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Die Bremsung der Magnetisierung durch mikroskopische Wirbelstrme.

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340
Arznalen der Physik. 5 . Folge. Band 36. 1939
D i e Rrernsung d e r H a y n e t i s i e r u n y
durch rnikroukopiuche Wivhebstrorm
Von R. B e c k a r
(Mit 1 Abbildung)
Zusammenfassung
F u r das Magnetfeld, welches durch die rnikroskopiscben Wirbelstrome
bei einer gegebenen h d e r u n g der Mapnetisierung im Innern eines Ferromagnetikums erzeugt wird, laWt sich eine allgerneine Forniel angeben. Diese
wird fur den Pall einer 18On-Wand niilier diskutiert. Nan gewinnt dadurch
einen quantitativen Ansatz zu Deutung des Ausbleihens der ferromagnetischen
Suszeptibilitat bei hohen Frequenzen.
1. E s ist seit laogem bekannt, daB die Permeabilitat von Eisen
und Nickel im Gebiet der optischeii und ultraroten Frequenzen praktisch gleich 1 ist. Nach neueren Untersuchungen l) liegt der Bereich,
innerhalb dessen die ferroniagnetisclie Magnetisierung ausfallt, be1
Wellenliingen zwischen 1 cm und 1 111. Das Ausbleiben der I’erroinagnetischen Vorgiiuge bei kurzev Rellen liiBt sich in folgender Weise
deuten2): Nach W e i s s besteht ein Ferromagnetikum unterhalb der
Curieternperatur stets aus spontsn magnetisierten Bezirken von endlicher Ausdehnung. Die beobachtbue Magnetisierung entsteht durch
Drehung des Vektors 3, innerhalb der einzelnen Bezirke oder durcli
Anwachsen einzelner Bezirke anf Kosten ihrer h’achbarn (Wandwerschiebung). Bei diesen Voi giinngen werclen in der Vmgebung derjenigen Stellen, a n denen die Magnetisierung sich andert, Wirbelstriime induziert, welche ihrerseits ein Magnetfeld von solcher Richtung erzeugen, daB dadurch die urspriingliche Magnetisierunffs~nderurig
gebremst wird. So entsteht sowohl fiir die Drehuugen n i e auch fiir
die Wandverschiebungen ein Reibungsbiderstand, welcher bei hohen
Frequenzen so groB wird, daB iiberhaupt keiue merkliche h d e r u n g
der Magnetisierung inehr zustande komnien kann.
Eine primitive Sbschatzung des von den Wirbelstromen erzeugten
Rremsfeldes wurde bereits friiherz) mitgeteilt. Im folgenden (2.) sol1
_____
1) K. F. L i u d m a n n , Ztschr. f. techn. Phys. 19. S. 158. 1938; ?O. S. 185.
1939; R. M i c h e l s , Ann. d. Phys. [5] 8. S. S77. 1931.
2) R. B e c k e r , Phys.Ztscbr. 39. S. 856. 1938; R. B e c k e r u. W. D o r i n g ,
Ferromagnetismus, Berlin 1939, S. 237 f.
R. Becker. Die Breinsung der Magnetisierung usw.
341
uber einen allgemeinen Ansatz zur Berechnung dieses Feldes berichtet
werden. Es ist verhiiltnisniafiig einfach, in allgemeiner Form das
Magnetfeld anzugeben, welches auf dem Umweg uber die Wirbelstriiuie bei . eiuer willkurlich gegebenen raunizeitlichen h i e r u n g der
Magnetisierung erzeugt wircl. Wesentlich umstiindlicher ist die numerische Auswertung der allgemeinen Integralformel in konkreten
Einzelfiillen. W i r beschriinken uns (3.1 dabei auf den Fall, da8 innerhalb eines Kreiszylinders zwei antiparallele Magnetisierungsrichtungen
auf einer Kreisscheibe aufeinanderstoBen (1 SO O-Wand), und rlaB diese
Wand von der Zeit t = 0 ab mit konstanter Geschwindigkeit in Richtuna der Zylinderachse bewegt wird. Dabei ergeben sich (4.) xwe,i fur
die Anwendung wichtige GroBen, narnlich das brernsende Magnetfeld H , welches sich bei dieser U'andbewegung schliefilich im stationaren Zustand einstellt und die Zeit t,,, welche vom Beginn der
Rewegung a b Zuni Aufbau dieses Feltles benotigt wird. Diese Zeit
ergibt sich als so Irurz, daB f u r alle Frequenzen, bei denen iiberhaupt noch ferroniagnetische Anderungen beobachtbar sinrl, mit dem
stationbren W'ert des Bremsfeldes gerechiiet werden darf.
2. Das z~on einer gegebenen Magnetisierungsunderung crzeugte
Feld. Die Magnetisierung 3 sei als B'unktion des Ortes und der Zeit
gegeben. Wir berechnen das zugehorige elektroniagnetische Peld irri
Inriern des homogenen Materials voni spezifischen Widerstand g.
Unter Vernachlassigung des Verschiebungsstromes
1 .
.
($
lauten die
Naxwellschen Gleichungen
(1)
I
1
4n
divQ
rotQ=---;
CCJ
4n;,
rot($=----;).-
1 .
C
Q;
= - 472 d i v s
divG=O.
Die Permeabilitat haben wir hier gleich 1 gesetzt, da ja die Anderung der Magnetisierung bereits in 3 enthalten ist. Mit Hilfe der
Identitiit rot rot % = - A% + grad div 3 und unter Einfuhrung von
folgen aus (1) f u r & und $j die Gleichungen
(3)
{
($-ccAd=-cc~rot~,
Q-aAQ =-4m$+
C20graddivs,
in welchen die rechten Seiten a19 gegebene Funktionen anzusehen sind.
Die G1. (3) sind formal identisch mit einer Gleichung aus der
Theorie der Warmeleitung. RTenn in einem unendlich ausgedehnten
342
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 36. 1939
Medium von der Temperaturleitfahigkeit u und der auf die Volumeneinheit bezogenen spezifischen M'arme 1 den1 Volumenelement
d x d y d x wiihrend der Zeit d t die Warmemenge y(x, y , z ? t ) d x d y d z d t
zugefiihrt wird, so gilt fiir seine Temperatur u die Differentialgleichung
Ausgehend von der kugelsyrnmetrischen Partikularlosung
3
(4!z a t ) - 3 e-
1.2
4
7
der homogenen Gleichung 11 - ct A u = 0 findet inan leicht die Liisung
der allgemeinen G1. (4):
Daniit haben wir auch die Lijsungen unserer G1. (3) f u r das elektroniagnetische Feld. (5) geht niimlich clirebt in die gesuchte Forinel
f u r 6 und Q iiber, wenn wir darin q durch die rechten Seiten der
G1. (3) ersetzen. Insbesondere haben wir zur Berechnung von Sj in
(5) u durch Q zu ersetzen und q durch
(6)
q
=-
4 n $ + c2pgraddiv3.
3. Das Feld einer scheibenformigen 180O-Wand. Wir betrachten
speziell den folgenden Fall einer ~~agnetisierungsanderung
(vgl. Abb. 1):
,
I
"
f
PAbb. 1. Schema der nach rechts sich bewegenden 180"-Wand
I n einem nach beiden Seiten hill unendlich langen Zylinder vom
Radius R, dessen Achse mit der x-Achse des Koordinadensystems zusammenfallt, befinde sich eine zu seiner Achse senkrechte lSOO-m'and
von der Art, daB links von der %.'and die x-Komponente der Magnetisierung den Wert J , = J , besitzt, rechts vou der Wand dagegen
den Wert J , = - J 8 . Die Wand sol1 bis zur Zeit t = 0 an der Stelle
x = 0 ruhen und sich von t = 0 ab mit der konstanten Geschwindigkeit v nach rechts hin beffegen. Der ganze Zylinder ist eingebettet in das homogene Ferromagnetikum. Wir rechnen so, als ob
R. Becker. Die Bremsung der Magnetisierung usw.
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andere Magnetisierungsanderungen als die hervorgehobene Wandbewegung nicht stattfanden.
Bei der stationar in der x-Richtung bewegten Wand hangt 3
von
a- .
6, ?], <,t nur ab in der Form 3 = 3 (E - v x). Also ist $ = - v --d
35
In unserem Fall ist allein die z-Iiomponente J , = J von Null verschieden. Daher mird (grad div3)* = ??
a 5.2
-
Damit haben wir zur Be-
rechnung des von den Wirbelstromen erzeugten Magnetfeldes nach
(31, (5) und (6):
Wir beschranken uns weiterhin auf die Berechnung des auf der
x-Achse herrschenden Feldes. Hier wird y = x = 0. Die Integrationen nach 71 und 5 lassen sich dann leicht ausfiihren. Man erhalt
und damit aus ( 7 )
i
t
H,(z,O,O,t) =
(81
J
z = - m
1
i m
j = j 4 n a ( l- t)j-3
E=-m
V'ir zerlegen das Integral (8) in die drei Summanden
H
(9)
=A
Darin soll A die erste Ableitung
Ableitung
=-
-.
d 2J
~
a t2
+ B, + B,.
-r'J
enthalten, B, und B2 die zweite
a5
Weiterhin soll die Integration iiber
t
in B, von
00 bis t = 0 laufen, diejenige in 33, von z = 0 bis t = t.
Zur Auswertung von (8) nehmen w i r an, daB der Ubergang von
J , in J , beim Hindurchgehen durch die Wand so schroff erfolgt,
t
dJ
E P
daB T- raktisch nur am Ort
ist. Dann gilt, wenn
f(t, eine
t,, der
Wand von Null verschieden
beliebige Funktion von
j'/lj) ihre erste Ableitung bedeutet:
E
ist, und
Alznalen der Physik. 5. Folge. Band 36. 1939
344
I
-=
{ und
(10)
I\
+ W
~ f i t ) : ~ - d i i =-f(ln)(Jz
- J1)-
--oo
Nun ist bei der oben beschriebenen Wand
f u r t < 0: Geschwindigkeit = 0;
(n = 0
f u r t > 0: Geschwindigkeit = v;
&, = v t.
Damit erhalten wir aus (8), (9) und (10):
1
j
1
1
A
=
4 n v ( J , - J , ) J ( 4 a n ( t - t,>-2
U
t
-
B, = - c 3 0 ( J , - J1)S ( 4 n u (t - r ) )
I
1
2
v
Zur Berechnung von A ersetzen wir
kurzungen
t
durch t - x. Mit den Ab-
und unter Beriicksichtigung der Identitat
(1
-u
+v
+
t __
2)2
-~
_
_Ict
4az
erhalt A die Gestalt
-
(a'
2)2
_+
_b_
2
+ 2 a b - 2a'b
R. Becker. Die Bremsuwg der Magnetisierung usw.
345
Das jetzt noch verbleibende Integral ist im Anhang berechnet. Die
GroBe a kann sowohl positiv wie negativ sein, dagegen wollen wir
a' stets positiv wahlen. Dann ergibt sich
Dabei steht 2 Vr als Abkiirzung fur
Die in (11) angegebene GroBe B, la6t sich nach der Substitution
1
-~ = x 2 ;
t--z
ax=--- a t
2 it -
einfach auswerten.
Unter Beriicksichti-
TI8'*
gung von c 2 p = 4 n a erhalt man
Die dritte GroBe B, ergibt sich daraus, da6 nach (11)
ist. I n (14) hangt A durch die in (12) erkliirten GroBen a und a'
von x ab.
Wir wollen weiterhin nur das Feld am Ort der Wand, also an
der Stelle x = vt, d. h. a = 0 berechnen. An dieser Stelle ist
Somit wird mit Rucksicht auf (12) und (2):
Bei der Berechnung dieses -4usdruckes aus (14) fallen die Ableitungen der Funktionen (I, heraus.
Wir erhalten somit
fur a > 0: (B,),,o =
fur a < o : ( R , ) , , ~= 2
iz (Jz-Jl+
iz ( J , - J J
1- @(bfT)+
q],
[ + 1 - CD ( b l/t)+ V].
346
A n n a l e n der Physik. 5 . Folge. B a n d 36. 1939
AuBerdem wird
(18)
A , = " = 2 n ( J , - J J , ) [ 2 @ ( b ~ t ) -2 w ]
und wegen (12) und (15):
Die GrGBe B, springt beim Durchgang durch die Wand um den
Betrag 4 n ( J , - J,). Das entspricht gerade der Divergenz von $j
als Folge der Lfivergenz von 3, welche zur Zeit t = 0 bereits vorhanden ist und bei der Bewegung mitgeschleppt wird. Fur die
Ruckwirkung des Rirhelstromfeldes auf die Wandbewegung kommt
nur das arithmetische Mittel 13, zu beiden Seiten der Wand in
Betracht, also:
(20)
B,= 2 7 - ( e 4 - J 1 ) [ - @ ( b p )
+ 4.
Damit haben wir schlieBlich als wirksames Feld am Ort der Wand
nach (9)
Darin bedeuten :
wahrend P
! in (15) erklart ist.
4. Wir dishtieren den xeitlichen Verlauf des durch (21) gegebenen Bremsfeldes. Fiir groBe Werte yon t strebt H dem stationaren Grenzwert
at+, = 2 n ( J , - J1)[I - e--2''b]
zu. Dagegen wird fur kleine Werte von t, also fur den Beginn der
Wandbewegung
H,,o=
2 n ( J 2 - J l ) - db t .
Bei Eisen hat Js den Wert 1700, also wircl in unserem Beispiel
2 n ( J , - J J = - 10 700 Oe. D a andererseits das breinsende Feld
nie starker werden kann als das von nuBen angelegte Feld, so folgt,
daW in allen praktisch interessierenden Fiillen 2 a ' b = Rv
:,- klein gegen
r u
1 sein muB. TVir hezeichnen mit H b , den danach im stationaren
Zustand sich einstelleuden TTert des Bremsfeldes :
(22)
Hbr=
2n(J,-J1)2a'b.
R. Becker. Die Breinsung der Magnetisierung usw.
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Am Anfang der Bewegung ist dann
t
H ( t ) = HG7‘
(23)
Beim Beginn der Wandbewegung wgchst somit das bremsende Feld
so schnell a n , daB nach t, = 2 a f 2sec der stationiire Zustand erreicht sein wiirde. Wir wollen noch angeben, welcher Bruchteil
von Hb9.nach t,, sec wirklich aufgebaut ist. Bei Entwicklung nach
Potenzen der kleinen GroBe a’b erhalt man z. B.:
und damit nach (15)
en
Somit wird
Nach to sec ist somit clas stationare Feld zu etwa 40°/, aufgebaut. F u r 2 t , findet man in ahnlicher Weise 64O/,.
Zur nunierisclien Diskussion setzen wir fur b und a’ ihre Werte
genial3 (21) und ( 2 ) ein:
‘La‘b = 2 n - -U. -R,
CL
(I
Fur das bremsende Magnetfeld folgt somit:
H b r = 8 v rnit 8 = 4 a 2 ( J , - J l ) a . R
(24)
c e
Setzt man fur 2 R, den Durchmesser des Weissschen Bezirkes,
den plausiblen Wert von l o p 4 cm ein, so ergibt sich1) aus dieser
Formel, daB eine merkliche Bremsung der reversiblen Magoetisierung durch mikroskopische Wirbelstronie bei Unterschreitung einer
\\’ellenlange von etwa 50 cm zu erwarten ist. Andererseits ergibt
sich fur die Aufbauzeit to des Brenisfeldes mit dem fur Eisen
giiltigen Wert c 2 p = l o 4 und mit 2 R =
10-3
.
to = 2 a -~rn 1,6 10-l2 sec.
~
4 * 104
Man darf daher auch noch f u r cm-Wellen niit dem stationiiren Wert
(24) des Keibuugswiderstandes rechnen.
1) R. B e c k e r , a. a. 0.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 36. 1939
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Anhang
Berechnung des Integrals
Mit der Substitution u =
l/i wird
Unter Benutzung der Indentitat u =
u
Form gebracht werden:
Uaraus folgt fur positives
bVt+
2bS=
a
b V 7 - "-
Vt
ra
e-Y
dy
+m
+ e-
Vt
4a'J
e'y*
dy
.
-03
Bei negativem a dagegen hat man das Vorzeichen der unteren Iutegrationsgrenzen zu andern. Unter Einfuhrung des Fehlerintegrals
(26)
wird somit
Wie es sein muB, konvergiert S fur a = 0 vou beiden Seiten her gegen
Rerrn Dr. G. R i c h t e r danke ich auch a n dieser Stelle herzlich
fur seine Mitwirkung bei der Durchfiihrung der oben mitgeteilten
Rechnungen.
G o t t i n g e n , Bunsenstr. 9.
(Eingegangen 2. August 1939)
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