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Die Bewegungsgleichungen der unitren Feldtheorie in der niedrigsten Annherung.

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Die Be wegungsgleichungen der unitaren Feldtheorie
in der niedrigsten Annaherung
Von J a r o s l a v Pachner
Inbaltsu bersicht
Nach der Zusammenstellung der Feldgleichungen der vom Verfasser entnirkelten unitaren Feldtheorie werden diese annaherungsweise integriert.
Die Bewegungsgleichungen werden in der niedrigsten Annaherung nach der
bekannten Methode von E i n s t e i n und I n f e l d abgeleitet. Sie haben die
richtige Form, denn sie enthalten nicht nur die New tonsche, sondern auch
die Coulombsche Kraft.
~
Einleitung
In den vorangehenden Brbeitenl) hat der Verfasser eine neue Form der
unitaren Feldtheorie entwickelt, ausgehend aus eineni heterogenen Hamiltonian. Die physikalische Interpretation der einzelnen geometrischen Felder
ist in dieser Theorie besonders einfach. Die Theorie enthalt die Maxwellschen
Gleichungen in ungeanderter Form. Die strenge statische kugelsymmetrische
Losung der Feldgleichungen fuhrt zu den von der allgemeinen Relativitatstheorie erwarteten Beziehungen. Die vorliegende Arbeit befafit sich mit der
Xbleitung der Bewegungsgleichungen direkt aus den Feldgleichungen.
Seit der Arbeit von E i n s t e i n und Grommer2) ist es bekannt, da8 man
zur Ableitung der Bewegungsgleichungen in der allgemeinen Relativitatstheorie keine weitere Hypothese braucht, sondern da8 diese aus den Feldgleichungen folgen. Das Problem der Bewegung eines Probeteilchens im
reinen Gravitationsfeld haben I n f e l d und Schild3) gelost. Diese Verfasser
haben dabei nur von den Feldgleichungen fur die leere Raum-Zeit Gebrauch
gemacht und sind zu denselben Resultaten gekommen, die man mit Hilfe
des Variationsprinzips der stationken Teilchenwirkung erhalt4). Die Bewegungsgleichungen eines Probeteilchens im unitgren Feld wurden, soweit
dem Verfasser bekannt, noch nicht direkt aus den Feldgleichungen abgeleitet.
Deshalb hat der Verfasser die Bewegungsgleichungen eines Probeteilchens vorIaufig auch aus dem genannten Variationsprinzip in der Arbeit I1 berechnet
und in I11 integriert, um festzustellen, inwieweit sie im Einklang mit der
Relativitatstheorie stehen.
l) J . P a c h n e r , Ann. Physik 19, 353 (1957) 20, 368 (1957); 1, 112 (1958). Diese
lrbeiten werden hier als bzw. I, 11, 111 bczeichnet. Ebenso werden die Gleichungen aus
diesen Arbeiten als bzw. (I. .), (11. . .), (111. .) zitiert.
2, A. E i n s t e i n , J. Grommer, Sitz.-Ber. Berlin. Akad. 2 (1927).
3, JA.I n f e l d , A. S r h i l d . Rev. mod. Phvsics 21. 408 (1949).
4 ) Siehe z. B:: L. Landau, E. Lifschrtz, Teorija &lja,‘2. .4ufl., Moskva-Leningrad 1948, S. 280-283, 286.
.
.
352
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 1. 1958
Fur die Bewegung von vergleichbaren Teilchen haben E i n s t e i n und
lnfeld6) eine Methode entwickelt, die spater Infelds) auch auf die altere
Form der Einsteinschen unitaren Theorie erweitert hat. Dabei hat er festgestellt, dafi die aus den Feldgleichungen berechnete Bewegung in der nied rigsten Annaherung durch das elektroniagnetische Feld unbeeinflufit wird.
Zu demselben Ergebnis ist auch Ca 11a w a y 7 ) bei der Behandlung der neueren
E i n s teinschen unitaren Theorie gekonimen.
Diese Resultate haben Bonnor’) veranlafit, den Hamiltonian der E i n s teinschen unitaren Theorie auf Grund einer ausfuhrlichen Diskussion so
abzuandern, da13 in den Bewegungsgleichungen nicht nur die N e w t on sche,
sondern auch die Coulombsche Kraft erscheint. Dabei identifiziert er ebenso wie InfeldG) und Callaway’) - die Komponenten g zvk mit dem elektrischen und die gla mit dem niagnetischen Feld (i, k = 1, 2, 3).
Der Haniiltonign der vom I’erfasser in den Arbeiten I und I1 entwickelten
unitaren Theorie unterscheidet sich von dem Bonnorschen nur durch ein
Glied, das die kosmologische Konstante enthalt. Trotzdeni kann man nicht
die Bonnorschen Bewegungsgleichungen ubernehmen, da die strenge statisch
kugelsymmetrische Losung der Feldgleichungen in der Arbeit I durch Vergleich mit dem entsprechenden Fall der allgemeinen Relativitatstheorie
gezeigt hat, dafi die Komponenten g z r umgekehrt mit dem magnetischen und
die gi4 mit den1 elektrischen Feld zgidentifizieren sind. Es ist daher unsere
AufgLbe, die Bewegungsgleichungen unter dieser Voraussetzung zu berechnen.
Die Feldgleichungen
Zuerst stellen wir die Feldgleichungen der uni taren Theorie zusammen.
In der Arbeit I1 haben wir gefunden:
R,,
1.
RIy.,,
+ H,,
1’
= 0,
+ H,c,,l = 0.
,g
.:’
= 0,
r;6gL, - r:,.gl, = 0,
R,,v=-r;,n+,+r;a,,
-r;Ar:,j+r:ar;v,
g l ,v. -
wobei
H,i,=-igLt,
+1?fg”,Pg,,(jg\L- a g B _ B g a ~ g , , l - g ~ )
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
und R,, y, el bzw. H , ,
die zyklische Divergenz von R,v bzw. HI,
” bedeuten.
Der St&h bezeich& die partielle Ableitung.
Die der G1. (3) rollstandig aquivalente Beziehung lautet
r;;,, = 0.
v
(3a)
Wir nehrnen an, daB der Tensor g,, deni elektromagnetischen Feld ( H , D ) ,
der Vektor
dem Maxwellschen Tektorpotential und der durch Rotation
r,,
5)
6)
7)
8)
A. E i n s t e i n , L. I n f e l d , Canad. J. Math. 1, 209 (1949).
L. I n f e l d , Acta Phys. Polon. 10, 284 (1950).
J. Callaway, Physic. Rev. 91, 1567 (1953).
W. B. Ronnor, Pror. Roy. Sor. (London) A B26, 366 (1964).
353
J . PaChner: Die Bewegungsgleichungen der undtaren Feldthemie
aus dem Vektorfeld
rpentstehende Tensor F r y
F~~ = rv,p
- rp,v
( 7)
dem elektromagnetischen Feld (B, E ) proportional sind. Das Feld F p v wird
mit der Gleichung
2 x F p v = R e H.,.
(8)
bestimmt.
+
Angenlherte Lirsung der Feldgleiehungen
I n f e l d s ) lost das System von 64 algebraischen Gln. (4) durch sukzessive
Approximation. Nach ihm ist die affine Konnexion q v
durch die Beziehung
r;v
gegeben, wo
der Formel
=
+
( 9)
M : Y
0
das bekannte Christoffelsche Symbol ist und MLv mit
~
f
=v
(gp
"v : e
- I l r v e - gco J C e
- gay
v
(10)
. ~ : p )
bestimmt wird, wobei
Ipve == 4 grtfy.e~.
(11)
Der Doppelpunkt in G1. (10) bezeichnet die Riemannsche kovariante Ableitung. Der symmetrische kontravariante Tensor hse wird aus dem kovarianten symmetrischen Tensor hee
gebildet .
Auf Grund der strengen statischen kugelsymmetrischen Losung der Feldgleichungen aus der Arbeit I setzen wir in der niedrigsten Anngherung voraus,
daI3
9g --3,
92 --%
g??-H17
(13)
9% -4,
9@ --2,
9s N D 3 .
)
Den fundamentalen Tensor g r v entwickeln wir in die folgenden Potenzreihen nach einem sehr kleinen Parameter E :
Ann. Physik. 7 . Folge, Bd. 1
24
Annalen der Phyaik. 7. Fdge. Band 1. 2958
354
Die lateinischen Indizes nehmen nur die W-erte 1, 2, 3 ein. Die Indizes unter
den einzelnen Zeichen geben die Ordnung der Annaherung an. Im Ausdruck en
bezeichnet n den Exponent, nicht einen kontravarianten Index.
Die Entwicklungen (14d, e) unterscheiden sich von den in den Arbeiten
von Infelda), Callaway') und Bonnors). Der Grund fur diese Bnderung,
die I n f e l d e ) zulafit, liegt in einer anderen Annahme iiber die phgsikalische
Bedeutung der Komponenten gpv. Aus der Annahme (13) folgen unmittelbar
v
die Entwicklungen (14d, e).
Die Bewegungsgleichungen werden in der quasistatischen Annaherung
bestimmt, d. h. unter der Voraussetzung, da13 die Teilchen sich so langsam
bewegen, daB durch die Differentiation nach der Zeit (nach x4) der Exponent
des Parameters im betreffenden Glied um Eins erhoht wird.
Nach den vorangehenden Gleichungen haben wir die ME bestimmt,
die wir bei der weiteren Berechnung brauchen :
(15f)
Dadurch haben wir alles zur Losung der Feldgleichungen vorbereitet.
In der zweiten und dritten Ordnung der Annaherung werden diese Gleichungen
in die des Gravitationsfeldes und in die des elektromagnetischen Feldes gespaltet. Mit der Berechnung der Gleichungen des Gravitationsfeldes werden
wir uns nicht befassen, da sie mit den Gleichungen der allgemeinen Relativitatstheorie identisch sind. Wir nehmen deshalb die Ergebnisse der Losung aus
der Arbeit von E i n s t e i n und Infeld9) iiber.
Die Gln. (3a) des elektromagnetischen Feldes nehmen in der zweiten und
dritten Ordnung der Annaherung folgende Form ein:
(16a).
rza=M n,s8 + M3 4
~
- - Sns,s - ~ n 4 , 4= 0.
=
3-
2-
1
(16b)
Wir suchen solche Losung dieser Gleichungen, in welcher die Singularitaten
im Feld elektrisch geladene Massenpunkte darstellen. Mit Riicksicht auf die
Annahme (13) finden wir
Sx4 = @,e
2-
0)
Siehe Ful3note 6, S. 227 -229.
2
355
J . Pachner: Die Bewegungsgleichungen der unilaren Feldtheorie
wobej die skalare Funktion @ der Laplaceschen Differentialgleichung
2
A@=O
(18)
2
geniigt. Im Falle des Zweikorperproblems, auf das wir uns der Einfachheit
wegen beschranken (obwohl die Losung des Mehrkorperproblems keine
Schwierigkeiten macht) lautet ihr partikulares Integral
wo
die raumliche Entfernung zwischen dem Punkt mit den Koordinaten x, und
dem k-ten Teilchen mit den Koordinaten' :6 bezeichnet. In Gln. (19) und (20)
geben die Indizes in der Klammer an, um welches Teilchen es sich handelt.
Die GroDen F (k) sind die Integrationskonstanten.
2
Der mit G1. (6) definierte Tensor H,, ist in der zweiten und dritten Ordv
nung mit den Beziehungen
H e =- 2 ~ 9 8 4 ,
(2W
2
2-
bestimmt. Dabei haben wir das die kosmologischen Konstante enthaltende
Glied vernachllissigt.
Die weiteren Gln. (2) des elektromagnetischen Feldes gehen nun in die
folgende Form iiber
(224
-!
ig [ e , i l , k , k - 2 x29.54 = 0,
2
-!
is9mv'.tI,k,k-
(22b)
x g [ v s , i l = 0.
3
Durch Einsetzen von Gln. (17a, b) stellen wir fest, daD die gefundene b u n g
der Gln. (16a, b) auch den Gln. (22a, b) geniigt.
Die Bewegungsgleichungen in der niedrigsten Anniiherung
Callaway') hat gezeigt, daD nur die die symmetrischen Tensoren enthaltenden Feldgleichungen die Bewegungsgleichungen der unitken Feldtheorie von E i n s t e i n bestimmen. Dasselbe gilt auch in der vorliegenden
Form der unitliren Theorie. Es folgt weiter aus den Arbeiten von E i n s t e i n
und Infeld5)s), dal3 die Integrabilitatsbedingung der Gln. (1) ist, da13 gewisse Integrale verschwinden, die uber eine beliebige gmchlossene zweidimensionale, das k-te Teilchen umhiillende Flache o ( k ) genommen werden.
Und gerade diese Bedingringen sind die gesuchten Bewegungsgleichungen,
die in der niedrigsten Annaherung lauten:
24*
356
Annalen der Physik. 7. Fdge. Band 1. 1958
wobei
-Amr
4-
=Pmr -3
4
dmr
Pss i- f
amr
4
4
- Xhr = Hmr.
4-
4-
Hier bezeichnet P,,den symmetrischen verjiingten R i e m a n n - C h r i s t o f f e l -
KJJ
nach GI. (5) gebildet wird.
Wenn das Integral in G1. (23) von der Form der Flliche u(k) nicht abhangen soll, so miissen die Bedingungeii
schen Kriimmungstensor, der mit
A m r , r = 0,
(254
Akr,r
= 0,
4-
(25b)
4-
Akr,r = 0
4-
erfiillt werden.
Mit der Berechnung des Integrals
werden wir uns nicht befassen, da wir ihren Wert in der Arbeit von E i n s t e i n
und I n f e l d 9 ) finden, woher wir ihn in die resultierende Bewegungsgleichung
einsetzen.
Setzen wir die mit Gln. (17a, b) gegebene Losung der Feldgleichungen
in die Formeln (15a-f) ein, so finden wir, daB
(24b')
Der Ausdruck in der eckigen Klammer, den wir Y m r bezeichnet
,
haben, ist
in den Indizes (r, n) schiefsymmetrisch:
y m r n =-ymnr.
4
Durch Differentiation stellen wir fest, daB Ah, die Bedingung (25b) erfiillt.
4-
Wie in der genannten Arbeit von E i n s t e i n und InfeldlO) ausfiihrlich begriindet, verschwindet dann das Flachenintegral
lo)
Miehe FuBnote 5, S. 213-214.
357
J . Padner: Die Bewegungsgleichungen der unitaren Feldtheoria
Der mit G1. (6) definierte Tensor H,,- ist in der vierten Ordnung der Anniiherung mit dem Ausdruck
Hmr
4-
=2 x
(gm4 g r 4
2-
2-
-t
(27)
a m , 9.94 984)
2-2”
gegeben. Setzen wir ihn in G1. (24c) ein, so erhalten wir mit Rucksicht auf
G1. (17a)
2 ~~,=-4X(@,m~~,-~am,@,8~,’~).
(24c‘)
2
2
2
2
Durch Differentiation stellen wir fest, da13 auch der Tensor
4, der
Be-
4
dingung (25c) geniigt, da die Funktion @ das Integral der Laplaceschen
2
Differentialgleichung (18) ist. Bei der Berechnung des letzten Flachenintegrals benutzen wir die Beziehungen aus der wiederholt genannten Arbeit
von E i n s t e i n und Infeldll). Wir finden
1 J
4”0(1)
Hier bezeichnet
Q
p(1)p(2)
2fl;,n,do=-44-(tm
4
a
a
(1)
e3
-
+).(2)
(27)
die Entfernung eines Teilchens vom anderen:
Q =
(&y -. 6).’:
(28)
Nun erhalten wir die gesuchten Bewegungsgleichungen, wenn wir in
G1. (23) den Wert aus der Arbeitg) und die Gln. (26) und (27) einsetzen. Nach
einer kleinen Umformung, bei der wir in der niedrigsten Annaherung (im Ga 1,113schen Mabystem) schreiben
g))
mf)= &a m(W,
(29)
2
QP’= & 12 (k) v
‘
r
=
.f
PAk) = f
v-
Z4(k)
&2 /2(k)v
2
1/X = f3 1-
r x ,
x
< 0, Z4(k) >, 0,
(308)
2
Z4(k)
2
VX,
x
> 0,
<. 0,
(30b)
2
finden wir folgende Bewegungsgleichungenfur das erste von den zwei Teilchen,
auf die wir uns beschrankt haben,
I n der dreidimensionelen Vektorschreibweise geht diese Gleichung in die bekannte Form
Die Feldgleichungen bestimmen daher in der vorliegenden unitiiren Theorie
die Bewegung des Teilchens ohne irgendeine weitere Hypothese. Die Gln.
(23a, b) die die niedrigste Anniiherung darstellen, enthalten auf der rechten
Seite nicht nur die Newtonsche (das erste Glied) sondern auch die Cou11)
Siehe Fuhote 6 , S. 238.
358
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 1. 1958
lombsche Kraft (das zweite Glied). Die letztere erscheint hier ah Folge der
Einfiihrung des Tensors H , , in die Feldgleichungen. In der Einsteinschen
unitliren Theorie (die wir aus unseren Gleichungen erhalten, wenn wir H,,
gleich Null setzen) erscheint die Coulombsche Kraft nicht6)’).
Die Bewegungsgleichungen (23a, b) hat schon Bonnor*) erhalten, obwohl
er aus einer anderen Annahme uber die physikalische Bedeutung des Feldes
g r v und a m anderen Entwicklungen fiir g,
und gc4 ausgegangen ist.
v
Vergleichen wir nun Gln. (30a,b) mit (1%9), so finden wir, dafidiedimensionslose Konstante b den Wert
b=+l,
%SO, 1 4 2 0 ,
(31)
9
haben sollte. Auf der anderen Seite hat sich die Formel (111.24) aus der Losung der aus dem Variationsprinzip der stationiiren Teilchenwirkung abgeleiteten Bewegungsgleichungen ergeben, nach der
b=-$,
x>O.
(111.24)
Die Ergebnisse der Untersuchung in der vorliegenden Arbeit und in der
Arbeit I11 heben daher zwar die erwartete Form, eber die Konstante b 9011
nach jeder von diesen Arbeiten einen anderen numerischen Wert annehmen.
Eine vollstiindige Klarung dieses Widerspruchs kann erst die Ableitung der
Bewegungsgleichungen eines Probeteilchens aus den Feldgleichungen bringen.
P r e g , Physikalisches Institut der Technischen Hochschule.
Bei der Redaktion eingegangen am 6. Dezember 1967.
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