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Die Beugungswelle in der Kirchhoffschen Theorie der Beugungserscheinungen.

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JG 12.
1917.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIERTE FOLGE. BAND 53.
-
1. DQe Beugzcmgewelle Qm der EGrchhoffschen
Tkeorie der Beugumgserscheinumgelz;
vow A. Rubimotwccticx.
I n h a l t s u b e r s i c h t : Einleitung. - 5 1. Umformung des Kirchhoffschen Beugungsintegrals. - 5 2. Struktur der elementwen Beugungswelle. - 5 3. Analytische F'ortsetzungen der Kirchhoffschen Losung. 5 4. Verhalten der Kirchhoffschen Losung am schwarzen Schirme. Beugung am vollkommen blanken Schirme. - 5 5. Ausstrahlungsbedingung.
Eindeutigkeit. - (i 6. Die Kirchhoffsche Losung des Beugungsproblems
fur eine unendliche Halbebene. - 5 7. Das Sommerfeldsche Beugungsproblem.
5 8. Vergleich der beiden Beugungstheorien. Die elementare
Beugungswelle fur die Sommerfeldsche Losung.
-
Der erste Versuch, auf Grund der Wellentheorie des
Lichtes eine Erkliirung der Beugungsphanomene zu geben,
ruhrt von T h o m a s Y o u n g (1802) her, der diese Erscheinung
auf die Interferenz einer direkt einfallenden mit einer von
der Schirmkante ausgehenden Lichtwelle zuriickfiihrte. Da
aber die Lage der so berechneten Beugungsstreifen mit der
Erfahrung nicht vollig ubereinstimmte, sah sich A u g u s t
F r e s n e l (1816) veranlaBt , clurch eine Erweiterung des
Huygensschen Prinzipes fur die Theorie der Beugung ein
neues Fundament zu schaffen, das spater von K i r c h h o f f
mit Hilfe der Theorie der Wellengleichung noch fester begrundet wurde. Die schliel3lich von S o m m e r f e l d ') (1894)
gegebene, vollig strenge Losung des Beugungsproblemes fur
eine blanke Halbebene zeigte dann, dal3 in diesem Spezialfalle einerseits die nach dem K i r c h h o f fschen Verfahren gewonnenen Formeln fur nicht zu groBe Beugungswinkel quantitativ hinreichend genau sind und andererseits sich in diesem
Falle, in qualitativer ubereinstimmung mit der Youngschen
Vorstellung, eine einfallende und eine von der beugenden
Kante ausgehende zylindrische Beugungswelle unterscheiden
1) A. Sommerfeld, Math. Ann. 47. p. 317. 1896 und Zeitschr. f.
Math. u. Phys. 46. p. 11. 1901. Diese Arbeiten werden im folgenden mit
S. I und S. II bezeichnet.
Ann8len der Physik. IV. Folge. 63.
17
258
A . Rubinowiex.
liiBt. Ubrigens wird das Vorhandensein einer solchen Beugungswelle auch aus einzelnen nach dem K i r c h h o f f schen
Verfahren gewonnenen Losungen p1ausibel.l) Mae y 2, h a t auch
fur den Fall der Halbebene direkt von der Kirchhoffschen
Losung die Beugungswelle abspalten konnen.
Gleichwohl ist es interessant, zu sehen, daB die Y o u n g sche Theorie vom leuchtenden Schirmrande sich in den nach
K i r c h h o f f behandelten Spezialfallen nicht nur eufiillig bestiitigt. Wie wir namlich zeigen wollen, lBBt sich die Funktion, die durch das von K i r c h h o f f benutzte Flachenintegral
dargestellt wird, durch eine einfache Umformung spalten i n
eine i m Sinne der geometrischen Optik zu definierende einfallende Lichtwelle und i n eine vom Schirmrande ausgehende
Beugungswelle. Dabei kann man sich die Beugungswelle nach
einem Elementargesetee entstanden denken, welches jedenl
Punkte des Schirrnrandes eine , allein durch die geonietrische Lage des betreffenden Randelenientes und der Lichtquelle bestimmte, unsymmetrische Kugelwelle zuordnet. Ma,n
uberzeugt sich sodann, daB sich die K i r c h h o f f s c h e Losung
durch eine regulare, gemal3 der Differentialgleichung
A u k2u= 0
erfolgende Fortsetzung uberall i m Raume, wo sich der physikalische Vorgang a,bspielt, definieren 1813t, was die Feststellung der analytischen Eigenschaften des K i r c h h o f f schen
schwarzen Schirmes ermoglicht. SchlieBlich wird noch niit
Benutzung der gegebenen Uniforniung des K i r c h h o f f s c h e n
Integrals die Beuguiig an einer Halbebene behandelt, und es
zeigt sich, daB die so erhaltene Losung rnit der strengen
S o m m e r f e l d s c h e n sehr nahe verwandt ist, j a daB sie geradezu aus den Bausteinen der letzteren sich zusammenseteen laBt.
+
1. Umformung Clee Kirchhoffechen Beugungsintegrales.
Die wesentlichsten Tragsaulen der K i r c h h o f f s c h e n Beugungstheorie sind die folgenden Tatsachen und Annahmen:
u (5,y, z ) sei eine in eintm Bereiche G einmal stctig
differentierbare Losung der Schwingungsgleichung
A u k2 u = 0 .
+
1) G. Kirohhoff, Vorlesungen iiber math. Optik. Leipzig 1891. p. 133,
2) E. Mlaey, Ann. 11. Phys. 49. p. 69. 1893.
Die Beugungswelle i n der Kirchhoffschen Theorie usw.
259
Mit Q und auJaz
l mogen an der Begrenzung (G) des Gebietes G
die Werte der Funktion u bzw. die ihrer Ableitung nach cler
inneren Normalen n bezeichnet werden. Es stellt dann das
uber (G) mstreckte Flachenintegral
eine in den1 x,y, x-Raume diskontinuierliche Funktion dar,
die innerhalb G gleich u und auBerhalb dieses Gebietes gleich
Null ist. Werden aber in dem Integral (1) fur die Randwerte
ii und au/an Funktionen gewahlt, die nicht einer in G reguk 2 u = 0 entnommen wurden, so
laren Losung von d u
stellt zwar tler Ausdruck (1) eine in G regulare Losung der
Schwingungsgleichung dar, die ihr auf (G) entsprechenden
Grenzwerte von u und aulan sind aber im allgemeinen von
den in (1) eingesetzten Werten a und Z J a n verschieden.
K i r c h h o f f niacht nun die (qualitativ durch die m e i n heit der Wellenlange nahegelegte, quantitativ aber doch nur
allein durch den Enderfolg zu rechtfertigende) Annahme,
dal3 an der beschatteten Seite des Schirmes S die Lichtausbreitung tiurch d a s Integral
+
gegeben wird, wo F die Beugungsoffnung, d. h. irgendeine
den beugenden Schirmrand B iiberspannende Flache ist. Fur
a und %itan sind hier die Werte jener Funktion zu nehmen,
die bei Abwesenheit des beugenden Schirmes die Ausbreitung des
Lichtes darstellt. 1st also, wie wir dies iw folgenden annehmen
wollen, die Lichtquelle L punktformig und im Endlichen geeike
Irgen, so werden ii und & / a n durch die Funktion __ bee
stimmt, wo e die Entfernung von L bedeutet.
Das Integral (2) - wir wollen es i n der Folge das K i r c h hoffsche Beugungsintegral nennen - sol1 nun einer Umformung unterzogen werden. K sei die d er geometrischen
Schattengrenze entsprechende Flache. Sie besteht aus allen
an der Schattenseite des Schirmes gelegenen Punkten einer
Kegelfliiche, die eine durch den Lichtpunkt L hindurchgehende Gerade beim Umlaufen des beugenden Schirm17*
A . Rubho wicz ,
260
randes B erzeugt. Nehmen wir nun in dem iiber F und
K erstreckten Integral (1) die Randwerte ii und z / a n so an,
eike
wie dies der Funktion - entspricht, so erhalten wir eine
4
diskontinuierliche Funktion
die nach (1) uberall :Indein ,,direkt beleuchteten" von F und K
begensten Raume h: mit 7identisch ist, aul3erhalb R aber
T
verschwindet. U, (,,einfallendes u") stellt soniit a n der von
der Lichtquelle abgewand ten Seite des Schirmes eine Lichtverteilung dar, wie man sie bei AuBerachtlassung der Beugungserscheinungen nach der geometrischen Optik erwartet.
Beachten wir, daJ3 K von den Kugelfl~chen,Q = const senkrecht geschnitten wird und demnach hier
und dab ferner
ist,, so erhalten wir sus (3) fur das K i r c h h o f f s c h e Beugungsintegral (2) den AusdrucF
Es erubrigt jetzt noch, das hier auftretende Flachenintegral, das wir i n cler Folge mit uB(,,gebeugtes u'') bezeichnen
wollen, durch eine Integration auf ein iiber den beugenden
Rand B erstrecktes Linienintegral zuriickzufiihren. Als orthogonale Flachenkoorcinaten wBhlen wir auf K die Entfernung
von der LichtqueIle L, niimlich e, und die Schnittlinien CJ der
Flache K mit den Kugelflachen e = const. Bezeichnen wir
ein Linienelement von B mit a s und seine Entfernung von L
mit es, so ist (vgl. Fig. 1)
d o == e sin(e,, d s ) d s
und deher
@
df = tie d o = I sin(e8, d s ) d e d s .
e.
Die Beuqungswelle in der Kirchhoffschen Tho& ww.
261
1st ferner r, die Entfernung zwischen d s und dem betrachteten
Aufpunkte P, so gilt auf jeder durch L und a s hindnrchgehenden Geraden :
+ (e - eJ* + 2 rs (e - el) cos (rs,e,)
ra= ra2
a
Da nun offenbar die Projektionen von r und r,,
die beide zu einer Gernden Lda gehoren, auf das
von P auf ZG gefiillte
Lot einander gleich sind,
so ist
re
cos (n,t)= COB (n,r,)
T
.
Als Winkel (e,, a s ) , (r,,
eJ, (n,r ) , (n, r,) sind da-
Fig. 1.
bei die Absolutbetriige
tier kleinsten Winkel zwischen den positiven Richtungrn
tier betreffenden Geraden zu nehmen. Das umzuformend e
Doppelintegral U, lautet demnach :
Nun ist
A. Rubinowicx.
262
E:: wird daher schliefilich
Fur den Fall, daI3 die Beugungserscheinungen durch eine
ebene Welle e i k z bedingt werden, fiihren die vorangehenden
Betrachtungen zu dem Ausdruck
wo uE* jetzt mit Hilfe von eikx zu bilden ist und f s den Abstand eiiies Randelsmentes d s von einer zur Fortschreitungs1 ichtung der einfallenden Welle senkrechten und in1 Raume
festen Ebene, einer Phasenebene, bedeutet. Bei den folgenden
Uberlegungen werden wir uns aber ausschliefilich auf die allgemeinrie Formel ( 5 ) beziehen.
5
Struktur der elementaren Beugungswelle.
Die Darstellurg der Beugungserscheinungen durch das
2.
K i r c h h o f f sche Beugungsintegral (2) ging von der Erfahrung
aus und ivurde auch an ihr durch Versuche erprobt. I n einer
ebensolchen Bezieh Ling znr Erfahrung steht selbstverstandlich
auch seine hier gegebent. Uriiforniung (5), die, wie leicht einzusehen ist, q u a l i t a t i ~tlcr Youngschen Vorstellung von den1
Entstehen der Beugungserscheinungen entspricht und die
mithin als Pine am f einpirischer Basis ruhende quantitative
Prazisierung clieser Anschauung gelten kann. Es entsprechen
nanilich die beiden 13estandteile, U, und u,, i n der Funktion ( 6 ) ,
die zunachst ebenso wie das mit ihr identische Integral (2)
nur an cler Schattenseite des Schirmes den Beugungsvorgang
darstellen will, unrnittelbar der einfallenden und der gebeugten Welle. Benuglich uE ist dies in der Tat nach dessen
Herstellungsart klar, und was us betrifft, so entsteht dieses
durch Superposition d pi Kugelwellen
die alle i h r m Ursprung in den einzelnen Punliten des beugenden
Randes B 1iabrn.l) Da eiri jedes dull dnrch die geometrischr
1) Der evperimentelle h'achweis fur die Existenz der Beugungswellen ist
von A.Kalaschnikoff (,Tourn. d. m s . phys.-chem. Ges. 44.phys. Teil, p. 133.
1912) durch eine sehr elegante objektive Versuchsanordnung erbracht worden.
D i e Beugungswelle in der Kirchhoff schen. Theorie
USK.
963
Lage von d s zur Lichtquelle L allein bestininit wird und
nicht etwa auch von der Gestalt des beugenden Schirmes S
ocler von dem ubrigen Verlaufe des beugenden Rancles B abhangt, kann (6) als ein der Youngschen Vorstellungsweise entsprechendes Elementargesetz der Beugung angesprochen werden.
Der Bau der elementaren Beugungswelle d u B ist nun
sehr einfach zu uberblicken. Der Faktor
bestimmt sozusagen den Anteil, den die Lichtquelle L dem
e<kr.
Randelemente a s zur Zerstreuung uberlaBt ; __ bedingt, daB
rs
d u , eine Kugelwelle wird ; und dem Richtungsfaktor
ist cler unsymnietrische Bau dieser Kugelwelle zuzuschreiben.
duB ist ferner uberall im Raume regultlr, mit alleiniger Ausnahme von ds selbst und dessen Schattengrenze, wo
cos (rs, eJ = - 1
und daher der Richtungsfaktor im allgemeinen unendlich wird.
Nun ist die Frage von Interesse, wie sich diese Singularittlten von du, im Verhalten der Funktion U , an dem beugenden
Schirmrande B und a n der Sohattengrenze K BuBern. Urn
zuniichst zu zeigen, dalj uB i n allen Punkten der K u r w B,
wo deren Krummung nicht unendlich wird, auch selbst endlich
bleibt, genugt es, das gleiche Verhalten fiir das uber ein kleines
geradliniges Stuck von €3 erstreckte Integral J =JduB nachzuweisen. (Ein etwaiges Unencllichwerden von u, in B konnte
ntiinlich nur durch Integralelemente bewirkt werden, die auf
B in unmittelbarster Nahe des gegen B hinstrebenden Aufpunktes gelegen sind.) Zu diesem Zwecke formt man am bequemsten dieses Integral so uni, wie dies bei der Betrachtung der Beugung an einer Halbebene i n fi 6 geschieht. Schlieljlich rrkennt
nian leicht, dalj uB in K einen Sprung erleidet, der die hier vorhandene Unstetigkeit von U, gerade kompensiert. U,
U , wird
ja an der Schattenseite des Schirmes durch das K i r c h h o f f sche Integral gegeben, das stets eine im ganzen Raume mit
alleiniger Ausnahine der Flache F regulare Losung der Schwinguilgsgleichung A u
k2 u = 0 darstellt. Ubrigens kann man
+
+
A . Rubinowicz.
2 64
dieses unstetige F'erhalten von uB auch aus der in (4) enthaltenen Integraldarstellung dieser Funktion nach einem bekannten Satze aus der Theorie der Schwingungsgleichung erschliel3en. l)
8
3. Analytische :Fortsetaungen der Kirchhoffschen Liisung.
Bisher haben wir die Losung des Kirchhoffschen Beugungsproblemes nur an der Schattenseite des Schirmes betrachtet, wo sie m i t der durch das Kirchhoffsche Integral
definierten Funktion -'die von nun an z&ch. heiBen moge identisch war. An der beleuchteten Seite von S stellt nun
aber UKkch. den Beugungsvorgang sicherlich nicht dar. Ugirch. ist
ja 2, im ganzen Raume mit alleiniger Ausnahme von F regular,
besitzt also keine d2r Lichtquelle L entsprechende Singularitat.
Es la& sich auch das n k h t regulare Verhalten von UK;r&. in
F2)physikalisch in keiner Weise rechtfertigen. Den ,,physikalischen Zweig" tier Funktion u, u@y&, der den gesamten
physikalischen Vorgang beschreiben soll, erhalten wir aber,
wenn wir das an der Schattengrenze des Schirmes S gegebrne
Uphys.
= UKirch. = ul3 $. U B
suf die Lichtseite 7Ton S durch die Flache I? hindurch ge1:laB
der Schwingungsgleichung wgular fortsetzen. Das Resultat
dieses Vorgehens ist an der
kQ
Hand der Forniel ( 5 ) sofort
U"UB+ e
Q
L
zu iibersehen: uB wird irn
6;"F
s
ganzen
Raume durch das In5
tegral in ( 5 ) bestimmt, und
u, ist iiberall im schraffierten
"=" +
Gebiete der zweidimensional
achematisierten Fig. 2 gleich
Null, im nichtschraffiertrn
I
,I
v-y
'tB
elkQ
Fig. 2.
gleich
,ire
--.e
Wir sind jetzt aber such in cler Lage, die Gesanithrit
alZer Zweige der Funktion u anzugeben. Setzen wir niiinlicli
= u,
uB etwa von der beleuchteten Seite von 8 her
+
1) Vgl. etwa I?. I'ockels, fiber die partielle Differentialgleichung
A @ + k 8 u = 0 usw. Leipzig 1891. p. 235.
2) F. P o c ke ls , 1. c. p. 229 u.f.
Die Beugungswelle in der Kirchhoffschen Theork usw.
265
durch S hindurch weiter fort, so erhalten wir einen neuen
Zweig von u, der, wie dies wieder die Darstellung (5) ergibt,
durch
+4
p e
Uphys.
gegeben ist. Das heiBt, wird der beugende Rand B einmal
in einem solchen Sinne umkreist, daB zuerst die beleuchtete
und dann die beschattete Seite von S passiert wird, so wiichst
p e
dabei %bye. um -.
e Wenn wir also B fortgesetzt umkreisen,
bekommen wir fur die gesamte Funktion u offenbar die Darstellung :
(7)
{
1'
= uphys.
+
eike
' - = UB
4
+ UE + n
eike
-9
e
(n=0,&1,*2
).
Jetzt erkennt man auch, dab der Bereich, in dem u eindeutig ist, aus einem aus lauter gleichen Bliittern sich zusammensetzenden R i e m a n n s c h e n Raume R, besteht, der
den beugenden Rand B zur einzigen Verzweigungslinie l)
(das Analogon zum Verzweigungspunkte i n der Funktionentheorie) besitzt. Wird der Zweig Uphye. fur sich allein betrachtet,
so entspricht dem Schirme S eine Verzweigungsflache l ) (in Analogie zumVerzweigungsschnitte in der Funktionentheorie), in der
, . . a
eike
%hye.
nach (7) einen Sprung um - erleiclet.
Q
Wir wollen jetzt darauf hinweisen, daB die Funktion u
auch noch einen anderen Zweig u*phys.
enthalt, der ebenfalls
als Losung eines Kir c h h o f f schen Beugungsproblemes angesehen werden kann. Zunachst bemerken wir, daB &&.
erhalten wird, wenn wir ( 5 ) von der beschatteten Seite von
8 her uber h' hinaus fortsetzen. U&&. und ( 5 ) stimmen ja an
der Schattenseite von S miteinander uberein und es mussen
deshalb die aus ihnen bei der gleichen reguliiren Fortsetzung
entstehenden Zweige miteinander identisch sein. Ugi& i s t
mithin i n dem von F und K eingeschlossenen Raume durch
UB
$. -
4
1) uber die analysis situs dreidimensionaler Riemannscher Raume
vgl. etwa A. Sommerfeld, Roc. of the London Nath. SOC. Vol.XXVII1,
p. 395. 1897.
A. Rubinowicx.
266
nnd auBerhalb davon durch U, allein gegeben. (vgl. Fig. 3b).
F spielt hier die Rolle einer Verzweigungsfliiche. Wird nun
aus UKhch. durch unbeschriinktes Umkreisen des Randes B die
gesamte Funktion u hergestellt, so erhalten wir sip jetzt
offenbar i n der Form:
eike
Der hier durch :R = - 1 festgelegte Zweig UJKirch. - - ist
2
~ ~ .
nun mit der oben angekundigten Funktion u * ~ ~identisch
und beschreibt ersichtlich (lie Beugung der von L ausgehenden
s
s
----5
n-o
Fig. 3 b.
K
n=l
Fig. Ya.
'1:
-
n -1
Fig. 3c.
K'
K'
Lichtwelle - - am eineni schwarzen, mit cler Flache F zu4
sammenfallenden Schirme. Innerhalb des von F und K eingeschlossenen Raunies (vgl. Fig. 3c) wird ja u*phys. durch u,
(Beugungswelle) gegeben uncl auBerhalb dieses Raumes durch
p e
(Beugungswelle + einfallendes Licht).
e
Wie die drei Zweigr Uphys., UKjrch, und u*phys. in dem Riemannsclien RBume R, gegeneinancler gelagert sind, ubersieht
UB
~
man am einfachsten an der Hand der obenstehenden Figuren.
Die Figg. 3 a , b, c versinnlichen zweidiinensional schematisiert die drei den Vi'erten = 1, 0, - 1 entsprechenden Zweige
Die Beugungswelte in deer Kirchhoffschen Theorie usw.
267
der Funktion (8). Man mu5 sich die clrei Blatter ubereinandergelegt und dann die beiden ,,Ufer" Pi und ebenso F2 initeinander verschmolzen denken. I n jedem Blatte ist in den1
,,schraffierten" und ,,unschraffierten" Bereiche die hier gema6 (7) geltende Darstellung fur u angegeben und bei der
Lichtquelle L die i n diesem Punkte auftretende Singularitiit
in Klarnmern vermerkt. Es ist sofort klar, daB $hp& i n der
oberen Halbebene des Blattes n = 1 und der unteren des
Blattes n = 0 enthalten ist uiid daB clie Bliitter n = 0 bzw.
n = - 1 den Funktionen UKweh, bzw. u*phys:
entsprechen.
Wir bemerken noch anhangsweise, d a 8 die durch (7) und (8)
gogebene doppelte Darstellbarkeit der Funktion u der zweifachen
Moglichkeit entspricht, durch eine durch B hindurchgelegte
(entweder wie F ganz im Endlichen gelegene oder, wie S, auch
ins Unendliche verlaufende) Verzweigungsflache aus dem R i emannschen Raume R , eiii schlichtes Blatt abxusondern.
$ 4 . Verhalten der Ki r c h h o f f echen Losung a m schwaraen Schirme.
Beugung am vollkommen blanken Elohirme.
Physikalisch bemerkenswert ist die Tatsache, d a 5 in
th,,hYs, a n der beleuchteten Seite des Schirnies 8 kein Term
auftritt, der als reflektiertes Licht zu deuten wiire. Der K i r c h hoffsche Schirm ist also tatsachlich schwarz.
Die uberlegungen des vorigen Paragraphen haben aber
auch die analytischen Eigenschaften festgestellt, die einem
schwarzen Schirme bei der K i r c h h o f f schen Behandlungsweise der Beugungserscheinungen zuerteilt werden : q,hrs.
_ . er~~
eike
leiciet i n dein Schirme S einen Sprung urn
oder, allgemein
gesprochen, um die Lichterregung, clip auc'h bei Abwesenheit
drs Schirnies vorhanden wiire.
Es bedarf aber wohl kaum eines besonderen Hinweises,
dal3 diesem analytischen Verhalten, das hier den K i r c h h o f f schen schwarzen Schirm charakterisiert, physikalisch keine
irgendwie ausgezeichnete Bedeutung zukommt. Wie dies besonders V o i g t l ) und S o m m e r f e l d 2 ) hervorgehoben haben, ist
allen schwarzen Schirinen nur das eine Merkinal gemeinsam, daB
1) W. Vo i g t, Compendium
Leipzig 1895. p. 768.
2) 8.11. p. 13.
der
theoretisohcn Physik. Bd. 11.
A . Rubinowicz.
268
der Energiestroni a n der Oberfliiche des schwarzen Schirnies
stets nach innen gerichtet ist. I n der Mannigfaltigkeit der
durch diese Forderung festgelegten schwarzen Schirme ist der
Kirchhoffsche nur dadurch ausgezeichnet, da13 die Losung des
ihm entsprechenden Beugungsproblenies uninittelbar durch das
Kirchhoffsche Integral (2) anzugeben ist.
I n Kurze wollen wir noch auf die Frage eingehen, inwieweit
das K i r c h h o f f sche Verfahren die Beugung a n einem vollkommen blanken Schirme approximieren kann. Wir setzen
im folgenden S und F als eben voraus und benutzen, wie dies
S o m m e r f e l d i n seiner Vorlesung tut, in dem K i r c h h o f f eikr
schen Integral (2) statt
Halbraum, nsmlich
7die Greensche Funktion fur den
eikr
(9)
eikr'
f
~
r
r'
.
+
bedeutet dabei den den1 T , d . h. Pdf analogen Abstand des a n S 5espiegelten Aufpunktes P (er heiBe P'),
r'
__f
h. P'df. Die Verwendung der Greenschen Funktion
sichert uns dabei schon von vornhrrein den Vorteil, dal3 wir
das Verhalten von u bei einer von der Schattenseite her a n F
und S erfolgenden Annaherung vollstandig uberblicken konnen
Es wird fur den Fa& daB wir in (9) tlas obere (untere) Zeichen
d.
au
eike
nehmen
bzw. (u) in F gleich ~, wahrend es, was besonders
e
wichtig ist, in S ierschwindet.
Auf demselbec Wege, der zur Herleitung von (5) diente,
erhtilt man jetzt, und zwai' wieder zunachst nur an der
beschatteten Seite von X, ziir Brschieibung des Beugungsvorganges die Fun ktion
(10)
UX
+
1.B Zk UB'
7
wobei uE und u, hier ihrr fruhrre Bedeutung haben und uBl
clem Werte der Funktion uB in dem Punkte P' entspricht.
Wird also (10) auf die beleuchtete Seite von S uber F hinaus
regular fortgesetzt (vgl. die zweidimensional schematisierte
Fig. 4), so erleidet uBr i n der (lurch Spiegelung a n S aus der
Schattengrenze K hervorgehenden Flache K ' einen Sprung,
der offenbar behoben wmdrn kann, falls man zu (10) eine
Die Beugungswelle in
der Kirchhoff schen Theorie usw.
269
Funktion T uR (,,reflektiertes u'') hinaufugt, die i n dem von
K und S eingeschlossenen (in der Fig. schraffierten) Raume gleich
,i ke'
F 7,
sonst aberuberallgleich Nullist. e'ist dabeidieEntfernung
P
des Aufpunktes P von der a n Sgespiegelten Lichtquelle Letwa L'.
Auf diese Weise erhiilt man die bis auf L und S nunmehr i n
dem ganzen physikalischen Raume regultire Losung der Schwingungsgleichung
+
= U E + U B Zk (- Ul? UB')
(11)
die a n der beleuchteten Seite von S eine reflektierte Welle zc,
enthal t.
K
' K
Fig. 4.
Wie bereits fruher hervorgehoben wurde und wie man
jetat aus (11) auch direkt ersieht (vgl. Fig. 4), erfullt u an
der Schattenseite von S, je nach dem Voraeichen in (S), die
Rand bedingung
-aa=uno
oder u = o .
Gleichzeitig erkennt man aber, daB a n der beleuchteten Seite
von S keine dieser beiden Randbedingungen befriedigt wird.
Denn wird a . B. i n (9) das obere Vorzeiohen vorausgesetzt,
SO erfullen zwar hier die beiden Beugungswellen ~ ~ 3 . die
u ~ '
Rand bedingung
die einfallende und die reflektierte Welle u, - u, geniigen
aber eusanlmengenommen jetzt der Randbedingung u = 0.
Wir konnen somit sagen: In dem jetzt betrachteten Falle ist
270
A . Rubinowicz.
der Schirni S zwar im beiden Seiten reflektierend, aber doch
nur an der beschatteten Seite im Sinne der Randbedingungen
621
u=o,-=o
an
voll born men blank.
9
5.
Ausetrahlungsbedingung.
Eindeutigkeit.
Man kann sich auch noch leicht uberzeugen, daB die
Funktion u in ihren durch ein endliches ?Z bestimmten Zweigen
und daher auch speziell der u n ~interessierende zweig ?.hphy@.im
Unendlichen verschwirdcn uncl der Sommerf eldschen ALISstrahlungsbedingung I)
geniigen. Pliysikelisch bedeutet dies nichts anderes, als daB
?.h und Uphys. aus ]aukel" ins b e n d l i e h e divergierenden Wellen
bestehen. Des Erfulltsein von (12) ergibt sich einfach aus der
Derhtellung (8) fur dip Funktion u ; denn das Bestehen clieser
eike
Relation fur UKireh. [in der Darstellung (2)] und __ is& j a une
mittelbar klar.
Die oben angegcbenen Eigenschaften der Losung Uphys.
clps K i r c h h o f f s c h e n Beugungsproblenles hier nochmals zusamrvienfassend, kon aen wir also behaupten :
Die Funktion uphys.wird durch eine, mit Ausnahnie der
Lichtquelle L und des Schirmes S im Endlichen uberall
stcbtigc und cinnzal ,;tetig differentierbare Losung der Schwink2 u = 0 gcgeben, die sich in L wie
gungsgleichung A u
+
e ik@
- verhalt, in S cndlich bleibt, aber den Sprung
p
e
erg
4
e
feiciet und in1 Unendlichen d er Ausstrahlungs bedingung genu@.
Durch iliese E:genschaften ist dip Funktion Upby& eindcutig bestimnit. Die Differcnz U zweier den obigen Bedingurigen entsprcchenden Funktionen ?.hphy& ist ja im schlichten
Ranme ubcrall eindeutig und stetig und geniigt im Unendlichen der Ausstrahlungsbedingung. U ist ferner, mit eventueller Ausnahme di3r beugenden Kanten B, uberall einnial
~
_
-
_
_
1) A. Sommerfelcl, Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver. 21. p. 309.
1912. Vgl. insbesondere p. 331.
-&e
Beugungswelle in der Kirchhoffschen Theorie ww.
stetig differentierbar.
das Integral
271
Es 1aBt sich mithin U nach (1) durch
darstellen, wobei die Integration uber eine den beugenden
Rand B umscblieBende Rohre zu erstrecken ist. Nach (1)
miiBte eigentlich hier noch ein uber eine unendlich ferne FlBche
erstrecktes Flhchenintegral dazu kommen, das aber wegen
der Ausstrahlungsbedingung verschwindet. Lassen wir nun
den Radius der den beugenden Rand B umschlieBenden Rohre
abnehmen, so verschwindet U ,wie man dies etwa nach einem
von S o m m e r f eld ') bei raumlichen Potentialen angewandten
Verfahren wigen kann. Damit ist aber die Eindeutigkeit der
Losung
schon erwiesen,
9
6.
Die Kirchhoffsche L6sung des Beugungsproblemes fGr eine
unendliche Halbebene.
Es soll nun die K i r c h h o f f s c h e Losung des Beugungsproblemes fiir eine unendliche Halbebene mit Hilfe des in 9 2
angegebenen Elementargesetzes in eine Form gebracht werden,
die in ihrem Aufbau mit den Sommerfeldschen Losungen
fiir den schwarzen Schirm sehr nahe verwandt ist und sich
daher fur den Vergleich der beiden Theorien besonders gut
eignet.
Das Ziel der folgenden Uberlegungen sind dann vor allern
zwei Resultate: Das erste ist die Erkenntnis, da13 die ,,Familienahnlichkeit" dcr K i r c h h o f f schen und So m m e r f e l d schen
Funktionen in einfachster Weise die Tatsache erklart, daB
die bciden Bcugungstheorien fur nicht zu groBe Beugungswinkel (wo allein cine exakte Beobachtung moglich ist) praktisch die gleiche Intensitatsverteilung liefern. Als zweites
Ergebnis w i d uns die Annahme plausibel werden, daB die
S o m m e r f eldsche Beugungswelle durch Interferenz von, den
Kugelwellen (6) ganz ahnlich gebauten, elementaren Beugungswellen entsteht.
I n diesem Abschnitt soll nun eine neueFormder K i r c h h o f f schen Losung fur eine Halbebene hergeleitet werden. T , y , x sei
1 ) A. S o m m e r f e l d , R o c . of the London Math. Soo. Vol. XXVIII,
p. 395. 1897.
A . Ru&nowkz.
27 2
ein System von Zylinderkoordinaten. Die beugende Halbebene S
moge durch die Gleichung p1 = 0 gegeben sein, so dab die beugende Kante mit der z-Achse des Ko"g+ fi
,,A (ro,%, 20)
ordinetensystems zusommenfallt. Die
Lichtquelle L und der Aufpunkt P
V o sollen durch die Koordinaten r o , q0,
zo bew. r , p1, z festgelegt sein und die
z-Koordinate fur die Punkte der beugenden Kante init s beeeichnet werden
Fig. 5.
(vgl. Fig. 5 ) .
Es ist dann:
ea2= (s - zo>2 r O 2 ,
k+
+
r,2
= (s
- z)2 + r 2 ,
sin (pa, a s )
=
To
-
.
@a
Da ferner die Projektionen von rS uiid T auf die Norniole
der durch die beugende Kanttr untl L hindurchgehenden Ebene
Q, = cp0
z (Schattengrenze K ) einantler gleich sincl, namlich
gleich den1 Abstande des Punktes P von tlieser Ebene, so ist:
+
coil
9, - n)
(r,,n) = r sin (9 - --.
SchlieBlich erhiilt man (init' Benutzung des cos-Satzrs) :
+
LP2 = roa $- r2
(2 - z o ) 2 - 2 T To cos
= ra2
es2 - 2 rSeScos (rS,ps)
+
d . h.
COB (r,, 4,) =:
---
ss
(s
- s (x,, + 2) +
- %)(S
2
x,
+ r r,
Q.
x,)
rr, COS(9
r. p,
- +
COB
(p1
- To)
(9- 9,)
.9.
- Po)
Fiihren wir nun durch die Gleichung
(rs
+
= T~
+ r02 + (z -
zo)2
+ 2 r ro cos i a
an Stelle von s eine neue Integrationsvariable a ein und beachten dabei, daB clann
*in i a = i (8 2) 4. k ( s - zo) 9-a
-
r ro
wird, so liil3t sich ( 5 ) fur den Fall der Beugung an einer Halbebene umformen in
D i e Beugungswelb in iler Kirchhof f schen Theorie usw.
worin R
= rs
§ 7.
273
__ _ ~ _ _
+ po = 1(z - zo)2 + 1'2 + ro2 + 2 t r0cos i a .
+
Das Somrnerfeldsche Beugungagroblem.
Wir wollen nun an die fur unsere Schlusse wichtigen
Resultate der Sommerfeldschen Beugungstheorie l) erinnern.
Das allgemeinste, der Behandlung durch die S o m m e r f e l d schen Methoden zugtingliche Beugungsproblem ist die Beugung des von einer punktformigen Lichtquelle L (mit den
Koordinaten r0, y o , xo) ausgestrahlten Liohtes an einem vollkommen blanken (von den beiden Halbebenen 9 = 0 und
9 = x begrenzten) Keile. Die Sommerfeldsche Losung
wird nach einem Spiegelungsverfahren hergestellt und ist
je nach dem Polarisationszustande des ausgestrahlten Lichtes
(lurch
W = 20 ( r , cp, z ; ro, cpo, 2 0 ; x) f w (r, v, 2 ; rot- cpo, zo; x)
bestimmt. Im folgenden wird uns aber nur die Funktion
w = w (r,91, x; ro, cpo, zo; x) interessieren, die nach Voigt und
>n
S o m m e r f e l d bei beliebigem, nur der Einschrankung
unterworfenen Winkel x die Beugung an einem durch einen
geradlinigen Rand begrenzten schwarzen Schirme beschreibt,
I m niichsten Paragraphen sol1 denn w zum Vergleiche mit
der Funktion %hy#. herangezogen werden.
Die Funktion w wird nun durch die folgenden Eigenschaften festgelegt:
R, sei ein unendlichvielblattriger Riemannscher Raum,
dessen einzige Verzweigungslinie mit der x-Achse unseres
Zylinderkoordinatensystems zusammenfallt, in dem also zwei
Punkte, deren Koordinaten sich nur in den cp-Werten um
2 n Y (v = 0 t 1, f 2, . . .) unterscheiden, als voneinander verschieden anzusehen sind.
Die Funktion w ist dann in R, eindeutig und in ihrer
Abhiingigkeit von cp periodisch mit der Periode 2 x. Sie ist
in R, uberall endlich, bis auf die symmetrisch um die Win-
x
1) Vgl. s. I und s. 11. Eine kuqe allgemeine Ubersicht iiber die
Sommerfeldsche Theorie der Beugung ist auoh in dem Artikel von
P. S. Epstein in der Enzykl. d. math. Wiss. Bd. V,. p. 488 enthalten.
Annalen der Physik. IV. Folge. 63.
1s
.A. Rubinowicz.
874
+
dungsgemde angeor.tlneteii Punkte (yo, vo 2 1' x, zo) ( v = 0,
2 1 , & '3, . . .), WCI die synchron schwingenden Lichtqucllcn L,:
gelegen sind. I n der Windungsgeraden ist zwar die Funktion w
selbst und ihre Ableitungen nach Q, und z, nicht aber ihre
Ableitung nach r endlich. Im Unendlichen geniigt w der
Somnie r f e Id sche:n Ausstrahlungabedingung.
Nach dem Sommerfeldschen
heuristischen Verfahren l) kann
nun w unmittelbar in der Form
P = @-T)z+ra +ros- 2 rr,,coe(cu--$I
" 3 )
J1
-
7
~ K C DQS- 2
Fig. 6.
1 +r
5rpo
2
angesetzt werden. Die Integration ist in der komplexen a-Ebene
auf dem i n der Fig. 6 ersichtlichen Wege ( A ) zu fiihren. Wird
nun ( A ) i n die beiden Geraden
%(a)=vt-n
cleformiert a), so wird mit Riicksicht darauf, daI3 i n der reellen
Achse der a-Ebene i n den Punkten qo 2 Y x einfache Pole
gelegen sind, w in die Gestalt
+
1) s. 11, p. 22.
2) 5. 11, p. 27.
Die Beugmqswel2e in der Kirchhoffschen Tlzeorie usw.
375
iibergefuhrt. $, (9)ist ein Diskontinuitatsfaktor, der nur fur
y-Werte, die der Ungleichung
yo - 7t 2 v x r 97
9 0
7c
2v x
entsprechen, gleich Eins, sonst aber iiberall gleieh Null ist.
Wenn wir noch beachten, dal3
+
1
+
- ,i(a+8)
s
----1
1
- ,r(a-B)
+ +
__ +
e - i a + ,ia - e - i B - ,is
+ 1 = - i COB
s i n-aC 0- 8 @ + I
e-ia
=
,;a
tx
ist, so wird schlieBlich
lz
m
sin -(cp
GJxd
1
efkR
X
st
coa-((cp
X
0
m
,ikR
4
j-7
2xo
- cpo - Z )
n
- (cpo - n) - cos-iia:
X
n
sin-((cp
x
da
+
- 'po -+ n)
-da.
m
coa-((cp-(cp0+n)-coa-ia
X
X
Wir wollen noch kura die Deutung der Bestandteile w,,
wBl und w,, angeben, in die die Funktion w nach ihrer letzten
Darstellung zerfgllt. wE (,,einfallende Welle") stellt die von
den Lichtquellen L,, ausgehenden Lichtwellen im R i e m a n n
schen Raume R, so dar, wie man dies nach der geometrisohen
Optik erwartet, falls man der Veraweigungsgeraden eine
schattengebende Wirkung zuschreibt. Die von einem ins
Auge gefaBten Lichtpunkt L,, (To, rpo 2 v* x , zo) ausgestrahlte
Welle
pR,*
-
+
wird nlimlich an der Windungsgeraden sozusagen aufgeschlitzt
(rp)) an
und erleidet (wegen des Disliontinuitiitsfaktors
den ,,Schattengrenzen I'
r p = c p O - z + 2 ~ * ~und c p = c p o + n + 2 v * ~
einen Sprung von
,i k Rye
Rv*
auf Null. Die Unstetigkeiten der ganzen Funktion wE liegen
demnach in den beiden Ebenenfiicbern (,,Schattengrenzen")
18'
A . Rubinowi~z.
276
a) sp = qpo
b) 9 = qDo
-a +2vx
+ !z + 2 v x
,...
(v = 0, 41, I
2-).
Von den beiden Integralen (,,Beugungswellen") wB,,und
wB, ist wB, im gannien Raume R, bis auf die Schattengrenzen
(14b) stetig und erleidet hier einen Sprung, der die an diesen
Stellen liegenden IJnstetigkeiten von w B gerade kompensiert.
Analog ist wB, den Schattengrenzen (14a) zugeordnet.
8.
Vergleioh der beiden Beugungetheorien. Die elementere
Beugungawslle fur die Sommerfeldache LBeung.
Die Analogie zwischen u (18) und der Funktion w fur den
Fall der Beugung suneiner schwarzen Halbebene ist nun sofort
einzusehen. Der erste in (13) auftretende Term uz entspricht
der unendlichen Summe w,, und der zweite Term u, wird
mit wB,identisch, ftalls wir hier x = x setzen. Es fehlt dagegen
in u ein zu wB,andoges Integral.
Wir wollen nun zusehen, wie sich schon auf Grund dep
jetzt auseinandergesetzten Verwandtschaft von u nnd w die
Tatsache ergibt, daB die beiden Funktionen fur nicht zu groBe
Abstiinde von der Schattengrenze die gleichen Beugungserscheinungen darstellen. Die Theorie der Funktion w zeigt
zunachs t :
I. daB die Wellen wB, bzw. wCxnur in kleinen Winkelabstgnden von den ihnen zugehorenden Schattengrenzen (14b I
bzw. (14a) eine mit der einfallenden Welle vergleichbihre Ampiitude haben und daB jede dieser beiden Funktionen in
einem groBeren Winkelabstande von der ihr entsprechenden
Schattengrenze bei einer Auswertung von w vollstiindig zu
vernachliissigen ist ;
11. daB wB, und w,, in der Niihe ihrer Schattengrenzen
yon dem Werte des Winkels x praktisch nicht abhiingen.
Aus I. und 11:. folgt nun sofort, daB die Funktionen w
stets die gleichen Beugungserscheinungen beschreiben, wenn
nur die beiden Schattengrenzen (l4a) und (14b) nicht allzunahe aneinander liegen und daB dies auch noch in einem
solchen singuliiren Falle gilt, falls wir nur das der einen dieser
beiden Schattengrenzen zugeordnete w,, (v = 1 , 2) und den
entsprechenden Term in w, streichen. Nun ist es aber klar, daS u
nichts anderes ist als eine auf die oben angedeutete Weise fur
Die Beugungswelle in der Kirchhoffsehen Theorie usw.
277
den singuliiren Fsll x = z konstruierte Funktion w und niithin
dieselben Beugungserscheinungen darstellen mu13 wie w i n
einem nichtsingularen Falle. Es mag noch daran erinnert
werden, wie sich w beim Zusammenfallen der beiden Schattengrenzen verhiilt. I n einem jeden solchen singuliiren Falle gibt
es offenbar ein ganzzahliges p , so daB rvgl. (14a) und (14b)l
@Po
- n S - 2 (v + P ) x) - (910
(v = 0,
od er
+ + 2v x)
2E
f 1, f 2,
. . .)
=
2 (P
x- 4 = 0
x = -z
P
wird. Die beiden Integrale we,und wB,werden dann bis auf
das Vorzeichen einander gleich und tilgen sich in w gegenseitig. Dies beaagt aber, daB in einem durch
bestimmten Winkelspiegel keine Beugungserscheinungen zu
beobachten sind.
Wir wollen noch darauf hinweisen, daB wir die Funktion u
auch ohne jede Rechnung hiitten herstellen konnen. I n Q 5
haben wir j a die Eigenschaften angegeben, die u vollstiindig
eindeutig bestimmen, und durch Betrachtung der Struktur
der Funktioil w hatten wir dann aus ihren Bestandteilen unmittelbar eine diesem Eindeutigkeitssatze entsprechende Funktion u angeben konnen.
Zum Schlusse wollen wir noch die Frage nach dem Elementargesetze der S o m m e r f eld schen Beugungswellen wB1
und wB, streifen. Indeni wir in wB, und wB,durch die in 0 6
benutzte Substitution in rntsprechender Weise s t a t t a die
Integrationsvariable s einfiihren, erhalten wir ein Elementargesetz, das fur den Sonderfall x = n mit dem von uns als
Y o u n g sches bezeichneten ubereinstimnit. Offenbar kommt
aber diesem iibrigens ziemlich kompliziert gebauten Elementargesetze, auBer fur den gersde betrachteten Keil, keine weitere
Bedeutung zu. Selbst fur x = 222, d. h. im Falle der Halbebene l&Bt sich dieses Elementargesetz zur synthetischen Losung neuer Beugungsprobleme nicht unniittelbar verwenden.
Die Ursache dafur besteht darin, daB bei exakter Behandlung
im Sommerfeldschen Sinne nicht mehr der Sprung von u
bzw. aulan am Schirme in Betracht gezogen wird, sondern die
Losung u selbst (bzw. au/ an) hier ganz bestiminte Bedingungen
278 ,4.Rubimwicx. Bezlgungswellein derKirchhoff schen Theorie usw.
7~
=0
oder
a 26 = 0)
dn
zu erfiillen hat. Die dadurch verursachte Schwierigkeit kann
man sich am einiachsten im zweidimensionalen Falle klar
machen, wo sie im wesentlichen bereits vorhanden ist, wenn
man etwa aus den einfallenden, reflektierten und den (der
Losung fur die Halbebene entsprechenden) Sommerfeldschen
B~ugungswellen das Beugungsproblem fur pinen Spalt odei.
5,
B,
B_,
Fig. 7a.
s,
U,*
Bf S* 6: U
;
Fig. 7 b.
einen beugenden Eltreifen losen will. Ini Falle des Spaltrs
(Fig. 7a) wird d a m durch die von der beugenden Kante B ,
(B,) ausgehende Ileugungswelle die Randbedingung an dein
Schirnie S, (S,) nicht erfullt, wahrend im Falle des Streifens
(Fig. 7b) die von der beugenden Kante Bl* (B,*) ausgeheiidr
Welle zwar die Randbedingung an dein Schirme S* befriedigt.
in der Geraden BE*U,* (B,* Ul*) hingegen sich unzuliissigeiweise unstetig verhalt.
M u n c h e n , Inqt. f . theoret. Physik, im Juli 1917.
(Eincegmgen 28. Juli 1917.f
A'achschrift bei der. Kowektur.
Die ZLI Anfang des Q 4 erwiihnte Tatsache, claB Uphya.. in
dem Schirme S eirien Sprung um den Wert der Lichterregung
erleidet, die hier bei Abwesenheit des Schirmes S vorhanden
wgre, l&Btsich folgendermal3en einfach eischliel3en : Die die Lichterregung dai~stellencleFunktion ist naoh (1) gleich dem uber die
ganse Flache rf -t S erstreckten Kirchhoffschen Integrale;
Uphya., ist mithin gleich der, die Lichterregung darstellender~
Funktion vermindert urn das uber S erstreckte Kirchhoffsche
Integral; und dies ist eine Darstellung von Uphys., die im ganzen
Definitionsbereiche dieses Zweiges der Funktion u gilt. Da nun
das uber die Flache S erstreckte Integral in S den erwiihnten
Sprung erleidet - eine Folgerung der zu Anfang des 0 1 angefuhrten SiGtze - wiihrend die die Lichterregung darstellende
Funktion in S regular bleibt, ist die obige Behauptung a d diese
Weise wohl einfach erwiesen.
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