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Die Eindeutigkeit der Ortsobservablen in einer irreduziblen unitren Darstellung bis auf einen Faktor der Galilei-Gruppe.

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190
Annalen der Phgsik
*
i . Folge
*
Band ZG, Heft 2
*
1971
Die Eindeutigkeit der Ortsobservablen
in einer irreduziblen unitaren Darstellung bis auf einen
Faktor der GALlLEl-Gruppe
Von HOLGER
KECMAKX
Abstract
Uniqueness of the Position Observable in an Irreducible Unitary Representation u p
to a Factor of the GALILEIGroup.
An elementary quantum mechanical system with non vanishing mass is characterized
by a continuous irreducible unitary representation up to a factor of the GALILEI group in
HILBERT
space. An argument is given concerning the continuous irreducible unitary representations of the universal covering group of the EucLmean group such that the position
observable is uniquely determined by the transformation properties under the representation
of the GALILEIgroup.
I n einem elementaren quantenmechanischen System mit der Masse m # 0
und dem Spin s, das durch eine stetige irreduzible unitare Darstellung bis auf
einen Faktor (m # 0) der GuILEI-Gruppe G in e h e m HILBERT-Raum H gekennzeichnet ist, wird die Ortsobservable durch Transformationseigenschaftenunter
der Darstellung g+ U , von G eingefuhrt [l].
Sei 2 der a-Ring der LEBESGUE-meflbaren Mengen des euklidischen Raumes
E3 und F (a)ein operatorwertiges a-additives Ma13 auf 2, wobei F(a)Projektionsoperatoren in H sind (Entscheidungsobservable). Fur g E G, g = (R,
a, v, t)sei
R E SO(3) die Rotation, a Orts-, v Geschwindigkeits- und t Zeittranslation.
Durch
g(x) = Rx
a
vt
x E E,, g E G
(1)
+ +
ist bei festem Parameter t ein Homoomorphismus von E , auf sich gegeben. Daher
ist die Abbildung
a -+ s(a)= {YlY E E37 Y = g ( 4 x E a>
ein Automorphismus von 2. (Die Mengen vom Ma13 Xu11 werden auf Mengen
vom Ma13 Null abgebildet.) Die physikalische Bedeutung der Darstellung g -+ U ,
von G erfordert fur die Ortsobservable in der HEISENBERG-Darstehng das
Transformationsverh alten
UgFt(4
u, = Pt(g(d).
(2)
Das Transformationsverhalten von Pt(a) ist durch dasjenige von Fo(a), also
durch das Transformationsverhalten in der SCHRoDJNGER-DarStelUng, fest-
H. KEUMANN: Die Eindeutigkeit der Ortsobservablen
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gelegt :
U,Fl(a)U,* = 8tU,Fo(o)U,*U:
mit
(3)
6,= u,u~u,*.
ES geniigt also,
u,*
U,Fo(o) = Fo(S(d)
(4)
zu fordern, wobei in der Punkttransformation (1)jetzt t = 0 zu setzen ist.
Bei Vorhandensein eines auBeren Feldes ist in H eine irreduzible Darstellung
bis auf einen Faktor der GALrLm-Gruppe ohne Zeittranslation Go gegeben und
diese erfordert auch das Transformationsverhalten (4) fur g E Go. (3) bleibt auch
in diesem Fall richtig.
Wir zeigen, daB unter diesen Voraussetzungen F ( o ) eindeutig bestimmt ist
und F,,(a) = E ( o ) gilt, wobei E ( o )das SpektralmaB der Geschwindigkeitstranslation
U , = J esp (im R-1 v . 2 ) c ~ ~ ( z )
E,
ist. Sei
V , = J exp (im R-1
w.2) ~ZF,(Z).
E3
Dann ergibt sich aus (4) fur diese stetige unitare Darstellung der Translationsgruppe T ( 3 ):
UR v u uz =
*
U,V',U,
u,v,u,*
VRzr
=
exp (-i mR-1u.a) V u
=
V*(.
Mit S , = V,U: erhalt man
URSuUE = s R u
(5)
[UO,s u 1 = 0
[U,, S,] = 0.
(6)
Sei H = Ho x H , die Zerlegung des Darstellungsraumes der GaI,ILEI-Qruppe,
so daB H , der Spinraum ist und in H , die WEYLschen Vertauschungsrelationen
durch UI, und U ; irreduzibel dargestellt sind mit
u, = u:,X I , u , = u; x l .
A m (6) crhalt man wegen der Irreduzibilitat
s, = 1 x s;.
I n bezug auf die Zerlegung H = H,X H , hat der Operator U B die Gestalt
U R = U ~ UXi , so daB sich aus (5) UgStU;* = S i U ergibt. Durch (a,,R)--f
SfU; ist damit im (2s 1)-dimensionalen Spinraum H , eine stetige unitare
Darstellung der universellen uberlagerungsgruppe der euklidischen Gruppe
T(3) €1 S U ( 2) gegeben. Da S U (2) allein irreduzibel dargestellt ist, gilt dieses erst
recht fur T ( 3 )€1 S U ( 2). Bei den endlich dimensionalenirreduziblen unitaren Darstellungen der euklidischen Gruppe wird der abelsche Normalteiler T(3) auf 1
abgebildet. Dieses ergibt sich mit Hilfe der Methode der induzierten Darstellungen, mit der alle irreduziblen stetigen unitaren Darstellungen von T ( 3 ) S U ( 2 )
+
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Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 2G, Heft 2
*
1971
angegeben werden konnen [el. So erhalt man 8, = 1x 1 und V r = U,.fur alle w.
Aus der Eindeutigkeit der Integraldarstellung der stetigen positiv definiten
Funktion
f ( v ) = <p,u,p> =
J exp (imR-lv.x)d (93, B ( x )p)
3' 3
=
(v, ~',p> = J exp ( i m R-1 w .x)d (p, ~
~ (
p>2 )
E,
fur p E H folgt fur die MaBe (y, E(a)p) = (p, Fo(a)p)fur alle a E Z (Satz von
BOCHNER
vgl. z . B . [3]) und damit $',(a) = E(a).
LaBt man die Voraussetzung fallen, daB die F(a)Projektionsoperatoren sind,
so kann man im Fall s # 0 ein positives operatorwertiges MaB (0 5 F(a)5 1)
mit einem Transformationsverhalten (4)angeben, so daB F ( o ) von E ( o ) , dem
SpektralmaB der Geschwindigkeitstranslation U,, verschieden ist. Diese positiven operatorwertigen MaBe sind als verallgemeinerte Observable im Zusammenhang mit der Interpretation der Operatorcn F mit 0 5 F 5 1 als ,,Effekte"
von Interesse [4].
Xhnlich wie die Ortsobservable kann auch die Impulsobservable F P ( a ) ,
a E 2, eingefuhrt werden. Als Punkttransformation in E, wahlt man g(x) =
Rx n1v fur g = (R:a , w, 0). Die Forderung U,FP(a)U,* = F p (g(o))wird dann
durch die klassische Mechanik nahegelegt. Daraus schlieBt man wie oben :
F P ( o )= E P ( a )fur a E Z, wobei E P ( a )das SpektralmaB der Ortstranslation U, ist.
+
Herrn Prof. Dr. G. LUDWIG
danke ich fur die Anregung zu dieser Arbeit und
Herrn Dr. A. HARTKAMPER.
fur niit,zliche Diskussionen.
Lit era turvcrzeichnis
\\'IGHTMAN,A.S.,
Rev. mod. Phys. 34, (1962) 845.
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KEUMARK,
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G., Deutung des Begriffs ,,physikalische Theorie" und axiomatische Grundlegung der HILBERT-Raumstruktur der Quantenmechanik durrh Hauptsatze des
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Lecture Notes in Physics Berlin, Heidelberg, New York 1950.
M a r b u r g , Institut fur theoret,ische Physik (I) der Philipps-Universitat'.
Bei der Redaktion eingegangen am 15. September 1970.
Anschr. d. Verf. : Dr. H.NEUMAKN
Institut fur theoretische Physik der Philipps-Universitat Marburg
BRD-358 Marburg, Renthof 7
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('hefrcdakteur: Professor Dr. 0. l l i c h ter, DDR-I I99 Ilerlin-Adlershof, Rudower C'haussee 5. Anzeigen Inland:
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Presseamtes beini Vorsitzenden des Yinisterrates der DDR
Druck: Paul Uiinnhanpt K B , DDR-437 Kothen (IV/5/1) L .5i/il
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