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Die Beruhigung strend schwingender Wellenlager bei konstanter Erregerfrequenz.

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E.Hahnkamm. Beruhig. stiirend schwingender Wellenlager usw. 683
D2e Beruhigzung s t b r a d schwingen d e r Wellemlager
be4 konstanter Erregerfrequena I)
Von E r i c h Hahnnkarnrn
(Aus dem Institut fur angewandte Mechanik der Universitiit Gtittingen)
(Mit 10 Figuren)
I n h a l t : Es wird gezeigt, wie man die sttirenden Schwingungen
eines periodisch erregten Systems bei konstanter Erregerfrequenz durch
Kopplung mit Zusatzmassen beruhigen kann. Die f iir die Berechnung
geeigneter Konstanten, wie GrtiSe der Zusatzmasse, deren Eigenfrequenz und
die $ts;rke der Kopplung, notwendigen Beziehungen werden angegeben.
I. Einleitung
In Physik und Technik ist man haufig vor die Aufgabe
gestellt , stSrend wirkende Schwingungen eines periodisch erregten Systems zu dampfen. Urn ein solches Schwingungssystem zu beruhigen, kann man das erregte System mit einem
zweiten System auf verschiedene Art koppeln. Wird die
Kopplungsart und das zweite System geeignet gewahlt, so kann
die Amplitude der stiirenden Schwingung des erregten Systems
wesentlich verkleinert werden. Grundsatzlich hat man zwei
Falle zu unterscheiden, die eine getrennte Behandlung erfordern.
I. Fall: Die erregende Frequenz ist konstant oder sie
schwmkt nur in einem sehr engen Bereich.
11. Fall: Die erregende Frequenz kann beliebige, zeitlich
veriinderliche Werte annehmen.
Es la6t sich zeigen, da6 man im ersten Fall vorteilhaft
Kraft- oder Tragheitskopplung2) anwendet, wiihrend man die
Amplitude des erregten Systems im zweiten Falle ohne Zuhilfeiiahme von Reibungskopplung nicht fur alle erregenden Frequenzen klein halten kann. Den folgenden Ausfuhrungen sol1
1) Vortrag, gehalten auf der Tagung des Gauvereins Niedersachsen
der Deutschen Physikalischen Gesellschaft in Braunschweig vom 13. bis
14. Februar 1932 und am 22. Januar 1931 im Prandtlschen Seminar,
Universitiit G6ttingen.
2) Vgl. auch E. H a h n k a m m , Werft, Reederei, Hafen XIII. Jahrg.
1932. S. 2-7 und 23-25.
44 *
+.z;
Iq,
m1
1) Niiheres uber die verschiedenen Kopplungsarten findet man in
dem Aufsatz von M. S c h u l e r , Werft, Reederei, Hafen, IX. Jahrg. 1928.
Heft 14.
2) 0. F 6 p p l , Schwingungsdgmpfer fur Kurbelwellen , IngenieurArchiv lY30, 5. 223 und ,,Forschung" 1931, S. 124.
3) J. O r m o n d r o y d u. J. P. D e n H a r t o g . The Theorie of the
Dynamic Vibration Absorber, Transactions of the American Society of
Mechanical Engineers, APM-60-7.
E. Hahnkamm. Beruhig.storend schwingender Welbnlager usw. 685
beseitigt werden, so kann man dies, wenn kein anderer Weg
moglich ist , bis zu einem gewissen Grade dadurch erreichen,
daS man eine Zusatzmasse mII mittels einer Feder C an einer
Lagerschale L der Welle derart hinzufugt, daB die mogliche
Schwingungsrichtung der hinzugefugten Masse in die Richtung
der storenden Schwingung fallt. In Fig. 2 sind diese physikalischen Verhaltnisse schematisch wiedergegeben. Welle,
Lagerschale und Trager sind die erregte Masse m,. Die
Feder c, stellt die Kraft dar, durch welche Welle, Lagerschale
und Trager an ihre Ruhelage gebunden sind. Die Zusatzmasse m,, ist durch die Masse m,, dargestellt. Diese Masse
ist an m, durch die Kopplungsfeder C gefesselt. Es liegt hier
Kraftkopplung vor. Durch die Feder cII ist die Masse m,, an
eine raumfeste Lage gebunden. I n Fig. 1 ist die Zusatzmasse
so dargestellt, als ob sie nicht
an eiue raumfeste Ruhelage
gehalten wiirde. Die in den
Figuren eingezeichneten Pfeile
deuten die mogliche Schwingungsrichtung der beiden Systeme an. Es ist nun zu ermitteln, wie stark die Federn C
und cIIund wie groS die ZusatzFig. 3. Eine Welle mit einer
masse m,, zu wahlen sind, damit
ZuSatmasse R baftgekopPelt
die dampfende mlirkung fur die
vorgegebene Drehzahl der Welle
moglichst giinstig ist. Mit den gleichen Mitteln wie geradlinig
schwingende Systeme lassen sich auch Drehschwingungssysteme
dampfen. Ein Anwendungsbeispiel solcher Art ist in Fig. 3
wiedergegeben. Eine Welle fiihrt Torsionsschwingungen um
ihre Achse aus, diese Schwingungen sind der Drehbewegung
cler Welle iiberlagert. Um diese storenden Torsionsschwingungen
zu dampfen, kann man eine Zusatzmasse in Form einesRades R
anbringen, das konzentrisch auf die Welle gesetzt ist, ohne
jedoch mit ihr fest verbunden zu sein. Das Rad R moge
praktisch reibungslos auf der Welle gleiten konnen, was man
z. B. durch Kugellager genugend gut erreichen kann. Aber
das Rad sei durch Federn C relativ zur Welle nur beschriinkt
beweglich. Durch diese Federn G sind Welle und Rad kraftgekoppelt. Es ist zu untersuchen, wie das Rad angebracht
werden mu8, wie stark die Federn C sein mussen und wie
groB das Rad zu wahlen ist, damit die Torsionsschwingungen
der Welle moglichst stark gedampft werden. Die folgenden
Ausfuhrungen mogen an Hand der Fig. 2 durchgefuhrt werden.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 14. 1932
686
111. Erklarung der verwendeten Beseichnungen
Es sollen die benutzten GroBen erl’autert werden, wobei
gleichzeitig angegeben werden wird, wie man sie messen kann.
Es bedeuten:
5, bzw.
m,
m,,
c,
c,,
T,
C
z,, = Ausschlage des ersten bzw. zweiten Systems aus
der Ruhelage.
= Masse des ersten Systems, welches periodisch erregt
wird. Man ermittelt die GroBe der Masse durch Wagung.
= Masse des zweiten Systems, welches dem ersten zur
Dampfung der storenden Schwingungen hinzugefugt ist.
Man kann die Gro6e der Masse des zweiten Systems
durch Wagung ermitteln.
= Richtkraft des ersten Systems. Man kann c, durch
Messung der Schwingungszeit des ersten Systems bewz . 4 n *
bestimmen,
stimmen mittels der Beziehung: c, =
TI*
wobei die Kopplungsfeder C zu beseitigen ist.
= Richtkraft des zweiten Systems, wenn die Kopplungsfeder entfernt ist. Man kann c,, entsprechend wie c,
messen.
bzw. TI, = Eigenschwingungszeiten des ersten bzw. zweiten
Systems. Die Eigenschwingungszeiten seien durch die
folgenden Beziehungen definiert :
= Federkonstante und Starke der Kraftkopplung. C mi&
man z. B. folgendermaBen: Man entfernt die Feder c,,,
welche m,, an den Raum fesselt, hiilt m, fest und mi6t
so die Schwingungszeit T,, womit man C nus den Be-
1’
= Maximalwert der auf das erste System erregend wirken-
den Kraft.
= Periode der auf das erste System erregend wirkenden
Kraft.
-4 = Amplitude des ersten Systems.
B = Amplitude des zweiten Systems.
R,, = Resonanzfunktion eines ungekoppelten Systems.
IZ, = Resonanzfunktion des ersten Systems bei vorhandaner
Kraftkopplung.
R,, = Resonanzfunktion des zweiten Systems bei vorhandener
Kraftkopplung.
E. Hahnkamm. Beruhig. storend schwingender Wellenlager usw. 687
Als dimensionslose Gro8en werden eingefuhrt:
IV. Ziel der folgenden Untereuchungen
Ein ungekoppeltes System l), welches periodisch erregt
wird, hat eine Resonanzstelle, a, = vI. Die Amplitude des ungekoppelten Systems wird bekanntlich durch die Beziehung
gegeben :
1
P
A= P
(2)
CI
1 - 7*
c, Ro *
R., ist die Resonnnzfunktion eines ungekoppelten Systems. Fur
eine bestimmte erregende Frequenz wird das System mit endlicher Amplitude schwingen, ausgenommen erregende Frequenz
und Eigenfrequenz des Systems sind gleich, dann wird die
Amplitude theorctisch unendlich grog. Es ist jetzt zu untersuchen, wie man die Schwingungsausschlage des erregten
Systems durch Kopplung mit einem zweiten System moglichst
klein machen kann, wobei die erregende Frequenz als vorgegeben anzunehmen ist
und naturlich auch gleich
der Eigenfrequenz des ungekoppelten Systems sein
kann. Es wird sich zeigen,
daB die Amplitude sich
auch in diesem Falle durch
die Kopplung des erregten
Systems mit einer Zusatzmasse klein halten 1aBt.
I n Fig. 4 ist die mit 1 Fig. 4. Resonaozkurven eines erregten
bezeichnete Kurve die Re- Systems fur die Kopplung Null und
sonanzhrve
cines ungefur eine endliche Kopplungsstiirke
koppclten Systems. Als Abszisse ist die auf die Eigenfrequenz des erregten Systems bezogene erregende Frequenz aufgetragen und als Ordinate der
Absolutwert der Resonanzfunktion.
-.-=-.
V. Die Aufstellung der Reeonanxfunktionen
Die Differentialgleichungen, denen die erzwungenen
Schwingungen zweier kraftgekoppelter Systeme genugen, lauten :
m l q + c , ~ , C (zI- z,J = P e i w t ,
_____ m,, + c,, z,, + c * (ZII - 5,) = 0 .
+
-
1) Vgl. S. 3 der in FuBnote 2 S. 683 angegebenen Arbeit.
688
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 14. 1932
Mittels des Ansatzes:
(4)
2, = A e i m t und z,, = B e ' m t
erhalt man nach Einfiihrung der in G1. (1) definierten dimensionslosen GroBen fur die Amplituden der beiden Systeme die
Gleichungen
Diese Gleichungen haben die Form:
R,, und RIIc sind die Resonanzfunktionen der beiden durch
Kraftkopplung verbundenen Systeme , von denen das erste
System durch eine Kraft P periodisch erregt wird. Die
Resonanzfunktionen hangen von den verschiedenen Konstanten
ab und sollen aufgefaBt werden als Funktionen der einzigen
unabhangigen Veranderlichon y. Dies steht nicht etwa im
Widerspruch zu unserer Annahme, daB die erregende Frequenz
als konstant vorausgesetzt wird. Die erregende Frequenz kann
vielmehr jeden beliebigen, aber dann konstanten Wert annehmen. Die Resonanzfunktionen geben diejenige Zahl an,
mit welcher man den statischen Auslenkungswert des erregten
Systems bei dauernd wirkender Kraft (o= 0) multiplizieren
muB, urn die Amplitude fur eine beliebige Prequenz o der
erregenden Kraft zu erhalten. Die Indizes sollen das System
bzw. die Art der Kopplung anzeigen. E s geniigt naoh dem
Gesagten, die Resonanzfunktionen zu erijrtern. Die Resonanzfunktionen lauten:
VI. Die Werte der Resonanzfunktionen fiir die Grenzwerte
der verschiedenen GroBen
Durch einige Grenzbetrachtungen ermittelt man leicht den
ungef ahren Verlauf der Besonanzkurven und bestiitigt in einigen
Fallen die Richtigkeit der Funktionen.
E. Hahnkamm. Beruhig. stiirend schwingender Wellenlagerusw. 689
1. G r e n z w e r t e von 7
Mit y
--t
0 folgt:
Bei dauernd wirkender Kraft ist die Resonanzfunktion des
ersten Systems bei vorhandener Kraftkopplung kleiner als 1,
dieses Ergebnis steht im Gegensatz zur Reibungskopplung ')
und auch zur Tragheitskopplungz), bei denen bei dauernd
wirkender Kraft die Resonanzfunktion des ersten Systems den
Wert 1 annimmt. Die Resonanzfunktion des zweiten Systems
wird bei dauernd wirkender Kraft ebenfalls kleiner als 1,
aber griiBer als Null, ein Ergebnis, das ebenfalls von demjenigen
bei Reibunga- und Triigheitskopplung abweicht, in welchem
Falle namlich die Resonanzfunktion des zweiten Systems bei
dauerndwirkender Kraft den T e r t Null annimmt. Auf dieses
abweichende Verhalten der Kraftkopplung gegeniiber den beiden
anderen Kopplungsarten griindet sich ein sehr einfaches Kriterium zur Feststellung et wa vorhandener Kraftk~pplung.~)
Mit y
-
00
folgt:
RlC y-tmt 0
und Rl,, mf
0.
Das Ergebnis, welches mit denen bei den anderen Kopplungen
iibereinstimmt, ist einleuchtend. Die Systeme kiinnen infolge
ihrer mechanischen Tragheit dem schnellen Wechsel der Xraft
in der Bewegung nicht folgen. Aus diesen beiden Grenzfallen
von y folgt also, daB alle Funktionskurven mit wachsendem y
gegen Null streben und mit kleinerwerdendem y gegen einen
Wert kleiner als 1 und griiBer nls Null gehen.
(9)
2. G r e n z w e r t e v o n c
Mit c
--f
0 folgt:
1) Vgl. E. H a h n k a m m , Die erzwungenen Schwingungen zweier
reibungsgekoppelter Systeme, Ztschr. f. angew. Math. u. Mech. 12. 1932.
2) Vgl. die in FuBnote 2 S. 683 erwtihnte Arbeit.
3) Das erwghnte Kriterium stammt von M. S c h u l e r , Ztschr. f.
techn. Phys. 10. S. 369-373. 1929.
690
Annabn der Physik. 5. Folge. Ba.nnd 14. 1932
Das Ergebnis ist klar und beweist zu einem Teil die Richtigkeit der Resonanzfunktionen. Wird die Kopplung immer
schwacher, so mug das erste System erregt werden, als ob
kein zweites System vorhanden ware, die Resonanzfunktion
mug also gleich Ro werden, vgl. GI. (2). Und das zweite
System wird nicht mehr ausgelenkt, weil es mit dem ersten
System keine physikalische Bindung mehr hat.
Mit c -+ m folgt:
Wird die Kopplung unendlich stark, so kaun keine relative Bewegung der Systeme gegeneinander mehr erfolgen.
Beide Systeme sind zu einem Einzelsystem geworden und
dieses System wird erregt wie ein ungekoppeltes System mit
der Resonanzstelle:
(12)
1
3. G r e n z w e r t e v o n p 2 = -
Mit pz -+
0 folgt:
P
Wird das zweite System unendlich klein, so iibt es keinen
EinfluB auf das erste System mehr aus und es macht die
gleichen Bewegungen wie das erste System.
Mit p2 --f
m folgt:
Wird das zweite System unendlich grog, so wird es selbst
nicht rnehr erregt und das erste System wird um so weniger
erregt, je fester es an dds zweite System gekoppelt ist.
4. G r e n z w e r t e v o n S
Mit S
--f
0 folgt:
6 = 0 bedeutet physikalisch, daS das zweite System nicht
mehr an den Raum gefesselt ist.
E. Hahnkamm. Beruhig. st2irend schwingender Wellenlagerusw. 691
Mit 6
--t
00
folgt:
6 --f 00 entspicht vlr--t 00 oder das zweite System ist
unendlich fest an den Raum gefesselt. Praktisch heiBt dies,
es ist mit einer sehr groBen Masse fest verbunden, oder also,
es ist selbst unendlich grog geworden. Dieser Grenzfall wird
sich mit dem Grenzfall p -+ 00 decken. Die G1. (16) und die
G1. (14) zeigen dies auch. Das zweite System selbst wird nicht
mehr erregt, das erste System wird um so weniger erregt, je
starker es mit dem zweiten System gekoppelt ist.
VII. Die Resonansetellen der beiden Syateme
Wie die G1. (7) zeigen, sind die Nenner der Resonanzfunktionen gleich. Die Resonzanfunktionen werden also beide
gleichzeitig unendlich, wenn der Nenner Null wird. Wird der
Ausschlag des einen Systems theoretisch unendlich groB, so
wird es auch der Ausschlag des anderen. Die Resonanzstellen der beiden Systeme werden gegeben durch die Gleichungen:
Durch die Kopplung ist die Resonanzstelle des ungekoppelten Systems in zwei Resonanzstellen aufgespalten. Die
Abszisse der Resonanzstelle mit der groBeren Abszisse, also
y T W , ist stets groBer als 1, sie hat also einen Wert, welcher
groBer ist als die Abszisse der Resonanzstelle des ungekoppelten Systems. Die Abszisse der Resonanzstelle mit der
kleineren Abszisse, also y1-, kann groBer, gleich und kleiner
sein als 1. y l e = 1 bedeutet, die Abszisse der Resonanzstelle
des ungekoppelten Systems ist gleich der Abszisse der linken
Resonanzstelle des gekoppelten Systems. Dies tritt dann und
nur dann ein, wenn d; = 1 ist, d. h. also, wenn vI= v,, ist.
Dabei ist es gleichgiiltig, welche speziellen Werte die Konstanten c und p 2 haben. Vgl. auch die Fig. 9, deren Erklirung weiter unten gegeben ist. Daraus folgt, daB bei volliger
Abstimmung der beiden Systeme aufeinander (v, vl,l das
starke Anwachsen der Amplitude des ersten Systems f u r y c 1
nicht vermieden wird. Es ist lediglich die Breite des Resonanzgebietes urn einen gewissen Betrag verkleinert. Und zwar
I
692
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 14. 1932
wird das Resonanzgebiet mit wachsendem c kleiner. Die Resonanzkurve des erregten Systems strebt von der Kurve I
(c = 0) der Fig. 5 gegen die Kurve III (c -00).
Die Ordinaten
der Resonanzkurve c = co sind im Verhaltnis 1:(1 + p2)
gegeniiber den Ordinaten der ursprunglichen Resonanzkurve I
(c = 0) verkiirzt. Dieses folgert man aus der Q1. (ll), wenn
man fur 6 den Wert 1
einsetzt. In der Fig. 5 ist
die Resonanzfunktion des
ersten Systems uber y aufgetragen. Der Einfachheit halber ist der Absolutwert der Funktion wiedergegeben. Die Kurve II
stellt eine Resonanzkurve
des
erregten Systems
bei endlicher KopplungsFig. 6. Resonanzkurven des erregten starke dar. 1st vI = vII, so
Systems fur verschiedene Kopplungs- wird, ein kleiner Abszissenstarken bei Gleichheit der Eigenbereich ausgenommen ,
schwingungszahlen der Zusatzmasse der Ausschlag des ersten
uod des Hauptsystems
Systems um so kleiner
werden, je starker es mit
dem zweiten System gekoppelt ist, um mit unendlich starker Kopplung
gegen einen von der GroBe
des zweiten Systems abhangenden Grenzwert zu
streben. Umgekehrt liegen
die Verhaltnisse beim
zweiten System. F u r den
Fall d = 1 werden mit
Y
Fig. 6. Besonanzkurven der Zusatz- wachsender
Kopplungsmasse fur die der Fig. 5 zugrunde starke die Ausschlage des
gelegten Verhaltnisse
zweiten Systems groBer,
um mit unendlich starker
Kopplung gegen die gleiche Grenzkurve zu streben, wie das erste
System. Vgl. hierzu die Pig. 6. Wird die Kopplung immer
schwacher, so werdeii die Ausschlage des zweiten Systems immer
kleiner, urn rnit gegen Null strebender Kopplungsstarke gegen
Null zu streben. Dabei artet die Breite der Resonanzstelle des
zweiten Systems in eineu Strich Bus. Far Kurve I ist c = 0,
fur Kurve I I hat die Kopplungsstarke c einen endlichen Wert
E. Hahnkamm. Beruhig. storend schwingender Wellenlagerusw. 693
und fur Kurve I I I ist c = 00. Wie die Abszissen der Reso1
nanzstellen von den Konstanten S, c, p2 = - abhangen,
c4
zeigen die Fig. 7 , 8, 9. I n Fig. 7 sind die Abszissen der
Resonanzstellen uber die Kopplungsstarke c aufgetragen. Die
scliraffierten Kurven stellen die rechte (ytm) und die ausgezogenen Kurven die linke ( y l-) Resonanzstelle der beiden
Systeme dar. Es sind die Kurven fur verschiedene Werte
der beiden anderen Konstanten 8 und p2 aufgetragen. Die
beiden jeweils zusammengehorigen Kurven sind durch gleiche
Bezeichnung kenntlich gemacht. Als wesentliches Ergebnis
ist festzustellen, daB mit wachsender
Kopplungsstirke c die Abszisse der rechten Resonanzstelle (yyD0)gegen unendlich
Fig. 7. Die Abszissen
der beiden Resonanzstellen in Abhangigkeit von der Kopplungsstiirke e
Fig. 8. Die Abszissen
der beiden Resonsnzstellen in Abhangigkeit vom Verhiiltnis
der MassengiiEe
beider Systeme
Fig. 9. Die Abszissen
der beiden Resonanzstellen in Abhiingigkeit von dem VerhBltnis der EigenfrequenZen beider Systeme
groBe Werte strebt. Sind die beiden Systeme unendlich fest
miteinander gekoppelt, so existiert nur noch eine reelle Resonanzstelle, das ist die linke, deren Abszisse mit wachsendem c
gegen einen von S und p2 abhangigen, im ubrigen aber festen
Wert strebt. Vgl. hierzu G1. (12) und das dort Gesagte. I n
Fig. 8 sind die Abszissen der Resonanzstellen der beiden Sy1
steme uber
= - aufget,ragen. Man sieht, daB mit kleiner
P2
werdendem zweiten System die Abszisse der rechten Resonanzstelle gegen groSe Werte strebt. 1st das zweite System
unendlich klein geworden, so ist nur noch eine reelle Resonanzstelle vorhanden, namlich die linke, deren Abszisse mit
c2
694
Annalen der Physik. 5. Folge.
Band 14. 1932
--f
0 gegen den Wert 1 strebt, also gegen die Resonanzstelle des ungekoppelten Systems, wie auch zu erwarten ist.
I n Fig. 9 sind die Abszissen der Resonanzstellen uber 6 aufgetragen. Mit wachsendem 5 strebt die Abszisse der rechten
Resonanzstelle gegen groBe Werte, um mit S --f 00 auch gegen
unendlich groBe Werte zu streben. Man stellt ferner fest,
daB fur 6 = 1 die Abszisse der linken Resonanzstelle fur
alle Werte der beiden Konstanten p2 und c den Wert 1 annimmt, wie bereits weiter oben bemerkt worden war.
pa
VIII. Kleinstwerte der ResonanBfunktionen
Die Resonanzfunktion des ersten Systems hat die Nullstelle:
c + p’ fie .
(18)
Yo2 =
IC=
Die Resonanzfunktion des zweiten Systems hat keine
Nullstelle, aber sie hat ein Minimum, dessen Abszisse man in
bekannter Weise durch Differentiation gewinnt und welche den
Wert hat:
Das Minimum des zweiten Systems hat eine grogere oder
kleinere Abszisse als die Nullstelle des ersten Systems, je
nachdem, ob der folgende Ausdruck kleiner oder groBer als
Null ist:
pZ(S2- 1) c(1 - pa).
(20)
Ein bekannter Satz aus der Theorie gekoppelter Schwingungssysteme besagt fur zwei Systeme, daB das erste System
fur diejenige Frequenz eine Nullstelle hat, fur welche das
zweite System bei festgehaltenem ersten System eine Resonanzstelle hat. 1st also die Nullstelle des ersten Systems:
+
und ist die Resonanzstelle des zweiten Systems bei festgehaltenem ersten System:
so folgt durch Einsetzen der Definitionswerte fur die Konstanten woI = mmII, womit der erwahnte Satz fur zwei Systeme
in unserem E’alle bewiesen ist.
E. Hahnkamm. Beruhig. storend schwingender Wellenlagerusw. 695
IX. Festpunkte der beiden Resonanzfunktionen
Die Resonanzfunktionen G1. (9) haben die Form:
wo a, b, e, f unabhlngig von dem Kopplungskoeffizienten c
sind. Die Bedingung fur die Unabhangigkeit einer solchen
Funktion von c ist:
(22)
a.f= b . e .
Die Bedingungsgleichung (22) liefert die Koordinaten fur
die Festpunkte der beiden Resonanzfunktionen. Unter Festpunkten einer Resonanzfunktion hat man also Punkte zu verstehen, deren Koordinaten unabhangig von dem jeweiligen
Wert des Kopplungskoeffizienten sind. Lost man die G1. (22)
nach y auf, so erhalt man die Abszissen der Festpunkte.
F u r das erste System erhalt man:
(23)
y=a.
Und zwar ist dies eine Doppelwurzel der G1. (22), so daB
der Festpunkt mit der Abszisse y = 8, dessen Ordinate, wie
man leicht nachrechnet, den Wert:
(24)
hat, ein Beriihrungspunkt aller Funktionskurven mit beliebigem c
ist. Wie man sieht und wie man aus der G1. (7) auch entnimmt, ist fur y = S die Resonanzfunktion des ersten Systems
auch unabhHngig von pa. Das erste System wird fur diesen
Wert von y erregt, als ob kein zweites System vorhanden ware.
Fiir das zweite System hat man die Festpunkte:
Y = l ,
F u r y = S werden also beide Systeme fur alle Kopplungswerte und alle Werte von p2 gleich stark erregt. Dabei
sind allerdings in den Grenzen (fur unendlich kleine Werte
von c z. B.) Unstetigkeiten vorhanden.
X. Die Schnittpunkte beider Reeonanafunktioneu.
Wie man aus den G1. (7) folgert, ist der Absolutwert der
Resonanzfunktion des ersten Systems gr6Ber als der Absolutwert der Resonanzfunktion des zweiten Systems, sobald
696
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 14. 1932
I c + pa(a2- y2)I > c wird. F u r y = iY sind die Werte beider
Resonanzfunktionen gleich. Die Funktionskurven beider Systeme schneiden sich in diesem Punkt. F u r y < 6 ist der
Absolutwert der Resonanzfunktion des ersten Systems groBer als
der Absolutwert der Resonanzfunktion des zweiten Systems. Fur
y2 = 2 c
ist I R , c J= 1 R l l e J ,dies ist der zweite SchnittEl
punkt beider Funktionskurven. F u r
+r2'*
Und IR,, I ist kleiner als
p < y 2 < P4(J4f2 c .
I R,,, I
in dem Frequenzbereich
P4
Resonanzkurven der hier beschriebenen Art sind fur das
erste System die Kurven II in den Fig. 4 und 5, fur das
zweite System die Kurven II in den Fig. 6 und 10.
Fig. 10. Resonanzknrven der Zusatzmasse fur die Kopplung Null,
fur a-feste Kopplung und fir einen endlichen Wert der Kopplungsstiirke
XI. Die giinetigete Wahl der verfiigbaren Konetanten
Es sind nach der gestellten Aufgabe die Konstanten so
zu wiihlen, daB der Absolutwert der Resonanzfunktion des
erregten Systems fur die erregende Frequenz o = oo und in
unmittelbarer Nahe von coo moglichst klein ist.
Die Untersuchung ergibt nun, daB der Absolutwert cier
Resonanzfunktion fiir ein 6 0 in dem Frequenzbereich
y1 oo < y < y2= stets gr68er ist als der Absolutwert der Funktion fur S = 0. Man stellt gleichzeitig fest, daB der Absolutwert von RIc fur B 0 kleiner ist als der Absolutwert von
R I c fur 6 = 0 in den Frequenzgebieten y < ylm und yzo0 < y.
Daraus folgt fur die Praxis, daB man die Feder c,~ (vgl. Fig. 2)
zu entfernen hat, wie dies in Fig. 1 auch richtig dargestellt ist. c ist nach G1. (18) so zu wahlen, daB y = yo wird.
Rechnet man in bekannter Weise den Differentialquotienten von R , , nach y aus und setzt fiir y den Wert yo ein,
+
+
E. Hahnkamm. Beruhig. storend schwingenderWellenlagerusw. 697
f u r c den Optimumswert und fur 3' Null, so erhalt man die
Beziehung :
Man sieht, daB die Neigung der Resonanzkurve des erregten Systems im Nullpunkt der Funktion um so flacher ist
- das ist naturlich anzustreben - j e grober p2, also das
zweite System, ist. Aus dieser Beziehung kann man f u r
praktische Falle leicht entnehmen, wie weit es sich lohnt, p*
zu vergrobern. AuBerdem erkennt man, dab es f u r die Beruhigung eines erregten Systems vorteilhaft ist, wenn die erregende Frequenz moglichst groBer als wI ist.
Hinsichtlich der GroBe der Zusatzmasse, die sich vor
allem nach ihren statthaften Ausschlagen richtet, ist xu bemerken, daB lRIel f u r ein groBeres pa in dem. Gebiet
y1 < y < y2 kleiner und in den Frequenzbereichen y < ylw
und yz0 < y groBer ist als I R,,I fiir ein kleineres p2. F u r
die Resonanzfunktion des zweiten Systems hat man noch die
Beziehung :
Q)
welche die bereits erwahnte Tatsache ausdruckt, daB auch die
Zusatzmasse urn so weniger schwingt, je groBer sie ist und
mit je groBerer Frequenz das erste System erregt wird.
XII. Zueammenfaeeung der Ergebnieee
Wird ein durch eine periodische Kraft erregtes System
durch Kraftkopplung mit einem zweiten System verbunden,
so hat man bei Vernachlassigung aller Reibung folgende Erscheinungen :
Die urspriingliche Resonanzstelle des ungekoppelten Systems wird in zwei Resonanzstellen aufgespalten. Die neuen
Resonanzstellen treten im allgemeinen fur eine andere erregende Frequenz auf wie die urspriingliche. Sind indessen
die Schwingungszeiten des erregten Systems und des hinzugefugten Systems einander gleich, so tritt die Resonanz fur
die gleiche erregende E'requenz wie beim ungekoppelten System
auf. Der Frequenzbereich der erregenden Kraft fur groBe
Ausschliige wird lediglich kleiner und auBerdem tritt noch
eine zweite Resonanzstelle auf. F u r eine ganz bestimmte
Frequenz macht das erregte System sehr kleine Ausschlage,
die, wenn uberhaupt keine Reibung vorhanden ware, Null sein
Annalen der Physik. 5. Folge. 11.
46
698
Annabn der Physik. 5. F o l p Rand 14. 1932
wiirden. Man kann also die Kraftkopplung vorteilhaft anwenden, wenn die erregende Frequenz konstant ist oder zumindest nur sehr wenig von einem bestimniten Wert abweicht.
Dann wird man die Konstanten so wiihlen, daB die Abszisse
der Nullstelle gleich der auf vI hezogenen, erregenden E’requenz wird. Die Eigenschwingungszahl der Znsatzmasse ist
gleich Null zu wahlen, d. h. das zweite System hat auger der
Bindung durch die Kopplungsfeder keine weitere. Welche
Wirkung die GrijBe der Zusatzmasse auf die Scliwingungen
beider Systeine ausiibt, ist gezeigt. Es ist bemerkenswert,
da6 ein niit seiner Eigenfrequenz erregtes System, welches also
ohne Zusatzniasse sehr stark schwingen wiirde, mit den
gleichen Mitteln zu beruhigen ist, als wenn erregende Frequens
und Eigenfrequenz nicht gleich sein wiirden. Ferner ist es
von Bedeutung, daB die Schwingungen des erregten Systems
auch noch klein bleiben, wenn die erregende Frequenz um
einen gewissen Mittelwert schmankt. F u r diesen Fall werden
die Schwingungsausschlage urn so weniger auwachsen, je grijBer
die Zusatzmasse ist. Auf den Einwand, die durch die periodische Kraft den beiden Systemen zugefiihrte Energie rniiBte
sich doch irgendwie in einem Anwachsen der Schwingungsausschliige zu erkennen geben, ist zu sagen, daB durch die
Kopplungsart zwar theoretisch keine Schwingungsenergie den
beiden Systemen entzogen wird, aber die Zusatzmasse wirkt
durch die gegebene Kopplung als Steuer. Sie ubt eine mit
der Zeit veranderliche Kraft auf das erregte System derart
aus, daB dieses bei geeigneter Wahl der Konstanten theoretisch
nicht mehr schwingt. W e die Schwingungen eines mit
veranderlicher Frequenz erregten Systems zu dampfen
sind, ist in einer noch unveroffentlichten Arbeit bereits behandelt worden.
(Eingegangen 18. Juni 1932)
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