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Die Einstein-Rosen-Materie.

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261
H. J. TREDER:
Die EIssTErN-ROSEPF-Materie
Die ElNsTElN-RosEN-Materie
Von H. J. TREDER
Abstract
The EIXSTEIN-ROSEN
matter is given by a space-time V , in which the domains z < 0
and E > 0 are isometric. But, on the hypersurface z = 0 the RIEMANNIAN
tensor Riklm
and the RICCItensor R,,become delta-like infinite. On this surface the first derivations
of the metric tensor gik have essential discontinuities. Therefore, it is impossible to cover
f s with one coordinate system of the class C,.
z
the small domain --E
1. Der Begriff der Einstein-Rosen-Materie
EINSTEINund ROSEN[l] haben 1935 auf die Moglichkeit einer bemerkenswerten Form von Flachenbelegungen in der allgemeinen Relativitatstheorie aufmerksam gemacht. Bei diesen Flachenbelegungen auf einer Hyperflache Z ist
die Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit auf beiden Seiten von Z isometrisch. Auf Z
selbst existiert jedoch eine deltaartige Materieverteilung, die dann keinen lokal
nachweisbaren EinfluB auf die Metrik der Raum-Zeit auBerhalb L' ausubt. Insund ROSENauf die Moglichkeit derartiger Flachenbesondere wiesen EINSTEIN
belegungen in einer abgesehen von 2 ebenen Raum-Zeit V , hin.
In der Arbeit von EINSTEIN
und ROSEN
ist die Existenz dieser Flachenbelegungen in Verbindung mit dem Verschwinden der Determinante g des metrischen Tensors gi, behandelt. Diese Verbindung ist jedoch in Wahrheit zufalliger
Art [2].
Wir geben zunachst 3 elementare charakteristische Beispiele fur EINSTEINRosENsche Materie an, bei denen die Metrik uberall regular ist.
1.1. Wir schreiben die Metrik einer ebenen MmKowsKIschen V , einmal in
cartesischen Koordinaten
und einmal in zylindrischen Polarkoordinaten
as2 = - (dz1)2 - (XI)*(dx2)Z - (d.3)2
(dx4)2
d. i. g22 = - ( d ) 2
(mit d = e, z2 = 9,Z = z , ~4 = t ; x = e cos y , y
Wir identifizieren nun langs der Hyperflache: Z:
z = 21 - 1 = 01)
+
l) Allgemeiner kann man g2* = - ( a d
durch 2 = ax1 b - 1 = 0 gegeben.
+
+ b)*
=
e sin q).
(1.2)
(1.3)
mit a, b = const setzen, dann ist C
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 26, Heft 3
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die Koordinaten aus (1.1)und (1.2):
x1 = Q = x = 1, 5 2
fJ = y.
Wir setzen also fur die Metrik der V,:
ds2 = - (dx1)Z - (dx2)2 - (dx3)2
1
+ (d24), = go dxi dxkfiir x1 < 1
ds2 = - ( d 9 ) 2- ( X I ) , ( d z y - (dx3)2 +
(1.4)
(dz4)2
= g$.
dxi d 9 fur
> 1.
x1
Dies bedeutet, dalj wir zwei ebene Halbriiume V; (mit d < 1)und Va (xl> 1)
liings der Hyperfliiche (1.3) so zusammenheften, wobei die Koordinaten xk im
Halbraum V ; primiir cartesische und im Halbraum V,' zylindrische Polarkoordinaten sind. Die Metrik (1.4) ist uberall stetig und die V , ist - auljerhalb Z eine ebene Raum-Zeit. An Z sind die 1. Ableitungen der gik unstetig, denn es gilt
(1.6a)
(1.5b)
Die Unstetigkeit (1.5b) ist durch keine, die Stetigkeit der gik aufrecht erhaltende
Koordinaten-Transformation eliminierbar, da nach einer solchen Transformation
gilt:
In der Tat verschwindet die Komponente Rlzzl des RIEMANN-Tensors (nebst
ihren Permutationen) an Z nicht, sondern wird deltaartig, so da13 gilt
+e
1.
Ebenso verschwindet der RIccI-Tensor an Z nicht ; vielmehr gilt (bei verschwindenden Integralen iiber die anderen Komponenten von Rik):
+e
lim jeR,, d z l = lim
e+OZ=
e+O
--6
J R,, ax1 =
z=
--c
-
1.
(1.7)
Aus (1.7) lesen wir ab, dalj a n Z eine durch
T *ik
k
1 k
= Ti - - 8 . T = t*?d(Z)
2 %
mit
t*:
* 2
=z 2 =
1, alle anderen
*k
t i =
0 ; z33 = t4 = - 1,
(1.7a)
k
ti = 0
alle anderen
gegebene Flachenbelegung existiert.
v,
1.2. Die Existenz einer EINSTEIN-RosEN-Materieist nicht a n e h e ebene
gebunden; auch in e h e r RIEMANNschen
mit ausreichender Symmetrie kann
es e k e EINsTEIN-RoSEN-Materiegeben. wir betrachten etwa ein RIEMANNsches
(im allgemeinen nicht RrccI-flaches) Linienelement
as2 = - ;la(x3,2,) da2 g A R ( x 3 , s4)dXA d X B ( A , B = 3, 4)
(1.2.1)
v,
+
H. J. TREDER:
D i e EINsTEIN-ROsEN-Materie
und setzen im Halbraum V i
do2 = ax2
dy2 = (dX1)Z
und im Halbraum Va
+
+
+
(d22)2
263
(1.2.1a )
+
do2 = d@2 @2 dp12 = (dd)2
( d ) 2 (d22)2.
(1.2.1b)
Wir identifizieren dann wieder liings der Hyperfliiche
z =21 - 1 = 0
(1.2.2)
die Koordinaten beider Halbriiume. Dann sind die Metriken in beiden Halbriiumen isometrisch und die Metrik ist in der ganzen V , stetig (wenn sie es in den
beiden Halbriiumen ist). An der Hyperflache .Z springen jedoch die 1. Ableitungen der Sir:
(1.2.3)
[922.11 = a 2 2 = - 2 P
und es existiert auf L' eine durch
*1
*2
alle anderen
bzw.
=
TI = TZ
= A 2 d(Z)
(1.2.4a)
0
Ti = Ti = - 1 2 a(Z)
alle anderen Tt = 0
(1.2.4b)
gegebene Flachenbelegung.
1.3. In den Beispielen 1.1.und 1.2. sind die Sprungflachen zeitartige Hyperflachen. Hyperflachen konnen aber auch isotrop sein :
Wir schreiben wieder die ebene ~KOWSKISCheV , in einem Halbraum mit
u = $ - d < l / a in der cartesischen Form
ds2 =
-
(dx1)2
- (dx2)2 - ( d X 3 ) 2 + (dx4)2
(1.3.1a)
und in einem anderen Halbraum V,+mit u = $ - d 2 l/a in der RosENschen
Form [3]
ds2 =
- a 2 ( 9 - x 4 ) 2 ( ( d d ) 2 + (dx2)2) - (da3)2 + (d24)2
(1.3.1b)
d. i.
g,,
= g22 = - A =
- u2a2
(1.3.1~)
und identifizieren langs der durch
A = 1 d. i.
z = u - - =a1o
(1.3.2)
gegebenen isotropen Hyperflache Z die Koordinaten beider Halbriiume. Dann
ist die V,, abgesehen von der isotropen Hyperflache 2' eben, und (bei geeigneter
Wahl der Konstanten) ist der metrische Tensor im Endlichen iiberall stetig.
Jedoch springen an L' die 1. Ableitungen der g,:
(1.3.3)
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7. Folge
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Band 25, Heft 3
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Fur den RIEMANN-Tensor finden wir (mit Permutationen) :
(1.3.4)
Auch der RIccI-Tensor verschwindet nicht, ; es gilt vielmehr
(1.3.5)
d. h. auf der isotropen Hyperflache existiert, eine singulare Strahlungsdichte
(1.3.6)
T i , = - 2a 6 ( Z )Z , i Z,,
(1.3.6) Iaflt sich als Energiedichte eines elektromagnetischen sheets interpretieren (siehe unten).
2. Randwertprobleme
I n den betrachteten Fallen existieren also Flachenbelegungen, die sich auf
die lokalen Eigenschaften der Metrik auflerhalb der Sprungflache 2 nicht auswirken. Ihre Konsequenzen sind vielmehr rein globaler Art. Wegen der Existenz
dieser Flachenbelegungen ist es nicht moglich, in einem beliebig schmalen
Streifen
-&<Z<+&
beiderseits der Flache Z = 0, welche die Belegung tragt, die Raum-Zeit mit
e i n e m Koordinatensystem der Klasse C, zu iiberdecken. Geometrisch anschaulich macht sich dies dadurch bemerkbar, dafl die die Hyperflache 2 durchstoflenden Geodatischen nicht eindeutig fortsetzbar sind ; so sind fur die
Hyperflachen x1 = const orthogonal durchstoflende Geodatische fur d < 1
und fur x1 > 1 verschiedene Kurvenscharen.
Wir betrachten folgendes Problem: Der Halbraum x1 < 1 moge eben sein.
Auf dem durch 2 = x1 - 1 = 0 gegebenen Rand 2 des Halbraumes moge eine
Flachenbelegung t r k 6(x1 - 1) vorgegeben sein und im Halbraum mit x1 > 1
sollen die EINsTEINschen Vakuumgleichungen R,, = 0 erfullt s e h . J e nach der
algebraischen Struktur der Flachenbelegung bedeutet dies, da13 die beiden
Halbraume entweder andere physikalische Eigenschaften besitzen (die Metrik
g& und gz also nicht isometrisch sind), oder aber, da13 es bei isometrischen g&
und gznirht moglich ist, die 8,mit e i n e m Koordinatensystem der Klasse C,
zu uberdecken :
Wir geben zunachst die ebene Metrik des Halbraumes V4 in der MINKOWSKIschen Form vor und fordern fur die Flachenbelegung auf 2
T*: = t*$ =
so dafl mit
1 alle anderen
k
*I: t, = T
7: = t$=
112 8:
t*f= 0,
(2.1)
t*
1, alle anderen tip = 0
(2.la)
265
H. J. TREDER:Die Erh’sTEIN-RosEN-Materie
gilt ; die Determinanten verschwinden :
*k
I = IZA* B I = 0,
k
B
/ t i ( = ITAI =
(2.lb)
0 ( A , B = 2, 3, 4).
Die Flachenbelegung auf (2.1) induziert a n Z die Spriinge aik = [qll,J mit
/Ti
k
B
a21 = a22 = - 1, alle anderen a(k = 0, j
a
i
l
= 1 0 ~ ~=
1 0.
(2.2a)
Die Metrik in der V t ist dann ebenfalls eine ebene Metrik, jedoch von der Form
I m Gegensatz hierzu betrachten wir wieder eine ebene V ; mit den geradlinigen
Koordinaten
ds2 =
+ a A B dx” d X B ,
- (dz’)’
aAB =
const
(A,B
B
und geben auf x1 = 1 eine Flachenbelegung in der Form 7”
1
=
E
2, 3, 4) (2.3)
B
= 8aA - bA (2.4a)
(2.4b)
(2.4~)
Diese Flachenbelegung induziert die Spriinge
[g.4B,l] = a A B
mit
*
*C
=
*
- 2rAB
(2.5)
-
(2.5a)
I n diesem Fall ist die Metrik in der V,’ nicht eben, sondern stellt ein eindimensionales Gravitationsfeld der allgemeinen Form
ds2 = - (dz’)’
~ A dB d
mit
~ A =
B aaAaB(X1)2a’
bb”bB(X1)2a~ C C A C B ( ~ ) ~ ’ *
(2.Ga)
und
(2.Gb)
?Lli2A3 =
i1A, AlA3 &A, = 0, A, 1, A, = 1
TAB
=aACtB
+
ItzBi,
+
+
+
+
+ +
dar, mobei zwischen den Sprungkoeffizienten a A B und den Konstanten a, b , c,
aA,bA und cA der Metrik (2.6) bestimmte algebraische Beziehungen bestehen [4].
Die Stetigkeit der gi, a n Z bestimmt die Beziehung zu den a A B gemllB
aaAaB
+ b b A b B + CCACB
= aAB.
(2.7)
Die algebraisch entartete Flllchenbelegung (2.1) beeinflufit somit die lokale
Struktur der V , nicht, wiihrend die nichtentartete Fliichenbelegung (2.4) die
physikalisch normale relativistische Verallgemeinerung der NEwroNschen Flachenbelegung ist .
Wird die Bedeutung von V b und V $ vertauscht, also der Halbraum V i mit
der Met,rik q& und der Halbraum V t mit g& ausgestattet, was einer Transformation
-
z+z=-z
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7. Folge
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Band 25, Heft 3
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entspricht, so iindert sich das Vorzeichen der Spriinge CXAB.Es ist dann :
3. EINSTEIN-RosEN-Matorit? und Sandwich-Materie
Wir wollen nun die Herkunft der Materie vom EINSTEIN-ROSEN-TYP
a n dem
einfachen Beispiel 1.3. diskutieren: Die Metrik (1.3.1) mit (1.3.3) ist der Entartungsfall einer speziellen kombinierten gravischen und elektromagnetischen
Sandwich-Welle [5].
Diese Wellen-Metrik ist von der Form
dS2 = - A(u)((dz')'
( d ~ ~-) (dx3)'
~ )
( d ~ " ' ) u~ ,= ~3 - .2"'
(3.1)
und bestimmt eine ebene Gravitationswelle, die in der $-Richtung fortschreitet.
Wird dieses Feld mit einer ebenen elektromagnetischen Welle gekoppelt, so
reduzieren sich die EINSTEIN-MAxWELLschenGleichungen auf die eine Gleichung
+
+
wobei Ti,= 2 0 2 u , u~ , ~der MAxwELLsche Energie-Sprungtensor ist. Der
RIEMANN-Tensor hat ebenfalls nur eine nichtverschwindende unabhangige
Komponente
A"
R1313
=
R2323
= R1414 = R2424 = R1341 = R2342 =
A12
-
a'
(3.3)
Die EINSTEIN-MAXwELLschen Gleichungen reduzieren sich somit auf die Ungleichung
< 0,
(3.4)
2A1/2(A1/2)"-
wobei das Gleichheitszeichen
(A"2)" = 0
(3.5)
genau dann gilt, wenn der Raum eben ist. Die allgemeine Losung von (3.5)
ist die RosENsche Metrik
die mit
A
=
(au
+ b)2
a,b = const,
(3.6)
a=0, b = l
(3.Ga)
in die MIN?cowsKIsche Metrik iibergeht.
Wir nehmen nun an, daB in dem Streifen endlicher Dicke h 5 u 2 H (Sand1-b
mit h < ~,
o2
H
> 1-a-)- b
+0
gilt. I m Bereich u < h moge die ebene Metrik in MINKowsKrscher Form vorgegeben sein. Es wird gefordert, die Wellen-Metrik (3.1) des Sandwich-Streifens
stetig und stetig differenzierbar a n die MINItowsKIsche Metrik im Gebiet u< h
und a n eine andere ebene Metrik im Bereich u > H anzuschlieBen.
267
H. J. TREDER
: D i e EINSTEIN-R’osEN-Materie
Da A und somit auch A112keine Nullstelle haben darf, folgt aus (3.5), daB
auch (A1/2)” keine Nullstelle im Sandwich-Streifen besitzt und somit All2keine
Wendepunkte. Ferner darf All2 wegen der geforderten Stetigkeit der Ableitung
keine Knicke aufweisen. Hieraus folgt sofort die Monotonie von A112, so daB a
auf beiden Seiten aufierhalb des Sandwich-Streifens verschiedene (konstante)
Werte haben muB. Setzt man, wie gefordert, fur u < h a = 0, so hat die ebene
Metrik im Bereich u > H notwendig die Form
*
+
A = ( a u b ) a 0.
(3.7)
Hieraus folgt, daB es nicht moglich ist, die ganze V , mit einem einzigen
Koordinatensystem der Klasse C , zu uberdecken. Hierzu sind vielmehr zwei
Koordinatensysteme notwendig. - Die Materiedichte -w2(u) ist nun eine beliebige Funktion von u. Wir konnen sie insbesondere deltaartig entarten lassen :
d ( U ) = w2
1-b
6(Z) 2 = u - ~-
und erhalten dann folgende Situation : Die EINsTEINsche Gleichung reduziert
sich auf
woraus als Losung die Unstetigkeit
[A‘] = - 2w2 = 2a ‘
(3.9a)
der 1. Ableitung von A a n 2 folgt. Wegen der Stetigkeit der gik folgt hieraus :
+
1-b
1-b
A = 1 fur u < a , A = (-wzu
b)2 fur u 2
a
mit a = - w2.
(3.10)
Das entgegengesetzte Vorzeichen, a = w2, erhalten wir wieder, wenn wir die
Rollen der Halbraume V h und Va vertauschen, d . h. durch die Spiegelung
~
z + - 2.
Die EINSTEIN-RosEN-Materie entsteht hier also auf folgende Weise : Ursprunglich existiert ein endlicher Materiestreifen h f u f H (mit einem MAXWELLschen Strahlungstensor)und auBerhalb dieses Streifens ist die V , eben; die dazugehorige Losung der Emsmmschen Gleichung fur die gesamte V , ist aber so
beschaffen, daB zur uberdeckung dieser V , zwei Koordinatensysteme der
Klasse C , notwendig sind, wobei sich die beiden Koordinatensysteme in einem
beliebigen Streifen innerhalb des Materiestreifens uberlappen. Unter Aufrechterhaltung des Energieinhalts in diesem Materiestreifen wird nun der Streifen zu
einem unendlich dunnen sheet
1-b & fu
-~
a
an der durch 2
I-b
5 __1-b
+
&
1
= u, - -= 0
gegebenen Hyperflache Z zusammenge-
schoben. Dann sind die beiden Koordinatensysteme l h g s ,Z aneinandergeheftet.
Jedoch verhindert die aus der Materie entstandene Fliichenbelegung -S(Z) auf
2 die Eliminierung der Unstetigkeiten der 1. Ableitungen der g i k , da ja kein
Koordinatensystem der Klasse C, besteht, das die gesamte V , uberdeckt.
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I n dem Fall, daI3 die Fliiche Z isotrop ist, besteht auch die Moglichkeit eines
rein gravischen sheets, der Gravitationsstrahlung enthiilt. Ein solcher sheet entsteht durch die eben beschriebene Prozedur aus denjenigen rein gravischen
Sandwich-Wellen, bei denen es nicht moglich ist, die ganze V4 mit einem Koordinatensystem der Klasse C , zu uberdecken [6].
Fur den Fall nichtisotroper Flachen 2 ist die Nichttransformierbarkeit von
der Unstetigkeit der 1. Ableitungen stets mit einer Fliichenbelegung verbunden
[7], denn aus
+&
lim
e-+Oz,
wobei p i
1
J Riklm
= Z,,
= 5 (aklPiPrn
-&
+
~irnPkP1- ailpkpm - akmpipl)
der Normalvektor von 2 ist, folgt fur polpol
+ 0 auch
=I= 0,
(3.11)
+E
=
-1im $ T , * , d Z = - & = + O .
&+O
-&
(3.12)
Hierin liegt das physikalisch Paradoxe der EINSTErN-RosEN-Materie:
+&
(3.13)
folgt fur 2 liings einer Hyperfliiche 2 verbundene isometrische Halbraume V ;
und V;, fur die es in einem anderen Streifen beiderseits 2 kein gemeinsames
Koordinatensystem der Klasse C, gibt, aus differentialgeometrischen Grunden.
Die EINsTEINschen Gleichungen sagen dann aus, daI3 auf 2 notwendig eine durch
(3.12) bestimmte flachenhafte Materieverteilung vorhanden ist. Wegen der Isometrie der Halbraume VT und V ; hat diese Materieverteilung aber keinerlei
lokal nachweisbaren EinfluB auI3erhalb 2.
Literaturverzeichnis
[l] EINSTEIN,A., u. N. ROSEN,Phys. Rev. 48 (1935) 73.
[Z] uber die Beziehungen von Flachenbelegungen und Verschminden der Determinante g
s. auch H. J. TREDER,
Ann. Phys. 24 (1970) 234.
[3] ROSEN,N., Phys. Zeitschrift Sowjetunion 12 (1937) 377.
[4] Zu diesen Beziehungen s. G. DAUTCOURT,
A. PAPAPETROU
u. H.-J. TREDER,
Ann. Phys.
9 (1962) 328.
[5] GEISSLER,D., u. H.-J. TREDER,Tensor 8 (1958) 165.
[6] Zu Beispielen solcher Gravitations-Sandwich-Wellen vgl. J. L. SYNOE,Relativity the General Theory, Amsterdam 1960.
[7] S. H.-J. TREDER,
Gravitative StoBwellen, Berlin 19152.
P o t s d a m - B a b e l s b e r g , Zentralinstitut fur Astrophysik der Deutschen
Akademie der Wissenschaften.
Bei der Redaktion eingegangen am 17. Februar 1970.
Anschr. d. Verf.: Prof. Dr. H. TREDER
Zentralinst. f . Astrophysik der DAW
DDR-1502 Potsdam-Babelsberg, Rosa-Luxemburg-Str. 13a
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