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Die Eigenladungs-Verbreiterung eines fokussierten Elektronenbndels.

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Die Eigenladungs - Verbreiterung
ein es fokussierten Ele k tron enbiindels
c ' rI((
~ il~ ,s ~(;r~
(Jlit 5 .!bbiltfuiificii)
1. ICinleitung
h i tlrr Dtirclirecliniing elc
Iicr Systcine sirlit inan iiieist
cli~vuii
ab, dall die Elektronen (hzw. Ioncn) als pclatlenr Teilchen aiiicinnritler wirkcn
tler ISlektronen.l~iiintfc1fiiliren. Diesr
untl irn allgenieincn ZLI ciner Verl~i~itei~iing
Verbreiterring wiirde iii nielirwrn Arlwiteq') 2 ) :j) J) linter ~ereitifaclioritleriAnnalinien ~intei~sriclit,.
1l:s cr,wI) sicli tlal,ei, tlaIl inan arigesiclits tler aiil.lelortleiitlic!h
geringcn Strahlst,roiiist~rkrnin tlrn nieistr~ii~:lektronerioptisclieri Chiiten (beiiii
3Iikroskop z. I<. l\liIiroanil)ere) in (lei, Tat' oft yon tlrr 11:igenladung des Biindels
ahsehen lmnn. In den zitie. t c n Bi~lic~iten
w i i r t l ( ~ neirr ptralleles Biintlel, ein gegrn
einen Punkt konvergierentles 13iintlcl untl sclilieBlic~liBiinclcl niit ,,geometrisclioptisclier Struktur" iint,crsuclit. Dcr Raurn wiirtle in allen Fii,llen als feltlfrei, tIic
S1-romtliclite in jeclein Htralilyurrsclinitt als kolistant, angenoiniiicn. Diese Aiirialiturn 1ia.I~enden Vort,eil, daB die Liistingen aiif tal)uliert. vorliegende Punkt,iont.1i
zuriicl<,gefiihrt werden lr6nnen. Brbeitet, ina~rtk o n s e (iLien t geonietIis~h-optiscli,
tlarin trctcn a,ber in den Stralilvereinigungs-Glcl,ilclcn (I3rennpunkte, Iiaiistilr nsw.)
I<:. E.\V,ttsoii, Philos. J h g . 3, 894 (1927).
31. K n o l l 11. E. l t u s k : i , 4 1 i i i . l'hysilr (.5) 19, OIIL (1932).
3, I<. v. B o r r i e s u. cJ. D o s s e , .lrcli. El. Tcchn. 32, 221 (1938).
( i . I V e n d t , Ann. l'hysik 6 -6, 256 (3948). i ' b c r rille exprriiiiciitc4lc ICrmittlung
voii I ~ . i u n i l ~ i d i i ~ i ~ s w i r kiiri
i i ~G
~ u~irn~~i i i i i i i t ~ i ~ i b r ~ i i ~ -vgl.
~ l o d13.
cll
B o b y k i 1 1 , B. 111.
K c 1 III ,t I I uiid 1).I,. I< a i i i i 11 s k i , J. techii. tis.. llosk'iu, S S I T , i3i (1!)52).
1)
2,
9*
13"-
A n n a h der Pliysik. 6 . E'olge.
Band 11. 1952
ohne Beriicksichtigung der Rauiiiladung unendlich hohe Stromdichten auf und
stellen die Berechtigung dieser Betrachtnngen in Frage 5).
Es liegt daher nahe, die Eigenladungs-Effekte voin Standpunkt der Wellenmechanik aus z u untersuclien, die in allen Bundelquerschnitten zu physikalisch
sinnvollen Strorndicliteverteilungen fiihrt. AuBerdem wollen wir tins von der
einschrankenden Bedingung des feldfreien Raumes befreien und Verhiiltnisse
betractiten, die den in der Elektronenrnikroskopie vorliegenden moglichst iihnlich
sind. Die Moglichkeit zu dieser Untersucliung wurde in letzter Zeit dadurcli gegeben, daIj W. G l a s e r 6) und seine Mitarbeiter die wellenmechanischen Stromdichteverteilungen in verschiedrnen typischen fokussierten Elektronenbundeln
berechnet haben.
2. Verteilung der Stromdichte (Raumladung) in einem typischen fokussierten
Ele k tronen biindel
Urn die durch die Eigenladung bewirkten Effekte in einem fokussierten Elelitronenbiindel kennenzulernen, betrachten wir eine einfache, aber fur viele elelit,ronenopt'ische Gerat'e (vor alleni fur das Mikroskop) typisclie Anordnung. Eiii
zylindrisches Elektronenbiindel, beschleunigt durch die S1mmung U , trete in der
Objektebene z
z,, axial in ein rotatiorissJ.mmetrisclies Abbildungssystein ein
und m r d e durch dieses modifiziert. Wir heschriinken u m irn folgenden auf deii
paraxialen Bereich, beachten aber, daW sicli unsere Uberlegungen sinngcniill
auch auf die Seidelsclie Dioptrik iibert.ragen lassen (allerdings werden sich d i r
Eigenla.dungseffekte dabei nur um vernachlassigbare Grol3en iindern). Aucli
aridere ,,Beleucliturigsverhaltnisse" in der Objektebene lassen sic11 leiclit be1,iicksicht,igen, oline wesentlich Neiies z u liefern. SclilieBlicli sei nocli beinerkt daB
wir liier nur die elekt'rostatisclie Al)stoBung zwisclien den Elektronen in1 Hiindel
beriicksiclitigen und nicht relati\,istiscli reclincn :).
Vom Standpunlit, der g e o n i e t r i s c h e n Elektronenoptik aus siqd die Paraxialbahnen o line Beriiclrsiclit~igungder Eigenladung des Biindels bestiinrnt duIc.11 die
Differentialgleichung
1
~
Dabei bedeutet @ ( z ) den Verlauf des Linsenpotent,ialslangs der Feldachse, wiihrend
B, ( z ) die A.sialkomponente der magnetisclien Feldstarke, ebenfalls Iiings der
Feldachse bederit'et. Mit zwei partiliuliiren Integralen von (l),s(x) und t ( z ) , wclclie
5, I n der Arbeit von G . M'endt ist deinentsprechend die konsequcnt geometrischoptische Betr.achtungsweise verlassen worden, uni zu physikalisch sinnvollen Formeln
zu gelangen. G. We n d t legt eineii geonietrisch-optischen Strahlengang zugrunde, nimint
aber auch in den kritischen Bundelquerschnitten (wo Einhullende auftreten) eine endliche,
iiber den ganzen Strahlquerschnitt konstante Verteilung der Stromdichte an. Vl'ir werden
sehen, daW dieses Vorgehen voni Standpunkt der Wellenmechanik aus als Kaherungsverfahren vollig gerechtfertigt ist.
6) M
'. C: la s e r , Grundlagen der Elektrouenoptik, Springer-TT.ien (in1 Druck). Der
Verf. dankt Herrn Prof. G l a s e r an dieser Stelle fur den Einblick in das noch unveroffentlichte h c h .
7 ) Die relativistische Korrektur kann ohne weiteres beriicksichtigt werden und fuhrt
lediglich zu kompli zierteren Ausdriicken. I n den in der Praxis auftretenden Fallcn ist
sie jedoch vernachlassigbar klein. I m iibrigen fiihrt sie zu k l e i n e r e n Effekten, als die
klassische 1i.echnung. Da wir uns vor allern fur die o b e r e n Schranken der liaumladungseffekte int,eressieren, sind wir um so mehr bercehtigt, klassisch zu rechnen.
H . Griimm:. Die Eigenladunge- verbreiterung eines fokusaierten Elektronenbiindels
I :33
den Bedingungen
s(zLl) = 1; t(zo) = 0
s'(zo) = 0 ;2'(;,)
=-
1
geniigen, lassen sich die Paraxialbahnen in der Gestalt
+
~ ( z ) r,, s(z) rl * t(z)
(3)
schreiben. Das in z = z, parallel zur Achse einfallende Bundel voni Radius R
ist also durch die Bahn
~ ( 2 )= R * S ( Z )
( 4)
gegeben. Das fokussierte Biindel stellt ein doppelkegelartiges Gebilde dar. Die
Abb. 1 zeigt den Meridianschnitt eines solchen Bundels, erzeugt durch ein rein
magnetisches Bbbildungssystem vom G 1as e r schen Glockentypus (Linsenstarke
X.2 - - 1) bei einer Beschleunigungsspannung U = 100 kV und einer VergroBerung
V = -10. Der Eintrittsradius R des Bundels wurde mit 10-6 d angenommen (die
Feldhalbwertsbreite d dient als Mafieinheit). I n die Bbb. 1 wurde auch die (in allen
achsensenkrechten Biindelquerschnitten konstante) Stromdichte J , ( 2 ) eingetragen.
Wie man sieht, versagt die geometrisch-optische Losung physikalisch an der
durch s(zF)= 0 definierten Stelle (Ort tler Fraunhofer-Ebene").
Abb. 1. Meridianschnitt durch ein fokussiertes Elektronenbiindel nach der klassischeii
Mechanik. Die Stromdichte ist in alleii Querschnitten konstant. Der Deutlichkeit halbcr wurde die Ordinate 5. 10J.fach gestreckt
Bei der wellenmechanisclien Betrachtung wird die Stromdichte an keiner
Stelle des Bundels unendlich. W. Glaser und P. Schiskee) haben eine den
Zwecken der Elektronenoptik angepaBte Losung der Schrodinger-Gleichung
angegeben, die es gestattet, aus der in der Dingebene z = z, vorgegebenen Wellen) Stromdichteverteilungen in den einzelnen Einstellebenen z =
funktion ~ ( z ,die
const. zu berechnen. Spezialisiert man auf das paraxiale Gebiet (paraxiale S c h r o clinger-Gleichung) und lafit man die Bunclelladung aul3er acht, so ergibt sich in
unserem Fall nach den erwahnten Autoren die Stromdichteverteilung :
I34
Annulen tlcr P l t y d . 6. Folye. Band 11. 1952
Dabei bedeutet J , (z,)
J,.die (konstante) Strointliclite hei x
:
x,. Die Funktionen
:
a(%)und b(x) sind gegeben tlurcli
Die Funktionen s(z) untl t ( z ) sind identisch riiit den durcli (2) festgelepten 1)artik ularen Losungen des ,,zugeordneten neometriscli-optisellen Probleins.. (1).
"
Unter TT, iind o', sintl die T~oininelschen.,C-Funktionen" zii veistelrrn.
Mit J wurden liier die geaolinliclien ResselTunktionen I)ezeichnet. In Abb. 2
ist die welleniiieclianische Stroiiitliclitererteilung zum Vergleich rnit der geornetriPcli-optischen (Abb. 1) dsrgestellt (die Auswertung erfolgte durcli E. G u t t e r 6 ,
Auger den IXcliteverteilungen in den verschietlenen charakteristischen Einstellehenen sind die Balinen R * s(z) eingezeichnet , welclre die geometr iscli-optisclrr
Begrenzung des Riintlels darstellen. Man heincrkt, da13 die Strorndirlite in dri
F r a u n h o f e r - E l i e n e 2 - x p endlicli )Jleil)t. Es ist daher durchaus mbglicli. n i e
das G. Wend t 8 ) gctan liat, aucli i n den VereiniCiings,oehilden yon Hlel~troneii1)iindeln z u r niiherungsweisen Uerec~linimgeine uher das ganze Biinclel konstantc..
endlivlie Dicliteverteiluiig anzunicI~nicn.
Abb. 2 . IIeridianschiiitt durcli dasselbe I3iindel aie in Abb. 1. Die Stronidichteverteilungen sind hier auf C+ruiid der Welhnmechanik bestirriint
Eine eingeliende 1)iskussion yon (5) ergitit
(gt.oinrtrisch-optisclie) ,.Liclitgebirt..
J , .,(:
T) =
J,
in
tler 0 l ) j e k t e L e i i e 7
(T I
II),
?) \gl. Anm. 5). Die geoinetrisch-optische Uahn
Ikihn'. bei TVe n d t.
R
*
-
2,
fur
(Ids
(8)
s(z) entspricht rtwa dcr ,,inneren
xalirend itn ,,Schatten.' keirie Elektronen auftreten. In der G a u l l s c l i e n Bilclebene z
zI,die (lurch t(zJ -- 0 definiert ist, lierrsclit im Lichtgebiet die Stroindirlite
J z ( z l ,r ) - J n / J Y 2 ( r 2 RT.'),
(9)
wilirend sie im Schatten ebenfalls verscliwindet. In der F r a u n h o f c r -Elienc
z - z17 sclilieWlich zeigt sicli das Air ysclw Heusunqssclieibclien:
~
Die liier gescliilderte Tnterisitiitsverteiliing iin Biindel sol1 iins hei den folgenden
Uet,raclitungen als konliretes Reispiel tlienen. oline dall wir iins an d i e speziellen
VerIiklt,nisse gebunclen fulilen.
3. Yerschiebung der Rild(~b(riieuiid Anderung der \'crgriifierung
Der griindlegende Gedanke unscrer Untersuchiingen hestelit in folgeridem.
In jeder achsensenkrechten Eliene hinter tler Ol)jekt,ebene herrscht eine durch die
J , ( z ,r ) .
paraxiale S c lir ii d i n g e r -Gleichung bestiininte 8t,romilicl~teverteil~ing
Das Biindel kann als stationlire Raumladungswolke aiifgefaIJt, werden: wobci t l i e
iirtlidie Raumladunjisdiclite niit, tler Strorndiclite nach
zusarriitienhlngt,. Diesc Raiiiiilatlungswolke kann gewisscrma0en als Rauiiiladungs-Zerstreuungsliii~e aufgefallt werden, die auf den Abbiltlungsgang einwirkt. Diese ,,Ei0.enladunbrslinse" wollen wir z u den ,,auBeren" Feldern @ ( z )
und &(z) dazusclilagen und tlas wellenmechanische Problem unter diesen veranderten Bedingungen erneiit durclireclinen. Es efgibt sicli auf diese Weise ein
Iterations\erfaliren, das man aher wegen der \-on vornherein als selir klein vorausgesetzkn Wirkung tler Eigonladiing mit dem ersten Schritt abbrechen kann
(eine Verbesserung der so gewonnenen Naherung, inshesondere bei holien Stralilstriirnen, ist, prinzipiell moglich).
Wie W. Glasere) gezeigt, hat, ist das wellenmechanische Prohlem (in1 1)araxialen Bereich) im Prinzip geliist), werin die zugeordnete geometrisch-optische
GI. (1) gelost ist. Wir wollen fur das Folgende annelimen, (la13 wir iiber tlie beiden
partikuliiren Integrale s(z) u n d t ( z ) oline Uerucksiclitigung der Raumladung verfiigen. Unsere Aufgabe reduziert sicli dann daranf, die GI. (1) fur den Fall zu losen?
daW auller dein elektrisch-magnetisclien Ahbildiingsfeld noch eine (z. B. (lurch ( 5 )
gegebene) wellenmechaniscli errnittelte Raiiriilacliin~s~olke
vorliaiiden ist.
Bei Vorliandensein einer von r nnabhiingigen Ritiiriilatliingsi.erteiliin~ e ( z )
Iaiitet, die paraxiale Sahngleicliung bekanntlicli :
Dabei bedeutet c,, die aljsoliite Induktioiiskonstante (praktisclies MaDsysteiii).
I n iinserem Fall haben wir a h auch eine T--4bhiingigkeit der Raumladung zii
beriicksichtigen, die j a innerlialh des paraxialen Gebiet'es stark schwankt'. Um
die Verallgemeinerung von (11) zu finden, bet'rachten viir eine achsensenkrechte
zylindrische Sclieihe tler Breite LIZ und vom Durchmesser r. Der FluB diircli die
136
Annaleii der Physit. 6. Fdge. Band 11. 1952
Oberflache dieser Scheibe mu13 gleich sein der Eo-fachen Gesamtladung im Innern
der Scheibe. Die Radialkomponente der Feldstiirke ergibt sich auf diese Weise zu
1
E = - T E2 ' - -
2n&o,r
F (r,
4,
(12)
wobei P(r,z) die Gesamtladung im Innern der Scheibe, pro Langeneinheit der
z-Ache bedeutet :
r
F ( r , 2) = t3
J p (2,U ) u du.
(13)
U
Mit Hilfe des auf die paraxiale Bewegung spezialisierten Energiesatzes eliminieren
wir nun aus der Bewegungsgleichung
r=-
:
E',
(14)
die Zeits) und erhalten, wenn wir die Beziehung Ei
ron (1) die Integro-Differentialgleichung:
y ' ' + - r 'w
+@ t t + - g -
A[
2@
2:
EO72
= -@"
je ( z ,
(z) beachten, an Stelle
%)
0
du
I
0.
(15)
Diese Gleichung bestimmt die Bahnen r (2) unter Beriicksichtigung der Bihdelladung. Die G1.(15) hat auf der Achse r = 0 keine Singularitat, wie es auf den
ersten Anblick scheinen mochte. Wie man durch Einsetzen einer konstanten
Raumladung statt e(z, U ) erkennt, ist das Integral dann proportional zu re, was
eich gegen das r2 im Nenner hebtlo).
VoraussetzungsgemaB sol1 die Raumladungswirkung gering sein. Wir konnen
daher das Raumladungsglied als Storglied auf die rechte Seite schaffen und die
Integration bis zur ungestort,en Bahn r erstrecken :
s (r,z) = 4 n E o @ r. P ( r , z).
Die Losung der homogenen G1. (1)sei in der Gestalt (3) vorgegeben, dann ergibt
sich als angengherte Losung von (15):
(17)
1
1
.
:
+
F
j
4 n J W o z,
Dabei haben wir bei der Berechnung der Wronsky-Determinante von der bekannten Beziehung
(5 t' - SI t ) = const.
(18)
(He1m hol t z - L a g r angescher Satz) Gebrauch gemacht.
Ein erster, durch den EinfluB der Bundelladung bewirkter Effekt ist die Vers c h i e b u n g d e r G a u S s c h e n B i l d e b e n e . Sie wird bestimmt durch die Ver0 ) Wir haben dabei wie iiblich die durch die Bundelladung bewirkte Veranderung der
Axialgeschwindigkeitnicht in Betracht gezogen. Gegeniiber den in der Praxis auftrebnden
hohen Reschleunigungsspannungen kann dieser Effekt vernachlaissigt werden.
10) Wir setzen dagegen voraus, daO daa Linsenpotential zwischen Ding- und Bildebene nirgends verschwindet und damit, daS die Axialkomponente der Geschwindigkeit
i n diesem Bereich nirgends Null wird (Spiegelwirkung).
H . Griimm: Die Eigenladunp- Verbreiterung eines fohssierten Elektronenbiindels
137
schiebung der ersten auf x = zo folgenden Nullstelle der modifizierten Losung
t ( z ) . Nach Abb. 3 ergibt sie sich zu
Ax,
Mit r
=
= --At&
= -At,
77
vm.
(19)
t und ( 2 ) erhalten wir weiter aus (17) und (19):
Es ergibt sicli also eihe V e r g r o B e r u n g der Bilddistanz.
I n d e r neuen Gau13schen Bildebene wird sich eine V e r a n d e r u n g d e s B i i n d e l d u r c h m e s s e r s gegenuber dem in der alten ergeben. Der Abb. 3 konnen wir die
..
,.
~
.
I
' Js&,
Abb. 3. Die Veranderung der charakteristischen Losungen t ( z ) und Re s (z) (voll ausgezogen) durch die Wirkung der Bundelladung (gestrichelt)
+
Beziehung R 7= R s,
R s;Az, entnehmen. Indem wir s, aus (17) einfiihren,
erhalten wir fur die relative Veranderung der Vergroaerung die Formel
Wenn wir vom zweiten Glied in dieser Beziehung absehen, das sich in der Regel
nur wenig auswirkt, setzt sich die h d e r u n g der VergroBerung aus einem positiven und einem negativen Summanden zusammen, d a das Vorzeichen von s(z)
an der Stelle z = zF wechselt. Durch die Wirkung der Raumladung mu13 es also
keineswegs in allen Fallen zu einer V e r b r e i t e r u n g des Biindels kommen. Das
ist auch anschaulich klar : der RaumladungseinfluB vor der Fr a u n h o f er-Ebene
bewirkt eine Hebung der Randbahn R s(z), also, wenn man nur ihn allein in Betracht zieht, eine V e r e n g u n g des Biindels h i n t e r der Fraunhofer-Ebene.
Die Biindelladung im Bildraum hat die gegenteilige Wirkung. Das Endergebnis
ist ein KompromiB zwischen beiden Effekten. Wir werden im Absclinitt 5 auf
diese Erscheinung zuriickkommen. Beim Zutreffen der Bedingung
-
138
Aiinalen deT Pkysik. 6 . Folge. Band 11. 1952
wird sich in der neuen G a u D sclien Uildehene keine Verbreiterung d ~ I3ildflecks
h
gegenuber dem alten ergeben.
(23)
definierten Fraunliofer-Ebene z
z,,, treten durcli die Wirkung der l~igenladiinc
Veranderiingen auf. Zunarlist ergiht sich eine Verscliiebiing cler F r a u i i h o f e r - E h c n e (vgl. A41)1).
3):
~
(2-1)
Durch die Wirkiing tier Eigenlatlung ver'griiBert' sicli also die Entfernung Objektehene - F r a u n l i o f e r -Ebene. Aiiflertleiii Iiewirkt die gegenseitige Sl)stoBung cler
Elektronen in1 Bundel eine. V e r i n d e r u n p d e s B r e n n f l e c k s . Nacli (10) tritt
in der F r a u n h o f e r - E h c n e die Airysclie Intensitltsverteilung a d . Die Griifle
des Brenriflecks kann durcli das zent'rale Ueugnngssclieiklclicn, tlas bis z u n i ersteii
Minimum dieser Verteilung reiclit (und in deni etma 84'',, des gesaniten Stralistroms konzent'riert sind, cliarakterisiert werden. Der Radius T~ tles zkntralen
Beugungssclieil~cliens oli n e EigenladungseinfluD ist' drircli
gegeben. Eine analoge Beziehung gilt a l w aucli fur dus durch die Eigenladunt.
niodifizierte Sclieibchen in der neiien Fraunliofer-Ebene:
3,83.
(27)
A u s (26) und (27) erlialten wir
(28)
Mit (17) ergibt sicli die relative Veranderung tles zentralen Beugungssclieibscliens
in der neuen F r a u n h o f e r - E b e n e :
(29)
zo
Hier 1aBt sich \-on voinlierein keine allgenieine Blissage i i l ) ~das
r Vorzeiclieri tlieser
Verlnderung rnaclien. Das zentrale Maximum wirtl dabei nacli (10) eine Verinclerune erfalirni. dic tlurcli
l~estininit ist.
Die Beziehungen (19-30) fiir die Eigenladungseffekte gelten allgemein und
hangen nicht von den speziellen Feld- und Groljenverhaltnissen ab (wir haben von
der Verteilung (5), die nur ein Illustrationsbeispiel ist, bisher noch keinen Gebrauch
gemacht). Voraussetzung ist jedoch, dao wir urn auf den p a r a x i a l e n Bereich
beschranken und die Raumladungseffekte als k l e i n e St o r u n g e n aufassen
diirfen.
6. NIherungsweise Auswertung der gewonnenen Formeln. Obere Schranken
fiir die Raumladungsellekte
Um die eben hergeleiteten Formeln auszuwerten, miissen wir vo'r allem die
durch (13) definierte Punktion F(r, z) bestimmen, indem wir iiber die Raumladungsverteilung (in unserem Beispiel iiber 5) integrieren. Schon die Verteilung
(5) ist durch eine komplizierte Reihe dargestellt. Es ist von vornherein kaum zu
erwarten, daB die Integration zu iibersichtlicheren Ausdriicken fiihren wird. Die
Integration la& sich zwar durchfiihren (s. Anhang), doch ist das ErgebniG alles
andere als einfach. Fur bestimmte spezielle Felder (insbesondere fur die kurze und
schwache Magnetlime und fur den feldfreien Fall) kann man die stmnge Rechnung
mit einigem Aufwand weitertreiben. Es wird sich also empfehlen, nach plausiblen
Niiherungen fiir F(r, z) zu suchen. Dies kann in mannigfacher Weise geschehen.
Man wird sich dabei von der physikalischen Bedeutung von F(T,z) Ieiten lassen:
F(r, z) bedeutet, wie schon gesagt, 'die gesamte, auf die Langeneinheit der z-Achse
bezogene Raumladung, die sich in einer flachen, achsensenkrechten zylindrischen
Scheibe vom Radius T an der Stelle z befiridet.
Wenn wir z. B. die Funktion F(t,z) naherungsweise bestimmen wollen, bedenken wir, daI3 t ( ~ (wie
)
aus Abb. 1 hervorgeht) in z, = 0 die Steigmig Eins hat
und schnell zu einem Maximum ansteigt, das die GroBenordnung von d (in der
elektronenoptischen Praxis etwa 1 mm) hat. Die Losung t (z) wird also sehr
schnell- etwa bei a = z,
R - aus der geometrisch-optischen Biindelbegrenzung
austreten, sich wegen des kleinen Biindelradius ( R = 10-6d bis 10-Sd) hoch
dariiber erheben und im Bildraum, etwa an der Stelle
+
b = q- V R/t; = 21- Va R
mo
(31)
wieder in das Biindel zuruckkehren. Zwischen z = a und z = b umschlieljt daher
die Scheibe mit dem Radius t ( z ) praktisch die gesamte Raumladung. Fur diesen
Bereich haben wir also zu setzen:
P(t, Z )
=Ran
(a I ; z < b ) .
(32)
I n den Randabschnitten setzen wir dagegen F(t, z ) proportional zu t*(z):
Diese Annaherung wird um so besser sein, je kleiner die anfangliche Biindeloffnung R
gegeniiber der Halbwertsbreite d ist. Wenn wir die Randabschnitte vernachliissigen und annehmen, da13 t(z) iiberall die gesamte Raumladung umfaljt, erhalten wir einen zu groBen Wert fur F(t, z), den wir spater zur Abschatzung brauchen werden:
F(t, z) I
R a n@,
f&@
.
(34)
140
Annalen dez Physik. 6. Folge. Band 11. 1952
Auf ahnliche Weise konnen wir uns brauchbare Naherungsformeln fur F(Rs,z )
verschaffen. ZweckmaSigerweise wird man von einem -4nsatz der Gestalt
F ( R s , . z )=- ( R s ) ~ z * Q ( z )
(35)
ausgehen. Fur z -= zo, z1 und z3- hat man die durch (8-10) zusammen mit (11)
gegebenen Raumladungsdichten fur e(z) einzusetzen. Die Zwischenwerte kann
man linear oder parabolisch interpolieren. Zur Abschatzung kann
und
dienen, wobei
und em die maximale, bzw. rninimale Raulnladungsdichte
in den1 betrachteten Feldabschnitt darstellen. In der Regel wird es sich dabei um
einen der Werte an den Stellen z = zo, z,, zF handeln, der dann nach (8-10) bestimmt werden kann. Die eingangs zitierten, vom geometrisch-optischen Standpunkt ausgehenden Arbeiten nehmen durchwegs an, da13 s a m t l i c h e Elektronen
innerhalb der von den geometzisch-optischen Randstrahlen begrenzten Rohre
R2z Po und haben daher die Bedeutung
rerbleiben, verwenden also den Ansatz F :
von Abschatzungen nach oben hin.
Nun haben wir die als bekannt vorausgesetzten Losungen s(z) und t(z) des
zugeordneten geometrisch-optischen Problems, zusammen mit einer der Naherungen (32-36) in die Pormeln (19-30) einzufuliren und die Integrale nach
einem passenden Verfahren auszuwerten. I m folgenden sollen einige handliche
Formeln zur Abschatzung der Eigenladungseffekte angegeben werden.
Betrackten wir zunachst die V e r s c h i e b u n g d e r G a u B s c h e n B i l d e b e n e .
Uber den Verlauf des elektrischen Linsenpotentials in (20) konnen wir nichts allgemeines aussagen und schaffen daher den entsprechenden Ausdruck mit Hilfe
des Mittelwertsatzes aus dein Integral heraus. Mit der guten Naherung (32-33)
erhalten wir dann, wenn wir die gesamte Strahllange (z,-z,)
mit L bezeichnen:
niit
!Dm == !D [zo
+6
(21-
41;
0
5: 6 I 1.
(38)
Bei einer reinen Magnetlinse haben wir fur @",
und
die Strahlspannung U
einzusetzen.
Mit der Abschatzung (34) gelangen wir zu einer o b e r e n S c h r a n k e fur die
Bildverschiebung, die ganz allgemein gilt. Wir wollen unter @, nunmehr den
kleinsten Wert verstehen, den das elektrische Potential innerhalb des Abbildungsfeldes annimmt und nach (11) die Gesamt-Strahlstromstarke
i = R ' x . J , (0)
(39)
einfuhren. Es ergibt sich auf diese Weise:
Wir wollen kurz ein konkretes Zahlenbeispiel fur (40) angeben, das sich moglichst eng a n die in der fibermikroskopie auftretenden Verhaltnisse anschliel3t.
H . Grikwim:
L)icd
Eigeiilritlu nys- l'erbreiteruny eiaes fokussisierlen Elektronenbiidels
1 41
Das Abbildungssystem sei eine reine Magnetlinse vom Glasersclien Glockenfeld1. Ferner miihlen wir U = 100 kV und in der Dingebene eineii
typus mit k* :
Buridelradius lil = 10-3 d (d ist die Halbwertsbreite des Feldes)"). Bei einer
VergriiSerung T'--lO
ergibt sich d a m nach der genaueren Forinel (37) eine
4,79 1 0 - 2 i. Bei der hohen VergriiOerung V = -100
Bildverschiebung von AzJL :
erhalten wir dz,,'L= 4,78 i. Die nacli (40) ermittelten oberen Grenzen weichen
nicht st'ark davon ab und Iwt,ragen 4,Yl * 10-2i, bzw. 4,s i.
Unt,ersuchen wir nun die B i i n d e l v e r b r e i t ' e r u n g i n d e r B i l d e b e n e . Zunachst sei benierkt, daL3 der Summand s: Ai,/T.' in (21) in der Regel kaum ins
Gewicht fallen w i d . (In deni
eben gegebenen Zahlenbeispiel besit,zter die Gr6Senordnung 10- 8 ;.)
Uin die pliysilialisclie Bedcutung der Kompensations4
z
bcdingung (22) zu crkenneii,
bctrachten wir spezielleine k u r z e
u n d s c h ma c 11 e A1 a g n e t 1i n s e .
Die Lime befinde sich hei z
z,~~,
die Objektebene bei .zo =: 0. Mit,
'cf0
'
M
Abb. 4. Strahlengang in der kurzen und schwachen
f
iE'- zJT bezeiclinen wir (lie
Brennweite12). Die Bahnen sincl
Rlagnetlinse
~
~
im Dingrauni als Gerade zu hetrachten und erfaliren nur in der unniittelbareii Umgebung des Linsenortes eine
Riclitiiiigs~ndcrung. Fur den Dingrauni liaben wir also z u setzen (ilbb. 4) :
,y
Y
1:
t
2.
7
(41)
fur den Uildiauin tlagxyr~ii:
I n der Niilie der Ding- untl d c Biltlehene
~
befindet sicli inncrlialb der durcli lil-s(z)
begrcnzten Riilire fast die gesamtc Raumladung R 27t eo. E k e Rbweicliung davoii
tritt in der Unigebung der Fraunliofer-Ebene auf. Wir gelangen sclinell z u
eineni annlhernden Ergebnis, wenn wir annehmcn, daS die Beitriige zJr bis zje
und z p bis z3, f zum Integral (in Bbl). 4 scliraffiert) in (21) einander kompensieren. Es bleiben also nur die Beitriige von Ding- und Bildraum. Mit (41) u n d (42)
+
gelangen wir so zu dcr Pormel
($3)
I3eini ~erscliwintlendes ;iustlrucks in der eckigen la miner mird in der Bildchcne
keiiie Verbreiteriiiig ties I3undels auftreten. D:LSist fur V , e - 4,8 der Fall. Dieser
Wert ist niclit sclir esakt, d a die Neigung von t ( z ) in den einander kornpensierendcn
Integrationsst'iicken unberiicksiclitigt gehliehen ist, Es zeigt sich aber, daW das
11)
Dieses 'I5eispiel meicht itisofern
17011
deni in Abb. 2 dargestellten ab, als dort R
=
l C Y 5 d gewiihlt wurde.
12) Da die Linse ,,kurz" ist, gilt hier die N e w t o n s c h e Linsengleichunp und die
J3rennrbenr fillt rnit der V r a u n h o f e r - E b e u e zusammen. Vgl. JV. G l a s e r u. 0. R e r g m s n r i , ZAhll'. I., 363 (1950).
142
Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 11. 1952
Integral in (21) gegeniiber &derungen cler Raiiriiladungs\erteilung nicht allzir
empfindlich ist und daB auch andere A4bscliatzungenZ U kritischen Wcrten zwisclien
V , = -4 und -G fiihren. Wir kijnnen also fiir die kurze uncl schwache Magnetlinse
folgern : bei VergroBerungcn, die wesentlicli uber eine fiinffache liinausgehen, wird
sich eine Ver b r e i t e r u n g tles Biindels in der Bildehene einstellen. Bei kleineren
VergrijBeriingsmaBstiiben, ocler gar bei Verkleinerungen wird der dingseitipe Rauinladungsteil den Ausschlag geben und in der GauBschen Biltlebene koinint es zu
einer V e r e n g u n g des Biindels. Benutzt, man also die Linse zur Verkl(tinerung
(Konzent,rierspule, Kondensor), so iintemtiit'zt,die Raiinilatlung die Absivliten des
Konstrukteurs, der ja an moglichst. kleinen Uildflecken interessiert ist.
Nach dieser Plausil~ilit~tsbetraclltunggehen wir zur Aufstellung von Abscliat.zungsformelri iiber, die fiir belie h i g e elektrische uncl magnetisclie ilbbildungsfelder gelten. Es liegt nalie, clazu die Liisungen s ( z ) und t ( z ) in geeigneter
Weise durcli Tangenten, hzw. Schnen zu ersetzen. Bei reirieni Magnetfeld kijnnen
wir uns dabei aiif die aus ( I ) folgende Tatsaclic stiitzkn, daB diese Losungen stets
gegen die Feldachse liin gekriimmt sind. Beirn elektrischen Abbiltlnngsfeld mu13
dies jedocli nicht der Fall sein. Wir gelien dalier zunirhst niit der l)ekannt,cn
Transf or inat ion 1:')
r ( z ) r R(z) @- 1 / 4
(45)
.
von (1) zii der Differentialgleic~liung(1) ziir Cleicliung
R"
-QR
mit
iind
s(z) und T(z) @ -]I4 t ( z )
konncn
wir
nun
wieder anssagen, tlaB sie
u,
\
stets pegen die Achse liin gekriinimt. sind.
Wir set,zen rnittlere his liolie VergrtjBerungen voraus, nelirnen also an, da13 die
Verbreit,erungstendenz iiberwiegt. Nun
fiihren wir S(z) und T ( z )in (21) ein uncl
V Z
ersetzen cliese Funktionen nach Abb. 5
z~
im Bildrauni (lurch ihre Tangent'e (S,
und T,) und in1 Dingraurri durch ilirt:
Sehnen ( S ] )unrl TD).Wir haben daiiri
\
die Garantie, irn ersten Pall zu groBe,
\1
iin zweiten zii kleine, im ganzen also zii
Abb. 5. Zur Abschatzung der liaumg r o B e Wertc zu erlialten, wenn wir (lie
ladungseffekte
AhAiiitzungen (36) henutzcn. lndeni
wir init (44) und (18) wieder zu s ( 2 ) untl t ( 2 ) zuriiclikeliren, ergibt sicli (lie
allgemeine iibscliltzung :
iibcr.
Von den partikuliiren Liisungen S(z):
\
7
.
.
\
13)
Vgl. auch die Abschatzung von oberen Ureiizen des Farbfehlers, 11'. (:laser,
is. l'hys. 116, 56 (1940).
H . Grrrnun: Die Eigenlaclungs- Verbreiteruglg eines fokncssiertelL Elektronenbu ndels
Fiir tlas rein rnagnetische Abbildunwfelcl, untl wenn wir
?(%'I 1'1 .etzen tliirfen, vereinfaclit sicli (46) Z I I
e.11 = Q, iuitl Q , =
~
1-13
el =:
Fiir tlas auf S.1-10 angefulirte Zahlenbeisliiel, das den Verlidtnissen in dcr UherInikroskopie entspricht,, ergilit sich -bei einer Vergr6Berung ron V = -10 eine
relative ~jiindelverbreiteriingA V < 1,23 10*i untl hei der liohen VergroBerung
V = -100 cler Wert d V < 1,91 . 106 i .
Fiir die V e r s c h i e b u n g d e r F r a u n h o f e r - E b e n e erlialten wir cine vbere
Sclrrank~,wrnn wir in (25) F(Rs, z ) durcli die gesamte Raumladung ersetzen:
Fiir (.in rein niagnetisclies Ab1)ilclringsfeld ergibt sich daraiis :
Die relative Verschicbung der Fraunhofer-Ebene ist bei V -10 nach (49)
-100)
bescl-irknkt tliirch Az4,/zl.. < 3,56 103 i und bei holier Vergr6Beriing
(lurch A Z ~ , ~<
/ Z1,13
: ~ lo3i .
Xun hal)en a i r noch die V e r i i n d e r n n g d e s B r e n n f l e c k s in der neuen
Fr a u n h o f e r -Ebene zii bestiininen.
Dszu schiitzcn wir F ( t , z ) mit (32-33) ab. Es ergibt sicli:
~
-
(v
~
Fiir ein rein magnet,isclies Abbildungsfeld ergibt sich speziell :
(51)
In unserern %alilenbeispiel liefert der Ausdruck tl,Az&7 praktiscli keinen Bpii . Fiir V - = -100 ergibt sicli
tragund fur 'F -= -10 erhalten wir dr, < 7,26 .
A,.,, <: 5,41. 10-3 i.
Niinint' inan an, (la0 durcli tlie Blende vom Radius R = lO-3d ein Strahlstroni von lo-' A tritt 1 ' ) iind setzt, man tlie Haibwertsbreite d = 1 nim, so erhalt man in unserem Zahlanboispiel tlie folgenrlen Ahschatzungen fur die Raum1adungsef;'ekte ( I ' = 100):
-~'-,
<,: 4,8.10-7;
L
. Ir,
I,. 1,13. lo-":
i l l ' 7 < 0,19
A,.,,.:: 5,41 * l0klo,
ZF
1')
1%.v. U o r r i e s , Hab. T. H. Berlin 1945, Optik 3, 321, 389 (1918) gibt an,
daB bei U = 90 kV ein engster Radius des vom Elektronenstrahler erzeugten Bundels
von r = 0.02 mm und ein Strahlstrom yon 50 p A aultritt. Dab entspricht einer
Stromdichte von etwa 4 . 1 0 P A,imm2.
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Annalen der Physik. 6. Folge. Band 11. 1952
Anhang
Bestimmuug der Funktion F (r, t)
Die Funktion P(rJz) ist definiert dureh (13) und lautet mit ( 5 ) und (7)
-
p(rY2) =
J*V+l(X) Jz(n-v)+l(X)
+,-~2?1+4
wobei wir b r
=
1
__
(52)
Ja v + a ( x )
1d z J
Ja(n-v)+g(x)
I
x gesetzt haben. Die darin auftretenden Integrale sind vom Typus
J J,+l
*
J,+,* X- ( p + ~ l + dx
~)
(53)
und lassen sich mit der von L o m m e l l5) angegebenen Forniel
im Prinzip leicht auswerten. Wir verzicliten darauf, den sich ergebenden umstlindlichen Ausdruck anzuschreiben.
15)
E. L o m m e l , Math. Ann. 14, 530 (1897).
W i e n 6, Joanelligasse 719.
(Bei der Redaktion eingegarigen am 26. Juni 1952.)
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