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Die elastische Nachwirkung und ihr Zusammenhang mit der optischen Nachwirkung.

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H . Mussmann. Die elastische Nachwirkung usw.
121
D i e elastische Nnchwirkzcng zcn d ihr Z~srrmrnenhang
mit der optisehern Nachwirkurby*)
T o n H e i n r i c h Mussmann
(Mit 22 Abbildungen)
Einleitung
Das Problem der elastischen Nachwirkung wurde bereits mehrfach in dem physikalischen Schrifttum behandelt. Dabei sind die
angegebenen Formeln f u r die Nachwirkungserscheinungen entweder
auf rein empirischem Wege gefunden worden, ohne da8 dabei auf
die Ursachen der Erscheinungen, d. h. auf die inneren Vorgange im
Material eingegangen wurde, oder sie sind das Ergebnis einer theoretischen Betrachtung, die von irgendwelchen von vornherein geforderten
Annahmen ausgeht, die eine einfachere mathematische Erfassung
des Problems ermiiglichen sollen. Derartige phanomeuologische Erklarungen der elastischen Nachwirkung bzw. der Relaxation finden
wir in den Arbeiten von M a x w e l l , W i e c h e r t , B o l t z m a n n ; wohei
die letztere wohl die allgemeinste Theorie enthalt, auf die sich fast
alle anderen Theorien durch passende Wahl der sogenannten N a c h w i r k u n g s f u n k t i o n l ) zuruckfiihren lassen. Diese Funktion gibt uns
den EinfluD des Spannungszustandes, in dem sich der Korper die
Zeit z vor der Beobachtungszeit t befunden hat, auf den Nachwirkungsvorgang zur Zeit t an. Unter der Annahme, daB der EinfluB
der zu verschiedenen Zeiten vorhandenen .Spannungen superponiert
werden kann, findet man nach B o l t z m a n n fur die Zeitabhangigkeit
der Dehnung bei zeitlich konstanter Belastung 6 den Ausdruck
m
wobei w = t - t ist.
Bei der experimentellen Nachpriifung des von B o l t z m a n n vorausgesetzten Superpositionsprinzipes konnte J o r d a n 2 ) Widerspriiche
zwischen den Beobachtungen und der Theorie nachweisen. Besonders
stark war die Abweichung von der Theorie bei zyklischer Lastveranderung, bei der der Stab zunachst von E E auf
~ E e , belastet
*) Dissertation der Mathcmatisch - naturwissenschaftlichen Fakultlt der
Universitat Gottingen.
122
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 31. 1938
und danach wieder auf E &1 entlastet wurde. Die Nachwirkung der
zuerst aufgebrachten Spannung E E , tritt nach Durchlaufen des Belastungszyklus nicht wieder im vollen Umfange hervor, wie es die
B o 1t z m a n n sche Theorie verlangt. Eine physikalische Erklarung
der Nachwirkungserscheinungen wurde von R. B e c k e r 3, gegeben, der
von Versuchsergebnissen von v. W a r t e n b e r g 4 ) ausgehend die Nachwirkung durch plastische Inhomogenitat deutet. Seine Uberlegungen
fiihren auf einen Ausdruck, den man ebenfalls als einen Sonderfall
der Boltzmannschen Formel auffassen kann. Es treten also bei
ihm gleichfalls die oben beschriebenen Unstinimigkeiten zwischen
Theorie und Versuch auf. E s sei hier nicht weiter auf die augerordentlich umfangreiche Literatur iiber die elastische Nachwirkung
eingegangen. Eine umfassende Darstellung der wichtigsten Arbeiten
uber dieses Gebiet findet man in dem Artikel von H. F r o m m 5 )
,,Nachwirkung und Hysteresis'' im Handbuch der technischen und
pliysikalischen Mechanik.
Durchsichtige amorphe Stoffe, die unter einem ebenen Spannungszustand optisch anisotrop werden, wie Glas, Zelluloid, Bakelit und
ahnliche zeigen neben einer meist sehr starken elastischen Nachwirkung
auch einen optischen Nachwirkungseffekt. Es soll hier als optische
Nachwirkung die zeitabhiingige Abweichung von dem von N e u m a n n s ) gefundenen Grundgesetz der Spannungsoptik
6=
h (c, - G2)*
d
(S = Gangunterschied zwischen auWerordentlichem und ordentlichcm Strahl, C = spannungsoptische Konstante, h = Wellen-
-
lange des verwendeten Lichts , (cl c2)= Hauptspannungsdifferenz, d = Dicke der Scheibe)
bezeichnet werden. nber die Art des Zusammenhanges, der j a
sicherlich zwischen optischem und elastischem Xachwirkungseffekt
bestehen wird, findet man im spannungsoptischem Schrifttum noch
die verschiedensten Meinungen. An hrbeiten zu diesem Problem
seien erwahnt: B j e r k e n 7 ) , L e i c k 6 ) , RossiO), F i l o n und JessoplO),
Nisidall), Kuno12) und P u a s a , F u k u i und Onishi13).
Die vorliegende von Herrn Prof. Dr. P r a p d t l angeregte Arbeit
stellt sich nun die Aufgabe, die Erscheinung der elastischen Nachwirkung in bezug auf ihre Abhangigkeit von Last und Zeit einer
eingehenden experimentellen Untersuchung zu unterziehen und das
im Experiment gefundene Tatsachenmaterial mit Hilfe des P r a n d t l schen Gedankenmodells zur kinetischen Theorie der festen Kiirper
zu erklaren. ,4uBerdem soll die Beziehung zwischen dem mechani-
H . Mussmann. Die elastisch,e Nachwirkung usw.
123
sehen und spannungsoptischenverhalten eines durchsichtigen amorphen
Stoffes untersucht werden.
Die Versuche wurden im Institut f u r angewandte Mechanik der
Universitat Gottingen durchgef iihrt. Ich bin Herrn Prof. Dr. phil.
Dr.-Ing. e. h. L. P r a n d t l fur die wohlwollende Beratung und
liebenswiirdige Unterstutzung, mit der er stets die Uurchfuhrung
dieser Arbeit forderte, zu groBem Dank verpflichtet. Ich habe auch
Herrn Prof. Dr.-Ing. M. S c h u l e r fur das Interesse zu danken, das
er immer meinen Untersuchungen entgegenbrachte.
Experimenteller Teil
1. Y e r s u c h e z u r e l a s t i s c h e n X a c h w i r k u n g
a) Biegungsversuche
Es wurden zunachst Biegeversuche an Glas- und Zelluloidstreifen
angestellt, deren Versuchsanordnung in Abb. 1 schematisch dargestellt ist. Das eingespannte Knde des Stabes St wird durch zwei
yon entgegengesetzten Seiten stiitzende starre AufR
lager gehalten, die 60mm
rP * I st
auseinander lagen. Die
P
Gesamtlange desversuchsAbb. 1. Schematische Darstellung
stabes betrug bei Glas
der Biegeversuchseinrirhtung
700 mm und bei Zelluloid
200 mm.
Die Last P
wurde am Ende des Streifens durch -4nhangen von Gewichtstiicken
aufgebracht. Mit Hilfe eines im Mikroskop befindlichen Okularmikronieterplattchens wurde die Rewegung der am Stabende befestigten Rasierklinge R
und damit die Durch- 42'- P
biegung des Streifens Lkd
in Abhaingigkeit von
4l5 der Zeit gemessen. Die
Einspannvorrichtung
lie6 sich nu6erdem zur 0 , ~ Untersuchung der Temperaturabhangigkeitder Dlos
Nachwirkung in einen
elektrischen Ofen einbauen. E s wurden mit
dieser Anordnung nur
hbb. 2. Nachwirkungs-Last-Diagramm
Entlastungsversuche
fur Zelluloid bei den Temperaturen
durchgefiihrt, d. h. der
4 = 12O C und 4 = 85O C
'
I'
Annabn deer Physik. 5. Eolge. Band 31. 1938
124
Stab wurde 2 Nin. unter koiistanter Last gehalten, d a m wurde
er entlastet und das allmahliche Zuriickgeheii der Durchbieguug
gemessen.
In Abb. 2 ist f u r Zelluloid die Differens: der Durchbiegung ys0
zur Zeit t = 30 8ec und y300zur Zeit t = 300 sec in Abhangigkeit
yon der vorher am Stabe
’ fur zwei
wirkenden Last 1
verschiedene Temperaturen
aufgetragen. Es ist aus der
Abbildung zu erkennen, daB
zwischen der Nachwirkung
und der Lnst Proportionalitit
besteht.
Das gleiche Ergebnis wurde
gefunden, bei dem sich die
Versuche bis Z U ~Bruch
erstreckten. I n Abb. 3 ist
die Temperaturabhangigkeit der Eachwirkung dargestellt. Man
sieht: erst beim Erweichen des Zelluloides hort die Nachwirkung
auf, linear mit der Teniperatur zu machsen.
Abb. 3. Abhiingigkeit der Nachwirkung
von der Temperatur bei Zelluloid
fur die Lasten P = 50 g und P = 70 g
b) Zugversuche
Neben den soeben beschriebenen Riegungsversuchen wurden
noch Zugversuche mit Zelluloid”) ausgefiihrt, desseu mechanische
Eigenschaften aus Abb. 4
hervorgehen.
Durch diese
5 -[ks/mm7
Versuche
sollten
Versuche sollten erstens
erstens der
der
zeitliche Verlauf der Nachdehnung unter konstanter
Last, der EinfluB wiederholter Belastungen auf die
Nachwirkung und das Verhalten der Nachwirkung bei
stufenfBrmiger Erhohung und
Erniedrigung der Belastung
Abb. 4. Spannungs-Dchnungs-Tiagramm
fur Xelluloid
untersucht werden, zweitens
der Zusammenhang von Dehnung und optischem Effekt bei Zelluloid geklart werden.
Da bei diesen Versuchen besonderer Wert darauf golegt wurde,
dab der Korper bei Beginn des Versuches frei yon inneren Spannungen
~
- -~
Das Material wurde in 3mm starken Platten von der Rhein. Westf.
Sprengstoff A.-G. Troisdorf bezogen. E s enthalt nacb Angrtben dieser Firnla
28O/, Kampfer.
*)
€3. Mussmann . Die elastische Nachwirkung usw.
125
war, so wurde jeder Versuchsstab durch '1, stiindiges Erhitzen in
Paraffin61 bei 65O C von den Eigenspannungen befreit.
Die Zugbeanspruchung des Probestabes geschah mit Hilfe des
in Abb. 5 wiedergegebeneu Belastungsgerates. Die Dehnungen wurden
Abb. 5. Belastungsgerat fur Zugversuche mit Dehnungsmesser
vermittels eines M .ar t e n s schen Spiegelapparates gemessen. Wegen
der verhaltnismaBig groBen Formanderung des Zelluloidstahes wurde
I
20
t/?+
*
I
W
60
80
too
Abb. 6. Zeit-Dehnungs-Diagramm fur Zelluloid
(Zugspannung u = 1,36 kg/mm?
an Stelle des sonst gebriiuchlichen geraden MaBstabes eine kreisformig gebogene Skala vom Radius R = 750 mm benutzt.
Abb. 6 zeigt eirt typisches Zeit-Dehnungs-Diagramm, wie es ein
Re- und Entlastungsversuch mit Zelluloid ergab.
126
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 31. 1938
2. S p a n n u n g s o p t i s c h e V e r s u c h e
a) Versuchseinrichtung
Zur Untersuchung des optischen Effektes wurde ein fiir spannungsoptische Arbeiten gebrauchliches Gerat (,4bb. 7) benutzt, dessen Wirkungsweise schon mehrfach in der Literatur l5) beschrieben wurde.
141
Abb. 7. Gerilt fiir spannungsoptische Untersuchungen.
a Punktlichtlampe mit Kondensator und Kiihlkuvette; b Linse;
c Polarisationsprisma; d Linse; e Lochblende; f Belastungsgerat ; g Linse;
h Kompensator; :1 Analysetorprisrna
Zur Messung von geringen Phasendifferenzen wurde ein Babinetkompensator 16) benutzt, der einen Meljbereich von einer m'ellenlange
besaB. Betrug der optische Effekt mehr als eine Wellenlange, so
wurde der Drehkompensator yon A. E l l r i n g h a u s 17) *) verwendet,
womit man noch Gangunterschiede von 7 il messen konnte. Die in
Abb. 5 dargestellte Belastungsvorrichtung erlaubt eine gleichzeitige
Messung der Dehnung und Doppelbrechung **).
b) Qersuchseqebnisse
Die Versuche zeigen zunachst, daB die Phasendifferenz pro
Dickeneinheit y
=
~
'
d
keineswegs der Dehnung proportional ist
(Abb. S), sondern da8 sie weit iiber die Elastizitiitsgrenze hinaus der
Spannung a proportional ist (Abb. 9).
*) Herrn Dr. E h r i n g h a u s bin ich f u r das Entgegenkommen, mit dem
er mir einen Drehkompensntor der Firma Winkel, Giittingen zur Verfiigung
stellte, zu Dank verpflichtet.
**) Herrn Mechanikermeister H o f f m a n n miichte ich f u r seineHilfe danken,
die er mir bei der l h c h f u h r u n g dieser Versuche leistete.
H . Mussmann. Die elastische hTachwirkung usw.
127
Bei Beobachtung der Nachwirkung ergab sich sowohl fur den
Belastungs- (Abb. 10) wie auch fur den Entlastungsversuch (Abb, 11)
eine lineare Beziehung zwischen den zeitabhangigen Anteilen der
dbb. 8. Darstellung der Abhlngigkeit der Doppelbrechung y
von der Dehnunge
Abb. 9. Darstellnng der Abhgngigkeit der Doppelbrechung y
von der Spannung u
=
0
=
e =
zoao
0
=
2.17
2.71
40
I,
2.92
3.09
* = 32s
20
)I
,I
>I
60
Bbb. 10. Zusammenhang von optischer und elastischer Nachwirkung
bei verschiedenen Spannungen (T
ty
flEhnll
0
2 b 3 kg/mm'
0
= 3,25
ia
I,
20
3a
40
Abb. 11. Zusammenhang von optischer und elastischer Naehwirkung
beim Ruckkehrversuch
beiden Erscheinungen. Die Versuche zeigen weiter, daB die aus
beiden Versuchen sich ergebenden Geraden innerhalb der Versucbsgenauigkeit einander parallel sind.
128
Annalen der Physik, 5. Folge. Band 31. 1938
Die obigen Versuche iiber den Zusammenhang von Doppelbrechung 7 , Dehnung E und Spannung (r lassen sich durch die
Gleichung
; / = U . f i $ - b - E
darstellen, wo a und b Materialkonstanten sind.
F u r den rein elnstischen Versuch (c = E E , ) erhalt man den
Ausdruck
y = (a E
b)
( E = ElastizitiLtsmodul, E , = rein elastische Dehnung).
Fur den Kachwirkungsversuch gilt die Gleichung
y = const
b E.
-%us Abb. 10 1d3t sich a uncl aus Abb. I1 b bestimmen:
a = 0,12.
mm2/kg.
b = 0,006 .
- + + .
Theoretischer Teil
1. D a s P r a n d t l s c h e G e d a n k e n m o d e l l
L. P r a n d t l behandelt die Abweichungen der Korper vom rein
elastischen Verhalten von einem molekulartheoretischen Standpunkt
aus. E r geht in seiner Arbeit , , E n Gedankenmodell zur kinetischen
Theorie der festen Ii6rperb'18) von der experimentellen Tatsache aus,
daB kristalline Haufwerke im allgemeirien eine sehr vie1 grofiere
Nachwirkung zeigen als ein storungsfreier Einkristall. P r a n d t l
niacht deshalb die Greiizen der einzelnen Kristallite fiir die Zeitwirkung verantwortlich. Es werden sich zwischen den Gittern zweier
Kristalle immer Molekule befinden, die weder dem einen noch dem
anderen der beiden Gitter angehoren. Xuf diese ,,freien" Molekule
werden sicher von den benachbarten Gittern Kriifte ausgeiibt. Es
ist auch weiterliin anzunehmen, daB jedes dieser freien Massenteilchen a n das eine der beiden Gitter fester gebunden ist ais a n
das andere. Es sol1 zur Vereinfachung angenomnlen werden, da6
siiintliche Molekeln an dein eirieu Gitter ,,elastisch" befestigt sind.
Die 'M'irkung des zweiten Gitters denken wir uns durch ein raumlich
periodisches, in erster Naherung sinusformiges Kraftfeld ersetzt. Als
weitere Vereinfachung wird angenommen, daB die freien Massenteilclien nur einen Freiheitsgrad der Bewegung haben. Mit diesen
Voraussetzungen baut P r a n d t l ein Gedankenmodell auf: Die beiden
Kristallgitter werden durch zwei parallel gegeneinander verschiebliche
Lineale ersetzt, von denen das eine ( A ) in regelmiiBigeu oder unregelmaBigen -4bstiinden mit einer gro6en Aozahl elastisch befestigter
Massenpunkte besetzt ist, die parallel zur Linealachse schwingen
H . Mzcssmunn. Die elustische Naehwirkung usw.
129
konnen, das zweite Lineal ( B ) tragt das periodische Kraftfeld (PB).
Die Formanderung des Korpers wird bei diesem Model1 durch die
Verschiebung des Lineals (A) gegen das Lineal ( B ) dargestellt.
Die Abb. 12 soll eine Vorstellung von dem Gedankeninodell
geben. Es ist hier angenommen, da6 zwischen den beiden Linealen
nur ein freier Massenpunkt vorhanden ist. Die Achse des Li- xruff
neals ( A ) fallt mit der x-Achse
zusammen. Nur in dieser Richtung soll sich der Massenpunkt
bewegen konnen. Senkrecht zur
x-Achse ist die elastische Bindungskraft P A und die periodische Feldkraft PB aufgetragen.
Der Massenpunkt mit der Ruhe- I
lage C' findet dann seine GleichAbb. 12. Gleichgewichtslagen eines
,,freien" Massenpunktes unter Eingewichtslage unter der Wirkung
wirkung
der elastischen Bindungsvon Pa und PB im Punkt D. Wir
kraft PA und der Feldkraft PB
ersehen aus der Abbildung sofort, daB bei einer geeigneten
Verschiebung 8 des Lineals (A) gegen (B) mehrere GleichgewichtsIagen moglich sind. I n der obenstehenden Zeichnung konnen zwei
stabile Lagen: LY und D"' und eine labile Lage D eintreten.
Beim Vorhandensein unendlich vieler Massenpunkte kann man
sich deren Ruhelagen G' iiber die ganze Wellenlange verteilt denken.
Infolge der Warmeschwingungen, die bei jedem festen Korper ausgefuhrt werden, konnen bei ungewohnlich gro6en Amplituden Teilchen ohne Einwirkung au8erer Krafte in die labile Gleichgewichtslage ubergehen, obwohl sie zunachst noch um ein endliches Stuck
Ton der labilen Lage entfernt waren. Mit Hilfe dieser Vorstellung
und der B o 1t z m a n n schen Wahrscheinlichkeitsformel der kinetischen Theorie der Materie konnte P r a n d t l eine Differentialgleichung fur die zeitliche h d e r u n g der Verteilungsdichte p der
Teilchen in der oberen Gleichgewichtslage aufstellen:
1
wobei t eine charakteristische Zeit und U , die mittlere Schwingungsenergie ist, wahrend U,, U, die Energie bedeutet, die zur
Erreichung der labilen Lage von der oberen bzw. unteren Gleichgewichtslage aus notig ist.
Annalen der Physik. 5. Folge. 31.
9
130
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 31. 1938
Bus dieser Differentialgleichung ergibt sich, menn U, und U,
entsprechend der jeweils gestellten Aufgabe als Funktionen der
Zeit eingesetzt werden, zunachst die Belegungsdichte p als Funktion der Zeit und damit durch Integration uber die Belegung die
Kraft zwischen ( A ) und (B), die die Spannung reprasentiert, in ihrer
Abhangigkeit vom Zeitgesetz der Deformation. Die Durchfuhrung
der Aufgabe f u r konstante FlieBgeschwindigkeit 8 liefert eine Beziehung fur die Spannung c2, die durch die Formel
(3
a, = const. %r Gin -
angeniihert werden kann; die Umkehrung dieser Gleichung, die genahert auch fur langsam veranderliche 8 verwendet werden mag,
lautet:
(1)
d = 3,.Ginpc2;
dabei ist h je nacli der ,,HBrte" des Modells verschieden. Man
kann diese H a t e mit derjenigea FlieBspannung charakterisieren,
bei der 6 betrachtlich wird. Sctzen wir diese FlieBspannung gleich x
und schreiben il = ___
so wird bei a2 x :
QO# # x '
I
d =
lC.zflpx,
also fur einigermaBen betrachtliches 2 ist E KS k. Diese Beziehung
rechtfertigt den obigen Ansatz fur I , der im ubrigen noch der
Forderung zu geniigen hatte, daB die ,,Empfindlichkeit" I f u r
Druckspannungen ebenso gro6 sein sol1 wie fur Zugspannungen.
E s wurde in den obigen Betrachtungen eine ungeordnete Anfangsverteilung der Teilchen vorausgesetzt, die man fur die Verformungen verantwortlich macht ; denn es wurde j a angenommen,
da6 die Massenteilchen gleichmaBig uber alle Phasen des Kraftfeldes verteilt sein sollen, was ja bei volliger Unordnung sehr vieler
Teilchen im Durchschnitt sicher eintreten wird. Wir konnen deshalb erwarten, daB unsere Modellformeln besonders dann stimmen,
wenn sich die Formanderuogen in den Korngrenzen abspielen.
Weiterhin werden sie aber auch bei solchen Korpern richtig sein,
deren Auf bau vollkommene Unordnung aufweist, wie die amorphen
Stoffe, Glas, Zelluloid usw. Wir konnen deshalb versuchen, mit
Hilfe des P r a n dtlschen Gedankenmodells die Vorgange der Nachwirkung zu erklaren.
2. E r k l a r u n g der e l a s t i s c h e n N a c h w i r k u n g
Zur Erklarung der elastischen Nachwirkung stellen wir uns
vor, daB das Material aus einem rein elastischen Korper und einer
gro6en Anzahl parallel geschalteter plastisch verformbarer Teilchen
H. Mussmann. Die elastische Nachwirkung usw.
131
von der Art des oben beschriebenen Modells mit verschiedenen FlieBgrenzen x aufgebmt sei; der elastische Korper soll dabei in dem
Stoffe immer dominieren. Wir wollen die Betrachtungen zunachst
fur einen Korper durchfuhren, der aus einem rein elastischen Teil
und einem Modell besteht, das dem elastischen Korper parallel geschaltet ist. Es gilt dann die Gleichgewichtsbedingung
(2)
~ ~ - x() + 1
x ( T ~ = E*f(t),
worin c1 die Spannung im elastischen Teil, oZ die Spannung im
Modell und x das Verhaltnis des ,,Modell"-Querschnittes zum Qesamtquerschnitt des Korpers bedeutet; voraussetzungsgemab ist x dabei
sehr klein.
Unter dem EinAuB einer bestimmten Spannung beginnt das
Modell zu AieBen. Wir konnen die Formanderung des Modells a16
Summe aus einem rein elastischen Anteil a,/E und einem unelastischen Teil ansetzen; fur den letzteren soll die G1. (1) gelten. Wir
erhalten d a m :
(3)
Da der rein elastische Korper und das Modell parallel ge6
Weiterhin ist im reinen Nachwirkungsschaltet sind, ist t = 2.
E
versuch die Last konstant, d. h.
folglich
f ' (0 = 0
9
C 1 = - 1 L- x Cz
.
Durch Einsetzen dieses Wertes in (3) bekommen wir eine Differentialgleichung zwischen u2 und t :
Die Integration dieser Gleichung ergibt:
wobei A = (1 - x ) , ! I k E gesetzt ist, und t, eine Integrationkonstante
ist, die von der Vorgeschichte des Materials abhangt.
In einem rein ,,jungfraulichen" Material, d. h. in einem Material,
in dem im unbelasteten Zustande keine inneren Spannungen vorhanden sind, wird bei unendlich schnellem fjbergang zur Zeit t = 0
von E = 0 auf E = el, wobei .sl die rein elastische Dehnung bedeutet,
c2= E E~
9*
132
sein.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 31. 1938
Aus dieser Bedingung bestimmf sich t, zu
tl= A.Go5px-InSg
Wir erhalten also:
1
o2 = -
(4)
B
Nach G1. (2) ist
GI
(5)
m
Eel - &02.
Hieraus folgt :
& = A =-&
(6)
E
1
X
E ( l - x)
G2'
Nimmt man nun eine groBe Anzahl von parallel geschalteten
Modellen mit verschiedener FlieBgrenze ~t: (in Gleichverteilung in
bezug auf x) an, so wird die gesamte Dehnung durch Integration
uber x erhalten. Wir bekommen also, wenn Gleichverteilung auf
alle x angenommen wird, den Ausdruck
a
& = &
(7)
1
-____
E .a - . ) l G 4 d s 7
0
wo a die Streckgrenze des hartesten Teilchens ist. Dabei wird
allerdings auch noch vorausgesetzt, daB alle Teilchen dieselbe
Materialkonstante
haben, wa8 in Wirklichkeit meist nicht der
Fall sein wird.
Zur einfacheren mathematischen Rehandlung des Integrales
iiber x wird die Funktion c2(XI, wie sie in (4) angeschrieben ist,
in zwei Naherungsfunktionen zerlegt. Die eine gilt fur kleine x.
Die Logarithmusfunktion laBt sich namlich in diesem Falle in eine
Reihe entwickeln. Man erhalt dann bei alleiniger Beriicksichtigung
des ersten Gliedes der Entwicklung
a
Die zweite Naherungsfunktion gilt fur groBe z und damit auch
fiir groSe E
Es lafit sich d a m 605 x = Z1e B z und
H. iMussrnann. Die elastische Nachwirkung usw.
133
Man kann dann schreiben :
wobei x' der Punkt sein soll, in dem beide Naherungsfunktionen
dasselbe c2 ergeben.
Man kann nun niiherungsweise setzen:
Das erste Integral der rechten Seite von (8) liefert dann zu dem
Gesamtintegral nur einen vernachlassigbaren kleinen Anteil, so da8
wir schreiben kannen:
Das zweite Integral der rechten Seite zerlegen wir wieder in
zmei Integrale, namlich in
Hierbei ist x1 der Wert
x an der Stelle
t = - t, = A . e - B ( E E t - x i )
VOY
folglich
In der G1. ( l l a ) kann man den Integranden des zweiten Integrales in eine Reihe entwickeln:
134
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 31. 1938
Dann ergibt sich aus ( l l a ) durch Integration, wenn man noch
fur die Integrationsgrenzen die in G1. (9) und (12) angegebenen Werte
einsetzt :
m
Das letzte Glied kann man vernachlassigen, da e- E E I immer sehr
klein bleiben wird. Die Integration von ( l l b ) ergibt in analoger
Weise :
-Ba 2
- -1 l n - -t ~ . E & l + 7 ~B( E & , ) z + -128
A
+ Glieder,
2
ne
2 12
klein von hoherer Ordnung.
Es ergibt sich dann als Losung von (8):
Bei einer erstmaligen Belastung eines jungfraulichen Materials
ist die zur Berechnung der Nachwirkung notige Integration uber
die FlieBgrenze 2 noch verhaltnisma,Big einfach, beim Ent- oder
Abb. 13. Verteilung der Spannung us uber die ,,Harte" 2 fur zwei Zeiten t,
und tz. Gestrichelt: Annaherung von u2 (z)
Wiederbelastungsversuch wird sie aber schon sehr zeitraubend. Es .
liegt deshalb nahe, in der Vereinfachung noch einen Schritt weiter
zu gehen und die Funktion 02(xj durch einen gebrocbenen Linienzug zu ersetzen, wie man es in Abb. 13 sieht.
Man kann sich den Vorgang anschaulich folgendermagen vorstellen : Alle Spannungen c2, die beim Belastungsvorgang uber ihre
,,FlieBgrenze" kommen wiirden, sinken in der Zeit t seit diesem
1
t
Vorgang um -Invon der FIieBgrenze ab.
B
A
Die ,,Fliefigrenze"
bedeutet dabei gemaB der Naherungstheorie genau genommen, die
Spannung, die die Teilchen zur Zeit t = A nach dem Belastungsvorgang aufweisen. Die Spannungen der ,,hkteren" Teilchen, die
H. Mussmann. Die elastische Nachwirkung usw.
135
nicht in die Nahe ihrer FlieBgrenze kommen, sollen sich dagegen
iiberhaupt nicht andern.
Das Integral uber u2(z) ist dann bei dieser Naherung gleich
der schraffierten Flache der Abb. 13. Eine Flachenbetrachtung
zeigt, daB
ist.
Nach GI. (7) erhalt man fur die Dehnung zur Zeit t den Ausdruck
In Worten: Der zeitabhgngige Dehnungsanteil ist beim jungfraulichen
Belastungsversuch der aufgebrachten Spannung und dem Logarithmus
der Zeit proportional.
Das P r a n d t l s c h e Gedankenmodell fuhrt also bei der angegebenen Mischung der verschiedenen Hartegrade zu demselben
1
Ergebnis, wie die B o l t zm a n n sche Theorie fur den Fall cp (m) = ,
und das auch von €3 e n n e w it z l9) rein experimentell gefunden wurde.
3. U n t e r s u c h u n g v o n v e r s c h i e d e n e n B e l a s t u n g s f i i l l e n
In diesem Abschnitt sollen fur verschiedene Belastungsfalle die Formeln
mit Hilfe des P r a n d tlschen Modellmechanismus abgeleitet werden. Es sol1
dabei in jedem Fall untersucht werden, ob die P r a n d t l s c h e n Vorstellungen
zu denselben Formeln wie die von B e n n e w i t z gefundenen fiihren, oder ob
bei manchen Belastungsfallen eine Abweichung vorhanden ist.
a) Entlastzcngsversuch von u = E s , auf u = 0
Entlastet man einen Karper, der die Zeit T durch die zeitlich konstante
Spannung o = Es, heansprucht ivurde, plotzlich auf die Spannung u = 0, so
wird mit diesem diskontinnierlichen Belastungsiibergang auch die u,-Verteilung
eine diskontinuierliche Anderung erfahren. Dies ist nur so moglich, daB sich
in jedem einzelnen Model1 im Augenblick der Entlastung die Spannung 0%um
den Betrag E E , vermindert, d. h. dalj zur Zeit t = 0 in jedem Teilchen eine
Spannung der GroBe ua(T) E e, vorhanden ist, wobei u2 (2') die Spannung
bedeutet, die das Teilchen bei der Belastung zur Zeit T erreicht hatte. In
dem Schaubild von Abb. 14 ist die Spanuungsverteilung im Moment wor der
Entlastung gestrichelt und im Moment nach der Entlastung punktiert dargestellt. Die schragen Geraden durch den Nullpunkt bedeuten die ,,FlieBgrenzen" fur die einzelnen Teilchen. Im Verlaufe der Zeit t findet d a m ein
-
1
t
In B
A
Absinken des Betrages I u2 I in den einzelnen Modellen um den Betrag
statt, soweit diese sich der ,,FlieBgrenze" genahert hatten.
Zur Berechnung von 6 (t) muB wieder die GroBe der schraffierten Fliiche
a
(Abb. 14) betrachtet werden, die naherungsweise gleich dem Integral l u p cl E
0
136
ist.
Alznalen der
Physik. 5 . Folge. Band 31. 1938
Der Fllcheninhalt des gleichschenklig rechtwinkligen Dreieckes mit der
wird meist klein sein, so daB man ihr
Quadrat als klein von zweiter Ordnung in den meisten Fallen vernachlassigen
kann. Beim Entlastungsversuch bekommen wir dann f u r 8 (t) den Ausdruck
B e n n e w i t z gibt dagegen fur diesen Fall
8 = C-E,[In (T+ t) - In t]
(11')
an.
Beide Formeln stimmen in der Aussage iiberein, daB beim'Riickkehrversuch der zeitahhangige Teil von 8 (t) ebenfalls proportional der Last ist.
Die Zeitfunktion hat fur groBe Zeiten t einen anderen Verlauf, fur Zeiten t,
die gegen T klein sind, stimmt sie dagegen in beiden Formeln nahezu iiberein
bis auf den Falrtor C, der bei B e n n e w i t z den gleichen Wert bebalt wie hei
der Belastung, wahrend er nach der P r a n d t l s c h e n Theorie nur den halben
Wert wie bei der Belastung hat.
Abb. 14. Schaubild der q-Verteilung
beim Entlastungsversuch. t von dem
Zeitpunkt der Entlastung an gerechnet
dbb. 15. u,-Verteilung
beirn Wiederbelastungsversuch
b) Wiederbelastungaverswch von
IS =
0 awf
D
= E E,
Bei der Wiederbelastung eines Stabes, der vor der ersten Entlastung
bereits TISek. durch die Last u = E heansprucht wurde, wird die Spannung
eines jeden Teilchens den Wert u,(T,) + E e l annehmen, wenn cr, (TJ die
Spannung eines Teilchens nach T,Sek. Entlastungsdauer bedeutet. Es wird
dann zur Zeit t die in Abb. 15 angegebene Spannungsverteilung im Material
vorhanden sein, wobei der gestrichelte Geradenzug wieder die Verteilung von
H . Mussmann. Die elastische Nachwirkung usw.
137
up im Augenblick vor der Wiederbelastung und der punktierte Linienzug die
Verteilung im Moment nach der Wiederbelastung bedeutet. Eine Flilchenberechnung ergibt
a
1
2
1
u t . d e = a . E s , --(Ee,)2--Es1
28
Fur die Dehnung erhalt man, wenn man die quadratischen Glieder vernachlassigt, was man in den meisten Fallen tun kann,
(111)
& I
El - ~1
Z a1 B e , ~ n ;t i + ~ n ; f t ) ] .
[.Y, - 2a Eel2- 1 - x
A
Die B e n n e w i tz sche Formel lautet fur diesen Belastungsfall
s =el + C-a, [ln (TI + T, + t)
In (T, + t ) + In t j .
(III')
-
c) jiberlageivngsuersuch von E a1 + E s2
Auf einen KSrper hahe T Sek. die Spannung E E, gewirkt. E s hat sich
dann in diesem die in Abb. 16 gestrichelt dargestellte Spannungsverteilung
u9 (7') ausgebildet. Bei einer plotzlichen Belastungssteigerung von E E ,auf Es2,
wobei der Unterschied E . (ee
-
1
T
groB gegeniiber -In - sein soll, stellt
S
A
sich im Augenblick unmittelbar nach der Belastung die in Abb. 16 punktiert
gezeichnete Spannungsverteilung ein. Es findet nun wieder ein langsames
6,)
dbb. 16. u, (t, x) beim Uberlagerungsversuch von E E , auf E sp
Absinken der Spannung u2 in der Zeit t (t vom Moment der Spannungserhohung
1
t
an gerechnet) um den Betrag --In - statt. Zur Zeit t ist also kein merklichcr
P
A
EinfluS der Spannung Es, auf die Nachwirkung unter Ea, zu verspiiren, es
hat sich vielmehr dieselbe Nachwirkung ergeben, die man bekommen wiirde,
wenn man den Stab zur Zeit t = 0 sofort vom unbelasteten Zustande ayf die
Spannung Es, belastet hatte. Man erhLlt also fur diesen sogenannten Uberlagerungsversnch von Esl -+E sp folgenden Ausdruck
138
Bmalen der Physik. 5. Folge. Band 31. 1938
Nach den B e n n e w i t z s c h e n Formeln muB sich in diesem Falle gin
deutlicher EinfluB .der vorhergegangcnen Spannung E 6, auf die zeitabhilngige
Dehnung unter Ee2 zeigen. Es wird sich aur Zeit t der Dehnung
6 = 6 1 -kC-8,.hl(!f+t),
die unter E entstanden ist, noch ein kleiner Dehnungsanteil uberlagern, der
von der Spannungserhohung E.(e2- el) abhangt, wodurch wir also zu einer
Gesamtdehnung
W')
B = eZ
C-E~[I~(T
t) +
- lnt] C.s,.Int
zur Zeit t kommen. Zu demselben Ergebnis fiihren naturlich auch die B o l t z mannschen Uberlegungen, von denen die B e u n e w i t z s c h e n Formeln nur ein
Sonderfall sind.
d) Entlastungsverszlch vow E t2 3 E tl
Zum SchluB sei noch ein Entlastungsversuch betrachtet :
Die zur Zeit T unter E E vorhandene
~
u,-Verteilung (in Abb. 17 gestrichelter Linienzug) geht im Augenblick der Entlastung von Eel auf Es,
+
+
/
Abb. 17. Schaubild ron u2 beim Entlastungsversuch von Ee, auf E B ,
sprunghaft in die Abb. 17 punktiert dargestellte Verteilung iiber, wobei man
wieder voraussetzen muB, daB E (ay - ~
1
T
- ist. Im VerP
A
lauf der Zeit t wird sich die u,-Verteilung wieder andern, wobei man beachten
muW, da6 sich nur der links unten liegende Teil mit der Zeit t verfndert.
Fur das Integral iiber s zur Zeit t erhalten wir aus der Fllchenbetrachtung
der schraffierten FlLche den Ausdruck
groB gegenuber - In
3 ~ )
woraus sich mit Hilfe der Gl. (7) die Dehnung a berechnen Isifit. Man ersieht
schon aus obiger Formel, daB nach der P r a n d t l s c h e n Theorie praktisch nur
ein RuckflieSen mftreten wird. Sowohl B o l t z m a n n wie auch B e n n e w i t z
behaupten dagegen, daB zunilchst ein langsames RuckflieBen infolge der Entlastung von E s , auf Eel eintritt, daB dann aber die Spannung Ea, sich bemerkbar macht, so daR sich die Richtung des zeitabhtingigen Dehnungsanteiles
amkehren wird und wieder ein VorwartsflieBen einsetzen wird.
€I. Mussmann. Die elastische Nachwirkung usw.
139
4. V e r g l e i c h der T h e o r i e mit d e n V e r s u c h s e r g e b n i s s e n
Es sollen nunmehr die oben erhaltenen Formeln mit Versuchsergebnissen verglichen werden, die bei Zugversuchen erhalten wurden.
Zur Priifung des Zusammenhanges der Nachdehnung mit der Zeit
wurde in Abb. 18 die Differenz der Dehnung zur Zeit t (at) und der
Dehnung zur Zeit 1 Min. (el
in Abhangigkeit von log t fur den
Belastungsversuch aufgetragen. Man sieht: das logarithmische Gesetz ist erfullt. Das gleiche gilt beim Entlastungsversuch.
I
0.5
to
,
log
t
f5
Ahh. 18. Nu'achdehnung in Abhangigkeit vom Logarithmus der Zeit
beim Belastungsversuch
Wir sahen weiterhin oben, daB zwischen den Bennewitzschen
und den Prandtlschen Formeln Unterschiede bestehen. Urn entscheiden zu konnen, welche der Formeln die Vorgange besser beschreibt, wurden eine Reihe Zugversuche unternommen, auf die jetzt
eingegangen werden soll. Es wurde dabei folgende Auftragung der
as
Ergebnisse benutzt: Es wurde E = -,
wie es sich aus der Theorie
dt
von a) P r a n d t l , b) B e n n e w i t z durch Differentiation der Formeln
nach der Zeit t ergibt, iiber (daldt),,,, das experimentell gefundene i
aufgetragen. Dann mu8 die richtige Theorie in dieser Auftragung
eine Gerade liefern, wahrend man bei falschen Formeln ein Sternbild
erhalten wird.
In Abb. 19 sind in dieser Auftragung die Ergebnisse eines
jungfraulichen Zugversuchs (Fall I in der Abbildung) mit anschlieBendem Ruckkehrversuch (Fall 11) dargestellt. Man sieht, daS die
P r a n d tlsche Vorstellung (Abb. 19a) in diesem E'alle die Versuche
besser beschreibt, als es die Bennewi tzschen Formeln tun.
Abb. 20 zeigt das Resultat eines wiederholten Belastungsversuches, und zwar dauerte die erstmalige Belastung nur 30 Sek.
Zur Berechnung ron itheorwurden die in Tab. 1 zusammengestellten
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 31. 1938
140
46 - 4 4
-0.2
0.2
a.
//
'
I
Abb. 19. Jungfraulicher Belastungsversuch mit anschlieBendem Riiekkehrversuch. a) Prandtl; b) B e n n e w i t z
Abb. 20. Wiederbelastungsversuch.
a) P r a n d t l ; b) B e n n e w i t z
fE2h
€61
5
w
15 m
/
t
4-42
Abb. 21. a) P r a n d t l ;
b) B e n n e w i t z
Abb. 22. Entlastungsversuehin 4 Stufen.
a) P r a n d t l ; b) B e n n e w i t z
H . Mussmann. Die elastische Nachwirkung usw.
141
Formeln benutzt, die sich aus den G1. (11)bzw. (11’)und (111)bzw.
(111’)ableiten lassen. Es zeigte sich, daB man in diesem Falle zur
richtigen Erfassung der experimentellen Ergebnisse die quadratischen
Glieder von In t nicht vernachlassigen darf. I n Tab. 1 ist t immer
von der letzten Lasvanderung an gerechnet, und es ist gesetzt
a=
x
(1
- X)*CXEP’
Tabelle 1
11
1
--.+
a 1
2
+ a1- l n + )
t
I11
IV
1
TI + T, + T8 + t
-
1
Tp + T, c t
Ts+t
t
Auch in diesem Falle geben die Prandtlschen Formeln. bei
Beriicksichtigung der quadratisohen Glieder von In t die Versuche
besser wieder als die Bennewitzschen.
Fur den in Abb. 21 untersuchten Belastungszyklus liegen die
Punkte in der oberen Auftragung ebenfalls wieder besser auf einer
Geraden als in der unteren. Die P r a n d tlsche Erklarung ist also auch
hier wieder die hessere. Die zur Auftragung der Abb. 21 benutzten
Formeln enthalt die Tab. 2 ; die Zeit T ist dabei gleich 5 Min.
zu setzen.
Die Abb. 22 giht uns einen Entlastungsversuch wieder, bei dem
von der Spannung Ee2 = ~ . E in
E ~vier gleichen Stufen auf die
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 31. 1938
142
Tabelle 2
1
Fall itheor.
nach Prandtl
1
.~
itheor.
nach Bennewitz
~. _ .~
__-
____
_-.______.
Spannung Null entlastet wurde. Man kann in diesem Fall keine
Aussage dariiber machen, ob die P r a n d t l s c h e oder die B e n n e witzsche Darstellung die richtigere ist, da beide etwa die gleiche
Streuung aufweisen. I n Tab. 3 sind die zu diesem Versuch gehorigen
Formeln zusammengestellt.
Tabelle 3
T = Tl = 5 Min.
Fall
1
itheor.
nach Prandtl
_~ _ _ _
_~_ .
_ ___ ~_- _
~ _ _
1
-
Btheor.
~
nach Bennewitz
~
Eine Auftragung der Nachwirkungsversuche von F i l o n an
Xylonit, der selbst zur Beschreibung seiner Versuche eine Potenzformel angab, zeigte, daB sich auch diese Versuche gut durch die
Pr a n d t lschen Formeln wiedergeben lassen.
Es wurde bereits oben (S. 121) erwahnt, daJ3 J o r d a n in einer
Arbeit auf Abweichungen von der B o l t z m a n n schen Theorie bei
~berlagerungsversuchenan Eisen yon der Art des Versuchs in Abb. 21
-
H . Mussmann. Die elastische Nachwirkung usw.
143
hingewiesen hat. Man kann diese Widerspruche zwischen Experiment
und Theorie beseitigen, wenn man zur Beschreibung der J o r d a n schen
Versuche die Prandtlschen Formeln der Tab. 2 benutzt. I n der
oben zitierten Arbeit wird noch eine weitere Unstimmigkeit mit
B o l t z m a n n erwahnt.
Beim Behtungsversuch mit Zink geniigt die Nachwirkung der
Formel
8 - El = p , . l g t ,
wahrend sie sich beim Entllcslungsversuch darstellen la& durch
+
& = p , [lg (T
a) - 1g tl.
p , und pz nehmen aber je nach den Versuchsbedingungen sehr verschiedene Werte an; es ist namlich bei einem ersten Versuch nach
langer Ruhepause p , sehr vie1 groBer als p,, bei Wiederholung der
Belastung nach einer nicht allzulangen Zeit ist p , jedoch kbilzer
geworden, wiihrend p , unverandert geblieben ist.
Die Versuchsergebnisse sagen nichts anderes aus als die
Prandtlschen Formeln (I.)bis (111) des vorigen Abschnittes. Man
sieht also, daB die Vorstellungen des Gedankenmodells auch auf
die Zeitwirkungen des kristallinen Haufwerkes anwendbar sein konnen,
bei denen man die Substanz zwischen den Gittern - wo ja die
vom Nodell geforderte Unordnung vorhanden sein wird - far die
Nachwirkungserscheinungen verantwortlich machen kann.
Zueammenfaseung
Es werden Versuche an Glas und Zelluloid beschrieben, die den
Zusammenhang der elastischen Nachwirkung mit der Zeit und der
aufgebrachten Last klaren sollen. Es zeigen die Versuchsergebnisse,
daB bei Glas bis zum Bruch und bei Zelluloid bis zur Elastizitatsgrenze Proportionalitat zwischen der elastischen Nachwirkung und
der wirkenden Spannung herrscht, und da8 der zeitabhiingige Formanderungsanteil proportional dem Logarithmus der Zeit zunimmt.
Die Untersuchung des Temperatureinflusses auf die Nachwirkungserscheinungen beim Zelluloid ergibt, daB diese bis fast zur Erweichungstemperatur des Materials linear mit der Temperatur zunehmen.
Fur die Beziehung von elastischem und optischem Verhalten
des Zelluloides unter Spannungen wird ein empirisches Gesetz der
Form
y = a-a+ b . &
angegeben.
Auf Grund des P r a n d tlschen Gedankenniodells wird fur die
Erscheinungen der elastischen Nachwirkung eine theoretische Erklarung gegeben. Die abgeleiteten Formeln stimmen in den wich-
A n n a l e n der Physik. 5. Folge. B a n d 31. 1938
144
tigsten Fallen mit den Versuclien uberein. In zwei Belastungsfallen, wo die B o l t z m a n n sche Betrachtungsweise andere Werte
angibt, sieht man, daB das Gedankenmodell die bessere Darstellung
der experimentellen Ergebnisse liefert. Die Anwendung der Pr a n dtlschen Gleichungen auf Versuche von J o r d a n mit Metallen laBt
vermuten , da6 die Modellformeln auch fur kristalline Haufwerke
gelten.
~
~~
Schrifttum
1) L. B o l t z m a n n , Missenschaftliche Abhandlungen, Leipzig 1909. Bd. I.
S. 616.
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17) A. E h r i n g h a u s , Ztschr. f. Krist. 76. S. 315. 1931.
18) L. P r a n d t l , Ztschr. f. angew. Math. u. Mech. 8. S. 85. 1928.
19) K. B e n n e w i t z , Phys. Ztschr. 21. S. 703. 1920.
E s s e n , Kruppstr. 123.
(Eingegangen 5 . Oktober 1937)
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