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Die Beugung einer ebenen elektromagnetischen Welle an zwei parallelen unendlich langen idealleitenden Zylindern von elliptischem Querschnitt.

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K . GPrmey: Rc zigiing einer ebenpn PleX.tron~ugn~tisehen
TVelle
237
Die Beugung einer ebenen efektromagnetischen W e f f ean
zwei paraffefenunendfich fangen idealleitenden
Zyfindern von effiptischemQuerschnitt ")
Von K u r t G e r m e y
Mit 6 Abbilduiigen
Inhaltsii bersich t
E s wird die Beuguiig eiiier ebenen elektromagnetisclien Welle an zwei parallelen unendlich langeii idealleitcnden Zylindern voii elliptischem Querschnitt
behandelt. Es wircl nur der Spezialfall betrachtet, dal3 der Wellennormaleiivektor der einfalleiiden Welle senkrecht zii den Zylinderachseii steht (senkrechter Einfall) und daB ihr elektrischer Velitor parallel zu den Zylinderachsen
schwingt. Die exakte Losung des Beugungsproblems niuB dann iiberall auBerhalb der Zyliiider Losung der homogenen H e l m h o l t zgleichung sein. Als
Losungsansatz wird fur jedeii Zylinder eine Reiheneiitwieklung iiach N a t h i e u schen Funktionen mit ziinachst unbestimmteii Koeffizieiiten aiigesetzt. Wenn
man nun die S o m m e r f eldsche Ausstrahlungsbedinguiig,die Randbedingungen
auf den Zylinderoberflachen und die Eindeutigkeitsforderung der Losung uberall aul3erhalb der Zylinder erfullt, bekommt man init Hilfe einer Art von
Storungsrechiiung Rekursionsfornieln zur Rerechnung der iiiibekaiiiiten E n t wicklungskoeffizienteii. Eiiie gute Konvergenz des ganzeii Verfahreiis liegt vor,
wenn der Abstand zwischen den heideri Zyliiidern im Verhaltnis zur Wellenlaiige groB und das Verhaltiiis tler geometrischen Abmessuiigeii dor Einzelzylinder zur Wellenlange klein ist. Als Spezialfall wird die Beugiing am Doppelstreifen behandelt.
Einleitung
Die Beuguiig von ebeneii akustischen oder elektromagiietischeii Wellen an
Beuguiigsaiiordnungeii aus parallelen Zylindern ist Gegenstand einer ganzen
Reihe von in den letzteii Jahren erschienenen Arbeiten (z.B. lp5)). R. F. M i l *) Auszug a m der Diisertation des Verfassers, Padagogische Hochscliule, Potsdam
1962.
l) V. T w e r s k y , J. Acoust. Soc. diner. 2.2, 42 (1952).
z , V. T w e r s k y , J. Appl. Phys. 23, 407 (1952)).
3, R. V. R o w , J. appl. Phys. 26, 666 (1955).
4, S. N. K a r p , Diffraction by an infinite grating of arbitrary cylinders. New York
University, Jnst. of Mathematical Sciences; Division of Electromagnetic Research, Research
Report 1955 S o . EM-85.
5) R. F. M i l l a r , Pan. J. Phys. 3h, 2 i 2 (1960).
2 38
Annakn der Phyaik. 7 . Folge. Band 13. lDG4
l a r 5 ) behandelt in seinem Aufsatz die Beugung eincr ebenen Welle an einem
Gitter aus N parallelen Zylindern. Durch Anwendung des Greenschen Theorems bekommt er fur die unbeltannten Feldfunktionen ein System simultaner
Integralgleichungen. Wcnn man die unbekannten Bunktionen in Reihen nach
Potenzen von k b ( k Wellenzahl, b Zylinderdimension) entwickelt, kann man die
Integralgleichungen auf lineare algebraische Gleichungen reduzieren. M i l l a r
spezialisiert seine Formeln auch auf den Fall zweier gleicher elliptischer Zylinder
mit parallelen Halbachsen. Er kann fur diesen Fall jedoch nur eine Naherungsformel fur das Fernfeld angeben.
I n der vorliegenden Arbeit wird dic exakte Losung fur die Beugung einer
ebenen elektromagnetischen Welle an zwei elliptischen Zylindern, deren Achsen
parallel zueinander sind, deren gegenseitige Lage sonst jedoch beliebig ist und
deren Querschnitte im allgemeinen verschieden sind, angegeben.
Problemstellung und Wahl der Koordinatensysteme
I n den folgenden Untersuchungen wird eine Beugungsanordnung von zwei
elliptischen Zylindern betrachtet. Die Achsen der beiden Zylinder seien parallel
zueinander. Beide Zylinder sollen in Richtung ihrer Achsen nach beiden
Seiten unendlich ausgedehnt sein und aus idealleitendem Material bestehen.
Auf diese Anordnung falle eine ebene elektromagnetische Welle so ein, daB der
Wellennormalenvektor senkrecht auf den Zylinderachsen steht, aber mit der
'/A<%Richtung der einfallenden
Abb. 1. Geometrie des Beugungsproblems
grol3en Hauptachse des ersten elliptischen Zylinders eiiien Winkel .i?. bildet
(Abb. 1).Es werde nur der Spezialfall betrachtet, daB der elektrische Vektor
der einfallenden Welle parallel zu den Zylinderachsen schwingt. Das kul3ere
der Zylinder bestehe aus homogenem Material niit den Materialkonstanten
E , p, n = 0. Es sol1 die Beugungserscheinung in der Umgebung der beiden
Zylinder berechnet werden. Das Beuguagsproblem wird in den niichsten Abschnitten mit Hilfe der Separationsmethode gelost. Dazu ist es zweckmaBig
elliptische Zylinderkoordinaten einzufuhren.
hi. Grrmey: Beugung einer pbenen elektroinagnetischen well^
239
Die beiden Zylinderachsen werden zu z-Achsen von zwei elliptischen Zylinderkoordinatensystemen gemacht, in deneii die Umrandungen der Zylinderquerschnitte gerade Koordinatenlinien sind. Elliptische Zylinderkoordinaten 6,
z werden durch
v,
L
= c cosh
6 cos g ,
y
= c sinh
E sin lj?,
eingefuhrt. Die gesamte xy-Ebene auBer der Strecke -c
umkehrbar eindeutig auf den Halbstreifen der (q-Ebene
o<,$<oo,
z
=z
5 s 5 c, y
(1)
= 0 wird
0<?1g%Z
abgebildet6). Die Kurven 6 = const sind Ellipsen mit den Brennpunkten
= & c. y = 0, die Kurven 7 = const sind halbe Hyperbeliste mit den gleichen Brennpunkten IAbb. 2). Fur
5 = 0 erhalt man die Strecke
-c I x _I + c , y = 0, auf der 71
zweideutig wird. Man erhalt namlich die Strecke einmal. wenn 7 von
0 bis 7c lauft und dann noch einmal,
wenn q von TC bis 27c lauft.
Setzt man in G1. (1)
x
r
=c
-0
cosh 6,
q =p
und macht den Grenziibergang
c --f 0, so erhalt man Zylinderkoordinaten r . p, z gemalJ
x = r cos pl, y = r sin q , z = z .
Da bei dem angegebenen Beugungsproblem keine Abhangigkeit
Abb. 2. Elliptische Zylinderkoordinaten
von der z-Koordinate vorliegt, es
sich also um ein ebenes Problem handelt, braucht man nur ebene elliptische
Koordinaten zu betrachten.
Die Zylinder mogen die linearen Exzentrizitaten c1 und c2 besitzen. Die
Transformationsbeziehungen fur die beiden Koordinatensysteme lauten dann
in der kurzen komplexen Schreibweise
und
Die Polarkoordinaten des Zentrums des zweiten Systems im ersten System
seien r , p. Der Winkel zwischen der x,-Achse und x2-Achse sei iy. Der Zusa mmenhang zwischen den beiden Systemen ist dann gegeben durch
c1 cosh
(6,+ iq,) = reaq + c2eaJcosh (E2 + i q 2 ) .
(2)
~~
‘j) J. M e i x n e r u. F. W. S c h a f k e , Mathieusche Funktionen und Spharoidfunktionen.
Springer, Berlin-C4ottingen-Heidelberg 1954.
240
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 1.3. 1964
Losungsansatz
Das Beugungsproblem wird durch eine Art Storungsrechnung gelost. Wenn
der Abstand zwischen den beiden elliptischen Zylindern sehr groR ist, kann man
Wechselwirkungen zwischen den beiden Zylindern vernachlassigen und die
Gesamtlosung des Beugungsproblems darstellen als Addition der einfallenden
ebenen Welle mit je einer von jedem Zylinder ausgehenden Beugungswelle, die
von dem anderen Zylinder unabhangig ist (Einzelzylinderlosung), so daB der
elektrische Vektor des Gesamtfeldes auRerhalb der Zylinder gegeben ist dur ch
e = Qe + E.b,+ eg
(3)
(der Index e deutet auf einfallende und der Index b auf Beugungswelle hin).
I m Inneren der Zylinder ist wegen der idealen Leitfahigkeit das Gesamtfeld
= 0. Auch bei kleineren Abstiinden zwischen den Zylindern kann man d a s
Gesamtfeld im AuBenraum gemaR 01. (3) zerlegen. Da mit abnehmendem
Abstand zwischen den Zylindern die Wechselwirkungen zwischen ihnen groBer
werden, hangt jetzt jede der beiden Beugungswellen auch von dem anderen
Zylinder ab.
Weil der elektrische Vektor der einfallenden ebenen Welle parallel zu den
3: alle nur
Zylinderachsen (2-Richtung) schwingt, besitzen die Vektoren Ee,E!, C
eine z-Komponente.
Beschrankt man sich noch auf rein harmonische Zeitabhangigkeit, was kein e
wesentliche Einschrankung der Allgemeinheit bedeutet, da man irgendeine beliebige Zeitabhangigkeit nach F o u r i e r stets durch fiberlagerung von Ausdrucken der Form e-iwt darstellen kann, so kann man fur die Losung des
Beugungsproblems schreiben
e
E = E,(E, 7 , t ) = u(E,y ~ e) r L w t .
Fur die hier auftretenden Ortsfunktionen gilt gemafi ( 3 )
u = US
+ u.b,+ u;.
( 4)
(5)
Die exakte Losung eines Beugungsproblems mu13 nun im BuReren und Inneren
der beugenden Korper den M a x we 11schen Gleichungen und auf den Oberflachen
der Korper den zu fordernden Grenzbedingungen genugen. Das fuhrt schliel3lich
zu der folgenden mathematischen Formulierung unseres Beugungsproblems :
Das Gesamtfeld u = ue u: u; mu13 uberall aul3erhalb der Zylinder eindeutig sein. Die u.b,,u! werden durch das folgende Randwertproblem bestimmt
1. u;(E1,
ql), u ; ( t z ,vZ)sind uberall auBerhalb der Zylinder Losungen der
homogenen H e l m h o 1t z gleichung in elliptischen Koordinaten
+ +
2. Buf der Oberflache der Zylinder gilt
u
ue
+ )I. + ug = 0
fur
El = Enl (erster Zylinder)
Ez = En2 (zweiter Zylinder) .
(6)
K. Germey: Beugztng einer ebenen deklrowagnetischen Welle
2 41
3. ut,u: mussen die S o m m e r f e l d sche Ausstrahlungsbedingung fur zweidimensionale Beugungsprobleme ')
lim
r+oo
('2 J
-
ikub
=0
=
1, 2)
erfullen.
Das Randwertproblem wird mit Hilfe der Separationsmethode gelost. Damit Storungsrechnung betrieben werden kann, werden einer Anregung von
T w e r s k y l ) 2 ) folgend, die Beugungswellen und die Randbedingungen (6)
mathematisch zerlegt gemaB
u,b = *$
+ 2u; + 374 + . . .
m
und
Ue
:1
.
+ 1u; = 0 1
+ zu; = 0 I
...........
l)l-lut
+ 77ZU: = 0
..............
i
J
fur
t2= t a 2 .
(8b)
Mit den Gln. (8) sind auch die Randbedingungen (6) erfiillt.
werde als
Beugungswelle m-ter Ordnung bezeichnet. Die Beugungswelle erster Ordnung
entspricht der Einzelzylinderlosung, die fur den idealleitenden elliptischen
Zylinder bereits 1908 von Siegers) angegeben wurde. Wie bereits oben angefiihrt wurde, braucht man bei groBen Abst>andenzwischen den beiden Zylindern nur die beiden Einzelzylinderlosungen zu der einfallenden ebenen Welle
zu addieren, um die Gesamtlosung zu bekommen
u = ue
+'u$
I n ( 7 ) wird dann jeweils nur das erste Glied der Reihen beriicksichtigt,. Nit,
abnehmendem Abstand der beiden Zylinder mu8 man zunehmend Beugungswellen hoher werdender Ordnung hinzunehmen.
Entsprechend wie bei der Beugung am einzelnen elliptischen Zylinder s,
macht man fiir die Beugungswellen den Losungsansatz
+
?)i
ub
co
-
Mcj,3)(Es;h,) c e , ( q , ; h:)
?]lans
,1=0
+ 2 nEa-,,~ ~ s p ( 5 h,), ;
m
Ye,(%;
71=1
~.___
7)
(s = 1, a ) ,
(nz = I, 2 , 3 ,
h3
('3)
. . .).
A. S o m m e r f e l d , Vorlesungen iiber theoretische Physik, Bd. I V Optik. Leipzig
1!159.
*) B. S i e g e r , 9 n n . Phgsik 07, 626 (1908).
2 42
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 13. 1964
Die ce,, sen sind Mathieusche Funktionen ganzer Ordnung erster Art6). Sie
sind 2n-periodisch in q,. Die J!!c$f), MsC) bezeichnet man als modifizierte
Mathieueche Funktionen ganzer Ordnung. Wenn h, = 3 kc, gegen Null geht,
reduzieren sich die M a t hieuschen Funktionen erster Art auf trigonometrische
Funktionen und die MciB), M @ ) auf H a n k e l s c h e Funktionen erster Art.
Die Entwicklungen (9) erfullen bereits die Forderungen 1 und 3 des Randwertproblems. Punkt 2 , also die Randbedingungen (6) oder (8) lassen sich durch
bestimmte Wahl der bisher noch unbestimmten Entwicklungskoeffizienten lnanS
erfullen.
Berechnung der Entwicklungskoeffizienten ma,,
Fur den ortsabhiingigen Teil der einfallenden ebenen Welle hat man die
bekannte Entwicklung 6,
ue =
0
eifr =
0
eikc(corh:cosqcos8+ sinhCsinVsin4)
ca
=
2u
? & E O in ce,(&;
h2) M @ ) ( t ;h ) ce,(q; h2)
+ 2u0 2 i'lsen(8;h2)Ms6,1)([;h ) se,(q;
(10)
ca
h2).
n-1
Die modifizierten Mathieuschen Funktionen &fc$t), MsLl) gehen fur h + 0
in die Besselschen Funktionen uber.
Geht man mit (9) und (10) in die erste der Gln. (8a) ein, so bekommt m a n
+ 'u:(tal,71)
ue(tal,
71)
ca
=
2u0 2' i" c e n ( 8 ; hq) H c f ) ( t a lh,)
; ce,(q,; ha)
?l=O
+2
+ ,r
00
n-0
a,, McC)(ta1;
hl) cen(ql; h:)
ca
1a-711
LV~?)(E,I;
h,) ~ e , ( q , ; h:)
=
0.
n =1
Beriicksichtigt man, daB die c e , und sen ein vollstandiges Orthogonalsystem
bilden, so erhalt man aus dieser Gleichung
1
an1 = -2u, i'% c e n ( 6 ; hf) Cnl,
(1la)
la-,?' = - 2 u0 ill sen (6; h:) S,, .
Entsprechend bekommt man aus der ersten der Gln. (8b)
an2= -2u0 inc e n ( 6 - 0 1 , hi) Cn2,
= -2 ZL,, i" sen (6 - a , hi) S,, .
I n den Gln. (11)bedeuten
1
(1lb)
K. Ger mey: Be ugung e iner P bpnen elekt ro magnet isch Qn IC’rlle
2 4.3
Als nachstes sollen die Entwicklungskoeffizienten zweiter Ordnung bestimmt
werden. Die zweite der Forderungen (8a ) lautet ausfdhrlich
I$
( t u l : Til)
Xach (9) gilt
=
(12)
0.
cc
1 ub -2
+ ”.: (601. q1)
la,, iTIcj;7j(t2:h,) c e , , ( q , : h i )
i1=0
m
+ 2’ la
/1-
1
N s C ) ( E , : h,) se,,(q,: h i ) .
Das ist eine Eritwicklung im zweiten elliptischen Koordinatensystem. Da aber
in (12) lu: fur den festen Wert tl = ta1gebraucht wird. mu13 der Ansatz fiir
lu! in das erste elliptische Koordinatensysteni transformiert werden. Die Transformationsformeln liefert das -4dditionstheorem der M a t hieuschen Funktionen
(s. mathematischer Anhang).
I n ausgeschriebener Form lautet nun die Bediiiguiig ( 1 2 ) :
cc
m
,r lan21 2 ’ L ~ , - , , , l JIc!lj(t,1: h,) c e , 0 7 ~ : h f )
?l=o
I/
0
~
+ ,V LL-,,,l
~ l f s j l ) ( [ ~h,)
l: se,
o=
7
(ill:
h i )I
=1
+2
m
2c1-,,1
I
M s f )(tnl
; h,) sen(q,: h?) = 0 .
71 = 1
Die Koeffizienten AT--IL,l.A-r-lt,l. -4, --,l,l. A-,.-t2,1 bekomnit man aus (A, 2 ) .
Der Index 1 sol1 hier noch besoiiders daraaf hinweisen. da13 es sich a m eine
Transformation von dem zweiten in das erste elliptische Koordinateiisystem
handelt. Man hat nach (A, 2) die Abhangigkeit
AII-CI
= L41{-T(h;:
h?: /’: p: a) = A,,-, 1.
Unter Berucksichtigung der Orthogonalitiitsrelationeii fur die
man aus (13)
)I =
(14)
CP,,.
se, bekommt
0. 1. 2.
(15)
bzw.
12
=
I>2 > 3, . . . ,
Wenn die Entwicklungskoeffizienten erster Ordiiurig la,: nach (11) bereits
berechnet wurden, kann man nun mit Hilfe von (13) die Entmicklungskoeffizienten zweiter Ordnung
bestimmen.
2 44
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 13. 1964
Nun wird die zweite der Forderungen (8b) betrachtet
l
b
+
( E a o , 172)
2u;
(Ea.1
7.2)
=
0.
Die Entwickluiig fur die Beugungswelle erster Ordnung
1 b -
u1 -
m
2
IC=O
la,,
J1cA3)(t1;
hl) c e , ( q l ; h:)
m
+'cla-nl
M @ ( E , ; h,) sen(q,:
71=1
mu13 hier mit Hilfe des Additionstheorems der M a t h i e u s c h e n Punktioiieii (A, 1)
anf das zweite elliptische Koordinatensystem transformiert werden. (A, 1)transformiert vom zweiten auf das erste elliptische Koordinatensystem. Hier muB
aber in umgekehrter Richtuiig transformiert werden. Die entsprechenden Formeln folgen aus (A, I), wenn man dort
gegenseitig austauscht und
N
durch -x
cp durch
uiid
+
3t
- 01
ersetzt (vgl. Abb. 1). Fur die Koeffizienten in dem Additionstheorem (A, 2)
hat man dann
*4gt-r= A r L t r ( h ;Ib;:
; r : cp
+
;z - n ;
-a) = A?17r , 2 .
[Man achte auf die Reihenfolge der Argiimente! Vgl. (14).]
Nach dem gleicheii Verfahren wie oben bekommt man aus (16)
?Z =
12
=
0, I >2 , .
. .)
1, 2, 3 ,
Mit Hilfe von (17) kanii man die Entwickluiigskoeffizienteii zweiter Ordriung
2a,2 berechnen, wenn die Entwickliingskoeffizienten erster Ordnung la,, bekaiiiit
sind.
,4uf die gleiche Weise erhalt man schlie13lich aus den weitereri Gln. (8)
7% =
0, 1: 2 , .
.
. )
2 45
K . Germey: Bei~gungeiner ebenen pleX.t,.oiiingnetischen W e l l e
und
man2 =
-cn2I
m
+ 2' '"-lam
"'-larl
\r=o
n=0,1,2
dri-i,LJ.
,....
m
9Lll,
=
rl
r=l
-Asn2 ,r w--I
+ x?"-la-,l
m
arl A-l!-r,2
r=O
)....
Diese Formeln gelten fur alle m = 2, 3, 4, . . .
n=l,2,3
I
=1
A-,,,,,2
I
1'
Es sind Rekursionsformeln fur die Entwicklungskoeffizienten. Aus ihneri
kann man die Entwicklungskoeffizienten m-ter Ordnung berechneii, wenn diejenigen (m - 1)-ter Ordnung bekannt sind.
1 und 2h, cosh
verschwindend kleiii sind, gilt
Wenn k r
>
cRS
In diesem Fall kanii man sich also auf die Eirizelzylinderlosungeii beschrankeri
wid die Beugungswellen hoherer Ordnung vernachlassigen.
Die Beugung einer ebenen elektromagnetischen Welle am Doppelstreifen
AuBer der Forderung, daB die beiden Zylinderachsen parallel zueinander
seiii sollten, wurde die gegenseitige Lage der beiden elliptischen Zplinder bisher
als vollig beliebig angenommen. Die Lage der beiden Zylinderachsen zueinander
wurde durch Polarkoordiriaten r , rp ausgedruckt (Abb. I). Der eine Zylinder war
urn den Winkel n (Winkel zwischen den beideri groBen Hauptachsen) gegeniiber
dem anderen Zylinder gedreht. Der eine Zylinder hatte die lineare Exzentrizitat
c1 und der andere c2. Die Geometrie der Beugungsariordnung ist also durch die
sieben Parameter r , v, 01, cl, c2, tUl,
Eaz bestimmt.
Besondere Wahl der Parameterwerte fuhrt zii Spezialfallen der oben betrachteten Beugungsanordnung. Fur c1 + 0 und c2 + 0 bekommt man z. B.
deii Fall zweier paralleler Kreiszylinder. Die exakte Losung fur die Beugung
einer ebenen elektromagnetischen Welle an zwei Kreiszylinderii bekommt man
daher aus deii oben hergeleiteten Formelii, indem man dort uberall den GrenzprozeB c1 --f 0, c2 + 0 durchfuhrt. Die Formeln, die man auf diese Weise erhalt,
stimmen mit der Losung von T w e r s k y 1 ) 2 )iiberein.
Besonders wichtig ist der Spezialfall, daR die Beugungsanordiiung aus zwei
Streifen besteht. Die elliptischen Zylinder gehen allmahlich in Streifen iiber,
wenn man bei festgehalterieri el- und c,-Werten (cl =+ 0. c , f 0) die Grenz-+ 0, Ea2 -+ 0 durchfiihrt.
iibergange
Wahrend die bisher betrachteten Beugungsariordnungei aus endlich gekrummteii beugenden Korpern bestanderi, treteii jetzt hier bei den Streifen
Kanten auf. Wie B o u w k a m p und besonders M e i x n e r g ) gezeigt haben, genugt
es zur eindeutigen Festlegung des Beugungsproblems nicht, die Randbedingungen auf die stetig gekrummten Teile beiderseits der Kanteii anzuwenden,
sondern es muB noch eine besondere Kanteiibedingung erfullt werden. Mei x iier hat die Kantenbedingung so formuliert. daR die Eriergiedichte in der Umgebung der Kante integrabel sein muB.
Die Meixnersche Kantenbedingung wird hier bei deni betrachteten Beispiel
automatisch
erfdllt. Das kann man sich folgendermaBen iiberlegeii. Das Beu-~
~
9,
J. M e i x n e r . Ann. Physik 6. 2 (1949).
246
Bnnnlen d e r Physik. 7 . Folge. Band 13. 1964
gungsproblem entspricht dem mathematischen Randwertproblem, das darin
besteht, dalj die Losung im ganzen betrachteten Raum die homogene H e l m holtzgleichung, auf der Berandung D i r i c h l e tsche Randbedingungen und die
S o m m e r f eldsche Ausstrahlungsbedingung erfiillt. Eine Unstetigkeit in der
Krummung einer Berandungskurve, wie man sie bei Kanten vorfindet, fuhrt
dazu, dalj es mehrere Losungen tier Randwertaufgabe gibt. Unter diesen gibt
es aber nur eiiie einzige, die der Meixnerschen Kantenbedingung geniigt. Das
ist gerade die Losung des Beugungsproblems. Wenn man nun von einer stetig
gekriinimten Berandungslinie (Ellipse) stetig zu einer Berandungslinie mit
Kante (Streifen) ubergeht, so geht die Losung des Beugungsproblems fur die
stetig gekriimmte Berandungslinie zwangslaufig stetig in die richtige Losung
des Beugungsproblems fur die Berandung mit Kante uber.
Wenn die beiden Streifen in einer Ebene liegen und jeder die Breite 2 c hat,
ist die Beugungsanordnung durch die Parameterwerte
ol=g=O
,
tO1= taz= 0
c, = cz = c ,
festgelegt. Fur senkrechten Einfall der ebenen Welle (8 = 4 2 ) und c = 1L E ,
A = 2n LE, Y = 6 L E (LE = Langeneinheiten) wurde die Intensitat des
Gesamtfeldes in einer parallel zur Spalt_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _P_ _h_ _~ _ )- =_ _P_ _k . ~ ) ebene verlaufenden Ebene (y, = yz =
L E ) numerisch bestimmt (vgl.
Abb. 3).
I n Abb. 4 ist die relative Intensitat
________Xd’i
Ez/Eo = 1 u / u o uber 2 = xl - 3 auf1
getragen. Die Kurve ist zur Geraden
Richtung der
x = 0symmetrisch und daher nach nega~=~
e,nfallenden &enen
Wellen
tiven x-Werten entsprechend zu erganZen. Bei
== 0, also in der Mitte zwiAbb. 3. Geometric des Doppelqtreifens
schen den beiden Streifen, befindet sich
ein Intensitltsminimum. Es folgt dann ein Intensitatsmaxinium, das jedoch
noch unter den 100% der einfallenden Welle liegt. Darauf folgen Schwankungen
der relativen Intensitat uin den Wert 1. Fur zunehmende x nahern sich die
Maxima und Minima allmahlich dem Wert 1, d. h. fur grolje x verschwindet
der EinfluS der Beugungswellen.
Eine numerische Auswertung der oben entwickelten Beziehungen ist im allgemeinen sehr muhevoll. Das
liegt einmal an den noeh
nicht in wunschenswertem
Umfang vorliegenden Tafeln
der Mathieuschen Funktionen (es ist zu hoffen, dalj
diese Liicke bald geschlossen
einfallende I Y I
ebene we& Y = q
wird) und zum anderen
5
10
75
25 x
daran, dalj das Verfahren
Abb. 4. Beugung a m Doppelstreifeii
zur Bestimmung der Beu-
++
~
___-
1
v%
I
l2
l2
K . Gerniey: B e u g u n g einrr ebenen eleX.troinagnetischew Il'ellr
247
gungskoeffizieiiten aus den Rekursionsformelii nur gut konvergiert, wenn dcr
Abstand der beiden Zylinder im Verhaltnis ziir Wellenlange groB ist und die
geometrischen Abmessungen der Zylinder im Verhaltnis zur Wellenlange klein
1). Fur das optische Gebiet sind die oberi angegebenen
siiid ( 2 h , cosh E,,
Losungen ohne Bedeutung, weil wegen der kurzen Wellenlange der zweite Teil
der eben geiiannten Bedingung hier kaum erfullt ist. Aber schon fur das wichtige Gebiet der em-Welleii ist bei entsprechenden geometrischen Abmessungcii
der Beugungsanordnung - wie es das durchgerechnete Beispiel zeigte - eine
numerische Auswertung ohne allzu groRe Muhe moglich.
Bei einer Erweiterung auf beugende Zylinder aus beliebigem Material iiiit
den Materialkonstanten e, p, u stoat man auf groBe Schwierigkeiten. Es ist
erst vor kurzem gelungen, das Problem der Beugung eiiier ebenen Welle an
einem einzelnen elliptischen Zylinder aus beliebigem homogenem, isotropeni
Material zu 1osenl2). Das Problem ist deswegen so schwierig, weildie M a t h i e n schen Funktionen ce,(q; h2) und se,(q: h2) wegen h = k c / 2 von der Wellenzahl abhangen und deshalb fur Innen- und AuBenraum verschieden sind. Die
Folge davon ist, daB man zur Bestimmung der Beugungskoeffizienten ein System von unendlich vielen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten liiseii
muBte. Dieser Umstand erschwert die Rechnungen ganz auBerordentlich. Der
Verfasser hat sich daher in der vorliegendeii Arbeit auf vollkommen leitende
Zylinder beschrankt.
Eine Verallgemeinerung auf die Beugung einer ebenen elektromagnetischen
Welle an einer beliebigen Anordiiung aus 72 parallelen elliptischen Zylindern ist
moglich.
<
Nathematischer Anhang
SchLfkelO) hat ein Additionstheorem fur M a t h i e u s c h e Funktionen init
den1 Gultigkeitsbereich tl > A+ angegeben. Wenn EIe,, Elex die elliptischeii 5 1 Koordiiiaten der Brenripunkte des zweiten elliptischeii Koordinateusystems bedeuten, dann ist
A+ = Max ( E l u , , El<,)*
Da Eul < A+ ist, gilt das Additionstheorem von S c h a f k e iiicht fur El = E n l .
Es konnte daher auch nicht fur die Transformation
7 9 4
(62,
72)+ m u ; ( E d ,
171)
benutzt werden.
Fur die Untersuchung des oben behandelten Beugungsproblems wurde deshalb ein Additionstheoremll) verwendet, das auch fur Werte El < A - gultig
ist. Zu jedem Punkt auf der Verbindungsgeraden der beiden Brennpunkte des
zweiten Koordinatensystems (Abb. 5) gehort ein E1-Wert. Uiiter allen dieseii
t,-Werten gibt es einen kleinsten, der mit A - = Min (El<*, . . . , &) bezeichiiet
werde. Das Additionstheorem lautet :
Fur alle reellen
--<<I<+-,
52
-
> 0,
- - < ( 2 < + 0 0
____
l o ) 3'. W. S c h a f k e , Math. 2. Gb, 436 (1953).
11) K. G e r m e y , Dissertation, Padagogische Hochschule, Potsdam 196%.
la)
C. Y e h , J. math. Phys. 4, 65 (1963).
248
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 13. 1964
ur1d
Abh. 5. Lage der beiden elliptischen Koordinatensysteme
Die Koeffizienten lauten :
m
m
p = o p=o
,
Al?I-(2n 1)
= (-1)
n+n+l
A
2' A;,":: ( h i )Afa" (h?). +@+l
p = o q=o
( r , y , .),
K. Gernzey: Beugung einer ebenen elektromagnetischen W e l l e
fiir
77, =
0, 1>2 , .
249
. ..
Hierin bedeuten
Die Entwicklung (A, 1) enthiilt als Spezialfall die bekannte Beziehuiig (10).
Setzt man namlich im ersten Teil von (A, 1) n = 0 und laBt das zweite elliptische Koordinatensystem mit
cp --f 0 (h2--f O ) ,
1i
Ann. Physik, 7. Folge, Bd. 13
2h, cosh t2-+ kr,,
qi3-+ F,
(A, 3)
~ d 2 + (61;
2
hi) qse2mr2
(71;
h:)
fiir r l < r .
Wenn man jetzt die Achse des zweiten Koordinatensystems. von der die Kreiszylinderwelle H$:)(kr2)12)ausgeht, ins Unendliche riicken la&, also den Grenziibergang r --f 00 durchfiihrt und das asymptotische Verhalten der H a n k e l schen Funktionen erster Art
beriicksichtigt, so folgt aus (A, 4) fur Punkte in der Umgebung des Ursprungs
des ersteii Koordinatensystems, fur die dann r2 + 00 gilt
m
.q2
A;;
=O
jh:) cos 2 q 6
J ~ C L % ( E ~ h,)
; cezm (ql:$)
+'.'.
Hierin treten die Fourierentwicklungen der Ma thieuschen Funktionen erster
Art auf. Setzt man dafiir die Funktionen cem und se, selbst ein, so kommt
1 2 ) Es wird hier nur der ortsabhangige Anteil der Welle betrachtet. Der zeitabhangige
Anteil e-iwt wurde weggelassen.
Fur grolje Werte voii r und r, gilt nach Abb. 6
r2 w r - r1 cos (pl- y)
w r - r1 cos (y, - 8 - n)
w r
r, cos y, cos 19
r, sin pl sin 8 .
+
+
"I
Abb. G. Zu G1. (A, 5 )
Fuhrt man hier iioch statt rl, y1 elliptische Koordinaten
kr, w k r
+ ah, cosh 6,cos q1 cos B
El,
+ 2 h, sinh El sin q1 sin 8.
Wegen r,, r
111
ein, so konimt
(A6)
> r1 und (A. 5) kann inan den Amplitudenfaktor
ersetzei:. Beriicksichtigt man noch (A, 6), so folgt schlieljlich
i.'h,(coali
e
t1 cos q1 cos 4 - siiih €,sin q1 sin 4)
Das ist die bekaiinte Entwicklung einer ebenen Welle, deren Ausbreitungsrichtnng senkrecht ziir Zylinderachse ist, iiach elliptischen Zylinderwellen.
D e r Verfasser ist Herrn Prof. Dr. J. Y i c h t und Herrn Dr. F.-J. S c h u t t e
fiir wertvolIe Hinweise und die gesamte Forderung der Arbeit zu groBem Dank
verpflichtet.
P o t s d a m , Padagogische Hochschule.
Rei der Redaktion eingegangen am 29. Juli 1963.
17*
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beugung, querschnitt, parallel, elliptische, zylindern, die, ebene, eine, elektromagnetische, well, zwei, unendlich, langer, von, idealleitenden
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