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Die Druckkrfte in der Hydrodynamik und die Hertz'sche Mechanik.

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x 2.
1900.
ANNALEN 1DER PHYSIK.
VIERTE FOLGE. BAND 1.
1. B e Druckkrc'hfte in der €Fydrodynarnik u n d
die Hertx98che Mechanik; von R. R e 6 f f .
Das Charakteristische der Hertz'schen Mechanik liegt in
der Idee, die Krafte, welche auf ein System wirken, zu ersetzen
durch die Koppelung dieses Systemes mit einem zweiten, so
zwar, dass die Arbeit, welche das erste System unter der
Einwirkung der Krafte abgiebt, gleich dem Zuwachs der kinetischen Bnergie des zweiten Systemes ist. Der Zweck der
folgenden Untersuchung ist nun der, zu zeigen, dass wir bei
einem stetigen , veranderlichen System auf Schwierigkeiten
stossen, wenn wir die H e r t z 'sche Idee durchfiihren wollen.
Der einfachste Fall des stetigen Systemes 'ist die vollkommene Fliissigkeit und die Differentinlgleichungen einer
solchen vollkommenen Fliissigkeit lauten bekanntlich
wo Q die Ilichte, ui die Geschwindigkeitscoinponente nach der
rechtwinkligen Coordinate xi, und p der i m Innern herrschende
Druck ist. Dabei setzen wir also voraus, dass keine ausseren
Krafte wirken. Von diesen wollen wir im Folgenden durchaus
absehen.
Es miisste nun also der Druck durch die Koppelung des
Systemes mit einem zweiten System darzustellen sein, da dieser
1) Dabei bedeutet
Annalen der Physik. IV. Folge. 1.
15
R. Beiff.
226
Druck nichts anderes ist als die potentiale Energie der Flussigkeit. Es fragt sich daher, durch welche Bedingung ist cler
Druck in die Fliissigkeitsbewegung hereingebracht? Kun giebt
es aber keine andere Bedingung, welche eine ideale Flussigkeit
erfiillen muss, als die Bedingung der Erhaltung der Mnsse und
es liegt nahe, diese Bedingung der Constanz der Masse daraufhin zu untersuchen, welche Krafte durch sie hervorgerufen
werden, und ob nicht gerade diese Krafte den hydrodynamischen
Druck darstellen. Das sol1 nun in der T h a t durch die folgenden Entwickelungen gezeigt werden.
Zu dem Zwecke geht man am besten aus von der d ’ b l e m b e r t’schen Form der dynamischen Grundgleichung. Sind xl x2 x3
wie oben die rechtwinkligen Coordinaten eines Raumpunktes.
agl J& 8 2 , virtuelle Verschiehungen, welche mit den Bedingungsn des Systemes im Einklsng sind, so lautet die
d’ A l e m bert’sche Gleichung fur das als stctig vorausgesetzte
System, wenn keine ausseren Krafte wirksam sind :
J
’i=l,2,3
Die Integration ist dabei zu erstrecken iiber alle Volumenelemente d t des vom System erfiillten Raumes.
Die (YEi miissen die Bedingung erfiillen, dass die Variation
des Massenelementea gleich Null ist, d. h. also, dass
(3)
J ( e d t )= 0 .
Nun ist aber
und daher
Nach eiiiein bekannten Satze der Variationsrechnung kann
man aus (1) und (3) einc Gleichung herleiteu, in der die $xi
willkiirlich sind, wenn mail die mit einer Function 1. multiplicirte Gleichung (3) iiber den Raum des Systemes integrirt
uncl das Integral
227
Bruckkrafte in der Ilydrodynamik.
yon (1) abzieht, sodws man erhalt
I h r c h partielle Integration kann man die Gleichung (4)
nun umformen in
wo das zweite Integral iiber die freie Oberflache des Systemes
zu nehmen ist, und S n die Projection der Variation eines
Oberflachenpunktes auf die nach innen positiv genommene
Normale ist.
Da die S& und ebenso S n hier vollstandig willkiirlich
sind, so folgen fur das innere des Systemes die Gleichungen
' ax, '
' dt
(6)
'
( ) d- u: =, - P *
ah
dt
0.du,
.- =
8x2
-
'
Q
Krafte , welche
herriihren. In
einer vollkommenen, nicht reibenden Fliissigkeit, bei der durch
die Bewegung keine Energie zerstreut wird, miissen diese Krafte
conservative Krafte sein, d. h. sie miissen ein Potential haben.
Nennen wir dieses Potential p , so muss also sein
-pc
a,.
=
ap
a Xl
,
15*
228
R. Reiff.
Aus diesen Qleichungen folgt, dass
oder
(9)
pdl=dp.
Dxdurch erhalten wir aber aus (8)
also ganz genau die Gleichungen (1).
Xach Gleichung (9) ist d p / p ein vollsfandiges Differential,
uiid Q ist eine reine Function von 11. Wahlt man in der
Gleichung (9) nach der Integra.tion die Integrationsconstante
so, dass fur
A=O, p = o
ist, so ergiebt sich als Bedingung fur die freie Oberflache
1. = 0
und daher auch
(1’)
p=o.
Dicse Gleichung (10) zusammen mit der Grenzbedingung
(1 1) fur die freie Oberflache, wenn keine ausseren Krafte wirken,
giebt aber die gewohnlichen Differentialgleichungcn in Bedingungen der Hydrodynamik, wenn wir unsere Function
J” p d il = .r d p als den hydrodynamischen Druck auffassen.
A’ach dieser Barstellung erscheint also der hydrodynamische
Bruck als das Potential der Krafle, welche von der Bedingung
der h’rhaltung der Masse herriihren.
Diese Bedingung der Erhaltung der Nasse erscheint uns
eine so selbstverstandliche, so schr als eine der ersten und am
besten gesicherten Grundlagen der Dynamik, dass wir die Bedingung (3), welche eine infinitesimale Koppelung des Systemes
i n sich selbst darstellt, nicht wohl durch eine andere Gleichung
ersetzeii konnen, welche das System mit einem zweiten verborgenen Systeme koppelt.
Die durch p dargestellte potentielle Energie lasst sich
aber ohne eine Koppelungegleichung nicht darstellen als die
kinctische Energie eines zweiten Systemes. Es wiirde also
bei strenger Durchfuhrung der Hertz’schen Mechanik notwendig sein, die Bedingungsgleichung (3) bez. (3a) fallen zu
Druckkrafte in der Hydrodynamik.
229
lassen. Es widerstrebt uns aber doch auch bei virtuellenverriickungen, die Bedingung (3) nicht als notwendig anzusehen.
Es bleibt aber die Moglichkeit noch offen, unstetige oder nicht
differentiirbare virtuelle Verriickungen zuzulassen , und damit
dann wohl die Bedingung der Constanz der Masse aufrecht zu
erhalten, aber nicht die dieselbe unter der Voraussetzung der
Differentiirbarkeit der Variationen darstellende Gleichung (3 a).
Man wird also zu der Annahme gefuhrt, dass neben den offenen Bewegungen eines Systemes noch verborgene Bewegungen
desselben Systemes hergehen konnen bez. miissen. Diese Annahnie lasst aber H e r t z nicht zu. Erweitert man in dieser
Weise die Hertz’sche Mechanik, so kommt nian von ihr zu
Betrachtungen, welche denen der kinetischen Qastheorie analog
sind bcz. zu den yon v. H e l m h o l t z in seinen monocyklischen
Systemen behandelten Rewegungen.
Wcnn man zu den Gleichungen der reibenden Fliissigkeiten
iibergehen will, wiirde es nahc liegen, statt der infinitesimalen
Koppelungsgleichung (3) zwischen den Variationen 6 .& eine
allgemeinere anzunehmen. Da jedoch bei diesen Bewegungen
Energie zerstreut wird, so miisste man streng genommen die
zerstreute Energie wieder a1s kinetische Energie desselben
Systemes darstellen; es erscheint hier einfacher, von den H e r t z ’ schen verborgenen Systemen Gebrauch zu machen und das
gegebene System 1 mit einem zweiten Systeme zu koppeln.
Diese beiden materiellen Systeme mogen denselben Raum erfiillen. Es seien Q und (T die Massendichtigkeiten des ersten
bez. zweiten Systemes im Punkte xl, x 2 , zs,in diesem Punkte
seien die Geschwinliigkeiten des ersten Systemes u, , 11, , u3, diejenigen des zweiten v l , v2, vg,die Variationen eines Massenpunktes
dee ersten Systexnes seien im Punkte x,, x 2 , x3 = a&, at2, S&,
fir das zweite System Sql, Sq2, 6q3. Bei beiden Systemen wollen
wir die Bedingung der Constanz der Massen gelten lassen.
Sind beide Systeme frei und bezeichnen wir mit p und q
die in ihnen herrschenden Drucke, so lassen sich die Glei.chungen der Bewegung zusammenfassen in die folgende
wo SEi S q i vollstandig willkiirlich sind und das Integral nun
anzunehmen ist uber den ganzen Raum der beiden Systeme.
R. Reiff:
230
Zu dieser Gleichung (12) treten dann noch die Gleichungen der
Continuifat :
Uiese beiden Systeme ergeben fur die Veranderung der
kinetischen Energie:
Nun wollen wir die beiden Systeme miteinander verbinden,
dits kann natiirlich auf die mannigfaltigste Weise geschehen.
W ir nehmen als Bedingungsgleichung zwischen den Varia tionen
der beiden Systeme eine lineare homogene Differentialgleichung
an, die wir schreiben wollen:
wo i undsk alle moglichen Werte 1, 2, 3 annnehmen konnen.
Multipliciren wir die Gleichung (15) mit einer Function p ,
integriren sie uber den ganzen Raum der Systeme und ziehen
wir sie ab von (12), so erhalten wir, abgesehen von einem
Oberflachenintegral, das fur sich verschwinden muss, nach
Ausfiihrung von partiellen Integrationen fiir das lnnere des
Systemes , wenn p. AiIr = ai p B,, = bi, gesetzt mird, die
Gleichung :
und daher als Diflerentialgleichungen des Systemes die folgenden 6 Gleichungen.
(17a)
e d+du
=- a p
- a a.rg
- a--a xu i, l - aa a,,
x,
a xg
1
i = I , 2, 3,
Nun stellen wir die Bedingung, dass durch die Koppelung
der beiden Systeme die Gleichung (14) der Energie keine
Veranderung erleidet, dann ergiebt sich die Bedingung :
Druckkrafte in der Hydrodynamik.
23 1
Die Gleichung (18) liefert die Bedingung zwischen den
Denken wir uns nun die drei unbekannten vi,
ausgedruckt durch t und die x i , so 'konnen wir in der Gleichung (17a) die die aiklediglich durch die uibez. xi ausdrticken
und wir hnben als Bewegungsgleichungen des Systemes 1, wenn
die (aik)die aik nach der Elimination der vi bedeuten, die
Gleichungen :
uikund b i k .
in denen die Grossen des zweiten Systemes gar nicht mehr
vorkommen, d. h. also, das System bewegt sich gerade so, als
ob es allein vorhanden ware und der Gleichung (19) gehorchte.
Das zweite System ist eliminirt, seine Bewegungen sind bei
(19) gar nicht vorhanden, es sind sogenannte ,,verborgene Bewegungen".
Man erkennt unschwer in der Gleichung (19) die Gleichungen der Bewegung eines stetigen Systemes unter dem Einfluss der Druckkrafte p und (aik).
Man kann hiernach aber noch nicht aus der Gleichung(l9)
auf die Gleichung (17 a) und (17 b) zuruclrschliessen. Vielmehr
erscheint die letzte Aufgabe ads eine unbestimmte, selbst wenn
die (ai,) in der bekannten Form a19 Summe partieller Differentialquotienten der ui nach den xk gegeben sind.
B o b l i n g e n bci Stuttgart, 2. December 1899.
(Eingegangen 4. December 1899.)
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