close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Die Bewegung elektromagnetischer Wellen in einem kegelfrmigen Horn.

код для вставкиСкачать
ANNALEN D E R PHYSIK
5.FOLGE
BANI) 37
HEFT3
FEBRUAR 1940
D i e Bewegun y eZeX.trornaglzct!iecI,er Wellen
en e i n e m keyelformipzn H o r n * )
Von H e r B e r t
Ru c A A o I x
(Mitteilung aus dem Zentrallaboratorium fur Fernmeldewesen der AEG)
(Mit 15 Abbildungen)
Zueammenfassung
Die Arbeit beschliftigt sich mit der Ausbreitung elektromagnetischer
Wellen von einer Strahlungsquelle aus, die im Innern eines nnendlich langen
Holilkegela mit vollkommen leitenden Mantelfllichen angeordnet ist. Grundsiitzlich werden nur solche Strahler beriicksichtigt, die axialsymmetrische
Wellen erzeugen. Davon gibt es zmei Typen: Die elektrische und die magnetische Transversslwelle. Im Teil I der Arheit wird die fur beide Fiille geeigneteste mathematische Darstellung des primiiren H e r t z s c h e n Vektors s b geleitet.
Der Teil I1 behandelt den Vorgang der Ausbreitung bei der elektrischen
Transversalwelle. D m gesamte Wellenfeld im Kegel zerfBllt danach in eine
unendliche Xahl von Teilfeldern, von denen jedes fur sich einem moglichen
Ausbreitungsvorgang entppricht. Der Grad der Kugelfunktion und die Ordnung
der Zylinderfunktion, die bei jeder Teilwelle die ortliche Ausbreitung beherrschen, entsprechen den unendlich vielen Wurzeln der Gleichung P,: (COB a) = 0
in bezug auf 1 1 . Die Amplitude jeder Teilwelle nimmt voxn Sender aus
zuuiichst ziemlich langs~amab, daranf folgt beim Durrhgang von r k durch
deu Wert I I + 0,.5 ein Eereich sehr schneller Abnahnie und 111 noch grof3eren
Abstbhden geht schlieBlich das Absinken der Amplitude wie bei einer freien
Rsumwelle vor sich. Die Phasengeschwindigkeit der Welle nahert sich mit
wachsender Entfermng der Lichtgeschwindigkeit, und zwar von grofleren
Werten her. Die rtidiale liiipedanz ist in der Nahzone vorwiegend Indnktiv,
schwenkt dann sehr rasch zu reellen Werten urn und niihert sich in der
Wellenzone dem reellen Widerstand 120 n/Ohm. Der Strom an Blindenergie
ist in der Niihe des Genders bedeutend, in der Welleuzone gegenuber dem Flu8
an Wirkenergie sehr klein. Schliefllich werden noch die Eigenschwingungen
eines durch cine Kugelkappe begrenzten Kegels untersucht.
Der Teil 111 befaBt sich mit der magnetischen Transversalwelle. Zuniichst
werden alle dem elektrischen Fall entsprechenden Formeln aufgestellt. F u r
die Teilwellen sind higr die Wurzeln der Gleichung P,, (COB a ) = 0 maflgebend.
Qualitative Unterschiede im Verhalten beider Wellentypen treten nicht auf.
~~~~
*) Der physikalische Teil dieser Arbeit war vorgesehen als Vortrag auf
der im September geplanten internationalen Physikertagung in Zurich.
lnnalca der Phlsik 5. Folge. 3;.
13
Aiznuleia der Physik. 2. Folge. Rand 37. 1940
174
Daruber hinaus wird fur die magnetische Transversalwelle aucli die Ausbreitung im Doppelkegel behandelt und die Art der Eigenschwingungen u n t w
sucht, deren e r bei AbschluH durch eine Kugelkappe fahig ist. SchlieWlich
wird noch eine Beziehung fur den primtiren Hertzscheri \'ektor*nufgestellt,
weun die im Icegel sich ausbreitende Welle einer koaxialen Leitung entstaoinit,
die i n die Spitze des liegels einmiindet.
Im Anhang werden die zahlreichen Fornieln aus der Theorie der Kugelfunktionen, die in der Arbeit benotigt werden. im Zusammenhsng hergeleitet.
Liste d e r v e r w e n d e t e n F o r m e l s e i c h e n
exp ( - i w 2) daa Zeitgesetz der Schwingungen mit i =
)'I?,
g(') = - i o E die elektrodynamische Leitfiihigkeit des Yediums gegenaber
1
cinem elektrischen Strom in S/cm mit E =
lo-" F / c m
Yti n
.
~
fur das Vakuum,
go") = i w p die elektrodynamische Leitftihigkeit des Mediums gegeniiber
k2 = g(')
.
einem magnetischen Strom in Ohm/cm mit p =
fur das Vaknum,
g("') die Wellenzahl des Mediums in cm-?,
472. lo-"
H,'cm
2n
1 = __ die Wellenliinge im freien Raum in Zentimeter,
k
- 1
c =
(&;I)
I) : (
die Liclltgeschwindigkeit im Medium in cm/s,
3 die radiale Impedanz der elektromagnetiechen Welle in Ohm,
* der \\'ellenwiderstand
der freien Raumn~ellein Ohm,
E, 8 die elektrische und magnetische Feldstsrke in Vicm und A tin,
$3, D der H e r t z s c h e Vektor fur die elektrische oder maguetische
Transversalwelle.
(? der P o y n t i n g s c h e Energiestrom in W ,
r , 8, 'p; r', a', cp' die Polarkoordinsten des Aufpunktes oder Quellpunktes,
p' der Radius des ringfijrmigen Senders in Zentimeter,
2 IK der gesamte ijffnungswinkel des Kegels,
2;: der gesamte Gffnungswinkel des inneren Kegels,
3 der Strom in A in einem aus elektrischeu Dipolen ziissmmengesetzten Sender,
ll die Spannung in Volt bei einem aua magnetischen Dipoleu
zusammengesetzten Sender,
a, b die Radien der beidcn Iiugelflgchen, die den Kegel an der
Spitze oder an dein Lreiteren Ende begrenzen, in Zentimeter.
I. Allgemeines
1. Die Voraussetzungen der Aujpbc. Die Beaegung elektroniagnetischer Wellen durch hohle Leiter verinderlichen Querschnitts,
wie sie metallische Trichter oder Home darstellen, nimmt in jiingster
Zeit die Aufmerksamkeit der Physiker in weitem MaBe in Anspruch.
ermartet man doch wie in der Skustik von ihrer Verwendung eine
H . Buchholz. Die Bewegung elelttromagitetischer Wellen usw. 1i s
Terbesserte Richtwirkung bei der Abstrahlung von Hohlleiterwellen in
deu freien Raum. Der EinfluB solcher Trichter auf die Ausbreitung der
Wellen ist bisher allein f u r Horne ron Sektorform [5,6,7] untersucht
worden, die im AnschluB ail Hohlleiter von rechteckigem Querschnitt
von Bedeutung sind. Die betrefienden Forscher haben dabei T o r
allem die verschiedenen Typen fortschreitender Wellen ermittelt, die
in derartigen Hornern auftreten konnen. Sie haben aber nicht deu
EinfluB der Erzeugung und der Zunahme des Hornquerschnitts auf
die Amplituden der Teilwellen festgestellt.
I n der vorliegenden Untersuchung wird die Bewegung elektroniagnetischer Wellen in einem kegelformigen Horn behandelt. Diese
Art Horne kommen hauptsachlich im -4nschluB an Leitungeu von kreisf'ijrniigem Querschnitt oder als selbstandige Strahler in Betracht, und
sie sind daher neben dem Paraboloidhorn von griiBter Bedeutung.
Daher werclen wir unser Augenmerk auch auf deu EinfluS der Erregung der Wellen richten, um so gleichzeitig einen quantitativen
Einblick in die Zusammensetzung der Strahlung aus Wellen verschiedener Ordnung zu bekornmen. Damit sich die Untersuchungen
nicht zu umfangreich gestalten, werden wir uns im Rahmen dieser
Arbeit von vornherein auf solche Sender beschranken, die ein axialsymmetrisches Feld erzeugen. Zwar wiirde der von uns eingeschlagene
Losungsweg auch eine beliebige Erregung zu behandeln gestatten.
D a wir aber auch mit der angegebenen Beschrankung bereits die
meisten der praktisch bedeutsamen Arten der Strahlungserzeugung
erfassen, so diirfte die Betrachtung des einfacheren axialsymmetrischen
Feldes vorerst gcnugen.
I n diesem Sinne werden wir durchweg die Annahme machen,
daB die elektromagnetische Strahlung von einem zur Kegelachse
gleichachsigeu Ringsender ausgeht, der entweder aus gleichphasig
schwingenden elektrischen oder magnetischen Dipolen besteht. Es
versteht sich von selbst, daB diese Art der Strahlungsanregung die
vou seiten eines einzelnen magnetischen oder elektrischen Dipols,
der direkt in der Achse des Kegels liegt, als Sonderfall enthalt. Am
SchluB der Arbeit werden wir auch noch auf den Fall eiugehen, daB
das Feld im Horn seine Entstehung der Hauptwelle einer koaxialen
Leitung verdaukt, die in die Spitze des Kegels- einmundet. Von
iler W'andung des Trichters nehmen wir an, daB sie aus einem
rollkommenen Leiter besteht. Ebenso so11 das Dielektrikum ini
Kegel verlustfrei sein.
2. Die grundlegsnden Beziehungen f iir die Slrakluiigsanreguiig
iin Kegelhorn. Um an Raum zu sparen, werden wir die Uberlegungen, die uns zii der geeigneten mathematischen Beziehung f u r
13"
176
Annalen dcr Pliysik. 5. Folge. Band 37. 1 9 4
die Anregung der Strahlung durch einen ring formigen Sender
fiihren, nur an dem Fall des stromdurchflossenen Kreisringes Busfiihrlicher darlegen.
Der Beitrag, den das an der Stelle (r’, 6‘,0) liegende Stromelement p‘. drp’ zum gesamten Hertzschen Vektor des Dipolringes r’, 8‘ im Aufpunkt (r, 8, 0) liefert, ist bekanntlich bei einem
Zeitgesetz exp (- i w t ) der GroBe nach durch die Formel gegeben:
Abb. 1. Bildliche Erliiuterung der geometrischen Zeichen
Hierin bedeutet R gemal3 G1. (2,l) den Abstand zwischen den
Punkten (r’, I”, 0) und (r, 8, 0) und 3 den Strom im Ring mit dem
Radius 0’ = r’ sin 6’.Die Richtung des Vektors entspricht der
Eichtung wnchsender Werte von y
(2.1)
R2=rz+r’2-2rr‘cos@
f u r den Wert q = 0. Der Beitrag zum Hertzschen Vektor im Auf~
Strornkreiselement im Punkte (r’,a’, rp’)
punkt A (r, 7 9 , 0), der F O dem
des Senders herruhrt, ist seiner GrijBe nach gleichfalls durch den
gegeben, wenn R dabei den Abstand der
obigen Ausdruck fiir
Funkte (r‘, W , y’) und ( r , 19:0) bezeichnet. Seine Richtung ist
parallel zu der Eichtung wachsender Werte ron v‘ im Quellpunkt (r’, I!+’, rp‘). Dann ist gem31B Abb. 1 diejenige Komponente
.
H . Buchholz. Die Bewegung elektromapetischr Wellen usw. 177
dieses diflerentiellen Vektors, die im Aufpnnkte selbst mit dem
Azimut cp = 0 die Richtung wachsender Werte von y hat, gleich
JQv . cos y'. Die dazu senkrechte Komponente von SSpv lassen wir
rorlaufig auger Betracht. Der gesanite H e r t z s c h e Vektor, der in1
-4ufpunkt r , 8, cp = 0 in Hichtung wachsender Werte von y zeigt
und der Erregung durch den ganzen Kreisring entspricht, wird
dernnach durch die Gleichung beschrieben :
3n
,i k R
R
471
0
Die .im Aufpunkt ( r , LY, 0) in Richtung zunehmender Werte von z
fallende Komponente des H e r t x schen Vektors, die wir bisher beiI
Abb. 2. Der Integrstioneweg 6 der komplexeu Integrale in der e-Ebene
seite gelassen haben, ist nach dem Ersatz von cos y' durch - sin cp'
ebenfalls durch (2,2) gegeben. Sie fallt spaterhin fort.
In bezug auf das Polarkoordinatensystem von Abb. 1 ist nun
bekanntlich der in (2,2) auftretende Faktor . exp (i R' durch die
Reihe (2,3) darstellbar. Sie konvergiert in der angeschriebenen
do
,i k R
(3,3)
%-
=
i k . Y ( 2 n + l).~~l)(kr).Wn(kr').P,(cos
0) (r
91 E
> r')
0
Form absolut, solange r > r' ist. Fur r < r' braucht nur in (2,YI
r mit r' vertsuscht zu werden. Die Reihe (2,3) verwandeln wir in
bekannter Weise [9] in ein Umlaufsintegral, das langs des in Abb. 2
eingezeichneten Weges B zu nehmen ist. Dieses Integral ist gleichfalls absolut konvergent, wie man ohne Schwierigkeit mittels der
178
Annnlen der Physik. 5 . Folge. Hand 37. 1940
G1. (26a) des Anhangs und des asymptotischen Ausdrucks (2.41
erkennt.
Wir gehen danach mit (2,3a) in die G1. (2,4) ein u n d vertauschen
die Reihenfolge der beiden Integrationen. Diese Operation ist wegen
der absoluten Konvergenz des Integrals (2,3a) erlaubt. Die Integration iiber 9' la8t sich dann nach G1. (2,4) des Anhangs sofort ausfiihren. F u r die hier vorgesehene Nrregung des elektroniagnetischen
Feldes durch einen ekktrischen Stromring vom Radius 9' = r' .sin EY'
ist, demnach der primare H e r t z sche Vektor dnrch die Beziehung
gegeben :
ku'. d
S z ( r , 8 , 0 )= - ___
?
I
2
GemaB ihrer Herleitung ist die Giiltigkeit der G1. (2,5) a n die Voraussetzung gebundeii, da8 r > r' und 3 > 8' ist. Besteht etwa die
cntgegengesetzte Vornussetzung, so hat man in (2,5) die Zeichen
niit 711 und 8 mit 9.' zu vertauschen.
,4uf genau die gleiche Weise ergibt sich, dab bei einer Erregung des Feldes durch einen magnetischen Stromring, dessen
Starke durch die in einer einzelnen Kindung erzeugten Spannung --U
beschrieben werden inag, der zugehijrige primare H e r t z sche Vektor
durch die G1. (2,6) dargestellt werden kann.
<
Hinsichtlich der Giiltigkeit von G1. (3,6)gelten die gleichen Benierknngen wie im AnschluB an G1.(2,5).
Die G1. (2,5) und (2.6) enthalten als besondere FBlle die Erregung des Feldes durch einen einzelnen magnetischen oder elektrischen Dipol, der in der Achse des Kegels liegt. I n der Tat
denkt man sich den stromdurchflossenen Kreisriug kleiner und
kleiner werden, so mu6 er in der Grenze, wenn dabei gleichzeitig
der Strom in einer bestimmten Ordnung iiber alle Grenzen wachst,
seiner auSeren Wirkung nach einem magnetischen Dipol entsprechen,
und umgekehrt gilt das Gleiche. Den quantitativen Zusammenhmg
H . Buchhole. Die Bewegung eleklromagnetiscker Wellen usw. 174
sl
zwischen
!)' und den1 Moment des entstehenden axialen magnetischen Dipols findet man am bequemsten durch einen unrnittelbareii
Vergleich der f u r Ev oder QT geltenden Ausdriicke. F u r den tfbergang vom elektrischen Stromring zum magnetkchen Dipol ist dieser
Zusammenhang durch G1. (2,T) gegeben, und fur den Ubergang vom
niagnetischen Stroinring
- u,
(Xi)
3'2
.
= g ( m ) lini (z p'
~ 3 )
zum elektrischen Dipol beschreibt ihn die G1. (2,8). Mittels dieser
.
(2,s)
\
~~.dz=-g~e).lim(n~'~.U)
beiden Gleichungen lassen sich aus den Beziehungen (2,5) und $46)
ohne Schwierigkeiten auch die Ausdriicke f u r die beiden primaren
H e r t z schen Vektoren angeben, die einer Erreguug des Feldes durch
e i w n einzelnen axialen Dipol elektrischer oder magnetischer Art
0 geht und
entsprechen. Da namlich mit 0' -+ 0 auch 6'--f
nach G1. (3) des Anhangs in diesem Fall P- (COB 8') in 9 ' / 2 ubera-
geht, so hat man nur notig. z. B. in (2,5)
-
2
3 0' -
(cos 9.') durch
8-
-
-
2
B z (2 zr'g(*"l)-l zu ersetzen. Demnach IgBt sich das primare
elektromagnetische Feld eines in1 Abstand r' von der Kegelspitze
gelegenen axialen magnetischen Oipols von dem Moment u, d z
durch den folgeiiden H e r t z schcu Vektor p:' beschreiben :
11,
-
Ebenso besteht f u r den primaren Hertzschen Vektor eines axial
angeordneten elektrischen Dipols vom Moment i, (72 die Beziehung:
-
Nach dem Vorstehenden besitzt der H e r tzsche Vektor, der
hier zur Beschreibung eines axialsymmetrischen elektromaqnetischen
Feldes benutzt worden ist, gleichgiiltig ob die Erregung von elektrischen oder magnetischen Dipolen ausgeht, stets nur eine einzige
150
Annalen der Phljsik. 5. Folge. Bawd 37. 1940
Komponente, nimlich diejenige, die in Riclitung waclisender Werte
von yj zeigt.
( 2 , l l a)
6411b)
(2,12a)
(2,12b)
Q
, = rot 3
Q
=
gcln) *
,
{'$ + k 2- grad tliv 31,
Sj = g f e ) . {Q + 1;-' . grad div Q! ,
Q = rot Q.
GemaS dern aus den beideu Gleichungsgruppen ( 2 , l l ) und (2,12)
hervorgehenden Zusamrnenhang zwischen den Hertz when Vektoreii $'3
oder D einerseits und den FeldgrijBen andererseits leiten sich daraus
fur die Feldkomponenten selbst die folgenden Darstellungen her:
Bei der Erzeugung durch einen elektrischen Kreisstrom ist
(2,MC)
Q, = P'. Q v 1
8 =fip=fi = o
12
(2,13d)
'p
und bei der Erzeugung durch einen magnetiechen Kireisstrom
'
-
(2,144
Qq = pel Qv
(2,144
Qv=Qr=$js=0.
I n dem 8trahlungsfdd eines unl die Kegelachse lronzentrischeu
Ringsenders &us elektrisclien Dipoleu verlaufen also, n i e auch unmittelbar verstandlich ist, die elcktrischeu Kraftlinien iiberall in
koaxialen Ringen, deren Ebenen zu der des Senders parallel sind. Bei
dem Strahlungsfeld eines magnetischen Ringsenders oder eines
axialen elektrischen Dipols gilt das Gleiche von den magnetisohen
Kraftlinien.
Berucksichtigt man bei den G1. (2,13) oder (2,14) die nsch den
Feldgleichungen zwisclien 0: und $jbestehenden Beziehungen, so
stellt man leicht fest, daf3
Elp= ClJ der folgenden Differentinlgleichung geniigen :
V3,?
Diese Gleichung ist keineswegs mit der auf Polarkoordinatea bezogenen Wellengleichung f iir einen ron G, I nnabhkngigen Sltalnr
H . Buchholz. Die Bewcgung elektromagnetischer Wellen usw. 181
iilentisch! wenn sie ihr aucli auBerlich sehr ghnelt. Man kann
jedoch jederzeit von '$ und ;U zu HilfsgroBen iibergehen, die ihrerseits die Wellengleichung selbst befriedigen. Dam braucht man nur
die durch G1. (2,16) angegebene Substitution vorzunehmen, und aus
G1. (2,15) ist dann
(WG)
('$,p,
QJ
(u, u )
= (I, = const .-8 au
sofort ersichtlich, da6 in der Tat u uud v selbst die Wellengleichung (2,l'i) erfiillen. Mit cler Beschreibung des Feldes eines.
elektrischen
Dipols durcli dieHilfsgroOeu oder v sind wir damit, auf die bei Uezugiiahme auf Polarkoordinaten iibliche Darstellung zuriickgekommen.
Geht die Wellenzahl k = w / c --t 0 , so entartet die Wellengleichung (2,17) in die L a p l a c e s c h e Gleichung, und, anstatt das
Feld einer Wellenstrahlung zu beschreibeu, stellen dann die GI. (2,5)
uiid (2,7) nach entsprechender Anderung die gewohnlichen Vektorpotentiale stationarer Felder dar. Diese Anderungeu ergeben sich fur
beide Gleichungen ohne weiteres aus den Grenzubergangen (2!18a, b).
Danach lautet z. B. gema6 (2,5) die Integraldarstellung f u r das
primare Vektorpotential eines von Gleiclistrom durchflossenen Ringes
init r > T' und 9 > 19.'-wie folgt:
I n . ('2,19) kann ohne Gefiihrdung der lionvergenz der Integrationsweg O. in die durch den Punkt - 0,5 geheude Parallde zur iniaginarcn
Achse geiiffnet werden, was vordeni nicht moglicli war, und laugs
dieses ueuen Reges ist dann das Integral aucli giiltig fur alle r < r'.
188
Annnlen der Physiih. 5. Folge. Band 37. 1940
11. Die Welle mit dem zur Kegelechse transversalen elektriechen Feld
3. Die allgenzeine Losungsgleiclmng im Rnuni des ein.facheii
Kegels. Wir behandeln an erster Stelle den Fall, daB innerhalb des
Kegels mit Clem halben &Ynungswinkelu das elektromagnetische E’elcl
<lurch einen elektrischen Ringsender erzeugt‘ wird, der den zur
Kegelachse senkrecliten und koaxialen Kreis (r‘,I’Y) ausfiillt. Daun
lafit sich, wie wir gesehen habeu, das primare Feld dieses Senders
durch die G1. (2,5) bcschreibeu, und zwar ist sie in der dort angegebenen Form giiltig f u r alle r > r’ ulid alle I?> 6‘. Fiir das
von der Mantelflaclie reflektierte Feld des Kegels machen wir den
Ansatz (3:1), \\orin A ( s ) eine vorliiufig uubekannte Funktion von s ist.
Das Auftreten yon P-’, (cos 9) in diesem Ausdruck ist notwendig.
#--
2
denn das reflektierte Felt1 mu6 natiirlich in der Achse des Kegels.
d. h. fur 1’3 = 0, endlich bleiben. AuBerdem darf die Zusatzfuuktion (3,l) nicht dasselbe Partikularintegral der Differeutialgleichung der Kugelfunktion enthalten wie die GI. (2!5), sondern es
muB darin eiii anderes, davon unabhiingiges Integral vorkommen.
Beideu Forderungen entvpricht nach dem Anhang die oben in (3,l)
aufgefuhrte Kugelfunktion. Im iibrigen gilt auch f u r den obigen
Ausatz die Bedingung r > r’. Da nun der Kegelmantel aus eineni
vollkommeuen Leiter bestehen sollte, so muB fur alle r und 19= u
nach (2,13c) gV und damit auch !JIv selbst verschwinden. Der
Aufbau cler G1. (2,5) und (3.1) unterscheidet Rich jedoch in den
beiden Fallen T > r’ uncl r < r’ im Hinblick auf den von r unrl r‘
unabhangigen Bestandteil in keiner Weise, EO daB, wenn es einmal
gelungen ist, die Gronzbedingung init den (31. (2,5) und (3,l) f u r r > r’
zu erfullen, diese Bedingung auch im Falle eines r < r‘ befriedigt ist.
Sun wird die Forderuug uber Ev erfiillt, wenn wir in (3.1) A (s)gem56
de; Gl. (3,2) wkhlen.
P-ll
(-
COSIK)
H . Uuchliolz. Dic Bewegung elektromapetisclzer mrelle7t usw. 183
Wir fiihren dann, um die Schreibweise abzukurzen, die Hilf's(8,u) der G1. (3,3) ein und erlialten damit als fertige
fiinktion f
8-
1
I
2
(a. a) = P-l1 (coscr) P1
(- cos 9)
f
.-1
8 -
-
8-
2
(-
-
2
cosu) F
y
a-
8-
jCOSI11.)
1
(33'
Liisung unserer Aufgabe die folgende Integraldarstellung :
(3*4'
i
I
8-
~
-
2
Sie gilt fur alle r > r' und 8 > r' und erfullt tatsiichlich alle Bedingungen der Aufgabe. Die h d e r u n g . die an ihr vorzunelimen
ist. um sie etwa auch fiir r < r' und 8 < 9 ' brauchbar zu machen.
ist schon im AnschluB an GI. (2,5) besprochen worden.
Wir losen die GI. (3,4)mittels cles Residuensatzes von Caucliy
wieder in eine unendliche Summe auf. I n ( 3 4 ) stellen jedoch die
Nullstellen des Nenners. die von cos x s herruhren, keine Pole des
1
Jntegranden mehr dar. denn fur ein s = p + mit p = 0 , 1 , 2 ...
2
ist nacli GI. (9b) des Anhangs auch f,(t!+, a ) der Null gleich. Die
einzigen wirklichen Pole des Integranden von (3.4) werden vielmehr
alleiu von den Nullstellen der Funktion P i 1(cos u) in bezug auf 18
gebildet. Eine Formel, die die Lage dieser Nullstellen fiir kleine
Werte von u zu berechnen gestattet, ist im Anhang angegeben. F u r
groBe Werte von u bleiht f u r die Bestimmung der Nullstellen keine
andere Moglichkeit als die der schrittweisexi Eingabelung, nachdem
aus den allerdings nur fur ganzzahlige n vorhandenen Tafelu
fiir P,: (cos u) die ungefahre Lage der Nullstellen ermittelt worden
ist. F u r die graphische Darstellung der Wurzeln ilbr den ganzen
Winkelbereich voii 0 2 us a. wie sie die Abb. 3 wiedergibt, kann
man sich nllerdings dadurch die Arbeit etwas erleichtern, daB man
umgekehrt die Werte ron n als gegcben ansieht und nach den zugehorigen Rurzeln der Gleichung P,: '(cos u)= 0 in bezug auf das
Argument fragt. Auf diese Weise konnen z. B. alle Nullstellen der
Gleichung f u r ganzzahlige n sehr schnell gefunden werden. F u r
den Winkelbereich von 0...20° wurden in Abb. 4 die Wurzeln der
154
Aniialen der Physik. 5. Folge. Band 37. 1940
in Rede stehenden Gleichung noch einmal besonders in einem f u r n
Iogarithmischen MaBstab dargestellt, um so auch Werte von n groBer
als 13,5 zu erfassen.
Da. alle Nullstellen der Funktion P i 1(cos u ) in bezug anf ?I
reel1 und einfach sind, so macht die B e r e c h n u ~ ~der
g R.esiduen cles
I3 -
rz M f0
-
9 -
87-
6-
n
”_T
4
32-
ro‘
A A A
-a
.A
A
A A
Abb. 3. Wurzeln
der G1. P,: (cos a ) = 0
-a
rn
;a
fj a 1
~
~
i
~
~
Abb. 4. Die Wnrzeln n von
l’,,(cosn) = 0 und Pi1(cosa)=O
im Bereich kleiner Winkel u
Integranden von (3,4) f u r die in unendlicher Zahl vorhandenen Pole
keinc Schwierigkeit. Die endgiiltige Darstellung von pv laBt sich
dann noch vorteilhafter schreiben, indem man von der G1. (2lp) des
Anhanges Gebauch macht. Damit entsteht f u r pq oder besser
gleich f u r Q, die folgende vollstlndige Bezietiung :
~
i
~
,
H . Buchlcolz. Die Bewegung eleklromagnetdscher Wellen usw. 186
Die Summe in (3,5) ist iiber alle Wurzelwerte Y = np,- l der
Gleichung P;l(cosu) = 0 zu erstrecken, die gemaf3 der Lage des
Weges in Abb. 2 groBer als - -2- sind. Aus Abb. 3 ist in dieser
Hinsicht zu ersehen, da8 in allen praktisch vorkommenden Fiillen
der kleinste Wert von Y nicht kleiner 1 werden kann, wenn von
vornherein von dem trivialen Fall Y = 0 abgesehen wird. 1st fur
einen bestimmten Aufpunkt r < r', so braucht man nur, um die
dann maBgebende Gleichung f u r Q, zu erhalten, in (3,5) die
Zeichen r und r' miteinander zii vertauschen. Die noch fur das
Integral (3,4)erforderliche Beschrankung auf 6 - W e r t e des Bereichs 9' < t'+ < u kommt, wie aus der Herleitung ohne weiteres
hervorgeht, f u r die Losung (3,5) in Fortfall.
Neben der GI. (3,5) geben wir vor jeder Diskussiori auch noch
die Beziehungen f u r die anderen beiden Feldkomponenten an.
S a c h (2,13) lauten sie:
Auch f u r diese beiden Gleichungen trifYt dieselbe Bemerkung zu a i e
oben: Damit sie f u r r < r' gelten, brauchen nur die Zeichen 5 und yl
initeinander vertauscht zu werden.
Erfolgt die Erregung des Feldes nicht, wie bisher angenommen
wnrde , durch einen stromdurchflossenen Iireisring , sondern durch
einen in der Kegelachse angeordneten Dipol vom Moment U, 62, so
ist i n den letzten drei Gleichungen gemaf3 der fruheren FestHinsichtlich u erstreckt sich die Gultigkeit unserer- Losungsgleichungen iiber den ganzen Winkelbereich von 19.'
td, denn
- ..
1 sti
Armalcn der P h p i k . 5. Ii’olgc. Barid 37. 1940
kleiner als 9’ kann u offenbar nicht werden. Zwei bemerkensn-erte
Sonderfalle liegen vor fur u
=
n
2
und u
= TI.
Bur cc = Iist in1
Raum uberhaupt kein Kegel vorbandeii, und die in diesem Fall
aus (3,5) entstehende Bezieliung muB d a m der Entwicklung (2,51
fiir
entsprechen, von der wir anfiinglich ausgegangen sind. Wir
wollen das nicht im einzelnen nachpriifen. Ein Blick auf Abb. 3
iiberzeugt uns jedoch davon, dab fur ci = x die Zeigerwerte w = ?iP,- I
vv
in (3.5) tatsachlich die positiren ganzen Zahlen durchlaufen. Fur u =
entartet die Nanteltlache des Kegels i n eine vollkommen leitende
Ebene. Die Zeigerwerte v erfullen in diesem Fall die Reihe der
geraden ganzen Zahlen. Bei der Behandlung dieser Aufgabe als
Einzelfall wiirde nian jetloch besser ein Zyliuderkoordinatens~stem
benutzen.
Fur r
+ 03 nimmt $jp schneller an GrijBe ab als die anderen
beiden Komponenten. Die Welle im Kegel nimnit also in grogen
Abstiinden vom Sender mehr und mehr den Charakter einer reinen
0 bleiben alle Feldkomponenten zum
Kugelwelle an. Fiir r --t
~
I
mindesten von endlicher GroBe, da J
(kr) sich dabei wie ;+T
Vf
2
verhalt.
Vertauscht man r und IY niit r‘ und 9‘,so bleibt der Aufbau
von
ungeandert. Der Vektor pv verhalt sich also wie eiue
G r e e n s c h e Funktion. I n der Tat stellt er auch nichts anderes dar.
Nur handelt es sich im vorliegendeu Falle nicht um eine Symmetrie
in bezug auf Quellpunkt und Aufpunkt, sondern um eine Synimetrie
zwischen dem Ring der Quellpunkte und dem Riug der Sufpunkte.
Multipliziert man Q, mit 2 n 9 , worin 0 den Radius des Kreises der
hufpunkte ( r . 8)bedeutet, so stellt dieses Produkt die iiri Ring p
vom Felde der Welle induzierte Spannung dar, und dividiert (lurch 3
ist es der elektrodynamische Gegeninduktionskoeffizient der beiden
Ringe p und 0‘.
4. Die physikalischen Aussagen der Losung. Um einen ersteu
Einblick in die pliysikalischen i-organge innerhalb des Kegelhorns
zu bekornmen, wollen wir uns zuniichst an Hand der G1. (3,s)...(3.7)
ein Bild von der Feldstruktur verschaffen. GemiiB diesen Gleichungen
zerfiillt dns gesamte elektromaguetisclie Feld im Horn in eine iiueiiclliche Zahl von Teilfelclern. Allen diesen Teilfeldern ist gemeinsani,
dst3 die zu ihneri gehiirenden Werte von E9, und $&sowohl in der
Kegelachse mit 17 = 0 als aucli . a m Kegelmantel mit 9. = u verschwinden. Sowohl in der Kegelachse als auch am Kegelmantel
v,
H . Buchholz. Die Bewegung elektrornagnetischcr Wellen MU'.187
hesteht also nur ein radial gericlitetes magnetisches Feld, und zwar
rerlaufen wegen P,,(l) = 1 und Pv(cosu)< 0 die magnetischen
Kraftlinien an beiden Fliichen in entgegengesetzter Richtung.
nur fiir
M'ahrend aber Ecpund Q, fur den kleinsten R e r t von
9 = 0 und 9. = ct verschwinden, tun sie dies bei den hoheren Teilwellen auch f u r Winkel zwischen 0 und u. Abgeschen von IY -0,
tritt dieses Verschwinden von E9' uod $, ebenso oft ein, als die
Ordnungszalil p des betreffenden Gliedes angibt. Aus der Abb. 3
ergeben sich alle diese Winkel als Schnittpunkte der durch den
Punkt np,- verlnufenden Parallelen zur Abszissenachse mit den
darin eingezeichneten und innerhalb des Bereiches 0 f tY. 5 u
liegendeii Kurven. Eine ahnliche GesetzmiiBigkeit gilt hinsichtlich
der Haufigkeit des Verschwindens von $jf. Die dem (;lied v = n p , - l
entsprechende Teilwelle zerfallt demgemiiB in p verschiedene, durch
Kegelflachen mit wachsendem Offnungswinkel voneinander getrennte
Wellenpakete, die die Gestalt eines Ringwulstes haben.
Was die Lange dieser Wellenpakete in Richtung wachsender r
anbetrifft, so erkennen wir die hier vorliegende GesetzmaBigkeit am
besten, indem wir z. B. die (31. (3,5) in reeller Form schreiben. Bei
einem reellen Wert von k bildet den einzigen komplexen Faktor
dieser Gleichung die H a n k e l s c h e Funktion H I (kr). Schreiben
11
vf
''
(kr) und
wir der Iiurze lialber fur den arc dieser Funktion y
V+-
2
erinnern uns daran, da8 der Zeitfaktor in unserem Falle durch
exp (- i GI t) gegeben ist, so lautet das p te Glied in der Entwicklung
yon (3,5)wie folgt:
off-
F u r die niedrigste Teilwelle p = 1 und fur verschiedene
nungswinkel des Kegels ist in Abb. 5 der Verlauf von cp
mit
v f
f
wachsendem r k graphisch dargestellt. J e groBer der Winkel u ist,,
um so kleiner fallen clanach die Werte von r k aus, bei denen der
Verlauf von cp schon einen merklich linearen Charakter besitzt. Im
wesentlichen beginnt der lineare Verlauf bei solchen Werten von r k,
fiir die r k
> np,- I +
ist, und da nach Abb. 3 nl, --I mit kleiner
werdendem Offnungswinkel ansteigt, so setzt eben auch der lineare
Verlauf f u r kleine Winkel u erst spater ein als fiir groSe. Bezeichnen
wir das Gebiet r k np,-l als die Wellenzone des Horns fur die
p t e Oberwelle in1 Gegensatz zur Nahzone mit rk np,- 1 , so kann
>
<
188
Annalen. der P I ~ p i k . 5. E’olqe. Band 37. 1940
nach D e b y e fiir Bufpunkte der Welleozone nngeniihert geschrieben
werden:
Abb. 5. Der Gnng des Phasenwinkels der Teilwellc niedrigater Ordnung mit rk
Mit aachsendem rlc gelit also
selbst gegen r k . I n der Welleu-
pl
? +
L’
zone ist demnach zufolge (-42) die radiale Liinge eines der oben
beschriebenen Wellenpakete gerade gleich der halben Vakuumwellenlange der betrefienden Schwingung. Bei Werten von r k , die die
np,
nocli nicht in ausreichendem MaBe erfiilleu.
Bedingung r k
ist die Liinge der Welle im Horn griiBer als die Vakuumwellenlange.
Die Richtung aller Kraftlinien kehrt sich im ubrigen nach (4,l)beim
Fortschreiten in radialer Riclitung yon Wellenpaket zu Wellenpaket
um. F u r die Teilwelle niedrigster Orduung hat nach alledem clas
>
H . Buchholz. Die Bewegung elektrornagnetischer IVellen usw. 1S9
~iingnetische Feld in der Wellenzone innerhalb eines Meridianschnittes etwa das Aussehen von Sbb. 6.
Die Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenpakete in dem
Raumteil r > r' des Trichters fortbewegen, ist gleichfalls aus der
G1. (4,l) zu ersehen. Man errechnet dafiir mit Hilfe der G1. (4,2)
den Amdruck:
v+
dr
Nit wachsendeni r k geht also --•
c , weil sich 5 unter dieser
dt
Voraussetzung den1 Wert "12 nlhert. Diese Annaherung der Phasen-
Abb. 6. Der Verlauf der msgnetischen Krsftlinien bei der Teilwelle niedrigster
Ordnung. 'Die elektrischen Krsftlinien verlaufen in konzentrischen Kreisen
urn die z - A c h e
geschwindigkeit an die Lichtgeschwindigkeit erfolgt von groBeren
Werten als c her. Fiir eine rohe Bearteihng dieser Verhaltnisse
genugt auch ein Blick auf Abb. 5. Aus ihni ist unmittelbar ersicht(rk) mit zunehmendem r k von pu'ull her monoton
lich, da6 sich rp'
V + ,
dem Werte 1 nahert. Darltus folgt aber keineswegs, daB in der
Kegelspitze unendlich groBe Geschwindigkeiten auitreten, denn die
G1. (3,5) hat in der angeschriebenen Form nur Giiltigkeit f u r r > r'.
Es kann also r k auch in G1. (4,l) nicht kleiner werden als r'k. In
dem Raumteil r < r' gibt es aber tiberhaupt keine fortschreitende,
sondern nur eine stekende Welle. Dicht vor oder hinter der Kugel&he r = r', in der sich der ubergang von der stehendeu Welle
zur fortschreitenden Welle vollzieht, ist es im tibrigen nicht mehr
statthaft, die einzelnen Teilwellen fur sich zu betrachten, da fiir
r = r' die fiir die Moglichkeit einer solchen Zerlegung notwendige,
absolute Konvergenz der Reihe (3,5) aufhort.
Die Amplitude der einzelnen Teilwellen wird zunachst einmal
wesentlich durch die Lage des Senders im Raum innerhalb des Kegels
Annslcn dcr Physlk. 6. Folgc. 37.
14
190
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 37. 1940
beeinflu&. Nach den GI. (3,5)...(3,”) sind die Funktionen, die in
dieser Hinsicht die GroWe der Amplitude bestimmen, in jeder Teilmelle f u r alle drei Feldkomponenten die gleichen. Den gunstigsten
Abstand des Senders von der Spitze des Kegels legt die Funktion
(kr) fest und den giinstigsten offnungswinkel des Ringstrahlers
v
+ ---2
die Funktion sin 9’.Py1(cos I?’). I n Riicksicht auf GI. (13a) cles
Aohangs bestimmt sich also der gunstigste otfnungswinkel aus der
G1. (4,4)und der giinstigste Abstand aus der G1. (4,5).
P,,I , , -1 (cos 9’)
=0,
(4,4)
Nach GI. (3,6) mu0 also im Optinlum der Ringsender in einer
von den Kegelflachen liegen, in denen in der Wellenxone die Hadialkomponente verschwindet. Die Schnittlinie dieser Kegelflache m i t
der durch (4,5)bestimmten Kugelflache ergibt dann jeneils die in
bezug auf eine moglichst gro0e Amplitude der betrachteten Teilwelle
gunstigste Lage des Senders. Die Wurzeln von (4,5)stimmen bei
grof3en Werten von kr, wie sie sich tatsachlich als Losung der
Gleichung ergeben, nahezu uberein mit den Wurzeln der Gleichung
J ’ 1 [kr’)= 0. Die kleinste diescr Wurzeln berechnet sich nach
’,+
der Formel (4,6). Wahlen wir etwa als Beispiel einen Kegel mit
dem 6ffnungswinkel a = 26,s O, so ist fur die Grundwelle nl, - 1 = 8.
10 4
Nach (4,6) berechnet sich daraus r = 3-c-?.= 1,66.?,. Bei &Tnungs,n
winkeln in der Gr6Be vou 25O liegt also der giinstigste Wert von 7’
liei dem anderthalbfacheii der Vakuumwellenlange. Die Kegelspitxe
zeigt demnach fur W‘ellenliingen im Dezirneterbereich ziemlich schlechte
Redexionseigenschaften. Uin diese groBe tote Lange zu vermeiden
und die Reflexionswirkung zu erliohen, wird man daher in allen
praktischen Fallen die Kegelspitze durch eine spiegelnde Kugelflache
ersetzen. F u r ein derart abgerundetes Kegelhorn gelten dann fur
die drei Feldkomponenten dieselben G1. (3,5). (3,”) wie frliher, jedoch
mit dem Unterschied, da0 in ihnen durchweg der Faktor y,(kr‘)
durch den’ Faktor (4,i)zu ersetzen ist. Dabei bedeutet
{ tp, (kr’)I;‘’(ka) - tp, (ka)cf) (kr‘)}
~ _ . _ _ - - _ _ _
_ _ ~
(477)
St’) (ka)
’
iu dieser Gleichung a < r‘ den Radius der Kugelflache, die den
Konus a n seinem verjungten Teil begrenzt.
..
H . Buchholz. Die Bewegung elektromagnctischer Wellen usw. 191
Bei festen Werten von r' und 6' hangt natiirlich die Amplitude
der Teilwellen aufierdem noch von der Lage des Aufpunktes im
Felde der Welle ab. Wir wollen diese Abhangigkeit fur ein und dieselbe Teilwelle bei alleiniger Anderung von r verfolgen und die
Frage nach dem Amplitudenverhaltnis verschiedener Teilwellen erst
ain Ausdruck fur den Energiestrom diskutieren, den die Teilwellen
mit sich fuhren. Langs eines und desselben Fahrstrahls ist nun
wegen 9. = const nach (3,5) das Verhaltnis der Amplituden einer
uiid derselbeo Teilwelle in den beiden Abstbnden r2 > rl mit r, > r'
einfach durch die Beziehung (4,8)
gegeben. Haben wir es mit derjenigen Teilwelle zu tun, rleren
Amplitude gemaB G1. (4,5) auf maximale Intensitiit abgestimmt
1
worden ist, so ist nach G1. (4,6)schon lir' > v + Tl also erst recht
kr, > v + T . Bedeuten dann 6, und 1, zwei analog zu 6 in ( 4 3
definierte Hilfswinkel, so darf in erster Ntiherung nach D e b y e das
Verhaltnis r/2,1 in der Form geschrieben werden:
1
Uie Abnahme des ..4mplitudenverhaltnisses erfolgt also bei einem
festliegenden Wert von rl schliefilich nach dein Gesetz r.;
Dieses
Verhalten entspricht dem einer freien Raumwelle.
F u r die Teilwellen lioherer Ordnung ist jedoch die Beurteilung
nicht so einfach durchzufiihren. Bei diesen Wellen kann es namlich
1
auch vorkommen , da8 kr, w + 3ist, und demnach mussen wir
hier die beiden Falle unterscheiden, daB fiir ein solches r , k sowohl
1
1
r,k
v +
a19 auch
w+
sein kann. Im ersten Fall ent-
'.
<
>
<
halten die beiden Anfpunkte den Raumpunkt r k = v
sich, und man hat dann
+1
zwischen
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 37.
192
1940
Um mittels dieser Gleichung eine bessere Abschatzung des numerischen Wertes von q2,1 zu ernloglichen, wurde in Abb. 7 der Verlauf von 8 - Sg 6 in Abhangigkeit von %of 8 aufgetragen. Danach
nimmt also fiir die hoheren Teilwellen die Amplitude beim nbergang von rl zu r a aufierordentlich stark ab.
2-
1-
I
0
f
Z
,
3
I
4
!
5
Abb. 7. Der Verlauf von 8
I
6
l
7
I
8
- Tg S in
I
9
I
~
I
f
I
f
f
Z
Abhiingigkeit von &of8
Betrachten wir den anderen Fall, fur den sowohl 7 , k als auch
<
1
r.,k + 2 ist, so ergibt sich hier fiir das Amplitudenverhaltnis
die Forlqel (4,10b), in der Ja durch die 6, entsprechende Gleichung
definiert ist.
biet rl k, rak
Wegen r2 > r, ist mithin stets Ja < 8,. In dem Ge-
<u + l
erfolgt also zwar auch eine exponentielle Ab-
nahme der Amplituden. Sie halt sich aber i n weit geringeren
Grenzen als im Falle der G1. (4,lOa). Beim Durchgang elektroniagnetischer Wellen durch Hohlleiter zunehmenden Querschnitts
f‘ehlt also auch bei reellen Werten yon k vollig das Analogon zu
cler bei Hohlleitern festen Querschnitts geltenden GesetzmaBigkeit,
daS von einer bestimmten Ordnung der Teilwellen an aufwarts iiberhaupt keine ,4usbreitung in Wellenform mehr moglich ist. Stattdessen tritt in trichterf ormigen Hohlleitern eine mit der Ordnung
der Teilwelle zunehmeude, auBerst starke Dampfung auf. 1st jedoch
das Horn nur geniigend lang, 60 entwickelt sich jede Teilwelle nach
MaBgabe der ihr noch verbliebeuen Amplitude schliefllich doch
einmal nach Art einer freien Raumwelle. Das geschieht in Abstilnden r
1
von der Kegelspitze, fiir die rk
v + 3- ist. I n der Tat bedeutet
auch mathematisch der Durchgang des Argumentes r k der H a n k e l schen Funktion H‘” (rk) durch den numerischen Werd des Zeigers
>
~~
Y
-i
,..
L
die Grenze zwischen zwei Bereichen, in denen sich diese Funktion
H . Buchholz. Die Bewegung elektromagnetischer Wellen usw. 198
ganzlich verschieden verhiilt. Buf einen weiteren charakteristischen
Unterschied zwischen den dadurch abgegrenzten beiden Zonen werdeu
wir im nachsten Abschnitt zu sprechen kommen.
Vordem wollen wir jedoch noch das Verhalten einer dritten,
neben der Phase uncl der Amplitude recht kennzeichnenden QroEe
einer Welle besprechen. E s ist dies die radiale Impedanz der
Welle im Kegel. Nach einem Vorschlag von S. A. S c h e l k u n o f f [8]
verstehen wir darnnter den Quotienten aus der elektrischen Feldkomponente Qv und der magnetischen Feldkomponente $jd. Da die
erste dieser beiden Groflen in V/cm und die andere in Alcm
gemessen wird, so hat ihr Verhaltnis tatslchlich die Dimension
einer Impedanz. Die Betrachtung dieser GrdBe ist gerade im, vorliegenden Falle deshalb so wertvoll, weil sie uns am sichersten
verrat, auf welche Fordernngen es ankommt, wenn spater der ubergang zum Horn endlicher Lange vollzogen werden solL AuBerdeni
zeichnen sich die Beziehungen fiir die radiale Impedanz durch eine
besonders groBe Einfachheit aus. Nach den G1. (3,5)und (3,7) hangt
namlich diese Impedanz einzig und allein von rk ab und sonst weder
von der Koordinate 9 noch von denjenigen geometrischen GroBen,
die die Lage und die Abmessungen des Senders festlegen. Eben
darin zeigt sich ihre besondere physikalische Bedeutung und die
ZweckmaBigkeit ihrer Definition und ihrer Verwendung. Bezeichnen wir die radiale Impedanz fiir den vorliegendeu
so besteht fUr sie nach den genannten
Wellentypus mit ,’a:
Gleichungen die folgende allgemeingiiltige Beziehung
,
Der Verlauf dieser Impedanz mit rk hangt danach lediglich iiber
den Zeiger Y vom Offnungswinkel des Kegels ab. Da die G1. (4,ll)
uberdies f a r alle Offnungswinkel gilt, so empfiehlt es sich, den
Gang von 8, mit r k zugleich fUr verschiedene Winkel u zu verfolgen.
Urn dahei mijglichst krasse Unterschiede zu erhalten, wollen wir
zunlchst annehmen, da8 es sich urn die Ausbreitung einer Welle
hi den freien Raum handelt. I n (4,ll) ist dann f u r die niedrigste
‘l’eilwelle v = 1 zu setzen, und eine kurze Rechnung liefert fiir die
radiale Impedanz der freien Rauinwelle vom Typus Q, = @, = 0
das Gesetz:
- fr k)
- (rk)’ + 1 Ohm.
fv k)‘ - i
(v k)‘
Annulen der Ph?ysik. 5. Folye. Band 37. 1940
194
F u r r k --f
m gelit demnach 3, gegen den reellen \.\'ert
($)"'=1 2 0 n Ohm.
F u r r k t-0 hingegen strebt 3, gegen den rein induktivcn M'iderstand - i m ,pr.
Auch f u r die Abstrahlung in den Halbraum ergibt sich noch
eine verhaltnismiiBig einfache Forniel, da in diesem Falle fur die
niedrigste Teilwelle v = 2 zu setzen ist. Es entsteht d a m die
Beziehung:
(r k)B- i 3 r k ((rk)4 + ti)
$1
= (+)'I?
(4913)
((r k)$ - ti, k)' + ( 3 ( r klP - 6)2
-
~~
~
~
Der Grenzwert von 3, f u r r k - + c c
durch
___~.
~
ist demnach hier ebenfalls
gegeben. Es ist beachtenswert, da6 der Ausdruck (4,13)
(+)"a
zugleich die radiale Impedanz der zweiten Teilwelle bei Abstrahluug
i n den freien Haum darstellt.
Tm allgemeinen Fall eines beliebigen fiffnungswinkels la& sich
keine f u r alle r k giiltige Formel mehr angeben. Somit bleibt hier
1
1
nichts anderes ubrig, als die drei Bereiche r k v + T , r k rn v +
<
und r k >> v
+
1
-
gesoudert zu betrachten.
In der Wellenzone mit r k > v +
1
gilt gemaB (4,ll) nach
D e b y e die Niiherungsdrtrstellung (4,14a), in der der Hilfswinkel 1
(%14a)
i
8;' ,.,
(4)''"
. (sin 6 +
-i.-
+
+ i s - ctgs E
1
5ctgPE
-_______
sind 6
-
S . (r k)'
-
2rk
[a ctg?F + (1 + COBZ 6) (1 + .? ctg?81
(S . (r k)3 sine 6)
...}-l
durch die G1. (4,15) bestimmt ist.
(4,151
cost
=
(.+ +)
rk
<I.
<
Die Beziehung f u r
in der Zone r k
v +I
geht BUS dieser
2
Formel hervor, indem man 6 = i 3' setzt. Dann ist S durch die
G1. (4,16) gegeben, und w e m in (1,14a) die angegebene Substitution
durchgefiihrt mird, so erhklt man f u r die Nahzone die Darstellung:
-
(4.16)
1
(. 3
BOfS = _ _
_-~
>I,
rk
+
I - --
- '):(
'
. {Gin3'
+
S
-1
-sEin3
9
5 @otgP
-
(T
k)'
+
[(1+ CoyyS) (5&otg2 S - 1) 5 CTotgPS]
(8 (r k)S Gme9)
.
-
Eotg' J
- __-
2rk
. ..)- 1-
H. Buchholz. Die Bewegung elektromagnetischer Wellen usw. 195
Fiir r k---+ co wird also auch im allgemeinen Falle 1, =
(+)’“, und
im hesonderen gilt nach (1,14a) bis zu Gliedern der Ordnnng (r k ) - 3
die Gleichung
+ ;)> r k ist also wie in den ersten
i
ein rein induktiver Riderstand, aber die Giiltigkeit
Im Bereich der Zone
-
Y
beiden Fiillen 6;’
dieser Naherungsgleichung reicht nach (1,14b) noch nicht einmal
so weit, daB sie eine Abweichung vom rein induktiven Widerstand
erkennen lie6e.
Der ubergang vom induktiven zum reellen Widerstard erfolgt
1
also hauptsachlich in dem Gebiet r k CI Y ;z. Benutzt man zur
+
Approximation von Hi’)
v
s o gilt f u r
in der
rk =Y
+ -2
i r k ) in diesem Bereich die Funktion H , ,
Y
die Bormel
6
wiederum durch die G1. (1,15) definiert ist.
+ -1 ist also im besondern
h i
Punkte
2
Fur ein r k S v +
behalt zwar die G1. (4,14c,) formal ihre Giiltigkeit, wenn darin durchweg 6 = i s 6 gesetzt wird. I n Riicksicht
auf die numerische Berechnung ist es jedoch vorteilhafter, sie fiir
solche r k in der besonderen Form der G1. (4,14c,) zu schreiben.
Die HilfsgoBe 3’ ist darin wieder durch die G1. (4,16) gegeben.
1
F u r d = 0 gelangt man auch von hier zur G1. (4,18) zuriick.
196
Annalen der P h p i k . 5 . Folge. Band 37. 1940
In Abb. 8 wurde der Verlauf von ' :a mit. r k fur die drei Fhlle
CL = 180", 90° und 20,93O in Form cines Vektordiagramms dargestellt. Eine nahere Erlauterung dieser Abbildung diirfte sich nach
den vorstehenden Ausf uhrungen eriibrigen.
Abb. 6. Der Verlauf der radialen Impedanz niit T k
fiir die Offnungswinkel a = 360", 180" und 21°.
I: n = ISO", 11: a = go", III n = 21"
Die Ordinaten bezeichnen eigentlicb negativ imaginilre Werte
5. Der Energiestrom i m Horn. Nach diesen allgemeinen Erijrterungen wollen wir dazu iibergehen, mil Hilf'e der G1. (3,5). . [3,iI
den Energiestrom zu bereclmen, der ron der Welle im Horn mitgefuhrt wird, und der clurch eine in1 Innern des Kegels gelegexie
Kugelkappe vom Radius R hindurchtritt. Wegen der Unabhangigkeit
der FeldgrOBen von (F. besteht f a r den totalen Energieskom durch
diese Flache die Formel:
.
1
(5,l)
-~
G r ( R )= - n R a . J Q , ( B , I ' ~ , O~Q0(R,8,O)-d(cost'/).
)
cos a
S a c h den G1. I 1i'a, b) des Anhangs ist das System der Teilsellen in
bezug auf die Funktiou Pi'
(cos (9.) ein Orthogonalsystem. Der
P,-1
gesamte Energiestrom setzt sich also rein additiv aus den Energiestromen der Einzelwellen zusammen. Nach einer ersten Neuordnung
der Glieder entsteht in Riicksicht auf diese Eigenschaft der Tell\\ ellen
der Ausdruck :
H . Buckholz. Die Bewegung elektroniagnetischr Wellen usw. 197
~r(e)=zi(~)':',glz.----.
n - (kg')'
2
y=l,m
sin a.
(v++)-v;(~)
v=np -1
[r;'
(COS
__
a P;
3912
_.
-~
(cos a)
n = I.
Zerlegen wir diese Gleichung in ihren reellen und imaginaren
Bestandteil, so ergibt sich ohne weiteres fur den Wirkstrom der
Energie die Beziehung:
Fiir den Blindanteil des Energiestronis entsteht die verwickeltere
Formel:
3rn[G,,(R)l=
,J
'
(:)'"~12.
p=l,w
(ke')'
~-sincr
L
1
(1
+ T) . wf . (kr')
v = n p.-1
P,'
z=kR
1'
(COB 4')
VA
An dem Ausdruck (5,3)fur den Wirkstrom der Energie ist die
benierkenswerteste Eigenschaft seine Unabhangigkeit von R. Physikalisch spricht oich darin allerdings eine selbstverstiindliche Tatsachc
am, denn, da wir vou jeglichen Verlusten abgeseheii haben, muR
notwendig durch jeden Quersclinitt des Kegels ein und dieselbe
Energiemenge hindurchtreten. Fiir r' >; R darf es iiberhaupt keinen
Strom von Wirkenergie geben, und die Rechnung bestatigt dies auch.
Die Unabhangigkeit in bezug auf R niacht die G1. (5,3) besonders
d a m geeiguet, an ihr die noch ausstehende Untersuchung uber das
Verhaltnis der Amplituden der einzelnen Teilwellen untereinander
durchzufuhren. Dabei wollen wir uns auf den Standpunkt stellen,
da6 fur die Teilwello niedrigster Ordnung der Abstand r auf maximale
Intensitat eingestellt worden ist. Setzen wir dann den zugehorigen
Il-ert von J:+l,, (kr') willkiirlich gleich 1, so stehen bei den drei
niedrigsten Teilwellen die Faktoren J: ,,, (kr') in dem folgenden
Verhaltnis :
+
198
Annalen der Pliysik. 5. Folye. Band
fur u = 10'
u = 200
Q = 30'
u = 40'
I : 2,io . 10-13:
.
37. 1940
<
-
10-30,
1 :4,85
: 1,69 10-15, '
1 f q87.10-4 : 1 , ~ 10-9,
.
1 :3,25 10-3 :4,110 . l o - ' .
.
Wir ersehen aus dieser Zusammenstellung, daE selbst bis hinauf zu
Offnungswinkeln von a = 40° der von der ersten Teilwelle transportierte Energiebetrag die iibrigen Energieanteile so wesentlich
iiberragt, daE dagegen der EinfluB der hijheren Teilwellen auf die
iibertragene Wirkenergie vernachlassigt werden kann. Der GroBenordnung nach gilt das Gleiche von dem Anteil, den die einzelnen
Teilwellen a n den quadratischen Absolutbetragen von jEi2 und I@
haben. Welche Art von Instrument daher auch immer Verwendung
findet, seine Anzeige wird in erster Linie von dem Feld der
niedrigsten Teilwelle bestimmt. Die A4bhangigkeitdes Energiestromes
von der Frequenz ist ziemlich uudurchsichtig, da w auch in k und
also im Argument der Besselschen Funktion vorkommt. Jedoch
ist z. R. a n der G1. (5,3) deutlich zu erkennen, daB mit stetiger
Anderung der Frequenz fur jede Teilwelle Null- und Maximalwerte
des Energiestromes standig miteinander abwechseln.
Der Ausdruck (5,4) fiir den Strom a n Blindenergie hangt im
Gegensatz zu dem FluB an JYirkenergie in sehr charakteristischer
Weise von R ab. I n der Wellenzone, fur die nach unseren friiheren
v + '1, ist, laBt sich nach D e b y e f u r das in
Festsetzungen R k
der geschweiften Klammer von GI. (5,4) stehende Glied, das allein
die Abhangigkeit FOII R verursacht, naherungsweise setzen:
>
Gilt hingegen fur eine beliebig herausgegriffene Teilwelle das umgekehrte GroBenverhiiltnis R k
v +
so dsrf fur den Klammerausdruck geschrieben werden :
<
I n der Nahzone ist mit,hin der ' FluS a n Blindenergie unrerhaltnismaBig vie1 groBer als in der Wellenzone. Wir konnen also die
Nahzone auch die Zone des uberwiegenden Blindflusses nennen.
Als Grenze zwischen diesen beiden Zonen kann der Abstand R,
angesehen werden, fiir den kR, = v + I/, ist. Die Abb. 9 stellt f u r
H . Buchholz. Die Bewegung elektroinagnetischer Wellen mu'. l ! ~
die Welle niedrigster Ordnung den Verlauf von R,k in Abhiingigkeit
F O offnungswiqkel
~
u des Kegels dar.
6. Die Eigenschwingungen eines durch eine Kugelkappe abgeschlossenen Iiegels. Denkt man sich den bisher unendlich langen
Kegel im Abstand bcm von der Spitze durch eine ebenfalls villkommen leitende Kugelkappe abgeschlossen, so
Zone
des iiberwiegenden Blindflusaes
entsteht ein in sich ge- 25
an Energie
schlossener, von metallischen Flachen begrenzter
Hohlraum. Solche HohlTransversalwelle
raume werden neuerdings 20
in der technischen Physik
vielfach in Verbindung
init Magnetronrohren ale
Stabilisatoren der FreWellenzone
oder
quenz verwendet. Zu den
Zone des uherwiegenden Wirkflusses
Formen von Hohlraumvon Energie
resonatoren, die f u r derartige Zwecke geeignet
sind, zahlt auch der hier
behandelte Kegelstumpf.
Es macht nun keine 5
Schwierigkeit, die friiheren G1. (3,5). . (3,T) so
auszugestalten, dafl sie
zugleich der neu hinzu- 0
kommenden GrenzbedinAbb. 9. Die Grenekurven zwischen der Blindgung an der Kugelflache
und WirkfluBzone
r = b geniigen. Offenbar
besteht die M'irkung dieser Kugelflache darin, dafl sie die im Kegel
fortschreitende Welle in eine stehende Welle verwandelt. Wir trageu
clieser Auffassung Rechnung, indem wir zu der Losung (3,5)noch eine
zweite hinzufugen, die den gleichen Aufbau besitzt, jedoch dagegen
den Unterschied aufweist, daB sie a n Stelle der Funktion c ! ( k ~ )
die Funktion A (Y). tp,, (kr) mit vorlaufig unbekanntem A (v) enthalt.
Dieser zusiitzliche Losungsanteil befriedigt dann jedenfalls sowoh1
die Differentialgleichung (2,15) als auch die Grenzbedingung a n der
Kegelflache 8 = a. Sol1 aber E9 auch noch an der Kugeltlache r = b
.
'
+
(k b) A (Y)qJ. (ka) = 0
verschwinden, so rnufl noch daselbst die Forderung (6,l) erfiillt sein.
C,l)
800
Annalen. der P l ~ ~ s a k5.
. Folye. Band 37. 1940
Berechnet man hieraus A (Y) und faBt die urspriingliche Losung (3,5)
mit der neu hinzukommenden zusammen, so zeigt sich, daB fur alle
r > r' die Losung fiir den Kegelstumpf mit Kugelkappe aus der
fruheren dadurch hervorgeht, das man die Funktion <f'( k r ) durch
den Ausdruck (6,2) ersetzt. I n dieser Form gilt die Vorschrift sowoh1
{ (f)(kp.)
w,( k b ) -_ _ (kb)t, (kr)}
~ . .
(6,2)
I,(kb)
fiir die G1. (3,5) als auch fur die (31. (3,6). Die Xnderung, die die
G1. (3,7) erfahrt, ist von anderer Art, aber gleichfalls leicht anzugeben.
(kr') die Funktion (6,2) mit r'
l m Falle r<r' tritt an Stelle von
an Stelle von r.
Beiden Lbsungsfornien ist in gleicher Weise eigentumlicli das
(kb) im Nenner von (6,2). Fur reelle
Auftreten des Faktors J,.
Werte von k hat dieser
Fnkt or unendlich viele
Nullstollen.
Die Resonanzfrequenzen bestiinmeu
sich demnach aus den
unendlich
(r)
~~
+I.'*
J
1
(kb)=
v+
u
( p = 1 , 2 , 3 . . .\
vielen Wurzeln der G1.[6!3).
Rerden die Wurzeln dieser
beGleichung mit
zeichnet, so berechnen sich
I
l
l
I
1
I
1
1
1
,?ao w o 6aa t o o fudo izao w 0 i6u0 iaP die kritischen Rellenlangen aus der Beziehung:
Abb. 10. Die Wellenliingen der ersten
Eigenschwingungen in einer Kegelkappe
bei verschiedenen Winkeln a
Die kleinste Wurzel, die zu der grobten kritischen Wellenliinge fiihrt,
ergibt sich aus (6,4) fur p = r = 1, und sie laBt sich bei grofien
Werten yon nl,-l aus der Formel berechnen:
+
+
-
(6,5)
jnl,l= nl, -1 1,8556. ( T Z ~ , - ~ / / ~ 1,0332 (nl,
Nach (6,3) hiingt die GroBe rler maximalen kritischen Wellenlange
sowohl vom Radius b als auch vom ijffnungswinkel des Kegels all,
und zwar vom letzteren bllein uber den Zeiger 21. In Abb. 10 ist
-l)-l'l.
H . Buchholz. Die Bewegung elektromagnetischer Wellen usw. 201
L,",= .-2 IT in Abhiingigkeit vom Winkel
der Verlauf von __
cc
grap1iisc.h
Jn1.1
aufgetragen. Fur eine Vollkugel ist nl, -1 = 1, und es wird daun
-4 U R X - 1,398. F u r eine Halbkugel ist nl,
-I = 2 und also ~ l l l I l X - 1,090.
~
b
b
Wir schlieBen damit die Untersuchungen an dem Typus der
zur Kegelachse transversalen elektrischen Welle ab. Von besondereni
Interesse ware nur noch der Fall des Doppelkegels. D a wir ihn
jecloch im Zusammenhang mit der magnetischen Transversalwelle
behandeln werden, 80 wollen wir an dieser Stelle nicht darauf eingehen.
111. Die Welle mit dem zur Kegelachse transvernalen msgnetiaohen Feld
7. Die Losungsgleichungen, der Energiestrm und die Eigenschwingungen f i i r den einfachen Kegel. Wir gehen danach zu dem
anderen Fall iiber, wo das elektromagnetische Feld im Kegel durch
eiuen magnetischen Ringsender erzeugt wird, der wie vordem den
zur Kegelachse senkrechten und koaxialen Kreis (r',8')ausfiillt. Wir
werden diese Aufgabe nur in groBer 'Kiirze behandeln, da die Herleitung der Formeln sowie die physikalischen E'olgerungen, die aus
ihnen gezogen werden konnen, nur unwesentlich von den friihereu
Angaben abweichen.
Dss primare Feld eines Senders, wie er diesmal zur Erzeugung
des Feldes dienen soll, iet nach den Ausfiihrungen im Teil I durch
die G1. (2,6) gegeben. Urn die vollstandige Losung zu erhalten, fUgen
wir zur Erganzung den Vektor (7,l) hinzu.
Nach der G1. (2,14) besitzt das elektrische Feld eines magnetischen
Ringsenders die Komponenten 6, und Q,, und es muB daher in1
vorliegenden Falle die Losung so gewahlt werden, daB die
Komponente 6, a n der Mantelflache des Kegels verschwindet. Nach
(2,14a) fiihrt das f u r die unbekannte Funktion B(s) in (7,l) zu der
Bestimmungsgleichung:
- P 1 (- cosu) B ( s ) .P g ~ l ( c o S u=) 0 .
(792)
+
-"
Wir fiihrcn dann noch, urn die Schreibweise abzukiirzen, die Hilfs2
funktion g,-
(if,u) von (31. (7,3) ein und erhalten damit als end-
1
2
giiltige LBsung
( 7 3 ) 9,-'(3,U)
2
= P*-: 1
2
(-cos
m - (coeu) + P
1
2
8-
I
-
a
(-coSu)P-'l8 -- (cos 6)
2
dnnnlen
202
Physik. 5 . Yolge. Band 37. 1940
del
unserer Aufgabe die nachstehende Integraldarstellung:
lip‘. It
(&(r,“t)= .
1 (Wv8-1 (kr‘)Y8-2 (8,
a)
I
(794)
{
I
\
Jc!:
2
E
-1
I?, -
1 (COSSI’)
l’, -
2
__
1 (cos a )
2
Sie gilt fur alle r > r’ und
2
3
.
8 .
2
(cosns3 .(is.
82
- --
a> A’ und
erfullt soweit alle Bedingungen,
die an die Losung zu
f3 stellen sind.
Rei der IJmwand42 lung der G1.(7,4) in eine
unendliche Reihe bleiben
44 wiederum die Kullstellen
40 von cos ( n s ) auBer Betracht, weil daselbst auch
9der Ziihler zu Null wird.
8Wahre Pole des Integranden sind nur die
7n
Nullstellen von Py(cos u)
in bezug auf v in dem
Bereich % e (v) > - 1.
5
Sie sind alle einfach und
4reel1 und in unendlicher
Anzahl
vorhanden. Die
3Abb. 11 stellt sie f u r
Zalle Y von 0 .. 13,5 in
dern ganzen Winkel4bereich 0 5 a
180”
I
l
l
1
1
dar. Weitere Nullstellen
0
20
W 60 80 100 f20 IW $0 180’
sind zwischen den WerAbb. 11. Wurzeln der G1. P. (cos n) = 0
ten 0 und - 1 fiir u
nicht vorhanden. I n Abb. 4 sind die ersten drei Nullstellen fiir den
Winkelbereich 0 < a! < 2 0 ° noch einnial besonders wiedergegeben.
Die Auflosung von Q in eine uuendliche Reihe bietet nach
Y
dem Gesagten keine Schwierigkeiten. Sie f’iihrt fiir die drei Feldkomponenten zu den nachstehenden Beziehungen:
:I
.
1. m
P,:1
(C08
4);1’
(COB
4’)
H . Buchholz. Die Bewegung clektromagnctischer Wellen usw. 203
Die Gleichungen gelten durchweg f u r alle r > r'. Sie erfordern,
urn fur r < r' giiltig zu sein, nur eine Vertauschung der Zeichen yY
Abb. 12. Der Verlauf der elektrischen Iiraftlinien bei der Teilwelle niedrigster
Ordnung. Die magnetischen Kraftlinien verlaufen in konzentrischen Kreisen
urn die z-Achse
und .<):
Der Verlauf der elektrischen Kraftlinien i m Kegel kann
aus den obigen Losungsgleichungen wie friiher erschlossen werden.
Er ist in Abb. 12 dargestellt.
Der Energiestrom, der durch eine beliebige Kugelflache r = R
innerhalb des Kegels hindurchtritt, errechnet sich im vorliegenden
Falle gem58 der Beziehung:
I n Riicksicht auf die G1. (17a, b) des Anhangs fiihrt sie fur den FluB
an U'irkenergie zu der Formel:
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 37. 1940
204
(799)
F u r den Flus a n Hlindenergie ergibt sich
Auch im vorliegenden Falle ist also, wie es sein muB, die abgestrahlte Energie unabhangig vom Radius I2 der Kugelfliiche, durch
den sie hindurchtritt.
1st der Kegel an seinem stlrkeren Ende durch eine vollkommen
leitende Kngelflache vom Radius r = b abgeschlossen, so habeo wir,
um etrva die im r > r' geltende Losung zu erhalten, in den obigen
Gleichungen lediglich <y'(kr)durch den Ausdruck (7,ll) zu ersetzen.
Die Eigenschwingungen des durch eine Kugelkappe begrenzten
Kegels sind also fur ein magnetigch transversales Feld durcli die
in bezng
auf das Argument k b zu nehmenden M'urzeln der G1. (7,12)gegeben.
Die groBen Wurzeln dieser Gleichung sind niiherungsweise zugleich die
1 {x vw(z)))z=kb
J
d
(7,121
I
(z
Nullstellen von J:, ;-(k b).
= 0 = J'v f
21
(kb)
+
1
v + -
(k b)
2 -
2kb
.( = n p , o ) .
Fur
die volle Hohlkugel ist nach
dbb. 10 Y = 0. Demnach ist in diesem Fall die kleinste Wurzel
von (7,12) gleich x/2, d. 11. es ist dann ,A
= 4 b . Das E'eld dieser
Eigenschwingung kommt aber nach den GI. (7,5) in Wirklichkeit
nicht zur Ausbildung. .Die erste flir die Vollkugel unter den gegenwartigen Bedingungen wirklich realisierbarb Eigenscliwingung [lo]
H . Buchholz. Die Bewegung elektromagnetischer Wellen USIU. 205
entspricht vielmehr dem Zeigerwert Y = 1 mit 1,,, = 2,29.b, die
nach Abb. 10 zugleich den tiefsten Eigenton der Halbkugel darstellt.
Der Verlauf der zu den niedrigsten Eigenschwingungen gehorenden
maximalen Wellenlangen mit dem Offnungswinkel 01 des Kegelhorns
ist gleichfalls der Abb. 10 zu entnehmen.
Die radiale Iiiipedanz der magnetischen Transversalwelle laBt
sich in wiederum allgemeiu giiltiger Form durch die G1. (7,13) definieren.
F u r r k -+
00
nahert sie sich wie bei der elektrischen Transversal-
welle dem reellen Widerstand
(+)''' 12072 Ohm.
=
Fur
T
+0
ergibt sich jedoch diesmal als Grenzwert der unendlich gro6e
kapazitive Widerstand i l w a r . Den Verlauf von a;' ' mit r k kann
man sich ohne weiteres an Hand von Abb. 8 klar machen, wenn man
beachtet, dat3 f u r einen und denselben Wert von v zwischen ay'und i:'
der durch GI. (7,14)
angegebene Zusamenhang besteht. Es d a d dabei jedoch nicht ubersehen werden, da8 zwei solche radiale Inipedanzen zu verschiedenen
&Fnungswinkeln des Kegels gehoren. F u r die in Abb. 8 behandelten
Falle sind das f u r den vorliegenden Wellentypus die Kegel mit den
Offnungswinkeln u = 90°, 54,736O und 13,115O.
8. Die Losung f u r den Doppelkegel und seine Eigenschwingungen. Wir wollen nun fur'die im vorstehenden behandelte Art der
Strahlungserzeugung auch noch den verwickelteren Fall in Betracht
ziehen, dab die Ausbreitung der Wellen innerhalb eines yon
zwei Kegelflachen mit den Offnungswinkeln u und /3 < cc begreuzten
Raunis vor sich geht. Der &hmgswinkel 8' des Ringsenders liegt
dann nach Abb. 13 seiner GroBe nach zwischen den Winkeln u und /3.
Auch dieser Fall hat praktisch vor allen Dingen Bedeutung in der
'l'heorie der Hohlraumresonatoren, wenn es sich dabei im besonderen
um symmetrische Doppelkegel handelt, fur die u = !z - p ist, und
bei denen der Raum zwischen den beiden Kegeln durch eine Kugelfiache abgeschlossen ist.
Den Ausgangspunkt ftir die Herstellung der Losung bildet
auch hier wieder die G1. (2,6). I n der angevchriebenen Form gilt
Annalen der Physlk. 6. Folge. 37.
16
206
Awnalen
dey
Physik. 5. Folge. Band 37. 1940
sie ihrer Herkunft gemliB fur alle 6 > 8'.Fiir
8 < 6' haben wir
'
sie in cler Gestalt der G1. (8,l) zu schreiben.
""Y
# -
Y
,
2
COB ll 5
.as.
Abb. 13. Die Lage des Ringsenders im Rauin des Doppelkegels
81s zusatzliche Losung benutzen w i r * diesmal zwei verscliiedene
Formen. Die eine Fomi bilde wieder die GI. (7,1), die andere die
neue G1. (8,2)
ke'.U
2
.Jp
8
(kr)?p
- -.
2
8
,(kr')
- ~n
I3eide Zusatzlosungen haben Geltung im gamen Kegelraum
8 5 a.
D a nun sowohl f u r 4 = u als auch fur 9. = @ die .Komponente B,
zu verschwinden hat, so miissen die beiden folgenden, in B(s)
und B, p) linearen Beziehungen gelten:
H.Buchholx. Die B e w e g u n g e2ektromagnetischer Wellen usw. 207
.-
-P
@,3)
1
2
-
+ B ( s ). P
(- cos u)
a - -
1
2
(cosoc) - B, is).
P
*
1
8 - -
i
P
(874)
(-
C08U)
= 0.
1
=0.
a
l ( C O S p ) P - ~ 1 ( - c o S 9 . ' ) + P - ~ 1 (cos9.')
a - -
8 -
2
3
a-
~
2
. [ B ( S ) P s - i - (2C O S p ) -
B,(S)Pa -
1
2
-
(-
COSp
Die Koeffizientendeterminante dieses Gleichungssystems lautet:
1
1 P,+
(895) = p
P)
1(-cosp)P
a-:F
1(COSU)-P
8 - -
8-
2
1 ( - c o s u ) P ,- -l(C0SP).
2
2
Wir fiihren dann noch zur Abkiirzung der Schreibweise die Hilfsfunktion ron Gl. (8,6) ein, die mit der friiheren Funktion g - ( 6 , ~ )
2
identisch ist.
8-
I
1
,
Z'U, -1) ( p , 8')= P
(cosp) P-l
" - ---2
8 - 2
+P
a-
-
8-
(- cos I?')
-.
2
( - cosB) P - '
8 -
2
2
(cos W).
Nittels dieser Funktion lafit sich gem&b G1. (83) das endgiiltige
Resultat in der Form schreiben:
Dp( r , 9 , O ) =
'b' -
[p)
8 - y
8 - -
(kr)y8 -
I!
(kr')
2
Die lntegraldarstellung (8,i) gilt f u r alle r > r' und f u r alle 9.
mit 7 ° F 195 u. Bei einem r < r' sind nur die Zeichen
und &
miteinander zu vertauschen, und fur ein IY < 9.' betrifft diese Vertauschung die Zeichen 9.und I?' in der Hilfsfunktion 2. Geht ,t-+ 0,
SO entartet die Losung ( 4 7 ) in die friihere Gl.'(7,4), da
P 1 (- cos p)
s- -
2
dabei iiber alle Grenzen wachst und im ubrigen
p,-11) (01, a),
s7
2
wie schon gesagt, gleich der friiheren Hilfsfunktion (7,3) ist.
l5*
208
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 37.
1940
Urn von der G1. (8,7) zur Reihendarstellung zu gelangen, bedarf
es wiederum nur der Anwendung des Residuensatzes. Fiir den Intega nde n von (8,7) sind nun nach wie Tor die Nullstellen s = p
+ -l
von cos (n s) fur alle p = 1 , 2 , 3 . . .. keine Pole. Zwar verschwindet
der Nenner an diesen Stellen hier sogar in zweiter Ordnung. Vom
Zahler trifft dies jedoch gleichfalls zu, da nach G1. (9b)des Anhangs
daselbst auch die beiden Zahlerfunktionen verschwinden. F u r die
Stelle s =
1
im besonderen andert sich aber dieses Bad, da
hier z. B.
+
ist, wahrend &(a,
p) auch diesmal gleich Null wird. Die Entwicklung von Elq> enthalt also u. a. in Riicksicht nuf G1. (12a) des
Anhangs das Glied:
Nach den GI. 12,141 entspricht der G1. (8,8) ein Feld, fur das
iiberall &, = 0 ist, mithin auch an den Grenzflachen. F u r oc = n
oder /?= 0 kommt es iiberhaupt nicht zustande. Der Charakter
dieser Welle ist der einer reinen Kugelwelle. Er geht nicht verloren,
wenn wir uns den h u m zwischen den beiden Kegeln durch eine
aus einem vollkommenen Leiter bestehende Kugelfliiche vom Radius b
begrenzt denken. F u r den hier in Rede stehenden Wellentypus
last sich das Feld dieser stehenden Welle gemaB (31. (7,12) durch
den folgenden Vektor beschreiben:
sin Y . In
i
Fiir diese besondere Form der Eigenschwingungen in einem
abgeschlossenen Doppelkegel ist also die Eigenschwingungszahl vom
6ffnungswinkel der beiden Kegel vollig unabhangig. Die maximale Wellenlange der ersten Eigenschwingung ist rielmehr ftir alle
u > P, die verschieden sind von n oder 0, gleich 4b, d. h. nach (7,12)
gleich der Grundwellenlange der Eigenschwingungszahl einer Hohl-
H.Buchholz. D.iR Bewegung elektromagnetlseher Wellen usw. 209
kugel. Die einzige elektrische Feldkomponente Q, befolgt dabei das
Gesetz:
(8,101 @ * ( r ! t va )= - 1’-? =
+
/
R
\
sin (ku’)
.-.-rkb)
COB
sin k (b
-
Y)
rk
sin 3.1
Im Falle r < r ’ sind in dieser Gleichung r und r’ zu vertauschen.
Der Verlauf der elektrischen Kraftlinien, der sich fur diese Art
Eigenschwingungen in der Kegelkappe ausbildet, ist in Abb. 14
schematisch dargestellt. An dieser
Abbildung erkennt man auch den
Grund, weshalb dieser Schwingungstypus nur beim Doppelkegel
existiert und sonst weder beim
einfachen Kegel noch bei der Vollkugel ohne Kegel: Die beiden in
der Spitze zusammenhangenden
Kegelkorper ermoglichen uber. -haupt erst den notwendigen Ausgleich der Ladungen. Die durch
(8,lO) beschriebene Schwingung
Abb. 14. Der Verlauf der elektrischen
ist im iibrigen das genaue
im Doppelkegel bei der
logon zur stehenden Hauptschwin- Kraftlinien
stehenden Hauptschwingung
gung in einer koaxialen Leitung.
AuBer der Welle (8,8) treten nach (8,7) in dem vollstandigen
Felde des Doppelkegels noch unendlich viele weitere Teilwellen auf.
Sie entsprechen den einfachen und reellen Nullstellen der Gleichung
A , @ , + ,8, = 0 in bezug auf v. Wir schreiben die zugehorige
Reihenentwicklung hier nicht an, da sie gegeniiber dem schon
behandelten Falle des einfachen Keg& nichts wesenthh Neues
aussagt. Wir bemerken nur das eine, daf3 die G1. (8,5), die die
Wurzelwerte v festlegt, fur einen symmetrischen Doppelkegel
mit u = 7c - p in die einfachere Doppelgl. (8,ll) entartet. Bei
Giiltigkeit des positiven Vorzeichens
\
(8,11)
PJCOS
p) & PJ-
cos p) = 0 ,
in (8,ll) ist eine mogliche unendliche Reihe von Wurzeln durch
die ungeraden ganzen Zahlen gegeben nnd fur das negative Vorzeichen
durch die Reihe der geraden ganzen Zahlen. Trotzdeni dann der
Nenner von (8,7) sogar in zweiter Ordnung verschwindet, stellen
diese Wurzeln doch keine wahren Pole des Integranden dar, neil
210
Annakn der Phljsik. 5 . Folge. Band 37. 1940
anch der Zahler in den angegebenen Fallen in zweiter Ordnung
zu Null wird. Im allgemeinen sind daher nur die von den ganzen
Zahlen verschiedenen Wurzeln der G1.'(8,11) brauchbar. .
9. Die Erzeugung der Wellen im Kegel durch eine einluufde
Leitungszuelle. Die Strahlung im Kegel dachten wir uns bisher ausnahmslos erzeugt entweder durch einen elektrischen oder magnetischen Ringsender oder durch seine beiden Entartungen, den ' axial
angeordneten magnetischen oder elektrischen Dipol. Im vorliegenden
Abschnitt wollen wir jedoch noch auf eine andere praktisch wichtige
Art der Erzeugung elektroniagnetischer Wellen i m Kegel eingehen.
Abb. 15. Die Bedeutung der geometriechen Zeichen bei der Aufgabe
des vorliegenden Abschnitts 9
Sie besteht darin, da6 die Welle, die sich zunachst im Kegel und
spater im freien Raum ausbreiten 8011, gema6 Abb. 15 an der
Spitze des Kegels durch eine dort einmiindende kreiszylindrische
Leitung eingefiihrt wird. I n der Abbildung haben wir als Beispiel
den Fall angedeutet, daB die Einfuhrung der Welle durch eine
gewohnliche konxiale Leitung m i t den Radien a und b > a erfolgt.
Ebensogut kiinnte aber auch dazu eine reine Hohlleitung benutzt
werden. Die Welle, die durch die koaxiale Leitung herangefuhrt
wird, sei die Hauptwelle mit den Feldkomponenten QDund 8,. Es
versteht sich von selbst, da6 eine solche Welle im Kkgel eine zur
Kegelachse transversale magnetische Welle erzeugen wird. Wir werden
daher gut daran tun, auch die Hauptwelle der Leitung wie die im
Kegel durch den H e r t z schen Vektor q, darzustellen. Bedeutet U
in diesem Abschnitt die Spannnng zwischen dem Innen- und dem
H . Buchholz. Die Bewegung elektrmagnetischer W e l k usw. 211
AuSenleiter, so laSt sich in der Tat die Leitungswelle durch den
Vektor der G1. (9,l) beschreiben. Als Koordinatenursprung 0, von
dem aus z zahlt,
.
.
benutzen wir darin den Schnittpunkt der nach ruckwarts verlingerten Mantellinien des Kegels mit der Kegelachse. In G1. (9,l)
konnen wir dann auch setzen z = r cos 17 und p = r sin I?. dls
willkiirliche Grenztiache zwischen der koaxialen Leitung und dem
irineren Kegelraum sehen wir die Kugelflache A M B an mit dem
b d i u s r', so da6 in dieser Kugelfiache selbst
z = r' . COB 6' und (1 = T' sin Y
!t
zu setzen ist.
Wir nehmen zur Vereinfachung unserer Aufgabe an, da6 das
Feld der einlaufenden Welle gemaS G1. (9,l) in der Flache A M B
als absolut starr, d. h. in eben der durch G1. (9,l) angegebenen
GroSe als ein eingeprkgtes BuSeres Feld betrachtet werden kann.
Diese Eigenschaft hatte es wirklich, wenn an der flbergangsstelle A M B keine Reflexionen auftreten. Wir verschaffen uns
darnach zunachst eine Beziehung fiir den primaren H e r tzschen
Vektor der von dieser Flache ausgehenden Strahlung unter der
Snnahme, dab sie sich von ihr aus frei in dem Raum ausbreiten
konnte. Diese Funktion spielt offenbar in der vorliegenden
Aufgabe die Rolle der im Teil I mit 0
: bezeichneten Funktion.
Zu diesem Zweck denken wir uns die Kugelfliiche A M B als Teil
einer sonst beliebig gestalteten geschlossenen Hiille, auf der au6er-
.
.
-
f:
halb der Kugelkappe A M B :q und
iiberall verschwinden.
Das gleiche gelte ausnahmslos von allen Pnnkten einer zweiten
Flache, die die Htille mit der Kappe A M B allseitig umgibt nnd
im iibrigen sehr weit entfernt ist. n bezeichnet dabei die nach
dem Innern des Raumes zwischen beiden Flachen gerichtete
Normale. Sind dann q: und qi die Komponenten von I$'! in
'p
Richtung der beiden festen Bezngsachsen x und y, so gilt nach
die
dem zweiten Greenschen Satz z. €3. fiir die Komponente
Beziehune:
4,
in der x, y, z einen beliebigen Aufpunkt zwischen den Hiillflilchen
und R den dbstand zwischen dem Aufpunkt und einem Ellachen-
21 2
Annalen der Physik. 5;FoZge. Bamd37. 1940
-
-
element ds = r ' = sin B' d 8 ' . dcp* auf der Kugelkappe A M B
bedeutet. Die gleicbe Beziehung gilt fur q i (z:y, 2). Nun ist
q'
=-
sin y'. q(') und qi = cos y ' . q"". Andererseits konnen wir
v
'p
ikR
in (9,2) exp--
durch die Entwicklung (2,3) ersetzen. Die Inte-
R
gration nach cp' la& sich dann sofort ausfiihren, und es entsteht,
gleichgiiltig ob man von q: oder q1/ ausgeht, fur alle r > ivorlaufig die Relation:
m
. P;'
(cos li)
sin (9'. da'.
Geht man hierin mit dem Ausdruck fur q:,' nach GI. (9,l) ein, so
erhalt man fiir den primiren Hertzschen Vektor unserer Aufgabe
den Ausdruck :
. P, (cos
d
I
I n dieser Gleichung konnen wir in ausreichender Annaherung wegen
19') *
19'.
der Kleinheit von b das Glied r' . cos 6' dem Abstand zwischen
dem Ursprung 0 des Bezugssystems und dem Snfangsquerschnit,t
des Kegels gleichsetzen. Wird nach Abb. 15 dieser dbstand mit z,,
bezeichnet, so entsteht nacb der Formel (5n) des Anhangs fiir q:
die folgende endgiiltige Darstellung:
H . Buchholz. Die Bewegung ebktromagnetischer Wellmi usw. 813
Die Reihe (9,4)la0t sich in der gleichen Weise wie in Teil I
in ein Umlaufsintegral umformen, uud von hier aus kann dann
weiter ebenso vorgegangen werden wie zu Beginn des Teils I11
dieser Arbeit. Die verschiedenen Beziehungen fur Q, Q und C
5
brauchen dabei keineswegs erneut hergeleitet zu werden. I h r Aufbau kann vielmehr ohne weiteres aus der Gegeniiberstellung der
beiden Ausgaugsintegrale erschlossen werden.
IV. AbeohlieBende Betraohtungen
10. Ausblick auf die. Betrachtungsweise der Vorgange im Kegelhorn endlicher L a v e . Bei den vorstehenden Untersuchungen ist
dnrchweg vorausgesetzt worden , daS das Kegelhorn sich bis ins
Uiiendliche erstrockt. Einer gleich strengen theoretischen Behandlung der Vorgange in einem Horn endlicher Lange stehen zur Zeit
noch uniiberwindliche Schwierigkeiten mathematischer Natur entgegen. Die Vorgange im endlich langen Horn konnen daher vorerst nur naherungsweise betrachtet werden. Da jedoch kein Zweifel
dariiber besteht, daS innerhalb des Horns in beiden Fallen sich
nahezu die gleichen Vorgange abspielen, so bleibt nur zu iiberlegen, auf welche Art und Weise die in der vorliegenden Arbeit
gewonnenen Erkenntnisse dazu dienen konnen , um auch dem Problem des endlich langen Horns beizukommen.
Eine sehr naheliegende Annahme, die in Fallen dieser Art
haufig gemacht wird, besteht darin, bis zur auf3eren Qnerschnittsoffnung auch dem Feld im endlich langen Horn dieselben GesetzmaEigkeiten zuzuschreiben wie im unendlich langen Horn. Dieses
Vorgehen ist jedoch nur so lange zulassig, als sich beim Obergang
in den freien Raum nicht eine reflektierte Welle merklicher GroEe
ausbilden kann. Nun wei0 man aus der Leitungstheorie, daS
merkliche Reflexionen von Wellen an der Ubergangsstelle zweier
Leitungen mit verschiedenen Fundamentalkonstanten sich jedenfalls immer dsnn vermeiden lassen , wenn ihre Wellenwiderstande
moglichst gut einander angepa6t werden. Im vorliegenden Falle
tritt fiir die Beurteilung derartiger E’ragen an die Stelle des
Wellenwiderstandes die radiale Impedanz, deren Verlauf im Horn
im Abschn. IT,4 eingehend untersucht worden ist. Da fur die freie
Rauinwelle die radiale Impedanz den reellen Wert von 12072 Ohm
besitzt, so steht nach diesen Untersuchungen zunachst einmal fest, da8
fur keine der Teilwellen, die sich durch das Horn bewegen, eine genaue
Anpassung moglich ist, wohl aber eine gut angenaherte und ist diese
fur eine von ihnen erzielt, so ist sie ea auch mit zunehmender Gute
fur alle niedrigeren. Unter diesen Umstiinden muS natiirlich die
214
Annnlen der Physik. 5. Folge. Band 37. 1940
Anpassung an die Teilwelle starkster Intensitiit erfolgen. Sie
wird im allgemeinen mit der Teilwelle niedrigster Ordnung identisch
sein, und wir haben nach den Ansfiihrungen im Abschn. III,5 mit
der Anpassung an diese eine Teilwelle auch zugleich die Gewahr?
uberhaupt eine gute Anpassung erzielt zu haben, wenn wir den
Offnungswinkel u dabei kleiner halten als etwa 40 50".
Da sich nun die radiale Tmpedanz jeder der einzelnen Kegelwellen dem Wert 1 2 0 2 Ohm erst zu nilhern beginnt, nachdem die
GroBe r k den fiir die betreffende Teilwelle giiltigen Wert von v 0,5
iiberschritten hat, so ergibt sich aus dieser nberlegung eine einfache Mindestforderung hinsichtlich der Lange des Kegels. Sie
hiingt selbstredend von der Giite der Anpassung a b , die fur erforderlich gehalten wird. Sieht man als eben noch zulassige Abweichung des Absolutbetrages der radialen Impedanz von ihrem
Normalwert 12072 Ohm den Wert (1 p ) 12072 Ohm an, so ergibt
sich aus Gl. (4,17) fur die Mindestliinge d cm des Horns die Vorschrift :
...
+
+
Die GroBe von Y in G1. (10,l) entnimmt man fur die verschiedenen
Offnungswinkel der Kegel am bequemsten den Abb. 3, 11 oder 4
je nach dem in Frage kommenden Wellentypus. Es ist im ubrigen
bemerkenswert, daB man zu der gleichen Vorschrift f i r d gelangt,
wenn man als kritische KenngroBe nicht die radiale Impedanz,
sondern die Geschwindigkeit im Horn benutzt. F u r ein p = 0,05
muI3 dann z. B. nach (10,l) fiir eine elektrische Transversalwelle
bei einem Offnungswinkel von CL = 21° das Horn eine Lange von
mindestens d = 5,04.1 cm besitzen. Eine wesentlich grollere Hornlange
zu wahlen, bringt keinen nennenswerten Vorteil mehr. Die Versuche
von S o u t h w o r t h [6] bestiitigen diese Polgerung in vollem Umfang.
Die beim Bestehen der Ungleichung (10,l) gesicherte gute Anpassung betrifft aber nur die energetisclie Seite der Abstrahlung.
l h r e Einhaltung verhindert lediglich den unnotigen Verlust an
Energie durch Reflexionserscheinungen. Bei der Abstrahlung kommt
es jedoch auch wesentlich auf die Richtwirkung an. Um im Hinblick auf sie zu maSgebenden Forderungen iiber die geeignetste
Gestaltung des Horns zu gelangen, ist es unumganglich notwendig,
auch den Vorgang der Strahlungsausbreitung in den freien Raum
hiuaus in die Betrachtungen einzubezielien. Eine Noglichkeit hierzu
bietet das H u y g h e n s s c h e Prinzip der Optik, das auch B a r r o w und
C h u [ 5 ] beim Sektorhorn bereits zu diesem Zweck angewendet
H . Buchhlz. Die Bewegung ebktromagnetischer Wellen usw. 215
haben. Mathematisch lauft dieses Prinzip hinaus auf eine Anwendung des Greenschen Satzes in der gleichen Art und Weise,
in der auch schon in der vorliegendeu Arbeit im Abschn. 9 damn
Gebrauch gemacht wurde. Jedoch lassen sich dagegen im jetzigen
Falle groBere Bedenken erheben, weil das auf das Huyghenssche
Prinzip sich stiitzende Verfahren das Herumgreifen des Feldes urn
die Rander des Horns ghzlich suBer acht 1aBt. In Abschn. 9
kam diese Schwierigkeit in Fortfall wegen der Schirmwirkung des
auf die Kugelkappe A MI? aufzusetzenden Horns. Will man daranf
Rucksicht nehmen, so mu% ein anderer Weg beschritten werden.
Uber das Ergebnis der in dieser Richtnng vorgetriebenen Untersuchungen hofft der Verfasser schon in nachster Zeit berichten zu
konnen.
Anhang
Zusammenhiingende Darstellung d e r in der Arbeit
verwendeten Beeiehungen aus der Theorie der Kugelfunktionen
In der vorliegenden Arbeit mu6 sehr oft auf die Theorie der Kugelfunktionen Bezug genommen werden. D a die fur die Arbeit benotigten Formeln
in der Literatur nur sehr sptirlich zu finden und fast kaum in der erforderlichen
Richtung entwickelt worden sind, so lassen wir an dieser Stelle dem Hauptteil
der Arbeit eine in sich susammenhiingende D a r s t e h n g aus der Theorie dieser
Punktionen mit ihren wichtigsten Beziehungen folgen. Wir beschrlinken uns
dxbei auf den physikalisch allein bedeutsamen Fall, datl das Argument x der
Kugelfunktionen gleich dem COB eines reellen Winkels ist, d. h. selbst reel1 iat
und zwischen den Werten
1 und - 1 liegt. Wegen derjenigen Beweise von
Formeln, die aus Griinden der Raumersparnis hier nicht gebracht werden
konnen, wird an den einzelnen Stellen auf die einschliigige Literatur hingewiesen.
Die Differentialgleichung der Kugelfunktionen lautet :
+
d
dx
-}ddYx
+ (n ( ) I + I) - -}1 -m sxs
g =0
Die beiden fur beliebige reelle oder komplexe Werte von m und n voneinander
unabhbgigen Partikularloiungen dieser Differentialgleichung werden gewohnlich in der Form der G1. (2a, b) angegeben, und es werden hierin
als
der Grad und m ale der Rang der Rugelfunktion bezeichnet.
(2 a)
2/1 = P:
(2b)
y2 =
QZ
(z)
,
(5)-
Das Verhalten von y1 als Funktion von x geht aus der Definitionsgleichung (3),
in der F(a,8, 7, 2) die G a u s s ache hypergeometrische Funktion bedeutet, zur
Genuge hervor. 1st der Rang m der Funktion positiv ganzzahlig, so schreibt
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 37. 1 9 4
216
man sie besser in der Gestalt der G1. (3a), die aus G1. (3)
gems
der Regel
von d e I ' H o s p i t a l folgt. Nacb (3) oder (3a) hat demnach P:(z) fur jedes
verschwindende oder ganzznhlige ni an der Stelle x = + 1 einen endlichen
Wert, und zwar ist im besonderen
= P, (1) = 1 ,
(3a)
Pp, (1)
(38,
in =
P;(l) = 0
und fur ein beliebiges m und
2
=
P; (cos 4) =
(3 Y)
* 1, f 2, * 3
cos 9 ist
1
r (1 - m)
..
Falls ni = 1, 2, 3 . ist, verschwindet mithin Po" (COB 8)identisch. Fur m = 0
und ein positiv ganzzahliges n entstehen aus (3) die bekannten L e g e n d r e schen Polynome vom Grade n.
Statt der Reihendarstellungen kiinnen zur Definition von P: (x) innerhalb
gewisser Bereiche von m,n und COB 4 auch bestimmte Integrale benutzt werden.
Wir geben hier nebst ihren Geltungsbereichen die drei folgenden weniger bekannten an:
sin u
(4C)
(
O
n
. COB 4 + ~(m 2
1 . Km
- 1)
(u . sin 4)
n
- - 2_ . r (m + n
11"
. du
+ 1) . P i
(COB
a),
1- x
4u
( l + U ) + - ( ( l + U ) t
-
S
T
)
]
schreibt, i n die binomische Reibe entwickelt und gliedweise integriert. Die
G1. (4b) kann bemiesen werden, indem man die B e s s e l s c h e Funktion in eine
H. Buchholz. Die Bewegung elektromagnetischer Wellm usw. 217
Reihe auflijst und' sodann wie oben gliedweise integriert. Die G1. (4c) endlich
ergibt Rich aus .(4b) durch Aufspalten von J, in die Summe der beiden
H a n kelschen Funktionen und durch Verlegen des Integrationsringes in die
imnginiire Achse. Die BeschrLnkung %e (111 + it + 1) > 0 kann aus beiden
Darstellungen (4 a) und (4b) beseitigt werden, indem man in bekennter Weise
ststt der reellen Integrale komplexe Umlaufsintegrale urn den Nullpunkt
verwendet.
Aus (48) erschlieSen wir zuniichst fur den Geltungsbereich der Formel
und dariiber hinaus durch analytische Fortsetzung die fur alle IL gultige Beziehung:
Insbesondere ist ah0
Ferner folgt aus (4s) fiir x = 0 der fiir alle m und
p(6)
,,
m
It
6
(0)=
{2m
.r
(qz+ r (---)I
gultige Ausdruck:
~
m-n+l
1)
-
.
2
Aus (3) konnen wir schlieSlich noch die wichtige Beziehung ablesen:
(7)
p::
(d = P"_-l
(2).
Wiihrend nach den ohigen Auefdhrungen die Funktion PE (2)wenigstens fur
d l e ganzzahligen Werte von m mit EinschluS der Null an der Stelle 5 = + 1
endlich bleibt, gilt dies nicht mehr von der zweiteii Partikularliisung der
Differentialgleichung (l),der Funktion Q: (2).Sie wiichst vielmehr bei Anniihean diese Stelle uher alle Grenzen und besitzt au6erdem daselbst einen Verzweigungspunkt endlicher oder gar unendlich hoher Ordnung.
GemiiE dem Aufbau der Differentialgleichung (1) sind nun im sllgemeinen
fur beliebige Werte von na und n neben y1 und yn auch die Funktionen y3
nnd y4 der G1. (88) und (8b) partikulare Lasungen von (l), da sich namlich
die Gestalt der G1. (1) nicht iindert, wenn dsrin x durcli
(8a)
Y3
(8 b)
y* = P," (z)
=
P:(-
TI,
- z und m durch - TIP ersetzt wird. Nach der sllgemeinen Losungatheorie
der gewohnlichen Differentialgleichungen zweikr Ordnung miissen dann aber
zwischen je drei der vier angegebenen Partikularlosungen lineare Beziehungen
beatehen. Diese Behauptung trifft auch tatsgchlich zu. Wir schreiben einige
dieser Beziehungen hier ohne Beweis an und verweisen wegen der Herleitung
auf die einschliigige Literatur [1,2] und [3]. Es gilt niimlich
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 37. 2940
218
Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen die Funktion Q,"(z),
so ergibt
sich ale dritte Beziehung dicser Art:
Wir ziehen aus dieser Gleichung einige Folgerungen. Zuniichst ersieht man
aus (loa), daE die Funktion y, = P,;" (z) offenbar keine von y1 partikular unahhfingige Losung mehr ist, wenn m einer ganzen Zahl oder der Null gleich
wird. I n diesem Fall gilt vielmehr die
GI. (9 a), die unter derselben Voraussetzung aus G1. (9) hervorgeht. Im Gegensatz dazu bleibt das dritte Partikularintegral ys = P," ( - Z)auch noch fur ganzzahlige n~ eine von y1 unabhiingige Losung. Diese Unabhilngigkeit geht
fur y, erst verloren, wenn 1 1 -k m eine ganze %ah1 ist. 1st also nL wie im
Text der Arbeit ganzzahlig, SO muB es auch 91. sein. Es besteht dann die
Beziehung:
P,"(- z)= ( - )
(9 b)
n
+ ni . P r (s)
(n -I-m = 0, I, 2 . . .)
.
0 und m = - 1 gilt also (9b) nicht inehr. Das zeigt auch GI. (37).
GI. (10) wird auch ersichtlich, dnB an der Stelle z = - 1 die
Funktion P," (z)im wesentlichen dasselbe Verhalten zeigt wie die Funktion Q r (z) an der Stelle 5 = + 1. Die Partikularlosung P,"( - z) ist daher
ebenso wie die Liisung Q: (z) in allen den Fiillen, wo sie sich aus physikalischcn Griinden in der Urngebung der Stelle x = + 1 reguliir verhalten muB,
nicht %IsPartikularintegral geeignet.
d P, (ZJ
Fur die im Haupttcil der Arbcit auftretende Funktion ___- ltiEt sich
dn
Fur n
=
Aus der
HUB
(3) die Entwicklung herleiten:
Hierin ist in Rbgekurzter Schreibweise
Die Entwicklung (11) bricht im Gegensatz zur Entwicklung (3) auch dann
nicht ab, wenn n zufgllig gleich einer positiven ganzen Zahl q ist, denn
1 verschwindet nicht bloB crstrnalig das Ziihlerglied ( - n),
fiir p = q
eondern es wird dafiir auflerdem die Funktion "(1 + n - p ) in erster Ordnung
unendlich. I n diesem Fall ist dann nnch einer bckannten Regel in der Entwicklung (11) fur alle p = 1 + q + r mit T = 0, I , 2 . zu sctzen:
+
,
..
(Ilb)
lim [(n=q
Y (1
+ )t - p ) ] = ( - ) q
q !r ! .
H. Buchlwlz. Die Bewegung elektromagstetischer Welkn w . 219
Bei positiv ganzzahligem
~t
=
q gilt daher an Stelle von (8) die Formel
i
1
(12)
I
I
1 , 1 , 2q
+ 2; q -I- na + 2 , y + 2 ; *)
.
Fur y = 0 f a l t in (12) das erste Glied fort.
die folgenden Identitfiten:
Mittels (12) bestlitigt man leicbt
Zwischen den Kugelfunktionen gibt es zahlreiche dreigliedrige Beziehungen,
die in h e a r e r Form Funktionen verechiedenen Grades oder verschiedenen
Ranges miteinander oder mit ihrer ersten Ableitung nach T verkniipfen. Sie
lassen sich fiir unsere Zwecke am bequemsten BUS der Integraldarstellung (4b)
nbleiten, indem man dabei die Rekuraioneformel der Zylinderfunktionen berucksichtigt.
Eine erste Gruppe von Beziehungen dieser Art verbindet die erste Ableitung von P: (r)mit zwei Kugelfunktionen desselben Grades. Es ist niimlich
*
(13b)
a P;
~-
dx
1
(X)
-
=
(1'-
mf1)(r+m).(1-x2)-T
- Pm-'
msx
(T)
+ (1 - 51) r;
_______
(x).
Eine zweite Gruppe solcher Beziehungen bringt die erste Ableitung mit
zwei Kugelfunktionen desselben Ranges in Zusammenhang. Hier erhLlt man :
Aus jeder dieser beiden Qleichungsgruppen, die fiir beliebige Werte von n, ni
und r gelten, lassen sich durch Elimination der linken Seite zwei weitere Beziehungen gewinnen, die entweder zwischen drei Kugelfunktionen gleichen
37. 1940
Annalen der Physik. 5. Folge. Band
2 20
Ranges und verschiedenen Grades oder verschiedenen Ranges nnd gleichen
Grades bestehen. Wir geben von diesen Reziehungen hier nur die G1. 114c)
an, die nus (14a, b) hervorgeht.
( 2 n + 1) . z Pr(a.1 = (n - m
(14c)
+ 1) P r + l (2)+ (n + m)P:-l
[z).
Wird die G1. (1) mit P,P (x) und die fur PP (x) geltende Differentialgleichung
mit Pz (z) multipliziert und danach eine Subtraktion beider Gleichungen vorgenommen. so entsteht die zur Herleitung einer gsnzen Reihe besonderer
Formeln wichtige allgemeingiiltige Beziehung:
Wir benutzen zuniichst diese Gleichung fur den Fall m = p. Geht man mit
dem Ausdruck (13s) in diese Gleichung ein und integriert zwischen den
Grenzen 1 und c o s a , so entsteht die gleichfalls fur alle n , m und c gtiltige
Formel:
[
(16)
(n -
1') ( i l
+ 1' + 1) .
s'
[TI P," (2)d z
P;
COB a
= sin
- {P:
a
(cosm)P:+' (coB a)- p;+'(cos
Aus G1. (16) folgt speziell fur m
s
(Ilia)
=
a)
*
- PF (toe m)/.
0 und r = 0 in Rucksicht auf (3)
-
P,, (z)a x = sin a P,
(cos a)
.
c00 a
Fur in = 0 und c = 1 hingegen ergibt sich zufolge (3a)
1..
1
16b)
P.
(2)
. dx
sin a
=- (n- 1)(a
+2)
.
{sin n P,,(COB n) + COB a Pml(cos
COJ Q
Es mijgen nun ersterie r und 1 1 zwei verscbiedene Wurzelu np,mund Tiq,?,,
der Gleichung:'I (cos a) = 0 in bezug auf n sein. Dann ist gemti6 (16) fur
alle m, fur die solche Wurzelu existieren :
1
(17a)
JP:p',n W) ":q,m
COS
(z) d r = 0
.
(P
*
Q)
N
Sind aber c und n gleich einer und derselben Wurzel
der erwlihnten
Gleichung, so folgt BUS (16) durch einen Grenzubergang die Heziehung:
H. Buchholz. Die Bewegung eblctromagnetischer WeUan usw. 221
Es seien zzucitei~e 1' nnd ) I zwei verschiedene Wurzeln der Gleichung
P,"+'(cos a) = 0. Werden sie mit ?ip,
I bezeicbnet, so gelten
und nq,
gemiif3 (16) wiederum die Gleichungen:
+
" +
*
(18s)
'P 4)
cos a
I ~1
Entsprechend ergibt sich fur ein und dieselbe Wurzel
I'm
(I8b)
'5,7n + 1
(1)
np, m
+1
(ZJ
dx
-
=
itp,
+
die Formel:
sin n
-_ _ ~
- p7"
(cos a)
3 n p , m + 1 J ''pp,m+l
+
~
i-a;; -1
aP,"f'(cosa)
*
11
= np, m
+1
Wir machen eine andere Anwendung von G1. (lj),indem wir darin 1' = n
und fur vorerst ganz beliebiges m p = - m setzen. D u n folgt offenbar aus
dieser Gleichung durch eine Integration nnch 2, dsS der in der geschweiften
Klammer von (15) hinter dem Zeichen d!dx stebende Ausdruck in bezug auf
z cine Konstante ist. Geht man nun mit der G1. (14a) in die geschweifte
Klammer ein und bestimmt ihren Wert z. l3. fur s = i1, so gewinnt man
die Relation (19), die natiirlich nur fur ein von einer ganzen Zahl verschiedenes nc
etwas Besonderes aussagt. Berucksichtigt man schlieBlich noch die G1. (ll),so
gelangt man zu der Beziehung (20). In ihr kann m auch ganzzahlig werden,
(20)
p"I, (-
dlBm( - z)
;d'1 (.r\
___
- pm
n (2)
ds
T)
~
ax
=
2 . sin n
~~~
(it
+ m) r(l + 1 ) + m)
r(i + 71 - m)
n (1 - TI)
ohne daB fur sie ein beliebiges
zu einer Trivialitat wird. Setzt man speziell
in dieser Gleichung n gleich eine der Wurzeln np, von ",'I (cos n) = 0, so
ergibt sich in Rucksicht auf G1. (143 die Formel (21a), die fur die numerische
~
Berechnung sehr wertvoll ist. Macht man aber in (20) von der GI. (13a)
Gebrauch, so erhiilt man als Gegenstuck zu GI. (21a) die andere Beziehung:
Fur n~ = 0 und tn =
- 1 ist
Annalen der Physfk. 5. Folge. 3;.
daher im besondercn
1(i
Anhalen der Physik. 5. Folge. Band 37. 1940
222
Eine andere sehr wichtige Formel bildet dss Additionstheorem der Kugelfunktionen. Es lost die Funktion l',, ( * cos @), in der sich der Winkel 6, gems
dem spblirischen cos-Satz (22) aus 4,sund QI- cp' zusammensetzt, in eine nach
dem Rang fortschreitende Reihe von Kugelfunktionen mit den Argumenten
COB Y und COB 8
' auf. Wir geben dieses Additionstheorem in der Form der
cos 8 = cos 4 * cos 4'+ sin 4 . sin 4'
(22)
COB
(p-q')
G1. (23a) an. Aus ihrein Aufban geht hervor, daE sie auch als die FourierEntwicklung von P. ( * COB 0, nach Vielfachen des Winkels QI 9' aufgefaEt
-
m
123%)
I
I
I
Pn(- COB 8)=
2
8,.
(-)m
*
m=O
r(i-I-n + m) * P,m(-cos4)PP,'"(COs3')
r(i + 12 - m)
*cosni(cp-~~'l
fiO=l,
em=2furm~1
werden kann. Die Rcihe (23a) ist fur jedes beliebige R giiltig. 1 s t n positiv
ganzzahlig, so bricbt sie bei dem Gliede m = n + 1 ab. Anderenfalle besitzt
sie unendlieh viele Glieder, und sie konvergiert dann absolut fiir alle 4 > 4'.
Fur 4 < 4' braucht nur 4 mit 3' vertauscht zu werden. Setzt man in (23s)
4 = n - 8 und 9 - QI'= n - + q', so entsteht znfolge G1. (98) die Entm
(23b)
II
I
- l'im
8 ) Pi" (cos4') . cosm (cp - cp')
(COB
wicklung (23b), die ihrerseits absolut konvergiert, solange 8 + 4'< n ist. Ans
den G1. (23a, b) folgt die weitere Beziehung (21). Neben der Abhangigkeit des
I
- P;"'
(*
cos 3)Y;"'
(COB
4')cos m QI.
Funktionswertes vom Argument besteht fur die Kugelfunktion P," (z) auch
eine Abhiingigkeit von den beiden Parametern n und m. I n bezug auf diese
beiden Verihderlichen ist die Kugelfunktion ganz und transzend.ent. Wir
gehen hier nur auf das Verhalten von PE cz) hinsichtlich n ein. Im *mendlich
fernen Teil der n-Ebene kann es aus der Entwtcklung (25) erschlossen werden,
die zu einer der zahlreichen Formen gehort, auf die die hypergeometrische
Reihe (3) bei den Kugelfunktionen gebracht werden kaiin. Die Reihe (25)
konvergiert, wie sich zeigen Itifit, nur fiir eolche Winkel 8,fiir die
ist. Fur Winkel 4 zwischen 0 und
n
oder 5
n
~- und
6
n
n
-
6
< 8 < 5 -~n6
verliert sie dennoch
keineswege ihre Bedeutung. Sie stellt niimlich in diesen beiden Winkelbereichen
die Funktion q ( c o s 4 ) asymptotisch dar. Macht man fur grof3e Werte von n
H . Buchholz. Die Bewegung ebktromagnetischer Wellen usw. 223
in (25) obendrein von dem asymptotischen Ausdruck ftir die Gammafunktion
Gebrauch, so leitet eich fur solche n fiir P:(z) die Darstellung her:
Fur ein kompleses
TL
-
= N e i y mit
Y
+ 0 ist noch einfacher
Die Darstellungen (26) gelten fur jederi n rnit larc d < n nnd fur alle 4
< B < ?G - E, worin 8 eine beliebig kleine Zahl iet.
In bezug auf )L hat die Funktion
),(:?I
unendlich viele Nullatellen, die
alle reell und einfach sind. Wegen 01. (7) liegen sie symmetrisch zum
Punkte I I = - 0,5. Fur groEe VL ergibt sich die Lage der Wurzeln angenahert
aus GI. (26). AuBerdem ereieht man aus dieser Gleichung, daE sich rnit
wnchsendem ti der Abstand zweier nufeinanderfolgender Wurzeln mehr und
mehr dem Werte n/a nlihert. Fur gr6Bere Winkel n lirflt sich such aus GI. (26)
eine Formel gewinnen, die die hoheren Wurzeln der Gleichung P;(cos a) = 0
explizite zu berechnen gestattet. F u r kleine Winkel a ist jedoch diese Formel
nicht brauchbar. In diesem praktisch besonders wicbtigen Fall benutzt man
besaer zur Herleitung einer solchen Formel die erstmalig von S l a c d o n a l d [4]
aufgeetellte G1.(27), die die Funktion P,Tn'(cosN ) mit derBe s s e l s c h e n Funktion J,
mit
5.
verknupft. Sie scbreitet nach Potenzen von sins
(+) fort, hat aber such nur
nsymptotischen Charakter. D a die Nullstellen der B e sselschen Funktion J,,,(x)
q = (2 n
+ 1)
sin
a
2
bekannt sind, so liefert die Aufliisung der GI. (27) nach n
1
+tatsiichlicb
2
eine Formel, die besonders bei kleinem Winkel fur die direkte Berechnung
von n gut brauchbar ist. In der Form (28) gilt sie fur jedes beliebige m. Die
16*
224
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 37. 2940
GroEe j , bedeutet darin eine beliebige der unendlich vielen Wurzeln der
Gleichung J, (r)= 0. Ahnlich wie die einfache Rugelfunktion besitzt such die
G1. (29) unendlich viele einfache und reelle Nullstellen nach ' ~ 1 . Jedoch sind
(29)
(cosa) l',,
(- cosp,
- P,-"(cosB)
P,"
(-
cosa) = 0
bisher besondere Formeln fur die bequeme Berechnung der Wurzeln dieser
Gleichung nicht aufgestellt worden.
Aus G1. (27) folgt fur die Ableitung von Pc (cos a) nach n die fur kleine a
brsuchbare Darstellung:
1st nicht a, sondern n - a ein sehr kleiner Winkel, so gestatten nach
M s c d o n a l d [ll] die Wurzeln der G1. P,Tm(COB a) = 0 mit n - a = @ in erster
Nlherung die Darstellung:
Das sehr ubersichtliche Verhalten der Kugelfunktionen in Abhlingigkeit
vom Grade 15iflt sich zum Beweis einer Beziehung benutzen, die das Produkt
zweier Kugelfunktionen vom beliebigen Grade durch eine unendliche Reihe
von Produkten zweier solcher Funktionen von ganzzahligem Grade darstellt.
Die Funktion f ( 8 ) in (32) ist niimlich eine in a gerade und meromorphe Funktion.
mit p = 0,
8 = - p - m - 1- und s = p + m +
2
2
lauter einfache Pole und das Iiings eines Kreises rom Radius 8--f 0:
Sie hat in den Punkten
1,2
--
. P --" ~
-
(32)
y + a
( - , r ) . r-'nl
- -2 + a (TI)
erstreckte Integral uher fcs) d a verschwindet, solange in z = c o s 4 und d = cosb'
stets Irt > 8' ist. Wendet man daher auf das llings eines derartigen Kreises
genommene Integral iiber
f (u) den Residuensatz von C a u c h y an, so ent-
(U
- 8)
'steht bei ganzzahligem Wert ron m die fur alle 3 > B' gultige Formel:
H . Buchholz. Die Bewegung elektromagnetischer Wellen usw. 225
LliSt man in dieser Gleichung .I.'-+ 1 gehen, so erhklt man durch
einen gewohnlichen Grenziibergang die eiufachere Beziehung:
I
00
Hierin kann man schlieSlich noch mittels der G1. (98) von den Funktionen 1';"
zu den Funktionen Pr iibergehen. Wird gleichzeitig z = - q,
gesetzt, so kommt heraus:
oo
I
..--\
I
1;'
(3
Diese letzte Gleichung l&Ut sich zur Berechnung von P; (2,)verwenden,
wenn v in der N&he einer ganzen Zahl liegt. Fur ganzzahliges v seibet wird
sie zn einer Identitlit.
Literatur-Zuaammenetellung
1) E. W. H o b s o n , Spherical and Ellipsoidal Harmonics, Cambridge 1931.
2) E. T.W h i t t a k e r and G. N. W a t s o n , A Course of modern Analysis,
Cambridge 1927.
3) J. D o u g a l l , Proc. Edinburgh Math. SOC.18. S. 33-83. 1900.
4) H.M. M a c d o n a l d , Proc. London Math. SOC.IS. S. 220-221. 1914.
5) W. L . B a r r o w and L. J. C h u , Proc.Inst.Rad.Eng. 27. S. 51-64. 1939.
6) G.C. S o u t h w o r t h , Proc. 1nst.Rad. Eng. 27. S. 95-102. 1939.
71 W.L.B a r r o w and F. D. L e w i s , Proc. Inst. Rad. Eng. 27. S. 41 bis
61. 1939.
8) S. A. S c h e l k u n o f f , Bell System techn. Journ. li. S. 17-48. 1937.
9) R i e m a n n - W e b e r - v. M i s e s , Die partiellen Differentialgleichungen
der mathematischen Physik, Bd. XI, Berlin.
10) F. B o r g n i s , Ann. d. Phys. [5] 36. S. 359-384. 1939.
11) H.M.M a c d o n a l d , Proc. London Math. SOC.31. S. 264-278. 1899.
Berlin.
(Eingegangen 13. Janoar 1940)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
2 211 Кб
Теги
weller, die, bewegung, eine, kegelfrmigen, elektromagnetische, horn
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа