close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Die Berechnung der vertikalen Komponente des Magnetfeldes in der Nhe eines vertikalen magnetischen Dipols der auf der Grenzflche zweier verschiedener Medien liegt.

код для вставкиСкачать
W . Nunier. Berechnung der vertikalen Komponente usw.
513
D i e Berechmung der vert4kalen Eompornernte
des Magmetfeldes iw der Nahe eines vertikalen.
magnetischew Dipols, der auf der Gremnxfltiche
zweier verschiedener Hed4ern liegt
Vow W.Nzcrnier
Folgende Durchrechnungen schlieBen sich an die bekannten Entwicklungen von A. S o m m e r f e l d l ) an. In dem
speziellen Fall des vertikalen magnetischen Dipols, der auf
der Erdoberflache lie& hat A. Somrnerfeld auf die vollstandige Durchrechnung verzichtet, weil dieser fur die nbermittlung
der drahtlosen Signale nicht in Frage kommt. Aus demselben
Grunde hat auch M. J. 0. S t r u t t 3, in seinen ausgedehnten
Untersuchungen iiber die Strahlungen von Antennen unter
dern EinfluB der Erdbodeneigenschaften bei dem vertikalen
magnetischen Dipol nur den maximalen Wert der H e r t z schen
Funktion n, d. h. fur den Elevationswinkel, bei dem die
Strahlung in die Erde ein Maximum aufweist (a. a. 0. 2, S. 381),
in groBer
Entfernung vom Dipol angegeben, woraus man den Vektor
H)erhalt.
Ebenso hat V. Fock4) fiir den auf der Erde liegenden
-- die n-Funktion berechnet (vgl.
magnetischen Dipol d
S. 526) nur fur gro6e numerische Entfernung (I.Ik, r l > 1, x Q r ;
Ton P o y n t i n g (aber nicht E und
( <2
1) A. S o m m e r f e l d bei P. F r a n k u. R. v. M i s e s , Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Bd. 11. S. 565.
G1. (4). Braunschweig 1927.
2) Dies bedeutet nach den in folg. Anm. 3 eitierten Untersuchungen
von M. J. 0. S t r u t t , daS der Abstand d des elektrischen Dipols von der
Erdoberflache Q k/4 genauer I k2 d I 1 (Ann. d. Phys. [a] 17. S. 380. 1933).
3) M. J. 0. Strutt, Ann. d. Phys. 1929 [5] A. S. 721-750, B. S. 751
bis 772. 1930, C. S. 1-16; 1931, D. S. 67-91; 1933, E. S. 376-384
4) V. F o c k , Ann. d. Phys. [5] 17. S. 401-420. 1933. Es ist ITsEo
<
(g)
z=o
und
berechenbar.
gegeben, aber noch nicht
Annalen der Physik. 5. Folge. 20.
,
822
so daB H noch nicht
34
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
514
II. r<& z < T ) . Balth. van d e n P o l und K. F. N i e s s e n l )
haben die n-Funktion in groI3er Entfernung fur alle Elevationswinkel z/r angegeben, die fur den Speaialfall z2<r2 mit dem
A d r u c k von S o m m e r f e l d a ) und V. F o c k (vgl. S. 526) ubereinstimmt.
Um die in die Erde eindringenden elektromagnetischen
Raumwellen e k e s vertikalen magnetischen Dipols flir die
Messung des elektrischen Widerstandes im Erdinnern zu berechnen, ist es notwendig, die n-Funktion zuniichst fur beliebige z-Werte zu entwickeln, um darauf die magnetische
Feldstarke 3, berechnen zu kijnnen.
H = k ' I T + - aas2IT
(1)
2 '
wobei fiir das Folgende gilt:
fur den nicht leitenden Halbraum: k 2 = k 1 = 0c I8 7 17s n,,
-
fur den leitenden Halbraum (Erde): k2 = k,2 =
n = n,.
0
S W * c i U O
.
'C
Pilr den leitenden Halbraum hat J. G. E l i a s 4 ) das von
A. S o m m e r f e l d angegebene Integral fur n, weiter behanilelt
nnd die Losung einzelner Teilintegrale von 17, angegeben.
Im folgenden soll nun mittels dieser Teillosungen die Gesamtlosung von II, als Funktion von z entwickelt werden. Da
aber praktisch nur im Luftraum gemessen werden kann, muI3
man nicht n,,sondern II, kennen, was anschlieBend mittels
der von J. G. E l i a s angegebenen Losungsmethode hergeleitet
ist,
wird. Es wird dann gezeigt, dab fur z = 0 n,=
und daB auch die Formeln fur das Magnetfeld im Lnftraum
und im leitenden Hnlbraum an der Trennungsflbhe ineinander iibergehen, wie es die Grenzbedingungen verlangen, da
die Permeabilitat zu beiden Seiten gleich ist.
I. Die vertikal magnetische Komponente in der Dipolachee (r = 0)
n,
1. Berechnung der 17,-Funktion und A n g a b e v o n H*
im leitenden Halbraum
A. Sonimerfeld s Endformeln6) fur die n-Funktion
lauten:
1) Balth. van d e n P o l , Ztschr. f. Hochfrequenztechnik 37. S.152.
1931.
1926.
2) A. Sommerfeld, Ann. d. I'hys. 28. S. 257. 1909; 81. S. 1135.
3) a. a. O., 11. S. 664.
4) J. G. E l i a s , Physics, 2. Jahrg. 1922.
N. F. S. 207-216;
S. 361-374.
5) Riernann-Weber, Bd. 11, 8. 565, GI. (4).
Nr.12.
W . Nunkr. Berechnung der wtikalen Komponente
I: [ V A C k , a + I;?--
k12];
I :[ 1 / K k , B+ 1 1 2 - k,Z] ;
z
>0.
z
<0.
~-
usul.
515
(31. (2b) hat J. G. E l i a s umgeformt:
Das zweite Integral ergibt mit der Substitution:
~
(6)
(7)
1
klz= t una ka2- k,a
= cbz.
00
L -a-
-.
-_-
klz- kpz
-JJ , (r p ~ + exp.
~ (zl 1/~t a -)
ik
(2
a2
t 2 at,
< 0).
Es sei weiter:
L2 & + La2 7
wobei L,, das Integral mit den Grenzen ik, bis 0 und L2,
das Integral mit den Grenzen 0 bis 00 bedeuten.
Da
(8)
W
-"JJ~ (r vtr+-k?)
=
J J,, (r yt"+k?)
exp. (z 1/-)
1/
dt
-
exp. ( z t y - i i . ) ( t z - az) d t
0
34*
Annalen der Pkysik. 5. Folge. Band 20. 1934
516
ist, so ist
I
(10)
Da
(11)
2
L112-- _ - k,$ kpl
az):
(
m
-
[J,
(T
~ t " + k,2) exp. ( z
1t z - a21 d t
1).
0
J, (T fj-)
=
~ ' t ' J (rki)_ + ...
-
J , (T k,) - 3-
--I
r k,
und die Berechnung fiir 121 > r = 0 erfolgen soll, kann man
sich auf das 1. Glied beschranken, welches gleich 1 ist fur
T = 0.
Nsch GL (38) der Abhandlung ist fu r
<
l a ~ l 1, Ik,rJ<1
(12)
L22
=
-m
2
und
a2
/zi>T
nai
w)- + v ) ( a z ) ,
F (aa+
wobei
die von H a n k e l eingefuhrte komplexe Funktion
3. Art bedeutet mit der Beziehung:
H,"'
(13)
=J,
+iN,,
wobei J , die Resselsche Funktion 1. Art und
N,
=
.z[Y , - J , In -Y21 ;
7I
7 = 1,7811
Y ,= J,
und
-
1
3
J, +y
J3 -
-
Ferner ist: H o ( l ) ' = J,'+ iN,'= - H,") (vgl. , J a h n k e und
E m d e , S. 90-951.
Die Berechnung von L2, ergibt, da nach T a y l o r
(14)
{
-
exp. (z 1/ t~ - u 2 ) = exp.(iza)
t* z
ist und t = ik, cos F gesetzt wird:
0
1) Die cntsprechendc Gleichung in der Abhandlung von J. G . E l i a s
(S.362) ist verdruckt.
2) In der Abhandlung von J. G. E l i a s verdruckt.
W . Nunier. Berechnung der vertikden Komponente usw.
517
Die Reihenentwicklung von L,, [Gl. (1511 konvergiert rasch,
wenn
<< 1 ist. Die Losung erfolgt durch eine von
N i e l s Nielsen') angegebene Formel, die fur die Besselsche
Funktion 'mit dem Index Null lantet:
342
(16) SJ,(2singF)cos2e-lpsiny.dp = r(q)
2~ x@
-
J
e (4.
0
Da
ist, so ist die Losung von G1. (15) fiir die ersten beiden
Cflieder gegeben durch :
L, sol1 fur
T
=0
gebildet werden; der Grenzwert des
1. Gliedes mit der Besselschen Funktion voni Index 312
ergibt:
Der G-renzwert des 2. Gliedes ergibt:
Demnach ist:
Nach den G1. (2b), (5), (S), (12), (20) ist dann II, gegeben
durch:
1) N i e 1 s N i e l s e n , Handbuch dcr Theorie der Zylinderfunktionen.
Leipzig 1904, Formel 3, 'S. 222.
2) Die entsprechende Gleichung der Abhandlung von J. G. E l i a s
ist anders angegeben; im 1. Glied darf der Faktor 3, im zweiten der
Faktor 5 nichi stehen.
618
Amalen deer Physik. 5. Fohe. Band20. 1934
Nach (31. (1) lautet dann die Formel fur das Magnetfeld
im leitenden Halbraum (z < 0) in der Dipolachse (r = 0) und
kleine Anfpunktabstande z in der Xihe des Dipols:
mit den Bedingungen
1. j z J > O ,
2. IL2zl
< 1,
3. ! r k 2 1 < l .
2. B e r e c h n u n g der IT,-Funktion i n der D i p o l a c h s e (1.= 0);
B i l d u n g d e r F o r m e l f u r das M a g n e t f e l d i m Luftraum
fur kleine z
Zu diesem Zweck formt man G1. (2a) genau so um wie
GI. (2b). Ferner sei entsprechend wie friiher eingefiihrt:
(23)
wobei dann
nl=M,+ M 2 ,
W . Nunier. Berechnung der vertikalen Kmponente usw.
519
und
.f a 2 - k g 2 1 , d i l .
00
(25) M, =
- ~ J , ( ) ; r ) e x p(. zfA2-k12)
2
0
Durch die Substitutionen:
(26)
z = - 2
b a = k1
1;
’- ka2; p 2 - k 2 2
~
=t
wird G1. (25) auf dieselbe Form gebracht wie G1. (7):
J J , (r v
m) exp. (2,
m
I
(27){
M2
= k,S-2 kps
2-1
i k,
Es sol1 ferner entsprechend G1. (8) Ma = M,,
Dann ist nach GI. (12)
(28)
J!l 22 -
2
k,2
- kpP
oder nach GI. (26), da
(29)
b2
k2+ wa? )
bin
-2-
+ M,,
t* dt ;
21 < 0 .
sein.
- H,”’(b z1)
= k12- k,, = - u2 ist:
as
M,,= - a 7c H,(1)(i a 2) + p H,“’
(ia 2).
a az
Das Integral M,, mit den Grenzen ik, bis 0 wird entsprechend den Gf. (14) und (15) gelost. Danach ist:
1
(30) M 2 , = - ~-kIP- kpp
[$i k23 exp. (iz,b) -
1
oder (la b = i a und z = - z1 ist,
(31) M,, =
2i kz8
~
-
3(k,s-k,2)
1
k Z 6 z , exp. (iz, b)
i kz5z
exp. (zu) - 5 (kSe- k,4’1, exp. (z a).
Nach G1. (24), (28), (31), (32) ist d a m :
Nach G1. (1) ist dann das Magnetfeld im Luftraum gegeben
durch :
520
Annah
der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
3. D i e 9 0 ° - K o m p o n e n t e d e s M a g n e t f e l d e s i m L u f t r a u m
[ V e r e i n f a c h u n g v o n G1. (22) u n d (331; n u m e r i s c h e D i s k u s s i o n
Da das Mdagnetfeld in der Dipolachse T = 0 untersucht
werden SOU, so sind fiir einen Aufpunktabstand, bei d e n
nach GL (40)mit Versuchsfehler von loo/, I k, z I 5 10-1 ist,
also z 5 lo3bis lo4 cm die Bedingungen 1. und 3. von G1. (22)
erfullt. Ferner sollen die Versuchsbedingungen so gewahlt
sein, daB klZ gegen k,, vollstandig vernachlassigt werden kann.
Kach G1. ( 6 ) ist dann die GroBe a = k, und wenn nun k, von
iler GroBenordnung
ist'), so ist die 2. Bedingung von
G1. (22) erfiillt fu r z 5 lo3 cm. Die Glieder kZ4z ergeben
fiir die z-freien Glieder k,3 dann nur eine Korrektion von
5 10%.
-.
1) Nach G1. (1) ist kl'=
0 2
~
C*
; far
T
=
300 H z ist (vgl. 8. 514)
k I 2 = 3,9.10-15; da ferner die in der S o m m e r f e l d s c h e n Durchrechnung zugrunde gelegte Leitfiihigkeit ir = -in c2 umag. ist, so ist
k*'=
--p- + i47zumag*0
6 0'
(k, hat die Dimension cm-I). .Fur einen spezifischen Widerstand der
Erde, I. B. Q = 2-10422 cm, 1st u,,,,,~.= 5.lO-l' cm-2 see, und z. R.
fur 6 = 20 ist k29= 1,2-10-'; d. h. kp ist von der GroBenordnung
k,a ist dann gegen k,' zu vernachllssigen. Hierzu ist zu bemerken,
dab wesentliche BeitrLge zu a,aus rclativ groEen Tiefen (in diesem
Reispiel wohl etwa 2-10 kin) kommen. I n diesen Tiefen ist aber e EI lo5.
W . Nunier. Berechnung deer vertikabn Komponente ww.
521
Um die Formel fur das Magnetfeld in der Dipolachse
zu erhalten, ist es notig, die in GI. (33) vorkommenden Differentialquotienten der Exponential- und H a n k e l schen Funktionen zu bilden und nachher fur r = 0 zu speaialisieren.
Es gilt allgemein fiir beliebige k
Die H a n k e l schen Funktionen mit jeweiliger Beriicksichtigung des 1. Gliedes und Vernachlassigung aller htiheren
Potenzen von x lauten:
y = 1,7811,
Die Formel G1. (33) fur die vertikale Komponente des
Magnetfeldes im Luftraum wurde entwickelt, um sie fur die
Messung des elektrischen Widerstandes im Erdinnern verwenden zu konnen. Gemessen wird ihr imaginarer Teil, die
90 O-Komponente des Magnetfeldes der induzierten Strome l).
[Der imaginare Teil von G1. (33) entspricht dieser 90°-Komponente.] Bei den Bedingungen k12< kZ3und x 4 lo3bis 104 cm
kann man sich darauf beschranken, das z-freie Glied (7cZ3) und
das Glied mit der 1. Potenz von x (kz42) auszurechnen; die
Glieder k,z. kZ2z , k, kzSz usw. sind dann gegen kz3 und kZ4x
zu vernachlassigen.
Die imaginaren Glieder der ersten sechs Ausdrucke in
G1. (33) sind bei den obigen Bedingungen gegeniiber kz3 zu
vernachlassigen, wie sofort ersichtlich.
-
1)W. N u n i e r , Ztschr. f. angew. Geophysik 3. S. 370ff. 1933.
A n n a h der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
522
Die imaginken Teile der anderen Glieder lauten (vom
7. Glied):
I
(37)
3
a8, = - 5 k e23 i - 5 i 2 4 z 3i
;7c24zi;
~ ) ; . = 2
- k 3 i +
2
I a;).= 3
=-
snk242i;
6n
~
16
k,4 2
i.
Uurch Addition erhalt man den Ausdruck fur die 90O-Komponente:
(38)
{
~w
(1) = l
4jka3 -
(-yG - E)kZ4z
- [cir3];
1
f
a
im Luftraum z
>0.
Die Formel fiir die 9O0-Komponente des Magnetfeldes
in1 leitenden Halbraum gewinnt man aus G1. (22). F u r dieselben Redingungen lauten die jeweiligen imaginaren Teile
der einzelnen Glieder:
I
al.= -23k
2
3 i
- -131 ~ , 5 2 2 i ;
ad,= -2k
7z
2
4zi;
2
B6.= - k 3 i+ -51- k 2 6 z Z i ;
5 =
3
(39) 8;.= - T 8 k * 4 z i ;
3
B:,, = - -g8 kZ4z i ;
5
@lo.= ~ n k 2 4 z i .
(Die Beitrage des 2., 3., 7. und 8. Gliedes sind zu vernachllssigen.) Durch Addition erhllt man die 90 O-Komponente
des Magnetfeldes der induzierten Strome fur kleine Aufpunktabstiinde im leitenden Halbrauin.
(40)
H,,(2)
= =4k Z 3 +
-16n r k 4 2 +.
. . [ ~ m - ~ ] ;z < 0 .
F u r sehr kleine z-Werte stimmen also die beiden Werte
der 90 O-Komponente G1. (38) nnd (40) uberein; insbesondere
fur z = 0 ist:
fp
- p'Yo*')= 15
4- k 3 . [ (40 a)
90. 2
cm 3,
wie es auch wegen der Stetigkeit sein mu8.
4. E r g L n z u n g
Die Formel G1. (40) [oder (38)] f u r das Nagnetfeld muB
noch mit dem maximalen Moment p des Dipols multipliziert
werden. Das Moment (E'llche ma1 Stromstkke der Dipolspule) ist
(41)
p
=
R 2 n N J . 10-'l/Gn,
W. Nunier. Berechnung der vertikakrt Komponente
USW.
523
wobei R = Radius, N = Windungszahl der einlagigen Spulel),
J = in Ampere gemessen, vG Umrechnungsfaktorq. Bei den
Versuchsbedingungen R = 50 cm, N = 200, J = 1 Amp. ergibt
das Moment p den Wert:
p = 5,3
[Amp. cmz]
(42)
Fiir r = 300 H, E = 2 0 7 und den spezifischen Widerstand der
Erde ~ = 2 . l O ~ Q c m "istk,
- ) = f 4 n o m , , 2 n r = 3,4.10-6[cm-1]
(vgl. Anm. S. 520).
Fiir einen Aufpunktabstand x 2 * 10, cm ist fur die
obigen Bedingungen das zweite Glied in G1. (38) zu vernachlassigen; mit G1. (41), (42) erhalt man daraus:
.
43)
H~~~= p
.
. 15
4
= 0,6
-kZ3
. 10-7
0e.5).
Zu dieser Dipolwirkung der Spule addiert sich aber noch die
Induktionswirkung der Spule, aufgefaBt als Kreisstrom vom endlichen Radius [a. a. O., s. 521, GI. (111. Danach ist:
(44) H g o o = 8,3 * ~ O - ' V R N .J : Q = 1 0 - l o ~* 8n' R - N * J : 3 g .
Da der Aufpunktabstand z = 2 loa cm = 4 R gewahlt wurde,
so ist nach J. K o e n i g s b e r g e r 6 )vom Gesamtwert [GI. (44)] nur
-
1) Um die SOo-Komponente des Magnetfeldes messen zu konnen,
ist es notwendig, zuerst das Primarfeld auf etwa lo-? abzukompensieren,
was bei mehrlagigen Spulen sehr schwierig ist. Ein Grund f u r diese
experimentell bekannte Tatsache ist der, wie mir scheint, daE bei mehreren
Lagen leicht ein kapazitiver KurzschluS zwischen zwei Lagen eintreten
kann und die Isolationsfehler einen stBrenden 0 h m schen KurzschluE
hervorrufen, wodurch eine exakte Kompensation wegen der entstehenden
Phasendifferenz nicht moglich ist. Die Hauptsache scheint aher in der
vielleicht durch obige Umstande hedingten relativen starkeren und nicht
abkompensierbaren h s s t r a h l u n g zu liegen.
2) a. a. 0. Bd. 11. S. 405.
31 I. C. R a t c l if f e u. W. F. B. S h a w . A determination of the dielectric constant of the ground. Nature 124. S. 617. 1929. Nr. 3129. Die
Verfasser stellten auf Grund der Theorie von S o m m e r f e l d (Ann. d.
Phys. 28. S. 665-736, 1909) Untersuchungen mit elektrischen.Wellen yon
I = 30 m bis 1400 m an und haben f u r den Wert B = 20 Ubereinstimmung mit der Theorie gefunden.
4) Der spezifische Widerstand einzelner Schichten in der Erde ist,
wie die geophysikalischen Untersuchungen bekanntlich zeigen, sehr verschieden (in Erdschichten mit hohem Wasser- und Salzgehalt e = 10-52 cm,
in Gegenden mit aridem Klima e = lo752 cm). Fur einen maSig feuchtem
Wiesenboden hat M. J. 0. S t r u t t (E. N. T. 7. 387-393. 1930. Nr. 10)
den Wert p = 2 . lo4 fi cm gemessen, ahnlich wic hier gefunden (a. a. O.,
s. 10).
5) 1Oersted = 1 Gauss.
6) J . K o e n i g s b e r g e r , Phys. Ztschr. 31. Jahrg. 1930. S. 487, G1. (17).
524
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
etwa 0,l in Rechnung zu setzen. F u r den vorliegenden Fall
betragt dann H 9 p = 1,0 lo-’ Oe.
Dieser Effekt konnte mit der Versuchsapparatur (a. a. O.,
S. 521) nicht wahrgenommen werden, da die Induktionswirkungen der magnetischen Variationen (etwa 2 lo-’ Oe) von derselben GroBenordnung waren. Durch grogere R und N laBt
sich der Effekt erhohen. Will man aber nur die reine Dipolwirkung messen, so mug der Aufpunktabstand x so groB gewahlt werden, daB die Wirkung der Spule als Kreisstrom vom
endlichen Radius H (F) weniger als 20 O/, (Meggenauigkeit) der
Dipolwirkung H ( P ) betragt. E s sol1 also sein:
(45)
H (F) 0,2 H (P).
Nach G1. (42), (43) und (44) ist dann
.
wobei 1 - H ,= n B den Korrektionsfaktor bedeutet, wenn der
Aufpunktabstand x ein bestimmtes Vielfaches (n) vom Primarstromradius ( R ) ist. H‘ ist aus Formel 17 der oben zitierten
Abhandlung von J. K o e n i g s b e r g e r fur beliebige z = n R abzulesen. Da
: g = B , , ~ . ist, so geht G1. (46) uber in
1 - H ,= 12 B 20 R ~ B2 TC ~V. ~ ~ .
(47)
Aus dieser Bedingungsgleichung erhalt man die 2. Bedingung fiir den Aufpunktabstand x , die mit der 1. Bedingung
1 k, x 1 < 1 [vgl. 2. Bedingung von G1. (2211 gemeinsam erfullt
sein muB.
-
11. Magnetische vertikale Komponente (QOO)auf der Erdoberflache
(z = 0) in der NLhe des Dipols (I kz v I < 1; z
- r).
<
Die Berechnung kann wieder auf zwei Arten erfolgen:
1. Angabe der Hertzschen Funktion n2 im leitenden
Halbraum (z < 0) mit der spateren Spezialisierung fur x = 0.
2. Angabe von I7, im Luftraum ( x > 0). Fur x = 0 wird
gezeigt, daB beide Losungen ubereinstimmen.
1. F u r die Berechnung von n,, wozu die Teillosungen
N , , N,, und N,, (entsprechend L,, L,, und L,,) jetzt fur
I r I > x angegegeben werden mussen, geht man wieder von
G1. (2 b) aus.
Die erste Teillosung N , bleibt erhalten:
W . Nunier. Berechnung der vertikalen Komponente usw. 525
Der Teil N,, [Gl. (12)] ergibt nach J. G. E l i a s , G1. (39), S. 367
fur kleine z und 1 k, r I < 1 die Lijsung
da die vorkoinmenden Besselfunktionen nleich 0 oder 1 werden
fur 1 r k, I 1, was erfullt ist, weil k12% k,2 sein soll.
I n erster Naherung sind die Bcsselfunktionen
<
g3 TP
J , (k,7 ) = k,2r und J , (k,r ) = 8 ’
~
weshall) in erster Ksherung GI. (49) mittels G1. (13) ergibt:
(51) N,, =
ni
~
k9*
4
(z
-
Die Losung von A’, [vgl. 01. (1 7)] ergibt mittels GI. (18),(19):
<
Dieser Beitrag wird Null, wegen der Bedingungen kI2 k2,
und (k,T I < 1. Die Gesamtlosung von l7, ist daher fur
kleine z nach G1. (48) und (51):
Auf der Erdoberflache fur z = 0 ist:
526
Annalen der
Physik. 5. Folge. Band 20. 1934
Fur groBe Entfernungen I k, r /
(54 a)
n(r,O) =--
2i
k, rs
> 1 erhalt V. F o c k
l):
exp.(+ik,r),
wenn man beriicksichtigt, daB sein k = - i k, ist.
Balth. v a n d e r Pol,) integriert G1. (a), S. 515 fur. z = 0
und erhalt fiir II den Wert:
(-
2
I d 1
1
exp. (ik, r) - - exp. (ik, r ) )
hx r d r r
- --k22rsi exp. (ik, r ) ,
n ( r , 0) = - - -
er ist gleich dem obigen Wert von V. Fock.
Die magnetische vertikale Komponente lautet dann nach
G1. (54) fur z < 0:
+
H,= kZ2
a2
IZ, = - 2
a2
dz
1
-exp. (ik,
(R
R))
(55)
- - -%
( 3i
2
5
a9
ka2z- 48 ka4z3)a%* 4
Fur z = 0 ist:
Der imaginare Teil von G1. (55) liefert die 90°-Komponente. Das erste Glied von GI. (55) liefert dazu den Betrag
fur z = O :
2
= Tk2s2
(3j3 = - -k
5
,
1
=ka6rr" [vgl. G1.(54)];
3+
-1- k
3 5 2
bra.
1) V. Fock, Ann. d. Phys. [ 5 ] 17. S. 418. 1933; GI. (94)
2) Balth. van d e r P o l , Ztschr. f. Hochfrequenztechnik 37. S. 152.
1931; G1. (18).
W. Nunier. Berechnung der vertikalen Komponente usw.
527
Das Z., 3., 4, und 5. Glied ergeben das Korrektionsglied
fiir z in der 1. Potenz: n/16 k24z. Durch Addition erhalt man:
2. Magnetisch vertikale Komponente im Luftraum (z > 0 )
in der Entfernung ( T I > z; ebenfalls fur z = 0 spezialisiert.
Fiir diesen Fall ist IZ. wieder wie friiher zu zerleaen
in
"
o,, 0 0 .
fGr Beitrae
<
ist fur z 3 0, I k, r I < 1 und kla kZ2 gegenuber den anderen
Beitragen zu vernachlassigen.
O,, ergibt mit derselben Substitution wie M,, den Wert:
(57)
o,, = - -Die Losung fiir O,, ergibt entsprechend M?,den Wert:
Demnach ist fur z = 0:
n,= o,, + o,,
I
] + kZPrg
[$k, - 15 r27d 3
in fjbereinstimmung mit II., [vgL G1. (54)].
(59)
=i
2
----
Ferner ist:
a9
Hz=k,",+~"l,
woraus die imaginaren Glieder wieder die 90°-Komponente
ergeben.
Der imaginare Teil yon a2/az20,, laut et :
1
-r 2k,P)
a10
Der imaginare Teil von d2//az2 0,, lantet :
1) Borrektionsglieder (Iz) sind dabei nicht beriicksichtigt; dies
erkliirt den Unterschied der z-Korrektionsglieder von G1. (61) und (38).
528
Annalen
der Physik. 5. Polge. Band 20. 1934
Durch Addition von G1. (60a) und (60b) erhalt man die
W0-Komponente , da die anderen B e i t r e e wegen der Bedingungen Ik, T I < 1 und kIa k Z 2zu vernschlassigen sind.
<
Ict3 - 106 r Z k Z 5- Iti k24z, f u r z > 0
in cbereinstimmung mit G1. (56). Zu beiden Seiten der Trennungsebene ( x = 0) stimmen die zwei Komponenten in kleiner
radialer Entfernung iiberein, wie es sein muB. Ferner stimmen
die G1. (56) und (61) uberein mit G1. (40a) fur r --f 0 und
z -P 0.
(61)
H,,o =
4
?r
Zneammenfasanng
I m ersten Teil wird die allgemeine Formel fur die magnetische vertikale Komponente in der Dipolachse (r z) f u r
kleine Aufpunktabstande ( 1 Ic, Z I < 1) zuerst im leitenden Halbraum, dann im Luftraum berechnet. AnschlieSend n-ird die
allgemeine Formel vereinfacht, insbesondere der imaginiire
Teil, der die 90°-Komponente liefert, in beiden Medien angegeben, ihre ffbereinstimmung an der "rennungsflache (z = 0)
gezeigt und numerisch diskutiert.
I m zweiten Teil wird die magnetische vertikale Komponente fur kleine (Ik,rl < 1) Radialentfernungen vom Dipol in
der Nahe der Erdoberflache (z r ) berechnet; in beiden
Xedien stimmen sie uberein, ebenso fur r = 0 nnd z 3 0 mit
de r E'ormel des ersten Teils.
<
<
F r e i b u r g i. Br., Mathematisch-Physikalisches Institut der
Universitat.
(Eingegangen 19. Juni 1934)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
566 Кб
Теги
verschiedenen, die, medien, der, vertikalen, grenzflche, auf, eine, liege, magnetischen, zweier, magnetfeldes, komponenta, nhe, des, berechnung, dipole
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа