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Die Bestimmungen der dielektrischen und magnetischen Eigenschaften inhomogener Dielektriken insbesondere biologischer Krper im Dezimeterwellenbereich.

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Die Bestimmungen der dielektrischen und magnetischen Eigenschaften
inhomogener Dielektriken, insbesondere biologischer Kcrper,
im Dezimeterwellenbereich 1). N
Der Einflufl v o n Halterungen a m E n d e v o n Lecherleitungen
Von Nerrnann Schwan
(Mit 3 Abbildungen)
Inhaltsiibersicht
In der vorliegenden Arbei wird untersucht, wie eine am Ende einer MeBleitung
befindliche Halterung bei der Bestimmung von BlindwiderstZlnden zu beriicksichtigen ist. 'Die Ergebnisse konnen wie folgt formuliert werden :
1. LaBt sich die Halterung durch eine verlustlose, vom AbschluB praktisch
unabhiingige Kapazitiit C, ereetzen, so folgt fiir den ohne Beriicksichtigung der
Halterung begangenen Relativfehler der Wert tg (2 n/A) 1, * tg (2 n/A)(1 Z,),
wenn 1 und 1, die durch AbschluB und Halterung bedingten Verschiebungen der
Spannungsverteilung sind. Der Relativfehler ist also vor allem hei den Abschliissen groB, die eine grol3e Verschiebung bedingen. Er mulj, dies ist das Ergebnis einiger quantitativer Angaben, bei nicht gut abgeglichenen Halterungen
unbedingt erfal3t werden.
2. Eine Halterung ist nur dann reflexionsfrei, wenn die durch sie bedingten
Verschiebungen der Spannungsverteilung bei offenem und gesch~ossenemLeitungsende den gleichen Betrag haben, und umgekehrt bedingt Gleichheit der Verschiebungen Reflexionsfreiheit. Die Spannungsverteilung bei Leerlauf ist dann
genau uni 214 gegen die bei KurzschluB vorliegende verschoben.
+
3. Jede Halterung, deren Wellenwiderstand kleiner als der der Leitung ist,
(,,kapazitive" Halterung) kann durch eine dem AbschluB parallel geschaltete Kapazitat ersetzt werden. Diese Hapazitat ist urn so geringer vom AbschluB abhiingig,
je diinner die Halterung und j e kleiner ihr DK-Wert sowie ihr Wellenwiderstand
ist. Sie ist monoton abhangig von der durch den AbschluD bedingten Verschiebung. Es werden die Beziehungen fur den EinfluB der Halterung und die GroBe
der Ersatzkapazitat abgeleitet. Ferner wird angegeben, wie das Wellenwiderstandsverhaltnis einfach bestimmt werden kann.
4. Jede Halterung, deren Wellenwiderstand grol3er als der der Leitung ist,
(,,induktive" Halterong) kann dwch eine mit dem Abschlulj in Reihe gelegte
Selbstinduktion ersetzt werden. Im Gegensatz zu der Ersatzkapazitat kapazitiver
Halterungen ist diese Selbstinduktion stark voni AbschluB abhangig. Wiihrend
also bei nicht zu schlecht abgeglichener kapazitiver Halterung dieselbe in guter
1)
2)
Ausziig ~ L U Sdcr Frankfurter Habilitationssc'lrift
H. S c h w n n , Fiat Report Wr. 1099.
2).
H . 8chzcan: Der EinfluP yon Halterungen
ant
Ende con Lecherleitungen
269
Niiherung durch eine koiistaiite Kapazitat darstellbar ist, kaiin Entsprechendcs
hei induktiven Halterungen nicht durchgefuhrt werden.
5. Die Wirkung eiiier ideal kapazitiven Halterung kaiin auch bei beliebigem
komplexein LeitungsabschluB leicht angegebeii werden. Die Korrektur der Leit
fiihigkeitskomponente, die durch die Halterung bedingt wird, ist gering. Sie ist
am groBten fur W = 0 und fur groBe W-Werte praktisch gleich Null. Die Korrektur
der Blindkomponente dagegen ist fur W = 0 zwar geringer als die Leitfahigkeitskorrektur, wird mit ansteigendem W ebenfalls zunachst kleiner, um dann aber
betrachtlich anzusteigen. Die Erfassung der durch die Halterung bedingten Korrekturen geschiebt am einfachsten dadurch, daB in den ohne Halterungen gultigen
Gleichungen die VerschiebungsgroBe 1 um den durch die Halterung. hedingten
Wert lo vermehrt und die Blindkomponente um die Halterungskapazitiit C,, korrigiert wird.
I. Einleitung
MeBleitungen, niit deren Hilfe komplexe Widerstiiiide bei Dezinieterwellen
hestimmt werden konnen, werdeii mekt konzentrisch ausgefuhrt und arbeiten
nach dem Abtastverfahren. Bei diesem wird mit einer Iangs der Leitung gleitenden
Sonde die Spannungsverteilung aufgenommen. Es ist hierbei besonders wichtig,
daB der Abstand der auf dem AuBenleiter beweglichen Sonde vom Iniienleiter
bei der Fuhrung der Sonde exakt eingehalten wird, d. h. daB die Lage des Iimenleiters an keiner Stelle auch nur geringfugig exzentrisch ist. Bei Leitungen mit
einer Gesamtlange voii mehr als 1 m, wie sie fiir Messungen mit Rcllenlangen uber
50 cm erforderlich sind, kanci dies nur mit Hilfe niehrerer Stutzen erreicht werden.
Die Bedeutung einer solchen Halterung fur die Spannungsverteilung Iangs einer
Leitung hangt nicht nur von ihren Dimensionen, sondern auch von ihrer Lage beziiglich der Spannungsverteilung ab. So gibt es ,,kapazitive" Halterungen, die
vor allem in einem Spannungsbauch, und ,,induktive" Halterungen, die in einem
Strombauch die Verteilung beeinflussen (5. u.). l h nun die Lage der Spannungsund Stromverteilung eine Funlrtion des AbschluBwiderstandes ist, folgt eine Abhangigkeit der storenden Wirkung einer an beliebiger Stelle der Leitung angebrachten Halterung vom AbschluBwiderstand. Die Herleitung handlicher Formeln,
die die Storung charakterisieren, ist nieht einfach. Bedarf die Leiteranordnung
gar mehrerer Leiterhalterungen, und dies ist wie gesagt bei den Leitungen fur den
angegebenen Wellenbereieh der Fall, so wird die mathematische Berechnung des
Einflusses aller dieser an den verscbedensten Stellen der Spannungsverteilung
befindlichen Halterungen praktisch unmoglich.
Die uberwindung dieser Schwierigkeiten kann grundsatzlich auf zwei verschledene Weiseii erreicht werden. Die erste besteht darin, die 8torung der einzelnen Halterungen zu beseitigen. Dies erfordert eine Angleichuiig des Wellenwiderstandes in der Halterung an den Wellenwiderstand der Leitung, da d a m bekanntlich s, keine Reflexion der auf die Halterung auftreffenden Wellen an dieser
erfolgeii kann und allein solche Reflexionen fur die unerwunschteii Storuiigen verantwortlich sind. Uber die verschiedenen Moglichkeiten, den Wellenwiderstand
der Halterung zu priifeii und uber die Konstruktionen, die eineii moglichst einwaidfreien Wellenwiderstandsangleich gewahrleisten, liegen mehrere Arbeiten
3)
0. S c h m i d t , Hochfrequenzteclm. u. Elektroak. 41, 2 (1933),
Ann. Physik. G. Folgc, Bd. 5
19
270
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 5. 1950
vor 4 ) 6). Die durch eine Halterung bedingte kapazitive Belastung der Leituiig
kann durch eiitsprechende h d e r u n g der Leiterdurchmesser verringert werden.
Diese wird zweckmaBig so erfolgen, daB die hierbei gleichzeitig hervorgerufene
Induktivitatsanderung der Leiter so bemesseii ist, daB der Quotient L/C, der den
Wellenwiderstalid allein bestimmt, sich nicht andert. Die so gegebene Ausfiihrung
einer Halterung (s. Abb. 1) laljt sich rechnerisch nur festlegen, wenn der Verlauf der elektrischen Kraftlinien uberall rechtwinklig zu den Leitern erfolgt.
Leider ist aber an der Stelle der sprunghaftea h d e r u n g der Leiterdiniensionen
ein recht komplizierter Verlauf gegeben, der keiiie Voraussagen erlaubt. Der so
bedingte 'Wellenwiderstand der Halterung kaiin nur experimentell erniittelt werden.
Die Herstellung einer einwandfreien Halteruiig kann somit nur dadurch erfolgen,
daB die Halterung schrittweise verandert w i d , bis die nach jeder h d e r u n g durchgefuhrte experimeiitelle Priifung Brauchbarkeit crgibt. Da die Anfertigung guteo
Halterungen also nicht einfach und vor allein ihr Abgleich umstandlich ist, wird
man versuchen, mit miiglichst wenig Halterungen auszukommen. Damit kommen
wir zu der zweiten Moglichkeit, den Halterungsschwierigkeiten zu begegnen. Diese
besteht in der Verwendung einer eiiizigen Halterung an einer Stelle der Leitung.
an der ihr EinfluB relativ leicht uberbliclrt werden kann.
Im Teil I dieser Arbeit 6, hat der Verfasser gezeigt, daB es entgegen anderen
Ansichten durchaus moglich ist, mit einer einzigen ani Elide der Leitung angebrachten Halterung auszukommen, wenn eiii geeignetes MeBverfahren gewahlt
wird. I n der folgenden Abhandlung wird nun der EinfluB einer solchen Halterung
berechiiet und angegeben, wie er erfaBt und bei der Bestimmung des AbschluBwiderstandes eliminiert werden kann. Dabei wird vorausgeqetzt, daB die Halterung
aus einem einwandfreien Isolationsmaterial hergestellt und ihre Wirkung auf die
Leitung infolgedessen durch einen Vierpol ohne Ohmsche Glieder darstellbar ist.
An den Stellen des Ein- und Austrittes der langs der Leitung laufenden Wellenziige in und aus der Halterung werden Teile dieser Wellenziige reflektiert. Dieser
Reflexionsvorgang kann in seiner Wirkung auf die Spannungsverteilung langs der
Leitung auch durch die Existenz einer dem AbschluBwiderstand parallel geschalteten Kapazitat oder eine mit dem AbschluB in Reihe geschaltete Selbstinduktion
erklart werden. Es laat sich namlich stets eine Kapazitat bzw. Induktivitat angeben, die eine Phasendrehung der am Ende reflektierten Welle bewirkt, so daB
der reflektierte Wellenzug genau so verlauft wie die Uberlagerung der bei nicht
vorhandener Kapazitat rucklaufenden Welle mit den von Anfang und Ende der
Halterung riickgeworfenen Wellen. Diese die Wirkung der Halterung darstellende
Kapazitat bzw. Induktivitat ist verlustlos anzusetzen, solaiige der die Halterung
darstellende Vierpol, wie vorausgesetzt, keine dampfenden Glieder besitzt.
Die Belastung der Leitung mit einer verlustlosen Kapazitat ist vor allem auf
die Phasenverteilung und weniger auf die Amplitude der Spannung langs der Leitung von EinfluB. Die Phasenverteilung wird aber bei nicht zu grol3em Leitwert
des Abschlusses in erster Linie durch die Blindkomponente des AbschluBwiderstandes bestimmt. Hieraus konnte man folgern, daB die durch die Halterung bedingte Storung vor allem bei der Bestimmung des Blindanteiles des AbschluBwiderstandes beriicksichtigt werden muB. Auu diesem Grunde ist in der vorliegenden Arbeit der EinfluB der Halterung zuntichst auf reine Blindwiderstande als
4,
6)
6,
A. Weissfloch, Hochfrequenztechn. u. Elektrordc. 60, 76 (19.E).
H. hfeinko, Hochfrequenztechn. u. Elektroak. 61, 146 (19qj).
H. Schwan, Ann. Physik (6) 6,263 (1950).
H . Schuun: Der EinfluP con Hulterungen
rein
Ende von Lecherleiiungcit
271
besonders wichtig betrachtet und hauptsachlich behandelt worden. Die Beschrankung auf rein imaginare AbschluBwiderstande hat zudem den Vorteil, die
folgende Theorie wesentlich zu vereinfachen und bedingt relativ leicht zu ubersehende Ergebnisse. Nur bei Vorliegen spezieller Halterungsarten ist der Einflulj
dieser Halterungen auf die Komponenten eines beliebig komplexen Abschlusses
leicht erfafibar. Dies wird am Beispiel der ,,ideal kapazitiven" Halterung ausgefuhrt. An diesem Beispiel wird gezeigt, daB entgegen der soeben entwickelten
Anschauung auch der Realteil des Abschlusses durch die Halterung stark beeinflufit werden kann.
Im folgenden Abschnitt der Arbeit sol1 zunachst der EinfluB einer verlustlosen
Kapazitat behandelt werden. In den darauf folgenden Betrachtungen wenden
wir uns sodann der Frage zu, in welcher Weise die die Halterung ersetzende Kapazitat vom AbschluBwiderstand abhangt. Die Behandlung dieses Problems erfordert die Heranziehung der Vierpoltheorie der Leitung und fiihrt zu wesentlichen
Erkenntnissen bez. der Bestimmung der Halterungsstorung und der Moglichkeit
ihrer Eliminierung zwecks einwandfreier Bestimmung imaginarer Abschlufiwiderst ande.
11. Der EinfluB einer Kapazitiit am Ende der Leitung auf die Bestimmung
rein imaginlrer AbsehluBwiderstlnde
Der rein imaginare AbschluBwiderstand sei durch eine positive oder negative
Kapazitat C, der die Halterung ersetzende Kondensator durch eine Kapazitat C,
dargestellt. Ohne AbschluRwiderstand bewirkt Co eine Verschiebung I, gemaB
der Gleichung
1
tg 2 n ax = z 0 c,.
(28)
Mit Abschlufiwiderstand erhoht sich die Verschiebung der Spannungsverteilung urn
die mefibare Strecke 1. Es gilt fur diese
t p 2 n ~a = Z w ( C + C o ) .
(2b)
Die Anwendung des Additionstheorems der tg-Funktion auf GI. (2b) und die Verwendung von (2a) fiihrt zu
z 0 (C + C0)=
1
t g 2 7z T
+ 2 w c,
1 - 2 w G o .tg 2 72
zcc,c= t g 2 n -1
1
1
(2c)
+ (Z w coy
A l - z w c o . t g 2 7 z T1
'
In Unkenntnis der Storung durch C, wiirde man C nach der Gleichung
z w c, = t g 27671
(2d)
bestimmen und den falschen Wert C, erhalten. Uns interessiert vor allem der auf
C, bezogene Relativfehler, der bei der C-Bestimmung nach Gl. (2d) erfolgt. E r
1
1
ist der nach C, =;z tg 2761 aufgelosten G1. (2c)
19*
2 72
Annakn der Physik. G. Folge. Band 5. 1960
zii entnehineii uiid hat den Wert
Hieraus eIsieht inaii : Dcr prozentuale Fehlcr, den man bei Vernachlassigung der
Halteruiigskapazitat C, begeht, ist proportional Po, mehr als linear abhangig von
der durch C C, bedingten Gesamtverschiebung und mehr als quadratisch abhangig von c o . Das fjberrascheiide dieses Ergebuisses ist darin zu sehen, dal3 vor
alleni bei groBeii Kapazitaten C‘, also bei geringern Anteil der Halterungskapazitat
an der Gesaintkapazitat, der EinfluB von C, groB ist. Die Erklarung hierfur ist
dariii zu erblicken, da13 bei groBem C und damit groWeln I narh GI. (2 b) C empfindlich gegen geringe Anderungen des Argumentes des tg-iiusdruekcs ist und die
Fortlassuiig r o n 7, hierin demgemafl sich stark bernerkbar macht.
+
Aus G1. (2f) folgt xeiterhin, daB fur sehr kleine KapazitHteri C uiid daniit 1Werte in der Nahe voii Null der Pehler keineswegs Null wird, sondern den cndlichen
Wert tg? 2 x &/A annimmt. Der Relativfehler wird erst Null, wenn I = - I, gilt,
d. h. wenn I iiegativ mird bzw. eine Induktivitat L die Leitung abschliel3t. Wie
ist dies zu verstehen ? Bus der Forderuiig I = - I, folgt Gleichheit der Widerstandsbetrage von Induktivitat und Halterungskapazitat und somit Abschlu5
der Leituiig niit dem unendlich hoheii Widerstand cines Sperrkrcises. Die Induktivitiit L inacht somit die durch C, bedingte Wirkung wieder ruckgallgig und mu13
daher niit 1, bzw. I in dem gleichen einfachen Zusamnieiihang \vie C, stehen, d. h.
sie kann nach der primitiven Formel (2a) odcr (2d) bestimnit merden, wobei
I/w C = - w L eiiizufuhreii ist.
1st C, bzw. I, Lekannt, so 1aBt sich die durch die Halterung bedingte Storung
nach GI. (2f) in eiiifaclier Weise bestimmen. Bei eimr Halterung, in der die Leiter
zwecks Angleich des Wellenwiderstandes der Halterung an den der Leitung verdiinnt fortlaufen, ist iiicht ohne weiteres selbstverstandlieh, daB C, eine voni dbschluD unabhangige GroBe ist. Es ist daher nicht moglich, aus eineni Versuch mit
einem bekannten C nach GI. (2e) I, zu Eestimmen und anzunehmen, daB bei alleri
andcren Messungen dieser Zo-lTTertgultig ist. Wir inussen daher nunmehr untersuchen, iiiwieweit I, als konstant zu betrachteri ist bzw. durcfi w-elche Beziehungen
GI. ( 2 e ) zu ersetzen ist, wenn man auf vom AbschluB unabhangiger Parameter
nicht verzichten will.
111. Wirkung eimr diinnen Halternng bei Leerlauf und Kurzschlull
Tn diesem Abschnitt sei eine einfaehe Theorie eiiier verlustlosen Halterung
am Ende der Leitung gebracht, in aer angegeben
wird, wie groB I, bei Leerlauf und Kurzschlul3 ist.
Sie ist auf den in praxi iininer gegebenen Fall
- - - - - - beschrankt, daB die Halterung nur einen geringen:
Teil der Wellenverteilung aufnimmt bzw. daB die
Dicke
der Halterung klein gegen die Wellenlange in1
a
Material dcr Halterung ist. Die Halterung selbst
bestehe aus einer Isolierstiitze, in der die Leiter in
bekannter Weise mit veranderteni Querschnitt
fortgcfiihrt werden. In Abb. 1 ist die fur Doppelleitungcn zwcrknial3ige Amfdiriing skizziert.
Abb. 1
1
--d-
H . Schuun: Der EinfluP ton Halterungeii
am
Ende von Lecherleituitgea
27;;
Unter der gemachten Voraussetzung hinreichend kleiiier Dicke der Tsolierscheibe wirkt bei offenem Leituiigsende die Halterung lediglicli durch illre ka1)azitive Belastung der Leitung. Da d a m am Ort der Halterung eiii ?linilnuiu der
Stromverteilung vorliegt, kann sich die abgeandert,e Induktir,itat der Lciter nicht
bemerkbar machen. Umgekehrt wird bei kurzgeschlosseneni Leitungsende nur
die in der Halterung erfolgtc h d e r w i g der Leiterinduktivitat uiid nicht deren
Kapazitiit auf den Strom- und Spannungsverlauf langs der Leituiig einwirkeii.
Werden mit 6'H und CL bzw. L H und .LL die Kapazitats- und Iiiduktiritatswerte
der Leiter pro Langeneiiiheit inner- und auBerhalb der Halteruiig bezeichnet uiid
mit AZ bzw. Ak die Verschiebung der SPanii"iigsrertei1uiifi durcli die Halterung
bei offenem bzw. kurzgeschlossenem Elide'), SO gilt,
(LH- LL)d
dk LL
(3a)
(311)
Die erste der beiden Gleichungen folgt so: (LN- LL)d ist die gesamte durch die
Halterung bedingte h d e r u n g der Induktivitat., verglichen mit dein Fall, daB L
in der Halterung unverandert bleibt. Dieser Zuwachs an L mu13 durch eine glcicli
grol3e Selbstinduktionsabnahme am Ende der Leitung wett,geniacht werden, wenn
die Spannungsverteilung langs der Leitwg unveraudert und daniit der alte Erregungszustand wiederhergestellt werden SOU. Dies kann durch eine Kiirzung d k
des Endes der Leitung erreicht, werden, wobei Ak nat,urlich so groR gewahlt werden
mu13, da13 die gesamte Induktivitat des Stiickes Ak * LL gleich dem Induktiritatszuwachs in der Haherung ist,. Dies fiihrt zu GI. @a). Wird die Leitung a.m Endr
nicht um dk gekiirzt,, so mu13 dafiir das anderc Ende gekiirzt werden, wenn man
ein Resonanzverfahren voraussetzt. Auf jeden Fall wird die SPaniiuiigsverteilung
uin den. nicht gekiirzt,en Betrag Ak Zuni Ende hin wandern. 111 entsprecliender
Weise folgt G1. (3t,).
Es werde gefordert AZ == dk. Danii folgt aus den GI. (3a) mid (3 b)
(CH- CL) d = A 1 CL.
Ln
- ---_cE bzw.
ZH
=ZL.
(3C)
LL C L
Ua die Gleichheit der Wellenwiderstiiide 2, und 2, bekanntlich eiiie refle:-*
rlOllSfreie Halterung verbiirgt, gilt somit : Sind die durch die Halteruiig bedingteii
Langenanderungen in Leerlauf und KurzschluS gleich, so ist die Halterung reflexionsfrei. Damit ist gezeigt, daB eiue G-Zunahnie in dcr Halterung erlaubt ist,,
so lauge sie mit einer entsprechendeii L-Zunahme verbuuclen ist. Hieraus folgt.,
da13 iru Leerlauf nur die Kapa.zitatsdifferenz (CH - CL)d reflekt.ierend wirken
kann, wenn die Halterung nicht abgeglicheii ist uiid infolgedessen ihre Kapazitit
mit der reflexionsfrci wirkenden, aus G1. (3c) berechenbaren Kapazitat C, nicht
ubercinstimmt. Dieser I<apazit,atsurert mu13 durch entsprechende h l c r u n g der
Leitungalange dl ersetzt werden, weiiii die Leitung ohiie Halt.erung gedacht wird.
Uabei itiu13 aber noch berucksic,ht.igt werden, da13 die Wellen~erkiirzungiin XIterial um den Fakt,or
zu einem weiteren Langengewinii r o n &
(/];!:
- 1) rl
fulirt,. Insgesamt folgt, so fur deli Leerlauf
1/.1
ill * C'L = (Ch- C Z )d
Dabei ist bekaniitlich
7)
+
-~~
Q/&/l-
1) a * C'.
ill ist init den1 I,-'\l'w-t fur lileinstc Belastungen itlcntiscli.
(3d)
2 74
Annabta der Physik. 6. Folge. Band 5. 1950
wobei K ein Proportionalitatsfaktor ist und rz der Radius des Leiters, der die
Halterung reflexionsfrei wirken la&. Aus G1. (3c) folgt fur dicsen linter Benutzung
der G1. (3e) und entsprechender Formeln fur LL und L z :
i3 f )
Verwendeii wir die GI. (3f), um in dem Ausdruck fiir Cfz r, durch rL zu erse'tzcn,
so folgt
c,
-.
-
-=
I/ELG -InaK- = 1/Ep c,
(3g)
75
'
und unter Einsetzung dieses in G1. (3d) wieder die Beziehung (3a). Die Beziehung
(3a bzw. (3d) laat sich also auf xwei verschiedene Weisen ableiten: 1. An die Leitung wird einmal die Halterung, dann A2 * CL als Kapazitat angelegt und dabei
At so verlangt, daB die Belastung in beiden Fallen die gleiche ist. Was dabei in
der Halterung geschieht, weil3 die MeBleitung nicht ; 2. Der uber Cz hinausgehende
Wert von CH wird als storend empfunden und die durch ihn bedingte Verschiebung
berechnet, wobei die Wellenlangenanderung im M a t e d der Halterung berucksichtigt werdeu mu13. - Beide Betrachtungen sind gleichwertig, ganz analog fur
den Kurzschldfall durchfuhrbar und fuhren zu denselben Beziehungen.
Die Differenz LIZ-- A k erscheint als Mange1 derjenigen Verschiebung an 1/4,
die die Spannungsverteilung bei ffbergang von Leerlauf zu KurzschluB erf ahrt.
Sie ist daher mit dem lo-Wertfur KurzsehluB identisch und eine besonders wichtige
GroOe, da sie gemessen werden kann, ohne da13 die Halterung entfernt werden mu13,
was nur in den seltensten Fallen moglich ist. Aus (3a) und (3b) folgt
Gilt GI. (3c), so wird, wie schon oben gesagt, dl- A k = 0. Die Differenz AZ- Ak
als Funktion der Leit,erdimensionenfolgt, wenn man in GI. (3h) die Beziehung (3e)
einarbeitet :
Werden in G1. (3h) an Stelle der L-und C-Werte die Wellenwiderstiinde
eingefiihrt, so erhalt man
Darin sind vx und VH die Fortpflanzungsgeschwindigkeitenin Luft und Halterung.
Ihr Quotient hat den Wert VG,also wird
H . Schzuan: Der EinfluP von Halterungen am Ende von Lecherleitungen
275
Mit Hilfe dieser Gleichung ist es inoglich, aus A l - -dk das Verhaltnis der Wellenwiderstande zu bestimmen.
Die vorliegenden Ergebnisse beweisen, daB die in Abschnitt 2 eingefuhrte
GroSe .I bei Leerlauf und KurzschluB verschieden anzusetzen ist, wenn Ak von
Xu11 verschieden ist. Nach GI. (3a) ist dies der Fall, wenn LL von LH abweicht.
Die einfache Theorie des Abschnittes 2 ist dann nicht als streng gultig zu betrachten. Es ist daher erforderlich, die Wirkung einer Halterung mit abgeandertem L
einer ausfuhrlichen Untersuchung zu unterwerfen. Dies kann durch das Studium
der Vierpoleigenschaften einer Hdterung geschehen.
IV. Strenge Theorie einer dfimpfungsfreien Halteruiig
Bei den folgenden Betrachtungen wird bezeichnet
Dabei ist 2 die Lange der MeBleitung vom der Leitung abgewandten Ende bis zum
Eintritt in die Halterung. TH ist eine fiir die Halterung, T L fur die ungestorte
Leitung charakteristische GroBe. H. Metzler hat nun gezeigt, daD aus den Vierpolgleichungen der am Ende mit einer verlustlosen Halterung und einer Hapazitat C
belasteten Leitung die Beziehung
folgt. Wir wollen dieses Ergebnis jetzt verwenden und es etwas umformen. Zu
diesem Zwecke sei an Steue der Lange I die Verschiebung I,, die die Spannungsverteilung erfahrt, wenn das freie Ende der Leitung mit C belastet wird, eingefuhrt.
Offenbar gilt I' = 1 I,, wenn I' der Langenwert fiir freies Ende (C = 0) ist.
Aus Q1. (4b) konnen wir entnehmen, da13 C = 0 nur dann erfullt ist, wenn TAder
Beziehung
+
2, 1
t4 4
Ti=%%
geniigt. Unter Verwendung dessen folgt aus I = 2'-
I:
und unter Einfiihrung dieses in G1. ( 4 b) nach kwzer Zwischenrechnung
In Anlehnung an die Definition des Abschnittes 2 definieren wir jetzt die
Gro8e 1; durch die Beziehung
z w c = t g T (1, + G)2n
237
tg A 1:
2 76
Annalen der Physik. 6.Folge. Basad 5. 1950
wobei To= tg (2 n/A)1; bezeichnet wird. Die Vereinigung der GI. (4e) uucl (4f)
gestattet Ti ills Funktion von TL zu berechnen. Es folgt so a,iis
nach einigen Zwischenschritten
Fiihrt man denselben Gedankengang durch, in dem aber a n Stelle der Verschiebung der Spannungsverteilung gegen den Leerlauffall 2: die gegeii den Fall
I
c
I"
pd'-
des Kurzvchlusses 1: in G1. (4b) eingefiihrt w i d , so liefert die ganz' analog 1-erlaufende Rechniing an Stelle von GI. (4e) wegen 2" ':I = I (8. Abb. 2)
+
Wird andererseits die GroDe 1;' durch die Beziehiuig
(4i)
eingefuhrt, so folgt dnrch Vergleich niit GI. (4h) die (4g) analoge Bceiehung
A u &en
~ G h . (4e), (4g), (411)und (4k) lasseii sich eine Reihe intcressanter Krkeiintiiisse herleiten :
1. Der Quotient yon (4e) und (411)fiilirt zii
Ti TL' =
\Xire kcine Halterung vorhanden, so wiirde inan C aus den GroDen I; uiid 1: riclttig
nach deu Beziehungeii Z Q C = 5": = l/T: bestiminen konnen. Der storende
H. Schuum: Der EinfluP 'con Halterungen am %ride zvn Lecherleitungen
277
Einflud der Halterung bewirkt, dad man die falschen Ergebnisse
z
(3 C" :=
TI;
z
Lc)
C"
1
=7
T,
erhiilt. Offenbar ist C',/C"' :
7': Ti. Von einer leidlich einn andfrei hergestellteii
Halterung laBt sich sagen, daO ilir storender Einflud gering ist. Daher muR C'/C'
und damit auch Ti TY seinen Wert in der Nahe von I haben. AuSerdem sind
E, p und d bei einer guten Halterung so klein, dad 27, wesentlich kleiner a19 1 ist8)
und der Wellenwiderstand Z
, so weiiig von ZL verschieden, daB Z H / Z L nahe bei 1
liegt. TJnter Verwendung dieser Annahme erhalt man 81s brauchbaren Naherungswert fur das Produkt !Z'iT; den Ausdruck
Ti, Tr = --C'
=1
+ TH(TL+ Ty)(-
ZI*
C"
-
(4111)
ZL
Ein Beispiel sol1 zeigen, wie,gut GI. (am) die exakte Formel ersetzt: ZL/ZH=
1,41 und T H - 1/10 sind die Daten einer nicht besonders guten Halterung. Mit
diesen Werten wird der Nenner der exakten Gleichung um 2,5% groder ale 1 und
der Zahler urn fast den gleichen Prozentsatz groder als, GI. (am). Damit folgt,
daB G1. (4m) auf wenigstens einige Promille geanu stimmt. G1. (4m) gestattet
in einfacher Weise das Wellenwiderstandsverhaltnis ZHiZ, zu errechuen. Nach
ihr jst der storende EinfluB der Halterung urn so groBer, je hoher der Wert yon
TH und (ZHIZL-ZL/ZH) ist.
2. Bezeichnen
air
T (u'+ c")
so folgt aus ZL
+ Zy = 1'-
==
tg 1. (l;
+ 1;).
1" (Sbb. 3!)
Die Beziehung (4n) stellt eiiie Verallgemeinerung der GI. (3k) dar. Man e r h d t dic
Ietztere aus (an), wenn man, wie dies bei der Ableitung von (3k) getaii wurde,
fine duiine Halterung voraussetzt uiid an Stelle der Langendifferenz zwischen
Leerlauf uiid KurzschluR den Untcrschied dieser GroSe gegeii A/4, oben mit &-A k
bezeichnet, einfuhrt. Dann kann Ti neben 1 vernachlassigt \I-erden und inan
erhalt B U S GI. (4n)
1
"x
TH z,- is, .
= t g - ( A 1 -A k-)
I'
(0'
+ v")
1.
(-z.4 --)
ZL
Ersetzt man hierin weiter die Tangens--4usdriicke clurch ihre digumentc, was
wegen deren Kleinheit erlaubt ist, so folgt GI. ( 3k). Da I;
Zi,' der LAngenmlterschied zwischen Leerlauf- uiid KurzschluSfall ist, stellt GI. (411)einr-ii Zusaminen-
+
Die nieisten Halterungen wcrden aus Trolitul hergestellt ( 8 = 2,b). Hierfur folgt,
&I3 T, < 0,l gilt, wenn d < 0,01 I, ist. Bei Leitumgen fur I, > 50 cm, fur die vor itllriii
Halterungen gebrauclit werden, ist dies leicht zu erfullen ( d < 5 mni).
2 78
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 5. 1950
hang zwischen TH,z H / z & und 1'- I" dar, mit dessen Hilfe aus zweien diever GroBen
die dritte einfach bestimmbar ist. Sie hat vor G1. (4m) den Vorteil, da13 zwei
Langenablesungen statt dreier geniigen, um Ta oder Z,lZL zu ermitteln.
3. Vergleicht man die Formeln (4e) und (4h) fur Werte vonZH/ZL,die so wenig
von 1 abweichen, und so kleine Tn-Werte, daB der Zahler des Bruches von G1. (4e)
praktisch ubereinstimmt mit dem Nenner des Bruches der G1. (ah), so erkennt
man: Die Bestimmung der Hapazitat C nach der Naherungsformel Z w C = T;
ist genauer als die nach der Gleichung Z (o C = l / T r , wenn- !l';
< TY gilt und umgekehrt. Kleine Kapaxitaten werden also zweckmaBig aus der ,,Leerlaufformel"
2 w C = Tk und groBe Kapazitaten aus der ,,Kurzschlul3formel" 2 LO C = l/T:
berechnet. Der Relativfehler bei Verwendung der einfachen Formeln (41) ist in
guter Naherung proportional T
h bzw. TS und proportional dem Produkt
TH(zH/z&-zL/&).Nach GI. (4e) bzw. (4E) ist er bei Verwendung der zweckmaBigen Naherungsformel kleiner als
wenn die Abweichungen von Zahler und Nenner der Quotienten (4e) bzw. (4h)
von 1 gering sind.
4. In der Beziehung (am) und bei Abschatzung des Relativfehlers der Gln. (41)
tritt das Produkt TH(z@&--ZL/ZH) besonders in Erscheinung. Es sei nun gezeigt, daB ihm eine unmittelbare physikalische Bedeutung zukommt. Betrachten
wir wiederum den praktisch meist gegebenen Fall, daB TH klein gegen 1 ist. Dann
zeigt unter der weiteren Annahme kleinen Tk-Wertes der Vergleich von (4e) und
(4fh daD
gilt. Die exakte Forderung fiir die Giiltigkeit dieser Beziehung ist, daB die Abweichung der Zahler von (4e) und (4f) gegen 1 klein ist gegen die Abweichungen
der Nenner von 1. Dies ist der Fall, wenn auBer TH
1 die Ungleichung
<
und
Ti <Tk
gilt. Weicht Z , l z , nicht sehr von 1 ab, so werden beide Gleichungen erfiillt,
wenn Ta << Ti gilt, wie man erkennt, wenn an Stelle von To der Ausdruck
TH
- verwendet wird. Da in allen praktisch auftretenden Fallen TH kleiu
und Z H nahe bei Z L ist, ergibt sich als Giiltigkeitsbereich das Gebiet T1.B TE Laat
man die Forderung TH 1fallen, so erhalt man fur sehr groBe Tb-Werte den exakt.en Ausdruck
(2 2)
<
+
wie aus G1. (4n) folgt, wenn dort T (v' 8'') durch l/Ti ersetzt wird. -In GI. (40)
konnen wegen der Kleinheit der T-Ausdriicke diese durch ihr Argument ersetzt
werden und T& gegen 1 vernachlassigt werden :
H . S c h m m : Der EinfluP con Halterungen
nrn
Ende eon Lecherleitungen
279
Die KorrekturgroBe Z', steht also in einem sehr einfachen Zusammenhang mit der
Dicke der Halterung d und dem Wellenwidetstandsverhaltnis ZL/ZH. Als wichtigste Folgerung aus G1. (4p) ergibt sich :1st Z;>>
d, so ist die KorrekturgroBe 1;
unabhangig von lw. Die am Ende von Abschnitt 2 gestellte Frage laBt sich also
dahingehend beanLworten, daB die mit einer bekannten, genugend groBen Kapazit a t C bestimmte Z:-GroBe bei allen anderen Blindwiderstanden, die 1; >>
d
bedingen, a18 Korrekturgrofle verwendet werden darf. Vergleicht man die Beziehungen (3k) und (4p), so erkennt man, daB im Falle Th >> TB die Differenz
AZ-d k mit ZA identisch wird. Dies ist verstandlich, da entsprechend ihrer Befinition die Differenz dl--d k gleich dem &Wert fur den Pall des Abschlusses der
Leitung mit C = 00 sein mul3, denn die richtige Bestimmung von C nach GI. (2d)
erfordert sowohl die Korrektur des Leerlaufes umdl, wie such die des Kurzschlusses
(angeschlossene Kapazitiit co!)um dk. Da aber, wie eben gezeigt, im Gebiet
groBer Kapazitaten C nicht von C abhangt, folgt : Fur I:
d ist die KorrekturgroBe 1; identisch mit dem beiubergang vonLeerlauf zu KurzschluB sich ergebenden
Mange1 der Spannungsverschiebung an 114.
5. Nachdem wir Th im Gebiet TL>>TH abgeschatzt haben, sei es im Bereich
T: << TH untersucht. An dem Grenzfall TL = G,der zu
VET
VE>
> VET
fiihrt, erkennt man, daB Ti und TH von gleicher GroBenordnung sind. Damit
folgt aus der Bedingungsgleichung TL << TH die Beziehung TL <<Ti.Verwendet
man dies in GI. (4g) und berucksichtigt man, daB TH << 1 vorausgesetzt werden
darf, 60 erhalt man wiederum die GI. (4q). Die Beziehung (4q) ist also nicht nur
fiir Ti = 0, sondern im gesamten Bereich Th << TH << 1 gultig. Bildet man den
Quotienten Q der Tk-Werte (40)iind (4q), so erhalt man
e=[
1- E E 2
(z,) -
1
+ Ti
Hieraus folgt, da13 der TA-Wert fur kleine VerschiebungsgroBe T: stets groBer a h
fur groI3e TL-Werte ist, es sei denn, daB ZL = ZH und TE = 0 ist, d. h. daB keine
Halterung vorliegt.
6. Es erhebt sich nunmehr die Prage, wie TL von TL in dern Bereich, der durch
die Beziehungen (40) und (4q) nicht erfaflt wird, abhlngig ist. Zwecka Klarung
demen bringen wir GI. (4g) in die Form
und machen von dern bekannten Satz Gebrauch, daB die Ableitung einer Funktion
F ( z , y) = 0 aus den partiellen Ableitungen P, und Fw gemal3 der Regel F,dx +
Fwdy= 0 gewonnen werden kann. So erhalt man
280
Annalen der Phygik. 6.Folge. Bund 5. 1950
Da TL < T (v’ -t v”) gilt, folgt aus GI. (4n), daB die Liigleicliung
giiltig ist und daD infolgedessen der Nenner der Beziehung (4s) stt:t#spositiv isk
Setzt man den Ti-Wert von GI. (40)in den Zahler ein, so erhalt m a n
Dieser Wert ist pouitiv, wenii 2, > 2, gilt (was wir im fulgeiiden vorauuwtzeu
wollen), da die h n a h m e eiiies positive11 Vorzeichens der etkigen Klainmer sich
nach wenigen Zwischenschrittcii auf die ininier giiltige Ungleichung
< (1 + TL)z
2 zuriickfiiliren
z
Zfi
-Z“
-Z,
lafit. Fiir den Th-Wert der GI. ($0)wirci also die
ZH
Ableitung d’r@T; negatir. Das glejche Resultat ergibt sich fiir den Th-Wert
GI. (4 q), d a der Zahler der Reziehung (4s) d a m gleich
wird uiid soniit ebenfalls positiv ist~.Da sowohl ftir kleine als auch groBe TZ-\Yertc
dT@T; negativ ist, erschcint eiii monotoner Verlauf von Ti in iibhangigkeit von
Ti wahrstheinlich. Wir wollen iiuiiinhes zeigen, daD dieu tatskchlich der Fa11
ist., indem wir beweisen, da13 die Ableituiig dT@Y’h nicht Null n-erdeii uncl soniit
ihr Vorzeicheii nicht wechselit kann. Dcr Beweis laDt sich itidirekt fiihren. U-iirdc
die Ahleitung gleich Nuil, so niuBte nnch GI. (4s)
gelten. Gcht man hierinit in GI. (4r) eiii, so erhilt man mit
einen Ti-Wert, der YOU TL unabhringig ist und init deiii der GI. (4 q) uhereiiistininit.
Dies Ledeutet, da13 die Ableiturip dTi/dTh nur daiiii gleich Null wircl, \Venn sie bei
allcri TL-Werten rerschwindet, d. h. wenn Ti konstant bleibt. Dies wiederuni ist
unnioglich, wie die Berechiiung des Quotienten aus den Tk-Werten fur kleiue uiid
groBe T:-Werte gezeigt hdt. Dauiit ist bewiesen: Die GroBe Ti sinkt voii ihrem
Wert fiir TL = 0 monotou ab auf den Wert, dcr bei dem groOtmoglichen T i gegeben
ist. Die Wirkung e i i m ICaltermig IaOt sich also uiii so besser durch einen konstanten Th-Wert heschreiben, je weniger die Werte (40) iiiid (4q)roiieinnnder abweichen. Sind also die TVelleii~~-iderstandc
dcr Leitung 2, uiid rler Halterling 211
so ahgeglichcn, daB der Unterschied der Bezieliungeii (40) uiid (4q) geriiig ist. so
kann der durch die Halterung bedingte Fehler durch eiiie praktisch votn AbschluOwidcrstand der Lcltung nur wenig Ltbhiingige Kapazitiit verursacht gedacht weidwi.
5. Hapazitive iind induktivc Halteriingeri
Bei den Untersuchungen des lctzten Abschnittes haheii wir uns nuf den Piill
beschrankt, daB der Wellenwiderstand der Leitung groDer a1s der d w Ifaltexung i b t .
Xur weun dies dtr Fall ist, liefert die Bczitliung (4q) eineri reellen TL-Wcrt untl nur
H . Schwan: Der EinfluP von Halterungen am Ende 7wn LeAherleitungen
281
fur diesen Fall wurde dcr nionotone Verlauf voii YA’ bewiesen. 1st dagegen ZL
kleiner als Z H , so wird nach der Porniel (4e) Z o C < TL. Der lnsatz (4f) vermag
AZ
dein nicht gerecht zu werden, cla sich kein reelles TA angeben la&, fur das 1 T
< 1- Tk Toerfullt werden kann, wenn T: so klein ist, wie es hi der Ableitung von
( 4 9 ) vorausgesetzt wurde. Daraus geht herror: 1st 2, kltiner als Z E , so kann zumindest hei AbschluBkondensatoreu, die eine geringe
L
Verschiebung hedingen, keing Kapazitat positivcn
oder negatiren Wertes angegeben werden, die, den1 Ahhchluflkondensator parallelgeschaltet, die gleiche JVirkung mie die Halterung hervorruft. Wir wolleu nunAbb. 3
inehr zeigcn, daB dei Hdterungen, fur die 2, < 2,
gilt, durch dem AbschluSwiderstand in Reihe geschaltete Selbstinduktionen er-setzt werden kiinnen. Es sei daher jetzt die in Abb. 3
dargestellte Ersatzschaltung diskuticrt.
Die gesamte durch L und C, bedingte Verschiebung der Spai~nungsverteilung
2, \vird bestininit durch die Beziehung
+
CIF
L
T g = t g 2 z T1,= Z I O I I ,
1.
(58)
wobei der Betrag des komplexeii Leitwertes (II gcgeben ist durch
Die Verschiebung 1, ist identisch’ rnit der durch hnschalten von C‘, bedingten me&
baren Verschiebung Zk, d a ohne C, die Selbstinduktion sich in einem Spannungsbauch bzw. Stromknoteii befindet und somit keinerlei EinfluS auf die Spannungsverteilung haben kann. Wiirde L sich nicht a n einem offenen Ende befinden,
sondern an Stelle von G die Leitung abschlieBneli, so wurde es eine Verschiebung I
bedingen, die durch die Beziehung
gegeben ist. Wegen der Identitat von
1
I, nnd 1; folgt somit, aus Gl, (5a) und (5b)
I
1
ZOC=TLT
1
1+z
Durcb Vergleich mit G1. (4e) folgt fur TLdie Bedingungsgleichung
’
1.!_Tu=
’
TL
1
r-)
+ T;{‘-k T, TI __
1 + (g)2
Ti
.
und hieraus
Der Relativfehler, der ohne Beruclrsichtiguug der Halterung mit der Beziehung
Z o C = T:, begangen wird und der nach Gl. ( 5 c ) durch TJTL gegeben ist, setzt
282
Annakn der Physik. 6 . Folge. B Q T5 .~ 1950
sich biernach aus zwei Gliedern additiv zusammen. Das erste ist kleiner als T&
und von T i unabhangig, das zweite ist Ti proportional. Die GroBe TL selbst
hat den Wert
Sie ist also ebenso wie TL von T;abhangig. Im Gegensatz zu Th wird sie fur.Tk = 0
zii Null. Bei hinreichend kleinem T ; ist sie dieser GroBe proportional:
Sie steigt monoton rnit
Ti an,
urn bei grol3ern T,' sich asymptotisch dem Wert
zu nahern. Der Wert TL = 00 wird durch die endliche Kapazitat, die der Bedingung w 2 LC = 1 genugt, hergestellt. Denn bei Vorliegen dieses Kapazitatswertes ist die L--C-Reihenschaltung in Resonanz, d. h. die Leitung wird kurzgeschlossen. Wird C groBer, so wird Ti negativ und nimmt schlieBlich den in GI. (413)
angegebenen Wert an. Hierfiir wird aus GI. (5c)
Dies stimmt bis auf das Vorzeichen mit den Werten von
1
To
und T', fur grol3e T'h
uberein.
>
, sind die Ausdriicke (5e) bis ( 5h) alle positiv.
Unter der Voraussetzung ZH 2
Wegen der monotonen Abhangiglreit der GroSe Tj-,von TL ist damit bewiesen,
dalJ fur alle Ti sich eine positive Selbstinduktion L angeben lafit, die in Reihe mit
dem AbschluB geschaltet, die Wirkung der Halterung hervorruft. Allerdings ist
die Gr%e Tj-,sehr von TL abhangig [GI. (5f!)]. Da die in Abschnitt 4 fiir Halterungen mit 2
, < ZL eingefiihrte, die Halterung ersetzende Kapazitat weit weniger von Th abhangt, ist die praktische Bedeutung ihrer Einfuhrung wesentlich
groI3er als die der GroIJe TL.
Da die Wirkung von Halterungen mit 2, >2
, durch eine Selbstinduktion
und die von Halterungen mit Z H <Zj-,durch eine Kapazitat hervorgerufen werden
kann, erscheint es sinnvoll, Halterungen der ersten Art als induktive und solche
der zweiten Art als kapazitive Halterungen zu bezeichnen. Die Ergebnisse der
Abschnitte 4 und 5 lassen sich daher wie folgt zusammenfassen: Die Wirkung
einer kapazitiven Halterung kann durch cine dem AbschluB parallel geschaltete
11.Schuan: Der EivifluP z'on Halterungen am Ende von Lechwleitungm
28:;
Kapazitat ebenfalls hervorgerufeii werden. Die GroBe dieser Kapazitat ist uni so
geringfiigiger voiii AbschluB abhangig, je dunner die Halteruiig und je besser ihr
Abgleich ist. Die Wirkung einer induktiven Halteruiig dagegen kann d u c h cine
dem AbschluB in Reihe geschaltete Selbstinduktioii vernrsacht werden, deren
Wert in starkem MaBe voin AbschluB abhangig ist.
Aus G1. (5d) folgt ebenso wie aus G1. (4e), daB besonders bei groBen Ti-Wertcii,
also bei groBeii AbschluBleitwerten, die Halterung eiiie starke Korrektur der ohlie
Halterung giiltigen Formel 2 w C = Tk erforderlich niacht. Das im Abschiiitt 2
unter Voraussetzuiig einer idea1 kapazitiven Halterung gewonnene Ergebiiis erfahrt demnach seine Erweiterung auf alle Arten von Halterungen. Dies gilt fur
heliebige rein inlaginare AbschluBwiderstande. Wir haben zwar iinnier den
Fall einer angeschlossenen Kapazitat C betrachtet, jedoch wurde an keiiier
Stelle vorausgesetzt, daB C positiv ist. Die Theorie umfaBt alao auch negative C-Werte oder, was dasselbe ist, ani Ende der Leitung angeschlosseiie Induktivitatswerte.
AbschlieBend sei die Fr age beantwortet, in welchem Th-Bereich der Pehler
der Beziehung 2 o C = Th praktisch gleich Null ist. Betrachten wir die fur kapazitive Halterungen gultige G1. (4f), so sieht man, daB dies fur T; =- Th der
Fall ist. Das bedeutet, daB AbschluBwiderstande, die ungefahr die gleiche Verschiebung mit umgekehrten Vorzeichen bedingen, wie sie durch die Halterung
sllein hervorgerufen wird, einwandfrei nach der Formel 2 o C = TI, bestininit
werden. Der AhschluBwiderstand hat also soznsagen die durch die Halterung hedingte Verschiebung ruckgangig zu machen bzw. er mu13 mit der Halteruiig zusammen die Leitung mit einem unendlich groBen AbschluBwiderstand abschlieBen.
Bei einer kapazitiven Halterung muB der AbschluB somit durch eiiie Selbstinduktion gebildct werden. Wie haiigt nun Ti = - TL von Z L ,2, und T R ab ? Die Beantwortung dieser Frage ist mit Hilfe von G1. (4e) moglich. Aus dieser folgt mit
ZUC-TL
(5i)
Bei einer indulrtiven Halteruiig folgt aim den GI. (5c) und (5f), daB fur sehr
kleine TI, die Formel 2 cc) C = TI, prakt'isch richtig ist. AuBerdem verschwiiidet,
die KorrekturgroBe T J T , nach G1. (5d), wenn die Beziehung (5i) gilt. Dies ist
selbstverst,andlich, da die dbleitung von (5i) iiicht's uber den kapazitiven oder
induktiven C'harakter der Halterung vorausset.zte und driickt den trivialen Fall
Bus, daB TL = 00 bzw. L = 0 wird, wie a m G1. (5e) folgt.
Fassen wir das Hauptergebnis dieses Absatzes nochmals kurz zusamiiicii :
Kapazitive Halterungen (2, > 2,) gestatten die durch sic verursachte Storung
durch einen Kapazitatswert darzustellen, der dem AbschluBwiderstand parallel
geschaltet ist und im allgemeinen nur gering vom Abschlull der Lcitung abhangt.
Induktive Halterungen dagegen (2, >2,) gestatten nicht die Eiiifiihrung prakt,isch wenig va.riabler KorrekturgroBen. Hieraus folgt die wichtige Vorschrift' :
1st ea nicht moglich, eine Halterung ideal zu gestalten (2, = ZL), so sol1 man die
Konstruktion der Halterung so ausfuhren, daB die Halterung kapazitiv wirkt.
284
Aianalm der Physik. 6. Folge. Band 5. 1950
6. Die Wirkung einer ideal kapaaitiven Halterung auP die Homponeiiten
eines beliebig komplexen AbschluBwiderstilndes
In den vorangegangenen Abschnitteii dieser Arbeit wurde ein rein imaginarer
,4bschlu13 der Leitnng vorausgesetzt. Fur nicht rein imaginiiren AbschlnB erfahrt
die gebrachte Theorie cine wesentliche Komplizierung. 1st indessen die Halterung
.,ideal kapazitiv", d. h. laBt sie sich durch einc Kapazitat C, ersetzen, die unabhangig vom AbschluBwiderstand ist, so ergeben sich iibersichtliche Beziehungen.
Dieselbell sollen nuninehr entwickelt werden. Der AbschluB bestehe aus der
Parallelschaltung einer Kapazitat C mit einem Widerstand R = 1/G. Der iuit der
Halteruilg zusainmen gegebene Endwiderstand der Leitung hat sonlit die Leitf ahigkeit
49 = G j co (C Co).
@a)
+
+
Wie in einer demnachst folgenden Arbeit gezeigt werden SOH, besteht zwivchen dem
Wellenverhaltnis W der Spaniiungsverteilung wid der Verschiebung der Verteilung
,?
lo gegeniiber dem unbelasteten Fall einerseits und 8 andererseits der folgende
Zusanimenhang :
Z@=Tg-----,
Z+jV
+
2
wobei "12 = Ar Tg U' und p = 4 7t (I -1- Zo)/A gilt und Z der Wellenwiderstand der
Leitung ist. Somit folgt
Z@
= j tg
2n
1
+ 1,
j Ar Tg W .
(6 b)
Dabei ist 1 die bei Anhringung des Abschlusses hervorgerufeiie Verschiebungsgrolle
uiid lo die durch die Halterung bedingte. Fur letztere gilt iiatiirlich
1"
z w c, = t g 2 7t -.
1
Verweiidet man dies sowie GI. (6a), so folgt nach Auftrennung in die Kornponenten
der komplexen GI. (6b) nach kurzer Rechnung:
Vergleicht man diese Beziehung mit den ohne Halterung giiltigen, die man erhalt,
wenn lo = 0 gesetzt wird, so erkennt man: Die GroBen G und C C, werden iiach
den bekannten Formeln, die die Halterung nicht beriieksichtigen, richtig bestimmt,
wenn 1 durch 1 Zo ersetzt wird.
Es sei nunmehr der durch das Auftreten von I, bedingte Fehler der Gleichungen,
die ohne Halterung giiltig sind, diskutiert. Die letzteren Gleichungen lauten
offenbar
+
+
+ tg2 2 x7 1
W 1 + it'2tgZ2n-;i.1
1
ZGf=
._
(6e)
H. Schwan: Der EinfluB eon Halterungen urn Ende
z'on
Lecherleitungen
285
Wir wenden uns zunachst dew Ausdruck (612) zu. Die Anwendung des Sdditionstheoreins der t,g-Funktion fiihrt nach einigen Zwischenschritten mit den Abkiireungen T I I=; tg 2 n 112 und T o=- t g 2 n lo/2 zu
Setzt man die bei einer leidlich guten IIalterung inimer erfullte Ungleichung
lo
3,
< 1,6 1 ~ +
0 To < 0,1
(6h)
voraus, so folgt, wie der Vergleich voii (6e) und (6g) zeigt, niit mindestens 1%
Genauigkeit, daB der Relativfehler der nach ( 6e) bestinimten (Ir-GrolJe durch
+ lV2) 2 T,( 1 - I P )
1 + 11" Ti
AC:
To(1';
-ij= To
-
(6 i)
gegeben ist. Dieser Ausdruck ist monoton von W abhangig, denn seine Ableitung
nach Wz ist entweder iminer oder iiie gleich Null. Infolgedessen ist es auch der
Quotient, u m den sich die Beziehungen (6e) uiid (6g) unterscheiden. Die extrernen
Werte clieses Quotientell ergeben sich fur W = 0 uiid W = 1init (1 T~)/(l-T,To)z
und 1. Wegen der Kleinheit von Toist der erste Ausdruck praktisch identisch mit
1 $- 2 T , To. Soinit folgt: Wird die Halterung nicht beriicksicltigt, so erhalt man
zii kleine Leitwerte. Der Febler wird uni so grooer, je kleiner W ist, d. h. er ist vor
allem bei geringen Leitwwten zu beruckeichtigen. Sein Relativwert ist in guter
Niiherung maximal gleich 2 T l To.
+
Die Diskussion des Einflusses der Halterung auf die Bestimmung von C fiihrt
zu folgenden Ergebnissen: Aus G1. ( 6 d ) werde der Ausdruck (6f) herausgezogen.
Es folgt
1- I I ' Z
z o c = tg 2n-I
.' 1 + I.C.Ztg2";
Mit zunehmendem W niiiiint der Quot,ient C/C, monotoqab. Fiir
den uns bereits bekannten Wwt
W
=0
h a t er
ist also groBer als 1und hat bei nicht zu groBern Produkt To in erster Naherung den
Wert 1 T,To.
Der Vergleich dieses Ausdruckes mit den1 fur G!giiltigen zeigt uns,
daB der Relativfehler von Gfetwa doppelt so groB ist wie der von C,, wenii W klein
+
Ann. Physik. 6. Bocge, Bd. 6
20
286
Annukn cler Phyeik. 6. Folge. Band 5. 1950
ist. Wird W groBer, so sinkt CjC, monoton suf den Wert Null und wird dann negativ.
Der Wert Null wird erreicht, wenn
gilt, wie man sich durch Einsetzen in GI. (6d) leicht uberzeugen kann. Da der
Unterschied von tg 2 n .?/A und tg 2 n (I &)/A wegen der Kleiiiheit von 1, bei
nicht zii grof3eii Werten von I gering ist, mu5 der W-Wert (6m) nahe bei 1 liegen.
Es ergibt sich somit folgendes Resultat: Bei sehr kleinen W-Werten ist der Relativfehler fur C, der ohne Beriicksichdgung der Halterung begangeii wird, etwa gleich
ToT,.Mit anwachsendem W wird er kleiner, bis C = C, wird. Sodann wird G
kleiner als C, urn bei den1 in der Nahe von 1 gelegenen W-Wert (6m) gleich Null
zu werden. Wahrend also bei kleineren W-WertenR)der Fehler von C, kleiner als
fur W = 0 ist, nimmt er fur gro5ere W betrachtliches AusmaB an. Fur groJ3eres W
ist also der EinfluB der Halterung auf C wesentlich starker als auf G . Seine Erfassung durch Anwendung der Beziehung (6d) ist unbedingt erforderlich.
+
9, Unter kleineren IY-Werten sind solche verstanden, diekleiner als der durch GI. (Gin)
gegebene Wert sind.
P r a n k f u r t / M., Kaiser-Wilhelm-Institut fur Biophysik.
(Bei der Redaktion oingegangen mi 9. Juni 1949.)
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