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Die Charakterisierung der Lsungen von Mastergleichungen ein ДinversesФ Problem.

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Annslen der Physik. 7. Folge, Band 38, Heft 4/5, 1981, S. 329-333
J. A. Barth, Leipzig
Die Charakterisierung der Losungen von Mastergleichungen,
ei n ,,inverses" Problem
Von PETER
M. ALBERTIund ARMINUHLMA"
Sektion Physik der Karl-Ma=-Universitat Leipzig
Herrn Prof. Dr. A . Liische zum 60. Geburtstag gewidmet
Inhaltsiibersicht. In einem endlich-dimensionalen Parameterraum sei eine Kurve gegeben.
Wir beantworten die Frage, wie diese Kurve beschaffen sein mul3, um %sung einer Mastergleichung
zu sein.
Characterization of the Solutions of Master Equations - an Inverse Problem
Abstract. Given a trajectory in a finite-dimensional parameter space. We answer the question
wether there is a master equation having the given trajectory as one of its solutions.
1. Die Problemstellung
Mastergleichungen wurden durch PAULI
[l] in die Physik eingefuhrt. Sehr wichtige
Studien stammen in dem uns hier allein interessierenden endlich-diskreten Fall von
FRECHET
[ 21, DOEBLIN
[3] und DOOB[4],die diese Gleichungen in ihrem Zusammenhang
mit Markovschen Ketten betrachten. Ihren Platz in der Statistisohen Physik bestimmt
die Tatsache, daB die Mastergleichungen die Klasse der linearen und gediichtnislosen
Evolutionsgleichungen mit Dissipation ausschopfen. Insbesondere sind die FokkerPlanck-Gleichungen einerseits als Approximationen von (kontinuierlichen) Mastergleichungen auffaBbar und andererseits selbst approximierbar durch Mastergleichungen,
die dadurch entstehen, da13 man die partiellen Differentialquotienten geeignet durch
Differenzenquotienten annahert. Sei
t -3- x ( t ) = { d ( t ) , ...,q t ) } , t > 0
(1)
eine Kurve in einem n-dimensionalenVektorrauni. Nehmen wir nun an, daB (1)Losung
eines Differentialgleichungssystems
2
q 2 ( t ) = (d/dt)Z(t)
i
ist welches fur alle i und alle i
(2)
=+ j
F L t = 0 und L $ > 0, i + j ,
(3)
erfullt. Das Differentialgleichungssystem (2), Lx = 2, heiBt Mastergleichung genau
dann, wenn (3) gilt.
Was folgt nun aus der Annahme, daB (1)Losung einer solchen Mastergleichung ist ?
Wichtige Folgerungen aus einer solchen Annahme sind:
1.1.Gilt zu einem Zeitpunkt to: &(to) 2 0 fur alle i , so haben wir auch fur alle t 2 to:
$(t) 2 0.
22 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 38
330
P. M.ALBERTIu. A. U m b a ~ "
.+
1.2. Die Summe &(t) + ..
zn(t)ist von t unabhiingig.
Hieraus ersieht man: 1st #(to) ein Wahrscheinlichkeitsvektor, so auch x(t) fur alle
Zeiten t 2 to. Beruhrt also eine Kurve (1)irgendwann die Menge der Wahrscheinlichkeitsvektoren, welche oft als Menge der ,,Zustiinde" eines Systems interpretierbar ist,
so verbleibt die Kurve von diesem Zeitpunkt an standig in dieser Menge. WeiB man andererseits, daB. die Losungen einer Differentialgleichung (2) diese Eigenschaft haben,
so folgt (3), d. h. die die Mastergleichungen definierenden Bedingungen.
1.3. Aus (3) ersieht man, daS die Matrizen
T ( t )= exp tL, t 2 0
alle stochastisch sind. Fur ihre Matrixelemente gilt dann also
Tt20
und
?Ti= 1.
(4)
(b)
(Wir nennen hier also eine Matrix stochastisch, wenn alle ihre Spaltenvektoren Wahrscheinlichkeitsvektoren sind.)
Etwas tiefer und an die Endlichkeit von n in (1)wesentlich gebunden ist der folgende
Sachverhalt. :
1.4. 1st (1)eine Losung einer Mastergleichung, so konvergiert x ( t ) fur t +00 gegen
eine stationiire Losung x(00) der Mastergleichung.
lim x ( t ) = x(oo), Lx(00) = 0.
t+
8
Es ist diese Eigenschaft, die die Mastergleichungen auch bei nichtlinearen Problemen
attraktiv macht. 1st x(00) ein bedingt stabiler Zustand fern vom Gleichgewicht eines
nicht-linearen thermodynamischen Systems, so kann unter Umstanden die Anniiherung
des Systems an diesen Zustand asymptotisch durch eine Mastergleichung beschrieben
werden.
Eine ganz analoge Anwendung erschlieBt 1.4. moglicherweise auch fur die Kontrolle
groBer technischer Systeme, die durch n Parameter kontrolliert werden: WeiD man, daB
die Kurve (1) der Kontrollparameter einer Mastergleichung geniigt, deren genauere
Struktur ganz irrelevant in diesem Zusammenhang ist, so ist man einer ,,ruhigen" Anniiherung an ein stabiles Regime sicher!
Hieraus kann man ersehen, daB es von einigem physikalischen und eventuell auch
technischem Interesse ist, zu erkennen, ob eine (z.B. empirisch) gegebene Kurve irgendeiner Mastergleichunggenugt. Zur Lijsung dieses F'roblems stellen wir im niichsten Abschnitt die erforderlichen Mittel bereit. Auf die mathematischen Beweise mussen wir
allerdings wegen ihres Umfangs verzichten und konnen nur auf die Literatur verweisen.
2. Die ,,H-Theoreme" iiir Mastergleichungen
Bereits PAULI
war Folgendes bekannt : 1st x ( t ) eine beliebige und y eine stationare,
d. h. zeitunabhlngige Losung einer Mastergleichung, und sind alle Vektoren x(t), y,
Wahrscheinlichkeitsvektoren, so fiillt die GroBe
t
+ 2 P(t)[ln Z(t)- In yk]
k
bei wachsendem t monoton ab. V m KAMPEN
[?I] zeigte, daB unter der gleichen Voraussetzung sogar
331
Die Charakterisierung der Lijsungen von Mastergleichungen
monoton fiillt, wenn nur fur die zweite Ableitung g" von g
g"
20
(9)
erfullt ist. Fur das Verstandnis des Folgenden sei noch vermerkt: (9) ist gleichbedeutend
rnit der in u, v simultanen Konvexitat von u, v + f(u,v) =I u g(u/v).Da8 eben definierte
f ist auBerdem noch homogen, d.h. f(Bu,Bv) = @f(u,v) fur positive 8. Da (8) fur die
Losungen von Mastergleichungen fiillt, spricht man von ihnen auch als von ,,generalisierten H-Theoremen". Allerdings ist die Boltzmanngleichung keine Mastergleichung.
Daher ist die Monotonie von (7) nicht mit dem Boltzmannschen H-Theorem zu ident ifizieren.
Welche Bedeutung hat nun das Fallen aller GroBen (8) im Verlaufe der Zeit unter der
SUHRANVoraussetzung von (9) ? In Erweiterupg eines Satzes von RADOkonntenRvc~,
NER und SELIUMAN [6] zeigen, daB fur vier Wahrscheinlichkeitsvektorena, b, C, d, genau
dann simultan
b = Ta
d = Tc
und
mit stochastischem T gilt, wenn fur alle g mit g" 2 0
2 ck g(ak/ck)2 2 dkg(bk/dk)
E
k
erfullt ist. Dieses System von Ungleichungen ist ein ,,klassisches" Analogon zu einem
iihulichen fur Dichtematrizen [?I.
Wir benotigen jedoch ein etwas stiirkeres Resultat. Urn e5 zu formulieren, benotigen
wir eine weitere Definition. Sei m eine ganze positive Zahl und /(el,. ,),5 eine reellwertige Funktion. f heiRt h-konvex, wenn fur positives gilt
f ( ~ s 1* ,* * 88,) = f(s1, * * * 5,)
..
9
ist. 1st m == 2 und g" 2 0, so ist, wie schon bemerkt, f(sl, s2) = s2 g(sl/s,) h-konvex.
Eine direkte Verallgemeinerung der GroijSen (7) und (8) wird daher durch die Ausdriicke
f+m)(al,.
. .,a,)
=
F
.,a%)
f(a!,..
(11)
gegeben. Hier bezeichnet u! die k-te Komponente des Vektors aj. Es ist daher vielleicht
nicht zu uberraschend, daB wir den ,,generalisiertenH-Theoremen" noch weitem hinzuf iigen konnen.
2.1. Satz: Sei f(sl,...,),s h-konvex. 1st T eine stochastische Matrix, so gilt fur beliebige Vektoren al,. ..,,
a
.
$'@(Ta,,..., Tam)I
h'Im)(al,.. ,a,)
2.2. Satz : Sind xl(t),..., xm(t) Losungen einer Mastergleichung,
h-konvexen f die GroBen
t -+ Sj")(*,(t)),
* * * 9
%At))
(12)
80
fallen fur alle
(13)
monoton bei wachsendem t .
Es entsteht die Frage, ob sich diese Sachverhalte umkehren lassen. Bei der Untersuchung dieser Frage hat sich herausgestellt, daB man keineswegs alle Ungleichungen (12)
nachpriifen muB. Es langt eine Auswahl von h-konvexen Funktionen hierzu heranzuziehen. Diem werden wie folgt. konstruiert : Fur beliebige reelle Zahlen rkf rnit k, j zwi-
-_
31.
P. M.ALBERTIu. A. UHLMANN
332
schen 1und m wird die Funktion
gebildet. (14) ist eine h-konvexe Funktion.
2.3. Satz: Seien a,,. .., amund b,,.. , b, Vektoren. 1st fur jedes f der Form (14) die
Ungleichung
.
Slm)(bl,..., 6,) 5 Slm)(al,.
..,a,)
erfullt, so gibt es eine stochastische Matrix T so, da13
(15)
bi = T a , j = 1,2,..., m.
(16)
Fiir die Beweise von 2.1 bis 2.3 venveisen wir auf die Literatur [8]. Dort findet sich
auch der Fall TZ = 00 und andere.
3. Das ,,inverse" Problem
Wir haben bisher eine offensichtliche Tatsache noch nicht benutzt: 1st (1)eine Losung von (2) und ist to beliebig, so ist auch t + x(t - to)eine Losung unserer Differentialgleichung. Wenn wir dies auf 2.2 anwenden, erhalten wir
3.1. Sei t -+ x ( t ) , t > 0, Losung einer Mastergleichung. Sind dann s,. ..,,s nichtnegativ und f h-konvex, so fiillt
+
+
t + 8;"'( x ( t s,), -..,x(t 8,))
(17)
monoton bei wachsendem t .
Fur die umgekehrte Fragestellung betrachten wir zunachst das hier vie1 einfachere
Problem der Markovschen Ketten:
3.2. Sei a,, a2,... eine Folge von Vektoren. Angenommen fur jedes m und alle h-konvexen Funktionen der Form (14) gelte
Sjm)(a,,..., a,) 2 8 i m ) ( a z , . . ., a,,,)
(18)
Dann gibt es eine stochastische Matrix T mit der fur alle naturlichen Zahlen j, k gilt:
Tia, = ai+,
(19)
Der Beweis ist einfach. Wegen(l8) gibt es nach 2.1 ein stochastisches T , mit T,ai = a i f l
fur j = 1 , 2 , . . . ,m. Die Menge der stochastischen Matrizen ist kompakt. Also hat die
Folge T I ,T2,.
.. mindestens einen Haufungspunkt. 1st T ein solcher Haufungspunkt,
so gilt offensichtlich T ai = ai+, fur jedes j.
Die angekiindigte Losung des ,,inversen" Problems ist nun in den1 folgenden Satz
enthalten.
3.3. Satz: Sei t 4 x(t), t > 0, eine Kurve in einem n-dimensionalen Vektorraum. Genau dann ist diese Kurve Losung einer Mastergleichung, wenn fur jedes m , jede Wahl von
positiven Zeitpunkten t,, ..., t, und fur jede h-konvexe Funktion der Gestalt (14) das
Funktional
+
+
t + Sj"' ( x ( t
t,), ...,x ( t t,))
(20)
monoton fallt.
Fur den recht komplizierten Beweis verweisen wir auf [9] und [lo] und beschranken
uns hier auf einige Bemerkungen :
Wie iiberall in dieser Arbeit schliel3t die Forderung nach monotoneni Fallen die
Moglichkeit des Konstantbleibens mit ein.
1st n' die Dimension des von allen Vektoren x ( t ) aufgespannten Vektorraumes, so
geniigt die Nachpriifung des Fallens von (20) fur m = 2 n'. Hohere m brauchen nicht
beriicksichtigt zu werden. Weiterhin bemerken wir, da13 die Aussage von Satz 3.3 iiqui-
Die Charakterisierung der Losungen von Mastergleirhungen
333
valent ist mit der Existenz einer stetigen Halbgruppe t + T (t )von stochastischen Abbildungen, die neben T(0)= ly T ( s t ) = T ( s )T ( t ) , die Kurve erzeugt:
T ( t )X(S) = X ( t
8).
Eine der Hauptschwierigkeiten beini Beweis besteht darin, &usdem monotonen Verhalten von (20) die Stetigkeit einer solchen Halbgruppe und damit auch der K m e selbst
zu zeigen. Tatdchlich folgt aus Satz 3.3 ja sogar, daS eine Kurve, die die Bedingungen
des Satzes erfiillt, reell analytisch ist. Dies aber ist fur die Beurteilung empirischer Kurven ohne Zweifel wichtig: Eine geniigend ,,dichte" Wahl der Kontrollpunkte laat bei
monotonem Verhalten von (20) einen entsprechend ,,weichen" Verlauf erwarten.
+
+
Literaturverzeichnis
[l] W. PAULI,Festschrift zum 60. Geburtstag A. SOMMERFELDS,
Leipzig: Hirzel-Verlag 1928.
[2] M. FR~CEET,
Trait6 du Calcul des Probabilitks et de ses Applications, Vol. I, Paris: GauthierVillnrs 1938.
[3] W. DOEBLIN,
Bull. des Sc. Math. 62, 21 (1938).
[4] J. L. DOOB,Trans. Am. Math. SOC.62, 37 (1942).
[5] N. G. VANKAMPEN,Fundamental Problems in Statistical Mechanics, (ed.: E. G. D. COHEN),
Amsterdam: North-Holland Publ. Comp. 1962.
[GI E. RVOH,R. SCHRANNER
u. TH. SELIQMAN,
J. Chem. Phys. 69,386 (1978).
[7] A. UHLMANN,
Wiss. Z. Karl-Man-Univ. Leipz. 20,633 (1971).
[8] P. M. ALBERTI u. A. U m a ~ mMath.
,
Nachr. 97, 279 (1980).
P. M. ALBERTI u. A. UBLMANN,
Stochasticity and Partial Order, Berlin: Dt. Verlag der Wissenschaften, im Druck.
[9] P. M. ALBERTI
u. A. UBLMANN,
eingereicht in J. Math. Phys.
[lo] P. M. ALBERTI u. A. UHLMA", Dissipative Motion in State Spaces, Teubner Texte z. Math.,
Bd. 33, Leipzig: Teubner Verlagsg. 1981.
Bei der Redaktion eingegangen am 5. November 1980.
Anschr. d. Verf.: Dr. P. ALBERTI,
Prof. Dr. A. UBLMANN
Sektion Physik der Karl-Man-Universitit
DDR-7010 Leipzig
Karl-Marx-Platz
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