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Die Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel.

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M. KIRCHNER:
Die Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel
309
Die Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel
Von M. KIRUHNER
Mit 10 Abbildungen
Herrn Prof. Dr. Wolter zurn 60. Geburtstag gewidmt
Inhaltsiibersicht
Es werden die GaEENschen Funktionen des elliptischen Kegels in Form einer Reihenentwicklung nach geeigneten Partikuliirlosungen der homogenen Wellengleichung angegeben. Das erste Glied dieser Entwicklung wird numerisch ausgewertet.
1. Einleitung
Beugungsprobleme lassen sich nur fiir einige geometrisch ausgezeichnete
Beugungsobjekte streng losen [l].Solche Losungen sind hinsichtlich ihrer numerischen Auswertbarkeit hiiufig Niiherungslosungen unterlegen. Hat das Beugungsobjekt jedoch Kanten oder Spitzen, so kann nur eine strenge Losung AufschluI3 dariiber geben, ob Singularitiiten auftreten und welchen Grad sie
haben. Kennt man den Singularitiitsgrad, dann ist man in der Lage, verbesserte
Niiherungslosungen zu konstruieren ([2]. [ S ] ) , die dann z. B. bei der Berechnung von Strahlungsfeldern niitzlich sein konnen.
Die Anwendung der Losung des skalaren Problems bleibt nicht auf skalare
Wellen beschriinkt. Es wird an anderer Stelle gezeigt, daD bei geeigneter Losungsstruktur bereits die exakte Losung eines skalaren Beugungsproblems ein
wesentlicher Bestandteil der L8sung des entsprechenden elektromagnetischen
Beugungsproblems ist [7].
Singularitiiten, die durch das Beugungsobjekt verursacht werden, erweisen
sich auch als Priifstein fur die Richtigkeit einer Losung. Physikalisch sinnvolle
Losungen miissen in der unmittelbaren Umgebung solcher Unendlichkeitsstellen
die sogenannte ,,Kantenbedingung" erfiillen [S, 91. Diese zuerst von MEIXNER
formulierte Bedingung gehort deshalb, ebenso wie die SOYMERFELDSChe ,,Ausstrahlungsbedingung" [101, zur vollsttindigen Formulierung eines jeden Beugungsproblems. Durch sie wird eine Losung erst mathematisch eindeutig festgelegt [ll, 121.
Bei der Beugung am elliptischen Kegel erwartet man ein singuliires Verhalten an der Kegelspitze. Die strenge Losung dieses Problems beinhaltet die Abhiingigkeit des Grades dieser Singularitiit von den Parametern des Kegels und
liefert somit eine umfassende Aussage iiber den Zusammenhang zwischen der
geometrischen Form einer Spitze und dem zugehorigen Singularitatsgrad.
Die exakte Behandlung eines Beugungsproblems verlangt ein dem Beugungsobjekt angepaI3tes orthogonales Koordinatensystem. Fur den elliptischen
--
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Kegel bieten sich hier die elliptischen Kegelkoordinaten an. Wir finden den
Losungsweg durch obertragen einer von BLUMEangegebenen Losungstheorie
fur den Sektor [13] auf das Kegelproblem. Dieses Verfahren wird dadurch nahegelegt, daB auch die Beugung a m Sektor in elliptischen Kegelkoordinaten abgehandelt wird und der Sektor in diesem Koordinatensystem als Entartung eines
elliptischen Kegels erscheint. Das Ergebnis hat schliealich die Form einer Bilinearentwicklung nach geeigneten Partikuliirlosungen der homogenen Wellengleichung. Wir beschranken die numerische Auswertung der Losung auf die
Bestimmung des ersten Gliedes dieser Entwicklung. Es enthiilt den Grad der
Singularitat a n der Kegelspitze und gibt den Verlauf des Beugungsfeldes in ihrer
unmittelbaren Umgebung wieder.
Ein wesentlicher Schritt des Losungsverfahrens besteht in der Auswahl der
Partikularlosungen. Die Separation der Wellengleichung nach elliptischen Kegelkoordinaten fuhrt im Winkelanteil auf zwei LAMSsche Differentialgleichungen.
I m Gegensatz zum Sektorproblem, wo als Partikuliirlosungen des Winkelanteils
nur periodische LAMIische Funktionen auftreten, fuhrt der elliptische Kegel
auch zu nichtperiodischen Funktionen. Das bedingt die Einfiihrung einer geeigneten Nomenklatur fur nichtperiodische LAMEsche Funktionen. Bei der Wahl
der Bezeichnungsweise beriicksichtigen wir die Tatsache, daI3 jede nichtperiodische Partikularlosung des Kegels in eine periodische Funktion vorgegebener
Nomenklatur ubergeht, wenn der Kegel zum Sektor entartet. Die Partikularlosungen sirid durch ein zweiparametriges STuRM-LIOUVILLE-Problem festgelegt. Sie werden numerisch bestimmt.
Da die betrachtete Kegelschar zweiparametrig ist, besteht die Moglichkeit,
die Menge dieser Kegel uber einem zweidimensionalen Schema zu ordnen. Wir
nutzen das aus, um die Abhangigkeit des Grades der Singularitat an der Kegelspitze von den Parametern des Kegels in anschaulicher Weise darzustellen. Die
Entartungsformen Sektor, Keil, rotationssymmetrischer Kegel und Halbraum
werden hier in die Betrachtung mit einbezogen.
2. Dss Koordinatensystem
Wir rechnen im folgenden mit elliptischen Kegelkoordinaten r , u, v (conical
coordinates, coordinates of confocal cones) [14, 151. Sie sind iiber die Gleichungen
x = kr sn(u; k) sn(v;k),
k
y = i k r cn(u; k) cn(v; k),
(1)
z =
1
r dn(u; k) d n ( v ; k)
k
mit den kartesischen Koordinaten x, y und z verknupft. Die Zuordnung (1)ist
eineindeutig, wenn wir den Wertebereich der elliptischen Kegelkoordinaten auf
O<r<oo,
Re (u} = K ( k ) , 0 5 Im { u } 5 2K'(k),
-3K(k) 5 v 5 +K(k)
einschranken. Hierin bedeutet K (k) das vollstiindige elliptische Normalintegral
erster Gattung zum Modul k und K ' ( k ) das vollstiindige elliptische Normalinte-
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M. KIRCHNER:
Die Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel
Abb. 1. Elliptische Kegelkoordinaten
I
gral erster Gattung zum komplementaren Modul k' = 1/1 - k2. Der Wertebereich von k ist durch 0 5 k 5 1 begrenzt.
Eine ausfuhrliche Diskussion der Koordinatenflachen der elliptischen Kegelkoordinaten findet man in [13] und [16]. Wir wollen uns hier auf eine kurze
Beschreibung beschranken. Die Fliichen r = konst. sind konzentrische Kugelfliichen um den Ursprung. Die Fliichen u = konst. stellen elliptische Kegel um
die z-Achse dar, deren Spitzen im Koordinatennullpunkt liegen. Diese Schar
enthalt zwei zum Sektor entartete Kegel : Die Flache u = K ist ein Sektor in der
oberen xz-Ebene, dessen Offnungswinkel 6 uber
k=sind
(2)
mit dem Parameter k des Koordinatensystems verkniipft ist. Der andere Sektor
wird durch u =K i2K' beschrieben. Er hat den gleichen Offnungswinkel wie
der Sektor u = K und liegt symmetrisch zu diesem in der unteren xz-Ebene.
Die xy-Ebene wird in elliptischen Kegelkoordinaten durch u = K
iK' da,rgestellt.
Die Flkchen w = konst. sind halbe elliptische Kegel um die x-Achse. Ihre
Spitzen liegen ebenfalls im Koordinatenursprung. Auch diese Schar enthiilt zwei
zu Sektoren entartete Kegel. Durch v = K wird die der positiven y-Richtung
zugewandte Seite eines in der rechten xz-Ebene gelegenen Sektors beschrieben.
Die andere Seite dieses Sektors wird durch v = -3K dargestellt. Der Offnungswinkel y dieses Sektors ist wegen
y = 90" - 6
uber
k = cosy
+
+
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mit dem Parameter k des Koordinatensystems verknupft. Der andere Sektor
dieser Schar ist durch v = - K gekennzeichnet. Er liegt symmetrisch zu dem
ebengenannten in der linken Hiilfte der xz-Ebene und hat ebenfalls den Offnungswinkel y . Die Schar v = konst. enthalt auch zwei Halbebenen: v = 0 stellt
den zu positiven y-Werten gehorenden und v = -2K den zu negativen y-Werten
gehorenden Teil der yz-Ebene dar.
3. Die Rsndwertaufgabe
Wir beschreiben die Oberfliiche des beugenden Kegels durch eine Koordinatenfliiche u = konst. = ii und treffen die Einschrankung 0 _< I m {a} 5 K'.
Das Beugungsobjekt liegt also im oberen Halbraum (z 2 0), mit der Spitze im
Ursprung . Der zum Kegel gehorige Losungsraum besteht dann aus
O_<r<co,
-3K 2 v
K,
Re {w} = K, I m { a } 5 I m {u} 5 2K'.
Nur in diesem Raumabschnitt durfen wir den Losungsfunktionen eine physikalische Bedeutung zuschreiben.
Zur Anpassung einer Koordinatenflache an einen vorgegebenen Kegel konnen wir uber ii und k verfugen: Die Kennzeichnung eines Kegels geschieht also
durch das Wertepaar ( a ; k).
Wir stellen uns nun die Aufgabe, Losungen der Wellengleichung
dy
+ x"y, = -d(?-G),
x = - 2n
(4)
I
zu ermitteln, die auf einem vorgegebenen Kegel (72; k) entweder der DIRICHLETschen Randbedingung
7y=O
fur u = t i
oder der NEnMANNschen Bedingung
(5)
2
dn - 0 fur u = a (n:Flachennormale)
(6)
genugen. Zusiitzlich stellen wir an die Losungen noch die Anforderung, da13 sie
die ,,Ausstrahlungsbedingung" und die ,,Kantenbedingung" erfullen. Die Losung zur DmIcHLET-Bedingung bezeichnen wir mit G,, die zur NEUMANNBedingung mit G,.
Physikalisch konnen wir die GREENSChen Funktionen als akustische Geschwindigkeitspotentiale interpretieren, die die Beugung von Schallwellen an
einem schallharten (G,) bzw. ideal schallweichen (G,) Kegel beschreiben bei
einer in
gelegenen Einheitspunktquelle. Der Schalldruck p und die Schallschnelle G lassen sich &usdem Geschwindigkeitspotential gemal3
und
2 = -grad G
berechnen. Mit
(7)
eo ist die mittlere Dichte des Mediums gemeint.
4. Die Auswahl der Partikuliirlosungen
Wir versuchen, in Anlehnung a n den Rechengang in [13], die Losungen G,
und G, als Bilinearentwicklung nach Partikularlosungen der homogenen Wellen-
M. KIRCHNER
: Die Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel
313
gleichung
+
dy
x2yl= 0
(9)
darzustellen. Diese Gleichung hat in elliptischen Kegelkoordinaten die Form
l a
5
2)+
1
k2f[sn*(u;k ) - sn2(v;k)]
Separiert man sie uber den Ansatz
y = m4 U(U) V(V),
dann erhiilt man fiir den Radialanteil die Differentialgleichung der sphiirischen
Zylinderfunktionen
und fur den Winkelanteil die beiden gleichlautenden LAMgschen Differentialgleichungen
- u = 0,
+ 1 ) k2sn2(v;k ) - h] v = 0.
+
.
d2U
[Y(Y
1 ) k2sn2(u; k ) - h]
du2
__-
dv2
[Y(Y
(11)
*
Wir beschiiftigen uns im folgenden vornehmlich mit den beiden Lmgschen
Differentialgleichungen,da ihre Losungen die Grundlage einer Reihen-Entwicklung der gesuchten GREENschen Funktionen bilden sollen. Die Losungen von
( 1 1 ) und ( 1 2 ) miissen im Losungsraum eindeutig und stetig sein und neben den
Randbedingungen auch die zwischen dem u-und v-Anteil bestehende Kopplung
iiber das Eigenwertpaar (Y; h) erfiillen. Wir haben es also mit einem zweiparametrigen STURM-LIouvILLE-Problemzu tun.
Die Forderung nach Eindeutigkeit bedingt bei den Losungen V(v) Periodizitat. Die Theorie der periodischen LaM$schen Funktionen liefert dazu die Aussage, da13 hier nur 2K- und 4K-periodische Funktionen in Fmge kommen. I n der
von E R D I ~ Y
eingefuhrten
I
Nomenklatur [ 1 6 ] tragen diese Funktionen die Bezeichnung Ect(v; k2) und EsZ(v;k2), und zwar steht Ec fur Funktionen, die
gerade sind beziiglich v = K und Es fiir Funktionen, die ungerade sind beziiglich v = K . Der obere, hier stets ganzzahlige Index gibt die Anzahl der Nullstellen in einem halboffenen Intervall der Lange 2K an, der untere Index ist identisch mit dem zugehorigen Parameter v der Differentialgleichung. Gelegentlich
verwenden wir auch die kiirzere Schreibweise E&v) bzw. Es!(v). Periodische
LAM&scheFunktionen mit einer imaginiiren Periode i2K' oder i4K' werden nach
der hier verwendeten Nomenklatur mit EsF(u; k2)bzw. Ec:(u; k2)bezeichnet.
Die durch den oberen Index ausgedriickte Nullstellenzahl bezieht sich dann auf
ein halboffenes Intervall der Lange 2K'.
Die Funktionen U ( u )sind folgenden Anforderungen unterworfen : Sie mussen
an der Stelle u = ii die vom Kegel aufgepriigten Randbedingungen erfullen,
im DIRICHLET-Fal1 also der Relation
U(ii)= 0
(13)
und im NEuMANN-Fall der Relation
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geniigen und im iibrigen so beschaffen sein, daB das LAMgsche Produkt L,(u; v)
= U,(u) . V,(v) zweier zusammengehoriger Partikularlosungen im gesamten
Losungsraum stetig und differenzierbar ist. Die letzte Forderung, namlich Stetigkeit und Differenzierbarkeit der LAMBschen Produkte, fuhrt zu einer weiteren
Randbedingung fur die Funktionen U ( u ) . Wir finden sie durch folgenden Gedankengang. Die Produkte haben entweder die Form U,,(u). EsE(v) oder U,(u) .
E C ~ ( VWir
) . betrachten zunachst den ersten Fall: Da die Funktionen Es auf
Grund ihrer Paritat und Periodizitat den Gleichungen
EsE(K - v)
=
1
-EsV(-3K
1
1
+ w),
+
Es,(-K - V ) = --Es,(-K
V)
gehorchen, bleibt das Produkt U Es beim Durchwandern der xz-Ebene auf
einer Kurve v = konst. im unteren Halbraum (z < 0) nur dann stetig, wenn U
die Bedingung
U ( K i2K') = 0
(15)
+
erfiillt. H a t das Produkt die Form U,(u) . Ect(v),dann miissen wir die Gleichungen
2
1
Ec,(K
- V ) = EcV(-3K
v),
ECE(-K
-
+
V ) = EC,(-K + W )
1
beriicksichtigen. Sie folgen ebenfalls allein aus der Paritiits- und Periodizitiitseigenschaft der Funktionen Ec und bedingen, daB das Produkt U,(u) E&v) beim
Durchwandern der xz-Ebene auf einem Weg v = konst. im unteren Halbraum
(z < 0) nur dann differenzierbar bleibt, wenn die Funktion U der Relation
=o
geniigt.
Damit haben wir fur jede Funktion U zwei Randbedingungen gefunden, von
denen jeweils eine a n der Stelle u = .liund die andere an der Stelle u = K
i2K'
zu erfullen ist. Wir werden sehen, daB diese Randbedingungen bei der numerischen Bestimmung der Funktionen U nutzlich sind.
+
5. Orthogonalitiitsrelationen
Die bis hier vorliegenden Kenntnisse iiber die Eigenschaften der Partikularlosungen U ( u )und V ( v )erlauben es bereits, den Nachweis zu fiihren, daB die
LAMkschen Produkte L, = U , . V , auf dem im Losungsraum gelegenen Teil der
Oberflache der Einheitskugel orthogonal sind. Um das zu zeigen, gehen wir aus
von den beiden Gleichungen
U v , h und U,,.,h* seien Partikularlosungen zu einem Kegel ( a ; k). Multipliziert
man die erste dieser Gleichungen mit Uv*,h*,die zweite mit U v , h und subtrahiert
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Die Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel
dann beide voneinander, dann erhiilt man
d
d
d
-[ l u v * , h * & U v , h - U v , h & u v * . h * ]
du
= [V(V
+ 1)-
V*(V*
+ I ) ] k2 8n2(u;k)
U v , h * Uv*,h*
- ( h - h*) U v , h * u V * * h * .
+
Integriert man diese Gleichung uber u von 4 bis K
i2K', dann ergibt die linkc
Seite stets Null. Wir stoBen somit auf die Beziehung
K+i2R'
- Y*)
(V
(V
+ + 1) k2 j 5nz(u;k )
V*
'
U
Uv,h
*
Uv*,h* du
K+i2K'
=
( h - h*)-j
U V , h Uv*,h.
du
U
aus der man sehr einfach die Gultigkeit der Relationen
K+i2K'
$ Uv,h
*
Uv*,h.
du = 0
fur
V = V*,
h $. h*
(17)
U
und
K+i2K'
/ Sn2(U; k ) Uv,h
*
Uv*,h* dU
=0
fur v
v*,
h = h*
(18)
U
ablesen kann. Die periodischen LAM8schen Funktionen Esi(v) und Eci(w) erfullen hierzu iiquivalente Beziehungen [13]; wir schreiben sie in der Form
R
fur v = v*,
h =+ h*,
K
/
-3K
5n2(V;k) v v , h
*
vv*,h*
dW = 0 fur
Eine Zusammenfassung der Gln. (17)
daB das Integral
K
-3K
V
V*,
h = h*.
(20)
- (20) fuhrt schliealich zu dem SchluB,
Kii2R'
dv jdu([8n2(u;k) - 8n2(v; k)]
u
U v , h Uv*,h* v v , h v v * , h * }
nur dann nicht verschwindet, wenn gleichzeitig Y = V* und h = h* ist; die Produkte U v , h . v v , h sind also zueinander orthogonal. Das vereinfacht die angestrebte
Reihenentwicklung der GREENschen Funktionen nach diesen Produkten.
6. Benennung der niohtperiodischen Lmischen Funktionen
Aus der Theorie der periodischen LAMLchen Funktionen geht hervor, daB
::lu=u
= 0 nur dann allgemein zu periodie Randbedingungen U ( a )= 0 und dischen Funktionen fuhren, wenn entweder 4 = K oder 4 = K
iK' ist, d.h.
wenn der elliptische Kegel entweder zum Sektor oder zum Halbraum entartet.
I m Falle des elliptischen Kegels haben wir es also im allgemeinen mit unperiodischen Losungen U ( u ) der LAMgschen Differentialgleichung zu tun. Fur sie
gibt es bislang noch keine verbindliche Nomenklatur. Wir verwenden im fol-
+
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genden fur diese Funktionen Bezeichnungen, die speziell auf unser Problem
zugeschnitten sind und sich weitgehend an die fur periodische LAMgsche Funktionen gebriiuchlichen Bezeichnungen anlehnen. Dabei machen wir wesentlich
von der Tatsache Gebrauch, da13 jede unperiodische Partikuliirlosung U ( u )
eindeutig in eine periodische Lugsche Funktion vorgegebener Bezeichnung
iibergeht, wenn der elliptische Kegel zu einem Sektor entartet.
Wir setzen fest : ESFl2(u;k2, ii) bedeutet im folgenden eine solche unperiodische Losung der LAMischen Differentialgleichung (ll),die im Grenzfall ii + K
in eine periodische Funktion vom Typ Es:l2(u ; k2)ubergeht undim ubrigen durch
die beiden Randwerte
ES:l2 (ii ; k2, ii)
=0
und
bzw.
ES:1”I2(K+ i2K’; k2, ti) = 0
fur n
= 0;
2 ; 4;
...
festgelegt ist. Entsprechend wollen wir unter EC?I2(u; k2, G) eine solche unperiodische Lijsung der Lmgschen Differentialgleichung (11) verstehen, die fur
ii-t K in eine periodische Funktion vom Typ Ee,?I2(u; k2) ubergeht und im
ubrigen durch die Randwerte
d
EC?l2(u; k2, ti)I,=i = 0
du
und
EC:l2(K
+ i2K’; k2, ii) = 0
fur
n = 1; 3; 5 ;
...
bzw.
L
E C F ~k2,~i i ) (l u =~9 +;i 2 g 1 = o
du
fur n
=
0 ; 2 ; 4;...
festgelegt ist. Der untere Index gibt also stets den zugehiirigen v-Wert aus der
Differentialgleichung an, wiihrend der obere Index mit der Anzahl der im
LBsungsraum liegenden Nullstellen der Funktion ubereinstimmt. Hierbei wird
eine Nullstelle, die genau auf der Grenze des Losungsraumes liegt, nur halb
gezlhlt.
Wir haben durch diese Bezeichnungsweise unter anderem erreicht, daB jeder
u-abhiingigen Partikularlosung des Sektorproblems [131 genau eine Partikuliirlosung des elliptischen Kegels entspricht. Damit ist sichergestellt, daS die Gesamtheit der am Aufbau der gesuchten GREENschen Funktionen beteiligten uabhiingigen Partikuliirlosungen durch
ES,?I2(u; k2, ti)
n = 0; 1; 2; ..
EC:l2(u; k 2 , i i )
beschrieben werden kann und jeder in der Losung auftretende Eigenwert v eindeutig durch das Indexpaar (1; n ) gekennzeichnet ist.
M. ~
C E N E R Die
:
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Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel
7. Die GREENschen Funktionen des elliptischen Kegels
w i r sind nun in der Lage, die angestrebte Entwicklung der GREENschen
Funktionen nach geeigneten Partikullirlosungen der homogenen Wellengleichung vorzunehmen. Da wir hierzu nur ein fur den Sektor formuliertes Verfahren [13] formal auf den elliptischen Kegel zu ubertragen haben, sei auf eine
ausfiihrliche Darstellung des gesamten Rechenganges verzichtet. Wir skizzieren
nur die wichtigsten Schritte.
Wir geben den Losungsanslitzen die Form
m o o
GD =
2 2' RV(r)ES?"(U;
k2, ti) Ec;(v; k2)
Z=On=1
m o o
+ 2 2"Rv(r)ESP"(u; k2,ti) Es!(v;k2)
1=1 n = 2
bzw.
m
m
GN = 2 2' R Y ( rECF"(u;
)
k2, ii) Es;(v;k2)
l=ln=l
m
m
+ 2 n=O
2''Rv(r)EC:'112(u;k2, B) EcE(v;k 2 ) ,
Z=O
wobei wir der ubersichtlichkeit halber auf eine Indizierung von v verzichtet
haben. Mit C wird angedeutet, da13 nur uber ungeradzahlige Indizes summiert
wird und mit C', daB nur Reihenglieder mit geradzahligem Index beriicksichtigt
werden. Geht man mit diesen Ansiitzen in die Differentialgleichung (4) ein, dann
erhglt man unter Anwendung der Orthogonalitatsrelationen die folgenden Gleichungen :
und
=I
6(r
--
- ro) ES2"(u0; k2, 4)EcL(vo;k2)
raNl,,(ES' Ec)
fiir n
=
1; 3; 5; ...
9
-
6(r
- ro) E S ~ l a ( u ok2,; 4)Es:(vo;k2)
r2Nl,,(ES' * Es)
fur n = 2; 4;6;
; 4)E.$vo; k2)
- 6(r - To) E C ~ / ' ( u 0k2,
.
fur
r2Nz,,(EC' * Es)
n = 1; 3;
- S(r - ro) EC212(uo;k2, E ) Ec:(vo;k2) fur
r2Nl,,(EC' * Ec)
n = 0;2;4;
(23)
...
5 ; ...
(24)
....
Die dabei eingefiihrten Normierungsintegrale Nl,n sind entsprechend der Vorschrift
11 K i i 2 K '
Ni,R(EC'.E c ) = -ik2 J d v J d u [sn2(u;k ) - sn2(v;k)]
-311
x [EC?'2(u; k2, a) EcE(v; k2)I2
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zu bilden. Zur Bestimmung der Funktionen R ( r ) machen wir die Ansatze
R,,(T)= d v j v ( ~ r@’(xr)
O)
falls
R,,(T)= dvjy(xr)h:”(xr,)
falls
> ro,
r < yo,
r
die wir symbolisch zusammenfassen zu
Rv(r)= d ” j V ( X T < ) hZ”(xr,) .
Hierin bedeutet i,,die spharische BEssEL-Funktion v-ter Ordnung und ht2’ die
spharische HANKEL-Funktion 2. Art und v-ter Ordnung. Der Ansatz (25) stellt
sicher, da13 die ,,Ausstrahlungsbedingung“ erfullt wird, wenn die Zeitabhangigkeit des Geschwindigkeitspotentials durch eimt festgelegt ist.
Geht man mit dem Ansatz (25) in (23) bzw. (24) ein, dann erhalt man Bestimmungsgleichungen fur die Koeffizienten d,. Sie lauten im DIRICHLET-Fa11
-
ix
N,,,(ES’
.Ec) ES~”(uo;k’,~)Ec”,wo;k’) f i i r n = 1 ; 3 ; 5 ; ...
ix
Ni.,(ES’
*
Es)
JTS~”/~(U,;
k2, ii)EsE(w0;k’)
fur n = 2; 4 ; 6;
...
und im NEUMANN-F~U
ix
- EC:”(uo;
- N,,,(EC’. Es)
k’, fi)Esl(wo;k’)
fur n = 1; 3 ; 6 ; ...
I ivl,n(kf.
fur n = 0 ; 2; 4 ; . . ..
EC:”(uo; k‘, a) Eci(wo;k 2 )
dv = Ec)
Fur die GREENschen Funktionen des elliptischen Icegels erhalten wir somit folgende Ausdriicke :
x ES?”(u; k2, ii) Esk(v; k’) ES:l’’‘(u0; k’,
.ii)EsE(w,; k2)
und
x EC?”(u;k’, .ii)Es;(v; k2)EC:n”(uo; k’, E ) EsE(w0;k‘)
0 0 0 0
+
z=o
2”N,,,(EC’-
n=O
(27)
1
Ec)
iv(xr,) Q’(xr,)
x EC?”(u; k’, a) EcE(w; k2)EC?’*(uO;k‘, ii) EcE(wo;k 2 ) .
Es sei noch einmal erwiihnt, da13 in den Formeln dieses Abschnittes v stets als
lesen ist.
Y [ , ~zu
8. Berechnung der Partikularlosungen
Eine Auswertung der Ausdrucke (26) und (27) setzt die Berechnung der
PartikuliirlBsungen des Winkelanteils voraus. Sie sind festgelegt durch ein zwei-
M. KIRCHNER
: Die Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel
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parametriges STURM-LIouvILLE-Problem (vgl. Abschn. 4)) das sich hier nicht
geschlossen losen 1iiSt. Wir geben deshalb ein numerisches Verfahren an. Es
beruht im wesentlichen auf der numerischen Integration der Differentialgleichungen (11)und (12).
Um eine numerische Integration dieser Gleichungen vornehmen zu konnen,
benotigt man neben den Anfangswerten, die ja aus der Benennung der Funktion
ersichtlich sind, das zur Partikuliirlosung gehorige Eigenwertpaar (v; h ) . Nun
gehort zu jedem Funktionstyp eindeutig eine Eigenwertkurve h = h(y),d.h. es
gibt zu jedem v einen Eigenwert h so, daS die den Punktionstyp kennzeichnenden
Eigenschaften, niimlich Randwerte und Nullstellenzahl erfullt werden. Die Auswahl eines bestimmten Wert,epaares (v ; h) dieser Kurve ist durch die zwischen
(11)und (12) bestehende Kopplung bedingt : Ein solches Wertepaar mu13 gleichzeitig zu der Eigenwertkurve einer Losung U ( u ) und zur Eigenwertkurve einer
Losung V(w) gehoren; man findet es demnach als Schnittpunkt zweier Eigenwertkurven. Somit stellt sich die Aufgabe, die Eigenwertkurven h(v) zu berechnen .
Zur Bestimmung dieser Eigenwertkurven nutzen wir die Tatsache aus, daS
man von jeder Partikularlosung zwei Randwerte und die Anzahl der im Losungsraum gelegenen Nullstellen kennt. Das ermoglicht folgendes Verfahren :
Man integriert die LAMJhche Differentialgleichung numerisch mit einem NBherungswert i.
Dabei wiihlt man als Anfangspunkt und Endpunkt der Integration diejenigen Stellen, a n denen das funktionale Verhalten der gesuchten Losung
durch die Randwerte vorgeschrieben ist. Weicht nun der Ausgangswert vom
Eigenwert h ab, dann zeigt die durch Integration entstandene Funktion a m Endpunkt nicht das vorgeschriebene Verhalten. Durch iterative Korrektur von ;
kann man jedoch erreichen, daB beide Randwerte a n den vorgeschriebenen Stellen angenommen werden. Damit ist der Eigenwert h(v) numerisch bestimmt. Da
dieses Verfahren fur jeden Wert v durchgefiihrt werden kann, ermoglicht es auch
die Berechnung der Eigenwertkurven.
Die genaue Bestimmung des Schnittpunktes zweier Eigenwertkurven kann
ebenfalls numerisch geschehen [17]. Auf diese Weise erhiilt man die jeweils ein
LAM3kches Produkt kennzeichnenden Eigenwertpaare (Y ; h) mit der gewunschten Genauigkeit und ist dadurch in der Lage, durch numerische Integration der
Differentialgleichungen (11) und (12) die zugehorigen Partikuliirlosungen zu
berechnen.
Das hier vorgeschlagene Verfahren ist nur dann mit einem vertretbaren Zeitaufwand durchzufuhren, wenn gute Ausgangswerte zur Verfiigung stehen. I n
[17] wird dargelegt, wie man sich solche Werte beschaffen kann.
9. Numerische Ergebnisse
Wir haben das oben skizzierte Verfahren angewandt, um fur einige Kegel der
Schar k2 = 0,5 den kleinsten der in (26) bzw. (27) auftretenden Werte ~ 1 zu,
ermitteln. Diese, im folgenden mit vlninbezeichnete GroSe spielt eine besondere
Rolle, weil sie, wegen
j , ( x r ) - ( x r ) , fur xr < 1
die Radialabhiingigkeit des Geschwindigkeitspotentials in unmittelbarer Umgebung der Kegelspitze beschreibt. Das zugehorige LAMBsche Produkt LVmln
(u;v)
~
320
Annalen der Physik
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7. Folge
*
Band 26, Heft 4
*
1971
enthiilt die Winkelabhiingigkeit. Dieses Produkt lautet im DIRICHLET-F~I~
Lvmln= ES:2fn(u; k2,ii) * E c : ~ ~ ~k2)
(v;
und im NEUMANN-Fall
LVmln
= ECiYfn(u; k2, ii) *
ES:mln(2);
k2).
Das Ergebnis der Bestimmung der Wertepaare (ymin;hmin)wird in Abb. 2 und 3
wiedergegeben. An Stelle der komplexen GroBe ii wurde der Anschaulichkeit
LOO
0.75
0.50
0.25
0'
45
6
46.9
30
52.2
45
60
60
69.3
75
79.4
909,.l~,,~
45
909,,
46.9
52.2
60
69.3
79.4
909,,,
Abb.2
Abb. 3
Abb. 2. Eigenwerte vmln und hmlnalsFunktion des kleinsten C)ffnungswinkelsdes Kegels fur
k2 = 0,5. DmIcHLET-Bedingung
-4bb. 3. Eigenwerte vmln und hmlnals Funktion des kleinsten C)ffnungswinkels des Kegels
fur k2 = 0,5. NEnMANN-Bedingung
halber der minimale offnungswinkel6 des Kegels als Abszisse aufgetragen. Die
ermittelten v-Werte liegen alle im Interval1 0 5 vlnin 5 1. Daraus folgt, daB das
Geschwindigkeitspotential bzw. der Schalldruck an der Spitze des Kegels endlich bleibt. Die Komponenten der Schallschnelle haben die Form
w, = -
1
ikr vsn2(u;k ) - sn2(w;k )
-.
a
-G.
av
Sie werden also alle fur r + 0 singular. Die ermittelten v-,,,in Wert,e stellen jedoch
sicher, daB die ,,Kantenbedingung" erfullt wird.
Von besonderem Interesse ist die vmin-Kurvedes schallharten Kegels
(NEUMANN-Fall). Sie zeigt, daB zu unterschiedlichen Kegelformen derselbe YWert, also auch derselbe Singularitatsgrad der Schallschnelle gehoren kann.
Solche Kegel mussen dann auch im gemeinsamen Losungsraum den gleichen relativen Verlauf des Nahfeldes zeigen, denn die gleichen Eigenwerte bedingen hier
die gleichen Eigenfunktionen. Man kann auBerdem aus Abb. 3 schlieBen, daB es
im NEuMANN-Fall Kegelformen gibt, die den Vorzug haben, daB ihr extremes
Nahfeld gegen kleine dnderungen des minimalen Offnungswinkels unempfindlich ist. Solche Kegel liegen in der Umgebung des Minimums der vll,i1,-Kurve.
M. KIRCHNER
: Die Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel
321
Abb. 4. Eigenwert vmln in Bbhiingigkeit von den beiden Parametern des elliptischen Kegels.
DIRIcHLET- Bedingnng
Abb. 5. Eigenwert vmi, in Abhangigkeit von den beiden Parametern des elliptischen Kegels.
NEuniANN- Bedingung
Bezuglich des Zusammenhangs zwischen E und 8 sei auf [17] verwiesen. Dort
wird auch gezeigt, da13 man auBer dem Parameterpaar (ii;k ) auch das anschaulichere Winkelpaar (8;y ) zur Kennzeichnungelliptischer Kegel heranziehen kann.
Dabei ist der Winkel y uber
1
tan y = _ _ ~
v-2
8 1 Ann. Physik. 7. Folge, l-ld. 16
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 2G, Heft 4
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1971
mit dem Parameter k verknupft. Wegen 0" 5 6, y 5 90" erlaubt diese Kennzeichnung, jedem Punkt eines quadratischen Schemas eindeutig einen elliptischen Kegel zuzuordnen. Die Grenzlinien des Schemas entsprechen dann den
vier Entartungsformen des elliptischen Kegels: Die Strecke (6 = 0"; 0" 5
y 5 90") reprasentiert alle Sektoren, deren Offnungswinkel kleiner als 90" ist
und die Strecke (0" 5 6 5 90"; y = 0") alle rotationssymmetrischen Kegel;
allen Keilen, deren Keilwinkel kleiner als 180" ist, ist die Strecke (0" 5 6 5 90";
y = 90") zugeordnet, und die Strecke (6 = 90"; 0"
y 5 90") entspricht dem
Halbreum. Der Kegelschar lc2 = 0,5 ist die Strecke (0" 5 6 5 90"; y = 45")
zugeordnet .
<
30
60
90
120
150
lW
>/Grad+
Abb. 6. Das Beugmgsnahfeld an der Spitze eines elliptischen Kegels der Schar kz =: 0,s :
a-AbhBngigkeit der in yz-Ebene. Kleinster Offnungswinkel des Kegels als Parameter.
Dmrcmm-Bedingung
1.25
1.00
V,lWs.crl
0.75
0.50
0
30
60
90
120
150
180
VlQrod-
Abb. 7. Das Beugungsnahfeld an der Spitze eines elliptischen Kegels der Schar k2 = 0,5 :
rp-Abhangigkeit in der iy-Ebene. Kleinster Offnungswinkel des Kegels als Parameter.
DIRICHLET- Beding ung
323
N.KIRCRKER
: Die Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel
Tragt man uber jedem Punkt dieses Schemas den Eigenwert vrni,, desjenigen
Kegels auf, den der Punkt reprasentiert, dann erhalt man ein ,,Gebirge", das
in anschaulicher Weise die Anhangigkeit des Singularitatsgrades a n der Kegelspitze von der Form des Kegels demonstriert. I n Abb. 4 und 5 sind die bislang
bekannten Schnitte durch dieses ,,Gebirge" zu je einem Modell zusammengefaflt.
Das eine Modell gilt fur den NEUMANN-Fall, das andere fur den DIRICHLET-Fall.
In Abb. 6 . . .10 sind einige Partikularlosungen zum Eigenwert vmi,, sufgezeichnet. Sie gehoren alle zur Kegelschar k2 = 0,5. Der Anschaulichkeit halber
wurden diese Funktionen auf die Polarkoordinaten 6 und y umgerechnet. Sie
erscheinen als Schnitte des LAMBschen Produkts LYmln(u;
v), da der Zusammen-
90
30
120
Is0
MD
45d-
Abb. 8
Abb.8 und 9. Das Beugungsnahfeld an der Spitze eines elliptischen Kegels der Scher
k2 = 0,5: 8-Abhiingigkeit in der yz-Ebene. Kleinster C)ffnungswinkel des Kegels als Parameter. NEUMANN-Bedingung
0
30
60
90
120
*ad
Abb. 9
21*
IS0
-+
Mo
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8D
30
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I/olcrd---c
Abb. 10. Das Beugungsnahfeld an der Spitze eines elliptischen Kegels der Schar k2 = 0,b:
q-Abhangigkeit in der zy-Ebene. Kleinster 6ffnungswinkel des Kegels als Parameter.
NEUMANN-Bedingung
hang zwischen den Polarkoordinaten und elliptischen Koordinaten
sin 6 cos pl = k s n ( u ; k) sn(v; k),
k
sin6sintp = i , c n ( u ; k ) c n ( v ; k ) ,
k
1
cos 6 = T d n ( u ; k) d n ( v ; k)
k
nur eine paarweise Zuordnung zwischen Wertepaaren ( u ; v) und (6;tp) beschreibt. Wir kiinnen also im allgemeinen nur ein LAMgsches Produkt L,(u;v)
auf Polarkoordinaten umrechnen, nicht jedoch eine einzelne Partikuliirlosung.
Fur einige ausgezeichnete Koordinatenwerte vereinfacht sich die Zuordnung
L,(u; v) -+ Yv(6;pl), weil dann die Koordinatenpaare entkoppelt sind. Das
trifft auch fur die hier ausgewahlten Fiille zu. I n der Ebene 6 = lautet der
Zusammenhang
Y,
(G;arc cos sn(v; k))
= konst.
V,(v)
und in der Halbebene tp = 4 hat er die Form
2
(
-)
II
Y, arc cos d n ( u ; k); 2
=
konst. U,(u).
Der Verlauf der in Abb. 6 ' . . l o wiedergegebenen Funktionen wurde durch numerische Integration der Differentialgleichungen (11) und (12) errechnet. Zur
Integration wurden RUNGE-KUTTA-Formeln 6. Ordnung verwendet [181. Die
Differentialgleichungen wurden dazu jeweils in ein System von je zwei linearen
Differentialgleichungen 1.Ordnung umgeformt [191.
M. KIRCHNER
: Die Beugung skalarer Wellen am elliptischen Kegel
325
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M a r b u r g , Institut fur Angewendte Physik der Universitiit.
Bei der Redaktion eingegangen am 2. Dezember 1970
Anschr. d. Verf.: Dr. M. KIROHNER
Inst. f. Angew. Physik der Univ. Marburg
BRD-355 Marbug, Renthof 7
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