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Die elastischen Eigenschaften von GoldЦSilber-Einkristallen.

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H . Rohl. Elast. Eigenschaften von Gold-Silber-Einlcristallen 887
D i e elastlschem Eigenschaften
@OM Gold-rYilber-Ein~%ristalle~
Porn E.Roh 2
(Mit 9 Figuren)
Einleitung
1. Elastische Konstanten von Legierungseinkristallen sind
bisher nur an Messing l), einer Al-Cu-Legierung mit 5 O/,, Cu2)
und den Gold-Kupfer-Legierungender Zusanimensetzung Cu,Au 3,
und CuAu4) bestimmt worden. I n der vorliegenden Arbe$ wurde
die Mischkristallreihe Gold-Silber, die wegen der grol3en Ahnlichkeit der Komponenten in vielen physikalischen Eigenschaften
wohl als das einfachste System dieser Art angesehen werden
kann, an Einkristallstabchen auf ihre elastischen Eigenschaften
hin untersucht. Ferner wurde gepriift, ob sich aus den elastischen Konstanten des Kristalls die des quasiisotropen Metalls
nach B r u g g e m a n s Theorie6) sowie die cbarakteristische Temperatur 0 der D ebyeschen Theorie in Ubereinstimmung mit
dem Experiment ergeben.
Fur die Herstellung und Orientierungsbestinlnlung der
Au-Ag-Kristallstabchen bin ich den Herren Prof. G l o c k e r
rind Dr. Dehlinger-Stuttgart zu groBem Dank verpflichtet.
MeDmethode
2. Der Dehnungsmodul E wurde aus der l'onhijhe der
Biegungsschwingungen mit Hilfe eines als Normaltonskala 6,
eingerichteten Tonsenders in der Schaltung von Herweg') bestimmt. Die Genauigkeit der Frequenzberechnung betrug 0,4
bis 0,8 Promille. Die Probestabe wurden in einer im Knoten
befestigten Fadenschlinge vertikal aufgehiingt und mit einem
mit Gummi uberzogenen Stabe angeschlagen.
1) M. Masima u. G. S a c h s , Ztschr. f. Phys. 50. S. 161. 1928.
2) R. Karnop u. G. S a c h s , Ztschr. f. Phys. 63. S. 605. 1929.
3) G. S a c h s u. J. Werts, Ztschr. f.Phys. 67. S. 507. 1931.
4) H. R6h1, Ztschr. f. Yhys. 69. S. 309. 1931.
5) D. A. G. B r u g g e m a n , Diss. Groningen-den Haag 1930.
6) E. Griineisen u. E. Merkel, Ztschr. f. Phys. 2. S. 277. 1920.
7) J. H e r w e g , Verh. d. D. Phys. Ges. 21. S. 572. 1919.
588
Anlzalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
Die Berechnung von E erfolgte nach der fur kreisformigen
Querschnitt geltenden Formel
Darin Iiedeutet n die Frequenz des Probestabes, Z seine Lange,
s die Dichte, d den Durchmesser und m den fur die Ordnung
des betreffenden Tones maagebenden Rayleighschen Faktor.
(m f u r Grundton eines frei-freien Stabes: 4,730). An G1. (1)
war noch eine in ihren Ansatzen auf T i m o s c h e n k o l ) zuriickgehende, von E. Goens2) erweiterte und durch Nessungen gepriifte Korrektion wegen der Rotationsenergie der Querschnitte
und der Scherung der Stabelemente anzubringen, so daB die
endgiiltige E’onnel zur Berechnung von E lautet:
worin Eunk.der nach (1) berechnete Elastizitaitsmodul ist und
A und B folgendermafien definiert sind:
E
G ist der Torsionsmodul des Stabes, x der Tragheitsradius des
und 5 ein theoretisch berechenQuerschnitts fur Kreis =
barer Zahlenfaktor, der fur kreisformigen Querschnitt den
Wert 1,11 hat. y ( m und r+?(mj sind f u r den Grundton gleich
0,9825 bzw. 0,9653.
Die Lange wurde mittels einer Schublehre auf 0,l mm
genau ermittelt. Die Dichte der Proben wurde nach der Auftriebsmethode bestimmt, der Wert des Durchmessers aus dem
bei der Berechnung der Dichte erhaltenen Volumen und der
Stablange.
3. Da bei der Kiirze der Stabe die Erzeugung von freien
Drillungsschwingungen nicht in Frage kam, wurde der Torsionsmodul statisch gemessen. Die Apparatur war ahnlich der von
G r i i n e i s e n nnd go en^.^)
(
dl
1) S. P. T i m o e c h e n k o , Phil. Mag. 41. S. 744. 1921.
2) E. Goens, Ann. d.Phys. 11. S. 649. 1931.
3) E. G r i i n e i s e n u. E. G o e n s , Ztschr. f.Phys. 26. S.242. 1931.
H . Rohl. Elast. Eigenschaften *on Go~-Silbes-Einkristallen 889
Der Wert des (isotropen) Torsionsmoduls G ergibt sich zu
wenn 1 (gleich dem Abstande der Spiegelhaltereindrucke) und
der Radius T in Millimeter, das angewandte Drehmoment 9
in kg-mm gemessen werden. a' ist der Drillungswinkel.
Bei der Anwendung dieser Methode auf Einkristalle ist
folgendes zu beachten l): Mit der Drillung eines zylindrischen
Iiristallstabes ist im allgemeinen eine Biegung verbunden. Es
ist daher nicht gestattet, die nach der Formel fur isotropes
Material berechnete spezifische Drillung gleich der des Iiristalls zu setzen, es sei denn, dal3 die den Torsionsversuch begleitende Biegung ungehindert stattfinden kann. Andererseits
l&Bt sich im Falle vollstandiger Verhinderung der Biegung die
Korrektion angeben, welche an dem berechneten Werte anzubringen ist, um den wirklichen Wert zu erhalten. Bei der
hier benutzten Apparatur findet eine mehr oder weniger starke
Behinderung der Biegung statt, uber deren GriiBe nichts Genaues ausgesagt werden kann. I m regularen System gibt es
nun aber drei ausgezeichnete Kristallrichtungen, in denen mit
der Drillung keine Biegung verbunden ist. Es sind dies die
Orientierungen [loo], [ l l O ] und [lll]. Beschrankt man sich
also auf Stabe mit diesen Schsen, so erhalt man fur sie die
wahren Werte des Torsionsmoduls.
Dehnungs- und Torsionsmodul der Einkristalle
4. Zur Untersuchung ihrer elastischen Eigenschaften bei
Zimmertemperatur gelangten im ganzen 21 Einkristalle, iiber
deren Konzentration und Orientierung Tab. 1 AufschluB gibt.
Die in Tab. 1 (Spalte 7) als Orientierungsfunktion bezeichnete Funktion ist definiert durch die Gleichung
+
+
f@,P,Y) = 3 w 3 2 P Z Y 2 Y 2 4 ,
(3)
wo a, 8, y die Richtungskosinus der Winkel sind, welche die
Stabachse mit den Wiirfelkanten bildet. (Wurfelkante: f = 0;
Raumdiagonale: f = 1 ; Flachendiagonale: f = 0,75).
Tab. 2 enthalt die nach den G1. (la) und (2) berechneten
Werte von E und G der Kristalle, ferner 1 / E und 1 /G, augerdem Lange und Durchmesser.
Die Stabe von 6 mm Durchmesser an waren nicht geniigend tordierbar, um ihren Torsiansmodul in der gegebenen
___ ___
1) E. G o e n s , Ann. d. Phys. [5] 16. 8.455. 1932.
Annabn deer Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
890
Tabelle 1
Iionzentrxtion und Orientierung der Au-Ag-Kristalle
Achsenwinkel
gegen Wurfelkanten in
0rientier.Funktion f
a r c c o ~y
__.._____
arccos a
Au ')
xl
2
75 At.-"/, AU
50 At.-"//, A U
25 At.-'/, AU
Ag
3
4
5
bl
2
3
cl
2
3
4
5
dl
2
3
el
2
3
4
5
13
5 103
14 4 51
[6 10 111
[3 3 81
75,O
58,O
68,O
70,7
~
arccos
78,7
80,G
70,s
50,6
56,2
68,6
63,l
45,9
64,4
58,O
51,4
70,7
60,9
49,7
79,?
56,6
62,3
65,"
73,3
55,l
57,6
1
O
11,9
10,3
21,o
40,4
42,O
24,l
35,4
45,9
30,3
48,5
46,7
27,9
35,8
42,3
11,s
51,l
31,4
25,9
16,7
35,s
44,3
0,12
0,098
0,34
0,75
0,87
0,43
0,75
0,79
0,61
0,98
0,91
0,55
0,75
0,79
0.12
0,99
0,63
0,47
0,23
0,67
0,92
Anordnung zu messen. Nur bei Stab e 3 wurcle versucht, G
aus dem Torsionsgrundton des mit Messingendmassen (kreiszylindrisch, Flachenhalbmesser = 2 cm, Hohe = 0,3 cm) versehenen Kristalls zu bestimmen. Die Berechnung von G erfolgte in diesem Falle nach einer von Goensz) entwickelten
Niiherungsformel.
Triigt man 1I E in Abhangiglreit von der Orientierung f
(GI. 3) auf, so sollte man nach der Elastizitatstheorie f u r reguliire Kristalle eine gerade Linie erhalten. Dies ist auch mit
groBer Anniiherung der Fall (Fig. 1). Auch die Werte fur
1 IG liegen auf Geraden, was nach dem iiber die Methode zur
Bestimmung des Torsionsmoduls Gesagten nicht ohne weiteres
1) Eine nochmalige Bestimmung der elastischen Konstanten von
Gold war wiinschenswert, da die von E. G o e n s (Naturwiss. 17. S. 180.
1929) benutzten Kristalle wegen ihres ungleichm5Bigen Durchmessers
abgedreht werden muBten, wobei sie infolge ihrer Weichheit deformiert
wurden.
2) E. G o e n s , Ann. d. Phys. [5] 4. S. 755. 1930.
H. Rohl. Elast. Eigenschaften von Gola-Silber-Einkristallen 891
Tabelle 2
Gemessene elastische Daten der Gold-Silber-Kristalle
Kristall
a1
2
3
4
5
bl
2
3
cl
2
3
4
5
dl
2
3
el
2
3
4
5
1
d
em
-
cm
6,19
5,21
6,66
5,34
537
5,30
R,5O
5,71
5,13
4,84
4,98
5,19
5,40
5,39
4,71
5,72
5,50
4,s2
4,87
5,56
4,89
0,303
0,301
0,297
0,300
0,290
0,299
0,299
0,600
0,297
0,298
0,298
0,299
Spez.
Drillung
11G
mm'/kg
4830
4 790
5730
8400
1
1
I
9 440
9 950
8 450
13320
12110
7 880
9 680
9 690
5 330
13080
7 140
F 290
5130
0,599
0,300
0,300
0,596
0,719
0,730
0,690
0,297
0,299
2,07
2,09
1,75
1.19
1
'
'
l;06
~1005
111%
0,75
0,828
1,27
1,04
1,03
1,88
:p
1,59
1.95
3920
3980
3180
2280
2140
3280
2560
2,55
2,51
3,14
4,38
4,68
3,05
3,916
2980
2330
2420
3160
3,3A
-
-
2490
4400
-
3490
2420
2050
-
4,29
4,13
3,17
4,Ol
2,27
2,87
4,14
4,88
zu erwarten war. ober die Festlegung dieser Geraden der
Fig. 2 vgl. Abschnitt 5.
Die Abhiingigkeit der E und G von der Zusamniensetzung
ist fur drei bestimmte Orientierungen (f = 0, f = 0,75 und
f = 1) in Fig. 3 und 4, Kurven a, b und c, dargestellt worden.
Das Verhaltnis der Extremwerte von E und G (Tab. 3), das
ein Ma6 fiir die elastische Anisotropie gibt, andert sich nur
wenig mit dem Mischungsverhaltnis von Au und Ag.
Ag
- q l l l I :q 1 0 0 1
G[LlIl : Glloul
'
25 At.-'/,
Au
50 At.-'/,
AU
75 At.-'/,
AU
2,72
2,FB
2,65
2,68
' 1 2 .*6
'I?*%
'It.%
'la,**
Au
272
'12,46
892
Amalert der Physik. 5 . Folge. Band 16. 1933
Fig. 1. Spez. Dehnung
Fig. 2. Spee. Drillung r
der Au-Ag-Kristalle als Funktion der Orientierung
879 n
74
t
6
5
6b
c
Fig. 3. Dehnungsmodul
Fig.'4. Torsionsmodul
als Funktion der Konzentration fur die Achsenrichtungen
a : [loo]; b : [110]; e: [lll]; d : Mittelwert nach R r u g g e i n a n
H . Riihl. Elast. Eigenschufteri von Gold-S~lber-Einkristallen 893
Die Voigtschen sikund cia
5. Nach Voigt bestehen im regularen Kristallsystem
zwischen spez. Dehnung und spez. Drillung einerseits uud den
sik andererseits folgende Beziehungen:
wo f durch G1. (3) gegeben ist. sl, ist also nichts anderes als
der Wert von 1 / E , s4.4 der von 1 / G in Richtung [loo]. I n
Richtung [l 113 spezialisieren sich diese Gleichungen zu
(4a*)
1
1
E[lll,
3
-= -(s
1'
+ 2s,, + s44),
Zur Bestimmung der sik der reinen Metalle und Legierungen wurde je ein anderes Verfahren angewendet.
Reines Au und Ag: Bei der beschrankten Zahl sicherer
Torsionsmodulbestimmungen erschien es wunschenswert, die
Berechnung der sik. exakter zu gestalten durch Zuhilfenahme
cler bekannten Beziehung fur die kubische Kompressibili~at2,
x = 3 (sll
(5)
+ 2s,,).
F u r Au und Ag wurden den Berechnungen folgende Werte
zugrunde gelegt, deren Unsicherheit bekanntlich sehr wenig
EinfluB anf die sjkhat3):
%Au = 6,O. 10-13 cm2/ dyn ,
%Ag = 10,O * lO-I3cm2/dyn.
Die s ergaben sich dann als Schnittpunkte der Geraden
fur 1 / E (pig. 1) mit der Ordinatenachse ( f = 0), s12 und sB,
aus l / E p (Ordinate
~ ~ ~ fur f = 1) und x . Uabei wurde auf die
Benutzung der experimentellen G-Werte verzichtet. Die Rechtfertigung dieses Verfahrens ergibt sich daraus, daB in Fig. 2
die aus (4b) berechneten Geraden fur 1 /G den Beobachtungen
hinreichend genugen, besonders in der Nahe der Vorzugsrichtungen.
1) W. V o i g t , Lehrb. d. Kristallphys. 1928. S. 730 u. 740.
2) W. V o i g t , a. a. 0.; V o i g t schreibt (S) statt x.
3) Die von P. W. B r i d g m a n (Proc. Americ. Acad. 68. S. 163.
1923) experimentell bestimmten x-Werte sind:
xAu = 5,92 10-13 cm2/dyn, xAg = 10,05
cm2/dyu.
-
894
Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
Annalen der
Legierungen: Da f u r die Au-Ag-Legierungen x bisher
nicht experimentell bestimnzt worden ist, blieb f u r diese nichts
anderes ubrig, als zur Berechnung der sj, die Torsionsmoduln
solcher Stabe, deren Langsachsen den Vorzugsorientierungen
nahe kommen , mit zwei ausgeglichenen Dehnungsmoduln zu
kombinieren. Gewahlt wurden die Sfabe
25 Atom-o/, Au, d, ,
50 Atom-O/, S u , c2 ,
75 Atom-o/, Au, b, .
Man kann nun nach G o e n s l ) abschatzen, wie groB die Korrektion ist, die man in dem Falle, daB die den Drillungsversuch
begleitende Biegung volIig verhindert wird, an den beobachteten
1
t =
anbringen muB, um den in die Formel (4b) eingehen-
den Wert sg'
=
1--x
der spez. Drillung zu erhalten. Dabei ist
(6)
und z,
'2
SQ4
+ SQj' a = 4 (Sll - sl, - 1s
2
44 )a
- [a6 + + 76 - + +
p6
(ad
184
~4121.
Rildet man den Ausdruck (6) fur die drei genannten Stiibe rnit
den sik der Tab. 4, die ohne Rucksicht auf x berechnet sind,
so ergibt sich fur d,: x = 0,00096, fur c2: x = 0,00067, dagegen fur b,: x = 0,0921. Die Achsenrichtungen von d, und
c, stimmen also hinreichend genau mit [110] bzw. [lll] uberein, bei b, ist aber die Vorzugsorientierung [ l l O ] nur unvollkommen erreicht. Nun scheint es aber, daf3 bei dern von mir
benutzten Torsionsapparat die Biegung ziemlich ungehindert
stattfinden konnte. Denn aus Fig.2 sieht man, daB der Beobachtungspunkt fur den reinen Goldstab a dessen f = 0,34
und dessen t = 32
ist, nur um 2,5$/b aus der Geraden
erwarten
fur Gold herausfallt, obwohl sein x -Wert 11,O
lal3t. Ebenso liegt der Punkt fur die Legierung c4 ( f = 0,55;
t = 32,3) urn 3'10 unterhalb der Geraden fur die 50°/,-Legierung, obwohl x = 0,122 ist. Die Korrektion x scheint also
nur mit etwa
ihres Betrages zur Geltung zu kommen.
Deshalb habe ich, mit Rucksicht auf die Unsicherheit iiber
-
1) E. G o e n s , Ann. d. Phys. [5] 16. S. 793. 1933.
2) E. G o e n s , Ann. d. Phys. [ 5 ] 15. S. 482. 1932.
H . Rohl. Elast. Eigenschaften von Gold-SiIber-Einkristallen 895
die wirkliche GrijBe der Korrektion, diese selbst bei den
folgenden Rechnungen vernachlassigt, teile aber die X-Werte
samtlicher Stibe mit, von denen nach dem Obigen hijchstens
als Korrektion in Betracht kommen durfte.
Tabelle 4
Die Voigtschen
50 At. '/, AU
75 At.-O/,, An
Au')
Sit
der Au-Ag-Legierungen in
19,7 - 8,52
20,5 - 9,09
22,7 -10,36
(24,s) 1(-11,31
1
19,66
20,63
22,9
, ( 2 5 , ~1
7,44
7,65
8,30
cm'/dyn
c, :43,7
b, : 39,9
-
44,18
46,33
51,7
Tabelle 4a
x - Werte der Au-Ag-Legierungen
. .
Hristall . . . .
Orientierungsfkt.
.
.
a,
0,12
1
1
a,
0,09
1 1 1
0,34
a3
0,75
a,
0,87
as
11)
0,43
b,
1
b,
0,75
Bei festgehaltenem x bringt ein Fehler von lo/,in sI1und l / E ~ l l l ~
eine Unsicherheit von etwa 1,2-1,5°/, in den s,, und sI1hervor. Etwas
griiller - aber noch nicht das Doppelte - ist der EinfluB eines Fehlers
im Torsionsmodul der Legierungen dl und c, auf die s,, und sd4.
Fig. 6 enthalt zum Vergleich die von G o e n s uncl von
mir nach den G1. (4a7 und (4b") aus den sikafur Gold berechneten Werte fur 1/E und 1/G als Funktion der Orientierung.
I) Die in Klarnmern angegebenen Werte sind die von E. G o e n s
(Naturw. 17. S. 180. 1929) bestimmten.
896
dimaten der l’hysik.
5. Folge. B u d 16. 1933
6. Urn einen fjberblick iiber die Abhangigkeit der spez.
Dehnung und spez. Drillung von der Richtung im Kristall zu
erhalten, sind diese
VL
vG nach G1. (4a) und (4b)
2o f u r Gold und Silber
3o fur vier verschiedene
Schnitte I) berechnet
- 40 morden (Tab. 5a und b),
deren je zwei einen
”
Winkel von 1 5 O miteinI# 6o ander bilden. Schnitt I
ist die Wiirfelflache,
55
Q!?
Qk
d6
IV der Diagonalschnitt. I n jeder dieFig. 5. .l/E und 1/G von Gold
ser Ebenen ist 1/E
und 1/G in Richtungen errnittelt, die urn j e 15O verschieden sind.
dB,,+&’
Tabelle 5
Spez. Dehnung und spez. Drillung von Au und Ag
cm2/dyn
in Schnitt I-IV in
Schnitt I
1/E
22,7
20,12
14,61
11,9
~
1/G
Schnitt I1
1
22,9
28,31
39,l
44,5
1/E
I
22,7
19,98
14,44 I
11,2
13,06
17,66
20-12
Schnitt 111
__
1/G
-
22,7
19,96
14,08
9,88
10,04
12,94
1/G
__
__
22,9 22,7
28,38 19,96
40,l
13,53
48,5
9,2
48,2
8,5
42,4
14,61 39.1
__
23,2 22,9 23,2 22,9 23,2 22,9 23,2
20,5 28,31 20,47 28,36 20,45 28,4 20,44
15,06 39,2 1 14,80 39,s 14,55 40,2 14,4
10,3 48,7
12,36
9,6
10,s 48,3
8,97
11,40
13,39 42,5
15,06 39,2 12,35
~
I
1
22,5
28,32
39,4
45,9
42,15
32,98
28.31
1/E
___
22,9
28,38
40,43
49,9
51,2
22,9
28,4
40,5
50,l
51,4
46,3
44,6
Fig. 6 zeigt E und G in der Diagonalebene des Wiirfels.
Der Deutlichkeit halber sind die E-Kurven fur 25 und 7501, Au
fortgelassen.
1) Wegen der im regularen System bestehenden Symmetrieverhiiltnisse geniigt es, 1/E und 1/G fur den oben bezeichneten Raumabschnitt
zu berechnen.
H . Rohl. Elast. Eigertschaften von Golcl-Silber-Einkristallen 897
7. Die Voigtschen Hauptelastizitatskonstanten cik, die im
folgenden die Grundlage weiterer Berechnungen bilden, sind
nach bekannten Formeln l) berechnet und in Tab. 6 zusammengestellt.
Dehnungsmodul
Torsionsmodul
in der Diagonalebene des Wiirfels
no
Fig. 6
Tabelle 6
Die Voigtschen cik in dyn/cme
q2 * 10-0
50,8
I
48,5
1) W. V o i g t , a. a. 0. S. 741.
Annalen der Physik. 5. Folge. 16.
?. 9
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
898
Schallgesohwindigkeiten
und Debyesche charakteristische Temperatur fur Gold und Silber
8. Es war von Interesse zu priifen, ob auch fur regulare
Metallkristalle bei strenger Berechnung der 0 unter Berucksichtigung der elastischen Anisotropie ahnliche Differenzen
zwischen Theorie und Erfahrung auftreten wie bei Zn und Cd.1)
Um die gestellte Frage beantworten zu konnen, miissen
&us den cir, die drei von der Richtung im Kristall abhangigen
,,Schallgeschwindigkeiten" uj (der Index j bezieht sich auf die
Wellenart, ob longitudinal, transversal
oder (I) berechnet
werden, hieraus die @jj, aus denen sich durch Mittelbildung
iiber die Einheitskugel ein 0, gewinnen lafit, das mit der aus
der spez. Warme ermittelten charakteristischen Temperatur
verglichen werden kann.
Die Berechnung der Schallgeschwindigkeiten geschah in
bekannter Weise nach dem von Fors terling2) angegebenen
Verfahren und analog der Rechnung, wie sie von Griineisen
und Goensl) fur Zn und Cd durchgefuhrt ~ u r d e . ~ )
Tabelle 7
Charakteristische Temperaturen Oj fur Gold und Silber
Q,
1
Schnitt I
9,v
1
Schnitt I1
__
1
-~
-~
~
174
174
174
173
-
236
235
231
227
224
225
236
-
-
-
-
__
@, II
__ -__
__ -
391
405
427
437
- 432
- 415
- 405
-
-
% II
174
158
124
105
122
148
157
236
211
167
143
166
201
211
Schnitt IV
~
~
174
173
171
168
165
168
174
__
236 236
15 405 236 211
30 426 236 163
45 417 236 139
75 90 -
1
360
368
382
389
385
374
368
174
157
122
103
-
~
60
%,
Schnitt I11
@, II
__
~
360
368
383
392
392
385
381
174
171
165
154
148
163
174
174 360
159 368
130 383
115 394
123 395
124 389
122 ____
387
-
174
170
159
143
138
162
173
174
161
135
123
124
112
103
391
405
429
443
443
433
426
236
232
223
208
200
221
236
236
214
174
156
166
167
163
236
230
215
193
236
216
180
167
168
152
139
391
405
430
445
1) E. G r u n e i s e n u. E. Goens, Ztschr. f.Phys. 28. S. 235 u. 250.
1924.
2) K. FGrsterling, Ann. d. Phys. 61. S. 556/58. 1920.
3) Nahere Einzelheiten vgl. in der demnilchst erscheinenden Marburger Dissertation von H. RGhl.
H . Rohl. EZast. Eigenschaften von Gold-Silber-Ein7cristallen 899
Tab. 7 enthalt die nach der Formel
(7)
berechneten Oj fiir Gold und Silber (0,
bezieht sich auf die
Longitudinalwellen, Ot, I und Ol,.11 auf die beiden Transversalwellen senkrecht und parallel zum Hauptschnitt). Hierin ist
'il";"
der Zahlenfaktor
4 n v gleich 1 , 1 5 4 9 ~ 1 0 - ~
fur Au und
1,1546 10-3 fur Ag. Interessant ist, daB sich die Anisotropic der elastischen Konstanten wesentlich nur in den Ot,,,
geltend macht.
Um einen Vergleich mit der Erfahrung vornehmen zu
konnen, wurde aus samtlichen Oj eine mittlere charakteristische
Temperatur Grngebildet.') Zuniichst erhielt man in jedem der
4 Schnitte fur jeden Winkel sp mittlere Brnnach der Gleichung
-
Die so erhaltenen
1
wurden dann iiber die Einheitskugel ge-
@In
mittelt :
Hier ist
1
__
sowohl Funktion von 9. als auch von y .
@z:
Das Integral iiber sp wurde wie bei Griineisen und G o e n s
ersetzt durch
das iiber 6 durch
wo n die Anzahl der untereinander gleichen Abschnitte der
Integrationsgebiete von 0 bis ni2 angibt und
I) Vgl. E. G r u n e i s e n u. E. G o e n s , Ztschr. f. Phys. 26. S. 255.
1924.
59 *
900
Annabn der Physik. 5. Folye. Band 16. 1933
er Wert von
(
Z
L
Abschnittes ist.
1
am
Ende des L-ten bzw. des x-ten
e n
Das Ergebnis dieser Rechnung fiir Au und Ag enthalt
Tab. 8, in die Zuni Vergleich auch die experimentell fiir das
T3-Gebiet gefundenen charakteristischen Temperaturen eingetragen sind. Bedenkt man, dal3 die 0, aus den elastischen
Ifonstanten bei etwa + 20° C berechnet sind, wegen der geringen Zunahme der cik mit sinkender Temperatur also fiir
das T3-Gebiet etwas groBer werden wiirden, so kann die
Ubereinstimmung als genugend bezeichnet werden.
Tabelle 8
Mittlere charakteristische Temperatur f u r Au und Ag
G,,, ber.
Au
Ag
I
156 '1
'12'
Grnber. - 0 exper.
0 exper.
I
1622)
215 3,
2104)
in
I
Olio
- 2.47
- 1;4-
+ 0,93
I m T 3 -Gebiet besteht also kein Widerspruch zwischen
den aus elastischen und thermischen Messungen gefundenen
O-Werten regularer Au- und Ag-Kristalle. Die Verhaltnisse
bei hoherer Temperatur (EinfluB elastischer Dispersion?) lassen
wir hier auBer Betracht.
Dehnungs- und Torsionsmodul fiir den quasiieotropen Kiirper ;
Beispiele zur B r u g g e m s n s c h e n Elastizitatstheorie
v o n Kristallaggregaten
9. Im folgenden wenden wir die Voigtsche5) und die
neuere Bruggemanschea) Theorie auf unsere Gold-Silberkristalle an, um diejenigen mittleren VTerte des Dehnungs- und
Torsionsmoduls zu berechnen , die fur quasiisotrope Korper
gelten sollen.
1) Herr cand. J. H a s b a c h hat aus den GoensschenBeobachtnngen
die gleiche Weise gefunden.
2) P. H a r t e c k u. K. C l u s i u s , Ztschr. f. phys. Chem. 134. S. 243.
Gm = 150 auf
1928.
3) W. N e r n s t - L i n d e m a n n , Ztschr. f. Elektrochem. S. 617. 1911.
4) A. E u c k e n , K. C l u s i u s u. H. W o i t i n e k , Ztschr. f. anorg. u.
allg. Chem. 203. S. 41. 1931.
5) W. V o i g t , a. a. 0. S. 954ff.
6) D. A. G. B r u g g e m a n , a. a. 0. Niiheres vgl. auch in der demniichst erscheinenden Marburger Dissertation von H. R 6 hl.
H . Rohl. Elast. Eigenschaften von Gold-Silber-Einkristallen 901
B r u g g e m a n gibt fiir die Berechnung der Konstanten des
,,primiiren" Aggregats eines regulien Kristallsystems folgendes
Rezept l):
3 a c - J c ( 3 c c 2 f ) - L'f2
1
(lla) -?
ac(3a - 3c - 2f)
(llb)
I
633
1
-
- 3 a e a + J a c ( 6 ~- 3
~ 4- f )
2 a c e ( 3 a - 3c
- 2f)
%-- L f [ a f + 2(a - c - f , ( 3 a - 3 c - f ) ]
___
+
+
-
- 3c Zf
a 13n - af,
2UC9(3rc.
4C(ZC
9
+f,
( l l c ) 4(B11- q9)
= - 3a
___--___
+
&*&
633
24,,
=
3a
4
c
2f
B
,
,
(11 d)
2 (Ell BIZ) = 3 a - 4 c - 2 j G3,.
Pie)
Darin bedeuten:
(12)
a = ell,
c = c4&, f = el, - cI2 - 2eq0
(f ist ein MaB fiir die Bnisotropie).
+
(132)
i
+
+ P, + *w3P, + - ' '
+ N' Qo+ 2 M ' N ' Q 1 + 3 i W 2 N ' Q 2+..+ N"R,+ 3 M " " R, + 617/1'2hT'a
R, +
+ ..*I,
1
1
L= J 1
1
1 [l + W
L PI
I
M ' 2
- - a
_ _ _ _ ~ _ . - _ ~
1
U3b)
-
f
-a!
-k -- A v
6
54
. [P, + LWP2 + M 2 P, + 1W3P , + ...
+ N'Q, + 2 M " ' Q 2 + 3iM''N'QQ,
+ -iM'3N'Q,+
+ R, + 3ili"'2 R, + 61W2W2R,
+ 1 0 M 3 R,+
~ ..
+ ...I.
* * -
NI2
-W9N , iM' und N' haben folgende Bedeutung:
M
"=
1) D. A. G. B r u g g e m a n , a. a. 0. S. 65.
N
1
1
I+-M+--N
6
54
'
902
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 16. 1933
Die P i , Qi usw. sind Integrale, deren Werte B r u g g e m a n
in einer Tabelle l) zusammengestellt hat.
I n Tab. 9 sind die Ergebnisse dieser Rechnungen f u r die
Au-Ag-Legierungen niedergelegt.
-
Tabelle 9
Primare Agg !gate der Au-Ag-L
Ag
__
13,91
13,74
7,94
8,lO
2,86
2,98
_______
25At.-'/,
Au
15,94
15.78
1
Fierungen
50At.-"/,
An
1
I
17,lO
16.94
3,20
3,32
3,35
3,47
20,61 (21,17)
18,72
18,57
1290
12,24
3,21
3,31
, 20.45 (21.03)
i4;67
14,83
2,89
2,97
(i5$7j
(15,80)
(2,65)
(2,75)
Wie Tab. 10 zeigt, welche die GriiBe der Anisotropie fur
die Einkristalle und das primare Aggregat enthalt (gegeben
durch f = cll - cI2 -. 2c,, bzw. 3 = B,, - BIZ - 2B,), ist die
groBe elastische Anisotropie der Einkristalle im primiiren
Aggregat fast verschwunden.
T a b e l l e 10
Elastische Anisotropie der Einkristalle und des priinaren Aggregats
in 10" dyn/cme
____
Ag
&I
-5,69
0,25
1
1
25 At.-'/,
Au
-G,37
0,23
I
1
50 At.-"/,
Au
-6,62
0,23
1
75 At.-'/,
I
-6,32
0,20
I
Au
1
I
____.
A'
___.
-5,72 (-5,20)
0,16
(0,201
10. Aus den gikerhalt man die fur quasiisotrope Medien
geltenden Konstanten :
Dehnungs- und Torsionsmodul fur den quasiisotropen Korper
lassen sich hieraus berechnen, und zwar gilt (in der Schreibweise von B r u g g e m a n 4 ) :
1) D. A. G. B r u g g e m a n , a. a. 0. S. 67.
2) Die bei Au in Klammern eingetragenen Werte sind von B r u g g e m a n auf Grund der von G o e n s (Naturw. 17. S. 180. 1929) bestimmten sik
berechnet worden.
3) D.A. G. B r u g g e m a n , a,a. 0. S. 53.
4) D. A. G. B r u g g e r n a n , a. a. 0. S. 34.
H . Rohl. Elast. Eigenschaften von Gold-SiEber-EinkristaEle~~ 903
Zwischen dem Kompressionsmodul $
dem
I?
Querkontraktionsr
,
koeffizienten ,u und B und GI bestehen die Relationen:
13 9
=B
+ 2$,
d. h. Kompressibilitit x =
3
Q+2Ef, ’
Q,
Tab. 11 enthalt die nach G1. (16),(17)und (18) berechneten
T e r t e fur 6,a,, E , G, x und p , auBerdem die nach Voigt
emittelten GroBen. Diese gewinnt man, wenn man in (li)
und (18) folgende B und B, einfiihrtl):
E , G und y mit den
experimentellen Daten
nach G r i i n e i s e n lehrt,
daS die B r u g g e m a n sche Theorie besser mit
der Erfahrung iibereinstimmende GroBen
liefert als die Vo ig t
sche.
DaB sich die
Kompressibilitat nach
beiden Theorien gleich
groS ergibt, ist durch
die Rechnung bedingt.
Wie stark die Eund G-Werte von den
nac.h der Mischungsregel berechneten abweichen2), zeigt die in
den Figg. 3 und 4 n i t
d bezeichnete Kurve,
n-elche die mittleren
E und G als Funktion
der Konzentration dar-
-7uu00
-
7@00
t
m
ZO
40
60
80
Mo
A&m-%Au
Fig. 7. Dehnungsmodul
von vielkristallinen Au-Ag-Legierungen
Yl
7x
4
38F
L
436
43%
20
40
60
700
%om-%Au
Fig. 8. Querkontraktionskoeffizient
im System Au-Ag
I) W. V o i g t , a. a. 0. S. 962/63.
2) Dab die QuaaiisotropievielkristallinenMaterials keineswegs immer
geniigend erfiillt ist, zeigt Fig. 7, die Messungen an vielkrietallinenAu-AgLegierungen eatbalt. Vgl. auch B. Beckman, Diss. Upsala 1911.
4aa
s
T3
1
1
I
fss(Z) 68'2 j
(999'L) L61'8
(%'GI) 8L'PT
(ZT'IZ) 99'OZ
(LG'PT)
(OZi'TZ)
I
1
1
ZLE'O 6CE'O
OZP'O 1 (LZP'O) 8IP'O (OZP'O) OTP'O P6E'O ESE'O 9LE'O P9E'O
P9'S
P9'8
96'9
S6'L
S6'L
00'9
96'9
66'9
QIZ'S G6G'E
LL'Z
(96'2)
ZZ'E OPZ'E 98G'E SSE'F SiPL'S
Z6'L
(GOP'8) €90'6 OPO'6 826'6 STE'6
OZ'OT siL8'8
99'PI 6T'ZI l 96'11 8Z'OI €0'01 ZP'6
66'02 L9'8I l ET'6II SO'LT PG'LT
68'91
-
I
6LE'O
-
8S'Z
!1
1'
89E'O
PGE'O ' * ' ' ri
0'01 ZO'OTi EIOT. X
€2'6 Iri-OT' 3
06'Z
H . Rohl. Elast. Eigenschaften con Gold-Silber-Ei.nkristallen 905
stellt. Die Frage nach dem Verlauf von p mit der Zusammensetzung laBt sich dahingehend beantworten (Fig. S), daB eine
deutliche Abweichung von der Mischungsregel nach kleineren
Werten hin besteht.
Die Deb yesche charakteristieche Temperatur,
berechnet fiir das quaaiisotrope Metall
11. Nach dem Vorigen ist es schwer, die elastischen Konstanten des quasiisotropen Materials mittels elastischer Messungen
einwandfrei zu erhalten. Deshalb ist es von Interesse, die aus
den spezifischen Warmen gewonnenen 0 zu vergleichen mit den
nach D e b y e fiir quasiisotropes Metall berechneten 0,wobei
die nach B r u g g e m a n und Voigt bestimmten x und p benutzt
Tverden.
Die Formel z u Berechnung der charakteristischen Temperatur lautet I) :
(20)
0-
hierin ist gesetzt :
(20a)
f(P) =
sammensetzung entspre-
Einkristalle bestimmten,
-
I
I
I
906
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
Funktion der Konzentration dar (Fig. 9), so sieht man, daW
auch hier die Mischungsregel nicht gilt. Ein Vergleich mit
Messungen der spezifischen Warmen ist zur Zeit nicht moglich.
Zusammenfassung
1. Messungen des [Dehnungs- und Torsionsmoduls (E, G)
an Gold-Silber-Einkristallen ergaben, daB im System Au-Ag
die elastischen Eigenschaften ebenso stark anisotrop sind wie
in den reinen Komponenten, daB aber die Mischungsregel fiir
ein und dieselbe Kristallrichtung nicht gilt. Es wurden die
Toigtschen sik und cik berechnet.
2. F u r Au und Ag wurden die Schallgeschwindigkeiten und
(richtungsabhiingigen) Oj berechnet. Durch Mittelbildung iiber
die Einheitskugel wurde ein Gm gewonnen, das mit den experinientellen 0 verglichen werden .$onnte. Dabei ergab sich in1
T3-Gebiet eine befriedigende Ubereinstimmung zwischen berechneten und beobachteten @.
3. Die Bruggemansche Theorie lieferte den Dehnungs- und
Torsionsmodul fur quasiisotrope Metalle und Legierungen, wobei
sich die gleiche Abweichung von der Mischungsregel herausstellte wie unter 1. Dasselbe gilt f u r die Poissonsche Konstante p. Ein Vergleich der nach Voigt und B r u g g e m a n
herechneten E , C: und p mit experimentellen Werten spricht
zugunsten der B r u g g e m a n schen Theorie.
4. Die Berechnung der charakteristischen Temperaturen
f u r quasiisotropes -4u, S g und ihre Legierungen, wobei die
x- und p W e r t e nacb. B r u g g e m a n zugrunde gelegt wurden,
ergab hinreichende Ubereinstimmung mit den nach 2. berechneten @. Die Mischungsregel gibt auch hier Abweichungen
bis zu
Herrn Professor G r i i n e i s e n danke ich fur die Anregung
zu dieser Arbeit und sein stets fiirderndes Interesse, Herrn
Privatdozent Dr. Vog t f u r manchen wertvollen Rat.
M a r b u r g a. d. L., Physikalisches Institut.
(Eingegangen 13. Februar 1933)
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