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Die Beugung ebener Lichtwellen bei beliebiger Lage der Einfallsebene gegenber der beugenden Kante.

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1241
13. D i e Beugwng ebener &ich#welZem
bei beliebiger L a g e d e r Einfallsebene gegenuber
d e r beugenden K a n t e ;
von A u g u s t W i e g r e f e .
Die hier in Angriff genommenen Probleme der mathematischen Beugungstheorie , die bei im Unendlichen gelegener
Lichtquelle nur eine geradlinige beugende Kante enthalten,
gehen in der Hauptsache dadurch iiber den angenblicklichen
Stand der Theorie hinans, daE in ihnen die Lage der Einfallsebene nicht mehr beschrankenden Bedingungen unterworfen
ist. I n allen bisherigen Arbeiten ist die Einfallsebene - soweit ebene Wellen in Frage kommen - senkrecht zur beugenden Kante angenommen. Fiir die bislang theoretisch allein
behandelten geradlinigen Kanten ist das meines Wissens auch
experimentell der einzig untersuchte Fall.
Far mich lag der AnlaS, meinerseits die Lage der Einfallsebene als beliebig voranszusetzen, vor allem in methodischen
Gesichtspunkten. Es muEte interessieren, inwieweit die elegante C a r s l a w-Somm e r feld sche Methode, nene Losungen
der Wellengleichung A u K z u = 0 durch komplexe Integrale
iiber bekannte Grundlosungen zu erhalten, zu brauchbaren
Ergebnissen fiihrt. Von den zahlreichen unter diesem Gesichtspunkte behandelten Fragen lief3 sich eine Reihe von Problemen
mit beliebiger Lage der Einfallsebene leicht erledigen: Vor
allem die Beugung ebener Wellen durch eine alles reflektjerende
Halbebene, dann auch der entsprechende Fall fur die schwarze
nnd die absolut schwarze Halbebene, ferner fur den F r e s n e l schen Doppelspiegel bei beliebiger Spiegeloffnung, nnd schlief3lich auch fiir einen Keil aus einer alles reflektierenden und
einer schwarzen Halbebene. Von diesen Problemen braucht
nur eins ausfiihrlich behandelt zu werden, da sich dann die
iibrigen leicht durch einfache Verallgemeinerungen oder als
Spezialfalle gewinnen lassen; wir wilhlen hier zur genaueren
Annalen der Phpmk. IV. Folgs. 42
80
+
1242
A. JViegrefe.
Betrachtung als in gewisser Weise einfachstes Problem das
der alles reflektierenden Halbebene.
8 1.
Koordinaten und Bedingungen.
Wir legen die beugende Kante der Halbebene mit unendlicher Leitfahigkeit in die z - Achse eines rechtwinkligen,
rechtshandigen Systems, dessen positive z-Achse in die Ebene
des Schirmes falle, so daB die y-Achse zur Normalen des
Schirmes wird. Daneben fiihren wir noch raumliche Polarkoordinaten durch die Qleichungen
z = T sinJI , I cos y ; y = r sin q i sin e; z = r cosO, I
ein, wo 0 < 9 < n iut.
Charakterisieren wir das umgebende Medium durch die
Konstante l)
2n
k =I&p*~
C'T
'
so haben wir bei einfarbigem Lichte von der Periode t und
stationarem Zustande fur die komplexen Feldstarken &' und 8'
mit den Komponenten X YZ' und 8'3C' die Differentialgleichungen zu erfiillen :
d &' + itaQ' = 0; div Q' = 0 ; d 8' + ha@)' = 0; div @' = 0.
Das einfallende Licht sol1 in bekannter Weise aus ebenen,
homogenen Wellen l) bestehen , deren Einfallsebene beliebig
zur beugenden Kante der alles reflektierenden Halbebene
liegt. Die Einfallsrichtung laBt sich durch ~p = 'pot y = yo
eindeutig festlegen, wobei rpo urid vo in derselben Weise gerechnet werden sollen wie e und y.
Da das zu behandelnde Problem durch die Einfiihrung
der beliebigen Lage der Einfallsebene dreidimensionnl ist, betrachten wir wie beim F r e s n elschen Doppelspiegel m i t einer
punktformigen Lichtquelle a) zwei einfachere Falle an Stelle
des allgemeinen Polarisationszustdndes:
a) Y' = 0. Alsdann fiihrt
1) Vgl. z. B. A. S o m m e r f e l d , Ann. Math. 47. p. 317-374. 1896.
21 A. W i e g r e f e , Dissertation, Uber einige mehrwertige Losungen
der Wellengleichung A zi kPu= 0 und ihre Anwendung in der Beugungs-
+
1243
Die Beupng ebener Lielitwellen usw,
das raumliche Wellenpotential u ein, das der Differentialgleichung A u + Ra 11 = 0 gentigen mu&
b) B' = 0 , was die Annahme
Z'=-
z.- - C.T
-.
2n
I asu
--__
E
ayax
hervorruft, wo wieder alle Differentialgleichungen flir X' Y'2'
A' B' C' erfiillt sind, wenn u dieselbe Bleichung A u Rau = 0
befriedigt.
Fur u gelten nun insgesamt die folgenden Bedingungen:
1. u erfullt bis auf die beugende Kante die Wellengleichung.
2. u und seine ersten und zweiten Differentialquotienten
nach x y z miissen iiberall bis auf die beugende Kante stetig
sein und auEerdem endlich, auch fur r = co, da die Lichtquelle im Unendlichen liegen soll.
3. F u r y = 0 und cp = 2 n (d. h. auf dem alles reflektierenden Schirm) miissen die elektrischen Komponenten
parallel dem Schirm verschwinden; also mu8 im Falle a)
bzw. b) fur y = 0 und cp = 2 n gelten:
+
bzw.
au
-=O.
aY
F u r ein anderes 9 diirfen diese Bedingungen nicht erfiillt sein.
4 . SchlieElich mu8 u samt seinen ersten und zweiten
partiellen Differentialquotienten nach x, y und z wegen des
Vorhandenseins der einen beugenden Kante auf einer zweiblattrigen Riemannschen Flache eindeutig sein und daselbst
solche Schattenwirkungen liefern, die den Gesetzen der geometrischen Optik nicht widersprechen. Sie mussen offenbar
allein und ebenso von yo abhangen wie im Spezialfalle
u=O
yo = n12.
§ 2. Aufetellung der Losungen in Form kompleser IntegTale.
Nach der Carslaw-Sommmerfeldschen Methode geht
man zur Gewinnung mehrwertiger Losungen von A u + R2 u = 0
theorie, Gottingen 1912, p. 52 (im folgenden als Dins. eitiert); oder A . W i e g r e f e , Ann. d. Phys. 39. p. 459. 1912.
80*
1244
A. Wiegrefe.
von den entsprechenden einwertigen Losungen aus. Letztere
ergeben sich dadurch, da6 man sich aus dem betreffenden
Problem die beugende Kante fortdenkt, also in unserem Falle
ebene Wellen mit der Einfall~lrichtung rpow0 in einem unendlioh ausgedehnten Medium mit der Konstanten k betrachtet :
u1 = ,i k r [sin
I/J~
sin y cos (rp
- yo)+ eos pocos y]
.
Diese Grundlosung ist in ein komplexes Integral zu verwandeln
unter dem Gesichtspunkte , da5 die gesuchte mehrwertige
Losung in
die Periode 4 x haben mu8, wahrend sich die
Verhaltnisse fur y nicht iindern diirfen. Eine derartige Mehrwertigkeit laBt sich an folgender Funktion anbringen :
u1 = 2n
$eikr
63
[sin y osiny cos ('p - a )
+ cos yoc o s y ]
da
1
- ei(a-%)
.
Uegeniiber der urspriinglichen Form ist hierin zunachst fur yo
die Integrationsvarittble a! gesetzt und dann rpo so rnit oc verbunden, daB rpo vorerst die Periode 2 n behalt und das ganze
Integral dabei die Grundlosung darstellt. Logischer ware
es noch, qu auf gleiche Weise durch CG zu ersetzen. Man
kann in der Tat so verfahren; w i r haben hier obige Form
gewahlt, urn spater direkter die Resultate der vorhandenen
Arbeiten verwerten zu kiinnen.
Urn aus diesem u1 die gewtinschte zweiwertige Funktion
zu erhalten, mnssen wir zunachst den geschlossenen Integrationsweg in eiuen nicht geschlossenen deformieren. Da nun die
Exponentialfunktion unter dem Integral bei positivem Imaginarteil von sin yosin y cos ( y - a!) + cos yocos q stets endlich
bleibt, fur a! = 00 wie fur T = 00 sogar stark gegen Null konvergiert, bei negativem Imaginarteil dagegen sowohl fiir oc = 00
wie fur T = 00 unendlich groB wird, diirfen wir den Integrationsweg nur so verwandeln, da6 er sich iiberall auf Gebiete mit
der ersten Eigenschaft, ,,schraffierte Gebiete", deformieren lafit,
so daf3 besonders die Endpunkte auf schrafiertes Gebiet gelegt
werden milssen. Diese Endpunkte werden wir a d e r d e m zweckma6ig ins Unendliche der a!-Ebene verschieben, da ihre Lage
mit den von 9 abhangigen schraffierten Gebieten wechselt,
also auch yon 9 abhangen wird. Bei dieser Wahl der Endpunkte brauchen wir namlich wegen des Verschwindens der
Exponentialfunktion fur a! = 00 die eben genannte Abhilngig-
Die Beugung ebener Liclitwellen
usw.
1245
keit von y bei Differentiationen von u1 nach z und y nicht zu
beriicksichtigen.
Das Vorzeichen des Imaginarteils von sin yosin y cos (tp- a)
cog yocos y hangt nun nur von cos(tp - u) ab, da cos yocos y
reell und sin yosin y reell und iiberdies positiv ist. Daher
haben wir hier ganz dieselben schraffierten Gebiete wie bei
senkrechter Lage der Einfallsebene zur beugenden Kante. Wir
erreichen also alle oben ausgesprochenen Anforderungen in
bezug auf den Integrationsweg leicht, wenn wir ihn in die
+
Fig. 1.
bekannten Wege P + W l ) verwandeln (Fig. l), wo P bzw. W
van f (u + tp bis f w
tp & 2 n geht, ohne die reelle Achse
zu schneiden, wahrend fur w gilt:
+
und
-w<%e(o)<O
9rn(~)=+cn>O.
Aus diesem u1 erhalten wir eine in der gewiinschten Weise
zweiwertige Funktion, indem wir im Nenner des Integranden
statt a! - yo einfach (u rp0)/2 schreiben:
-
a
VfW
,i k r [sin p o sin p cos (cp
- a) + conyo c o s y ] .
1- e 2
Der Faktor $ ist hinzugefugt, um noch
i k r [sin yosin p COB ('p - TJ + COB yocos p]
als Residuum zu behalten.
1) Diss. p. 16.
Wir behaupten nun, daS wir in
die Losung des Problems der alles reflektierenden Halbebene
bei beliebiger Lage der Einfallsebene vor u s haben. 7.- und Win "(2) (- y) entstehen wie schon in fruheren Fallen aus Pund W
durch Vertauschung von rp mit -9, was geschehen muB, um
die Integrationswege bei verandertem q auf den damit auch
geanderten schrafierten Bereichen zu hslten. l)
Der Nachweis, da6 u ( ~(+
) rp) T U ( Z )(- rp) alle vier Bedingungen unseres Problems erfilllt, ist nun leicht erbracht :
1. Die anfgestellte Funktion ist eine LSsung der Wellengleichung A u + ha u = 0, da die Differentiation nur unter dem
Integralzeichen vorgenommen zu werden braucht.
2. Die Wahl der Integrationswege sichert uns Stetigkeit
und Endlichkeit auBer in der beugenden Kante r sin y = 0 und
mit Ausnahme des Spezialfalles s i n y o = 0. Uber letzteren
siehe 8 5. F u r r = o speziell bleiben nur Residuen iibrig,
die u1(+ rp) u1 (- rp) liefern, von denen u1 (+rp) fur - cz +
rpo<sp<+n+4po und u , ( - r p ) fur --n-qj,<rp<+n
yo gebraucht werden muB.
3. Unter der sofort zu beweisenden Annahme, daB die
Funktionen unter den Integralen in rp die Periode 4-n haben,
ist dargetan, daS fur rp = 0 und rp = 272 - allgemein fiir
cp = 2 h cz - die Integrationswege 7 und V- bzw. W und Widentisch oder aquivalent werden. Das gilt dagegen nicht
mehr fiir rp = n oder irgend ein anderes 9. AuBerdem werden
= 2 h n auch die Integrationselemente
aber fiir 4p = 0 und
von u ( + a) und u ( - rp) einander gleich, so da8 zunachst der
Fall a) erledigt ist. Da nun weiter -~
au, ( + rp) = - a u , ( - 94
aY
aY
ist, so ist auch die Grenzbedingung im Falle b) erfiillt.
4. Durch die Substitution a! - = a!' bzw. a! + rp = U"
+
-
1)
Dine. p. 47.
Die Beugung ebener Lirhtwellen usw.
1247
in up)(+cp) bzw. "(2) (- 9)erkennt man sofort die Richtigkeit
der Behauptung, daf3 unsere Losung in 9 die Periode 4 w
besitzt. Das gleiche gilt daher auch f i r die Differentialquotienten von up). Die Schattenwirkungen sind schlie0lich
dieselben wie im Spezialfalle yo = n / 2 , da sie nur von der
Lage der Pole der Integrationselemente zu den Integrationswegen abhlingenl) und beide durch die Einfarung von
cosy,,
0 nicht beriihrt werden.
Zum SchluB setzen wir unsere L6snng noch in einer
Form mit von q j unabhlngigem, festem Integrationsweg ru bis
w + 2 w hierher 9
+
(PI
"(Z,(+
'F U(2)(-- (PI
(0
4- 2,)
r
n
-
ei k r cos tpocos p
/
1
27l.Zi
(w
8 3.
sin 2 d 4
2
. ___-..__ e i k r sln yo sin y
'Pn
cos
- cos 'P
-
-
f
cos
C
2
+n 2n)
Die LoEUngen einiger weiterer Beugungsprobleme
bei beliebiper Lage der Einfallsebene.
Bus der soeben gewonnenen Lasung fur die Beugung urn
die alles reflektierende Halbebene lassen sich nun die Losungen
schon fiir den Spezialfall q,,= n / 2 behandelter Probleme ohne
weiteres hinschreiben. So erhalten wir in bekannter Weise
fur die schwarze Halbebene: 3,
ei k s COS 'yJo COB
"(n)
dn
=
Vt
w
1-
- (Q
eikrsinp,sinpcoa(a--)
-
1
To)
ell
speziell ftir die absolut schwarze Halbebene: 4,
e i k s cos yro cos ?p
Ulrn)=
--
2n i
VC
a
i k r sin ?posin ' p cos (a
- v)
rv
1) Diss. p. 21.
2) A. Sommerfeld, 1. c. p. 343.
3) W.Voigt, Komp. der theor. Phys. 11, p. 768, od. A. W i e g r e f e ,
Diss. p. 13 u. 16.
4) Dim p. 47 oder Ann. d. Phye. 39. p. 457. 1912.
A. Wiegrefe.
1248
ferner fur einen Keil aus zwei alles reflektierenden Halbebenen von der beliebigen Winkeloffnung x:l)
oder in anderer Form:
ei k r
00s
pacos y
If--i"-J--L~)
1 V-
da
e x
,ikrfhyosinycos(cf
+ v).
+ W-
SchlieBlich laBt sich auch das bisher noch nicht im Spezialfall yo = n / 2 geloste Problem der Beugung durch einen Keil
aus einer alles reflektierenden und einer schwarzen Halbebene
erledigen :
e i k r cos y o COB y
da
e i k r sin yosin y cos (a
+ q).
v- + WDabei ist die alles reflektierende Halbebene nach sp = 0 gelegt,
so da6 u = 0 bzw. a u / a y = 0 im physikalischen Blatte allein
fur sp = 0 gilt, im angehangten Riemannschen Raume auBerdem noch fur y = 2 n n. Der schwarze Schirm, der auch
nicht eben zu sein braucht2), kann beliebig gewahlt werden.
1) Diss. p. 49 oder Ann. d. Phps. 39. p. 458. 1912.
2) W. Voigt, Gijtt. Nachr. 1899. p, 4.
Die Beuggung ebener Lichtwellen usw.
1249
R kann auch den Wert co annebmen, was auf einen Keil aus
einer alles reflektierenden und einer absolut schwarzen Halbebene hinfiihrt.
S
4.
Umsetzung der komplexen Integrale in Annaherungen und
Diskussion der Losungen.
Fur die Behandlung der erhaltenen komplexen Integrale
ist es natiirlich in allen Fallen von groBem Vorteile, daB sich
die Integrationsvariablen in den Integralen in ganz derselben
Weise vorfinden wie im Spezialfalle yo = n/$. Der Paktor
ei*rcosvcosvo kommt ja fur die Integration gar nicht in Frage
und im Integrale steht nur an Stelle der Konstanten k r der
fiir die Integration auch a19 konstant zu behandelnde Ausdruck
k r sin y sin wo. Wir konnen somit alle fruheren Annaherungen 1)
einfach ubertragen, wenn wir in ihnen nur k r sin w sin yo fur
k r schreiben und den Faktor ei*Tcosvocosv hinzufiigen. Es ist
daher bloI3 noch zu uberlegen, wie sich dadurch, d. h. naturlich nur durch k r sin q sin yo statt k r, der Gultigkeitsbereich
der drei Arten l) von Anniiherungen, die wir stets aufstellten,
andert :
1. Die in der unmittelbaren Umgebung der beugenden
Kante r = 0 verwendbaren, aber iiberall konvergierenden Reihen
mit B e s s elschen Funktionen 2, waren Potenzreihen mit k T als
Reihenvariabler. Durch die Einfiihrung von k r sin y osin tp wird
natiirlich zunachst die beugende Kante durch r sin y =0 definiert
statt durch T = 0. Der E’aktor sinqjr, wirkt dann aiif eine
VergrBBerung des Gultigkeitsbereichs dieser Annaherungen hin
fur alle yo3 n/,. Den Spezialfall qo= 0 bzw. n, in dem
alle Glieder bis auf das erste zu Null werden, wollen wir nachher noch besonders besprechen.
2. F u r die direkte Umgebung der Schattengrenzen hat
Hr. S o m m e r f e l d im Falle des alles reflektierenden Schirms
einen iiberall giiltigen Ausdruck aufgestellt 3), der natiirlich
1) A. S o m m e r f e l d , Ann. Math. 47. p. 346, 359, 360-361. 1896;
A. W i e g r e f e , Diss. p. 17, 18, 24, 25, 30, 56, 57-59, 61 od. Ann. d. Phys.
39. p. 451, 462, 463-465, 466. 1912.
2) A. S o m m e r f e l d , 1. c. p. 346; A. W i e g r e f e , Diss. p. 18, 56;
Ann. d. Phys. 1. c. p. 462.
3) A. S o m m e r f e l d , 1. c. p. 359; A. W i e g r e f e , Diss. p. 17.
1250
A . Wiegrefe.
auch bei den hier eintretenden Anderungen seine Allgemeingiiltigkeit behalt. Fiir den absolut schwarzen Schirm kommt
eine in der ganzen R i e m a n n schen Flache konvergierende
unendliche Integralreihe l) in Betracht, deren erstes Glied in
der direkten, noch nicht genau umgrenzbaren Umgebung 7 der
Schattengrenzen allein mit einer beliebigen Genauigkeit gebraucht werden kann. Da sich in dieser Reihe k r hauptsachlich in der oberen Grenze von Integralen der Form
--m
+
befindet, wo P = rp - rp, - a bzw. = rp - yo a den Winkelabstand von den Schettengrenzen rp = yo f n angibt und
h = 0 , 2 , 4 . . ist, so kann P um so gro8er werden, je kleiner
sin qo in k r sin y sin yo ist, da es bei Gebrauch nur des ersten
Gliedes im wesentlichen darauf ankommt, da6 diese Integrale
moglichst klein sind. Der Giiltigkeitsbereich dieser Annaherungen
vergriifiert sich also. Und das um so mehr, als auch noch
vor allen Integralen mit Ansnahme des ersten der Faktor
( R r s i n y , sin9)h zu stehen kommt, wo h 2 1 ist. Im Falle
sin 'ly, = 0 bleibt daher sogar nur das erste Glied iibrig.
Darauf kommen wir spater noch zu sprechen.
Ganz ahnlich liegen nun die Verhaltnisse fur beliebiges
n und fur den Keil mit n = xlz. Auch hier ergibt sich eine
VergrbEerung des Giiltigkeitsbereichs der durch das erste Glied
einer semikonvergenten Integralreihe dargestellten Annaherung? fiir die Umgebung der Schattengrenzen. Wie aber
schon die Reihe selbst nicht mehr auf der ganzen R i e m a n n schen Flache gilt, fallen auch nicht fur 9, = 0 oder x alle
Glieder der Reihe bis auf das erste fort, da hier auch die
hoheren Reihenglieder teilweise nicht den Faktor k r sin yosin w
haben. Den Fall des Keils aus einer alles reflektierenden
und einer schwarzen Halbebene haben wir natiirlich in den
obigen Auseinandersetzungen gleich mit erledigt.
.
1) Diss. p. 30; Ann. d. Phys., 1. c. p. 451.
2) Diss. p. 33.
3) Dim. p. 57-59;
Ann. d. Phys., 1. c. p. 463-465.
Die Beugung ebener Lichtwellen usto.
1251
3. In bestimmter, aber auch noch nicht formelma8ig festgelegter Entfernung von der beugenden Kante und den Schattengrenzen l) geniigt in alien Problemen zur Darstellung der
LBsungen das erste Glied einer semikonvergenten Reihe2) nach
Potenzen von 1/k r, also in unserem Falle nach 1/k r sin 9 sin vo.
Hier wird mithin das Gebiet vergrOBert, in dem diese Annaherung nicht mehr gilt; im Falle sin yo = 0 ist sogar die ganze
Reihe unbrauchbar.
Sehen wir daher noch von dem Falle sin v0= 0 ab, so
kSnnen wir alles in allem auch in unseren verallgemeinerten
Problemen in allen wichtigen (3ebieten brauchbare Annaherungen verwenden.
Was nun die h d e r u n g der Erscheinung durch die Einfuhrung der beliebigen Lage der Einfallsebene angeht, so
hangt auch sie wieder von dem Faktor e i k * c o s v o c o s v = e i k e c o s v o
nnd von k r sin y~sin yo ab. Der Faktor vor dem Integral veranlaBt die Entstehung eines periodischen Zustandes in der
2n
Richtung der beugenden Kante ‘mit der Periode z = ---
’
COB
yo
k COB vo
die fur sin q0= 0 den Wert f A annimmt.
=
Fur
qo= .I2 waren die Ebenen senkrecht zur z-Achse gleichwertig.
Die Anwesenheit von k r sin qosin y in unseren Funktionen an
Stelle von Rr weist auf eine Verzerrung des ganzen Bildes im
Falle y o = “12 hin. Bezeichnet 1 das stets positiv gerechnete
Lot auf der z-Achse nach irgend einer Richtung hin, so steht
jetzt Esiny, fur I , denn fur q0= w / 2 stellt t weiter nichts
dar a19 das Lot 1. Daher ist die Verzerrung eine VergrOSerung proportional mit sin yo.
Nun bestand die Erscheinung fur q0= 7212 in der Haupt-
dT
Die
sache stets aus einer gedampften Zylinderwelle
neben
e
-ikr
der einfallenden ebenen Welle e i k r c o s (P-PO).
Achse des Zylinders war die beugende Kante. Statt dessen erhalten wir jetzt
in allen Gebieten auEerhalb der direkten Umgebung der
1) Dies. p. 26.
2) A. S o m m e r f e l d , 1. c. p. 360-361; A. W i e g r e f e , Dies. p. 18,
24, 25, 56; Ann. d. Phys., 1. c. p. 451, 462.
1252
A. Wiegrefe.
Schattengrenzen und der beugenden Kante neben der einfallenden Well@e i k r [sin sin Y OC O (v-vo)
~
f COB w COB YO] cine gedampfte
Welle
1~
i1
r sin
--y’ sin yoe
f
i k r cos w cos y o
.e
- i k T sin 7p sin %p0
=l/-----e
i k T cos (w I- v o )
1”
1 sin yo
Die Dampfung ist also eine geringere geworden, und zwar um
so mehr, je naher s i n y o an Null liegt. Sodann erhalten wir
wegen
T cos (q+ yo)
= z cos yo- I sin yo
an Stelle der Zylinderwellen Kegelwellen mit der Spitze auf
der z-Achse, die zugleich Kegelachse ist. In der z I-Halbebene
sind j a die Kurven gleicher Phase Gerade mit dem Richtungswinkel m i 2 - yo fur yo< m / 2 bzw. 3m/2 - yo fur qo>n/2
(Fig. 2). Fur yo = m / 2 ist die Spitze des Kegels unendlich
Fig. 2.
weit entfernt und die Geraden gehen in Parallelen zur z-Achse
iiber. Fur yo= 0 oder n wiirde die ebene Kegeloffnung zu
n , falls fur diesen Fall die obige Formel noch Gultigkeit
hatte. Die Geraden wurden dann senkrecht zur beugenden
Kante stehen. Aber auch bei beliebigem yohaben wir die obige
Formel und damit die Fig. 2 noch einer Einschrankung zu
unterwerfen; beide gelten nur in einem Abstande von der
beugenden Kante, in deren Nahe noch andere Glieder EinfluB
gewinnen. Dem ist in der Figur durch die gestrichelten
1253
Die Beugung ebener Liehtwellen usw.
Parallelen zur z-Achse Rechnung getragen, zwischen denen
die Zylinderwellen nicht mehr angenommen werden durfen.
Die Fortschreitungsrichtung der Wellen ist stets von der
beugenden Kante abgekehrt.
5. Streifender Einfall ebener Wellen in Beugungeproblemen.
Bislang hatten wir allein den Fall sin yo= 0 aus unseren
Betrachtungen ausschlieBen museen. Wir wollen zeigen, daS
wir auch ihn durch reelle Ausdrucke beherrschen. Setzt man
etws gleich im allgemeinsten Probleme, dem des Keils aus
zwei alles reflektierenden Halbebenen, s i n v , = 0 ein, so erhalt man:
+ 2,)
s;
(o)
sin
&+)ikrcosy
(-sp)=---2ix
(w
cos-
(0)
n
~
X
5
5
n
- cos-(Cp
X
d5
-CpJ
+ 2x1
Es stehen also unter den Integralen jetzt nur eindeutige
Funktionen der Integrationsvariablen , so da8 die Einteilung
der 5-Ebene in schraffierte und nichtschrafilerte Gebiete iiberfliissig wird. Die Integrale selbst liefern so lediglich Residuen
und zwar fur jeden Pol 5 = y yo + 2 j y , wo j = 0, f 1,
f 2 ...., je ein Residuum 2i,y, wie man leicht nn der Form
der Integrale mit den Integrationswegen T‘* + N’* bestatigt,
wenn man in die Geraden cc = f n + sp yo + ia und die
Schleife urn den Pol yo transformiert. Das Wellenpotential
stellt sich also als eine Summe von Residuen dar:
Ihre Anzahl richtet sich nach dem jeweiligen Werte. von
x und ist bei irrationalem n/x unendlich groS. Die Klammern um die Summen sollen andeuten, dab diese Residua
nicht ohne weiteres in dieselben Gebieten fallen, also z. B.
1264
A. Wiegrefe.
nicht etwa im Falle a) stets Null erscheint. Die Gebiete fur
die einzelnen Residuen sind dieselben wie im Falle yo=7 ~ 1 2 , ~ )
also fiir u(+ y) bzw. u(- y):- n y o 2 j x < y < n
yo 2 j x bzw. - w - yo 2 j x < y <
n - yo 2 j x .
Nun kann im Falle s i n ~ p ,= 0 die Richtung 'po noch beliebig
gewahlt werden. Und offenbar wird es fur die Schattenverhaltnisse z. B., die sich j a nach der Verteilung der Residuen
richten, nicht gleichgultig sein, in welcher Ebene lpo = konst.
wir in die beugende Kante sin yo= 0 hineingehen, d a sich
doch die Schirme in der Richtung der beugenden Kante
nach Unendlich ausdehnen.
Stets aber ergibt sich nach obigem vor allem, daE das
Wellenpotential, und damit auch die elektrischen und magnetischen Kraftkomponenten keine Beugungserscheinungen aufweisen. Das gilt, wie leicht zu uberschauen, auch fur die
alles reflektierende und die schwarze Halbebene, wie auch ftir
den Keil aus einer alles reflektierenden und einer schwarzen
Halbebene.
Weiterhin ist das Wellenpotential nur von z abhangig,
nicht mehr von x und y. Daher sind stets die Komponenten 2' und C' gleich Null, ferner im Falle a) noch A', im
Falle b) X ' .
Um uberblicken zu konnen, wie es im Falle a) mit X'
und B', im Falle b) mit Y' und A' steht, wollen wir kurz
als Beispiel den alles reflektierenden Schirm mit yo= 0 und
yo = 7112 betrachten. Die hier nur in der Zahl von zweien
vorhandenen Residuen e
w(+rp) 3 UP)(-- y) = ( e i k z )'f ( e i k z )
sind anzusetLen fur - n12 < y < 3 n / 2 bzw. - 3 n / 2 < 'p < w12,
so da6 im Falle a) im physikalischen Raume 0 < y < 2 n allein
fur nd/2 < 1p < 3 n / 2 das Residuum e i k z gilt und sonst im physikalischen Raume die Lichtbewegung Null ist. In diesem und
nur diesem eben genannten Gebiete sind daher X und B' von
Null verschieden. I m Falle b) ist in demselben Gebiete eikz
allein, fur 0 < y < m / 2 sind dagegen die beiden Residuen eikz
e i k * zu gebrauchen, wiihrend fur 3m12 < y < 2 n absoluter
Schatten herrscht. Hier, in diesen ausgearteten Fallen, kommen
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+ +
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1 ) Diss. p. 5 6 ; Ann. d. Phys., 1. c. p. 462.
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Die Beugung ebener Lichtwelleri usw.
1255
also Schattengrenzen ohne Beugungserscheinungen vor. Natiirlich ist das wiederum nur eine Folge der unendlichen Ausdehnung des Schirms in Richtung der einfallenden Welle, d. h.
eine Folge einer Vereinfachung der Verausetzungen in der
Theorie. Die Tatsache, daB im Falle a) die Lichtbewegung
iiber dem Schirm Null, im Falle b) gleich dem Doppelten
des einfallenden Lichts ist, erklart sich daraus, daB bei a) die
elektrische Kraft wegen Y' = 0 parallel dem Schirm schwinkt,
auf dem Schirm aber Null sein muB, daB sie dagegen im
Fnlle b) senkrecht zum Schirm steht, und daB die parallel
dem Schirm schwingende magnetische Kraft von den Grenzbedingungen nicht direkt beriihrt wird. Damit diirfte auch
der Fall sin yo= 0 erledigt sein.
Ahnliche ausgeartebe Probleme , wie das hier behandelte,
kann man iibrigens auch schon fur q,,= n6/2 auffinden, wenn
man y o = 0 oder beim Doppelspiegel auch yo = x, beim
alles reflektierenden Schirm cpo = 2%wahlt. Hier ergeben sich,
allerdings ausschlieBlich im Falle a), in dem die elektrische
Kraft parallel zur beugenden Kante schwingt, teilweise keine
Beugungserscheinungen. Stets sind sie jedoch bei den schwarzen
Halbebenen vorhanden. Fehlen die Beugungserscheinungen,
so ist hier aber immer uberall im Raume die elektrische und
magnetische Kraft identisch Null. Hier miissen namlich auch
die Residuen ganz fortfallen, weil der einfallenden Welle wegen
der unendlichen Ausdehnung des Schirms in der Richtung
y = 0 wie quer dazu iiberall eine ganz gleiche reflektierte
Welle entsprechen muB und fur y = 0 die im Falle a) doch
allein parallel dem Schirm vorhandene elektrische Kraft verschwinden muB.
I m Falle b) besteht natiirlich die Komponente X' lediglich aus gebeugten W ellen entsprechend der gegenseitigen Lage
von elektrischer und magnetischer Kraft z u r Fortpflanzungsrichtung.
DaB das Fortfallen auch der Residuen uber einem alles
reflektierenden Schirm bei streifendem Einfall von der Seite
des Schirms her und das damit eventuell ganzliche Nullwerden
aller Kraftkomponenten im Raume in der Tat nur von der
unendlichen Ausdehnung des Schirmes herriihrt, erkennt man
leicht aus dem Falle ~p,,= n/2, y o = n beim alles reffektieren-
1256 A. Wiiegrefe. Die Beugung ebenm Lichtwellen
USW.
den Schirm (in sp = 0 gelegen), fur den allein dieser Spezialfall Wichtigkeit hat. Da gibt es namlich i m Falle a) Beugungserscheinungen, und es fehlt das Residuum lediglich der
Komponente A'. Im Falle b) dagegen treten keine Beugungserscheinungen ein, es ist X' = 0, und C' und Y' bestehen
lediglich aus ebenen Wellen, die in der ganzen Riemannschen
Flache von 'p = - 272 bis sp = + 2 n anzusetzen sind. Hier
gibt also der alles reflektierende Schirm im Falle b) fur den
phgsikaliechen Raum gar keine Einwirkung auf die einfallende
Welle, kann er doch auch weder auf eine magnetische Kraft
noch auf eine zu ihm senkrechte elektrische Kraft EinfluB gewinnen. Im Falle a) dagegen vermeg er zu wirken, da die
einfallende Welle aber nicht schon von Unendlich her von
ihm beeinflu& wird, erhalten wir nioht identisch Null.
Zuaammenfaeeung und SchluS.
In der vorhergehenden Arbeit ist auf Qrund neuer strenger
Losungen der Wellengleichung , die bei Anwendung derselben
Yethode noch fur weitere Beugungsprobleme wichtig sein
werden, z. B. fur die Viertelebene, der EinfluB besprochen,
den die Einfuhrung der beliebig unsymmetrischen Lage der
Einfallsebene ebener Wellen auf eine Reihe von Beugungsproblemen mit einer beugenden Kante auslibt. I m AnschluB
daran sind noch zahlreiche Falle betrachtet, in denen die
strenge Sommerfeldsche Theorie wegen der unendlichen Leitfahigkeit der unendlich groSen Schirme oder auch schon allein
wegen der unendlichen Ausdehnung der Schirme keine Beugungserscheinungen trotz der Anwesenheit der beugenden Kante
liefert.
Beobachtungen zu diesen Problemen, zu denen Br. Geheimrat Voigt anregte und in liebenswurdigster Weise Platz im
Institut zur Verfiigung stellte - wofiir ich ihm auch hier meinen
besten Dank ausspreche - konnten leider bislang nicht ausgefuhrt werden, da ich zurzeit durch eine experimentelle
chemische Arbeit in Anspruch genommen bin.
G o t t i n g e n , den 9. September 1913.
(Eingegangen 11. September 1913.)
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