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Die Berechnung von Erwartungswerten im Rahmen der Streutheorie.

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L. KNOLL:
Die Berechnung von Erwartungswertenim Rahmen der Streutheorie
121
Die Berechnung von Erwartungswerten
im Rahmen der Streutheorie
Von L. KNOLL
Inhaltsiibersicht
Wir entwickeln einen Formalismus, der es gestattet, die zeitliche Anderung der Erwartungswerte von Operatoren im Rahmen der Streutheorie zu berechnen.
Fur den Spezialfall der Berechnung von Ubergangswahrscheinlichkeiten ergeben sich
2Jc
Zusatzterme gegeniiber dem bekannten Ausdruck - 6(Ei - E f )ITfiI*, falls die Zustiinde
R
li ) und If nicht orthogonal zueinander sind.
Eine Anwendung auf die Untersuchung nichtlinearer optischer Effekte wird kurz diskutiert.
>
1. Einleitung
Die Methoden der Streutheorie werden im allgemeinen benutzt, um ubergangswahrscheinlichkeiten zwischen orthogonalen Zustanden zu berechnen. Damit werden aber nicht alle interessierenden Fragestellungen erfal3t. Speziell konnen damit nicht ubergangswahrscheinlichkeiten zwischen nicht-orthogonalen
Zustanden berechnet werden.
Wir behandeln hier dieses Problem etwas allgemeiner, indem wir einen Formalismus zur Berechnung der zeitlichen h d e r u n g von Erwartungswerten im
Rahmen der Streutheorie entwickeln. Die in Frage kommenden Operatoren sind
mit dem ungestorten HAMILTON-Operator H, vertauschbar, und wir betrachten
den allgemeinen Fall, da13 das System durch einen statistischen Operator e beschrieben wird.
I m Abschn. 2 legen wir dazu die Gleichungen fur die Entwicklung eines Zustandsvektors im Rahmen der Streutheorie dar, die man auch in einschliigigen
Monographien und Lehrbuchern findet [l, 21. I m Abschn. 3 leiten wir eine Gleichung fur den statistischen Operator ab, mit deren Hilfe im Abschn. 4 die zeitliche h d e r u n g von Erwartungswerten bestimmt wird. Eine Diskussion der Ergebnisse erfolgt im Abschn. 5, in dem auch mogliche Anwendungen in der
Pu’ichtlinearen Optik diskutiert werden.
2. Berechnung des Zustandsverktors
Wir untersuchen die Streuung zweier Systeme aneinander.
Der HAMILTON-Operator H des Gesamtsystems zerfallt gemiiB
H=H,+V
(1)
in den HAMJLTON-Operator H, der die ungestiirte Bewegung der Systeme beschreibt, und den Wechselwirkungsoperator V.
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 26, Heft 2
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Unser Ziel ist es, eine dem Streuprozefi adaquate Losung der SCHR~DINOERGleichung
a
ih-l!J')
=
at
H /Y>
zu finden. Diese mu13 fur t -+ --oo in einen vorgegebenen Zustand
ubergehen, der Losung der ungestorten SCHRODINGER-Gleichung
a (Y(O)( t ) ) = H,
ih at
(t))
IY(0)( t ) )
(3)
ist. Bekanntlich (vgl. z. B. [l])reprasentiert der durch die Integralgleichung
+
(t) )
Jdt' G ( t - t ' ) V IY ( t ' ) )
IY ( t ) ) =
definierte Zustand die gewunschte Losung von (2), und es gilt
Iim l!P(t) )
t+-
m
=
lim l W o ) ( t )) .
(4)
(5)
&--m
G ( t ) ist die durch
a
( i h at - Ho)G ( t ) = d(t),
G ( t ) = 0 fur t
<0
( (5)
definierte GREENsche Funktion.
Durch den Obergang in den FOURIER-Raum
IY(t)) = J d w e - i w t ( Y ( w ))
I!P(o)(t) ) = J dcoe-i"'
1
G(t)=
2n
lW0)(w) )
J dwe-i",tG (hw)
(7)
erhalten wir aus der Int,egralgleichung fur I F(t)) die LIPPMAN-SCHWINCERGleichung (vgl. [l])
+
lY(o)) = IF(O)(O)
)
G ( h w )V ! Y ( w )>.
(8)
Eine formale Losung von (8) gewinnen wir durch die Definition des Operators
T ( h ) (der sogenannten T-Matrix) :
T(ho) = V
Daraus folgt
T(Ao) = V
+ V G ( h w )T(hw).
+ V G(hw)V +
(9)
* *
m
=
2 V (G(Rw)V ) 7 L .
n=O
I Y(w) ) stellt sich dann in der Form
IF(o)) = IY(")(w) ) + G ( h w )T ( h )lY(O)(w))
(11)
dar, und fur IY(t)) erhalten wir die fur die weiteren Rechnungen vorteilhnfte
Gleichung
[l
G ( h w ) T(hw)] ( y ( o )).( ~ )
IY(t)) = J
G ( h w ) hat die Form
+
G(hw) = (ho-
H,
+ k)-',
E-+
+0,
L. KNOLL:
Die Berechnung von Erwartungswerten im Rahmen der Streutheorie
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und T ( h o )genugt der Gleichung [2]
2rc
T(h0) - T+(~co)
= 7 T + ( h 0 ) ~ ( ~ c o - H OT)( ~ o ) ,
(14)
die auf das optische Theorem fuhrt.
3. Bereehnung des statistischen Operators
I m vorigen Abschnitt haben wir die zeitliche Entwicklung eines Systems
untersucht, das sich in einem reinen Zustand befindet. Wir erweitern jetzt diese
Untersuchung auf den allgemeinen Fall, in dem das System durch einen statistischen Operator e(t) beschrieben werden mu13.
Den statistischen Operator konnen wir in der Form
e(t) = 2
wu IY,(t))( y l , ( t ) l ,
a
0
5 w, 5 1 , 2 w a = 1
u
(15)
ansetzen [3]. Dabei sind die lys(t))
Losungen der ScHRoDINaEa-G1eichung (2).
Entsprechend dem vorgegebenen Streuproblem entwickelt sich jedes IY,(t))gemiiI3 (4)aus einem lYLo)(t)).
Wir konnen die Resultate des vorigen Abschnittes
sinngemaI3 iibernehmen und erhalten
mit
4. Bereehnung von Erwartungswerten
Wir kommen nun zur Berechnung der zeitlichen h d e r u n g von Erwartungswerten. Es werden nur Operatoren Q beriicksichtigt, die mit Ho vertauschbar
sind. Dann kommutiert Q auch mit G ( h ) und G +(ho).
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7. Folge
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Band 26, Heft 2
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Unter Benutzung von G1. (18) konnen wir dann schreiben:
a - = - Sa p p ( t ) Q
at
-Q
at
= /dw
Sdw‘[-i(w-w’)]
e-i(o-o‘)t
XSp[e(O)(w,w’)Q + $O)(w, w’) G ( h w )Q T(hw)
+ G+(hw’)@J)(w, T+(hw‘)Q
+ T(hw) @)(w, w’) T+(hw’) G+(hw‘)G ( h w )a ] .
(23)
0’)
Berucksichtigen wir die aus der Darstellung (22) von @ ( O ) ( o , w‘) folgenden
Relationen
@“‘)(w,w ‘ ) G ( h w ) = e‘O)(w,w’) (hw - hw‘
is)-’
G+(hw’),$O’(w, 0‘) = @(O)(w,
w‘) ( h ~ ’ - hw - i~)-’
(24)
sowie
1
( W - 0‘)G+(hw’) G ( h w )= X { ( h w ’ - H0 - k)-’ - (hw - Ho
k)-’),
+
+
(25)
dann wird
dQ = /do Sdw’e - i ( m - o ’ ) t S p -i(w-w‘)
[
at
$O)(w, w ’ ) Q
+ t p y w , { ~ ~ ( t i-w~)+ ( t i w ’Q)
+ T + ( ~ w ‘((hw’
)
- H -i&)-l - (hw - Ho+
(26)
Ifi
0
I m weiteren Verlauf zerlegen wir @“(w,
+
QT(hw)}].
0’) in
(27)
@“’(w, w’) = 6(w - w‘) @d(w) @ n d ( w , 0’)
und beschaftigen uns nur noch mit dem von ea(o)herriihrenden Beitrag zu
dQ, den wir mit $5) bezeichnen. Aus (26) ist ersichtlich, daB
at
d
zeitunabhangigen Anteil von
d
5 darstellt. Falls
at
(d”t
-Q
->d
den
nicht durch die Problemstel-
lung von Anfang a n elld(w,w‘) = 0 gewahrleistet ist, konnen wir unser berechnetes - Q nur rnit dem zeitunabhangigen Anteil eines in einem Experiment
(d”t
-)d
d -
d -
bestimmtcn - Q vergleichen oder rnit einem zeitlich gemittelten - Q , falls
at
(d”t
at
dieses mit - Q identisch ist, d. h. falls die zeitabhangigen Anteile bei einer Mit-Id
telung uber eine geniigend grofie Periode Null ergeben.
Die Zerlegung (27) von $O)(w, 0‘) ist immer moglich und resultiert aus einer
Zerlegung von p in die Anteile @d und e n d :
(28)
@ = @d
end,
wobei @d der rnit Hovertauschbare Anteil von e ist und e n d nicht rnit Hokommutiert :
[ @ d , H01 = O ,
[end,Hol
O.
(29)
Bus (27) und (22) folgt dann auch
+
L. KNOLL:
Die Berechnung von Erwartungswerten im Rahmen der Streutheorie
Wir setzen nun die Zerlegung (27) von $ O ) ( o , 0‘) in die G1. (26) fur
und beriicksichtigen nur den zu @d(w ) proportionalen Anteil.
Es ergibt sich dann folgende endgultige Formel :
2n
1
- -8PT
t
[cab),
+
d -
Q ein
2n
[x
S p ,od(w)T+(hw) d ( h o -Ho) Q T(hw)
(%G), = J dw
1
125
BP
1
red@),
QI+ T+(fiw) d(hw - H,)
QI {T+(ho)
+ T(hw))]
Dabei wurden in einem Zwischenschritt ed(w) Q und
Schema
1
AB=3+,Bl+
T(hw)
(31)
f
Q @ d ( w ) nach
dem
1
-+BI+
zerlegt und die G1. (14) benutzt.
6. Diskussion
:(
Auf Grund der Beschrankung unserer Rechnungen auf - Q
-Id
,also den zeit-
unabhangigen Anteil von $5, bewegen wir uns mit dem Ergebnis (31) in dem
Rahmen, indem sonst die zeitunabhangigen ubergangswahrscheinlichkeiten pro
Zeiteinheit berechnet werden. Fur eine genauere Diskussion betrachten wir folgende Wahl von @d und Q:
1
ni
= @d = -Pi,
Q = Qf.
(32)
Dabei sind Pi und Qf zwei Projektionsoperatoren und Up, sowie U a f die
zugehorigen Unterraume des HILBERT-Raumes (ni= Dimension von Up,). Wir
setzen weiter voraus, daB Up, ein Unterraum von U E i ) ist, wobei U ( E i ) von
allen zum Eigenwert Ea von H, gehorigen Eigenzustanden aufgespannt wird
(das entsprechende gilt fur U Q ~ ) .
Wegen
@
@d(o)=d
(33)
und
d ( h o - Ho)Q = d ( f i ~- H,) Qf = d ( h ~ Ef) Qf
(d”t
folgt aus (31) fur - Qf >d
d dt
= - Qf
$
(34)
(diese Gleichheit gilt wegen e = ed):
Physikalisch bedeutet Qf die ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit dafiir, dalj das System, welches sich vor der Streuung mit Sicherheit in dem
Unterraum Up, befand, in den Unterraum UQ,iibergeht.
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Dieser Ausdruckist wegen PiQf = QjPi = 0 fur Ei $; Ef nur fur Ei = Efvon
Null verschieden, Obergange sind also nur zwischen Unterraumen gleicher
Energie moglich.
Fur den Spezialfall
PiQf = QfPi
0,
(36)
also auch fur Ei = Ef sollen die Unterraume Up, und UQ, orthogonal zueinander
sein, geht (35) in die bekannte Formel
a-
- Qf
at
=
12n
S p Pi T+(Ei) b ( E i - E j ) QfT(Ei)
-Iti f
(37)
uber. Das wird besonders deutlich, wenn wir noch speziell
pi = li> <ill Qf = I f > ( f l
(38)
annehmen, wobei ) ; 1 und If) Eigenzustande von H, zu den Eigenwerten Ei und
Ef sind.
Dann wird aus G1. (37) (es gilt ni = 1)
Das ist das bekannte Resultat aus der Streutheorie [3]. Wir kehren nun zu
der Formel (35) zuruck, die wir folgendermafien interpretieren konnen. Bei der
Berechnung der ubergangswahrscheinlichkeit zwischen zwei Unterraumen ergeben sich Zusatzglieder gegeniiber dem Ergebnis, das man fur zueinander orthogonale Unterraume erhalt. Diese sind proportional dem Antikommutator
bzw. dem Kommutator von Pi und Qf und sind Ausdruck spezieller Interferenzeffekte, die ihre Ursache in der Nichtorthogonalitat der Unterraume Up, und
U Q , haben.
Zum SchluB diskutieren wir noch eine mogliche Anwendung der verallgemeinerten Formel (35) bzw. (31). Wir denken dabei an die Effekte der
Nichtlinearen Optik. Beispiele dazu sind die stimuherte RAMAN-Streuung
und die Erzeugung und Verstarkung der zweiten Harmonischen. Das Problem
kann so formuliert werden, daB Licht verschiedener Frequenzen auf ein atomares System geschickt wird und die Verstarkung oder Schwiichung der einzelnen Lichtstrahlen berechnet werden soll. Man fragt also nach der Anderung der Photonenzahl einer bestimmten Mode wahrend eincs Streuprozesses,
bei dem Licht z. B. an einem Molekul gestreut wird. Eine genauere Analyse,
iiber die in einer folgenden Arbeit [4]berichtet wird, zeigt, daB dann auch die
zusatzlichen Glieder in G1. (35) oder entsprechend GI. (31) beriicksichtigt werden
mussen.
SchlieBlich wollen wir noch darauf hinweisen, daB unser spezielles Beispiel
G1. (32) insofern hlle charakteristischen Eigenschaften der allgemeinen Formel
enthalt, als der allgemeine Fall stets als eine Superposition von Beitragen geschrieben werden kann, in denen Q und e d die Struktur (32) besitzen.
Herrn Prof. Dr. G. WEBERund den Mitarbeitern des Fachbereichs danke ich
fur wertvolle Diskussionen.
L. KNOLL:Die Berechnung von Erwartungswerten im Rahmen der Streutheorie
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Literaturverzeichnis
[l]
FWTON,
R. G., Scattering Theory of Waves and Particles, McGraw-HillBookCompany,
hew York 1966.
[2] GOLDBEROER,M.L.,
and K.M. WATSON,Collision Theory, John Wiley & Sons, Inc.,
New York 1964.
P., Advanced Quantum Theory, Addison-Wesley Publishing Company, Inc.,
[3] ROMAN,
Massachusetts 1966.
[4] KNOLL,L.,Ann. Phys., Leipzig 26 (1971) 128.
J e n a , Friedrich-Schiller-Universitat,Fachbereich Theoretische Physik.
Bei der Redaktion eigegangen am 26. Mai 1970.
Anschr. d. Verf.: Dr. rer. nat. L.KNOLL,
Univ. Jene Fachbereich Theoretische Physik
DDR-69 Jene, Max-Wien-Platz 1
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