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Die Beugung gedmpfter elektrischer Wellen an einem dielektrischen Zylinder.

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A N N A L E N DER P H Y S I K
LFOLGE, 1929, BAND3, HEFT6
me Beuyung geddlrnpfler eZebt&echer Wellen an
ginern dielektdschern Z v l h d e r
Vorn Iwao Kobayaehi?
(IKit 2 F'iguren)
§ 1. Einleitung
Die Beugung elektrischer Wellen an einem dielektrischen
Zylinder wurde von C1. S c h a e f e r und F. G r o s s m a n n l ) theoretisch und experimentell untersucht, aber das experimentelle
Resultat stimmte mit dem th'eoretischen nicht gut uberein, da
beim Experiment gedampfte einfallende Wellen benutzt wurden,
wahrend die Theone fur ungedampfte Wellen durchgearbeitet
war. Dieeen ubelstand zu beseitigen, behandelte ich2) theoretisch den Fall mit gedampften einfallenden Wellen und erreicbte ein mit dem Experiment gut iibereinstimmendes Resultat, aber die Berechnung war auBerordentlich umstandlich
und uniibersichtlich, so daB man es lieber wiinschte, die Versuche mit ungedampften einfallenden Wellen ausfiihren zu
konnen. Nun gelang es endlich C1. S c h a e f e r und J. Merzk i r c h 3), diese Idee zu verwirklichen, indem sie zur Erzeugung
ungedampfter Wellen die ,,Schottrohre" von K.B a r k h a u s e n
und K. Kurz') anwendeten. Durch ihre Versuche konnte es
bestatigt werden, dab die Abweichung zwischen Theorie und
Experiment vollkommen verschwand, so daB man mit gedampften Wellen gar nicht mehr weiter zu arbeiten brauchte.
Im folgenden behandle ich dessenungeachtet den Fall
mit gedampften einfallenden Wellen nochmals theoretisch, da
diese neue Theorie nicht nur vie1 einfacher ist, sondern auch
1) C1. S c h a e f e r u. F. cfroasmann, Ann. d. Phys. 31. S . 465.1910.
2) I w a o K o b a y a s h i , Ann. d. Phys. 43. S. 861. 1914.
3) C1. S c h a e f e r u. J. Merzkirch, Ztschr. f. Phya. 13. S. 166.1923.
4) H. B a r k h a u s e n u. R . K u r z , Phys. Ztachr. 21. S. 1. 1920..
Annalen der Phgelk. 6 . Folge. 3.
48
I . Ibbayn:ihi
722
den EinfluB des nicht gleichzeitigen Eintreffens des einfallenden
gedampften Wellenzugs an verschiedene Y’eile des Zylinders
genau angibt.
0 2.
Die elelctrieohe Kraft irn Aullen- und Innenraum
Wir beschranken uns auf den Fall, in dem die einfallende
elektrische Kraft zur A c h e des Zylinders parallel ist.
Nehmen wir Zylinderkoordinaten r , 8 und z, deren 2-Achse
mit der Achse des Zylinders zusainmenfallt, d a m lauten die
Wellengleiehungen der elektrischsn &aft @ fiir den Innenund AuBenraum :
NO 8 die Dielektrizititskonstantc des Zylinders und c die
Lichtgeschw indigkeit im Vakuum bedeut en .
Als einfallende elektrische &aft Go, die (2) auch geniigen
mu6, wollen wir folgende annehm en (vgl. Fig. 1):
go= ue-k(CI+rc08B!sin.(ct-trcose), c t + r c o s O & O ,
0.
c t f r cos 8
Fig. I
Diese Ausdriicke stellen eineo gedampften ebenen Wellenzug dar, der zur X-Ache parallel von der positiveu nach cier
negativen Seite mit der Geschwindigkeit c sich fortpflanzt,
und in x = r cos 0 = - c t seinen Kopf besizt. Dieser m’ellenkopf trifft irri allgerneinen aufdie Y-Achse zur Zeit t = 0 ein.
c k ist der Diimpfungskoeffizient . und muB daher positiv seiii.
(3) kanii auch folgendernia6cii in einein einzigen Ausdruck
dargestellt werden:
D i e Reugung gediimpfter elektrischer Wellen usw.
m
,i a ( c 1
723
+ r con 8 )
-acc
m
--m
m=O
WO
p=v+ik;
der Faktor 2 in der Klammer ist fur m = 0 durch 1 zu ersetzen.
Auf der Obediiche des Zylinders, dessen Halbmesser Q
ist, sind folgende Bedingungen ‘zu befriedigen:
Q,, B, und Bi bedeuten also die einfallende, die gebeugte,
bzw. die im Zylinder erregte elektrische Kraft.
Wir bekommen dann als die LSsungen, die die betreffende
Wellengleichung und die Bedingungen befriedigen, folgende:
m
(71
B
=zWm)cosme,
nix0
1. li'obayashi
724
§ 3. Die Wnrseln von 3'-
(2)=
0 I)
Die Wurzeln von F m ( z ) = 0 stehen mit der Eigenund der Eigendiimpfiing c :k in folgenschwingungszahl c
tler Reziehung:
vt
2")n,
= pu?
s=fl, f2, *3
= p(~:+ik(:;),
...
Der reelle Teil von
ist entweder positiv oder negativ,
je nachdem s positiv oder negativ ist, aber der imaginke Teil
mufi unbedingt positiv sein, da er die Diimpfung bcdeutet.
Dies kann mathematisch folgendermafien bewiesen werden.
Es seien zl und za zwei beliebige Wurzeln von
Pm
(2) =
v&-Jm+l( 1 i . z ) 23:
(2)
(vi
-J,
Z)
(2)
,
dann haben wir
I
r
Wenn wir an Stelle von H':) den asymptotischen Ausdruck
cinsetzen, clam wird die rechte Seite von (13):
= (- 1)m + 1 2 J"
-(V8 21)
(21
+ 22) V z l
2s)
T,im - i (Z, + &)r.
r- m
Da Fm(z)
= 0 weder reelle noch rein imaginiire Wurzeln
hesitzt, und fiir eine komplexe U'urzel immer eine negative
konjugiert komplexe vorhanden ist, so nehmen wir als z1 und z,
ein solches Paar, niimlich
z,=s+iy,
z2=-s++iy,
1) Twao K o b a y a s h i ,
8.8.
O., S. 866-869.
z*o, y+o.
1914.
Die Beugung gediimpfter elelctrischer Wellen usw.
725
Dann wird (13) nach einer Umformung
1
e
n (5
+i y) H2)(5-i y)Jr
+J,
J,
(fi5 +i y .r) J , (fi.
5 - i y .T ) d r
0
(fi.5
+ i y) J , (E.5- i y).
Die rechte Seite verschwindet, falls y negativ ist, was
aber auf der linken Seite nie erfiillt w i d , da J , (1/. 5 +i y r )
und H ( ? ( z + i y . ~ )mit J,,,(ri.z-iy-r) bzw. H(:(s-iy.r)
konjugiert komplex sind. Daher kann der imaginare Teil der
Wnrzeln nicht negativ sein.
Fur groSe Wurzeln haben wir folgende halbkonvergente
Pormel:
.
i
4 m y - 9.4 m 2 f 11
8
--
+ 4 ( 4 n ~ ' - 25)
wo
I n der ersten Snnaherung ist
5
4.
Die gebengte elektrisohe Krat't im Aufienraum
Wir wollen @):( mit Hilfe der komplexen Integration auf
der or-Ebene naher untersuchen.
Im Ansdruck (9) sind H ( 2 (orr) und F , (up) vieldeutig und
besitzen bei or = 0 ihren Verzweigungspunkt, daher nluS vom
I. I-obagashi
726
Anfangspunkt aus ein Qerzweigungsschnitt gezogen werden,
als welchen wir die positive imaginare Achse nehmen.
Wir wollen unten 3 Falle unterscheiden.
Fall 1. t<--r - 2C q
In kesem Fall ist asymptotisch
I, Lim
=
P,
(a4)H:) (a r)
a
(a-1-4E", ( a 4)
A)
j a (c t - r + 2 e)
_ _ - --~
0,
vi
-
fur- n s a r g a s 0 .
Daher kiinnen sich die bciden Enden des Integrationsweges
von is), ohne den Wert zu beeinflussen, nach unten umbiegen,
aber da der Integrand unterhalb der reelleii Achse keinen Pol
besitzt (0 3), so wird
Q'"' = 0 .
t=--r - 2 ~ ist diejenige Zeit, wo die gcbeugte Wclle
C
erst im Abstand r ( 0 = 0) ankommt, so ist yon vornherein
klar, daS
Q(r)fiir t < '5
noch nicht vorhanden ist.
Fall 2. t
C
> $-
I n diesem Fall ist
Wir wollen daher den Integrationsweg nach oben umbiegen, bis er dicht an den beiden Seiten des Verzweigongsschnittes lauft. Da sich dabei eine Anzahl von Residuen um
a! = p und a! = at ergibt, so bekommen wir
Die Beugung gedampfter eleklrischer Wellen usw.
727
Das erste Glied, das aus u = p ehtsteht, bedeutet die erzwungene Schwingung und das zweite mit 2 versehene Glied,
das ans don Nullstellen von FtlP(ccq)entsteht, bedentet die
Eigenschwingungen.
Das dritte integralfdrmige Glied ist nichts anderes J s
die Wirkung, die durch das nicht gleichzeitige Eintreffen des
Wellenkopfes der einfallenden elektrischcn Kraft an verschiedene Teile des Zylindors entstanden ist. Der Integrationsweg lauft von oc =i00 aus auf der linken Seite des Ver-
(
Seite (arg
zweigungsschnittes arg
der rcchten
a!
CI
= - - bis nach
329
7
= - bis nach
2
a!
a!
= 0: dann auf
= i 00.
Dahcr kann
sich dieses IntegraI folgenderma6en umformen:
die Bezeichnungen Il,, #,,,, I , und K , in 8 7 e r k l i sind.
Dieses Glied stellt keine Schwingung dar, und kann
gegcn die eigenen und erzwungenen Schwingnngen nicht
vernachlassigt werden, d a die letzteren im Laufe der Zeit
schlie6lich kleiner als dies werden, wenn es auch am Anfang
nicht der Fall ist. Wir wollen aber hier darauf nicht naher
eingehen.
\YO
Fall 3. r > t > r - 2 Q
I n diesem Zeitintervall wird auf einer Zylindediiche,
dcren Radius T betriigt, nur ein Teil (Umgebung von 8 = 0)
von den gebeugten Wellen erreicht, aber der iibrige Teil (Urngebung von 8 = n ) noch nicht. Mit der Zeit wird der von
den gebeugten Wellen nicht erreichte Bereich immer kleiner bis
t = L wo kein solcher Hereich mehr zu findcn ist. Die beiden
c ’
Bechnungsarten im Fall I und 2 sind hier nicht anzuwenden.
c-
5
5. Der Auadrnok der Intennitlit der elektriachen Kraft
im AuSenraum
Die Intensitiit, die experimentell gemessen wird, ist bei
gedampften Wellen die totale Intensitat in einer gewissen
Zeitdauer. Theoretisch nimmt man am bequemsten als die
I. Kobayashi
728
untere Zeitgrenze die Zeit, wo noch 'keine Erregung stattfindet,
und als die obere Grenze die Zeit, wo fast alle Schwingungen
schon verschwunden sind. Bezeichnen wir diese beiden Zeitgrenzen mit to und t,, dann ist to <
- r--
COB 0
C
, aber wir kSnnen
ruhig auch to = - 06 setzen. t, hat beim Experiment einen
endlichen Wed, aber wir wollen dies auch mit + 00 ersetzen,
da der dadurch entstehende Fehler im allgemeinen nicht
grog ist.
Die totale elektrische Kraft im AuBenraum lautet:
cf = 60
(16)
+ cf, ,
so ist die Intensifatit:
t
m
~.
(17)
I = J ~ a d =t Lim J E a d t .
-m
t=m
-t
Aus (4),(7) und (9) haben wir:
Aber in (17) einzusetzen, muS (18) in reeller Form dargestellt werden.
Dies lautet:
Die Beugung gedampjter ebktrischer Wellen usw.
729
Daher wird (17)
+ B; sin (a ' c t + "2"
-
11
d a'.
Wir fuhren die Integration nach t unter Endlichhdtung
der Grenzen zuerst aus, und dann integrieren wir nach a' - a
oder a' + a, wobei t unendlich grog gemacht wird, dann bekommen wir nach einer umstandlichen Berechnung:
m o o
I
Fiir
Q =0
reduziert sich (20) in
welches niit Hilfe der Formeln
m
7 30
I. Iiobayashi
noch in folgcnde Form reduziert wird, was dirckt aus
m
I ( 0 )=
p02d
t
-m
auch erreicht werden kann.
6 6. Angedherter Auedruck der Inteneitiit,
Peripherie dee Sylindere = - 2 II Q y e klein gegen
falls - Einfaende Wellenliinge
A
-
iet
Wenn klv klein gegen
Pallen befriedigt ist, kann
2 v ersetzt werden, da der
der GroBenordnung von k / v
1 ist, was aber in den meisten
die obere Grenze von (20) durch
dadurch entstehende E'ehler von
ist. Dann wollen wir die sgmtlichen untcr dem Integralzeichen vorkommendeii p m (aQ) mit
~
Qtm
(c
Ausnahme von Po/&,,und P, /Q, vernachl%sigen, was uns fur
kleine (etwa 0,5 nicht ubersteigende) Werte von u p gestattet ist.
Wenn wir auI3erdem noch J m ( n 7 )und Nm(u7)mit h e m
asymptotischen Ausdruck fur groBe Argumente ersetzen nnd
dann die obere Grenze wiedcr in co xuriickbringen, dann bekommen wir mit Hilfe von (21):
wo das Argument ae von P und Q einfachheitshalber weggelassen ist.
I>ie Beugung gediimpfter elektrischer Wellen usw.
731
Bei 8 = - I reduziert sic11 dies in:
Diese Ausdriicke von I werden fur k = 0 unendlich,
daher wollen wir besser k I betrachten, d a dies fiir k = 0
endlich bleibt.
Urn k I fur k = 0 zu bestimmen, setzen wir in (24)
u
v = k %,wo 6 eine neue Integrationsvariable ist, und
lassen wir dann k unendlich klein werden, so ergibt sich
-
/OF;\
I
d a nach (22) Lim k I(0)= a2/4c ist.
k=O
Wenn wir eine Kurve zeichnen, deren Abszissen die
Halbmesser des Zylinders und deren Ordinaten die entsprechenden Werte von
(
3')
I@) k = O
2n
sind, wobei 1 = = 24 cm,
r = 10 cm und e = 81 gesetzt sind, d a m bekommen wir
die schon iifters erwahnte theoretische Kurve der relativen
Intensitit in einem festen Punkt hinter dem Zylinder, welche
von C1. S c h a e f e r und F. G r o s s m a n n zuerst erhalten
wurde.
Bei gediimpften einfallenden Wellen ist die Kurve der
relativen Intensitat dnrch (24) zu bestimmen, aber wir wollen
dabei noch folgende Vernachliissigung machen, urn die Rechnung betrachtlich zu vereinfachen.
Wir ersetzen in (24) die samtlichen CY, die in den mit u
langsam veranderlichen Teilen vorkommen, namlich in
(u u ) ~ ka, l/murnnd n a r , mit Y, nnd setzen dann pct = Y p',
wo e' die neue Integrationsvariable ist, SO wird (24)
+ +
I . Kobayashi
732
+
Da der in der gro6en Klammer auftretende Faktor nichts
anderes als (25) selbst ist, so ist:
Wir kiinnen daher --I (e)’) fiir gediimpjk einfallende Wellen
I@)
als einen gewissen Mittelwert von %! fur ungadtimpjk einI (0)
fallende Wellen auffassen, wobei der Faktor
k
die Gewichtsfunktion ist.
Die Berechnung von I(Q) ist wegen der komplizierten BeI (0)
schaffenheit von
nur durch mechanische Quadratur
ICO, Ire0
zu erreichen.
Wenn wir die auf diese Weise fiir verschiedene Q berechneten
Werte von I (Q) auf die Ordinaten eintragen, dann bekommen
I (0)
wir eine neue Kurve, die mit dem Experiment von C1. S c h a e f e r
und F. G r o s s m a n n gut iibereinstimmen soll.
[w}
I n der Fig. 2 ist neben der ersten Kurve, die
{
-
-
~ ~ ~ ) k = O
darstellt, diese xweite Kurve in fet.ter Linie gezeichnet, wobei
I;
ngesetzt ist. Darunter sind die Gewichtskurven fur
v
10
1) Der auu (26) berechnete Wert von I(0) betrligt
Gk11-
--),
-arc@
1
ii
n
daher iet er von (22) in der Gr66enordnung k / verechieden.
~
Die Beugung gedampjter ekktrischr Wellen usw.
733
einige Werte von Q gezeichnet, die mit der Abszissenachse
einen von Q vollkommen und von k in der ersten Annliherung
unabhangigen Flacheninhalt
'Ia - arctg k 1 einschlieBen.
Fig. 2
Die Ordinate der zweiten Kurve fiir ein festes Q ist daher
ein gewisser Mittelwert der Ordinaten der ersten Kurve in
der Umgebung von diesem 8, und zwar der Wert fir das
betreffende p w i d immer mehr uberwiegend, wenn g &her
.I. Tiobayashi
734
an 0 herankommt. Die scharfe Biegung, die die erste Kurve
in der Niihe von V Q = 0,26 zeigt, ist in der zweiten Kurve
gar nicht zu bemerken. Dies ist darauf zuriickzuftihren, da13
. k
1
= -- die Gewichtskurve fur
be1 v
10
V Q
= 0,26
schon ziemlich
verflacht ist, so daB die schmale scharfe Biegung der ersten
Kurve keinen groBen EinfluB auf das Integral haben kann.
Wenn die Diimpfung noch kleiner wird, dann wird der mittlere Teil der Gewichtskurven noch schmaler aber hoher (vgl.
Fig. 2), so da8 der Wert von
(:IA
)
( 0 ) k=O
fur das betreffende
Q
vorherrscht. Infolgedessen wird die xweite Kurve mit abnehmender Diimpfung immer mehr der ersten iihnlich verlaufen und doch eine merkliche Biegung auch aufweisen
kiinnen.
5 7.
Funktionentabelle
Die in dieser Abhandlung vorkommenden Funktionenhezeichnungen sind hier zusammengestellt. E s seien unten
x und y reell positiv und m positiv ganz.
(I.) Die Besselsche und die Hankelsche Funktion fur
negative unil imaginare Argumente.
JJ-
HE)(& 5 ) = (- l)rn+1HZ)(Tz),
i n ( m + 1)
J,(t i ~ ) - (ki)” Im(x), Hc”(-iy)
m
=e 2
Km(y).I)
x,=(- l ) m J m ( x ) ,
Imund Km sind fur reelle positive Argumente reell
positiv.
1) Nach der iiblichen nezeichnung (11. a. 0. N. W a t s o n , A treatise on the theory of Bessel function, 1922, p. 78) ist
(III.) Fiir z = & z
+iy
sind konjugiert komplex:
Jm(z+ i y) und (- l ) m J , ( - z + i y),
HE)(%+ i y) und (- ly+lH a ) ( - z + i y) = H i ) ( " - i y),
Pm(x+ i y) und - I),(- z + i y),
+
Fm(z i y) und
F m ' ( x + i y ) und
+
Pm(-5 i y),
-.Fm'(-z+iy).
8 8. Zusammenfaasung
I n .dieser Arbeit ist die Beugung gediimpfter elektrischer
Wellen an eineni diclektrischen Zylinder theoretisch behandelt.
Die Theorie ist einwandfreier als die fiiiheren. Als einfallende Wellen ist hier ein ebener Wellenzug angenommen,
der plotzlich mit g e d h p f t e n sinusformigen Wellen anfangt.
Der Effekt des nicht gleichzeitigen Eintreffens des Wellenkopfs an verschiedene Teile des Zylinders ist in einei- Integralform erhalten.
Ferner ist die Intensitit hinter dem Zylinder berechnet,
da der Unterschied zwischen den ungedampften und gedampften einfallenden Wellen in diesem Fall am deutlichsten
wahrzunehmen ist, R e n n die einfallenden Wellen gedampft
h e das Experiment von
(e)
sind, dann weist die 1------Kurve,
1(0)
Cl. S c h a e f e r und F. G r o s s m a n n zeigte, kcine scharfe Rie-
7 36 I . Iiobmynshi. Reugung gedam$er elekfriacher Welkn us?#.
gung auf, die sonst vorhanden sein mu8. Der Grund liegt
darin, da6
TjQ) ein
I(0)
gewisser Mittelwert von
(%;)K=,
($- 1)‘+ k9) , falls k/v nicht
k
die Gewichtsfunktion
p {v*
ist, wobei
sehr
klein ist (etwa = &, mit wschsendem e bedeutend langsam
veriinderlich wird, so daB eine scharfe Zu- oder Abnahme von
A{!@}
I(0) heO’
wenn diese nicht sehr nahe an
e =0
stattfindet,
keinen gro6en EinfluB auf
haben kann.
I (0)
S e n d a i, Physikalisches Institut der Universitlt, August
1929.
(Eingegangen 16. September 1929)
Anmerkung de8 Herauegebers: Vorstehende Abhandlung bedient sich
einer in dieser Zeitechrift sonst nicht ublichen Schreibweise, indem an
die Stelle von Klammern Punkte gesetzt sind. So steht z. U. S. 725 oben
x + i y T an Stelle von 1/6-(z+- i y ) u , und Shnlich an anderen
Stellen.
vc-
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