close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Die Beugung einer ebenen elektromagnetischen Welle an einer bzw.

код для вставкиСкачать
156
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
Die Beugung einer ebenen elektromagnetischen WeIIe
an einer bzw. zwei ideaIleitenden Halbebenen in der
Trennebene zwischen zwei homogenen, isotropen Medien?
Von Helmut S t o c k e l
Mit 29 Abbildungen
Inhaltsiibersicht
Es werden die exakten Losungen fur die durch das Thema gegebenen Problemstellungen hergeleitet. Der Ausbreitungsvektor der einfallenden ebenen
Welle wird senkrecht zur Halbebenenkante bzw. zur Spaltachse angenommen,
so da13 es sich um ebene Beugungsprobleme handelt. Es werden die beiden
Polarisationsrichtungen 6 I I Kante @-Fall) und 6 1 Kante (8-Fall) unterschieden. Der allgemeine Fall beliebiger Einfalls- und Polarisationsrichtung liil3t
sich leicht durch Differentiationen daraus herleiten. Fur den p-Fall werden das
Verhalten der elektrischen und magnetischen Feldstiirko in der Offnung und das
Fernfeld ausfuhrlicher diskutiert. Der Fernfeld fur die Beugung am Spalt weist
Interferenzmaxima und -minima auf auch dann, wenn der Einfallswinkel grol3er
als der Grenzwinkel der Totalreflexion ist. Das strenge Babinetsche Prinzip
gilt nicht mehr.
I. Einleitung
Den Anreiz zu dieser Arbeit gab die folgende Versuchsbeschreibung von
H. Wolter2) (vgl. Abb. 1):
. . . ,,Der erste Fall wurde so realisiert, da13 rotes Licht an der versilberten
Hypotenusenfliiche eines rechtwinkligen Prismas reflektiert wurde ; jedoch war
ein Streifen' der Versilberung senkrecht zur
Einfallsebene mit einem Rasierklingenstuckchen entfernt worden, so da13 dort Totalreflexion eintrat. Von der Luftseite wurde
die strittige Grenze des Silberstreifens mikro skopisch betrachtet ; sie erschien in der Tat
als feine helle Linie (einseitig begleitet von
schwacheren und feineren parallelen Linien),
Abb. 1. Das Woltersche Experiment. Polardiagrammder Lichtintensitat (vgl. Abb. 29)
1) Wenig veranderte Dissertation. In dem
vorliegenden Auszug sind im wesentlichen Nebenrechnungen und Beweise weggelassen worden, die
in der Dissertation in einem Anhang zusammengefaSt sind.
2) H. Wolter, Z. h-aturforsch. Sa, 280 (1950).
H . StBckel: Die Beugung einer.ebenen elektromagnetischen Welle
157
,zerstreute' also offenbar das Licht im oberen Sinne. Das Verhalten ist verstiindlich, da die inhomogene Welle dort an ihrem Rucktritt ins dichtere Medium
durch die pliitzlich im Wege stehende Ag-Schicht gehindert und ins diinnere
Medium zuruckgebeugt und reflektiert wird.
Anders lagen die Verhiiltnisse im zweiten Falle wo . . . ein selbst begrenzter
,Energiestrahl' an einer praktisch unbegrenzten Glas-Luft-FlBche totalreflektiert wurde ; im diinneren Medium konnte im entscheidenden Teil der Grenzflache kein ,zerstreutes' Licht nachgewiesen werden . . .
Dennoch wird sich eine quantitative Untersuchung des ersten Versuches noch
lohnen - vor allem auch im reflektierten Licht, wo zwischen Ag-Teil und totalreflektierendem Teil der Grenzfliiche ein dunner Streifen nachgewiesen werden
konnte' '.
I m folgenden stellen wir uns die Aufgabe, die von W o l t e r beobachteten
Beugungserscheinungen zu erklaren. Wiihrend es sich bei W o l t e r um die Beugung einer ebenen elektromagnetischen Welle an einem S p a l t in der Trennebene
zwischen zwei homogenenMedien handelt, nahmen E. T. Hansons), P. C. Clemm 0 ~ 4 )K.
, Horiuchis) und W. S. Aments) eine Lhnliche Problemstellung in
Angriff : Sie versuchten, die Liisung fiir die Beugung einer ebenen elektromagnetischen Welle an einer idealleitenden Halbebene in der Trennebene zwischen
zwei Medien zu bestimmen. Es gelang ihnen nicht, die exakte Liisung in der
geschlossenen, expliziten Form (25)ff. zu finden (a. a. vor (14)). I m folgenden
werden fur beide Problemstellungen die exakten Liisungen hergeleitet.
Das Spaltproblem besitzt dhnlichkeit zu dem von J. Picht') behandelten
Fall der Totalreflexion eines Lichtbundels.
.
11
11. Die Beugung an der Halbebene zwischen zwei Medien. G
Kante @Fall)
1. Problemstellung
Wir idealisieren die Problemstellung wie folgt : Gegeben seien zwei homogene,
isotrope Medien mit den Brechzahlen 1,n (8. Abb. 2). Es sei hierbei etwa an das
in der Einleitung beschriebene W o 1t e r ache Experiment gedacht, bei dem sich oben Luft und
unten Glas befand. Die Trennebene sei z = 0.
Wir behandeln im folgenden nur ebene Beugungs- K*k
probleme, d. h. solche, die von der dritten kartesischen Koordinate y unabhiingig sind. Die
Brechzahl sei
N
=
{:
fiir z 2 0, reell.
Der idealleitende, unendlich dunne Schirm liege
bei z = 0, x 2 0. Es falle die ebene Welle
(&=
e$k'zsin0,+8'zcos0,
.e-d
= (&e w z a ; + i k % l / l q i .e i " t
3,
(2)
Abb. 2. Ebenes Beugungsproblem mit zwei Medien
E. T. Hanson, Philos. Trans. Roy. SOC. London A 287, 39-66 (1939).
P.C. Clemmow, Philos. Trans Roy. SOC. London 246, 1-56 (1953).
K.Horiuchi, J. Physic. SOC.Japan 18, 170-176 (1957).
6 ) W. S. Ament, Application of a Wiener-Hopf Technique to certain diffraction
')
s,
problems, Naval Research Laboratory Report 4334, Washington 1954.
7) J. Picht, Ann. Physik 3, 433 (1929).
Annakn der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
158
@, sei parallel zur Halbebenenkante (= y-Achse)gerichtet. B und 8 bedeuten
Schirm und Offnung. I m folgenden werden wir nur zeitlich harmonische Wellen
betrachten und den Zeitfaktor e-irut weglassen. Die Wellenzahl in beiden Medien
sei
2n
K =N k = N (3)
1
ejn.
gesetzt. Bei Abwesenheit des Schirmes wiirde die einfallende ebene WeIle teils
an der Trennebene partiell reflektiert, teils gebrochen. Die Gesamtlosung ist
gem50 den Fresnelschen Gleichungens) (S. 496) bekannt:
a, = sin 0, = n ah = n sin e,,
n
COS
ee = W; =
cos
vm,8, = -n-
e, = W,= YlGij,
8,.
(4a-d)
Die Indizes e, b, r beziehen sich auf einfallende, gebrochene und reflektierte
Welle. Die Winkel 8, O,, O,, 8, (Abb. 2) werden alle von der positiven z-Achse aus
im Uhrzeigersinn positiv gezlhlt. Bei der Winkelmessung sol1 der Schirm nicht
iiberschritten werden, d. h. die Bereichsgrenzen sind : - 3 4 2 5 8 5 n/2;
- 4 2 5 e,, e, I
4 2 ; - 3 4 2 5 e, 5 - 4 2 .
Die Fresnelschen Gleichungen gelten nicht nur f i i r reelles a,, mit 1 0 ~ 0 1 5 1,
sondern auch fur komplexes a,. Fiir komplexes a, seien die Verzweigungsschnitte
von W,, in der komplexen a,-Ebene durch Im W,= 0 festgelegt (Abb. 3). LLngs
Abb. 3. Verzweigungsschnitte
von W, =
-a:
11
Abb. 4. Geometrischoptisclie Licht- und
Schattenverhaltnisse
beider Verzweigungsschnitte denken wir uns ein ,,oberes Riemennsches Blatt"
und ein ,,unteres Riemannsches Blatt" kreuzweise miteinander verklebt. Das
obere Riemannsche Blatt sei definiert durch Im W , > 0, das untere durch
8)
W. Weizel, Lehrb. d. theor. Physik, Springer 1949.
H . Stockel: Die Beugung einer ebewen elektromagnetiachen Welle
Im
Im
169
Wo < 0. I n den Fresnelschen Gleichungen ist stets I m W,, 2 0 bzw.
Wh 2 0 einzusetzen, damit in Ausbreitungsrichtung gedampfte ebene Wellen
entstehen. Die kleinen Pfeile in der Abbildung sollen die Richtung des komplexen
Zeigers Wo im oberen Blatt der oc,-Ebene andeuten. Die beiden Ufer der Verzweigungsschnitte sind der Deutlichkeit wegen etwas auseinander gezeichnet.
I n Wirklichkeit fallen sie genau zusammen auf die reelle bzw. imaginlre Achse.
Entsprechendes gilt f i i r die Verzweigungsschnitte von W&=
- a t . Hier
liegen die Verzweigungspunkte der Ordnung 112 bei & rt.
Bei Anwesenheit des Schirmes S sind weiterhin die neometrisch-optischen
Licht- und Schattenverhiiltnisse bekannt (Abb. 4) :
I/?za
u
0
eikxa,
A
+ikz W ,
eikxq+ikzW:
+ A'
eikxao-ikz W ;
in Gebiet
I
I1
I11
(5)
IV
Unsere gesuchte Losung spalten wir in zweierlei Weise auf :
V
=Q
+ B = geometrisch-optische Welle + Beugungswelle
= vprim
f
Vmk
= Primlrwelle
+ Sekundiirwelle
mit Q gemiiB (5) und Vprh gemlB (4). V hat den folgenden Einzigkeitsforderungen zu genugen9) (S. 245):
V sei fiir alle Punkte auBerhalb der Trennebene eine eindeutige Losung der
Wellendifferentialgleichung
(P+K2) V = O .
(6)
(alas) V sei uberall auBerhalb 8 stetig, insbesondere in der Offnung. (alas sei die
Ableitung bezuglich einer beliebigen Richtung as.) V sei iiberall stetig.
V erfiille die Randbedingung
V = O auf S .
(7)
(Indem wir den Ursprung r = 0 mit zum Schirm S rechnen, eriibrigt sich eine
zulstzliche Kantenbedingung.)
Der Beugungsanteil B = V - Q erfiille die zweidimensionale Ausstrahlungsbedingung
p 2 (a, - i ) B -+ 0,
a, 3 ala,, e = Kr -+m
(8)
mit G gemiiB (5).
Es gibt nur eine Losung V , die siimtliche Forderungen erfiilltg)
(S. 245ff.)lo)l1)l2). Diese Losung suchen wir. Es kommt uns bei der folgenden
Herleitung nicht unbedingt darauf an, die Eindeutigkeit jedes einzelnen Schrittes zu beweisen. Es geniigt, am Ende zu zeigen, daB V alle Porderungen erfiillt.
Handb. Physik. XXV/l, Springer 1961.
S. Peters u. J. Stoker, Comm. Appl. Math. 7, 565 (1954).
11) F.Rellich, Iber. dtsch. Math. Ver. 66 (1943).
l a ) J. Meixner, Ann. Physik 6, 2-9 (1919); Z.Naturforsch. Qa, 506 (1948).
O)
lo)
160
Anlzalen der Physik. 7. Folge. B a d 12. 1963
2. Herleitung dualer Integralgleichungen
Zur Herleitung eines Integralgleichungssystems in Analogie zu 13) (S. 286)
vermeiden wir den langwierigen Weg iiber den Green schen Satz, indem wir V
in der Form ansetzen:
= ~7P r.m
+ vaek= vpdm+ 1 J
da,14)
eikza+WI
~
3
Gt = Q, V e-iwt,
(9a)
(9 b)
j = 2ni, L(a)=-
w+
W"
w=1/1--012,w=llr;d-6L2,
(9c)
Wir haben die gesuchte Gesamtwelle V zerlegt in Primilrwelle Vprim (4a) und
Sekundiirwelle Vsek. Die Primarwelle induziert in dem Schirm einen Induktionsstrom, der die Sekundiirwelle erzeugt13) (S. 286ff .). Die Wurzelvorzeichen und
Verzweigungsschnitte legen wir so fest, wie in Abb. 3 veranschaulicht. Dadurch
sorgen wir fiir Konvergenz des Integrals und dafur, daS die Ausstrahlungsbedingung erfiillt wirds) (S. 415)4), (S. 18).
Die Wellendifferentialgleichung wird ebenfalls erfiillt, denn (9a) ist eine
Superposition von ebenen Wellen. Weiterhin garantiert der Ansatz (9a) die
Stetigkeit von V fur z = 0. Die Stetigkeitsbedingung fur V in der Offnung erfordert, da13 gilt
JFeikza
da = 0
fiir x
< 0.
(10)
Die Randbedingung V = 0 auf S bedingt
1
jJ
e i b a da = - eikza*.
fiir
2
2 0.
(11)
8. Autlosung des Integrslgleichungssystems (lo), (11) mit der Wiener-Hopt-Methode
In Analogie zu 13) (S. 312ff.) finden wir als Losung des Integralgleichungssystems (lo), (11)
-
q.J=--
-1
a-
L-(a)
L+(a,)
(124
mit
L+(a)= 1p-(- a).
(12 c)
Mit Westpfahl13) (S. 304) wollen wir voraussetzen, daD fiir das asymptotische
Verhalten von L+ und L- gilt lS) :
L+(a)N d 1 , L,(Lx) a";, IOC I + 00, - 1 < ~ 1 , <
2 1.
(13)
N
K. Westpfahl, Ann. Physik 283-351 (1959).
D a keine Verwechslungsmoglichkeit der Integrationsvariablen a mit a = sin 0
besteht, wurde die Analogie 21118) (S. 287) gewahrt.
16) N lies: proportional.
Is)
I*)
H . Stockel: Die Beugung einer ebenen elektromgnetischen Welle
161
(Diese Voraussetzungen sind notwendig, damit die Integrale in (10) und (11)
beim Einsetzen von (12 a) konvergieren und machen eine zusiitzliche Kantenbedingung iiberfliissig.)
Die Losung (12a) findet man am einfachsten ,,by inspection": Durch Einsetzen von (12a) in das System (lo), (11)bestiitigt man mit Hilfe der Residuenmethode leicht, daB die Integralgleichungen erfiillt werden13) (S. 297). Der
Haken unter a
. bedeutet, daD bei einer nachfolgenden Integration iiber a der
Pol unterhalb umgangen werden ,9011~~)
(S. 291). GemiiB der W i e n e r - H o p f Methodels) kommt es darauf an, die gegebene Funktion L so zu ,,faktorisieren",
daB L+ in der oberen a-Halbebene reguliir wird, L- in der unteren. Die Faktorisierung (12b) und die LGsungj7 sinddurch (12b, c), (13) eindeutig bestimmt13)
(' S . 3131.
Diese formale Losung (12a) haben bereits Clemmow4) (S. 17ff.) und H o r i u c h i angegeben. Ihnen ist es aber nicht gelungen, ,,the crux of the problem"
(S. 21) zu losen, niimlich die richtige Faktorisierung (12b) in nichtformaler
Form zu finden. Aments) hat diskutiert, wie man eventuell die gesuchte Faktorisierung (12b) mit Hilfe elliptischer Funktionen finden konnte.
Indem wir (12) in (9a) einsetzen, erhalten wir
v,
--:sa-a,
da
L+
-eik~a+ik[.~l )I"
, L$ = L+(a0). (14)
L;
Fur z 2 0 11il3t sich wegen V,,, = eikza~+ikzw~
(4a) dafiir auch schreiben (indem
wir den Haken , , ~ m k l a p p e n " ~(S.
~ )300)):
=
~
Die Aufgabe, L zu faktorisieren, vereinfacht sich durch logarithmische Ableitung :
a
d, In L = d,ln L+ -d, In L- = ww'-= M (a)= - M (-a) +--
1
fiir la) +oo
(16)
zu der Aufgabe, a/WW' in eine Summe einer ,,Plus- und einer Minusfunktion"
zu verwandeln :
M=M++M(17 a)
mit
Wiihrend M = a/ WW' Verzweigungspunkte der Ordnung 112 bei - n, ,- 1,
1, n besitzt (Abb. 5), beaitzt M+ nur noch Verzweigungspunkte bei - 1, - n,
Abb. 6. Verzweigungsschnitte
von a/ W W'
16)
Abb. 6. Integrationsweg in
der j3-Ebene
B. Noble, Wiener-Hopf -Technic, Pergamon-Press 1968.
162
Anmlen der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
denn M+ ist in der oberen a-Halbebene reguliirl3) ( S . 304). Um die Zerlegung
(12b) zu finden, fuhren wir eine konforme Abbildung der a-Ebene auf eine
/?-Ebene durch, so daI3 die folgende Punktezuordnung a ++ 8 entsteht (Abb. 6) :
LX
-w
--?L
-b
-1
B
--OO
-A
-Bz
-B1
0 1 b ~n_ 0_
0
_
0 B1 Bz B1 0 3 -
Die obere a-Ebene werde auf die obere b-Ebene abgebildet. Der ursprungliche
Integrationsweg in der a-Ebene werde dabei auf den in Abb. 6 dargestellten
Integrationsweg abgebildet.
Die gesuchte Abbildungsfunktion 1813t sich mit Hilfe der Christoffelschen Formeli7) ( S . 445ff.),IS) ( S . 241) herleiten:
die vollstiindigen elliptischen InteHierbei sind K = K(x’) und E’ = E
grale erster und zweiter Gattungls) (S. 241).
Weiter gilt gemliD18) ( S . 241).
( X I )
1
p = - [x E ( ~ l , ~ ) - ( l - ~ ~ b ~ ) P ( a , x ) ] ,
(194
wobei
die elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung bedeuten.
Aus (18) ergibt sich
p(oL)=-p[-a)+a+o
(:)-
fur
..
I I +oo.
%
Weiter schreiben wir
82
= B(b).
Bei Anniiherung an die Verzweigungspunkte a = n, 1, - 1, - n zeigt
folgende Verhalten :
1’)
P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, Mc Grew Hill
1963.
18)
das
A. Betz, Konforme Abbildungen, Springer 1948.
H . Stockel: Die Beugung einer ebenen elektro?mgnetischen TVelle
163
Diese Formeln besttitigt man leicht durch Differenzieren von (22) und (18).
Zum Beispiel ergibt sich durch Differenzieren aus (18):
Dasselbe Ergebnis erhiilt man aber aus (22a) durch Differentiation. Wegen
fiir a --f n stellt (22) das richtige Verhalten dar. @ -@,
besitzt also
in a = n und a = 1Nullstellen der Ordnung 112, @
@, solche in a = - 1,- n.
Es liegt nun nahe, als gesuchte Zerlegung (17 a) anzusetzen :
@-a+-0
+
Damit ist erreicht, daB in M+ die Nullstellen der Ordnung 112 von WW' bei
a = 1, n durch dieselben Nullstellen von @ - weggehoben werden, so daS
M+ eine in der oberen a-Halbebene regultire Funktion darstellt. Das Entsprechende gilt fur M-. DaB M+ in der oberen Halbebene singularitgtenfrei ist, kann
man sich leicht wie folgt iiberlegen:
a/ W W' 2 @, besitzt im Ehdlichen der a-Ebene nur Singularitaten bei
a = - n, - 1, 1, n. ( a = w wird unten diskutiert.) Dieselben Singularittiten
besitzt K ( m ) = (b2 - a 2 ) / W W ,also auchB-pl, und zwar sind dies die einzigen
Singularittiten von @ -@,.Die storenden Singularitiiten von a = 1,n werden in
M+ gerade weggehoben, so daB M+ in der positiv-imagintiren a-Halbebene
regultir ist. Der Summand 112 B1 sorgt dafur, daB M+ asymptotisch verschwindet
(17b).
Durch Integration von (24a) erhalten wir mit (12b, c) und der aus (16)
folgenden Gleichung
Wie sich im weiteren Verlauf der Auswertungen noch herausstellen wird, erfiillt (12a) mit (25) alle Einzigkeitsforderungen (6ff.). (Hiermit ist ,,the crux
of the problem" und damit das Halbebenenproblem gelost. Fur n = 1 ergibt
sich, wie es sein mu& die Sommerfeldsche Halbebenenlosung L+ =
(1 a)-1/213)
(S. 312).
+
4. Herleitung der Reihenentwieklung von L+ (a) nach Potenzen von a-ll2
Zur weiteren Auswertung unserer Formeln ist es notwendig, das Verhalten
von L+ (a)moglichst weitgehend kennenzulernen. Wir untersuchen zuntichst das
asymptotische Verhalten fur a + 00. Durch Reihenentwicklung des Integran-
164
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 12. 1963
den von (25) nach fallenden Potenzen von a erhalt man mit gliedweiser Integration und bei Beriicksichtigung von (20)
Hiermit gewinnt man nach einigen Reihentransformationen die Potenzreihenentwicklung von L+ nach Potenzen von 01-l/~:
Die Bedingung (13) ist also mit
= - 1/2 erfiillt.
6. Reihenentwicklung von V ( z ,0) in der ofhung naeh Potenzen von (-ke)lls
Indem man die Reihenentwicklung (27) in (15) mit z = 0 einsetzt, mit der
Reihenentwicklung von I/(&,,- a) gliedweise multipliziert und gliedweise integriert, erhalt man folgende Entwicklung nach Potenzen, von ell2 = (k r)lI2=
(-
k %)ll2:
-
Diese Entwicklung eignet sich zur Berechnung der elektrischen Feldstarke
@
V in der NLihe der Kante. Man findet die Kantsnbedingung V N ell2 fiir
e ?r 0 bestiitigtg) (S.255).
6. Reihenentwieklung von V naeh Besselfunktionen
Die Losung VmuB sich nach den Eigenfunktionen unseres Problems in Polarkoordinaten entwickeln lessen :
6
36
II
V ( e , 6 ) = ~ 1 ! 2 J 1 / 2 ( e ) s i n ~ + c , J ~ ( e ) s i n 6 + c ~ / ~ J ~ / ~ ( e-,) 6=---8.
s i n ~2 +
(29)
Als Begriindung fiir diesen Ansakz iiberlegen wir, daB zunachst jede Linearkombination der Funktionen
J , (e)sin n 6,
N , (e)sin n 6,
J , (e) 00s n 6,
N , (e) cos n 6
(30)
(N,(e) N e u m a n n -Funktion) die Wellendifferentialgleichung erfiillt. Die cosFunktionen scheiden aus, weil sie die Randbedingung V = 0 auf S nicht ererfiillen, die Neu mann-Funktionen scheiden aus, weil sie die Kantenbedingung
verletzen .
Die Koeffizienten el/?, c s p , . . . findet man, indem man in (29) 6 = n setzt,
die Be ssel -Funktionen in Reihen nach ellZ entwickelt und Koeffizientenver-
165
H . Stockel: Die Beugung einer ebenen elektromagnetitxhen Welle
gleich mit (28) durchfuhrt. Es ergeben sich
3
8
~ 5 1 2= clp [--.a
bZ
b4
+ i- _ + (-i +
2Bl 2B:
1
2
Entsprechend lessen sich die restlichen Koeffizienten 5,c,, ~ 3 ., . . durch Reihenentwicklung von aV/az fur z = 0, x < 0 berechnen. Da jedoch die Konvergenz
der Reihe (29) fraglich ist, wollen wir darauf verzichten.
7. Behandlung eines Zahlenbeispiels: n = f% ; a, =1,l
Wir wollen
- im folgenden ein Zahlenbeispiel behandeln: n =
;a
. = 1,l = sin 8,. Dies entspricht dem
W o l t erschen Experiment der Totalreflexion an der
Trennfliiche Glas-Luft. Weiter wird a;)= ao/n= 0,7775,
also 8, = arc sin ah = 51,04', wiihrend der Grenzwinkel
der Totalreflexion 8, = arc sin (lln) = 45' betragt
(Abb. 7).
12
a
1
l o
0,911
a
I
L+ (4
IL+(-a)I
1
L+(4
1
IL+(- a ) I
0,9397
0,6375
3,138
W e r t e t a b e l l e fur IL+(a)I, n =
0,1737
0,851
0,984
I
0,9848
1
0,6774
2,498
1
0,631
3,170
?%:
I
0,440
0,6136
0,420
0,5475
I
0,3420
1
1 ?$% 1
1
I
1 2;;; I
1
0,5000
1,06
0,666
3,006
1
1
I
1
Abb. 7. Zahlenbeispiel:
Totalreflexion
fi
0,6428
1
0,7660
0,7335
1,342
1
0,712
1,535
1,l
I
1,15
0,6585
3,038
0,651
3,073
1
1
I
I
1
0,8660
0,693
1,780
1,2
0,6445
3,105
1
0,625
3,200
1
0,6195
3,230
1
0,618
3,236
1
0,6082
2,038
I
0,5686
1,215
1
0,569
1,137
I
0,521
0,8875
I
0,4885
0,462
0,753 -10,6715
0,598
1,676
0,4027
0,4970
I n der Tabelle sind Zahlenwerte fur IL+(a)I angegeben. Es wurde mit
Rechenstab berechnet. Zunlichst wurde /?(a)fiir positive a gemiil3 (19a) ermittelt. Fiir OL > 1 findet man Berechnungsmoglichkeitender elliptischen Inte-
166
A n m l e n der Physik. Y. Folge. Band 12. 1963
grale in1s)19)20).Dann wurde das Integral in (25b) zum Teil mit der S i m p s o n schen Regel ausgewertet. Fur o[ = 1,414 . 5 konvergiert die Entwicklung (27)
noch zu schwach, so dal3 die Simpsonsche Formel zur Integration diente.
Fur negative a folgt dann L+(a)sofort aus (12b, c) :
Fiir welche Argumentwerte L+( a )reell und fiir welche es komplex ist, uberlegt
man sich am einfachsten a n Hand von (95) : Fiir a = - 1. . . 1ist der Integrand
reell, also auch L+ ( a ) .Fur a = 1. . n ist ,!I - ,!I, negativ-imaginlr (vgl. Abb.6),
dagegen W = 1/1- a2 positiv-imaginiir, so daS L+ ebenfalls reel! bleibt. F u r
a > n ist ,!I - PI > 0, WW' < 0, also L+ reell. I m Bereich a = - 1. . .- 12
dagegen folgt aus (32)
.
Wenn a von - 1 bis - n wandert, nimmt also arg L+(a)von 0 bis - n/2 a b
(s. Abb. 8). SchlieBlich ergibt sich fur a < - n aus (32) sofort, daS arg L+(a)=
- 4 2 bleibt.
An Hand von (25b) uberlegt man sich weiter, daS L+(a)in der gesamten
a-Ebene keine Nullstellen besitzt aul3er in Ioc = 00 (27), u. z. dort von der Ordnung 112. Unendlichkeitsstellen besitzt
L+(a)f u r 12 1uberhaupt keine (25).
Obrigens sieht man fur unser Beispiel
n = p i n Abb. 8, daS L+(a) auf der
reellen a-Achse nur noch Singularitaten bei LA: = - 1, - n besitzt. Die
zusiitzlichen Singularitaten von L =
2/(W
W ' ) bei 01 = 1, n treten nicht
-n -1 0
1 n
lea
mehr auf wie gefordert war.
L+(a)kt in der gesamten &Ebene
Abb. 8. Betrag und Argument von L+(a)
regular, aul3er in a = - 1, - n, 00.
fiir n = fl
An diesen Stellen besitzt L+(a)Verzweigungspunkte der Ordnung 112. Dies folgt aus (25b), indem man zuerst
das Verhalten des Integranden von gem&B (18) und von (25b) untersucht und
bedenkt, dal3 das Integral einer regularen Funktion stets wieder eine solche
ergibt.
F u r 0 < n < 1 oder komplexes n lassen sich diese Oberlegungen analog
durchfiihren: Unsere Losung gilt auch fiir komplexes n.
I
+
+
1s) P. F. Byrd and M. D. Friedmann, Handbook of elliptic integrals for engineers,
Springer 1964.
2 0 ) Jahnke-Emde, Tafeln Hoheret Funktionen, Leipzig 1948.
H . Sttickel: Die Beugung einer ebenea elektromugnelieehen Welle
167
8. Elektrische und magnetische Feldstarke in der Offnung
Die magnetische Feldstarke Qt = $je-i" folgt BUS Q = E,
Hilfe der Maxwell schen Gleichung
i V e-imW"
mit
(i a, V - t a, V ) .
8=
(35)
Die zeitgemittelte z-Komponente des Po y n t i n g =Vektors wird (vgl. etwa")
(S. 252))
av
(36)
s,=$
I E , p I m V* s'
f$
Fiir V gilt gemiiB (14) in der offnung (z = 0, k z = - e < 0) mit (33) die
Darstellung
v = e-ieao +
~
1
3 Lt
j" ,ja e-iea
1
a,-& 2
n 2 - 1(
"
i
- nz --i
~iCi)-.
1
(37)
I m Integranden fiihren wir die Substitution s,- a durch und verwandeln
das Integral lzings der reellen Achse in ein Integrdl'liings der beiden Verzweigungsschnitte, die von den Verzweigungspunkten 1und m ausgehen. Das Integral lzings eines grol3en Halbkreises in der oberen a-Halbebene verschwindet n d
es bleibt
Fiir groBes
Man erhiilt
e lassen sich die Integrale mit der Sattelpunktmethode auswerten.
Fiir aV/ak z erhalt man zunachst gemiiB (14) in der Trennflliche
Die Sattelpunktmethode liefert hierfiir fiir groBes e und n nicht zu 'nahe an 1
168
Annalen der Phyaik. 7. Folge. Band 12. 1963
Hier tritt ein wesentlicher Unterschied gegeniiber dem bekannten Beugungsfall n = 1 zutage: Fur n = 1 ist Hz,sekin der Offnung exakt gleich Null.
Fur n
1 dagegen ist H z , s e k
0, klingt allerdings rasch, namlich proportional e-3I2, ab. Wiihrend Epstein2I)das Problem: Beugung an der Halbebene
fur n = 1 in den Koordinaten des parabolischen Zylinders loste, indem er die
Reihenentwicklung nach den Eigenfunktionen dieses Problems berechnete, ist
dieses Verfahren hier nicht mehr nutzlich. Man gelangt zu unendlich vielen linearen Gleichungen fur unendlich viele unbekannte Entwicklungskoeffizienten.
Entsprechendes gilt fur andere Beugungsprobleme an ebenen Schirmen, z. B. fur
die Beugung am Spalt.
Wir wollen das Verhalten von aV,,,/akz
Hz,sekfur unser Zahlenbeispiel
n=
0 1 ~= 1 , l in der Niihe der Kante untersuchen. Da das Integral in (41)
sich schwer auf tabellierte Funktionen zuriickfuhren liiBt, ersetzen wir den Integranden durch eine Naherungsfunktion. Es wurde gefunden, daB im Integrationsbereich 01 = l . . . 1,4142
+
+
N
1/%;
- 2 p=i
I/R2--a2
M 1,552 f a - 1 1/1,4142 - LY
xL;(n2-l)(aO+a)L+(a)
(42)
eine gute Annaherung ist. Damit wird
I n Abb. 9 ist aVs,k/akz dargestellt.
-
Abb. 9. Realteil und Imaginarteil von aVSek/akz
H x,sekin der Offnung iiber p = k r = - k x,
P Abstand von der Kante. n = fi, a, = 1 , l . Auswertung gemill3 (43)
(39) und (41) in (36) eingesetzt, liefert fur unser Zahlenbeispiel
[
Im V * g = e-Yz -1,162 cos2,l ~-0,05Osin2,1~+0,078sin 2,514~-;)]
+
O(e-5l2) M
-
e-3/21,162 cos 2,le.
(
(44)
Abb. 10 zeigt dieses asymptotische Verhalten des zeitgemittelten Leistungsflusses durch die Offnung.
zl) Epstein, Enzyclopadie d. math. Wiss. V, 8, Kap. 24, S. 607ff.
H . Stiickel: Die Beugung einer ebenen elektromagnetischen WeUe
169
aV
Abb. 10. Im V* --N 8,in der Offnung uber e = kr
akz
= 2 n r/A. Asymptotische Darstellung (44), mit
der Sattelpunktmethode gewonnen und deshalb in
der Niihe der Kante unbrauchbar. n = VF, a. = 1,l
9. Bereohnung des Fernfeldes fiir x
> 0, k T > 1, n > 1
Wir wollen nun das Fernfeld oberhalb der Trennebene berechnen, und zwar
insbesondere den Fall betrachten, daB 8, groBer als der Grenzwinkel der Totalref lexion
1
8, = arc sin n
(45)
ist. Einfallende, metallisch-reflektierte, partiell-reflektierte und gebrochene
ebene Welle schreiben wir in den Formen
A
eik'rcos( 8--8,)
-A
e4k'rco~(e + ed),
A ' e-k'rcos( e + e,)
&mos( 0-0,).
(46)
Bei Totalreflexion ist2,) (S. 28)
e, > e,
n
n
8b=T+iebi=2-i
pbil.
(47)
Das Brechungsgesetz lautet
sin 8, - sin 6, - 1
-also
sineb ch Obi
n '
-_-
Obi = - Ar ch (n sin 8,).
I n der Offnung gilt fiir V Gl. (15) mit z = 0, x 2 0. Der Integrationsweg ist in
Abb. 11dargestellt. Von - n und - 1aus verlaufen zwei Verzweigungsschnitte.
Sie enden irgendwo im Unendlichen der negativ-imagintiren Halbebene.
-n
-1
0
,n
.
1 do n
Red
Abb. 11. Integrationsweg in der a-Ebene
Urn (15) mit Hilfe der Sattelpunktmethode auszuwerten, fuhren wir in Analogie zu 0 t t m ) die Substitution ein
p42
a = sin6,
= cos6.
(494
Der Integrationsweg W,wird dabei a d den Integrationsweg W,in die 6-Ebene
abgebildet (Abb. 12). Wegen der Periodizitiit von sin 6 kommen noch andere
22)
2s)
A. Sommerfeld, Optik, Leipzig 1969.
H. O t t , Ann. Physik 5,41 (1942): Reflexion und Brechung von Kugelwellen.
12 Ann. Physik.
7. Folge, Bd. 12
170
Annalen der Phyeik. 7. Folge. Band 12. 1963
Bilder in Frage, die jedoch bei der anschlieDenden Auswertung dasselbe Ergebnis
liefern. Es ergibt sich folgende Punktezuordnung (Abb. 11 und 12): .
P u n ktezuordnung bei der Transformation 6 =arcsina.
a
8
i
-M
-++i-
~
l - $i 1 +
-1
-n
@=arcsin(--)
0
a,
1
0
~
e,
?L
00
1-8,(?-i2
Der in Abb. 11dargestellte Verzweigungsschnitt 01 = - 00 . . . - n wird also
in den Verzweigungsschnitt - 4 2
i oo . .6, abgebildet. Der Verzweigungspunkt der Ordnung 112 bei a = - 1 wird in den regularen Punkt 6 = - 4 2
abgebildet. 6 = - n/2 ist regular, denn es gilt
+
.
Der Index 4 bei 8, weist auf Flaknenwelle hin (5. u.). Langs des Verzweigungsschnittes 6 = 6, . . . - n / 2 i 00 denken wir uns das ,,obere R i e m a n n s c h e
Blatt" (= Zeichenebene) mit einem ,,unteren
Riemannschen Blatt" kreuzweise verklebt, so
dal3 man beim uberschreiten automatisch vom
oberen ins untere Blatt gelangt.
Die fruhere Vorzeichenfestlegung
fur reelles a
~(8. Abb. 3) : W' = 1/n2- iy2 sei positiv fur l
a < n,
positiv-imaginar fiir 101 I > 1, ubertragt sich in die
6-Ebene. Langs des Integrationsweges W, (Abb. 13a)
ist W' = 1/12, - sin23von - x12
i oo . . .6,positiv-imaginar, von 6, . . . -6, (mit Ausnahme des
kleinen Hakens urn 8,) positiv und von - 6, . . .n12
Abb. 12. Integrationsweg in - i 00 wieder positiv-imaginilr. Die Richtungen des
der 6 = arc sin a-Ebene
komplexen Zeigers W sind in dieser Abbildung
durch kleine Pfeile gekennzeichnet.
Die Integraldarptellung (16) geht mit der Substitution 01 = sin 6, a,,= sin 8,
uber in
+
I
+
Um das Integral mit Hilfe der Sattelpunktmethode auszuwerten, wird der Integretionsweg im folgenden in den Sattelpunktweg S ( 0 ) (Abb. 13) deformiert. Er
bleibt dabei f i b gewisse 8 a n dem Verzweigungsschnitt 6 = - n12
i oo . . . 6,
und a n dem Pol 8, hangen. Es interessieren im folgenden nur diese Singularitaten
des in 6 mit 2n-periodischen Integranden, a n denen der Integrationsweg bei
Deformation in den Sattelpunktweg ,,hangenbleiben" kann ( 8 . 0 t t 23)).
Der Sattelpunkt liegt bei 6 = 8. Mit 6 = 6l i 6, lautet die Gleichung des
Sattelpunktweges
+
+
Re cos (6- 0) = Re cos (tY1 - 8
+ i 6,) =
COB
(61
- 8) ch 6,= 1.
(51)
H . Stockel: Die Beugung einer ebelzen elektro~nagnetischnWe&
171
+
Der Sattelpunktweg S (8) beginnt bei 6 = 8 - 4 2
i 00, schneidet die 6Achse in 8 unter - 45" und endet bei 6 = 8 4 2 - i 00. Fur z 2 0 gilt
- 4 2 2 8 5 4 2 . Wenn 8 von - 4 2 bis 4 2 zunimmt, uberstreicht S ( 8 ) den
Streifen zwischen S(- 4 2 ) bis S(z/2) (Abb. 14).
+
y,
R:;
?
,
!'"
S(9J eb
Abb. 13. Integrationswege in der 6-Ebene fur verschiedene Sattelpunkte 0
Fiir die Auswertung von (50) interessieren nur die Singularittiten .SF und
8, innerhalb dieses Streifens. Das Flachland des Integranden von (50) wird durch
die Forderung bestimmt
1 eikreos(a-e) I =
.-!+
Dies ist fiir I k r sh 8, I +. 00 der Fall, wenn
e~8w,--8).m.
e)
0 fiir
1k
8,
I +oo.
(52)
sin
- sh e, c 0.
(53)
Dieses Flachlandgebiet ist in Abb. 13e durch
Schraffur gekennzeichnet.
Wir wollen nun in Analogie zu O t t = ) die fiir
t9 = 4 2 . . . - 4 2 , k r +. 00 verschiedenen auftretenden Wellen qualitativ diskutieren. Eine
genauere Berechnung und Diskussion erfolgt weiter
unten. Hierzu betrachten wir Abb. 13 von rechts
nach links. Fiir 8 = 4 2 ist W,sofort in den Sattelpunktweg S ( 4 2 ) deformierbar, ohne daS der Integrationsweg dabei an den Singularitiiten
und
8, hiingenbleibt. Da S(n/2) symmetrisch zu 4 2
verltiuft und der Integrand von (50) ungerade in Abb. 14. Streifen der Breite
6 - 4 2 ist, ergibt sich sofort = 0: Die Rand- x, den s(e)uberstreicht, wem
bedingung ist also erfiillt. In Abb. 13e ist 8, durch e von - ~ 1 bis
2 ~ 1 z2 h m m t
12*
172
Altnalen. &r Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
die Forderung bestimmt, daD es gerade den Sattelpunkt zu dem Sattelpunktweg
ij'(8,) durch 8, bildet. Um 0, zu bestimmen, haben wir also in (51)
8 = 6,+ i6,
= 8,
n
=T
- .z Ar ch (n sin 8,)
n
=-2
i I8,J und 8 = 8,
(54)
zu setzen :
G
cos -- 8 ch ebf= sin 8, . n sin 0, = 1.
2)
(55)
Entsprechend folgt 8, (Abb. 130)aus der Forderung, daD X(8) durch
+ i 6F8= --2 + i Ar ch n
(56)
cos (- 4 2 - 8,) = - n sin 8, =. 1.
(57)
6, = - gR
Id
liiuft. Folglich gilt gemiirj (51)
TZ
- 8,
= 8, (45) ist also gerade der Grenzwinkel der Totalreflexion. I m Bereich
8 = 4 2 . . . 8, liirjt sich W , sofort i n den Sattelpunktweg X (6) deformieren, ohne
daB der Weg a n 6, oder 8, hiingenbleibt. Das Integral liings S (8)liiDt sich mit der
Sattelpunktmethode auswerten. Es liefert
nur die unmittelbare Umgebung des Sattelpunktweges 8 einen Beitrag, u. z. ergibt sich
eine (scheinbar von der Kante) auslaufende
Zylinderwelle (Abb. 15). Sobald 8 < 6, wird,
bleibt W , bei der Deformation in S ( 0 ) a n
dem Pol 8, hiingen (Abb. 13d). Die Residuenmethode liefert zusiitzlich zur Zylinderwelle die ebene, inhomogene Grenzschichtwelle exp [i k r cos (8 - 8&]. Der ubergang
Abb. 16. Grenzschichtwelle,Zylinder- zwischen beiden Gebieten erfol@' stetig,
denn unsere Betrachtungen gelten sowieso
wellen und Flankenwelle
nur fur k r +m, wo die Amplitude der
Grenzschichtwelle verschwindet. Wenn 8 in die Niihe von 8, = - 8, kommt,
schiebt sich S ( 0 )in den Verzweigungsschnitt hinein. S ( 0 )verlauft zuniichst auf
dem ,,unteren R i e m a n n s c h e n Blatt" (gestrichelt in Abb. 13c) und rechts des
Verzweigungsschnittes auf dem oberen Riemannschen Blatt. Sobald 8 < 8, =
- 8, wird, bleibt W , bei der Deformation in S ( 8 ) an dem Verzweigungsschnitt
8, . . . -4 2 i 00 hangen. Das Integral liings beider Ufer la& sich ebenfalls
mit der Sattelpunktmethode auswerten. Es liefert nur die inmittelbare Umgebung des Verzweigungspunktes 6, (= Sattelpunkt) einen wesentlichen Beitrag
u. z. eine inhomogene Flankenwelle (8. u.). Diese existiert also nur im Winkelbereich 8 = - 8, . . . -4 2 . Die Buchstaben 8,E und F in Abb. 13b sollen darauf hinweisen, daI3 a n den verstarkt gezeichneten Stellen Zylinderwelle, ebene
(Grenzschicht-) Welle und (inhomogene) Flankenwelle ,,entstehen". Die Verbindungswege von W nach S ( 6 ) sind in Abb. 13 teilweise nicht mitgezeichnet,
weil die Integrale liings dieser Wege sich entweder gegenseitig wegheben oder
uberhaupt verschwinden.
Nach diesen Voriiberlegungen mehr qualitativer Art wollen wir a n die
quantitative Auswertung von (50) gehen.
\
+
H. 8tockel: Die Beugung einer ebenen elektrolnagnetischen Welle
173
Die ebene Grenzschichtwelle exp [i k r cos (8, - e)] folgt sofort aus (50)
durch Residuenbildung, sobald der Sattelpunktweg S (8) am Pol 8 hiingenbleibt.
Dies ist der Fall fiir 8 < 8, = arc sin (I/. sin 8,) (55).
Die Zylinderwelle existiert im gesamten Gebiet z 2 0. Wir erhalten sie, indem wir (50) mit Hilfe der Sattelpunktmethode auswerten17) (S. 440).
01
= sin6,
a,,=sin8,
=nsin8,,
W
=
vm=
cos 8,
h; = L+(a,,).(58b)
Die Sattelpunktmethode liefert nur dann eine gute Niiherung fiir das Pernfeld,
wenn der Sattelpunkt 8 nicht zu nahe am Pol 8,, am Verzweigungspunkt 6,
oder bei 5 4 2 liegt (8. Abb. 13). Sobald diese Fiille auftreten, muI3 das Integral
(50) anders ausgewertet werden (8. u.). SchlieBlich bleibt noch das Integral liings
des Verzweigungsschnittes auszuwerten. I n Analogie zu O t t 83) (S. 455) werten
wir dieses Integral ebenfalls fiir k r
1 mit der Sattelpunktmethode ( w Methode der stationliren Phase) aus. Wir setzen
>
F&
iz,
=
cos8L+(shL
A ( z ) = A ( 0 ) + A'(0) z + - - ..
6
sin Oa - sin
Der Sattelpunkt folgt
(59)
BUS
a
at. cos (6- e) = - 2 z sin (.a,- e -
=o
(60)
zu z = 0, denn t9F - 8 - z*= 0 liefert gerade den schon beriicksichtigten
Sattelpunkt 6 = 8, der ja auch nicht auf dem Verzweigungsschnitt liegt. Das
Integral (50) llings des Verzweigungsschnittes liefert die ,,Flankenwelle"
Dies ist eine inhomogene ebene Welle, deren Amplitude mit z exponentiell abklingt. Sie wandert mit der Phasengeschwindigkeit wlk' nach links und stellt
offenbar das Analogon zur Schmidtschen Kopfwelle im dichteren Medium d a r
(8.Abb. 15). Da wir keine Dispersion annehmen, konnen wir unsere Ergebnisse
ohne weiteres auf die nichtharmonische Ausbreitung einzelner Wellenfronten
ausdehnen. Nach der Huygensschen Theorie der Elementarwellen wiirde sicb
die Wellenfront der inhomogenen Flankenwelle im dunneren Medium als Einhiillende der H u y g e n s schen Elementarwellen ergeben, die durch die Zylinderwelle im dichteren Medium liings der Trennebene erregt werden.
Da die Zylinderwelle Vz N r-l12, dagegen V , N (kr)-3/2e - k z G abklingt,
durfte die Flankenwelle im diinneren Medium schwer beobachtbar sein.
174
A n d e n der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
10. Das Fernfeld im optisch dichteren Medium bei Totalreflexion
Die Auswertung des Integrals in (14) gestaltet sich am einfachsten mit der
Substitution
v-
a = sin 6 = n sin 5,
a,, = sin 0, = ao/n= sin 0&,
= -n cos l , k' = n k,
also
x a -2 vn2-a2 = r sin 8 . n sin 5 - r cos 8 . ( - n cos 5 ) = n r cos ( E - 0). (62)
Der Integrationsweg W , der a-Ebene wird damit auf den Integrationsweg W ,
der 6-Ebene abgebildet (Abb. 16). (Wegen der Periodizitlt von sinEklrnen noch
andere Bilder W, von FV, in Frage; die jedoch
kein anderes Ergebnis liefern.)
Die Auswertung von (19) mit der Sattelpunktmethode gestaltet sich in der 6-Ebene einfacher
als etwa in der 6-Ebene.oder or-Ebene, weil, wie
-n
&=-n+eg
Rec
sich zeigen wird, der Sattelpunktweg bei varia2
blem 6 = - 4 2 . . . - 3 4 2 seine Form beibehalt
und sich nur llngs der 5-Achse verschiebt, wiihrend dies fur das Bild in der 6- oder a-Ebene
Abb. 16. Integrationsweg W , in nicht gilt.
der 6-Ebene
Sommerfeld wertet in24)(S. 235ff.) die (14)
entsprechende Losung fur das Problem ,,Die Ver tikalantenne iiber beliebiger Erde" in der a-Ebene aus, beachtet aber dabei
nicht, daB Lage und Form sowohl des Sattelpunktweges als auch des ,,Flachlandes" sich mit 6 lndern. Auch tritt bei seiner Losung ein zusltzlicher Pol
auf, den er im ,,oberen Riemannschen Blatt" annimmt, Ott23) (S. 447) dagegen im unteren. Beim ,,Ebabziehen des Integrationsweges ins Flachland"
bleibt bei Sommerfeld der Integrationsweg am zusatzlichen Pol hangen und
damit liefert die Residuenmethode eine zusatzliche ,,Bodenwelle". Uber deren
,,Existenz oder Nichtexistenz" ist ein Jahrzehnte wlhrender Streit noch nicht
restlos entschieden (s. a.)26). Meines Erachtens ist die 0 ttsche Auswertung
richtig, die Sommerfeldsche aue obengenannten Griinden und weil Sommerfeld die zusiitzliche Polstelle im oberen, statst'im untereii Riemannschen Blatt
annimmt, unexakt.
(14) lautet mit (62) und (4)
0) = A eik'rcos(o-D,) + A' eik'rcos(&e,)
v(~,
- W, soll bedeuten,
daB der in Abb. 16 dargestellte Integrationsweg in umgekehrtem Sinne durchlaufen werden soll. Der Sattelpunktweg X (0) ist xkieder
durch (51) gegeben, wenn wir dort 6 durch 6 ersetzen. Er iiberstreicht den Streifen zwischen X(- 3 4 2 ) und X(- n/2), wenn 0 von - 3 742 bis - 4 2 wachst
(vgl. Abb. 1 4 und Abb. 17). Nur innerhalb dieses Streifens der Breite 7t interes24)
%)
A. Sommerf eld, Partielle Differentielgleichungen der Physik, Leipzig 1958.
B. Kockel, Ann. Physik 1,145-156 (1958):Die Sommerfeldsche Bodenwelle.
H . Stockel: Die Beugung einer ebenen elektromagnetischen Welle
175
sieren uns die Singularitsten des Integranden von (63). Es sind dies ein Pol bei
5 2 - t - 8, = 8, und ein Verzweigungspunkt der Ordnung 112 bei =
- n 8, (9. Abb. 16). Der letztere ist das Bild des Verzweigungspunktes OL =
- 1.Der Verzweigungsschnitt a = - 1. . . - 00 (8. Abb. 11) wird in & =
...
- n/2- i 00 abgebildet (a. Abb. 16). AuBerhalb des Poles bei 8, und des Verzweigungsschnittes ist der Integrand von (63) im betrachteten Streifen der
&-Ebenereguliir.
Wir verschaffen uns zuntichst wieder einen qualitativen Uberblick iiber die
moglichen Wellen im dichteren Medium. I n Abb. 17a ist 8 = - 3 n/2 angenommen. Es ergibt sich - am einfachsten aus (15) - fur z = 0, 2 > 0: V = 0.
cF
+
d!
Abb. 17a-e). Deformation des urspriinglichen Integrationsweges - W, in (63) in den
Battelpunktweg 9.(0) fur 0 = - 3 4 2 . - 4 2
- -
Fur - 3 n/2< 8 < 8, = n - 8, wird bei Deformation des urspriinglichen Integrationsweges - W, in den Sattelpunktweg S ( 8 ) der Pol 8, eingefangen. Das
Umlaufintegral urn den Pol liefert gem5B der Residuenmethode die ebene Welle
- exp [i k' r cos (8 - O,)]. Wenn man die partiell-reflektierte ebene Welle
A' exp [i k' r cos ( 8 - Or)] addiert (63), erh5lt man wegen - 1 A' = - A (4b)
gerade die metallisch-reflektierte ebene Welle - A exp [i k' r cos (0 - O,)].
Fib 8 > - 3 n/2 liefert die Sattelpunktmethode fur das Integral in (63)
ltings S ( 8 ) eine (scheinbar von der Kante) auslaufende Zylinderwelle. Diese
existiert im gesamten Bereich 8 = - 3 n/2. . . - n12.Sobald 8 > - z - 8, = 8,
wird, wird der Pol 8, nicht mehr eingefangen. Das heiBt, das metallisch-reflektierte Licht wird durch das partiell reflektierte Licht abgelost (ubergang von
Gebiet IV zu Gebiet I11 in Abb. 4).
Bei weiterer VergroBerung von 8 kann der Fall eintreten, daB der Sattelpunktweg teilweise auf dem unteren R i e mannschen Blatt verltiuft. Dies iindert
jedoch nichts an der Auswertung von (63) mit der Sattelpunktmethode, solange
8 < 5, ist. Sobald 8 > tFwird, bleibt der Integrationsweg bei Deformation
von - W, in S ( 8 ) am Verzweigungsschnitt h2ingen ( 8 . Abb. 17d). Das zusiitz-
+
176
Aamlen der Phyaik. 7.Folge. Band 10. 1962
liche Integral liings beider Ufer des Verzweigungsschnittes liefert asymptotisch
(fur k' r
1)eine zusatzliche Flankenwelle, die folglich im Bereich 8 = tF.
- 4 2 existiert. I n Abb. 17e sind die ,,Entstehungsorte" von Zylinderwelle und
Flankenwelle verstiirkt gezeichnet. Nur die unmittelbare Umgebung des Sattelpunktes 6 = 8 liefert bei der Integration liings S ( 8 ) einen wesentlichen Beitrag
und nur die unmittelbare Umgebung des Verzweigungspunktes tFliefert bei
der Auswertung des Integrals liings beider Ufer des Verzweigungsschnittes einen
wesentlichen Beitrag zum gesamten Integral (63). Z und F deuten auf die ,,Entstehungsorte" von Zylinderwelle und Flankenwelle hin.
Nach diesem qualitativen uberblick gehen wir nun an die quantitative Auswertung von (63). Das Integral liings des Sattelpunktweges S ( 8 ) werten wir f i i r
k' r 1mit der Sattelpunktmethode aus. Es liefert asymptotisch die Zylinderwelle
>
..
>
v:,
~
~7
cos
e L+ (n sin e) -~
e'k'r - w L+ ( n a)illz ____
etk"
-, k ' r > 1 (64a)
n k' r L+ (sin 0,) (sin 0, - sin 0)
L$ ( a -a;)
-1/
mit
C O S ~ = - - ~ / ~ - - L U ~ = - W8T=-n-8e.
W<,
(64b)
Diese entspricht vollkommen der Zylinderwelle (58a) im diinneren Medium.
(64a) ist nur dann eine gute NLherung, wenn der Sattelpunkt 8 nicht zu dicht
am Pol 8,, am Verzweigungspunkt EF, bei - 3 4 2 oder bei - 4 2 liegt (vgl.
Abb. 17). I n der Umgebung dieser Stellen mu13 (63) genauer ausgewertet werden (8. u.).
Das Integral l h g s des Verzweigungsschnittes lii5t sich fiir k' r
1in Analogie zu (61) ebenfalls mit der Sattelpunktmethode auswerten. Man erhalt die
Flankenwelle
k'=nk,
1~=sin8,
>
EF
= -z
+ e,,
8, = arc sin 1,
n
= sin e,
k' = n k.
Die Flankenwelle (65a) breitet sich ebenso wie die Zylinderwelle (64a) mit der
Phasengeschwindigkeit wlk' Bus. Die Wellenfront einer einmaligen Erregung
tangiert gerade die Zylinderwelle im dichteren Medium und trifft die Trennfliiche dort, wo die Wellenfront der Zylinderwelle des diinneren Mediums einmundet (s. Abb. 15).
11. Das Fernfeld fiir 0 w 0,
Fiir 8 w e,, liegt der Aufpunkt r, 8 in der Niihe der geometrisch-optischen
Grenze zwischen metallisch- und partiell-reflektiertem Licht. I n (63) liegt der
Pol
5=- e, = e,
(66)
in der Nilhe des Sattelpunktes 8. Deswegen versagt die Sattelpunktmethode.
Sie liefert gemail3 (64a) f i i r 8 = 8,: Vh = 00. Wir umgehen diese Divergenz-
H . b'tockel: Die Beugung einer ebenen ekktronucgnet~8chenWelle
177
schwierigkeit,indem wir den Pol 8, etwa durch Abspaltung zweier S o m me r f e 1d schen Halbebenenliisungen
und
wegkompensieren [vgl. etwaa6) (S.566)].
(67) beschreibt gerade die metallisch-reflektierte Welle fiir den Fall, daJ3 in
einem Medium n die ebene Welle A exp [i k' r cos (0 - 8,)] in Richtung 8, einf d l t . (68) beschreibt das partiell-reflektierte Licht (Abb. 18). Die Integrations-
-
Abb. 18. Der Beugungswinkel S, =
er- e
Abb. 19. W , und W , in der 6-Ebene
wege W , und W , sind in Abb. 19 dargestellt. W 4ist fur 8 > 8, gerade der Sattelpunktweg S( 8) . Sobald 8 < 8, wird, bleibt er am Pol 8, ,,hLngen", d. h. es wird
das reflektierte Licht ,,eingeschaltet". W , ist fur 8 < 8, gleich X(8). Fiir 8 > 8,
bleibt S ( 0 ) am Pol 8, hangen, d. h., es wird das
partiell-reflektierte ,,Licht eingeschaltet". W ,
liefert dasselbe Ergebnis wie - W3 (vgl. Abb. 17).
W, wird im folgenden auch bei der Umformung von (63) verwendet. W 4 in Abb. 19 konnen wir
auch durch W 4in Abb. 20 ersetzen. Die Integrale
(67) und (63) lndern sich dabei nicht. (Der Kiime
halber verwenden wir fur Integrationswege, die
zum gleichen Integralwert fuhren, denselben
Abb. 20. w, in der 5-Ebene
Buchstaben.) Wenn 8 > EF wird, bleibt W,
sowie - W3 am Verzweigungspunkt ER hangen (vgl. Abb. 17). Mit A +A' = 1
l&Bt sich 163) nun wie folgt umformen:
26)
M. Born u. E. Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press 1959.
178
Annalen der Physik. 7. Folge.
Band 12. 1963
Der Integrand des Restes besitzt keinen Pol mehr bei 5 = 8,. Folglich ist
W , = - W, und
A' J + A J = ( A ' + A ) J = J .
-IFa
m,
-ws -m,
Das Restintegral lliBt sich nun wie oben mit der Sattelpunktmethode auch
f i b 8 M 8, auswerten. Da es jedoch von der Ordnung O(k r)--Il2 fur k' r --+ 00
gegen Null geht, ist es fur 8 M 8, gegenuber V ,
V 2 zu vernachliissigen.
Bei dem hier betrachteten Fall der Totalreflexion besteht die Beziehung8)
(S. 502)
+
I m Gebiet der Totalreflexion 8, = 8, . . .n/2wachst y von 0 bis 3c (Abb. 21).
F u r (69) erhalten wir bei 8 M 8, folglich die Niiherungsdarstellung
mit
A, =
v 5 sin 4
-
2
4.
]/in
t
Abb. 21. ?(Be) = - m g A'IA.
Beispiel: n = 1%
--
und F (A,) = - =
dx eiz'.
ilmF
Abb. 22. F (A,) in der komplexen F-Ebene. Konstruktion mit Hilfe der Cornuschen Spirale
Der komplexe Ausdruck (71a) l&Btsich einfach mit Hilfe der bekannten C o r n u schen Spirale konstruieren (s. Abb. 22 und 23). Das Betragsquadrat ist gerade
die zu beobachtende Lichtintensitat des reflektierten Lichtes. I n Abb. 2 4 sind
zwei typische Falle dargestellt.
Fur den Grenzfall y = 0, also fur
8, = 8, bildet sich ein scharfes
Minimum bei 8 = Or aus. Man
konnte diese Tatsache zur
W o 1t e r schen
Minimumstrahlkennzeichnunga7) (S. 582) beniitZen. Ein teilweise VersilbertesGlasprisma zeigt also im totalreflekAbb. 23. Zu (71)
-
27)
~
_
_
Handbuch der Physik XXIV (1956).
H.Stockel: Die Beugung einer ebenen elektromagnetischen We&
179
tierten Licht analoge Interferenzerscheinungen wie sie im durchgehenden Licht
eines Phasenschiebers beobachtet werden. Nur fur y = 0 ist die Interferenzerscheinung symmetrisch
zu
e = 8,.
12. Die Fernfeldemplitude fur 8 * tF
I
I
0
1
I
0
7
I n Abb. 17 d konnen die beiden
Integrationswege S (0) und der
Weg langs des Verzweigungsschnittes auch durch den in Abb.25
gezeichneten Weg dargestellt werden. Fur 8 > tF und nicht zu nahe
an lR liefert die Sattelpunktmethodefur das Integral C, die
Flankenwelle (65a), 3 liefert
die Zylinderwelle Vh (64a), wiih= 0 ergibt.
rend
I
4
Abb. 24. Lichtintensitiit des reflektierten Lichtes
bei Totalreflexion in der Umgebung der Grenze
zwischen total- undmetallisoh-reflektiertem Licht
fur y = 0 und y = n/B
Abb. 25. Integrationsweg W ,
in der 6-Ebene
Die beiden Niiherungen (64a) und (65a) vcrsagen fiir 8 + tF,denn aus diesen
beiden Gleichungen wiirden die unphysikalischen Ergebnisse a, V i = V(F = 00
folgen. Wir n&hern deshalb den Integranden von (63) genauer an, indem wir
entwickeln :
eik'rcos(O-€) = eik'r+ik'r(8-€)?+ * . .
(72)
I
+
Damit erhiilt man fur die Summe Zylinderwelle Flankenwelle aus (63)
vh + V ; = J [a + b vl- l,5 eik'r e-tik'r (0-0'.
(74)
m*
Das Integral (74) spalten wir in zwei Integrale auf. Den Wert des ersten Integrals erhalten wir einfach, indem wir in (64a) 8 durch tFersetzen:
180
Anmlen der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
Diesen Ausdruck konnen wir als Zylinderwelle V i deuten, denn das andere Integral klingt rascher als (k' r)-l/* ab, niimlich von der Ordnung O(k' r)-3/4, weswegen wir den Rest zur Flankenwelle ziihlen :
Das Integral iiber X ist zuniichst liings des Weges W , (s. Abb. 26a) zu erstrecken.
Da in den schraffierten Bereichen jedoch ,,Flachland" ist, kann man W,auoh
in den Weg von --oo bis
00 deformieren (s. Abb. 26b), ohne dal3 sich der
+
Abb. 26a) und b). Integrationswege in der X-Ebene
Integralwert dabei iindert. Der Verzweigungsschnitt verlaufe in Analogie zu
Abb. 25 von 0 n a c h w ;
sei positiv auf dem oberen Ufer. Das Integral ist
eine analytische Funktion von S und besitzt die Potenzreihenentwicklung
2112 ill4
r(;)S + O(S*).
(77)
Die Flankenwelle miindet also bei 8 -+EF stetig in die Zylindenvelle ein.
An Hand der bisher hergeleiteten Formeln priift man leicht nach, dal3 V
siimtliche Einzigkeitsforderungen (nach (5)) erfiillt.
13. Die Beugungserscheinung im optisch diinneren Medium
Die Intensitiit der Zylinderwelle im optisch diinneren Medium ist proportional dem Betragsquadrat von V , (58a). I n Abb. 27 ist als Beispiel n = VS,
B,, = 1,l gewiihlt. Der eingezeichnete Pfeil gibt die Lichteinfallsrichtung 8, an.
Im linken Bild ist die beugende
Halbebene links angenommen,
also bei z = 0, x < 0. Fiir dieqvIz
sen Fall erhiilt man die Intensitiit einfach durch die Substitu5
tion q,+-m0.
Von der Kante
scheint in beiden Fallen ein
Abb. 27. Polardiagramm .der Beugungsintensitiit ; ,,schwaches Leuchten" ~ U S Z U gehen. Snterferenzstreifenfehlen.
a, = n sin 8, = 1,1; IE = @
a
(p
/
H . Stockel: Die Beugung einer ebenen elektrornagnetiachen Welle
14.
(F
181
A Hslbebenenksnte (s-Fall)
Wir wollen jetzt noch den dualen Polarisationsfall behandeln : 8 1 I -Kante
(d. h. Q I - K a n t e ) . Da die Rechnung im wesentlichen wie friiher verliiuft, konnen wir uns kiirzer fassen. Es gilt wieder Abb. 2, nur haben wir jetzt @ Q durch
8 8 zu ersetzen. Fur die gesuchte magnetische Feldstiirke Qt machen wir in
Analogie zu (9b) den Ansatz
8 - H , iV e i ~ =
t H ie-i~ot
(78)
1 -
H , sei dabei die magnetische Feldstiirke der gebrochenen ebenen Welle fur den
Fall, daS der Schirm gar nicht vorhanden ist. Die elektrische Feldstiirke
Qt = Q exp (- i cc) t ) ergibt sich hieraus mit Hilfe der M a x wellschen Gleichung
zu
Wir heben im folgenden nur die hderungen gegenuber der fruheren Rechnung hervor.
Die Permeabilitiit sei fur alle z gleich lu, angenommen. Hieraus folgt (S. 496)
E = c0 N2.
(80)
I n (2) ist zu ersetzen Ee+ $jet,Qo -+ $. Die Gln.(l), (3) und (4a) sollen weiterhin gelten. (4b) ist abzuiindern in
[s.~)(S. 496)]. I n (4) ist @prim durch @,,rim, Q, durch 8, zu ersetzen. In den Einzigkeitsforderungen nach (5) heiDt es jetzt :V sei iiberall beschriinkt. (Mit dieser
Forderung eriibrigt sich die Kantenbedingungs) (S. 255). NA2a, V sei uberall
auBerhalb S stetig, insbesondere beim Durchgang durch die Trennebene. Diese
Stetigkeitsforderung garantiert insbesondere, daS die Tangentialkomponente
von Q beim Durchgang durch die Offnung stetig bleibt.
Die Randbedingung E, = 0 auf S liefert wegen (79b)
a , V = O auf S.
Statt (9a) machen wir in Analogie zu
(S. 46) und
(82)
2s)
den Ansatz:
mit Vprh gemiiB (4a) und (81) und mit
Die Stetigkeitsforderung fur V in der Offnung liefert in Analogie zu (10)
eikza
26)
2O)
dor = o fur x E 8.
H. Honl u. K. W e s tpfahl, Max-Planck-Festschrift, 36-64
H. Stockel, Ann. Physik 9, 242-261 (1962).
(85)
(1958).
182
Anwlen der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
a, V = 0 auf
$ wL eiksn
Die Randbedingung
1
S liefert
= - w0 eikxao fiir x E 8.
(86)
Um das System (85), (86) mit der Wiener-Hopf -Methode zu losen, machen
wir wieder den ,,Faktorisierungsansatz"
-
'
w, = w+, WL = W T ( a ) W+I(-a),
(87)
wobei W: in der oberen, Wi = W? (- a ) in der unteren a-Halbebene reguliir
seien. Die Losung lautet in Analogie zu (12a) undZe)( S . 49)
W 1 finden wir wie folgt : Es sei gesetzt
w
w,
W'
W'=N=N+N-=N-(-a)N-(a).
2--=nZW+
Dann wird
p
= Pe
+ P- = In' N
= In' N+
+ In' N -
+
a=
= -M 2
4-a:
(89)
~
a
a2-a;
(goal
mit
M = - w aw ,(16)
und
n
a1 = ~-
1/;Lz+l'
(gob)
(Der Strich bei In bedeute Ableitung nach a). Dieser Ausdruck la5t sich leicht in
eine Plus- und eine Minusfunktion P- aufspalten. Man findet unter Beachtung
von (89) und M- gem65 (24b)
Hieraus folgt durch Integration
N
Mit (91) gilt fur la1
-200:
a
- $ dNP-
-
w;
-
e 0
a-W,
d'2.
(93)
Die Bedingung (13) ist somit erfiillt. Unsere Losung ist also eindeutigl3) (S. 313).
Damit ist die exakte Losung fiir den .+Fall gefunden. Fiir = 1ergibt sich,
wie es sein mu5, die Sommerfeldsche Halbebenenlosung:
W L -+ w- = 1/1-a 2s) (S. 49).
Das strenge .Babinetsche F'rinzip gilt fur n
1 nicht mehr. Die Losung
fur beliebige Einfalls- und Polarisationsrichtung findet man &usden hergeleiteten beiden Grundlosungen durch einfache Differentiationenso).
+
30)
H. S t o c k e l , Optik, Picht-SonderheftJan. 1962.
H . Stockel: Die Beugung einer ebenen elektromagiwtischen Welle
183
111. Die Beugung am Spalt in der Trennebene
16.
(E
11
Spaltachse @-Fall)
Um die Analogie zuz9) zu wahren, setzen wir in (9c)ff.
Fur V machen wir in Analogie zu (9a) den Ansatz
Die weitere Rechnung verliiuft wie in29). Wir brauchen dort nur W+ durch
Wfl, W- durch W i , W durch W I Izu ersetzen. Folglich konnen wir auch die dort
hergeleitete exakte Losung fur die Beugung am Spalt ubernehmen (5.Abb. 28) :
-
+ egea@(- a, - cto) = cj - j W, 6(a -a,,),
o + + o~aJ~
+ 0 2 @1--9.8
’
~ ( aa,.,,) = e-isa @ (a , a,.,)
@ = Q0
+0
Q0
(96a-e)
Der Beweis von (96d) verliiuft wie inzg).
Fiir das Fernfeld liefert die Sattelpunktmethode [vgl. g, (S. 443ff.)].
cj (a,a,), z > 0, k r
> 1, oc = sin e, a. = sin 8,.
(97)
/
Abb. 28. Beugung am Spalt
Abb. 29. Polardiagramm der Intensitat fur
die Beugung am Spalt in der Trennebene
bei Totalreflexion. Zahlenbeispiel: n = fi,
a
. = n sin 8, = 1,l; E w 12. Die Zahl der
Maxima m E. Auswertung gemaB (98)
184
Fur
Anmlen. der Physik. 7. Folge. Band 12. 1963
E
>1geht dieser Ausdruck uber in
V=
v x
W:,
&kr
-ie(u-u.)
w+
W
2nkr
_ -WWI
~ eie(u-u,)
O
-
U-Uo
Fur groSes E setzt sich also, wie nicht anders zu erwarten, das Fernfeld additiv
aus den Fernfeldern der beiden verschobenen Halbebenen zusammen.
I n Abb. 29 ist (nk r/2) V
Intensitat in Abhangigkeit von 8 als Polardiagramm fur das friiher betrachtete Zahlenbeispiel dargestellt. Durch Interferenz der beiden scheinbar von den Spaltkanten ausgehenden Zylinderwellen
kommen Beugungsstreifen zustande. Der Winkelabstand d 8 zweier benaohbarter
Maxima (oder Minima) folgt gemiid (98) in guter Niiherung aus
I la
E
N
Id ( a - a0)I = E Id (sin 8 - o ~ g )I = E cos 8 .A 8 = 7~
zu
A ( j - - -n COS
e
1
2 c cos e *
(99)
Dieselbe Formel fur den Winkelabstand gilt ubrigens fur die Beugung am Spalt
im Vakuum.
Entsprechend interferieren im reflektierten Licht zwei scheinbar von den
Spaltkanten ausgehende Zylinderwellen miteinander, wodurch sich helle und
dunkle Streifen ausbilden. Damit sind die eingangs zitierten Wolt erschen
Beobachtungen erkliirt.
16. Q 1 Spaltachse (s-Fall)
Zur Behandlung dieses Polarisationsfalles gehen wir von dem Ansatz (83)
aus. Stetigkeitsbedingung und Randbedingung fuhren jetzt wie friiher zu den
beiden Integralgleichungen (85), (86). Die Losung dieses Systems verliiuft wie
in a*) (S. 54ff.) und 29). Wir brauchen inas) nur zu ersetzen:
und kBnnen dann die dortige Losung direkt ubernehmen. Die Gleichungen
(97a, b, d) gelten ebenso. Der Integraloperator 0 und Gohaben jetzt eine andere
Bedeutung :
(101a)
o #o = 1
W ; ei2Ea' a0(- a', - ao),
-ivJA
3
h
Der Beweis von (96d) verlguft wie in
Da das strenge Babinetsche Prinzip nicht mehr gilt (s. o.), IiiSt sich das
Problem: ,,Die Beugung am Streifen in der Trennebene" nicht mehr aus der
Spaltlosung herleiten. Dieses Problem harrt noch der Liisung. Die oben hergeleiteten Halbebenenlosungen lassen sich fiir andere Trennebenen-Beugungsprobleme im S h e der Braunbekschen Niiherung als Randkorrekturen verwendeng) ( S . 285ff. ; dort weitere Literaturangaben).
H . Stockel: Die Beuguitg einer ebenew. elektrmnagnetischen Wells
185
AbschlieBend mochte ich den Herren Prof. J. Picht, Prof. 0. Lucke und
Dr. F.-J. Schutte fur die kritische Durchsicht der Dissertation und fur wertvolle Hinweise danken.
Potsdam, Institut fur Physik der Padagogischen Hochschule.
Bei der Redaktion eingegangen am 20. Dezember 1962.
13a
Ann. Phyeik. 7. Folge. Bd. 12
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
1 367 Кб
Теги
beugung, die, ebene, bzw, eine, elektromagnetische, well
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа