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Die de Sittersche Welt.

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252
4. B e d e S d t t e r e c h e Welt;
vm M. 9. Lazce und N d k h d l l r a m j a n Sen.
Die kugelsymmetrischen Losungen der Gravitationsgleichungen fiir beliebige Tensorkomponenten sind in einer
friiheren Arbeit, die in dieser Zeitschrift erschienen ist'), gegeben, und abs diesen Losungen und den allgemeinen Unstetigkeitabedingungen ist das Schwerefeld einer Kngelschale (mit
einer Flachenbelegung von Materie) abgeleitet worden. Dabei
ist aber das I-Glied vollstandig vernachliissigt. Die vorliegende
Arbeit will eine Bemerkung iiber die de Sittersche Welt
liefern, die sich aus der Hinzuftigung des I-Gliedes ergibt.
Die kngelsymmetrischen Losungen der Qravitationsgleichungen (mit dem I-Qlied) im Felde sind bekanntlich
91
-
1
a
I--r
1
-Lrs
S
,
9, = p (1 - 7 - -w),
3
a
1
wobei cx nnd /I zwei Konstanten sind und g1 und 9, die folgende YaSbestimmung
dsa = g , d t s - g l d r 2 - r 4 d O P - r a 0 i n 2 8 d ~ 2
defieren.
Jetzt nehmen wir folgende Formel fur das Schwerefeld
einer Kugelschale vom Radius a an:
dr'-- 1'2dOa - r2 sin2 @ dx2
dt2 - 1
3
1 --Ar4
dse= p(1 -
a
1
- -Ira)
3
dt2 -
far r < a ,
drs
(1
a
1
- T - Q ~ r 9
-r2d02-rasinaOd~a
fir r > a ,
1) N. Sen, a e r die Grenzbedingungen des Schwerefeldes an
statiikeitaflllchen. Ann. d. Phye. 75. 5.865. 1924.
Un-
Die de Sittmsche Welt.
263
nnd benutzen die zwei Unetetigkeitebedingungen*) an der
Flilche r = a:
(+)- (+)'= -
( 9 4 ) - CsJ= 0 s
urn die Konstanten a und @ zu beetimmen. Hier ist unter p
der Limes
lim x
7'
.9=0 a-a
Td4dr
zu verstehen. Dieses orgibt die MaSbeetimmung
d s * = ( l - - L1r s ) d t a - - - - dr'
rtdQs - re sinf 8 d y e ,
1
l-TLrl
3
- -- pa'dr'
1 ----Arm
7
.
1
(r
-
< a)
- ra d@' - ra a h a @ dya
(r > 4
8
fir das Schwerefeld einer Kugelschale vom Radius a.
Nehmen wir jetzt folgende Transformation vor:
1---1ra=
3
1
oder r = E s i n 8 , ( O < r < i F )
coss9.
so haben wir in dem h u m innerhalb der Schale ( r < a )
3
dsz= cos29. d P - T ( d 9 . a + s h ' 8 dOaf sina$ e h a @ d y a ) ,
was mit der MaSbeatimmung der d e Sitterschen Welt vollstiindig tibereinstimmt. Denken wir jetzt an eine Kugelechsle
-
6
n
fat mit der Kugelschale r =
die Aquatbrebene 9.
zneammen; auf der Schale verechwindet die Lichtgeechwindigkeit nnd das Schwerefeld innerhalb der Hohlkugel stimmt mit
dem Felde der d e Sitterschen Welt tiberein.
1) a. a. 0. Diese Bedingungen gelten atets, ob man in den DiEerentdgleichungen dea Feldee das l-Glied berficksichtigt oder nicht.
AUIUI~II dsr Phydk, 1V. Folge. 74.
18
254
M. v. Jaw
u.
N.Sen. Die
de rsittCrschs Welt.
Was geschieht nun aderhalb der Schale? Dort ist das
Quadrat der Lichtgeschwindigkeit proportional dem Ausdrucke
1
l--Aa*
_.
r
Nun iet 1 - 1 b aa = 0 , und die Lichtgeschwindigkeit wird
iiberdl in dem AnSenraum verschwinden, wenn wir daffir
sorgen, da6
P*O
ist. Folglich wird die MaSbestimmnng in jedem Pnnkte auI3erhalb der Kngel singuliir, innerhalb deren aber hemcht dsrr
Gravitationsfeld der de Sit terschen Welt. Der sogenannte
,,Massenhorizont6' erscheint a l e eine Fliichenbelegung auf der
Kugelschale.
Man kann somit die d e Sittersche Welt auffassen ala
Grenzfall des Schwerefeldes im Inneren einer Kugelschale,
wenn man deren ,,Halbmesser" a =
fiwerden
1LBt. Dabei
ist ee gleichgliltig, welchen Wert man der Massendichte auf
der Kngelfliiche gibt, wenn man nur irgendeinen poeitiven
Betrag dafiir feetsetzt. Es ist also such unmiiglich, dem
Massenhorizont eine beatimmte Gesamtmasae zuznschreiben.
(Eingegangen 18. Jannar 1924.)
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