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Die Berechnung einer einfachen Brechungserscheinung mittels des Huygensschen Prinzips.

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177
11. Dde Berechnung
einer d n j a c h e n B r e c h u n g s e r s c h e i g m4ttels
d e s Eug g e n s w h e n Prinxdps ;
v o n Pritx R e i c h e .
Ich mochte im folgenden zeigen, wie man in einfacher
Weise mittels des Hnygensschen Prinzips die Breohung einer
ebenen Welle an einer Zylinderflache berechnen kann. Das
behandelte Problem ist das folgende:
1
Fig.
s 1.
Auf die Zylinderflache, deren Schnitt mit der XY-Ebene
(vgl. Fig. 1) durch CMC dargestellt sei, fallt in Richtung der
negativen X-Achse (gefiederter Pfeil) ein ebener , in Richtung
der Y-Ache unendlich ausgedehnter, Wellenzug. Die Zylinderflache sei durch den vollkommen undurchsichtigen Schirm S S
in der tius der.Figur ersichtlichen Weise begrenzt. Die Flache
SCMCStrennt das Medium I (Vakuum)vom Medium I1 (z. B. Glas).
Die einfallende ebene Welle sei in der XY-Ebene polarisiert und daher durch den Wert ihres ,,Hertzschen Vektors"
P,= e i n * . l I , , wo
(1)
az= . , i ( k z + d ) ,
Anaalen der Physik. IV. Folge. ,34.
12
3'. Reiche.
178
charakterisiert. Dabei bedeutet a die Amplitude, 6 eine Phasenkonstante und es ist:
wo I die Wellenliinge der einfallenden Wellen im Medium I
(Vakuum) bedeuten.
Da wir es hier mit einem ,,ebenen" Problem zu tun
habeo, so ist der Wert des Vektors 21z im Aufpunkte A nach
dem Kirchhoff-Huygensschen Prinzip gegeben durch die
Formel 'I :
(3)
Die Integration nach s ist dabei uber die vom Schifm
freigelassene &hung des Zylinders, d. h. iiber die Linie C M C
mit der auSeren Normale n zu erstrecken.
R'=k
r '
wo A' die Wellenlange im Medium I1 (Glas) bedeutet. P ist
der Abstand des Integrationselementes d s (6, 7 ) vom Aufpunkte A (z,y). Ha (R'P) ist die zweite Hankelsche Zylinderfunktion, deren Wert fir groSe X P
(4)
ist. Nun ist
P2
= p2
+ 2 [(IZ- g) x - r] y] ,
wo p = M A ist und R = 0 M den Radius der brechenden
Zylinderflache bedeutet.
Es seien nun R - h und q Rlein gegen p , d. h. die freie
offnung der Z'linderfiache sei klein. Dann folgt
p = + JR - 0 2 - 7
(5)
Setzt man noch
.
P
6 = ~ c o s y o , 9 = Rsiny,,
z = gcoscp,
so folgt:
(6)
y = gsiny,
P = p + - -R q c o s c p - R q c o s ( c p - q , , )
,
P
1) Vgl. z. B. P. Debye, Ann. d. Phys. 30. p. 755. 1909.
Brechungserscheinung mittels des Huygensschen Prinrips.
179
Setzt man jetzt den Wert von n, nach (1) und den
asymptotischen Wert (4) von H2 (A' P) in (3) ein, so folgt unter
Beachtung von d s = R dye;
2 u ist dabei die freie, wirksame Offnung der ZylinderAache. Unter dem Integralzeichen kiinnen wir in der Amplitude P durch p und cos(P,n) durch 1 ereetzen. Dann wird
-a
Fig. 2.
An Stelle der Polarkoordinaten e, yo, um 0 als Zentrum
fuhren wir jetzt neue Polarkoordinaten r, yo, y urn einen
auf der x-Achse liegenden Punkt P (vgl. Fig. 2) ein. Dabei sei
wo
v = - k'
k
der Brechungsquotient des Mediums I1 gegen das Medium I ist.
1st y o und daher auch yo klein, so gelten in erster
Naherung die Formeln
12*
F. Reiche.
180
cos yo = cos?fJ,= 1
und
v-9
sin yo = sin yo(1
+ cos
L-7)
Po
oder
V
Yo = 7
9 0
Ferner ist
Q
(9)
sin y = r sin y ,
ecosy = r C O S q
R
--.
v - 1
Wir bezeichnen die Strecke M P kurz mit P, so daB also
Beschranken wir urn nun auf Aufpunkte, die in der Nahe
von F liegen, d. h. setzen wir r / F als klein gegen 1 voraus, SO
kann man setzen
p = F- r c o s y
und es folgt unter Vernachlassigung von Gliedern hoherer
Ordnung:
R
k' R
R'p - k'-pCOSY
+ kRcosY,f -<)COS(Y-Y,)
P
P
(11)
= k ' P + k R + k'rcos(y - %).
{
-
-
Ersetzt man noch in der Amplitude p einfach durch
+B
$d yoeik'rcos (W - P O I
F,
.
-B
Wir setzen nun, was keine Beschrhkung der Allgemeinheit bedeutet,
Brechungserscheinung mittels des Huygens schen Binzips.
1'81
Dies ist aber, wie P. Debye') gezeigt hat, de7 Ausdruck
eines nach F konvergierenden, ebenen Biischels vom offnungswinkel 28. Die durch F gehende, der Z-Achse parallele Gerade
ist also eine Brennlinie fur die komergierende Welle, die durch
die Brechung aus der ebenen Welle entsteht. Der Abstand
der Brennlinie vom Scheitel der Zylinderflache ist = R ( v / v - 1)
fur paraxiale Strahlen. Dieses Resultat stimmt mit dem bekannten Ergebnis der geometrischen Optik iiberein.
B r e s l a n , Dezember 1910.
1) P. Debye, Ann. d. Phye. 30. p. 755. 1909.
(Eingegangen 5. Dezember 1910.)
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