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Die Bewegung kapillarer Grenzflchen und die Randwinkelgesetze fr bewegte reibende Flssigkeiten.

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884
2. Die Bewegung kapCllm+ei*GrenaflUchert
vcnd dde Ra!ndwdnkeZgesetxe far beutegte reibende
TZQssdgkedten;
uon R u d o l f H . Weber.
I. Die Bewegungegleichungen und die arena- und Randbedingungen.
Wendet man das D' Alembertsche Prinzip
C(X'8r+ r a y + Z'Br) = 0
auf ein System von Fltissigkeiten an, so hat man unter den
,,verlorenen Krilften" X', Y', Z' die Summe der auf die einzelnen Volnmenelemente d r wirkenden verlorenen Krafte, vermehrt um die in den QrenzflLchen wirkenden Kapillaren- und
Reibungskrafte, zu verstehen.
I . Es sind die verlorenen Krafte eines Volumenelementes
einer Fliissigkeit 1, der Dichte 5 , wenn wir sie als inkompressibel voraussetzen, und fIir die lluI3eren Krafte ein
Potential 17 annehmen, so da6 K = - grad ZI,
Die letzten, von der Reibung 1 herruhrenden Glieder
erbalt man bekanptlich aus dem Grundprinzip der Reibung,
da6 die umgebende Fliissigkeit das Element d t in den t-,y,zRichtungen mitzufuhren sucht mit Kraften , die gegeben sind
durch
u l S e d o ; alJzdo; ul$zdo,
worin die Integrale uber die Oberflilchen von d r zu erstrecken
sind. Die Anwendung de8 Ciaussscben Integralsatzes bringt
diese KrBfte auf die Formen
a1 A u , d r ; u1 A v l d r ; ~1 A q d r .
Beroegung Rapillarer Grenzflachen usw.
885
2. Diese Reibungskriifte sehen anders aus ftir ein an der
Grenze 01,2
mit einer anderen Flfissigkeit gelegenes Element.
Wahlt man ein solches Element in der Form eines Zylinders,
dessen Basisflichen d o der Qrenzfliche parallel liegen und
unendlich klein sind, nnd dessen Mantelfllche unendlich klein
haherer Ordnung ist, so wirkt auf die an die Qrenzfllche 01,2
angrenzende Basisfllche die lullere Reibung in der x-Richung
bl,a(ua
- ui)do,
wenn us die x-Xomponente der Qeschwindigkeit in der angrenzenden Flfissigkeit (2) ist ; auf die gegentiberliegende Basisflache, wie bei der inneren Reibung die Kraftkomponente
a-
1 am,
do,
und m, ist die, relativ zum Zylinder nach auSen, relativ zur
Qrenzfliiche Ol,a also nach dem Inneren der Fliiesigkeit (1) gerichtete Normale. Somit tragt die Reibung an dem Orenzfliichenelement d o zum D’Alernbertschen Prinzip den Beitrag bei:
3. Die Beitrilge der Kspillarkrlfte ergeben sich am
leichtesten in ihrer Gesamtheit, nilmlich als die Abnahmen
der kapillaren Oberflachenenergien
(3)
und hier wird l)
(34
601,, = -
- Cai,a Joi,,
J(’ + +)
c
do
4 , P
+JJPl,* +
ff8
4, a
$JWl,,
da.
U
Ns bedeuten in diesem Integrale:
-
r, i die Hauptkrtimmungaradien, positiv gerechnet, wenn
die Kriimmungsmittelpunkte von d o aue gesehen in der
positiven Richtung 611 liegen;
6 n die virtuelle Normalverachiebung von d o , positiv
gerechnet vom Medium mit niederem Index in das Medium
mit hbherem;
1) Vgl. e. B. C. F. Osuee, Allgemeine Grnndlagen einer Theorie
der Oeetalt von Fllfssigkeiten im Znstand d a Qleicbgewichtee. Ostw.
Klaeaiker Nr. 135, Anm. 2. p. 69 von H. Weber. .
R. H. Weber.
886
sl,, die an eine ieste Wand grenzende Umrandungskurve der Ober0ache O1,a;
Spl , I die tangentiale, virtuelle Verschiebung eines Brenzflilchenpunktes in der Nachbarschaft von al,, (vgl. Figur),
positiv, wenn mit 8 p eine Vergr60erung von Ol,averbunden ist;
S vl,a die analoge Tangentialverschiebung an einer Grenzlinie c von O,,, gegen andere Grenz0lchen.
2.
Wir wollen das Fltlssigkeitssystem spezialisieren, indem
wir drei Fliissigkeiten (Fignr) in einem festen QefiiB annehmen.
Die eine dieser Flussigkeiten darf als Lnft oder Dampf angenommen werden, wenn der ihr zur Verfugung stehende Baum
unveriinderliche GroBe besitzt , und wir so energische Bewegungen, deS lokale Kompressioneii der Gase erfolgen, ausschlieden. Die Summierung im D’ A1 em b e r t schen Prinzip
ist tlber alle bewegten Teile zu erstrecken, also bis an die
GefiiBwande nnd eine, durch unbewegte Materie gezogene
Qrenzflilche A B.
Das GefiBmaterial werde mit dem Index g versehen;
Ol,gsei also die Qrenzflilche zwischen Fltlssigkeit und Wand.
Es sei
der Winkel zwischen der Oberflhche 01,2
nnd der Wand 9 , gemessen in der Fltissigkeit 1, also
=n -83,l;
es sei Sh,,eine virtuelle Verschiebung eines Elementes
von s , , ~ normal zu sl,, gemessen, positiv, wenn die Verschiebung vom Medium 1 in das Medium 2 erfolgt, so daS
SR,,, =
ist;
-
Beweguny hapillarer Grenzflachen usw.
887
es sei S h eine virtuelle Verschiebung der Grenzlinie u
der drei Fllissigkeiten;
i l , ia, 6 seien die Winkel die 8h mit den drei Oberfliichen bzw. Oa,3, 03,1,Ol,rbilden, und zwar sollen die
Winkel gemeint sein, die die Qber a hinaus gedachten Fortsetzungen diem Grenzfllichen mit 6h einschlieSen (Figur).
Nach diesen Festsetzungen wird
weiter :
; 3&,, = 6k1,3 cog I?,,, ;
J h , 3 = aha,, COB 9 b , 3 ;
B V ~ =, ~Shcosi3; 6va,, = 6hcosil; a'~,,~
= Jhcosi,;
ap1,2= a h , , , cos
und hierin gilt:
-
-
.
ah,,, = SR,,, ; COB I?l,a = cos I?,,,
Die Qleichungen (1) bis (6) lassen das D'Alembertsche
Prinzip in der Form erscheinen:
(6)
R.H. TPeber.
a88
In den Integralen bedeutet +(..y. .) (. .z..), daS die davorstehenden
Ausdrticke ffir die y- und r-Komponente zu wiederholen eind.
Es sind in dieser Gleichung die Variationen a x , 6y, 6z,
a n , a h , S h nicht voneinander unabhilngig. So Bind die 62,
6y, 6 r iiberall im Raume an die Stetigkeitsbedingnngen gekntipft
An einer Qrenztliiche ist
SZ,cos(nr) sp, cos(ny) + 82, cos(n2) - a?,, = 0,
wenn n die, von 1 nach 2 weisende Normalenrichtung bedeutet.
S?i bedeutet den an der Qrenzfiiiche gtiltigen Wert von 6s.
An einer Grenzlinie sl,a wird :
SZ,COS(RZ)+6 ~ , ~ 0 s ( k y )6ZlCOe(hz)-66k,,,
+
= 0.
An der Grenzlinie c:
S Z , C O S ( ~ Z ) +6ji,coS(hy)+ S $ C O S ( ~ Z ) - ~ ? ~ A = O
nnd hierin bedeutet 6Z den Wert von 6 5 an einer Grenzlinie.
Man macht in (7) die Variationen voneinander imabhihgig,
indem man diese Bedingungegleichungen mit , zunachst willktirlichen Ortsfunktionen multipliziert, iiber ihren Gtil tigkeitsbereich integriert und zu (7) addiert. Die zu addierenden
Integrale werden so:
+
und dae gibt partiell integriert:
Ol,#
+
1,,, (65,cos(nz) Sj,cos(ny)+ SZ,cos(nz)-65,,) do =0,
A,, ,( 6cospz)
~ ~ + 6jjzcos(ny)+ 6Zacos(nz)12,29,91
Sa,, ,) d o =Q
,
Beweyuny Rapillarer Grenzfiachen
2 /zl, (aslcos(kz)+
a
usw.
889
coS(ky)+ 6Z1cos(kz)-d k , , ,Jds = 0 ,
12,28,81
x1 (ElC O S ( ~ Z ) + Sg, C O S ( ~ ~ J ) +62,COS(h2)--6h)
ds= 0
.
Die Qleichungen (ll), (12) sind vorerst irrelevant. Die
Addition der Qleichungen (8) bie (12) macht die virtuellen Verrilckungen untereinander unabhgngig, soweit sie sich nicht auf
ein nnd dasselbe Element nnd ein und dieselbe Richtung beaiehen.
Diese Unabhhgigkeit fordert d a m die Qleichungen:
in T ~ I,=
:
- el
R. Ha Wcber.
890
LilSt man hierin fiir den Moment an einem Orte die 2-Richtung mit der normalen Richtung n = nl,avom Xedium 1 ins
Medium 2 zusammenfallen, und bezeichnet man die n-Komponente der Geschwindigkeit mit a , eine dazu senkrechte,
aleo tangentiale Komponente mit t, so folgen hieraus Verallgemeinernngen der 0. E. Y e y e r schen Grenzbedingungen
der Reibung l) fur nicht konstant bleibende Qrenzfllchen
at, (15) a1 am,
4,a(f
- ta) = 0 ;
a t*
- 4 , a ( t a -ti)
aa 8%
=0
Es ist hierin der Definition nach
- m, = ma = n = n l , , .
Zur Gleichung (16) gelangt man auch durch Jblultiplikation der
Qleichungen (14) mit den Kosinus, die ihre rechten Seiten
bereite enthalten, und Addition; zur Clleichnng (15) durch
Multiplikation der Gleichungen (14) mit bzw. COB t z , co8 t y ,
cos t z und Addition, wenn t eine zu n normale Richtung bedeutet.
An den WandflHchen folgen aus (7) die 0. E. Meyerschen
Gleichungen selber , die eich aus (15) durch Spezialisierung
ergeben. Weiter folgt aus den Oberflbhenintegralen von (7)
ale Qleichung der Grenzfliiche eine Verallgemeinerung des
ereten L a pl ac e schen Satzes:
1
1
ei,z (7+ 7 )= (pa -pi)
oder
+ (4,g + ka,i)
1
p,,
j1 entsprechend den Gleichungen (13) zu bestimmen
l m Falle 'dea Qleichgewichtes geht e. B. (17) tiber in
die bekannte Oberflilchengleichung:
wo
sind.
1
+).;1
ul,a(c
= el
D~- &a E~+ Conat.,
1) 0. E. Meyer, ,,nber .die Reibung der Fliiisigkeiten". CrelleR
Journ. f. !Wb. 69. p. 229. 1861.
Bewegung Rapillater Grenzflachen usw.
89 1
und wenn nur die Schwere wirkt
For die Funktionen x ~ , x1
~ , folgt, wenn man von unendlich groBen Kraften oder Geschwindigkeiten (vgl. spilter
unter 11) absieht, da6 sie verachwinden miissen, und dann weiter
aus den Linienintegralen in (7):
(18)
(1 9)
~ 1 , COB
2
a,,acos is
9;,a
+
-
+ aa,scos il +
=0.
cos ia = 0 .
aa,g
Die Qleichung (18) ist die der Konstanz des Randwinkels
(zweiter Laplacescher Satz); Gleichung (19) enthillt den ,,Neumannschen Satz". Sie sagt aus, daB die Kapillarkonstanten
in den Richtungen, in denen die Kapillarkriifte wirken, als
Lilngen aufgetragen, und auf eine beliebige Richtung projiziert,
die Projektionssumme 0 ergeben, d. h. da6 die Kapillarkrilfte
sich znm Polygon schlieben.
Es folgt aus der Qtiltigkeit dieser zwei Siitze im F d l e
reibender Bewegung, daB auch im Falle bewegter Fhssigkeiten
die Kapillarkrilfte an einer Grendinie in sich immer im Gleichgewicht stehen.
11. Die GrgBenordnung der Bur Randwinkellinderung
erforderliohen Kr&fte.
Es ist evident, da6 trotz des vorstehenden Resultates die
Randwinkel von Fltlssigkeitsoberflikhenvon den durch (18), (19)
gegebenen Gesetzen abweichen kbnnen. Taucht man einen
Kiirper in eine FlUssigkeit, so wird z. B. im Moment der Bertihrung der Randwinkel gestbrt sein. DaS unser Resultat
damit nicht iibereinstimmt, ist die Folge von Vernachlassigungen
in der Theorie, die nnr erlaubt sind, solange wir unendliche
Krafte oder Geschwindigkeiten ausschlie0en.
Wir haben angenommen, daB die Variationen Sz,Sy, 6%
im Raumintegral der Gleichung (7) nur der Bedingungsgleichung ( 8 4 unterworfen sind; das ist auch richtig bis auf
einen unendlich kleinen Anteil, nirmlich bis auf die Variationen
der Elemente, die den GrenzflBchen unendlich benachbart sind.
Diese bilden zu dem Raumintegral nur einen unendlich kleinen
R.H. Webcr.
892
Beitrag, der streng genommen aus dem Raumintegral abgesondert werden m W e und sich als ein Oberflilchenintegral
darstellen wtlrde. Dieses Oberflilchenintegral aber ware verschwindend klein gegen die tibrigen Oberflachenintegrale, so
lang in seinem Integrand nicht unendlich gro6 werdende Faktoren auftreten.
Aus demselben Grund mii6te man aus den Oberflkhen.
integralen von (7) Glieder herausnehmen - (die sich dann als
Kurvenintegrale gestalten wlirden) -, weil diese Qlieder den
Grenzbedingungen (lo), (ll), (12) unterworfen wilren. Ja, man
miif3te streng genommen vom Raumintegral in (7) auch noch
Linienintegrale abspalten, deren Beitrilge aber unendlich klein
haherer Ordnung wiirden, und von denen wir fiiglich definitiv
absehen diirfen, auch wenn wir jetzt unendlich grof3e Krilfte
oder Geschwindigkeiten nicht mehr ausschlieSen.
Fassen wir so die silmtlichen Oberfliichenintegrale liber
0, inklusive der aus den Raumintegralen abgespaltenen aus
Gleichung (7) und den Gleichungen (8) big (12) znsammen, so
folgt:
+
lAl,a
(ax, cos n x
+ Syl cos n y + b z l cos n z-an,,,) do
4,I
+$h,, (ax, cos n x + ~ y ,cos n y + 62, cog 11Z - a n , , , )
O,,S
do = 0 ,
und daraus, wenn man znniichet die mit 6 n mnltiplizierten
Glieder zusammen nimmt :
- (X16x1 + 4 5z2 + (. .y. .) + (. .z
I
.)).
Bewegung Rapillarer Grrenzfiachen USED.
893
Die iibrigen Qlieder liefern dann:
-
\a1 -am,
a ol, h,,,
(11,
- u*) = - &,a
COB R X ,
(22)
- ~ l , , ( u z - ~ l ) = - ~ a , l c o s n t usw.
\az%
wie die Qleichungen (14).
Zu demselben Resultat mu8 man auch kommen, wenn
man in (20) zuerst alle Glieder zusammenfaflt, die axlJ 6y,. . .
enthalten. Die Glieder, die ein Produkt 6z.d n enthalten,
treten d a m zu (22) anstatt zu (21) und es folgt nur eine
Das Endresultat ist,
andere Form der Funktionen A,,,
wie man auch vorgeht:
1
(23)
Q
a
- (4a + aa K
)
- (X,at, + x, + (. .y. .) + (. .z..)
(+ + +) =
($2
81
-$J
89
C h z
als Differentialgleichung der Oberflache.
Es sind hierin noch die 82,
willktirlich. Rein mathematisch sagt also diese Qleichung nichts anderes aus als die
Gleichung (1 7 ) .
Physikalisch kiinnte 6 n ale die Schichtdicke aufgefa6t
werden, innerhalb deren sich Punkte befinden, die ale Punkte
der ,,Grenze" zwischen 7, und ra aufgefa6t werden konnen,
die Dicke der ,,Ubergangsschichtt4 oder auch den ,,Durchmesser der ,~okeRulanoirk~ngssphare.~~
Wilhlt man 6 n als virtuelle Verschiebung, so wird sich
der letzte Klammerausdruck in (23) darstellen lassen als
...
(Nl
+ N,) 6n
und Nl $- N, gibt die Kraft an, die erforderlich ist, om ein
am Rande der Ubergangsschicht gelegenes Element aus der
Gestalt der dynamischen Qleichgewichtsfliche normal herauszufiihren. Diese Kraft mu6 unendlich gro6 sein wie 1 / 6 n ,
oder das einmal abgelenkte Teilchen wird, entsprechend den
Gleichungen ( 1 3) mit unendlicher Qeschwindigkeit an seinen
Ort zuriickkehren.
Da die Vorgange im Innern der Ubergangsschicht nicht
geniigend bekannt sind, so kannen wir aus (23) nur echlieben,
daS die Gleichung (17) nur dann richtig ist, wenn wir Kriifte,
R,€€.Weber.
a94
Geschwindigkeiten, Beschleunigungen ausechlietlen, die so groS
sind, da0 ihre GrbSenordnung durch I/Q gegeben ist, wenn Q
die ,,Molekularwirkungaweite" bedeutet.
Nimmt man in gleicher Weise aus den Oberfliichenintegralen iiber Ol,r, Ol,g,
O,,, die Glieder heraus, die drei unend, ~
Streifen erlich schmale, an die Randkurve s ~ angrenzende
fiillen, so lassen diese sich darstellen durch Linienintegrale
iiber s ~ , ~ .Die Streifenbreiten werden dann
ak,,,;
ah,,; S F , , ,
= ski,, *co~a,~a.
In der Nachbarschaft von s ~ wird
, ~ ferner
65 = d A,,, . sin a1,,,
und die Integrale tiber
genommen, geben:
sl,a
aus (7) und (8) bis (12) heraue-
+(. . y . .)+(.* z . . ) ] 6 k . d a
+Jx1,,
61,
(8z1cos(zR)
+ dy,
(dzscos(zR)
+ Syacos(yR)+ 6zacoe(zK)-6k)ds=0.
+ 62,
C O S ( ~ ~ )
COS(Z&)
- a h ) ds.
I
+!xl,%
1,s
Bei den Qliedern, die mehrere virtuelle Verschiebungen
als Produkt enthalten, ist es wieder gleichgiiltig, zu welcher
der beiden Variationen wir eie rechnen. ZweckmiSig faSt
man die mit 63. multiplizierten rungchst zusammen, dann
die tibrigen. Es folgt dam:
..
895
Bewegung Rapillarer Grenxflachen usw.
= - xl,z cos(zK)
I
. . . .
. . . .
und
=-
(. . y . .)
(.
x . .)
-
.
+
%a,
COS (2 k)
. . . .
.. . .
-
+
(a,,,
cos ai,a u i , g uz,J = & i , a xa,i)*
Die Qleichungen (24) sagen aus: Die in den geschweiften
Klammern stehenden @lieder sind die z-,
y,z-Komponenten von
zwei Vektoren, die die Richtungen von K und die Betrage
xl,,/dh; -xa,J6R haben. Bezeichnet man die resultierenden
Geschwindigkeiten
in den Fliissigkeiten mit 6 und p 3 , mit
<,k,
ihre Komponenten nach R in der Nachbarschaft
von s,.,, so wird
-
c,k
Diese Gleichungen (25) nnd (26) ergeben also das Oesetz:
~
(27)
ai,aC0SQi,a
ui,g - u ~= ,U.6R.
Hierin ist U von der ilu6eren Reibung in Ol,r unabhilngig,
nicht aber von der Reibung an den WandBllchen. Auber den
Reibungen enthillt U dnrch Vermittelung der Qleichungen (17)
und (13) den kapillaren Grenzfllichendruck und damit die
au6eren Krilfte, die Qeschwindigkeiten und Beschleunigungen.
Das heibt: Eine Starung des kapillaren Randwinkels ist
nur durch unendlich groSe, llubere Krllfte maglich, oder sie
hat nnendlich grab Beschleunigungen oder Qeschwindigkeiten
zur Folge. Die Unendlichkeit ist von der Ordnung' 1/6k
Wir kannen U ale ein Mall ftir die Stabilitllt des Randwinkels auffassen. Dann folgt also, der Randwinkel ist um SO
-
R. H. Weber.
896
stabiler, je kleiner 6R ist. Mathematisch ist nun aber 6R willkiirlich, nnd der mathematische Randwinkel wiire m definieren
durch
und (27) enthielte wieder nichh anderes als den zweiten
La placeschen Satz.
Physikalisch aber gelten die kapillaren Qesetze nur au6erhalb der molekularen Wirkungsweite Q von den Randlinien,
und es ist
Das hei6t: Die Stabilitgt des Randwinkels ist von der
GrZiSe 1/g, umgekehrt proportional der molekulrtren Wirkungsweite. Eine Stijrung iles Randwinkels ist mit Krllften, Beschleunigungen , Geschwindigkeiten verbunden, die von der
Gr6Benordnung 1:Q sind.
Sieht man von den Reibungskriiften ab, so tritt nach
Gleichung (25) zuniichst eiue Oberflachenkriimmung von der
Gr66enordnung 1:e auf, die sich dann nach den dynamischen
Geaetzen (13) und (17) ausgleichen mu6, also unendlich groSe
Ueschwindigkeiten zur Folge baben wird, wenn nicht unendlich gro6e Reibungskoeffizienten existieren.
In analoger Weise ftihren die Linienintegrale liber B in
(7) bis (12) zu den Gleichungen:
.+ ( a as u,
G
\
- ha,s (us-ua))
. . . .
. . .
a
(.
COB il)
.y .
#)
{. . z . .)
ah = - xs cos (zh)
. .
... .
.
*
Beweyung kapillater Grenzflachn usw.
I
(1+ $)sin is cos
{ul,l
(20)
is
a9 7
(:
+ ua,, - + $) sin 4 cos il
+ us, (I + 7 )sin iz cos iz) ah
1
I- (ul,,cos is +
1
COB i,
+ us,,cosi,) = (xl + xq + xs).
Durch Mnltiplikation der dreilnal drei Gleichungen mit
bzw. cos (zh), COB (y h), COB ( Z A) und Addition folgt, wenn
die Komponente der Geschwindigkeit in der Richtung h an
der Linie n bedeutet:
rh
Hier ist also daa Gesetz der Qrenzwinkel von der iluSeren
Reibung iiberhanpt unabhiingig. Die Ursache dazu liegt darin,
daB die drei E’ltlssigkeiten an der Grenzlinie c mit unatetig
gekriimmten Oberflllchen versehen sind, so da6 sie hier nur
parallel mit n anfeinander hingleiten k6nnen.
Im Ubrigen sind fUr die Grenzwinkel die Abweichungen
vom Neumannschen Gesetz an die analogen Bedingungen
gekntipft, wie die der Randwinkel vom zweiten Laplsceschen
Satze: Ihre Stabilitiit ist von der QrtiSenordnung 1 dividiert
durch die Molekularwirknngsweite.
Voraussetzung ist iiberall, ctd die Qrenzfllchen- und
Orenzlinienelemente stets von deneelben Teilchen gebildet
werden.
B a u l m m e d m g der Resultate.
Sieht man von unendlioh go0en Krlften, Beschleunigungen
und Geschwindigkeiten ab, SO lautet fur bewegta reibende
Fliiasigkeiten
1. die Gleichung einer Orenzfllche
Annalen der PhpilL IV. Folge. 26.
68
890 R. H. Weher. B6wegung Rapdiarst Qrcru@4en w w .
3. die Bedingnng der Rand- und Grenzwinkel ebenso wie
im Falle des Qleichgewichtes, nsmlich
+
ai,a C O B a i , a + ai,g aa,g= 0,
co8 i, %,, COB ia = 0.
a2,,
cos il
+
Unter ,,unendlich groJ3" ist physikalisch zu verstehen: von der
Ordnung l/p, wenn p die molekulare Wirkungsweite bedentet.
Far einige wesentliche Vereinfachungen in der mathematischen Darstellung habe ich meinem Vater, H. Weber in
StraSburg, zu danken.
Rostock, den 17. Juni 1908.
(Eingegengen 19. Juni 1908.)
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