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Die elektrischen und magnetischen Flchenwirbel bei bewegten Krpern.

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Die elektrischen und magnetischen FlGchenwirbel
bei bewegten Kiirpern
Von T e o d o r Schlomka
(Mit 1Abbildung)
Lnhsltsiibersicht
Bewegt man einen elektrisch und magnetisch polarisierten Korper, so treten
a n den Stellen des Raumes, die gerade von der Grenzflache des bewegten Kiirpers
iiberstrichen werden, sprunghafte Xnderungen von 3 und 23 fiir ruhende Beobachter auf. Diese lokalen zeitlichen Feldspruilge von 9 und 23 an der bewegten
Grenzflache des Korpers bedeuten Flachenwirbel von @ und 6 fur ruhende Beobachter. Es werden Formeln fur diese Flachenwirbel von 8 und Q und fur deli
Flachenwirbel der ,,treibenden elektrischen Feldstarke" B* = Q b :< 23 gegeben. - Ein Anhang enthalt die Ableitung einer allgemeinen Formel fur den loka-
+
len zeitlichen Beldsprung 4at3 an der Grenzflache irgendeines bewegten Korpers,
der Trager eines beliebigen Vektorfeldes
8 ist.
I. Einleitung
Ein im Unendlichen verschwindendes Vektorfeld kann in bekannter Weise
a u s seiiren Quellen und Wirheln im Raum und a n den Uiistetigkeitsflachen berecbnet werden. Will man hiernach die fur einen ruhenden Beobachter vorhandenen
elektrischen und magnetischen Felder B und .!ijbei bewegten Korpern ermitteln,
so stdlKt inan auf die Schwierigkeit, daB fur die in diesein Fall auftreteiiden Flachenwirbel in der Literatur bisher keine Formeln angegeben worden sind. Ziel der
Arbeit ist die Ausfullung dieser Liicke.
11. Linear bewegte Wijrper
Nach M i n k o w s k i ist das Gleichungssysteni
a%
rot@=j+x;
rot@=
-.
at '
div%=p
(1; 3)
div B
(2; 4)
=0
mit den Reziehungen
B = p o ( @ + t m ) und B = Q , @ + ! $
(5)
auch bei bewegten Kiirpern giiltig. Nach ( 3 ) , (4) und ( 5 ) erhalt man also sofort,
die zur Berechnung von @ und $jerforderlichen Raum- und Flachendivergenzen
T . Schlomka: Die elektrischen und. mngnetischen Fldchenwirbel bei bewegten Korpern
191
bei bewegten Korpern :
div Q
1
=-
(e - div 9) bzw.
1
Div 6 = - (a - Uiv
9)
(6)
€0
'0
div@=
-divgI
bzw. D i v Q =
-DDivYJl.
(7)
Die Raumwirbel von @ und C$ sind durch (1)und ( 2 ) gegeben. Eine Ubertragung
dieser Gleichungen auf bewegte Grenzflachen erfordert die Kenntnis der Ausdriicke,
die dem
a9
dt
a3
bzw. - an einer bewegten Unstetigkeitsflache entsprechen. Im
a1
Anhang ist nun gezeigt, daB der fur einen ruhenden Reobachter vorhandene
s der an einer niit b
t,
(lokale) zeitliche Yeldsprung l)
auftritt, wenn irgendein Feld
durch
Aus (l), ( 2 ) und (8) folgen
FlachenivirbeI :
5
bewegten Unstetigkeitsflache
mit einem Korper niitbewegt wird, gegeben ist
.:CF
1= (31- 5 2 ) . 2'n,,l .
daher (mit if, = Flachenstromdichte)
(8)
die gesuchten
(9)
(10)
G1. (10) kann such aus der bekannten2) Grenzbedingung fiir die Stetigkeit der
'L'angentialkomponenten von E* ==6 b x % bei zwei niit derselben Gese'hwindigkeit 13 bewegten Korpern abgeleitet werden. Denn aus I I , , ~x (6, b x %J =
nl,2x (CS, D >; 23,) folgt:
+
+
+
Rot E = n , , x (@,
-
el)= nl,2x [t' x (23, - % J ]
13
*
(ni,z
- 232))
- (Bi- %z)
*
(11)
(ni,zb).
Der Ausdruck nl,z(8,
- B2)
ist aber - Div B,also (4)entsprechend Null; aus (11)
folgt daher (10).
Dagegen kann (9) nicht unmittelbar ails der bekaiinten 2) Grenzbedingung fur
die Stetigkeit der Tangentialkomponenteii von @* = Q - b x '3 bei zwei mit
derselben Geschwindigkeit t, bewegten Kiirpern abgelcitet werden. Aus
n,,%x (QP
- D A 5Dz)= n,,, A (8,- b ,<. '3,) folgt nandich :
nl,zx (b- GI)= n1.2 x [o x (% - %,)I = b * (nl,z( 3 2 - 3,))
- (%-%
*
b).
LlS (gesprochen : Fllchen-de-3-partiell-nach-de-te)
soll das grol3e
l)
I n den: Symbol
dt
Delta (analog den groDen Anfitngsbychstaben bei den Flachenopertstoren Grad, Div und
Rot) andeuten, daU es sich um eine Anderung von 3 an einer Sprungflache handclt; dm
partielle Delta soll darauf hinwcisen, daB eine lokale zeitliche Anderhng (fur eineri ruhenden Raunipunkt, der gerade mit der bewegten Grenzflache zusammenflllt) gemeint ist.
Die Dinlension der Fliichonoperatoren Grad, Div und Rot ist verschieden von der Dimension der Raumoperatoren grad, div und rot; ebenso weicht die DimenRioii von
der Dimension yon
-15
- von
at
a3 ah.
at
A. E i n s t e i n und 3. Laub, Ann. Physik (4)28, 446 (1909); M. v. L a u o , Die Relativitatstheorie, Bd. 1, 4. Aufl., S. l 7 7 / 1 7 Y (1921).
2)
192
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 5. 1949
Der Ausdruck nl,p(mZ- Bl)ist Div
halt demnach :
%,a
X
(82- 81)
B,also
0*
b
+
(3) entsprechend gleich cr; man er(%I
-9 2 )
a
(12)
%,,,
Die rechten Seiten von (9) und (12) stimmen nicht iiberein, und zwar aus folgendem
Grunde : (9) ist allgemein giiltig; die zur dbleitung von (12) benutzte Stetigkeit der
Tangentialkomponenten von @* setzt aber die Abwesenheit einer Flachenst,ronidichte $1 in1 mitbewegten Bezugssystem, in deiri der Korper ruht, also in seinem
= o,
,,Ruhsysteiii" voraus3). (12) gibt also nur einen speziellen Flachenrotor (Rot
@)cl
den man natiirlich aus der allgemein giiltigen GI. (9) bei Beachtumg der Transformationsgleichungen
2)
+
und i n = i&
+ k a0 t, - (1 - k);( tl
= 0 erhalten kann.
mit k = (1 -$)-* als Sonderfall fur
u = k (8
$1)
. b (13; 14)
$1
Bei Anwendung von (9) ist zu beachten, da8 in der relativistischen Stromdiehte
nur Leitungs- und Konvektions-Flachenstromdichte ent,halten sird [siehe (14)],
aber nicht die Magnetisierungs- und Rontgenstromdichte. Die MagnetisierungsStromdichten rot '$2 bzw. Rot (;m treten nach (5), (1) und (9) nur bei den %-Wirbeln auf:
jtl
rot % = po
Rot 8 = po
as
(i+ rot + z )
(i.14-
Rot
+ (Q-
(15)
92) *
vn,,.).
(16)
Eine besondere Rontgenstromdichte gibt es in der Relativitatstheorie uberbaupt nicht,; sic ist nach der Transformationsgleichung
'$2 == k
(%O
- b X Po)+ (1- k)
(p 5
schon in der Magnetisierungsstromdichte als der Anteil k * rot [b0t,] bzw.
k * Rot [Pob] enthalten. Bei der Berechnung von @ aus seinen Quellen und Wirbeln
ist daher nach (1) und (9) ein R o n t g e n - S t r o m iiberhaupt nicht zu beriicksichtigen ; es tritt bei der Bewegung eines im Ruhsystein elektrisch polarisierten
Korpers lediglich nach (7) und (17) ein von der M a g n e t i s i e r u n g (;m herriihrender
Quellen-Anteil k * div [k~ $!O] bzw. k . Div [t~ Pol auf.
III. Rotierende Korper
Bei der im Anhang gegebenen Ableitung von (8) wird keine Voraussetzung
dariiber gemacht, ob die darin vorkommende momentane Lineargeschwindigkeit t,
der Korpergrenzflache von einer T,anslations- oder Rotationsbewegung herriihrt ;
d i e Glri. (9) u n d (10) g e l t e n d a h e r a u c h bei r o t i e r e n d e n K o r p e r n .
Will man aber in diesem Fall die auf den rechten Seiten dieser Gleichungen vorkommenden, fur ein ruhendes Bezugssystem geltenden Werte von B,58 und innach
0 ) Diese Angabe ist eindeutig, wahrend die naher liegende Angabe ,,Ahwesenheit einer
Fliichen-Leitungsstromdichte" mehrdeutig ware, do in der Literstur 2 vemchiedene Zerlegungen der Gesnmtstromdichte in Leitungs- und Konvektionsstrom dichte (und daraus
resultierend 2 verschiedene Differentialformen des O h m schen Gesetzes bei bewegten
Rorpern) vorkornmen.
T . Schlomka: Die elektrischen und magnetischen Fkkknwirbel bei bewegten Xorpern
193
den Transformationsgleic hnmgen
b
und (14) bwechnen, so ist zu beachten, daD die fur das ,,Ruhsy&em", d. h. in
diesem Falle fur das m i t r o t i e r e n d e Bezugssystem geltenden Werte von
d,Bo, 93' und Goim allgemeinen vollig verschieden sind von den entsprechenden
Werten des ,,Ruhsystems" fur den Fall, daB der betreffende Korper n i c h t
r o t i e r t . Bei der Rotation haben die einzelnen Korperelemente Relativgeschwindigkeiten gegeneinander, und infolge dieser Rotations-Gegengeschwindigkeiten
konnen ganz wesentliche Abanderungen aller elektrodynamischen Gro13eu. eintreten *). Das zeigt z. B. der Kugelkondensator : Im Ruhsystem des nichtrotierenden Kugelkondensators ist das Magnetfeld uberal! Nu11 ; im Ruhsystem des
rotierenden Kugelkondensators ist dagegen infolge der Rotations-Gegengeschwindigkeiten im ganzen Raum ein Magnetfeld t-orhanden. xhnliche Unterschiede
treten bei den wahren Ladungsdichten und elektrischen Feldstarken einer rotierenden Magnetkugel auf4). Es sind daher bei rotierenden Korpern zunachst die im
rotierenden Bezugssystem geltenden Werte von $l,
W , @", Bo und (3" gesondert zu ermitteln, darauf die Transformationsgln. (141, (18) und (19) zu benutzen
und dann erst die Wirbelgln. (9) und (10) aufzustellen.
v,
a,
IV. Bewegungszostand des Bezugssystems
Bei Anwendung von (9) und (10) in der theoretischen Elektrotechnik ist zu
beachten, daB den Maxwell-Minkowski-Gin. (1).. . (4) ein relativistisch berechtigtes Bezugssystem zugrunde liegt, also erfahrungsgemag ein in1 Fixsternsystem ruhendes oder dagegen in irgendeiner Richtung mit irgendeiner, koustanten
Translationsgeschnindigkeit bewegtes Bezugssystem. Wegen der kleinen Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation kann bekaniitlich ein an dcr Erdoberflache ruhendes
Laboratoriums-3ezugssystem in vielen Fallen angenahert als berechtigtes Bezugssystem betrachtet werden. Es ist aber grundsiitzlich nicht zulassig, die Glo. (1) bis
(4)auf ein mit den ublichen technischen Winkelgeschwindigkeiten gegen die Erd-.
oberflache rotierendes Bezugssystem anzuwenden. So ist z. B. bei einem rotierenden Magneten die GI. (3) in einem rotierenden Bezugssystem auch nicht in 1. Annaherung erfiillt 4 ) . Angaben dariiber, welche Abanderungen an den einzelnen
Gln. (1) .. .(4) vom Standpunkt der Relativitatstheorie &) anzubringeu sind, wenn
man sie bei rotierenden Korpern auf ein rnit den ublichen techiiischen Winkelgeschwindigkeiten der Erdoberflache gegeniiber rotierendes Koordinatensystem
beziehen =ill, liegen wohl noch nicht vor; e bleibt daher die Frage offeu, ob bzw.
rnit welcher Annaherung die aus (1) und (2) dtgeleitcten G1n. (9) und (lo) auf ein
rotierendes Bezugssystem angewandt werden diirfen.
T. Schlomka, Ann. Physik ( 6 ) 5 , 51 (1949).
Die Loren tzschen Gleichungm der E1ektrodyna.rik bewegter Korper beziehen
sich bekanntlich auf ein absolut (im ,,Weltlither'') ruhendes Bezugssystem. Die Abandertmgen, die an ihnen anzuhringen sind, wenn man sie (ohne Einfiihmg der
Loren tzschen Ortszeit und Liingenkontraktion sowie ohnc Einfiihrung von Hilfsgrol3en) auf ein rotierendes Koordinatensystem beziehen will, sind lcicht anzugeben.
Doch Iassen sich die dabei suftrctenden Zusatzglieder netiirlich nicht ohne weiteres auf die
relativistischen Gln. (1). . (-1) ubertritgen.
4,
5)
Annalen der Physlsik. 6. Folge. Band 5. 1949
194
V. Fliichenwirbel dcr treibenden elektrischen Feldstarke @*; Gleitflachen
Da in (10) nur die Normalkomponente der Geschwindigkeit des bewegten
Korpers vorkommt, tritt bei Gleitflachen init w, = 0 kein elektrischer Flachenwirbel auf. Nun werden aber in der Literatur gerade fur derartige Gleitflachen
elektrische Flachenwirbel angegeben. Dieser scheinbare Riderspruch kliirt sich
folgendermaBen auf :
Versteht man, wie in der Relativitatstheorie iiblich, unter ,,elektrisches Feld cS"
dasFeld, das fiireinenaul3erhalbundinnerhalbdes bewegten K o r p e r s r u h e n d
gedachten Beobachter vorhanden ist, so hat dieses Feld 0: nach (10) keinen Flachenwirbel an Gkitflachen.
Ebenso hat das ,,elektrische Feld E'", das fur einen mit dem bewegten Korper
i n n e n u n d a u a e n m i t b e w e g t e n Beobachter vorhanden ist, nach der (10) entsprechenden Gleichung
Rot' E' = - (Bi - %;) . v;~,,
(20)
gleichfalls keinen elektrischen Flachenwirbel, d a ja f iir den aiitbewegten Beobachter
die Korpergeschwindigkeit b' = 0 ist. (Beachte jedoch Abpchnitt IV.)
Nur bei Benutzung der ,,treibenden elektrischen Feldstarke" cS* = cS b X %
kommt man zu einein Flachenwirbel a n Gleitflachen. (2) liefert:
+
rot &*
=:
- at
+ rot [a 81.
(21)
Die entsprechende Flachenwirbelgleichung
Rot &* =
-at + Rot [a B]
(221
laljt sich nach (8) und Beachtung von Bt:,, = Br;,%urnformen in
I
Rot E* = (B2
- '8,)
- &),: + (b2 - b,)
*
B,,,,
+ Bl . v,,,,- B2 wf:,, 1.
(1)
(23)
*
Dabei ist:',::w
die Normalkomponente der Geschwindigkeit der materiellen Gremflache.
ist also entweder gleich w& oder gleich
Haben die aneinander
grenzenden Riirper dieselbe Geschwindigkeit, so wird die gauze reahte Seite von
(23) Null : Stetigkeit, der Tangentialkomponenten von @* (-4bschnitt 11).
Bei einer Q l e i t f l a c h e wird wi?:,) = v::,~ = w::,~; manerhklt also aus (23) die
bekannte Gleichung :
(Rot Q*)Gleitfl = (02 - 01) .&z,,~
(24)
I n dem nieist diskutierten Gleitflachenfall der U n i p o l a r i n d u k t i o n ruht
auaen ein Leitungsdraht (az = 0) und schleift an einer uiit b bewegten leitenden
Gleitflkche (b, = b); man erhalt daher aus (24) fur den elektrischen Flachenwirbel,
der in diesern Fall fiir den Strom im Leitungsdraht maagebend ist :
(Rot @*)Unipo!armd = - b * Bn,
(25)
Bei a l l e n bisherigen Angaben6) von Rot Q* f e h l t das 1. Glied (B2
- BJ v::,~:
der rechten Seite von (23). Alle b i s h e r i g e n F l a i c h e n w i r b e l - A n g a b e n f u r
$:,..
-
-
s, P. Debye, Encykl. d. Math. Wissensch., Bd. V, Teil 2, S. 444 (1910); F. Emde,
Elektrotechn. u. Maschinenbau 26, lll9/1120 (1908); 27, 915/918 (1909); 62, 477/470
(1934); Ausziige aus Maxwells Elektrizitat, S. 84/85 (1915); M. Abraham, Theorie der
Elektrizitiit, Bd. 1, 7. Aufl., S. 373/378 (1923); Bd. 2, 4. Aufl., S. 273/276 (1920); J.
Fischer, Einf. in die klass. Elektrodynamik, S. 77/79 (1936); W. 0. Schumann, Elektrische Wellen, S. 42/45 (1948).
T . Selikmkn: Die elekirischex und magnetischen Flarhenwirbel bei bewegten Korpern
G* s e t z e n a l s o v o r a u s ,
daB
4%
dt
=0
195
i s t , gelten also n u r f u r die FLllc, daB
e n t w e d e r vvL== 0 ( G l e i t f l a c h e ) o d e r da13 d e r b e l i e b i g b e w e g t e K o r p e r
n i c h t m a g n e t i s i e r b a r i s t . Sie konnen aho z. B. n i c h t angewendet werden
auf die ,,Seitenflachen der Pole eines Magnetrades" (Enide8) 1909, S. 917) oder
auf die ,,Oherfl&chevon bewegten Eisenkorpern mit on =+ 0, z. B. Polflanken bei
Polradern und Zahnflanken" ( E m d e 8 ) 1934, S. 477) oder auf einen ,,magnetisierten
Eisenquader, der sich quer zuni Magnetfeld bewegt" (rechterkiger Pol einer Maschine; Schurnanne), S. 44). Bei dicsen und ahnlichen Fallen ist unbedingt die
neue vollstandige G1. (23) fur Rot Cf* zu benutzen. Auch bei der gtaphischen Darstellung des von Rot Q* erzeugten Feldm ( S c h u m a n n 6), S. 43/45) ist Vorsicht
am Platz ; denn eine derartige Darstellung erweckt zwangslziufig den (falschen 1)
Eindruck, daB es sjch urn den Wirbel eines fur den ruhenden Beobacbter vorhandenen Feldes Q handelt, zumal noch die Autoren meist8) E statt Q* schreiben!
Es sei daher nochmals ausdrucklich auf den wesentlichen Unterschied zwischen
Rot 01 [GI. (lo)] und Rot @*[GI. (23)] hingewiesen und eine Gegenuberstellung
der speziell bei Gleitflachen (vn = 0) vorharidenen Flachenwirbel gegeben :
k
t GGleitfi
0 ; Rot'
1
Cf.blei+jfl
0 ;Rot GSleltfl = (ba - 01) * Bn,,,
Anhnng: Lokaler zeitlicher Feldsprung
1.
(26)
2 an bewegter Unstetigkeitsflache
Zwei aneinander grenzende Korper Kl und K , seien Trager eines Feldes 9,
das an korperfesten Raumpunkten zeitlich konstant und in den einzelnen Korpern
raumlich stetig, an der gemeinsamen Grenzflache aher unstetig sei. Die beiden
Korper mogen sich mit der genieinsamen Lineargeschwindigkeit b bewegen und
das Feld 5 niitfiihren. Dann treten an r u h e n d e n Raurnpunkten (lokale) zeit8 8 des Fe'elrles
liche b d e r u n g e n at
3 auf,
die im allgemeinen stetig veranderliche
Funktionen der Zeit sind. Nur an d e n riihenden Raumpunkten, iiber die die Grenzflache gerade hinwegstreicht, springt 3plotzlich von einem Wert Saauf den davon
verschiedenen Wert &. Wir suchen einen mathematischen Ausdruck fur diese
(fur ruhende Raumpunkte vorhandene) zeitliche 3-Xnderung an der bewegten
Unstetigkeitsflache. Dazu benutzen wir die bekannte Forniel-43 = a3
Tdt
dt
+ (0 grad) 3
fur die (substantielle) zeitliche h d e r u n g dt
d 3 fur Punkte, die die Linearbewegung
der Korper mitmachen. Da nach Voraussetzung d-L7 = 0 ist, wird
dt
3
= - (b grad) 3 = rot [b 31 - b
at
*
div-8.
(27)
Ersetzen der Raumoperatoren durch die entsprechenden Flachenoperatoren
liefert fur den (fur ruhende Raumpunkte vorhandenen) zeitlichen 8-Sprung')
3
an der bewegten
at
Grenzflache die Beziehung:
@
at = - (b Grad) 8 = Rot
Nach der Definition ( E m d e 19158), S. 167)
[b
31-D
eDiv8.
(28)
196
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 5. 1949
folgt unter Beachtung von 0, = tlz = b aus (28):
~~
~
Der Sprungflachenausdruck (8) ist in der Literatur bisher noch nicht mitgeteilt worden; wir geben daher noch eine zweite Ableitung fur ihn.
ACDA sei der Korper K,, ABCA der Korper K,, und AC die gemeinsame Grenzflache; beide Korper haben die Geschwindiekeit b. Unter den obieen Voraussetzungen uber das von Kl und K ,
B
mitgefuhrte Feld 8 fragen wir nach
u
8 -dz, wenn das
iIntegral zu erstrecken ist uber den
den1 Wert von -
*
Abb. 1. Zur Ermittlung der fur einen
ruhenden Beobachter vorliandenen zeitIichen
Fddanderung A-8 bei bewegter Grenzat
fliche AC. Strecke Q P = vnl,, - A t
ruhenden, in K , gelegenen Rstum
(1) =-El J , L M , uber den ruhenden,
vom Grenzflachenstuck E,Jl in drr
kleinen Zeit .4t uberstrichenen Rauni
(3) =-- E1E2J,J,,und uber den ruhenden, in K , gelegenen R ~ u m(2) =
E,GHJ,. Ein dosenartiges Volumenelement NOPQ des Grenzflachenrauines (3) hat die GroRe vn,,;dt. d f ;
die Zunahme von 8 in diesemVolumenelement wahrend des ZeiteIements At
ist %l - 89,d a in dem Raumelement
zucrst K , mit seiaem Feld S2 und
ist.
nachher K, mit seineni F d d
Es wird also
z1
Beim Grenziibergang At 0 schrurnpft der Grenzflachenraum (3) zur Grenzflachc EIJl zusanimen ; der Raum (2) erstreckt sicli dann bis z w Grenzilkcbe. Man
erhalt also fur das ubcr den ruhenden Raum MGHL (einschliel3lich der bewegten
Unstetigkeitsflache ZJ1) erstreckte Integral :
--f
Herrn Dr. H. E p h e s e r danke ich fiir einige klarcnde Bespreehungen des Themas.
H a n n o v e r , Wilhelm-Busch-StraI3e 7.
(€hi der Redaktion eingegangen am 13. Mai 1949.)
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