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Die Curven gleicher Lichtstrke in den Axenbildern doppelbrechender Krystalle.

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V. D4e Wrvm gZe4cher Lichtstarfie
i n &em Axen&4Z&emdoppeZbredLemder ErystaZZe;
v m E. LornmeZ.
(Am den Sitrmngsber. der math.-phys. Cl. der bayr. Acad. der Wiss.
1889. Bd. 19. Heft 111; mitgetheilt vom Hm. Verf.)
In einer alteren Abhandlung') habe ich die Curven
gleicher Lichtstarke (man kann sie ,,Isophoten" nennen), welche
in den Interferenzbildern doppelbrechender Krystallplatten
im convergenten polarisirten Lichte auftreten, wie ich glaube
zuerst 2), zur Sprache gebracht.
Die Lichtstarke J 2 in einem Punkte des Bildes ist ausgedriickt durch die Gleichung:
J2=A2(cos*(gp-~W)-sin2(u-~)sin2(as-~)sin2w9.),
wenn A die Amplitude des einfallenden Lichtes, y und w
die Winkel der Schwingungsrichtungen des Polarisators und
Amlysators, u den Winkel der im betrachteten Punkte stattfindenden Schwingung mit einer festen Richtung des Gesichtsfeldes, und 9. den daselbst stattfindenden Gangunterschied, in Wellenlangan ausgedruckt, bedeuten.
Die Gestalt der Erscheinung ist in jedem Falle bedingt
durch zwei Systeme krummer Linien, die Curven gleichen
Gangunterschiedes (Isochromaten) und die Curven gleicher
Schwingungsrichtung (Isogyren), deren resp. Gleichungen sind:
4 = const. und a = const.
I m Falle einer senkrecht zur ersten Mittellinie geschnittenen zweiaxigen Rrystallplatte von kleinem Axenwinkel hat man:
9. = $ T l r 2 ,
wenn d die Dicke der Platte, L die Wellenliinge, q eine von
den optischen Constanten des Erystalles abhangige Griisse,
1) Lommel, Pogg. Ann 120. p. 69. 1363.
2) Vie1 spiter erst werden diese Curven wieder erwiihnt von W. D.
N i v e n , Quarterly Journ. of Mathem. 13. p. 174. 1874.
Curven gleicher Lichtstarhe etc.
269
r1 und ra die von den beiden Axenpunkten oder Polen nach
dem betrachteten Bildpunkt gezogenen Strahlen bezeichnen.
1st p ein fiir eine und dieselbe Curve constanter Parameter, welcher jedoch von Curve zu Curve sich Indert, so ist:
rlrz =
die Gleichung der Isochromaten, des bekannten Systems
homopolarer Lemniscaten.
Die Isogyren sind eine Schaar gleichseitiger Hyperbeln
(a= const.), welche siimmtlich durch die Pole A und A1 hindurchgehen und die Lemniscaten rechtwinkling durchschneiden. Die beiden zu einander senkrechten Schwingungen,
welche langs einer Hyperbel stattfinden, erfolgen parallel zu
dewn Asymptoten, welche durch den Mittelpunkt 0 des
Lemniscatensystems hindurchgehen. Jede Hyperbel bildet
im Pole mit der Richtung O A (von welcher aus die Winkel
a , (p, OT, gezahlt werden) einen Winkel ( 2 4 , der doppelt so
gross ist als der Winkel (a)ihrer Schwingungsrichtung mit
derselben Geraden OA.
Jeder Punkt des Gesichtsfeldes ist Schnittpunkt einer
Lemniscate Q mit einem Aste einer Hyperbel u ; p und u
konnen daher als ,,lemniscatische CoordinatenLL1)dieses Punktee angesehen werden. Lasst man die beiden Pole im Mittelpunkte 0 zusammenfallen, so verwandeln sich die Lemniscnten in um 0 concentrische Kreise, die Hyperbeln in ihre
Asymptoten, d. h. in je zwei zu einander senkrechte durch
0 gehende Gerade, und p, u sind jetzt beziehungsweise Radius vector und Polarwinkel eines gewohnlichen Polarcoordinatensy stems.
Versteht man nun in dem Intensitatsausdruck:
Ja = Aa cosa(v - w)
(
- sin 2 (a- cp) sin 2 (a- q ) s i n asp2)
(wo a2 statt der stets positiven Constanten b l d p geset.zt ist)
unter p und u lemniscatische Coordinaten, so nimmt die
Untersuchung dieses Ausdrucks fur zweiaxige Krystalle genau
denselben Weg wie fur einaxige Krystalle, wo e und a gewohnliche Polarcoordinaten bedeuten.
Unter Anwendung lemniscatischer Coordinaten wurden
1) L o r n m e l , Schlomilch's Zeitschr. f. Math. LI. Phye. 12. p. 45. 1867.
17 *
E. Lommel.
260
in der Eingangs erwahnten Abhandlung hinsichtlich des Axenbildes zweiaxiger (und somit auch einaxiger) Krystalle unter
anderen folgende Resultate gewonnen.
Die Gleichung der Curven gleicher Lichtstarke (ISOphoten) ist:
3c
- sin2(a- cp) sin 2 (a!- 9)sina -%pa
=R.
a
Z u ihnen gehoren vor allem (fur R = 0 ) die Lemniscaten
= naz (,,Hauptlemniscaten") und die beiden Hyperbeln
a! = cp und a! = q (,,Haupthyperbeln"), auf welchen die n&mliche Lichtstarke Aa cosa ( y 9)herrscht die ohne die
p2
-
,
Krystallplatte das ganze Gesichtsfeld gleichmassig erfiillend
wahrgenommen wiirde. In ihren Durchkreuzungspunkten,
also in jedem Pole, bilden die beiden Haupthyperbeln einen
Winkel 2 (cp - q) miteinander, der doppelt so gross ist a13
9212) zwischen den
der spitze Winkel cp - 9 (0 4 sp - #I
Schwingungsrichtungen des Polarisators und des Analysators.
Durch die Hauptlemniscaten und die beiden zu ihnen
rechtwinkligen Haupthyperbeln wird das ganze Bild in rechteckige krummlinig begrenzte Felder zerschnitten. Innerhalb
der Felder , welche zwischen den beiden Haupthyperbeln
(vt < 01 < y) liegen, ist die Lichtstarke grosser, in den ubrigen
kleiner als Aacos2 (q 9).
Denkt man sich in jedem Punkte der Bildebene die
Lichtstkke als Ordinate senkrecht errichtet, so wird durch
das so erhaltene Lichtgebirge die Vertheilung der 1ntensit"at
anschaulich dargestellt. Die Hauptlemniscaten und die Haupthyperbeln bilden dann ein im Niveau A2 cos2 (cp - 9)verlaufendes horizontales Strassennetz, wodurch das ganze Terrain
in die erwhhnten Felder zerlegt wird. Ueber jedem Eelde
innerhalb der helleren Scheitelraume erhebt sich ein Lichtberg uber das Niveau der Strassen, in jedem Felde der
dunkleren Raumo senkt sich ein muldenformiges Thal unter
dieses Niveau hinab.
Die Maxima und Minima der Lichtstarke (Berggipfel
und Thaltiefen) liegen auf den ,,Maximum- und MinimumLemniscaten" p2 = 4 (272 + 1)az, und zwar die Maxima ( J z =Aa)
da, wo sie von der ,,Maximum-Hyperbel" a = g(cp + y), die
Minima ( J 2 = 0) dort, wo sic von der ,,Minimum-Hyperbel"
-
C'!urven gleicher Lichtstarke etc.
261
+
a = 4 ('p y)- t n geschnitten werden. Maximum- und Minimum-Eyperbel halbiren in den Polen die Winkel zwischen
den zwei Haupthyperbeln , und stehen daselbst aufeinander
senkrecht.
Die Linien gleicher Lichtstarke, fur welche h von Null
verschieden ist , umgeben in jedem Felde als geschlossene
Curven (Horizontalcurven des Gebirges) die Maximal- oder
Minimalpunkte; jede derselben umsc-hliesst nur ein Maximum
oder Minimum, mit Ausnahme derjenigen, welche den Mittelpunkt 0 in sich schliessen, woselbst das Lichtgebirge im
Allgemeinen eine sattelformige Gestalt besitzt. I)
I n den helleren Scheitelriiumen sind alle Curven gleicher
Lichtstarke J 2 = Aa (cos2 (cp U
,I) + h) zwischen zwei H p
perbeln eingeschlossen, deren Schwingungsrichtungen (Asymptoten) von denjenigen der Maximumhyperbel, also auch von
denjenigen der zwei Haupthyperbeln beiderseits urn gleichvie1 abweichen, namlich zwischen den Hyperbeln a! = q + a',
a = cp - u*, wo u1 der Gleichung sin2 2 a1 = k geniigt. Diese
beiden Hyperbeln beriihren die Isophoten in den Punkten,
wo sie den Maximum- und Minimum-Lemniscaten begegnen.
I m dunkleren Gebiete werden ebenso alle Isophoten von
der Lichtstarke J 2 = Aa (cosa(lp - y) - h) von den beiden
Hyperbeln ct = y~ - a', oc = cp + al beriihrt.
Jede Curve gleicher Lichtstarke ist zwischen zwei Lemniscaten pa = na2 + 6 und ~2 s (n + 1) u2 - 6 (wo d der Gleichung sin2 (cp - tp) sin (a/$)6 = k geniigt) eingeschlossen,
welche hinsichtlich ihres Gangunterschiedes von den beiden
Hauptlemniscaten (e2 = nua, e2= (n + 1) u 2 ) , die das entsprechende Feld begrenzen, und demnach auch von der das
Feld durchsetzenden Maximum- und Minimum-Lemniscate
p2 = g(2n + 1) a2 um gleichviel abweichen. Die Beriihrungepunkte jener Lemniscaten mit der Isophote liegen auf der
Maximum- (oder Minimum-) Hyperbel.
Jede zwischen diesen beriihrenden Lemniscaten liegende
Lemniscate pla = n2u2 + E (e > S) schneidet die Isophote in
zwei Punkten, die auf Hyperbeln liegen, deren Schwingungsrichtungen (Asymptoten) a = q~ + j3 und a = cp - p von den-
-
1) Man vergleiche hierzu die in der erwiihnten Abhandlung beigegebene genaue Zeichnung Pogg. Ann. 120. Taf. I. Fig. 5 . 1863.
E. Lommel.
262
jenigen der Haupthyperbeln um gleichviel abweichen. Die
beiden anderen Schnittpunkte dieser Hyperbeln mit derselben
Iaophote liegen auf eioer zweiten Lemniscate pa2= (n + 1)az - E,
deren Gangunterschied von demjenigen der Maximum- und
Minimum-Lemniscate um ebensoviel abweicht wie bei jener
ersten Lemniscate. Die Werthe p und E geniigen der
Gleichung :
sin 2 @sin2 (cp - y - p) sin2$a E = K.
F u r alle auf der Hyperbel a = q + /3 liegende Punktepaare aller k-Isophoten ist hienach die Differenz der Oangunterschiede gZ2- pi2 = a2 - 2 e die namliche, und unabhangig von der Ordnungszahl n der Isophote. Denselben
Werth hat diese Differenz auch auf der Hyperbel a = 9 - ,!?,
welche jenseits von der Maximum-Hyperbel urn gleichviel
ahweicht.
Da ferner pZ2+ el2= (2 n + 1)a2 unabhangig von E, folglich auch unabhangig von K ist, so i s t diese Summe fur alle
in demselben nten Felde liegenden Isophoten constant, und
nimmt nach aussen hin von Feld zu Feld urn 2 a 2 zu.
1st gm der Parameter einer Maximum- und MinimumLemniscate (gm2 = (2n + 1) a3), so ist gz2 - gm2= gna - g12
= ;a 2 - 8 = 4 (gae - PI2) ehenfalls unabhangig von der Ordnungszahl n.
F u r Punktpaare derselben Hyperbel, welche auf den
einander zugewendeten Theilen zweier aufeinanderfolgender
Isophoten und sonach auf den Lemniscaten g'2 = nu2 + E und
g2 nap - E , ergibt sich gr2- g2 = 2 8 ebenfalls unabhangig
von 11. Bezeichnet go2= nu2 die zwischenliegende Hauptlemniscate, so hat man noch g'2- go2=go2- p a = 4 (g'2 - p2)= E
und 4 (g'2 g2) = goa= nu2. Auch diese DifferenZen und
Summen haben auf den beiden Hyperbeln, welche von der
Maximum- (oder Minimum ) Hpperbel beiderseits um gleichvie1 abweichen, den namlichen Werth.
Alle diese Sgtze gelten aowohl fiir zweiaxige als auch
fur einaxige Krystalle, indem ftir letztere unter g und a
atatt lemniscatischer Coordinaten gewijhnliche Pol.arcoordi*
naten zu verstehen sind.
Man erkennt nun leicht, dass der Satz, welchen H e r r
:
I
+
Curuen gleicher Liclrtstarke rtc.
263
G 1a z e b r o o k l) zwanzig Jahre spater nur fur einaxige senkrecht zur Axe geschnittene Erystallplatten bewiesen hat,
nllmlich:
,,Alle Curven (Ovale) gleicher Intensitit beruhren zwei
von vier geraden Linien in Punkten, welche durch dieGleichung:
iJowie eine Anzahl der Sitze, welche hierauf Herr Spurge2)
hinsichtlich dieser Curven ebenfalls nur fur einaxige Krystalle
und nur fur y - t,/~= o oder = 4 abgeleitet hat, in obigen
Sltzen als besondere Fiille bereits enthalten sind.
Gelten die bisher erwahnten Satze sowohl fur zweiaxige
als fur einaxige Krystalle, indem im letzteren Falle nur a n
Btelle der Lemniscaten concentrische Kreise , an Stelle der
Hyperbeln die Radien dieser Kreise treten, so ist der zweite
Satz Glazebrook's: ,,Alle Ovale gleicher Intensitat sind von
gleichem Flacheninhalt" nur fur die einaxjgen Krystalle
richtig; denn nur bei diesen wird das von zwei consecutiven
Radien und einer Isophote begrenzte Fliichenelement durch
4 (eZ2- el8)da ausgedruckt, und ist demnach fur alle k-Isophoten, welches auch ihre Ordnungszahl sein mag, von gleicher Grosse.
Wir konnen diesem Satze noch hinzufligen, dass jedes
von einer Isophote umgrenzte Flachenstuck sowohl durch
den Maximum- und Minimum-Kreis, als auch durch die
Maximum- (oder Minimum-) Gerade halbirt wird.
Physikalisch von grosserem Interesse als diese geometriwhen Satze ist die Frage nach der Lichtmenge, welche
1) R. T. G l a z e b r o o k , Proc. Cambridge Phil. SOC. 4. p. 299. 1883.
Sowohl Hr. G l a z e b r o o k als Hr. N i v e n bezeichnen die Curvcn
gleichrr Intensitiit mitiinter ale ,,isochromatic curves". Diese Bezeichist nicht zutreffend. ,,Isochromatisch" kann man nur die Curven
%%en Gangunterschiedes nennen, welche bei Anwendung von weissem
f i c h t in ihrer ganzen Erstreekung denselben Farbenton, nur mit verwhiedener Lichtstlrke und Siittigung, aufweieen, also in den vorlie enden Fallen die Lemniscaten oder Kreise. Eine Isophote d egen, wefche
1Bn s ihres Umfangcs fur vine bestimmte Wellenllln e i i b e s die gleiche
Licftstarke besitzt , zei t in ihren verschiedenen bunkten verschiedene
Farben, namliCh in jefem Punkte den'enigen Farbentop, welcher der
Isochromate (hier Lemniscate oder Kreidinie) angehort, die durch diesen
Punkt hindurchgeht; sie ist also nicht ,,isochromatisch".
2) C. S p u r g e , Proc. Cambridge Phil. SOC.6. 1). 74. 1884.
264
E. Lommel.
durch eine zwischen zwei Polarisatoren befindliche Xrystallplatte oder einen begrenzten Theil derselben hindurchgeht.
I n einer friiheren Notizl) habe ich diese Frage hinsichtlich
der mittleren Lichtmenge, welche durch die ganze Platte
dringt, bereits behandelt, und unter anderen folgende Satze
bewiesen:
Bringt man zwischen zwei Polarisatoren, deren Polarisationsebenen parallel oder rechtwinklig gekreuzt sind , eine
einaxige, senkrecht zur Axe geschnittene Krystallplatte, so
ist die mittlere Erleuchtung des Gesichtsfeldes dieselbe, als
wenn man bei Abwesenheit der Platte die eine Polarisationsebene um 30° drehen wiirde.
Bilden die Polarisationsebenen einen Winkel von 45O
miteinander, so ist die mittlere Erleuchtung eben so gross,
als wenn die Krystallplatte gar nicht vorhanden ware.
1st bei einer zweiaxigen senkrecht zur ersten Mittellinie
geschnittenen Krystallplatte die eine Polarisationsebene parallel oder senkrecht, die andere unter 45O’geneigt zur Ebene
der optischen Axen, so findet im Gesichtsfeld dieselbe mittlere Erleuchtung statt, als wenn die Krystallplatte gar nicht
vorhanden ware.
Diesen friiher bewiesenen auf die mittlere Erleuchtung
des ganzen Gesichtsfeldes sich beziehenden Satzen sei nun
hier betreffs der Lichtmenge, welche durch ein von einer
Isophote begrenztes Flachenstiick hindurchgeht, noch Folgendes hinzugefugt.
Die auf das Fllchenelement edQdG im Axenbilde eines
einaxigen Krystalls treffende Lichtmenge betragt, wenn man
A = 1 setzt:
cos2(y-tp).prledu- sin2(u- ~ ) s i n 2 ( o c - - ) s i n a ~ g a q d q d u ,
und ergibt durch Integration nach 8 fur den zwischen den
Rttdien cr und u + dcr und den isochromatischen Kreisen el
und pz enthaltenen elementaren Plachenstreifen die Lichtmenge:
i c o s ~ q o- w)- (e2a- ela)da - [t ( e 2 z - el’) -G
\
(sin 2n
2 eSa- sin 2an el2) sin 2 (a- y ) sin 2 (u - y) .d u .
a4
I
1) Lommel, Schl6m. Zeitechr. 12. p. 514. 1867.
265
Curven gleicher Lichtstiirke etc.
1st der Flachenstreifen von einer Isophote begrenzt,
~ na2 + E , so ist die Lichtd. h. ist eZ2= (71 + 1) u2 - e , Q , =
starke :
$ ( a 2 - 2 e ) c o s a ( r p - y ) d u - ( $ ( a % - 2 s ) + -sin,e
4n
a
2n
)
sin 2 (cc - sp) sin 2 (u - y).d a
unabhangig von der Ordnungszahl n, und somit fur alle hIsophoten die niimliche. Da, was fur die einzelnen Flachenstreifen gilt, auch fur die ganzen Elilchen gelten muss, so
gelangen wir zu dem Satz:
Atle von Curven gleicher Lichtsturke begrenxten 8liichenstiieke
lassen gleiche Lichtmengen durch.
Ebenso lHsst sich zeigen, dass auch alle Flachenstucke,
welcho von zwei aufeinander folgenden Isophoten und den
zwei sie beriihrenden Geraden begrenzt werden, gleiche Lichtmengen durchlassen.
Denken wir uns die Intensitiitsvertheilung wieder durch
das oben erwahnte Lichtgebirge versinnlicht, so werden von
diesem durch jede in einer EGhe, die kleiner ist als 1 , gelegte Horizontalebene Gipfel abgeschnitten, die von Curven
gleioher Lichtstarke umrandet sind, und die Lichtmenge,
welche durch eine solche geschlossene Curve geht, wird dargestellt durch den Cubikinhalt des abgeschnittenen Gipfels,
vermehrt um den CuLikinhalt des unter ihm bis zur Nullebene hinabreichenden geraden Cylinders. Da aber diese
Cylinder fur alle R - Isophoten wegen des gleichen Flacheninhalts der letzteren an Volumen gleich sind, so sind auch
alle abgeschnittenen Gipfel an Rauminhalt gleich. Auch erkennt man leicht, dass jeder Gipfel durch den Cylindermantel,
der sich uber dem zugehorigen Maximum- und Minimumkreis g2= 4(2 n + l ) a 2 erhebt, sowie durch die Verticalebene,
welche durch die Maximumgerade a = i(cp y) gelegt iet,
halbirt, und sonach durch diese beiden Flachen in vier Theile
von gleichem Cubikinhalt zerlegt wird. Ebenso wird auch
die zwischen zwei aufeinander folgenden Isophoten und den
sie beriihrenden Gerrcden sich erhebende Gebirgsmasse sowohl durch den Cylinder uber dem zwischenliegenden Htmptkreis als auch durch die eben genannte Ebene in gleiche
Theile getheilt.
+
266
E. Lonimel.
Curoen gleicher LichtstiirRe etc.
Wenn die Polarisationsebenen einen Winkel von 45O
miteinander bilden ( y - q = t n), so bleibt die Gleichung der
Isophoten, welche jetzt wie folgt lautet:
ungeandert, wenn man gleichzeitig u +
statt und - R
statt R setzt. Daraus geht hervor, dass die in den hellen
Scheitelraumen uber das Niveau 4 aufsteigenden Berggipfel
nicht nur unter sich an Rauminhalt gleich, sondern auch
mit den in den dunkeln Scheitelraumen zwischen denselben
Hauptkreisen sich einsenkenden Thalmulden congruent sind,
sodass diese durch jene genau ausgefullt werden konnen.
Die mittlere Intensitat im ganzen Gesichtsfeld muss daher
gleich derjenigen auf den Hauptkreisen und Hauptgeraden,
niimlich -3 sein, welche auch bei Abwesenheit der Krystallplatte im Gesichtsfelde herrschen wurde. Die gegenwartige
Betrachtung fuhrt sonach zu demselben Satz, der fruher
schon auf anderem Wege gefunden war.
F u r die zweiaxigen Krystalle gelten die auf den Placheninhalt der Isophoten und den Cubikinhalt. der Lichtberge
beztiglichen Satze im allgemeinen nicht, oder vielmehr sie
gelten genahert erst in so grosser Entfernung von der Bildmitte, dass die Lemniscaten daselbst als mit um diese Mitte
beschriebenen Kreisen zusammenfallend angesehen werden
konnen. Nur in dem Falle, dass 97=45O, v=O is6, lBsst sich
ohne Schwierigkeit wie vorhin zeigen, dass an jedes Eeld in
einem der helleren Scheitelraume ein zwischen denselben beiden Hauptlemniscaten gelegenes ganz gleiches Feld in einem
der dunkleren Scheitelraume angrenzt, und dass der uber jenem
sich erhebende Lichtberg congruent ist mit dem unter letzteres
sich hinabsenkenden Thal. Obgleich also hier die Berge oder
die Thiiler iiber Isophoten verschiedener Ordnungezahl unter
sich nicht gleich sind, so compensiren sich doch paarweise je
ein Berg mit einem Nachbarthal von derselben Ordnungszahl,
und es ergibt sich wie friiher der Satz, dass in diesem Falle
die mittlere Erleuchtung des Gesichtsfeldes die namliche ist,
als wenn die Krystallplatte gar nicht vorhanden ware.
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