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Die Dynamik eines bewegten Gases in der Relativtheorie.

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145
7. D i e DzJnamik eines bewegtew Gases %nd e r
R e ZativtheorJe;
vow P e r e n e x J i i t t w e r .
Vom Standpunkt der Relativtheorie von H. A. L o r e n t z
und A. E i n s t e i n ist es nicht mehr zulassig, die Energie eines
bewegten physikalischen Systems in ein nur yon seiner Geschwindigkeit abhangendes Glied , die Energie der fortschreitenden Bewegung, und ein zweites nur von seinem inneren
Zustand, d. h. von dem Volumen, der Temperatur und der
chemischen Beschaffenheit abhangendes Glied, die innere Energie,
additiv zu zerlegen. Infolgedessen ist es notwendig geworden,
die allgemeine Dynamik reversibler Vorgange, wie sie H. v.
H e l m h o l t z l) auf das Prinzip der Meinsten Wirkung begriindete,
nunmehr umzugestalten, da er hierbei die genannte Annahme
iiber die Zerlegbarkeit der Energie machte. Diese hochst
bedeutsame und schwierige Aufgabe hat M. P1a n c k z, ausgefiihrt, indem er in seinen Untersuchungen uber das Prinzip
der kleinsten Wirkung jene Annahme uber die Energie durch
das Prinzip der Relativitat ersetzte. Durch Anwendung der
von ihm gewonnenen allgemeinen Ergebnisse ist es jetzt moglich, bei Kenntnis der dem Relativprinzip entsprechenden Zustandsgrogen eines ruhenden Systems diejenigen fur dasselbe
System im Falle der Bewegung unmittelbar zu ermitteln. So
hat P l a n c k die dynamischen GroBen einer bewegten Hohlraumstrahlung aus denjenigen einer ruhenden, die infolge ihrer
Herleitung mit dem Relativprinzip in Einklang sind, in weit
einfacherer Weise abgeleitet, als dies urspriinglich durch K. V.
Mos e ng e i l geschah.
Da nun Verfasser 8, vor kurzem die thermodynamischen
Funktionen eines ruhenden idealen einatomigen Gases auf
._
..
.
-
1) li. v. H e l m h o l t z , Crelles Journ. f. Nath. 100. p. 137-166
p. 213-222. 1886; Wissensch. Abh. 3. p. 203-248. Leipzig 1895.
2) M. P l a n c k , Ann. d. Phys. 26. p. 1-34. 1908.
3) F. J u t t n e r , Ann. d.Phys. 34. p. 856-882. 1911.
Anmlen der Physik IV. Folge. 36.
10
und
146
3'. Jiitlner.
Orund der Relativmechanik ermittelt hat, sol1 hier durch Benutzung der allgemeinen Relativdynamik, wie sie von P1 a n ck
ausgearbeitet worden ist, die Dynamik eines ebensolchen bewegten Gases aufgestellt werden.
Q 1. obereicht uber die Qrundformeln des kinetischen Potentiale.
Das betrachtete ideale einatolnige Gas, das aus NMolekulen von je der Ruhmasse m besteht, befinde sich in einem
stationaren Znstande, der durch das Volumen 7, die Temperatur T und die Geschwindigkeitskomponenten 5,.y, i des
Gases langs der drei Achsen der x , y, z eines ruhenden gerndlinigen rechtwinkligen Koordinstensystems bestimmt sei. Der
Betrag q der Geschwindigkeit ist dann also dnrch
q 2 = fa
+ 7y + i 2
gegeben. Das kinetische Potential H des Gases ist den obigen
Festsetzungen entsprechend hier eine Funktion von q, Vund T:
H = 11 (q, T ) .
v,
Dann folgt nach H. v. H e l m h o l t z bei reversibeln Zustandsanderungen aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung 1)
fur den Betrag G der BewegungsgroBe des Gases
fur ihre Koinponenten
a=,aY,GZ
ferner fur den Druck p und die Entropie 8 des Gases
(3)
endlich fur seine gesamte Energic B:
(4)
1) Das Vorzeichen von H ist hier ebeneo wie bei Planck und entgegengesetzt wie bei H e l m h o l t z gewlhlt.
Bynamik eines bewegten Gases in der Relativtheorie.
147
AuBerdem sei hier noch mit Rucksicht auf das Folgende der
Ausdruck fir die G i b b ssche ,,Warmefunktion bei konstantem
Druck" 22, die durch die Beziehung
(5)
R=E+pV
definiert ist, angegeben. Wegen (3) und (4) erhalt man die
vijllig symmetrische Darstellung derselben
H e l m h o l t z verfuhr dann weiter so, da6 er das kinetische
Potential H folgenderma6en in zwei Teile zerlegte 1)
If = +Mp2 - A ,
sowie i21, die Masse des Kiirpers, hier des Gases, als konstant urid A, die freie Energie desselben, als unabhangig von q
annahm. Bei dieser Art der Abhangigkeit der Funktion H
von q folgen aus (1) bis (6) die Ausdrilcke der gewahnlichen
Mechanik und Thermodynamik.
Sol1 dagegen die gesamte Physik dem Prinzip der Relativitat
geniigen, so schlieBt diese Forderung eine andere nllgemeine
Form der Abhangigkeit des kinetischen Potentials 19 von der
Geschwindigkeit q in sich. Diese Form hat P l a n c k festgestellt. Um sie anzugeben, seien zuerst folgende Bezeichnungen erklart.
Unter II, sei die Funktion der beiden Variabeln F u n d T
verstanden, in welche die Funktion EI der drei Variabeln q, V, T
ubergeht, wenn man in ihr q = 0 setzt, also hier das kinetische Potential des ruhenden Gases. Ferner bedeute H i die
Funktion der drei Variabeln q, V , T, in welche die Funktion
der beideii Variabeln P und 1' iibergeht, wenn man in ihr
P durch V und T durch T ersetzt, woboi
1) H. v. H e l m h o l t z , Crelles Journ. 100. p. 155. Gleichung(6) und
(6a); dort setzt er (bis auf das Voreeichen)
H=L-A,
wo L die lebendige Kraft der sichtbaren Bewegung der sohweren
Massen ist.
10*
K Jiittner.
148
ist. Hierin ist mit c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet.
Entsprechend sollen iibrigens splter p,, So, E o , .. .pol,E i , S,,’.
definiert sein.
Nun mu6 das kinetische Potential auf Grund des Relativprinzips folgende allgemeine Qestalt haben:
..
Dieser Ausdruck hat also an die Stelle des von H e l m h o l t z
benutzten zu treten, der in der soeben eingeftihrten Bezeichnungsweise diese Form haben aiirde:
rr = -& ~~2 + I-I
(8*)
0’
a a c h Gleichung (8) ist in der Relativtheorie das kinetische
Potential If des bewegten Systems bekannt, wem man das
kinetische Potential 11, des ruhenden Systems kennt. Damit
sind dann alle iibrigen ZustandsgroBen des bewegten Systems
gema6 (1) bis (6) ohne weiteres ableitbar. Fur die alte Theorie
leistete genau das Entsprechende Gleichung (8*), in die Gleichung (8) fur gegen c kleine Werte von q unter gewissen Bedingungen angenahert ilbergehen kann. Nach (8) verlax;gt also
das Relativprinzip, daB 11 eine homogene Funktion ersten
Grades der drei Variabeln
sei. Zufolge des Eulerschen Satzes ist demgema6 Gleichung (8)
das allgemeine Integral der folgenden liriearen partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung’)
Dieselbe kann wegen (1) und (3) anch in Gestalt dieser Beziehung geschrieben werden:
c4 - 2
T S + Y p - H = - -q *G,
(9a)
P
oder wegen (6) in der einfachsten Form”):
G
(9b)
-
=
Q1-
*
R.
-~
1) M. P l a n c k , 1. c. p. 26, Gleichung (47).
2) M. P l a n c k , 1. c. p. 25, Gleichung (46).
Dynamik eines bewegten Gases in der Relativtheorie.
149
Diese Gleichung (9b), die mit (8) ebenso wie mit (9) gleichwertig ist, macht in der Relativtheorie die BewegungsgrOBe
von dem Energieinhalt abhangig, also zur Funktion von q, T'
und T, und hebt die Existenz einer konstanten Masse im allgemeinen auf. Fiibrt man jetzt die transversale Masse at,
die (isotherm-isochore) longitudinale Masse A( und die Ruhmasse oder Masse schlechthin M durch die ublichen Definitionen ein :
so erhalt man aus (9b) die Werte:
§ 2. Die allgemeine Dynamik einee bewegten idealen
einatomigen Gases.
Nach der im vorigen Paragraphen gegebenen Ubersicht
liber die zugrunde zu legenden Formeln sol1 jetzt mittols derselben die Dynamik des bewegten idealen einatomigen Gases
aus der Thermodgnamik des ruhenden, wie sie die relativkinetische Gastheorie ergibt, abgeleitet werden.
Da gemiiib (3) das kinetische Potential H, des ruhenden
Gases gleich dem negativen Wert seiner freien Enorgie A, ist:
zro = - A"
(12)
f
so kann man der erwahnten Untersuchung des Verfassers
sofort den Wert von Ho entnehmen'):
(13) Ho = R N T . (log
(-
)I$;.
i.lli1)(i
+ log I f +log 7 )+ C.I!
Hierin bedeutet R die Konstante der allgemeinen Definition *)
der Entropie:
S = k. log W + const.,
H2(1)
die H a n k e l sche Zylinderfunktion erster Art zweiter
1) V. Jitttner, 1. c. p. 878. Gleichuog (54%).
2) M. Plenck, Vorlesungen iiber die Theorie der WBrmeatrahlong,
Leipzig 1906.
F.Jiittner.
150
Ordnung, i die imaginare Einheit und C eine willkurliche Konstante.
Aus (13) folgen gemaB (3), (4) und (5) in bekannter Weise
die ubrigen thermodynamischen Funktionen des ruhenden
Gases l):
Mittels (8) und (7) erhalt man nun aus (13) sofort das
kinetische Potential H .des mit der Geschwindigkeit q bewegten
Gases :
I
+ log T + log7 - log (1 - $)}+ C T .
Hieraus ergeben sich nach (3), (l), (41, (5) und (10) die allgemeinen ZustsndsgrtiSen:
1) F. J ii t t n er, 1. c. p. 866, Gleichung (26) und p. 876, Gleichung (533
und (527. fibrigens bedeuten die Bezeichnungen So, E b .. . in tlcr
fdiheren Arbeit nicht dasselbe wie oben, sondern die Werte fur niedere
Temperatnren.
Bynamik eines bewegten Gases in der Helativtheorie.
(19)
k 'Y 7'
y =-
1
.
"
+ h N - 1 C,
RN T
15 1
152
3’.Jiittnet.
(24)
,
Wie man aus (19) ersieht, besitzt das bewegte Gas dieselbe Zustandsgleichung wie das ruhende. Das Hauptinteresse
bieten die abgeleiteten Formeln dadurch, daB sie gute Beispiele fur die allgemeinen Erorterungen der Einleitung und
des ersten Paragraphen darstellen. So zeigt der Ausdruck (22)
der Energie, in dem die beiden unabhangigen Variabeln p und T
in recht verwickelter Weise auftreten ( P kommt hier nicht vor),
Dynamik eines beweyten Gases in der Helativtheorie.
153
daB eine Zerlegung in eine nur von der Geschwindigkeit ahhiingige lebendige Kraft und eine nur von cler Temperatur
abhangende innere Energie in der Relativtheorie in der T a t
ausgeschlossen ist. Die mechanischen GroBen ferner, der I m pule G sowie die Massen M, und M , , sind nach (21), (24)
nnd (25) nicht nur durch die Geschwindigkcit, sondern auch
durch die Temperatur bestimmt. Die Ruhmasse M i s t nach (26)
keine Konstante mehr, sondern eine Funktion der Temperatur.
Auch der enge Zusammenhang zwischen der Warniefunktion R
in (23) und den mechaniochen ZustandsgroBen G, JY,M, und M
ist sofort ersichtlich und entspricht genau den oben abgeleiteten
Formeln (9 b) und ( 1 1).
Die Dynamik des idealen einatomigen Gases hildet so ein
interessnntes Gegenstitck zu derjenigen der schwarzen Hohlranmstrahlung. Die Moglichkeit der erfolgreichen Behandlung
jenes einfachen materiellen und dieses energetischen Systems
mittels dcs Prinzips der kleinsten Wirkung Leruht hierbei
darauf, daB man in beiden Fallen einen Einblick in den inneren
Mechanismus des Systems zu tun vermag.
Es mijge nun noch kurz dkrauf hingewiesen werden, dab
man die obigen E’ormeln auch aus den allgemeinen von P l a n c k ‘j
aus dem Werte von If gewonnenen Gleichuugen durch Spezialisieren erhalten kann.
I n der oben angegebenen Bezeichnungsweise, wobei insbesondere (7) zu beachten ist, ist namlich allgemein:
P
= Po‘,
und hieraus folgt wegen (14) sofort ( 19).
hlittels der Beziehung
(28)
s = So‘
geht aus (15) unmittelbar (20) hervor.
Aus der Gleichung
erhiilt man wegen (16), (27) und (14) die E’ormel (22)
-_ .
1) M. P l a n c k , Ann. d. Phys. 26. p. 24 u. 25. Gleichung (39), (40),
(42), (45) usw.
F.Jiittner.
154
Die Gleichung
R
(30)
1
=
~-
. %‘
i1-S
liefert wegen (17) den Wert (23). Hieran wurde sich dann
am einfachsten eine Ableitung von G, M,,Ml und M mittels
des eben gefnndenen Wertes von R snschlie0en (vgl. oben
auf p. 153).
3. Ausartung der Dynamik des Oases f u r niedere Temperaturen
und kleine Geschwindigkeiten.
F u r niedere Temperaturen, d. h. gegen die Lichtgeschwindigkeit c kleine mittlere Molekulargeschwindigkeiten des Gases,
somit bis zu etwa ’Ilo Billion Grad’) hinsuf ist das folgende
in dem ersten Teil von 8 2 auftretende Argument der H a n k e l schen Funktionen
. me2
-
I
kT
immer sehr groB. Das allgemeinere Argument, das in dem
zweiten Teil von 0 2 vorkommt, namlich
nimmt ebenfalls sehr groBe Werte an, wenn nicht nur die
Temperatur niedrig, sondern auch zugleich die Geschwindigkeit p klein gegen c ist.
F u r sehr groBes ip kann man nun angenahert setzen2):
- j . fl,(’)(jP)=
(31)
so da0 also gilts):
- -
4: .
log[- i. U i ’ ) ( i @ )=] - p
_- -
e-B.P-’/z,
- + l o g 1 + log
P.
1 ) F. J i i t t n e r , 1. c. p. 880.
2) E. J a h n k e u. F. E m d e , Funktionentafeln, p. 100. Leipzig 1909.
Vgl. auch P. S c h a f h e i t l i n ; Jahresber. d. Deutsch. Math.-Vercinig. 19.
p. 120-129. 1910.
3) Ee sei darauf aufmerksam gemacht, daL3 in vielen der obigen
Formelu der logarithmische Differentialquotient enter Ordnung (GI. (15)
bis (17), (20) bie (24), (26)) und zweiter Ordnung (Gl. (25)) der H a n k e l schen Funktion auftritt.
DynamiR eines bemegten Gases in der Belativtheorie.
155
I)emgem&B arten die Formelii der Dynamik des Gases, falls
sie sich auf ein ruhcndes Gas bezichen, fur niedrige Temperaturen, falls sie dagegen ein bewegtes Gas betreffen, fur
zugleich niedere Temperaturen und kleine Geschwindigkeiten
in einfache Ausdrucke mit nur elementaren Funktionen aus.
Diese nur naherungsweise giiltigen GrOBen solleii durch Ubcrstreichen gekennzeichnet werden, z. B. H o , IT.
Die Gleichung (13) liefert wegen (31), wenn man die willkiirliche Konstante C mittels der Beziehung
durch die neue Konstante B ersetzt, die Naherungsgleichung :
Ro = R 11-7’.(ilog I! + log 7 )- N m c p + D . T .
(32)
Dieser Ausdruck ist mit der negativ genommenen freien Energie
eines einatomigen Gases gleichwertig, wie sie die gewohnlicha
kinetische Theorie ergibt. Daher folgen sofort aus (32) durch
Differentiation gema6 (3), (4) und (5) (oder auch aus (14), (15),
(1 6), (171 durch Beriicksichtigung von (31)) die wohlbekannten
Werte fur ein ruhendes Gas:
(33)
(34)
(35)
So = k A’. ($log T + log Y ) + $ K N
E, = j . h N Y ’ + N m c 2 ,
(36)
I?, = -i.kil:T+ iVmc2.
+D,
I n diesen Formeln bedeutet, wie aus (35) ersichtlich, N m cB
die innere Energie dcs ruhenden Gases am absoluten Nullpunkt der Temperatur. l)
Den Naherungsausdruck I7 fur das kinetische Potential
des bewegten Gases erhilt man aus (32) mittels (8) und (7)
oder auch aus (18) mittels (31), namlich:
1)
Vgl. F. J i i t t o e r , 1. c. p. 880.
F.Jiittner.
156
Die Differentiation dieser Funktion liefort auf Grund von (3)'
( l ) , (4), (5) und (10) die genaherten thermodynamischen GriiBen
des bewegten Gases. Sie ergeben sich ubrigens auch aus (19)
bis (26) durch Ausartung gemii6 (31) oder endlich sehr iibersichtlich durch Kombination der allgemeinen Formeln (27)
bis (30), (9b) und (11) mit den ausgearteten (33) bis (36). Die
auf eine dieser Arten gewonnenen Gleichungen lsuten:
p=- k N T
v '
S
=kN
.
5
(T3 log I' + log P - -ilog (1 -3)
1
+++%
-
5
--,--kNT+-
Aft=2c3(1
-5)
hTm
.
-__,
Da der Bau dieser ausgearteten Formeln au6erordentlich vie1
einfacher ist als jener der nrspriinglichen, so sind. hier die
allgemeinen Eigentumlichkeiten der Relntivdynamik, z. B. betreffs der Energie, der Massenbegriffe und der Qibbsschen
Warmefunktion, noch weit durchsichtiger als im vorigen Paragraphen. Wie man bemerkt, ist in (40) his (49) der erste
Summand jeder Funktion thermisch , aber zugleich auch
Bynamik eines bewegten Gases in der Relativtheorie.
157
mechanisch, also nicht allein vom inneren Zustand des bewegten Gases ahhangig. Der zweite Summand ist dagegen
rein mechanischer Art; er bleibt fiir die Temperatur 27 = 0
allein iibrig, fiir welche die Formeln, falls die Geschwipdigkeit 4 des Gases nicht etwa die Lichtgeschwindigkeit erreicht,
wegen ihrer asymptotischen Natur mathematisch streng giiltig
merden. Diese sich auf Y'= 0 beziehenden Funktionen, welche
durch den oben zugefiigten Index Null gekennzeichnet werden
mogen, Iauten demnach :
sie sind aus der Relativmechanik des materiellen Punktes l)
wohlbekannt,
3
4. Spezielle Bewegungsarten dea Gases.
Jetzt mogen einige spezielle reversible Bewegungsarten
des Qases kurz besprochen werden, wobei das Verhalten der
schwarzen Hohlraumstrshlung zum Vergleich herangezogen
werde.
Rei einer reversibeln adiabatisch-isobar (d. h. o h m Wilrmezufuhr und bei konstantem Druck) erfolgenden Bescbleunigung
BUS der Ruhe auf die Geschwindigkeit q simkt bei jedem
KBrper, also auch bei unserem Gase sowie bei einer scbwarzen
Hohlraumstrahlung, die Temperatur voii To auf T gemaI3 der
Gleichung 2,
1':To = (1
1,
(47 a)
-
$y:
und zugleich verkleinert sich irn selben Verhilltnis das Volumen
ron Yo auf P:
P : 7, = (1 1.
(47 b)
$It'%:
I) M. Planck, Verh. d. Deutseh. Physik. Gea. 8. p. 136-141. 1906;
oder Acht Vorlesungen fiber theoretische Physik, Leipzig 1910. p. 124.
2 ) M. P l a n c k , Ann. d. Phys. 26. p. 15 u. 16. 1908.
F.Juttner.
158
-
Sol1 der Vorgang nunmehr reversibel adiabatiscfc isochor
(d. h. ohne Warmezufuhr und bei konstantem Volumen) verlaufen, so mu8 die durch (47 b) gegebene naturliche Lorentzkontraktion aufgehoben und das Gas oder die Hohlraumstrahlung entsprechend ausgedehnt werden. Dabei fallt bei
beiden Systemen die Temperatur noch tiefer als gemall (47a).
Fur das einatomige Gas ist dabei auf Grund der Formel (39)
fur seine Entropie die Temperaturerniedrigung angenahert bestimmt durch:
9: To = (1 1.
(48)
$)"":
Entsprechend erniedrigt sich gema6 (35) wegen der Konstanz
von P der Druck.
Fur die Hohlraumstrahlung andererseits ist die Temperaturerniedrigung streng gegeben durch l)
1'
l':To= (l-$)":l;
sie ist hier also nicht einmal halb so gro6 wie bei dem Gase.
Die der Gleichung (48) entsprechende genaue Beziehung
fur das Gas ist recht verwickelt. Sie ergibt sich aus (20),
niimlich:
I
-
k 1'
Mittels dieser transzendenten Gleichung la6t sich aus To und q
der genaue Wert T berechnen.
.. - ..-
1)
M.P l a u c k , Ann. d. Phys. 26. p. 9. 1908.
Dynamik eines bewegten Gases in der Relativtheorie.
150
Aus dem Vorstehenden ergibt sich zugleich, dab bei einer
reversibeln isotherm-isochoren Beschleunigung des Gases ebenso
wie auch der Hohlraumstrahlung eine Warmezufuhr erfolgen
muB, um die Temperatur konstant zu erhalten. Der Druck
des Gases bleibt dann wegen (38) nuch konstant.
Auf die zu Anfang erwiihnte reversible adiabatisch-isobare
Bewegung des Gases sol1 noch etwas genauer eingegangen
werden, da sie eine wichtige Sonderstellung einnimmt. I m
Verlauf eines solchen Vorganges andern sich die Werte von 2“
und B gemaB (47a) und (47b). Fiihrt man daher in den allgemein giiltigen Ausdruck (21) fur die BewegungsgroBe G statt
des variabeln T das konstante I ; nach (47a) ein, so erhalt
man, wenn man die spezielle BewegungsgroBe fur adiabatischisobare Beschleunigungen mit r bezeichnet, nach dem Ausklammern eines gemeinsamen Faktors
Da nun in Rucksicht auf (26) die KlammergroBe die Masse
des Gases von der Ruhtemperatur To ist:
80
nimmt seine BewegungsgroBe hier die besondere Gestalt an:
Weil die Masse M , bei gegebenem To wahrend der ganzen
Bewegung konstant bleibt, so hat die BewegungsgroBe des
Gases hier ganz dieselhe Form wie diejenige eines Masseupunktes (vgl. 8 3 am Ende). D. h.:
Ein reversibel adiabatisch-isobar beschleunigtes Gas bewegt sich nach demselben Gesetze, nach dem sich ein Massenpunkt im Vakuum bewegt; jedoch ist seine Masse von der
Ruhtemperatur To abhangig, entsprechend der Formel (50).
3!Juttner.
160
Dieses hier durch unmittelbares Ausrechnen aus unseren
speziellen Formeln gewonnene Ergebnis ist ein Spezialfall eines
allgemeinen Theorems von P1anck.l) Bei jeder reversibeln
adiabatisch-isobaren Bewegung eines jeden Systems (also auch
z. B. einer Hohlraumstrahlung) IaDt sich namlich die BewegungsgroBe von einem kinetischen Potential der Form
ableiten, worin ill, die Nasse des Systems, miihrend der Bewegung konstant bleibt und gema6 der Beziehung (vgl. (11))
von Y , und To, dem Ruhvolumen und der Ruhtemperatnr,
abbangt. Insbesondere hat auch das kinetische Potential eines
Massenpunktes die Form K , wobei jedoch M eine absolute
Konstante darstellt. Daher sind in der Tat alle reversibeln
adiabatisch-isobnren Bewegungen, da sie sich von einem kinetischen Potential K ableiten, derjenigen eines Massenpunktes
analog.
Q 5. Der Zahlenwert der Maese dee Gases.
Zum Schlusse mijge noch der Ausdruck filr die relativtheoretische Masse des Gases zahlenma6ig an einem Beispiele
erortert werden. Als ideales einatomiges Gas sei das IZeZium
(He = 3,99) gewlhlt. Es sol1 die Masse Bl eines Mols desselben berechnet werden, das fll Molekiile ( L o s c h m i d scbe
Konstante) von der Masse m enthalt. Bis zu l/lo Billion Grad
hinauf dai-f man, wie oben (5 3) bemerkt, die Naherungsgleichung (45) benutzen. Fiihrt man i n diese noch die auf
1 Mol bezogene absolute Gaskonstante B mittels der aus (19)
folgenden Beziehung
kNl = B
ein, so erhiilt man:
5BT
l q =(62)
2 c’ + f i l m .
Mittels der Zahlenwerte
B = 0 , 8 3 1 6 * 1 erg
0 e ~ d C, = 3*10’0Tm-, N1 m = 3,99 g
-
see
1) hl. P l a n c k , Ann. d. Phys. 26. p. 33 u. 34. 1908.
Bynumih eines bewegten Gases in der Nelativtfieorie.
folgt sogleich
1%
(53)
Daher ist fur T =
=
2 , 3 i . 10-13.
161
T + 3,99g.
abs.:
-
Air, = 0,0231
+ 3,99 6 = 4,0131 g .
Die Korrektion der relativ- theoretischen Masse eines Gases
gegeniiber seiner gewohnlichen Masse N m infolge seiner Warmeenergie ist also bis zu 'Ilo Billion Grad hinauf praktisch zu
vernachlassigen, da sie erst hier far Helium 0,5 Proz. betragt.
Andererseits wird bei Temperaturen in der Nahe von
lo1' Grad die trage Masse p1 der schwarzen Strahlung, die
in dem Volumen V, des Mols Helium enthalten ist, gegenuber der Masse Ml des Gases selbst immer ungeheuer iiberwiegen, auch wenn man Vl klein macht, da ja der Grad der
Kompression eines Gases praktisch an dem Eigenvolumen seiner
Molekiile seine Grenze hat. Die Masse der Strahlung ist namlich
(52*)
oder da
,p1 =
4n
-TJ
3 c*
a = 7,061.10-15
ist,
(53*)
=
<,
erg
Tcm -grad4
1,05.10-35.~v~g.
Nimmt man nun selbst an, daB das Helium als idealos Gas
bis zur Dichte 4,0131 zusammengepreBt werden kann, so daB
= 1 cm3 ist, so folgt doch fur T = lollo abs. der auBer-
<
ordentlich groBe Betrag
p1 = 1 , 0 5 - 1 0 9 g ,
gegen den Ml = 4,0131 g verschwindet.
B r e s l a u , den 15. April 1911.
(Eingegangen 19. April 1911.)
Annalen der Physik. IV. F o b . 35.
11
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