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Die Beugung des Lichtes an einem ebenen rechteckigen Keil von unendlicher Leitfhigkeit.

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131
8 . D i e Beugzcng de8 U c h t e s an e h e m ebmerc,
rechteckigen Redl v o n u!nendZicher Le$tf&Mgkeit;
von F r i t x R e i c h e .
1. Die dreifach veraweigte Sommerfeldeche Funktion.
Das Problem, das im folgenden streng gelost ist, kiinnen
wir, wie folgt, formulieren :
Auf den unendlich ausgedehnten ? ebenen , rechteckigen,
vollkommen leitenden Keil A 0 B (Fig. 1) fallen in der Einfallsrichtung 9. = 9' ebene in der
Zeichenebene polarisierte Lichtwellen. Es wird die Verteilung
der Eaergie im Raum anSerhalb des Keiles gesucht.
A_--,
Nehmen wir an, da6 alle
Vektoren des ,elektromagnetischen Feldes mit e i n t multipliziert sind (d. h. daB wir es
mit periodischen Zustanden von
der Frequenz n zu tun haben),
so genugt die zur Zeichenebene E )
senkrechte Komponente der elekFig. 1.
trischen Kraft der Gleicbnng
iy
iet. Dabei ist c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes
im Vakuum, I die Wellenlange. z und y sind die kartesischen
Koordinaten in der Zeichenebene, wobei 0 A die X-Ache ist.
9*
132
3'. Reiche.
Wir benutzen ferner die ebenen Polarkoordinaten r und 4,
die durch
I
X =TCOSi?,
y = r sin 6
definiert sind. Die Grenzbedingungen unseres Problems lauteii :
nicht an der in der schlichten
1)
A. Sommerfeld, Mathem. Ann. 47. p. 317. 1896.
133
Beugung des Lichtes.
Die auf der dreiblattrigen R i e m a n n schen Flache eindeutige
Wellenfunktion kann man nach Sommerfeld') in der Form
schreiben:
ein U
3
=
Y' - a? da.
(5)
@
&pro-.COB -
3
- aoa
~
3
(4
Der aus Fig. 3 ersichtliche, durch (A) bezeichnete Integrationsweg in der komplexen a-Ebene verliiuft im Unendlichen auf
schraffiertem Gehiet, wo ei k r c o s a unendlicb klein wird.
Fig. 3.
Die Funktion (5) h a t nach S o m m e r f e l d folgende vier
Eigenschaften :
1. u ist eine Losung der Differentialgleichung (1).
2. u ist in bezug auf 9. periodisch mit der Periode 6 a ,
also auf der dreiblattrigen Riemannschen FlLche mit dem Anfangspunkt als Verzweigungspunkt und der Linie 9. = -.(
8')
als Verzweigungsschnitt eindeutig.
3. Im Unendiichen (d. h. fur r = 00) des ersten Blattes
ist u = uo 3 e i k + c o s ( ~ $ ' - @ ) ; im Unendlichen der beiden anderen
Blitter ist u = 0.
4. Die Werte der Funktion in ubereinanderliegenden
Punkten der Riemannschen Flache erfullen die Beziehung:
'
-
u1 + uz + u3 = ?Lo.
(6)
Die Funktion u ist also diejenige Hilfsfunktion, aus der wir
durch viermalige Spiegelung die gesuchte Losung unseres
1)
A. S o m m e r f e l d , 1. c. p. 345. Formel
(5).
3. Reiche.
134
Beugungsproblems zusammensetzen werden. Geht man von 6
nach 9. + 2 7c bzw. 9.+ 4 n , so ist man aus dem ersten nach
dem zweiten bzw. dritten Blatt gelangt. Dabei verschiebt sich
der Integrationsweg ( A ) urn 2 z bzw. 4 n nach rechts.
2. Umformung der verzweigten Funktion fur die
numerische Berechnung.
Wir berechnen jetzt die Werte der Funktion (5) in den
drei Blattern. Dazu benutzen wir die folgende sehr einfache
Methode l): wir setzen
Sind X und Y bestimmt, so folgen die Werte
mittelbar aus (6), (?), (8). Setzt man
9‘ - 9 = 8
(9)
und bedenkt, daB
uo = , i k r c o s O
10)
7
so folgt auB (5) und (7)
X = _Jei
6ni
kr(cosa -case). sin
COB-
Y
-cos-
3
COB--cos-
3
%, u3 un-
u
3
1
a
idl,
8-2n
+-a
COB--
3
1
COB-
@-4G]
3
Hierauus ergibt sich:
1) Diese Methode der Berechnung verdsnke ich einer gtitigen Mitteilung von Hrn. Prof A. Sommerfeld.
Beugung des Lichtes.
wo
(14)
1) Vgl z. B. Jahnke u. Emde p. 169 und p. 95.
135
P.Reiche.
136
Dsbei haben wir der Kiirze halber bei den Hankelschen
Funktionen den oberen Index (2) fortgelassen. Aus (18) folgt
sofort:
Da fiir
T
= 00
u2 = us = 0 ,
ist, so ergibt sich:
und daher
x,,,
u1 = ?Lo
=1
wo Pl und ?a durch (19) definiert sind.
Auf ganz analogem Wege ergibt sich:
Nun ist nach (6), (7) und (8)
u1 = ?(X+
(a2)
uld =
Y),
-i-(l
910
- Y),
- X).
us = T(l
ec,
Also erhalten wir die Werte:
137
Beugung des Lichtes.
Es ist zu bedenken, daB die in (23) dargestellten Ausdriicke
die Werte der Funktion u in den drei ubereinnnder iiegenden
Punkten der Bliitter der Riemannschen Fllche sind. Das
heiSt, es ist
u1 = u1 (T,
9.)9
ug = ug (r, 6
us = us (r,9
+ 2 n),
+ 4 n).
Reduziert man daher alles auf laufende Koordinaten
erhalt man :
t , 8,
so
= us (a,&,r ) .
Die Ausdrucke fiir die Funktion u im zweiten und dritten
Blatt werden also formal identisch. Dies ist verstandlich, da
sich j a das zweite und dritte Blatt in ganz gleicher Weise,
nur mit Vertauschung von rechts und links an die Strahlrichtung (Verzweigungsschnitt) anlegen.
8 3. Berechnung der Funktion 24 ffir gro5e k r .
Wir brauchen im folgenden ftir u s e r Beugungsproblem
die Werte von u fur groBe k r . Setzen wir fur EI,,(k w) seinen
asymptotischen
Wert
.
.
(25)
so ergibt sich leicht:
m
I
iwo
T
4'- 4
T = ~/TG.cos---.
2
F.Reiche.
138
Ferner
(27)
e
_.z_i
3
-P,=e
i
_x _
6 .PI.
und daher auch T ist positiv im ersten und
dritten Blatt, negativ im zweiten Blatt. Da aber PI und P,
fur T =a Null merden miissen, so muB man schreiben
cos(9.'-89/2)
(29)
wo
Bei der hier festgesetzten Lage der drei Bliitter ist i m
ersten Blatt
Jr'- 8
2
cos ___
und
cos-
4'- 4
6
poitiv, wahrend in den beiden anderen Bliittern
cos
4
it'~
2
und cos--
8'- 4
6
verschiedenes Vorzeichen haben
8'- 8
im zweiten ist cos ___
im dritten ist cos
3'- Y
L -
< 0,.
COS-
> 0,
cos
4'- 4
6
4'- iY
> 0;
< 0)-
Beugung des Lichtes.
139
Daher kann man hier schreiben :
I
m
Die Berechnuhg von P verlluft genau wie bei So m m e r f el d. l)
Es ist
P= e-sp
(31)
1
1
1st a die Genauigkeit der Rechnung, und grenzen wir einen
,,ijbergttngsstreifen" ab auperhalb dessen
so konnen wir auperhalb dieses Ubergatigsstreifens in der
Reihe (31) uns auf das erste Glied beschrlnken. Die Begrenzung des ,,Ubergangsstreifens" ist eine Parabel, die die
Linien
8'-
19.=
7z
{4'+n
im ersten,
a = {8
$'+
im zweiten,
'+ 3 n
2T
4=
{
im dritten Blatt
als Achse umachliellt.
In dem Gebiet au@rhalb der Ubergangsparabeln gelangt
man so zu folgenden Naheruysformeln:
1)
A. S o m m e r f e l d , Mathem. Ann. 47. p. 359. 1896.
F. Reiche.
140
COB
,COB
4'- 4
___
1
kiinnen wir auch schreiben:
Y--4
2
1
- 4eid-
H- 4
6
Der Verlauf der Nullkurven von u in den drei Blattern ist
fast gensu derselbe wie in dem von Sommerfeld l) behandelten
Fall. Nur ist der Faktor des zweiten Gliedes von u1 bei
Sommerfeld:
=
$f
1
3'- y
4SCOS
'
___
2
toahrend er hier
ist, d. h. sich durch den Faktor
vom Sommerfeldschen Fall unterscheidet. Da nun im ersten
Blatt
-n <
17-
9. < 8 ,
so folgt
1<8<--.
2
rn
~~
1) 1. c. p. 362ff.
141
Beugung des Lichtes.
Der EinfluS des zweiten Gliedes ist also stets etwas starker
ale im Sommerfeldschen Falle, d. h. die Krauselungen der
Nnllkurven um die Geraden z = const. eind etiirker ausgepragt.
Auch in den ,,Ubergangsstreifen" ist der Verlauf der
Nullkurven ein ganz analoger, wie bei Sommerfeld, speziell
ist die GroBe der ,,Ecke" dieselbe.
g
4. Die Loeung dee Beugungeprobleme.
Wir setzen aus unserer verzweigten Losung u die gesuchte
Losung unseres Beugungsproblems U in folgender Weise durch
viermalige Spiegelung zusammen:
(34)
u=u(9.')-u(-tY)+u(3I+9.3-u(3n-q.
Wir zerlegen nun die Riemannsche Fliiche in etwas anderer,
zweckmiiI3igerer Weise in drei Rlfitter als es bisher geschehen.
Es sei im
(35)
1
ersten Blatt: - 272 < 9. < 0,
zweiten Blatt: 0 < 9. < 2 x ,
dritten Blatt: 2 n < 9. < 4 x .
Im zweiten, physikalischen Blatt liegt nur die Richtung 8
'
der einfallenden Welle; die gespiegelten Wellen mit den Rich-
r
7t
a'> -~n2
Fig. 4.
Fig. 5.
B'<
+
tungen (-8') hzw. 3 IC 9.' und 3 I - 9.' liegen im ersten
bzw. dritten Blatt, d. h. in den Hilfsblattern, und sind dadurch
gleichsam ,,unschadlich gemacht".
Wir zerlegen das physikalieche Blatt in die folgenden
sechs Gebiete (vgl. die Figg. 4 und 5).
F. Reiche.
142
W <z
72
Gebiet
< 4 < R - 4'
72 - a'< 4 < 4
'
I?'< 4 < 272 - W
0
0<8<4'
8'< 4 <7Z-W
n-$f<4<a+8'
3n
n + 9 < 4 < 7
3n
2n
3n
< a < an-s'
--<4<n+w
2
- Bf< B < 272
n + Y<
a <2 n
Es handelt sich nun darum, festzustellen, zu welchen der
drei friiher definierten Blatter in jedem dieser sechs Gebiete
die vier Funktionen u (8),
u (-W),
u (3 n+tY) und u ( 3 n-8')
gehoren.
Die drei (friiher definierten) Blatter sind fiir diese vier
Funktionen in folgender ! ohne weiteres verstandlicher Weise
charakterisiert :
Blatt
1
u (8')
+ 4'< 4 < 3 n + 3'
I
u(-Y)
- 3'-
n
< s < 72 - 4'
III
3%+a1<4 < 572+4'
Bf< 4 < a n 3n - a'< 4 < 5 n
Blatt
u(3 n f 4 1
u (3 72
n
+ y'< 8 < 4n + B'
+ &'< b < 6 n + 8'
6 p + 8'< 8 < 8 n + B'
R-
w
- af
- 4')
- W <4 < 4 - 4'
2n
2 72
4n
4 n - 8'<8.< 6 n - 8 '
6 n.-
4'< 4< 8 72 - 8'
Nun liegt aber nach unserer neuen Festlegung der drei
Blatter 9. stets zwischen - 2 n und + 4 R. Werte wie 5 n + #
kommen daher nicht vor, und sind durch ihre aiquivalenten
(5 n + 19') 6 n = 8'- n zu ersetzen. Die obige Tabelle andert
sich dann in folgender Weise ab:
-
Beu.yun9 des Lichtes.
143
~
Bhtt
l
a (@I
%(-a')
+
R < 4< n
w
n+4'<4<3n+8'
I
I1
8'-
-W-~<B<~--V
n - W < 4 <3 n - 4'
3 n - a < 4< 4 n
- 2~ < 8 < -4'-1~
Sn+8'< 4 <472
u(3 n
+ 8')
u(S*-#)
2n+3'<4<4n
an-
I1
- 2% + 9' < 4 < 4'
111
v <4 < 2 1F + 4'
a<4< 4 n - a
4n- W < Y < 4 %
-2n<4<-9/
{
-a<4< 2n-
8'
Aus dieser Tabelle ist ohne weiteres ersichtlich, zu welchem
der drei Blatter jede der vier Funktionen in den sechs verschiedenen Gebieten gehort. Es ergibt sich dabei das in den
folgenden beiden Tabellen enthaltene Resultat:
3
2
l 1
(4')
u(- 4
'
)
I
I
u(Sn+8')
n
94.
e((8 -lz
- w)
III
l
a
1
4
1
5
III
III
1x1
III
111
III
rn
111
2
3
4
I
II
II
III
I
I1
I
11.
III
III
111
I
1
6
111
144
F.Reiche.
Dies heiSt z. B.: im Gebiet 1 geharen u(4') und u(-9.')
zum ersten Blatt, u (3TC + 8')zum zweiten Blatt, u (3 m 9.')
zum dritten Blatt.
Die Gebiete 5 und 6 kommen ftir unser Problem nicht
in Frage, in ihnen ist identisch U = 0.
Mit Hilfe dieser Tabelle und der Formeln (34) und (24)
konnen wir nun die Losung unseres Beugungsproblems, niimlich die Werte von U in den sechs verschiedenen Gebieten
sofort hinschreiben. Wir unterscheiden debei die beiden Fiille :
-
--
Fall A: 8'< n
2
145
(37)
..
Die P, .P2'" gehen hieraus hervor, wenn man E&(Rw) an
Stelle von kA,(kza) setzt.
2. Gebiet 3 : (n - 8'< 8 < n
8').
U, geht aus U,, durch Fortlassen des zweiten Gliedes
hervor.
3. Gebiet 4: x + tY< 9 <
+
(
aua V,,
3n)
U, geht
Glieder hervor.
-
durch Fortlassen der beiden ereten
Fall B: Y'>
'IT
T
.
1. Gebiet I: (0 < 8
< x - W).
2. Gebiet 2 und 3 :
U,l= UIS.
< 2 li - 8').
(a - a'<
3. Gebiet 4 :
(272
u2.+ u,.
- &< 9. < 3;
1.
U,' geht aus U,, hervor, wenn das zseite Glied durch
e - i k r COB (fi't6)ersetzt
wird.
Wir wollen die Diskussion der erhaltenen Resultate nicht
an dieeen allgemeinen Formeln durchfuhren, sondern wollen
fur die auftretenden Integrale Naherungsformeln fur groBe k r
einfuhren. Es entspricht dies der gewohnlich in der Optik
verwendeten Anordnung, bei der man in Entfernungen beobachtet, die grot3 gegen die WellenliLnge sind.
Annolen der Physlk. 1V.Folge. 37.
10
P.Reiche.
146
Fur grope k r gelten dunn auperhulb der Ubergangsparabeln
die folgenden Naherungsformeln: im Fslle A ( 9 . ' ~
~12).
f
u12 - eikrcos(6'-fi) - eik+cos(9'+8)
Im Gebiete 3 fallt das zweite, im Gebiete 4 das erste und
zweite Glied fort.
Wir bilden nun die 2-Komponente der elektrischen Kraft
(39)
und setzen h = 2 n l l ; dann erhalt man1):
Fall A : 4'<
-
n
]l;rf(B,9.')cos2n
--f(S,9.')cos2n
nl
C
G4=-
y&f(i?,iY)cos2n
7c
-
[ I't - r - 3
A
[;
1
A
7
1,
- 'I.
- -- a
i- t
I
"
r
1
8
1) T bezeicbnet im folgenden die Scbwingungsdauer und ist nicht
mit der in (26) eingefiihrten GroBe zu verwechseln.
147
Beugung des Zichtes.
Dabei ist
(42)
. 4'+4
~~.
8'-8
sin -
sin
3
3
f ( 8 9')
, = ~sin (3'- 8) sin (3'- 8)
~~
Es sei nochmals hervorgeboben, da6 die Formeln (40)
und (41) nur gelten, wenn r grop ist gegen il und auperhalb der
Ubergangsparabeln, die die Geraden 9. = x - 9.' und 6 = n + 9.'
a h Achsen umgeben.
I n diesen Niiherungsformeln erkennt man ohne weiteres
die einfallende, die re%ektierte und die gebeugte Welle. Im
Gebiete 4 ist im Falle A nur gebeugtes Licht vorhanden,
wahrend im Falle B, in dem j a beide Seiten des Keils beleuchtet werden, zu dem gebeugten noch das einfallende und
reflektierte Licht hinzukommen. Im Falle B exietiert also kein
Gebiet, dss man als ,,Gebiet des geometrischen Schattens" bezeichnen kann.
Wiihrend die einfallende und reflektierte Welle durchaus
den Charakter ebener Wellen tragen, ist die gebeugte Welle
eine typische Zylinderwelle, die sich mit der bekannten Phasenverzagerung x / 4 vom Windungspunkt aus fortpflanzt. Die
Abnahme der Amplitude mit der Entfernung ist durch 1
gegeben. Au6erdem variiert die Amplitude, bei festem T , noch
mit der Funktion f (a,#). Beachtet man, da6
(43)
I
1
f * ( Q ) = ___
a'+$
4 COSS
~
-
3
so' ergibt sich fur f (a,@)
etwa der in Fig. 6 dargestellte Verlauf. f (a,#) ist = 0 fiir 9. = 0 , nimmt ab bis zum ersten
Ubergangsstreifen. Jenseits dieses Streifens beginnt es mit
einem positiven Wert und steigt bis zum zweiten Ubergangsstreifen; jenseits dieses zweiten Streifens beginnt f (8,
9')
wiederum mit einem negativen Werte und steigt bis Null, ein
Wert, den es fur 6 = 3 x / 2 erreicht. Bildet man If (8,8')i,
10*
148
F. Reiche.
so kann man also sagen: geht man auf einem Kreise r = const.
um den Windungspunkt herum, bei 9. = 0 beginnend, so nimmt
die Amplitude des gebeugten Lichtes, ihrem absoluten Werte
nach, von Null an bis zum ersten Ubergangsstreifen zu; jenseits des ersten Streifens beginnt sis bei einem hoheren Werte
und steigt weiter bis zum zweiten Ubergangsstreifen, in den
die geometrische Schattengrenze des einfallenden Lichtes fallt.
Fig. 6 .
I m Schattengebiete selbst nimmt dann die Amplitude stetig
bis Null ab.
Man sieht sofort, dap im Schattengebiete Reine BeuyungsDiese sind vielmehr auf den beleuchteten
Teil des Raumes beschrankt; man kann sie als die Interferenzerscheinung ansehen, die durch die einfallende bzw. reflektierte
und die gebeugte Welle erzeugt wird.
Betrachten wir z. B. im Falle A das Gebiet 3 und bilden
die Intensitat
streifen entstehen.
~~
(44)
I3 = gsa
so folgt bei Vernachlassigung von Gliedern hoherer Ordnung
Beugung des Aichtes.
149
Sieht man von den verhjiltnismafiig langsamen Variationen
von f ( t ? , 8 ) ab und bedenkt, daB f ( 8 , W )im Gebiete 3 positiv
ist, so erkennt man: es liegen
I
I
4'- 4
Mazima bei toss= [& ( 2 m
2
m = 0,1, 2, 3
+ 1) - +IG,1
.. .
1
Minima bei cosa --= [ f 2 m - 43 -.
(46)
2
493
Der Abstand (in BogenmaB) zweier aufeinanderfolgender bei
9. = 8, liegender Beugurigsstreifen' ist etwa
4'- .4
=
9
1
sin(at, - 8')
5. Erglinsung fur die ,,~bergangsstreifencc.
Die bisher diskutierten Formeln gelten nicht in den Ubergangsstreifen. Um auch fur diese Gebiete @ zu berechnen,
miissen wir auf die exakten Formeln (30)zuruckgreifen. Allerdings sind auch diese nnr Naherungsformeln fur gro6e Werte
von T IA , indessen bleiben sie auch i n den ~berganysgebietengiiZt9.
Wir wollen hier nur den Fall A behandeln und stellen die
Formeln fir U im Gebiet 2, 3 und 4 auf. Es ergeben sich
folgende Resultate :
Gebiet 2: I?'< 9. < a - 9.'.
(
ua
~
,ikrcoa(6'-6)
- eikrcos(9'+t))
ni
-
-2e'
*
peikrcos(W-t9)
-
ni
COB
leas
a>4
2
8'- 9
cos-
4'- 4
.7
6
4'- 4
sin -
.
4
ein 4'Y..
6
F. Reiche.
150
I
m
P=Je-iuadu;
I/ml c o s @ q
(48)
m
y' = J e - i u a d u ;
pFr
~ c o s y l
m
Y'l = S e - i u * d u -
j7It1
=
i
e-iddu,
Beugung des Jichtes.
151
und wenn F h r (9.' eine kleine Gr66e ist:
m
VZkr
ni
,* _
-_
1/3n
VaZG w
Das lntegral im zweiten Gliede ist ohne weiteres nach
Formel (31) zu entwickeln. Dann folgt
- Zi
_
1st nun, wie vorausgesetzt, 9/ so klein, daJ3, trotz des groSen
Wertes von
der Ausdruck F r - W Mein ist, dann
kann man schreiben:
F,
f
V K r 8'
i
pG 6'
e-iufdu
-
0
S
e-iuu'du
0
i
-n
-~
Daher
=gt&
-'1/2k..9.'.
3. Beiche.
152
Das letzte Qlied in der Klammer ist das allein ausschlaggebende ; es stellt eine vom Windungspunkte ausgehende Welle
dar, deren Amplitude zwar sehr klein ist, aber inperhalb eines
gewissen Bereiches von r-Werten, wie 1/1; mit wachsendem T
zuimmt.
2. 9'=
I,das einfallende Licht fallt senkrecht auf
die
eine Keilkante.
oo
xi
oder, wenn man das Integral nach (31) entwickelt
. Man erkennt in den drei Qliedern die einfallende Welle, die
reflektierte Welle, deren Amplitude
Zylinderwelle.
3. 9.' betrachtlich von 0 und
+ ist,
und die gebeugte
verschieden.
__
D a m sind 1 2 Rrsin8' und 1 / 2 c o s W als gro6 zu betrachten, und man kann in (49) und (50) die Integrale 7, 7'')T''
entwickeln. Dann folgt:
f
(53)
I
1
(J(w
- &')
= e-ikrcoa26'
- +e-
-ikr--i?
-
e
2
il +
ikr
VGaG
Es hat also auf der ,,Schattengrenze der reflektierten Welle"
diese reflektierte Welle stets die Amplitude
Auf der wahren Scltattengrenze (der einfallenden Welle)
9. = n + 9' ergeben sich ganz analoge Ausdrticke. Speziell
ist im Fall (3)
+.
153
Beugung des Lichtes.
Wir wollen endlich den Ausdruck U, im zweiten UbergangsNach p. 150 ist
streifen allgemein betrachten.
xi
-
+ 1/G
2e4
COB
4'
ni
+
ze4
__
VG
~
eihrcos(W+9)
~-
(55) '
4' + 4
sin
- i Ir
T
cos (@'-S)
2
+4
+ 4 * 7'
cos w
-~
6
w-4
Ti
~
2
lsin l't' - 4
sin w -6 8 -7''
~
Die 'J sind dabei durch (48) gegeben.
Wir setzen
9 = 9r i9.'- u,
wo
a!
ein kleiner positiver Winkel sei.
Dann ist
(57)
Es sei nun 9.' von 0 und 7d/2 betrachtlich verschieden. Dann
sind die unteren Grenzen der Integrale 7',
P'" groB und die
Integrale konnen nach (31)entwickelt werden, wenn wir aus
der nbergangsparabel 2 noch das Gebiet ausschalten, das sie
mit dem ersten Ubergangsstreifen gemeinsam hat. Dann ergibt sich:
a',
F. Reiche.
154
i
W
I
V 3 k T
sin
-;
Im zweiten und letzten Gliede wollen wir noch in den wenig
empfindlichen Faktoren a einfach = 0 setzen. Dann folgt,
wenn wir noch
VZkr sin
W
,f
+
in
e- i u s d
u=frf;e-T-l
,-in?
du
0
sin
setzen,
( u'
=
4-e-
i k r cos a
1'G sin Q
xi
~
(59) .
0
-ikv-i
I
-3 e
Wir aetzen
cos
(60)
(:3'- );
sin 2 B'
]
-+
= f(83
una
V8lirsin Q
2
(61)
Je-iU'du =
~ ( s) i
~(s).
0
Dabei ist
~
(62)
s = 12krsin
a2 -
I.
155
Beugung des Jichtes.
Wir bilden nun
2nit
dann ergibt sich bei Vernachlassigung von Gliedern hoherer
Ordnung :
+
dg
[
2 n r (I -cos a )
f ( ~ c) sin I
-- s c o s
I
4
Es seien:
(63)
{
C(s)
I
,
2nr(l-cosa)
.
-
- sin
+ C(c0)= C(8) + $ pG =
-1
2n r (1 -COB a )
~
I
Cf(S),
+ 8 (00) = 8 (s) + 1 p = S' (s).
S (s)
Dann kann man schreiben :
oder:
+d&f(W)
(65) I = n1- (P
+ S'a)
[C'. sin (s2)- S' cos ( 8 3 .
Die Stellen, an denen I Extremalwerte aufweist, ergeben sich
aus der Gleichung:
dd sI = O
oder:
C'cos(s2)+ S'sin(az) = 0.
Hierfiir kann man auch schreiben:
d
ds
-(Cf%
(66)
+ S'2) = 0,
d. h. die Extremalstellen von I fallen mit denen von C'2+S'2
zusammen. C' und S' sind an der bekannten Cornuschen
Spirale geometrisch zu deuten. 1st (Fig. 7) Ohp=s, dann ist
PQ = C',
Q P = S',
-
F P 2 = C"+ 5".
F. Reiche. Beuyung
156
des
Lichtes.
Lauft der Punkt P von 0 aus in positiver Bichtung (nach
rechts) auf der Spirale fort, so vollfuhrt P P die bekannten
Fig. 7.
Schwankungen, die die Maxima und Minima (Beugungsstreifen)
an der Schattengrenze darstellen.
SchluB.
Als Ergebnis der vorliegenden Untersuchung konnen wir
folgendes Resultat aussprechen: Der keilfdrmige Schirm verhalt sich in seiner Beugungswirkung dem unendlich diinnen
Schirm dnrchans analog. Mit anderen Worten: auf die .Form
des Schirmes Rommt es im mesentlichen nicht an. Der EinfluB
derjenigen Teile des beugenden Korpers, die der direkten Bestrahlung entzogen sind, d. h. der beschatteten Partien; ist
somit nur gering. Dies bietet eine neue Stutze fiir die
H u y g e n s Kirchhoffsche Beugungstheorie, die die resultierende Beugungserscheinung aus Integralen berechnet, die
nur iiber belichtete Flachen erstreckt sind.
B e r l i n , November 1911.
-
(Eingegangen 20. November 1911.)
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beugung, die, ebene, rechteckigen, lichtes, keil, eine, des, von, unendlicher, leitfhigkeit
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