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Die Beugung einer ebenen elektromagnetischen Welle an zwei idealleitenden Halbebenen in der Trennebene zwischen zwei Medien (II).

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A N N A L E N D E R PHYSIK
*
7.FOLGE
BAND
14,
HEFT 3-4
u
1964
Die Beugung- einer ebenen efektromagnetischen Weffe
an zwei ideafleitenden Hafbebenen in der Trennebene
zwischen zwei Medien (11)1)
Von HELMUT
STOCKEL
Mit 1 Abbildung
Inhaltsiibersicht
Es werden ,,Pseudopotenzreihen" nach Potenzen von x, = k, c = 2nc/10 ( 2 ~
Spaltbreite, loVakuumwellenlange) der exakten Losungen des Beugungsproblems fur (3 bzw. @ parallel zur Spaltachse hergeleitet. Die Koeffizienten
hangen noch von Inx, ab.
1. Problemstellung. E I/ Spaltachse
I n 2, hat HOOP
die Beugung einer ebenen Welle am Spalt als Variationsaufgabe behandelt. Die von ihm angewendete Methode wird im folgenden auf den
Fall zweier Medien ubertragen.
Z
Die Problemstellung ist ausfuhrlich in l ) bek=nk,,
schrieben, so daB wir uns hier kurz fassen konnen :
Die einfallende ebene Welle
E, ,ik'(xsine,+
zcose,)
(1)
werde a n dem Spalt der Breite 2 c in der Trennebene zwischen zwei Medien gebeugt. Gesucht
ist die elektrische Feldstarke E , , im Aufpunkt
P ( x , z ) (s. Abb. 1).
h~nko
Abb.1. B~~~~~ am Spait in
der Trennebene
2. Herleitung der Losung
I n Analogie zu
1)
(1963)
2)
2)
gehen wir von dem Losungsansatz aus
Diese Arbeit kniipft an den Dissertationsauszug des Verf. an: Ann. Physik 12, 156
..
A. T. DEHOOP,
Proc. Kon. Ned. Ak. Wet. (B) 58, 401 u. 325 (1955).
8 Ann. Physik.
7. Folge, Bd. 11
114
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
HA ist die HANKEL-Funktion nullter Ordnung erster Art. Die Porderung, daB die
a/&
Normalableitung
von u1 innerhalb der Offnung stetig sein soll, liefert
Nit Hilfe der Sattelpunktmethode ergibt sich aus (2) das asymptotische Verhalten
erhalten wir aiis (3) durch Teilintegrution
L $ dx' ul(x',
(j eu'xsinO,
i k'
4-c
+--; a
0, 0,) (k2H
+ k f 2 H')
r
J d d - a% (z',0, 0,)
ax'
.i ax-.
(H
+ H').
(8)
C
Die Anwendung des Integraloperators - 2
J dz ul(z,0, 0) . . .
und anschlie-
-C
Dende Teilintegration liefert unter Beriicksichtigung von u1(z, 0, 0 ) = 0 a n den
Integrationsgrenzen (= Randbedingrrng) :
- 2 $ dx %(x, 0 , 0 ) i k' cos B0 eirrsi1%
i
= - J J d r dx' U ~ ( S0,, 0) u,(z',0, 0,) [PH + k'2 H ' ]
+;JJaxdx'
d
aU,
-
e) au, w, I ) ,0,)
aa
at'
(r,0,
~
+ Be, 0) = A , (n+ 8 , 0,)
= 8, (n
-
=-z
(H
+H')
J dx U, (z,o,e,) i kf Cose e
(9)
i ~ ~ ~ i n ~ .
115
H. STOCKEL
: Beugung einer ebenen elektromagnetischen Welle
+
Die Fernfeldamplitude A, (z 19,0,) ist also invariant beziiglich einer Vertauschung von I9 und 0,. Weiter folgt
-8 i
--
k’2
cos 0 cos
e,J
u1(z, 0, 0)
eik’ZSil‘@e
dx 121,
[ x . H~ + 12’2 H’]- J J d s d x J
J J d z d s r U, (Z,O, e)u1(xi, 0, 0,)
0, 0,)
(z’,
P‘x’ainO
dz’
at(, (2,0, e ) atL,(z’,o,e,)
~~
~~~
~~~
ax’
2.z:
+
-~
~~~
(H
+ H‘)
Wir behaupten, daIj dies eine st,ationare Darstellung von A,(z
8 , 0,) beziiglich einer Va’riation bu,(x, 0, 0) oder 6ul(z’, 0, 0,) ist.
B e we i s : Wir schreiben (10) ziinachst mit leicht ersichtlichen Abkurzungen
um in
-4, I\: 8i kI2 eos 8 cos 8, J u,eik’zsillOe dx J u10 eik’x‘sino dz‘ = 0 .
(11)
+
Nun bilden mir die Variation beziiglich u1und fiihreri eine Teilintegration beziiglich x durch:
6A, . iv
+ A, {//dx dx’au,
+
2;;
( H +H
H’]+ /J ax ax’626,.
+ 8i k’2 cos 0 cos 0, J au,,. eiyzsin0, dx J 10 @‘z’sin@ ax’ = 0 .
‘
Ule [k2 H
k’2
j
(12)
Dafiir 1aBt sich wegen (9) auch schreiben
d ~ . ,iv
+ A , / clxau, (Jax‘
- 4 p cos 0,
[U1,(k2
H
+
H’)
+ a+ax a
ax ( H + a71
0.
r
I)a die geschweifte Klammer wegen (8) verschwindet, ergibt sich 6A,
e i ~ m i n ~ ,t
(13)
= 0 wie
behauptet. Entsprechend laat’ sich zeigen, daIj A , stationair beziiglich einer Variation von ,ule ist.
Da’mit haben wir unser Beugungsproblem a,uf die Variationsaufgabe zuruckgefiihrt: Gesucht ist die exakte Spalterregung u,,(x,0, O,), die (10) zu einem
Extremwert macht,.
Wir vereinfachen zunachst unser Variationsproblem etwas, indem wir in (10)
I9 = 19, setzen. I n Analogie z u 2) S. 406 setzen wir a’n
c o - 0.
(14)
Die Entwicklungsfunlitionen bildrn ein vollstandiges Orthogonalsystem und erfiillen die Bantenbedingnng u,
fur D -+ 0, wobei D den dbstand eines
Punktes (x,0) der Offnung von einer Kante bedeutet.
(14) setzen n i r in (10) mit 8 = Ot?ein, variieren nach den c, und erhalten
nach einigen Umforinungen als Bedingungsgleichungen fur die gesuchten Entwicklungslioeffizienten c ,
- 15
3 3 -
d,,, c, = i cot 8, J , (k’ c sin 19,),
77%
= 1, 2,
u=1
3,
...
(15)
mit
x =k c,
8*
x‘ = k’ c ,
cl,,
=0
fiir
in
+
12
ungerade.
(16)
116
Annalen der Physik. 7. B’olge. Band 14. 1964
J , bedeutet die BEssEL-Funktion m-ter Ordnung. Nach elementaren, aber langwierigen Zwischenrechnungen findet man mit
x=nxo,
xo=k0e,
.x
zT ,
p‘ = In YX’4
gemfil3 den Formeln
2,
xf = n ’ x o ,
In y = 0,5772
. . . (=
p=lnY-z4
.x
a
(17)
EuLERsche Konstante)
S. 329 (die auf ihre Richtigkeit gepriift wurden)
x2
a,,
=.
d33
= - T + 192
a35
=
iG-
+ 0(x4)
&+
1
x2
0(x4)
1
x2
a55 ---+-+0(%4).
10
960
+0
Allgemein gilt fur x
d, ( x ) = 0 (x1”z-q.
(19)
Die Entwicklungskoeffizienten c, setzen wir als Potenzreihen in x,, = k, c an:
00
cn
=
C Cnp x t
p=O
(20)
und bestimmen die unbekannten c,, durch Einsetzen in (15) und Koeffizientenvergleich. Es ergeben sich mit
n2 p
nf2p’ .
(21)
p=
2
+
c, = -ix,,nn’
[
:(-
3
cos e, I- - p-- 8 (n2
1
+ n’2) +-n2n’2sin2ee)x;
2
+ . . .] + ~ ( x g )
+
i
cz =- - x; n2 nr2cos 8, sin Oe
0 (x;)
2
1
c, = - i xg n n‘ cos Be (1
2 n2 n’2 sin2 0,)
+
(22)
+ 0 (x,”)
....................................
Einsetzen dieser Ausdriicke in die Darstellung (5) der Fernfeldamplitude liefert
A , (8, e,)
= - 7c xg n n’ cos
8, cos 8
- n n‘ sin e, sin e + n2 sin2 e) + . .
3
(n2
-1+ o
+ n’2) + n‘2 sin2 8,
(xz).
(23)
+ 8, laat die Fernfeldamplitude A, invariant:
4 ( 8 , Be, n, n’) = A,(n + O,, n + 8, n’, n ).
(24)
Die Vertauschung n
++
n‘, 8 ++ n
117
H. STOCKEL
: Reugung einer ebenen elektromagnetischen Welle
Dieses Reziprozitatstheorem kann man auch so formulieren : Eine Vertauschung
von Quellpunkt und Aufpunkt la& die Fernfeldamplitude unverandert.
Die zeitgemittelte Leistung, die pro Spaltlange y durch den Spalt stromt, ergibt sich durch Integration iiber einen Halbzylinder um die Spaltachse mit sehr
grol3em Radius zu
-
x$ cos2 8, y E,2
32 w ,uo
n2 n‘2 n2
n2
+ ~In ( y xo n’/4)
_
In ( y xo 4 4 )
n‘2
_
(25)
2
+ 3n‘2
+ -2n2
1
n‘2 sin2
2
8
ee)] + o
.
3. 0. ISpaltachse
Wir behandeln jetzt auf analoge Weise den dualen Polarisationsfall : $? 1 [ Spaltachse. Die magnetische Feldstgrke besitzt also nur eine y-Komponente H,. Die
elektrische Feldstarke ergibt sich dann aus einer MAXWELLSchen Gleichung zu
=A v t
.>
--
Et
0, --Hax
a
(:H,,
e-id.
Wir nehmen ferner an
(26)
Die magnetische Feldstarke der einfallenden ebenen Welle schreiben wir in der
Form
Qet
=
vz
E, eitssine,+ik’zcose,
e-iwt
i-
(28)
Gesucht ist die magnetische Feldstarke
E,
=u
~ ( zZ ), He
fur einen Aufpunkt (x,z ) . Die Stetigkeitsbedingungen fur die Tangentialkomponenten von (3 und $? innerhalb der Offnung z = 0, 1 x I < c erfordern, daB u2und
&u2/N2&in der Offnung stetig sind. Dabei sei
,;(
K
=-=
k0
fur
~ 2 0 .
Die gesuchte Losung setzen wir in der Form an
Y (4%I ( k e) dx’
U,(X, 2 ) =
mit
e
2 eitzsinoe cos (k‘ z cos e,)
+ Cy’Z
J y (x’)H A(IC’e) ax‘
2 ,
e gerniia ( 2 ) . ~s gilt wegen z+o
lim 2 a H ; [ICw
2 alzl
1 au
y ( x ’ ) = -2
n2
az
( 5 1 ,
+ 0)
1 au
+
I
Z
20
(31)
x ! ) ~2 2 1 = 6 (2’- 2):
= - -2
( 2 1 , -0).
nf2 az
(32)
Der Losungsansatz (31.) ist bereits so gewahlt, daB die Stetigkeitsbedingung (32)
fiir die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstarke innerhalb der Off -
118
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
nung erfiillt nird. Wenn weiterhin u, innerhalb der offnung stetig sein soll. mu13
gelten
C
eik’winO, = -2
y (2’)G (2,2’)da:‘
--P
mit
G (z,2’)=
i
[dHA (k I z - Z‘I)
+ n‘,
HA (k’ j I --
2’
I)].
Die Sattelpunktmethode liefert das Fernfeld
KT+CC
mit der Fernfeldamplitude
C
A,(B, 0,)
= -2
sgn cos 8
. sy(e,, 2’)e - - i ~ z ’ ~ i I l ~ d x ’ .
-C
Wir nehmen im folgenden wieder an
Zur Herleitung einer stationaren Darstellung der Fernfeldamplitude A , ersetzen
wir zunachst in (36) 0 durch 8,
TC, 8, durch 8 :
+
Unter Berucksichtigung von (33) ergibt sich
-
-
,
J (0, x) e ik’ zslne e d x l y(Oc,x‘) eik’z‘slne
ax’
.
._ _
.I~ x d J~ v(e,
’ Z ) v (ee, X? G
(39)
Man zeigt leicht, daB dieser Ausdruck stationjir beziiglich einer Variation von
~ ( 0Z), oder y(O,, z‘) ist.
Die gesuchte Spalterregung y setzen wir n-ie Hoop,) S. 409 in der Form an
-
Die Entwicklungsfunktionen bilden ein vollstandiges, orthogonales FunktionenD-lI2, wenn der Abstand D des
system und erfiillen die Kantenbedingung y
Aufpunktes x von einer Kante klein wird.
Wie beim anderen Polarisationsfall setzen wir (40) in (39) ein und integrieren
aus. Da die exakten Koeffizienten C, die stationare Darstellung (39) zu einem
Extremwert machen, gelten die Gleichungen aA,/BC, = 0, wobei fur A , die
stationlire Darstellung (39) einzusetzen ist. Wir setzen darin der einfacheren
Rechnung wegen Oe = 8. Man erhiilt so die Bedingungsgleichungen fur die un-
H. STOCKEL:
Beugung einer ebenen elektromagnetischen Welle
0 0 -
1
2 D,,,C,
p=O
OJ,
= - J,(%'sin
m = 0 , 1, 2 ,
..,
119
(41)
mit
00
D,,
Die D,, lassen sich nach
zungen ( 1 7 )
fiir rn
=0
2,
(42)
+ p ungerade.
S. 329 berechnen. Es ergeben sich mit den Abkiir9
1
D, = P - ~ P %+ s~r , ( ~ - 3 ) % 4
+
1
o(X6),
1
1
D2, = -
D24
-
=
D44 --
+0
1
%2
48
4
+
1
--%2
384
1
8
-+
0(x2),
I
1
+
1
96
1
= --
Allgemein gilt
G
(43)
+,)X2+O(X4L
--%2
=
0(%4),
1
4,=- y+&
D13
(%4),
0(%4),
+O ( 2 ) .
D,, - D,,
= O(XIP-~'~).
(44)
Die unbekannten C, setzen wir als Potenzreihen an:
00
C,
=
c c,,
g=0
xff.
(45)
Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich
c -- c ( p +2 p')
O0
1
C - --n'sin0,
33 -
16c
r:
---n/2
272'2
sin2 H,]
.
120
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
Hiermit erhiilt man die Fernfeldamplitude
+ n n n' sin 8 sin 8,
1
xg
+ O(x$).
(47)
Die durch den Spalt pro Liinge y im Zeitmittel hindurchstromende Leistung
wird
Ein schmaler Spalt in der Trennebene wirkt also auf naturliches Licht als Polarisator. Er lafit bevorzugt Licht mit 6 I Spaltachse hindurch. Die Konvergenz der
,,Pseudopotenzreihen" (23), (25), (47), (48), deren Koeffizienten noch von In x,,
abhiingen, ist allerdings genauso fraglich wie fur n = n' = 1. Es eriibrigt sich
darauf hinzuweisen, daR siimtliche Formeln fur n = n' = 1 in die entsprechenden von Hoop2) angegebenen iibergehen.
Herrn Dr. F.-J. SCHUTTEdanke ich fur die kritische Durchsicht des Manuskriptes.
P o t s d a m , Institut fur Physik der Piidagogischen Hochschule.
Re' der Redaktion eingegangen am 22. November 1963.
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