 13. Juni 19i9.
Ansrlw. d. Yerf.: Prof. Dr. J. WILHELNuiid Dr. sc. R. WINICLER
Zentralinstitut fur Elektronenphysik, Iilstitutsteil V,
Gaseiitladungspliysik ,,Rudolf Seeliger"
DDR-2200 Greifswald, Robert-Blum-Str. 6-10
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