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Die Eigenschwingungen eines Flssigkeitstropfens und ihre Anwendung auf die Kernphysik.

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S. Fliigge. Die Eigenschwingungen eines Fliissigkeitstropje,felu usw. 373
Dde Eigenschwingun gem eines PZiissigbedtstropfem~s
umd ihre ‘Anwendung auf d$e K e m p h y s i b
vom 5.PI.ligge
Die Eigenschwingungen eines Flussigkeitstropfens werden fur den allgemeinsten Fall einer nicht-asialsymmetrischen Obedtichenschwingung berecbnet. Die Lebensdauer eines solchen Zustandes gegen Abstrahlung von
Energie wird nach der klassischen Elektrodynamik ermitteIt und eine neue
mogliche Auffassung der Kernisomerie darctuf gegriindet.
1. Einleitung
Seit einigen Jahren hat sich in zunehmendem MaBe gezeigt,
daB fiir viele Fragen der Kernphysik die Quantenmechanik eine
relativ unhrgeordnete Rolle spielt und die klassische Mechanik
weitgehend zu ihrer Behandlung ausreicht. Der Grund fur dies
unterschiedliche Verhalten zur Physik der Elektronenhiille liegt im
wesentlichen darin, daB infolge der vie1 gro6eren Kernmasee der
bei den Eigenschwingungen eines Atomkerns bewegten Materieteilchen
die Nullpunktsenergie , ziemlich klein ist im Verhaltnis zur Schwingungeenergie der tiefsten Anregungsstufe. Es ist daher sicher qualitativ, und mit einigem Recht auch quantitativ statthaft, den Atomkern als ein E’lussigkeitstropfchen zu behandeln, dessen Energieinhalt
sich zusammensetzt aus Volumenergie und Oberfiachenenergie,
wohinzu bei den schwersten Atomkernen noch in merkbaTem MaBe
die elektrostatische Abstohngsenergie der Protonen tritt. Die
absolute GroBe jedes Energieanteils kann dabei durch eine Materialkonstante beschrieben werden, die fur die Kernmaterie charakteristisch ist, z. B. die GroBe der Oberflachenenergie durch die Oberflachenspannung y . Die Aufgabe der Kernphysik zerfallt durch die
Einfiihrung solcher Materialkonstanten, genau wie die Untersuchung
makroskopischer Flussigkeiten in zwei Teile: einen den Hilfsmitteln
der klassischen Mechanik der Kontinua zugainglichen, der die Zahlenwerte der Materialkonstanten als Gegebenheiten a priori vorapssetzt,
und einen zweiten, tiefer dringenden Teil, der eben diese Konstantenwerte zu erklaren strebt und dabei mit dem scharfen Werkzeug der
Quanteomechanik an Fragen der Struktur herangeht. Wir wollen
uns hier auf die erste Fragestellung beschriinken, bewegen uns also
vijllig im Kreise der klassischen Mechanik und Elektrodynamik. Es
374
Anitalen der Physik.
5. Folye. Bard 39. 1941
gehort rneiner Snsicht nach zu den schonsten Ergebnissen der
kernphysikalischen Entwicklung der letzten Jahre, daB sich immer
klarer die Moglichkeit herausgeschalt hat, solche rein klassische Betrachtungen fur viele Frageii anzustellen. I n dieser Hinsicht ware
wohl vor allern auf den groRen Erfolg nachdriicklich hinmweisen,
den B o h r und W h e e l e r gehrtbt haben bei der Behandlung des
Spaltungsprozesses der schwersten Atomkerne nach dieser Nethode ‘B
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist ein doppeltes: Einmal
soll ein moglichst geschlossenes Bild der Methode gegeben Terden,
urn kiinftige Arbeit auf diesern Gebiet zu erleichtern. Dazu ist es
notwendig, manche Dinge, die sich in der alteren hydrodynamischen
Literatur versteckt finden, in einer fur unseren Problemkreis passenden
Form darzustellen, auf die Gefahr hin, hier und da bekannte Dinge
zu wiederholen. Zum andern soll eiiie neue Anwendung dieser Betrachtungsweise, unter Hinzuziehung von Methoden der klassischen
Elektrodynaniik. auf den Problemkreis der Kernisomerie gezogen
werden.
3. Das Modell
Wir stellen uns den Atomkern im folgenden als Tropfchen
einer reibungsfreien, inkompressiblen Fliissigkeit vor. Wie weit die
Voraussetzung der Reibungslosigkeit erfiillt ist, laBt sich nicht leicht
ubersehen. Die Inkompressibilitat ist nahezu erfiillt , wie schon
altere Betrachtungen von B e t h e 2 ) zeigen, solange nian nicht zu
allzu hohen Aiiregungsenergien iibergeht. Wir beschranken uns ferner
auf diejenigen Schwingungszustinde des Tropfchens , die keinen
Drehimpuls haben. Wir treffen daniit eine c4uswahl nnter den moglichen Zustannden, uber die weiter niiten noch zu sprechen sein wird.
Endlich wollen wir noch die c‘oulombsche BbstoBung der Protonen
vernschlbssigen. Das bedeutet, daB umer Modell nicht ohne weiteres
auf Vorgiinge bei den schwersten htomkernen anwendbar ist ; gerade
bier haben aber B o h r und W h e e l e r bereits gezeigt, in welcher
Weise man vorzugehen hat, UL: der Coulombenergie Rechnung zu
tragen.
Die mathematische Forniulierung unserer Voraussetzungen f iihrt
zu folgenden Aussagen : Die. Schwingungen des Tropfchens mogen
beschrieben werden durch den Geschwindigkeitsvektor b jedes Volumelements d t. Dann ist rot b = 0, d. h. es existiert ein Geschwindigkeitspoten tial:
(1)
b = grad @.
1) N. B o h r 11. J. A. W h e e l e r , 1’hTs.Rev.X. S. 12ti. 1939.
2) H. A. B e t h e , Rev. Mod. Physics 9. S. 8Gff. 1 W i .
8.E'liigge. Die Eigenschwingungen eines Fliissigkeitstropfens usw. 375
Wegen der Inkompressibilitat ist auBerdem div b = 0; also befolgt
Ct, die Differentialgleichung
(2)
A@==.
Bezeichnen wir mit r, 9:rp die Kugelkoordinaten eines Punktes im
Innern der Fliissigkeit, so lautet die allgemeinste bei r = 0 regulare
Losung dieser Gleichung
@ = &,,rl Pzm(cos8)e i m q .
t 3)
C
1st (R,8,y ) ein Punkt an der Ober5ache des Tropfens, so mu6 sich
R ebenfalls in Form einer Entwicklung nach Kugelfunktio&n darstellen lassen:
R = R, +*~~ ~ z , ~ ~ ~ m ( c o s ~ ~ ) e i ~ ~ q .
(4)
Zwischen den Koeffizienten el,mund &,, der beiden Entwicklungen
besteht ein einfacher Zusaplmenhang. Es mu6 namlich die Radialgeschwindigkeit a R / at eines Oberflachenteilcheos gleich sein der
Ableitung (a @lay), = R ; mithin
I n dieser Formel ist bereits R durch R, ersetzt, d. h. die Voraussetzung eiogefiihrt, daB ,die Schwingungsamplituden
R, sind.
Das bedeutet die Harmonizitat der Eigenschwingungen.
<
3. Bereohnung der Eigenfregueneen dea Tropfene
Um die Eigenschwingungen naher zu untersuchen, stehen wie
bei allen mechanischen Problemen zwei Wege offen: Entweder beginnt man mit der Betrachtung des Kraftespiels, oder man geht
unmittelbar vom Energiesatz aus. W ahrend der erste Weg urn seiner
Anschaulichkeit willen von der klassischen Kydrodynamik bevqzugt
wird, entspricht der andere mehr den Denkgewohnheiten des Atomphysikers und sol1 deshalb hier eingeschlagen werden ').
1st Q die Massendichte der Kernmaterie, so ist die kinetische
Energie der Schwingung
(6)
E m = T p1J' l g r a d Q l e d r ,
wobei die Integration. iiber das ganze Volumen des Tropfchens zu
erstrecken ist. Die potentielle Energie bei einer VergroBerung der
1) Der Krtifteansatz ist durchgefuhrt im Handbuchartikel von Gy eman t,
Eandb. d. Physik VII, S. 366f. Unsere Rechnung geht inhaltlich dariiber hmaua,
da dort nur das unvollsttlndige Problem rotationssymmetrischerSchwingungen
(m = 0)behandelt ist.
376
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941,
Oberfltiche urn den Betrag A F wird y . AF. 1st <=R- R, die
radiale Verschiebung eines Oberfllichenpunktes und dS;! = sin 8 d 8 d y
ein Raumwinkelelement, so nimm.t die potentielle Energie die Gestalt an:
Setzen wir in G1. (6) das Geschwindigkeitspotential @ aus G1. (3) ein,
so erhalten wir die Ausdrucke:
Bildet man aus diesen Ausdriicken und den komplex konjugierten
so sieht man unmittelbar ein, daB in den Vierfachsummen iiber
1,1; m,m' nur die Glieder mit m = m' zur kinetischen Energie beitragen. Nach Ausmultiplizieren erhiilt man den Ausdruck:
I n ganz ahnlicher Weise, nur einfacher, ergibt sich aus G1. (4)
und G1. (7)
S.Fliigge. Die Eigemschwingultgen eines Fbiisaigbitatropfens usw. 877
Urn die in den (31. (8) und (9) auftretenden Integrationen uber die
Winkel auszufilhren, bedienen wir uns der Hilfsformeln 1):
um die Ableitungen umzuformen. Die dabei ubrigbleibenden Glieder
mit cot 4 formen wir d a m um mit Hilfe der aus QL(10) folgenden
Beziehdng
(11)
1
m cot 6 PI" = y (I
+ m) (1 - 112 + 1)€);"-I + 1
P")
+I.
a
1
Es lllSt sich dann unmittelbar die Orthogonalitits- und Normierungsrelation anwenden
mit der eich nach Illngerer, aber einfacher Rechnung die Ausdrucke
ergeben:
E
m
Unter Heranziehung der G1. (5) zwischen den Koeffizienten ul,
und p,,,, entsteht so der Ausdruck far die Energie:
mit der Abkiirzung
(16)
a)+
-2(1-1)(2+2).
e Ro
Aus dem Energieausdruck (15) folgt in bekannter Weise zuniichst
die Unabhangigkeit der einzelnen, durch Wertepaare I, rn charakterisierten Eigenschwingangen, sowie ihr sinoidaler Charakter in der
Zeit mit der von m unabhabgigen Frequenz coL. Wir diirfen also
setzen
(1 7)
uz, = az, n, cos t ;
1) Fur flilfs€ormeln iiber Kugelfunktionen wurden benutzt: E. Madelung,
Die math. Rilfsnittel des Physikera, 3. Aufl.; J a h n k e - E m d e , Funktionentafeln, 2. Aufl. sowie H. Bethe, Hdb. d. Physik 2. Aufl. Bd. XXIV. 1. S. 551if.
578
Artrtabrt der Physik. 5. Folge. Bartd 39. 1941
die Energie der Schyingung wird dann
4. Einige Anwendungen auf den Atomkern
Wir wollen die Ergebnisse des vorigeb Abschnitts dazu benutzen, einige Betrachtungen iiber die angeregten Zustilnde der
Atomkerne anzustellen. Aus dem Tropfchenmodell folgt zuniichst
qualitativ die Maglichkeit, die Terme eines Kerns nach steigender
Energie in drei Qruppen einzuteilen, iihnlich wie man bei den Eigenschwingungen eines Molekiils Rotation’s-, Schwingungs- und Elektronenterme unterscheidet. Diese drei Gruppen sind:
a)
R o t a t i o ns t e r m e
Es geniigt infolge des groBen Tragheitsmoments 1 bereits eine
geringe Energiezufuhr, um den Kern in Rotation zu versetzen. Wegen
der gro6en Langsamkeit einer solchen Rotation dnrfte der Kern
wie ein starrer Korper rotieren, d. h. die moglichen Drehimpulse
sind J It und die zugehorigen Energiestufen
=hPJ ( J
.&=
2
5
Hierin kann man 3:
= -M
(20)
R,
=
+ 1).
RO2einsetzen; mit der Farmel
1,4 10-18. A’/.cm
6
erhalt man dann EJ = 27 A-” J ( J + 1)MeV; far J
fnhrt das zu einer Anregunguenergie von 25keV.
= 1 und
A = 100
b) 0 b e r f 1 il c h e n s c h w i n g u n g e n
Bei etwas groBerer Energiezufuhr ist der Kern auch in der
Lage, Deformationsschwingungen auszufuhren mit den im vorigen
Abschnitt berechneten Eigenfrequenzen w l , d. h. also mit den Anregungsenergien E, = h w l . Nach G1. (16) lautet die Termformel
hierfiir
Setzt man den empirischen Wert 472 y R O 2= 14 A% MeV fur die
OberfXLchenenergie ein, so erhalt man numerisch
S. Fliigge. Die Eigenschwingungen eines Fliissigkeifstropfens U S K . 3'79
Der Zustand mit 1 = 0 ist der Grundzustand; eine Schwingung
mit 1 = 1 bedeutet lediglich eine starre Parallelverschiebung des
ganzen Kerns. Sie ist also physikalisch sinnlos. was sich darin
auBert, da6 u1= 0 wird. Die Schwingungen mit 1 = 2 sind die
tiefsten echten Schwingungszustande, bei denen eine -ellipsoid-ahliche Verformung eintritt. Die Anregungsenergie dieses 5-fach entarteten Zustandes betragt bei A = 100 etwa 2,8 MeV. Das ist
viel groBer als EJ. E s wird also eine ziernlich weitgehende Entkopplung der Rotations- und Deformationsschwingungen eintreten.
ubrigens verfiigen wir kaum iiber experimentelle Xoglichkeiten,
Terme mit hohen Eotationsquantenzahlen anzuregen.
c)
D i l a t a t i o n 8 8 c h w i ngun gen
Die Anregungsenergie der Schwingungen, bei denen die Kerndichte nicht konstant bleibt, wird urn so groBer sein, je geringer
die Kompressibilitat des Kerns ist. Diese abzuschatzen, ist schwierig ;
sie zu berechnen, setzt eine niihere Kenntnis von Strukturfragen
voraus, die wir heute noch nicht apnahernd besitzen. B e t h e l ) hat
versucht, die Kompressibilitat auf Grund des Fermi-Gas-Modells
abzuschatzen ; er findet, da0 die Dilatationsschwingungen erst bei
ziemlich hohen Anregungsenergien ( - 10 MeV) spiirbar werden. Hier
ist es aber wohl nicht so, da8 man eine weitgehende Entkopplung
von Deformations- und Dilatationsschwingung hat. Dieser Punkt
tragt daher viel bei zur Komplikation der theoretischen Deutung
der Kernspelrtren.
-
Die Berechtigung unseres Modells kiinnen wir noch in anderer
Hinsicht iiberpriifen. Wir- wollen namlich nachsehen, ob die Amplitude a , , der Schwingungen wirklich klein ist gegen RL,.Wir diirfen
uns dabei auf den ungunstigsten Fall V E= 0 beschranken. Setzen
den Wert von kw, nach (21) ein. so erwir in Gl. (18) fur
halten wir
Setzt man hier Zahlenxerte ein, so erhalt wan
uud die GrijBeuordnung
i: rn 0,lG fiir A = 100.
1 ) H. A. Liethe. Rev. Mod. Physics 9. S. Sjff. 1935.
380
Annalen der Plzysik, 5. Folge. Band 39. 1941
6, Strahlungstheorir far dae Trogfohenmodell dee Atomkerns
Da ein Atomkern die Ladung Ze trilgt, mu6 er bei einer
Schwingung nach der klassischen Elektrodynamik Energie abstrahlen.
Diem Strahlungsd8mpfung ist das korrespondenzm8Bige Xquivalent
der ffbergrtngswahrscheinlichkeit aus ' dem angeregten Zustande der
Energie h cu, in den schwingungslosen Glrundzustand. Es ist unser
Ziel, auf diesem klassischen M'ege die mittlere Lebensdauar einer
angeregten Deformationschwingung mg eines Atomkerns zu berechnen.
Es sei u die Ladungsdichte, die im Innern des Atomkerns
konstant angenommen werden darf. Im Volumelement d t an der
8telle t (Kugelkoordinaten r, I?, y) befindet sich dann die Ladung G dt.
Wir betrachten einen Aufpunkt t o sehr weit au8erhaib des Tropfens;
seine Kugelkoordinaten seien r o,a, yo. Setzen wir noch to--t MI,
so werden von einer Bewegung der Ladung a d r die Feldstllrken
an der Stelle to erzeugt:
,
Dabei bedeutet t nun nicht einfach die zweite Ableitung nach der
Zeit, sondern es ist noch die Retardierung zu berticksichtigen.
Wollen wir z. B. die Feldstlirke im Aufpunkt zur Zeit t'= t
+
berechnen, so miissen wir in f die Zeit t'- 5L' einuetzen. 1st die
Bewegung insbesondere eine harmonische Schwingung, so musseo
wir also in G1. (23) einfiihren:
(24)
1 und
1
t = fonft.
+ a cos (t + r!bsc )
f=-ad&OsW
0
L .
(t + ? 3
Nennen wir den von den Vektoren r, und t eingeschlossenen Winkel @,
so wircl
r
Macht man < Hru-n durch geeignete Wahl des Aufpunktes (ro--f m~
.Yo
beliebig klein, so geniigt das erste Entwicklungsglied:
(25)
Wie man sieht, wird dies erste Glied unabhangig yom Aufpunkt,
Es gibt die Phasendifferenz der von verschiedenen Punkten des
5.Flugge. Die Eigemchwingu figm eines Fliiesigksitatropfens uaw. $81
Kernes ausgegangenen Wellenzllge am Aufpunkt an. Da,a = a d p. 1
mit der Wellenllnge zusammenhlngt, schreiben wir kurz
~Q1( r o - 8 ) n +rC O S @ .
(26)
Diese GrgSe kannen wir nicht beUebig klein machen ; bei Problemen
der Kernphysik ist sie aber fast immer klein genug, urn Potenzreihenentwicklungen zu gestatten, mit deren erstem von Null versohiedenem
Gliede man sich begnfigen kann. Wir schreiben deshdb
(27)
- sin t :[
Lu
-
cos Q
1
- 3-1 (r)'cos8g
r
1
r e
(T)
cos6@ f
. . .]
r
Setzen wir nun i! nach GI.(24). und (27) in Gl. (23) ein, ersetzen
noch, was jn erlaubt ist, den Vektor # durch ro und integrieren
fiber alle Volumelemente d 'F innerhalb des Tropfens, so entstehen
unter Einfiihrung der AbkUrzung
.(28)
a3J=vaS
die Feldstarken
129)
im Aufpunkt. Urn den gesamten Energiestrom zu erhalten, der den
Fliissigkeitstropfen .in Form von Strahlung in der Zeiteinheit verla&, bilden wir den Poyntingvektor 1)
,(30j
der radial nach auBen weist, wie e8 sein mu& Insgesamt wird je
Zeiteinheit vom Tropfen die. Energie
abgestrahlt.
1) Die den vektoriellen Umformungen zugrundeliegenden Hilfeformeln
finden sich bei E. Madelung, a. a. 0.
Artnaletz der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
882
Unsere erste Aufgabe wird es sein, den in G1. (38) definierten
Vektor 9.I zu berechnen, den wir nach Gl. (24) und (27) ausfuhrlich
schreiben kannen :
Fur den Amplitudenvektor a greifen wir auf die GI. (1)und (3) zuruck,
wobei wir uns jetzt nuf ein Glied der Summe in G1. (3) beschriinken
konnen, da wir bereits wissen, daB die einzelnen Glieder unabhangigen
Eiganschwingungen entsprechen. Wir haben also (abgesehen von
der Retardierungsphase) einerseits
fljl
= @t?,Pp(cos8)ei#av= - wl b , r l Pp(cos 8 ) e i m n l Y sin w1t !
wodurch wir die GroBe b, definieren wollen, anderseits nach GI. (24)
t,
=grad@,= -ww,.asinw,t.
Der Vergleich beider Ausdrucke fiihrt auf
(33)
a
=
b, grad (rl P?
e i m 'P)
.
Die Gro6en b, konnen mit Hilfe von G1. (5) und (17) durch die
a, ausgedriickt werden:
(34)
a,
=
b,*lR:-'.
den G1. (31) bis (34) haben wir jetzt alle weiteren Schliisse zu
ziehen.
Der Vektor a hat die Komponenten
,4115
Diese komplizierten Ausdriicke lassen sich auf je eine Kugelfunktion
der Ordnung (1- 1) reduzieren. Hierzu muB man zunachst unter
Verwendung der Hilfsgleichungen (10) die Ableitungen wegschaffen
und alsdann die Formeln anwenden
S. Fliigge. Die Eigenschwingungen eines Fliissigkeitstropfens ww. 383
Es ergeben sich so die Gleichungen
Die Berechnung der Komponenten von B liluft also darauf hintlus,
Integrale zu berechnen, die jeweils iiber das Produkt einer Kugelfunktion der Ordnung (1 - 1) mit einer Potenz von c o s 0 zu erstrecken sind. Um das durchzufiihren, ersetzen wir die Potenzen
von c o s 0 durch Legendresche Polynome; es gelten nilmlich die
Identitilten:
0
1
Fllhren wir diese Ausdriicke in Gl.(32) ein und ordnen nach:
Kugelfunktionen, so nimmt die geschweifte Klammer die Form an:
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
304
r
Wegen
< 1 kannen wir uns in jeder der eckigen Klammern auf
das erstc Glisd beschrltnken; es bleibt dann die Summe
ilbrig, die wir als zweiten Faktor unter das Integral in G1.(32) zu
mtzen kaben. Die Anweiidueg der Normierungs- und Orthogonalitlttsbeziehung 1)
pQY,(wP,iO)=
(38)
Y,(~O!%>~n,
4R
reduziert die Summe dann jeweils auf ein einziges Glied. Ersetzen
wir noch b, gemll6 GI. (34) dnrch a, und ftihren an Stelle der
Ladungsdichte c entsprechend der Bedehung 4n o ROB6 32s die
gesamte Kernladung ein, so entstehen die Gleichungen
(89)
i
&rm
+ iery = A - k e"("
0
Q0
(ao),
PY-':
'2&-i%v= A ' t ~ k ( I + m ) ( l + m - l ) e ' ( " - l ) ~ oPm-'
2-1 P O L
+ m) e',
= IC (l
'
y
P
(ty0),
in denen die Abkilrz,ung
k
(401
= 3Ze 0112 a -----2"z
1
-
l)! sin ( m t
(22 -I-l)!
+
9)
(+)'-I
fUr den allen Komponenten gemeinsamen, winkelunabhflngigen Faktor
benutzt ist.
Die Berechnung von S nach Gl. (31) erfordert die Kenntnis
von 1
8
1 und (to%). Wahrend man miihelos
bildet. sind bei
(r0 3) =
1
yo sin
8,(e-
vo
A
+
ei
w A?)
+ T,, cos a,, 91z
einige Umformungen auf Grund der 01. (35) erforderlich, urn zu dem
Ausdruck
1
---(ro8)
= k e i m p o IP,m(t?O)
(42)
9.0
-
~
1) Vgl. E. M a d c l n n g , a. a. O., S. 66, GI. (30).
S. Fliigge. Die Eigenschwingungen e k e s Fliissigkeitstropjens usw. 385
zu gelangen. In G1. (3.1)treten bei Verwendung der Beziehungen (41)
und (42) nur mehr Integrale vom Typus der (31. (12) auf. Die Ausrechnung ergidt in einfacher Weise
s=:---.((1I -+ mm)!) !
k9
(43)
c3
Z(1
21
+ 1)
+1
Bilden wir das zeitliche Mittel 8, ersetzen nach Q1. (21) und (22) die
Amplituden a, unter Eliminierung der Oberflachenspannung y, und
dividieren endlich durch h o l l so erhalten wir die Zahl der je Zeiteinheit emittierten Lichtquanten
oder was dasselbe ist, die Wahrscheinlichkeit fur den ubergang des
angeregten Zustandes in den Grundzustand in der Zeiteinheit :
(44)
mit
(45)
Z!*(Z
= 3.22Zp---
f
2, m
(21
+ 1)
+ l)!Z
m)!
-.(1(1 -+ m)!
Die Balbwertszeit des angeregten Znstandes hangt hiermit zusammen
nach der Relation
6. Anwendung auf die Kernisomerie
Das erhaltene SchluBergebnis bedeutet wegen der Kleinheit
des Verhaltnisses von Kernradius R, und Wellenlange ilder emittierten
y-Strahlung, daB die Lebensdauer eines mit der Quantenzahl 1
schwingenden angeregten Kernzustandes um so langer wird, je gro6er
I ist. Die G1. (44)zeigt dabei in ihrem ganzen Aufbau eine au6erordentliche xhnlichkeit mit denjenigen, welche v. Weizsacker') und
B e t h e 2, bereits friiher zur Erklarung der Erscheinung der Kernisomerie aufgestellt hatten. Wahrend bei diesen friiheren Formeln Z
aber stets die Bedeutung eines Drehimpulses hatte, so da6 die
Forderung nach hohen Drehimpulsdifferenzen fiir die tiefsten' Terme
aufgestellt werden muBte, handelt es sich hier um drehimpulslose
Zustande, bei denen die Quantenzahlen 1 und m lediglich die Anzahl der Knotenlinien messen, mit denen die Kernoberflache schwingt.
1) C. F. v. W e i e a a c k e r , Naturwisa. 24. S. 813. 1936.
2.) H. A. Bethe, Rev. of Mod. P h p . 9. S. 22Off. 1937, insbesondere
GI. (732) auf S. 226.
26
Annalen der Physik. 5. Folge. 39.
386
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
Die hier gebotene Theorie geht an Geschlossenheit uber die
iilteren Ansatze hinaus insofern, ads es sich dort stets nur urn
einigerma6en rohe GroBenordnungsabschatzungen handelt. Das erkennt man schon daran sofort, daB die Berechnuug einer Lebensdauer bei mittelschweren Kernen nach den Pormeln v. W ei z s a c k e r s
und B e t h e s fur Z = 4 oder 5 urn einen Faktor lo* bis lo5 verschiedene Ergebnisse liefert. Einen Versuc?, diesem C'uelstmda
abzuhelfen, stellt die Arbeit von K o y e n u m a ' ) dar, die aber ihreni
Wesen nach nur einen ersten Anfang bedeuten k a n a
IJnsere Formel ist streng in dem MaBe, in dem korrespondenzmaBige Bilder fur den Atomkern erlaubt sind. Es hat daher einen
guten Sinn, auch die GroBe des Normierungsfaktors f,, anzugeben
und daraus Schlusse zu ziehen.
Man sieht aus G1. (45), daB fur m - 0, also fur rotationssymmetrische Schwingungszustande, die Lebensdauer am groBten
wird. Die sich d a m ergebenden Zahlenwerte fz,o sind im folgenden fur einige E angegeben:
1
fi, 0
2
0,250
3,09. lo-*
i , a . 10-5
i,6ti. 10-7
1,14.
5,81 . lo-''
3
4
5
6
7
Schon dieser. Normierungsfaktor ergibt also durch seine bemerkenswerte Kleinheit eine mit steigenden 1 rasch anwachsende Lebensdauer.
Die GI. (44)enthalt die gleichen Faktoren n-ie die Formeln
v. W e i z s ' a c k e r s und B e t h e s : ealkc, die mit 21 steigenden Potenzen
von RJit und den Faktor oL,der dem ganzen Ausdruck die
Dimension einer reziproken Zeit gibt. Der bei B e t h e verpchwundene
Faktor Z2der urspriinglichen W e i z s a c k e r schen Formel ist wieder
vorhanden. Au6erdem ist aber noch der dimensionslose Quotient
der Anregungsenergie fr m1 zur Ruhenergie M c 2 des Atomkerns aufgetaucbt, der davon herruhrt, da6 in die Deformationsschwingungen
die Traigheit der Kernmasse eingeht. Dieser Quotient ist naturlich sehr klein, so daB er _--ahnlich wie fz,a - abermals eine
Herabsetzung des erforderlichen 1-Wertes bedeutet.
Im folgenden sind fur einen mittelschweren Kern (R,= 6.
cm,
2 = 50, A = 120) aus dem Gebiet, in dem nach den experimentellen
1) N. K o y e n u m a , Ztschr. f. P b p . (im Erscheinen).
S.Flugge. D i e Eigenschwingungen e i m s Flussigkedtstropfens usw. 387.
Befunden die Kernisomerie am haufigsten auftritt, die Halbwertszeiten angeregter Deformationsschwingungen fur m = 0 und 1 = 3, 4
und 5 bei verschiedenen Anregungsenergien E = fi o 1 numerisch
angegeben:
0,02
0105
011
072
?5
2
50
092
I
sec
1,
0,003 v
1
280 Jahre
68 d
6,3 h
1,5 min
0,06 see
SO00 Jahre
S
7,2 d'
25 sec
0,025 sec
Es scheint hiernach, als sollte man diese Betrachtungsweise besonders zur Erklarung derjenigen Falle von Isomerie heranziehen,
bei denen die beobachtete Anregungsenergie verhaltnismafiig groB
ist. Doch bediirfen alle ins einzelne gehenden Fragen noch niiherer
Untersuchung, weshalb hier auch nicht mehr darauf eingegangen
werden soll.
-
B e r l i n - D a h l e m , Kaiser -Wilhelm Institut fur Chemie, im
April 1941.
(Eingegangen 10.April 1941)
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