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Die elektrischen und thermischen Eigenschaften von Metallen im Magnetfeld.

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142
Annalen der Physik. 5. Folge. B a d 42. 1942
Dde ekkW8cherr urrd themn68cAen E d g e n 8 c A a m
von Metallerr 4 r n Hagnetfeld
Vorr H a x K o h l e r
(Mit 1 Abbildung)
Teil L Ableitung der Grundgleichungen
fir die elektrische und thermiache Btromdiohte
Eine friihere Arbeit l) behandelt denselben Gegenstand. Die
vorliegende Untersuchung ist als Fortsetzung dieser friiheren Arbeit
anzusehen, dJe in Zukunft mit (I)bezeichnet werde. Als Grundlage
der Untersuchung dient die Elektronentheorie der Metalle. Die
Grundvoraussetzungen und auch die Bezeichnnngen sind weitgehend
dieselben wie in (I). Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die
sogenannte statistische Fundamentalgleichung, die in folgender Form
geschrieben werden kann :
3
2 (F,*
Dabei ist f = f, - e aE
a to
@l
-
die gestorte Ver-
2=1
mit den Komponenten F,*,F,*, F,*
teilungsfunktion. Der Vektoi
1
-
<
ist gegeben durch: F: = Fi - - grad, (i = 1; 2,3). Der Vektor Q
bedeutet die elektrische E'eldstarke, e die Elementarladung. Der
Integraloperator 0, beriicksichtigt die Streuung der Elektronen im
Gitter. Er ist definiert durch:
(1 c)
mit:
(14
0, @ = &[V(Q,
S?#)[@(a:,
- @(s?)]dtip
v (a,R') = v (S?', 9)
=
II:(S?', 9)fo' (1 -f,,
.
Darin ist W (a',9) die ubergangswahrscheinlichkeit e k e s Elektrons
durch Streuprozesse vom Zustand mit dem Wellenvektor 9' zu einem
1) M. K o h l e r , Ann. d. Phys. [5] 40. S. 601. 1941.
LM.Kohkr. Die elektrischen
und thermischen Eigenschften usw.
143
solchen mit dem Wellenvektor 9. Die GroSe T' ist ihrem Wesen
nach stets positiv. Mit 0, ist der vom Magnetfeld @ abhilngige
Differentialoperator
& . g. ([b 83grad@)bezeichnet.
wiesen worden, daS fur beliebige Funktionen @, und
Beziehungen gelten:
s
Integrale der Form
-
/s'.
(@I, @2)
(ab)
folgende
J q o 0 @ 2 a T =I Y q o 0 , q a m .
( 28)
durch
I n (I)iet be-
=
Q2)
S
ab.
0, O2d T@ kiirzen wir in Zukunft vielfach
Die GL ( 2 4 lautet in dieser Schreibweise
@,I.
0 0 @l
d t w = - (@,,
@l)
= - - J1 ~
(R,R~~'-
q ) ~ a ~ , a ~ ~ ~
2k T
Die GrOBe (a,,@,) kann bei von Null verschiedenen obergangswahrscheinlichkeiten W ($2, $3") nur verschwinden, wenn
= 0, daher
kann in (2b) s k t s das <-Zeichen geschrieben werden.
J q o , q aTR= -J q 0, a1a T R = J
@2
0, ( - 8)q
a ?*.
Die Gleichungen fur die Iiomponenten der elektrischen und thermischen Stromdichte lanten nun :
Fiir manche Zwecke ist es giinstiger, nicht die Busdriicke (4a) bie
(4d) zu verwenden, sondern .die folgenden, die auch in (I)vorkamen:
144
Annalen der Physik. 5.Folge. Band 42. 1942
(5b)
ql:= - J a; + 0, (- a)a; d r ,
qai= - J 'y: (oo+ 0,(- Q)) d r e ,
(54
9
:
;=
(5 4
s14'=-JW;(oo+
(5 a)
(00
f
-10;(o0+ 0,
W; drR,
(-
ol(-@))W;dr@.
Darin sind Ok+und Wk+die durch Feldumkehr aus ak-nnd Wkentstehenden Funktionen.
,
Uiese Gleichungen lassen sich mit Hilfe der aus (la) und (lb)
folgenden Beziehungen:
(5 0)
(00
+ 0, (a)Wk+
=
(E- 0 (0, + 0,(a)@k+
und:
folgendermaSen umschreiben :
(5a')
~ ~ ~ ~ ~ ) = - J ' ~ ~ ( O o~l d+ rOe ,, C - ~ ~ )
(5b')
sf;(@)
= -J@;
(o,, 4-ol(- @)) @;
(5C')
s:(@)=-JO;
(O0+o1(-@))@;(E- W r , ,
(5d)
~~~(~)=-la;~o,,+ol(-~~)~~(~-~
( E - cJdrfi,
Bus dieser Darstellung liest man sofort folgende Beziehungen ab:
(6 4
(6 b)
(6 c)
$;(@)=sf;(-gj~
(n=
Jq:; (8) s:; (&)
-
(Q)=
1,4)
7
q;(-
&)
.
Diese Gleichungen gehen iiber die entsprechenden Aussagen in (I)
hinaus. Dort ist nicht bewiesen worden, daS S z und :#
: identisch
sind. I n (I) wurde gezeigt, daB die symmetrischen dnteile der
Tensoren 2. Ranges S"' und SU gerade Funktionen des Magnetfeldes
sind, wiihreud die antisymmetrischen Anteile dieser Tensoren ungerade Funktionen der Komponehten des Mngnetfeldes sind. Aus
( 6 ~ folgt
)
dasselbe nun such fur den Tensor Sn. Durch die Identitiit von S ( R und S@)wird die Zahl der freien Konstanten von 36
allgemein auf 27 herabgemindert.
M.Kohler. Dic elektriechen und thsrmischsn E
i
g
e
n
s
c
h
a
m w w . 146
Fur praktische Zwecke meist branchbarer sind die an6 (3a)
und (3b) folgenden . Gleichungen:
F:
=z
(wikJ ,
+
k=l
3
(7b)
(Jw)ik=l
mit:
3
3
m = l
R
\
Darin sind wi, die Komponenten des zu 2esS"' inversen Teneora
Der symmetrische Anteil dieses Tensors entspricht dem Tensor dee
elektrischen Widerstandes im Magnetfeld. Die GrbSen mi, mien
die Komponenten des zu A inversen Tensors. Sein symmetrischer
Anteil ist der Tensor des thermischen Widerstandes. Ans ( 6 4 bie
(6 c) ergeben sich folgende Beziehnngen:
Diese Beziehungen waren schon in (I) angegeben. Aus (7c) nnd
(7 d) folgt noch (in Matrizenschreibweise):
__
lz = w-1
(9)
T
' & *
w.
Im Falle verschwindenden Magnetfeldes sind die Teneoren S(b, 8
'
und S'S nach ( 6 4 nnd (6c) symmetriech. Weiter folgt aus (8dj:
Ta,, = nki.Setzt man dies in (9) ein, so ergibt sich:
n=l
n = l
h m b n der P h w . 6. Folge. 42.
n=l
10
146
Anmkn der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942
Das gewiihlte Koordinatensyetem entapreche dem Hauptachsensystem
des Tensors des elektriechen Widerstandes. Fur i = k = 1, 2, 3
ergeben sich aus (10) Identititen, fiir i k folgt dagegen:
+
W i i Eki
= Wkt Eik
(i
*k
= 1, 2, 3),
oder umgeformt:
Nun' sind antisymmetrische Anteile von Tensoren 2. Ranges in den
praktisch vorkommenden Metallkristallen schon aus Symmetriegriinden verboten. A d Grund der G1. (11) ist man aber in der
L g e , zu beurteilen, unter welchen Urnstiden der Leitungsmechanismus fUr den Tensor E einen antisymmetrischen Anteil zulafh.
Das Verschwinden des antisymmetrischen Bestandteils von B wird
durch den Leitungsmechanismus erzwungen:
a) Im Falle der Isotropie des elektrischen Widerstandes, also
wii
= wkk,
b) allgemein, wenn der symmetrische Anteil von E gleichzeitig
mit w auf Hauptachsen ist.
In allen anderen Fallen verlangt der Leitnngsmechanismus
nach (11) einen von Null verschiedenen antisymmetrischen BestandteiL I n den praktisch vorkommenden Metallkristallen ist es aber
so, daS E und w schon aus Symmetriegriinden gleichzeitig auf Hauptachsen sind, und da6 der Fall b) zutrifft.
Nun zuriick zum allgemeinen Fall nichtverschwindenden Magnetfeldes. Aus (7c) und (7d) folgt in Matrizenschreibweise:
2eZS[a)($j)= T w - ' E = I 7 w - l .
Bezeichnen wir die transponierten Matrizen durch ein Kreuz, so
folgt aus SaJ(-Q)= S4)+
@) unter Verwendung von (Sa) schlieblich:
&+ (- Q)= w-l($j) 6 (Q)
w (Q).
(12)
Hieraus ergibt sich mit Hilfe von (8d) sofort die GL(9). Die G1.(9)
ist somit in (12) und (8d) enthalten. Die G1. (12) driickt die Tatsache aus, da6 SaJein Tensor 2. Ranges ist, dessen symmetrische
Anteile gerade und dessen antisymmetrische Bestandteile ungerade
Funktionen der Magnetfeldkomponenten sind. Der Tensor E und
analog auch der Tensor 17 hat diese Eigenschaft, im allgemeinen
nicht, da B + (- Q)= E(Q)nur dann gdt, wenn E und w miteinander
vertauschbar sind.
Die G1. (8d) entspricht den sogenannten
2. T h o m s o n schen Relationen im Magnetfeld. Ihre .Diskuseion
ist schon in (I)gegeben worden.
M . K o h L . Die elaldrischen und thermischm Eigenschajkn usw. 147
Teil 11. Alleemeine Auesegen iiber die Tensoren
euf arund der Ungleiohung (ab)
Aus dem Bestehen der Ungieichung (2b) erkennt man sofort
den positiv definitiven Charakter der Tensoren 5'") und S(a. Denn
der spmetrische Anteil des Tensors Scl) z. B. ist gegeben durch:
9
;
:(symmetrisch) = - ml 0, mkd r , .
Dieser Zusammenhang zwischen 5':; und den Vektorkomponenten QZ
und Qk besteht in jedem rechtwinkligen Koordinatensystem, also
auch z. €3. im Hauptachsensystem von B1)
(symmetrisch). In diesem
sind aber nach (2b) die Gr6Ben St:' (i = 1, 2, 3) positiv. In derselben Weise folgt auch, daB der Tensor S4) positiv definit ist.
Fur den Tensor S2' gilt ein analoger Satz nicht, da der Faktor
(E - 5) unter dem Integral bei der Integration iiber die Energie E
sowohl positive wie negative Werte annimmt. Bus dem positiv
definiten Charakter des Tensors S1)folgt das positive Vorzeichen
der Jouleschen Wiirme bei beliebiger kristallographischer Orientierung des elektrischen Stromes und des Magnetfeldes. Daraus,
daB der Tensor S4) positiv definit ist, folgt nicht ohne weiteres
dasselbe fur die thermische Leitfahigkeit, da inl Ausdlvck fur A
in (i'e) auch der Tensor S@)enthalten ist. Urn nun den positiv
definiten Charakter der thermischen Leitfahigkeit nachzuweisen,
schreiben wir die pro Zeiteinheit und Volumeinheit entwickelte
Entropiemenge an [vgl. (I) GI. (lsa)]:
Nun bilden wir denselben Ausdruck, an Stelle der Komponenten
der elektrischen Stromdichte aber die Komponenten F, des elektrischen Feldes eingefiihrt. Es ergibt sich:
Hierin ist U die pro Sekunde und pro Volumeinheit entwickelte
:i
Wiirmemenge
2
k=1
(Jp
F, -
1- a
a(JJk
xk
, und
Entropiestromdichte, die durch (13) in
folgt an Stelle von (13):
sk'sind die Komponefiten der
(I).gegeben sind. SchlieBlich
10;
148
Alrnalen der Physik. 5. Folge. B a d 42. 1942
Die Ausdrticke (13) und (13a) sind aquivalent. Es werde nun der
Nachweis erbracht, da6 die quadratische Form (19a) positir definit
ist. Die Zahl der Variablen dieser Form ist 6. Wir betrachten
1 aT
nun die Komponenten F, nnd - T ax, ( I = 1,2,3) als Komponenten
eines Vektors g in einem sechsdimensionalen Hilfsraum, bezogen auf
ein kartesisches Koordinatensystem, t, [a= 1,2
6). Die ersten
3 Indizes sollen der Reihe nach den F, zugeordnet werden, nnd die
Indizes 4, 5, 6 der Reihe nach den
aT (1 = 1, 2, 3). In entT ax,
sprechender Weise sprechen wir von einem sechsdimensionalenStromvektor i,dessen erate 3 Komponenten gleich der elektrischen Stromdichte, und dessen letzte 3 Komponenten gleich (JJi - J i (i= 1,2,3)
sind. Dann li6t sich der Zusammenhang (3a) und (3b) in folgender
Weise ausdrllcken:
.. .
-
$
6
(14)
i,= z p , , g ,
(P = 1 , 2 . . . 6 ) .
P= 1
Die 6reihige Matrix p a p hat folgendes Aussehen:
s“’
s”’$“’$‘a’ 9 2 ’ $0)
11 la
13 11 l a 1s
,go 91)s(1)
,qa)
ai za B ai za ZB
(1) s“’ 91’ S(2)s‘a’ &2’
S S l sa 33 81 sa m
(2) #a) ,p)
9 4 ) 9 4 ) S(4)
4 1
r.3
1s
11
la
1s
p)$(a) , 9 4 ) ,94) 9 4 )
ai za zs 21 za 2s
(2)
s
3
1
33
9 2 ) 814) 9 4 ) , L W
s3 31 s2 33
Die Aussagen (1 a) und (1 b) der statistischen Fundamentalgleichnng
lassen sich auch sechsdimensional formulieren. Zu diesem Zweck
fassen wir die 6 Gr66en 0,.und Vi (i = 1, 2, 3) als die 6 KompoE-i V - ato
af o
nenten eines Vektors q, und die 6 GroSen 0.’ aE nnd
(i = 1, 2, 3) als Komponenten eines Vektors b a d . Dann lauten die
G1. (la) und (1 b):
(U = 1, 2 . 6).
(15)
(0, O,)q, = b,
Die Komponenten des Ausbreitungsvektora 9 spielen in unserem
sechsdimensionalen Hilfsraum die Rolle von Parametern. Die gestorte Verteilungsfunktion der Elektronen wird in sechsdimensionaler
Schreibweise:
+
. .
M . Kohler. Die elektrischen und thermischen Eigenschcften usw. 149
Hierin ist die rnride Klammer eine Abkiirznng fur das skdare
Produkt der beiden Vektoren im 6 - dimensionalen Hilfsraum. . Der
Stromvektor j l%St sich nun folgendermaBen ausdriicken :
Ersetzen wir hierin ba durch aus (15) folgenden Ausdmck, so erhiilt
man die G1. (14), worin die p,, folgende Werte haben:
(16)
Pa,
4- 2 e2Jq8
+
(0, 0,)
!la
dQ.
Die Formel (13) lautet nun in 6-dimensionaler Schreibweise:
G
a,j3 = I
Von dieser quadratischen Form kann nun 4eicht gezeigt werden,
da6 sie positiv definit ist. Wir bringen diese Form durch eine
orthogonale Transformation im Hilfsraum auf Hauptachsen, was bekanntlich immer moglich ist. Der Zusammenhang (16) zwischen
den Komponenten von p und den Vektorkomponenten q wird dadurch
nicht zerstort, da es sich urn einen tensoriellen Zusammenhang handelt.
Kennzeichnen wir die Komponenten im Hauptachsensystem durch
einen Strich, so gilt an Stelle von (16):
Der Operator 0, liefert in diesem Ausdruck nach (Zc) keinen Beitrag, und kann daher weggelassen werden. Die rechts stehenden
GroSen konnen aber nach (2b) nie negativ werden, womit bewiesen
ist, daB die Form (17) positiv definit ist, denn der positiv definite
Charakter einer Form ist eine vom Ifoordinatensystem unabhingige
Eigenschdt. Physikalisch heiBt dies, daB die Entropie bei einem
beliebigen thermisch-elektrischen Vorgang in einem Metall nie
abnehmen kann. Im Fall verschwindenden elektrischen Stromes
3
1
folgt aus (13) fur die Entropieandernng: T*
2 dikdaci.
-.ar
aT
i,k=l
Da diese GroSe nach dem soeben gewonnenen Ergebnis auch nie
negativ sein kann, folgt also der positiv definite Charakter der
thermischen Leitfagkeit.
Teil III. Ausaagen iiber die Abhiingigkeit der Tensoren
von der Gr65e dea Magnetieldes
Wir zeigen zunachst, dab die Tensorkomponenten Sff’ und
Sjf’(i= 1 , 2, 3) bei steigendem Magnetfeld monoton kleiner werden.
s3f
150
A n d m der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942
EB wird bewiseen, da8 Integrale der Form:
S i i = - J a ( E ) @ i o o aidr.,
(18)
im Magnetfeld bei- festgehaltener Magnetfeldrichtung nur monoton
abnehmen konnen. Hierin ist cp(E) eine beliebige, aber far siimtliche E-Werte positive Funktion. dee Argumentea E. Bei verffihwindendemMagnetfeld mien @? (k = 1,2,3) die Usungen von (1a).
Dann besteht die Identitiit:
+ 0,)
*
= OO
Durch Differentiation nach dem Absoldwert H des Magnetfeldes,
die wir dmch einen Punkt andenten, folgt unter Berticksichtigung
der Tatsache, da8 0, von H unabhllngig ist:
(00
@k
(O~+O~)~~+o~@~Po~
Nun bt der Operator 0, eine homogene lineare Funktion der Grii8e
dee Magnetfeldee H, es iet daher 0, = $O1. Somit folgt:
(O,+O,)dk+
(19)
1
+'@k=
0.
die Ableitnng von Sii nach H. Unter Beriickeichtigung von ( 2 4 folgt zunlichet:
Nun bilden w i r
sii
a
- 2Ja (E) diooqd.5,.
Ereetzen wir hierin nun 0, d,.durch den ans (19) folgenden Auedruck,
80 ergibt eich:
+
Sii= ~ J V ( E ) ~ Odidre+
,
- ~ Q ' ( E ) ~Didre,
~O,
oder mit Hilfe von (2c):
siim~2Jq(qqoI
didTu=-2 J a 4 ~ d i o , qaTu..
Nun ereetzen wir 0, ai durch den am (19) folgenden Auedruck.
Ee folgt:
(20)
Sii = 2 H
S
Q'
(El diOo did r e .
Da die rechte Seita nach Formel (2 b) negativ ist, folgt also, das Sii
eine monoton abnehmende Funktion der S t i k e H des Magnetfeldes ist. Fiir Ei m 0 wird fiii a 0. Urn nachzusehen, w a in
~ diesem
Fall 10s ist, bilden wir auch noch die 2. Ableitung von Sii nach
dem Magnetfeld. Es wird:
sii- 2 J ~ p ( ~ ) d i ~ 0 44. a~TJ I~I(+q i + o , a ~ d r ~ .
M.Kohbr. Die ekktrisclrsn und
thcmi6ohcn E i g e n d a W w w .
161
Ebenso differenzieren wir die QL (19):
(O,+O,)&,.+ B2 O l d p 0 .
Dm 2. Integral im A d r u c k ftk Sii W t aich nun d m h
zweimalige Anwendung der Formel (19a) umformen in:
Somit:
F'iir H = 0 wird S;, anch negativ. Die beiden @lieder in der
Klammer stehen aber fILr endliches H gegeneinander, und ee iat
mBglich, daS Sti anch Nullstellen beeitzt, und eein Vodchen
aecheelt. Dae wtkrde geometriech h e a n , da6 die Kme, die S,, in
Abhhgigkeit von H angibt Wendepnnkte aufweisen kmn D
i
w
nnd Lf), die von der Form (18)
Ergebnis lii6t eich anwenden a d
sind. Die Tensorkomponenten &'!:Iund #)nehmen also im w
e
&
feld monoton ab bei steigendem Magnetfeld. Physikaliech bedeutet
dies, ds6 die elektrieche Leithhigkeit bei festgehaltener Eahtung
des elektrischen Feldes im zunehmenden Magnetfeld monoton abnimmt. Die GriiSen $:' haben keine einfache phyeWsche Bedentang.
Bei den ilblichen Widerstandsmesenngen an Einkristallen im Magnetfold wird aber im allgemeinen nicht die Richtmg dee elelttrieohen
Feldes, sondern die Richtung des elektrischen Stromes bei einer
Anderung der GroBe des Msgnetfeldes festgehdtea Entsprechend
wird bei den Yessungen der thermie-chen L e i t f i k e i t anter a d b
batischen Bedingungen (Vermeidang seitlicher Wiirmeableitung) nicht
die Richtnng dee Temperaturgadienten vorgegeben, sondern die dea
Wiirmeatromee. Letzterer hat stets die Richtung der S ta b d u e . Um
nun anch Aussagen ilber die h d e r u n g dee elektrischen and thermiechen
Wideretandes mit dem Magnetfeld zu bekommen, differenzieren wir
den Ausdruck (17) far die Entropielindernng nach R . Eh folgt
dann, wenn wir den Ansdruck (17) mit A a b h n e n :
6
1
A = -T
2
+ (Pas + P ~ J S ~ S ~ I .
[Papgag@
a , @ =1
Aderdem differenzieren wir die GI. (14) bei konstant gehaltenem
Stromvektor j :
A w l e n der Physik. 5.Folge. Bawl42. 1942
152
Damit wird:
1;
In dem Spezialfall, wo die 2. Summe auf der rechten Seite dieser
Qleichung verschwindet, laSt sich leicht zeigen, da6 A nur positiv
sein kann. Da im Hauptachsensystem des Tensors p die GroSen pa,
s-tlich
negativ sind, folgt sofort der positiv definite Charakter der
6
quadratiechen Form
-
2 pa, g, gs . Die 2. Summe auf der rechten
a,d=l
Seite von (22) verschwindet nun in dem Falle, wo pa, =. pFa, d. h.
wo die vorkommenden Tensoren symmetrisch sind. Dies 1st aber
im Magnetfeld im allgemeinen gerade nicht der Fall. In den
Spezidfdlen aber, wo der elektrische oder der thermische Strom
parallel einer mehrzshligen Achse flieBt und das Magnetfeld dieselbe Richtung hat, liefert die 2. Summe in (22) keinen Beitrag.
Dies sieht man am besten ein, wenn man die Stromrichtung mit
der Echtung einer Koordinatenachse, etwa mit der x3 -Achse
zusammenfallen laSt. Handelt es sich um den Fall eines flieSenden
elektrischen Stromes, dann ist (weil die x,-Achse eine mehrziihlige
Symmetrieachse ist): g, = g2 = g, = ga = 0 . AuBerdem bei isothermer
Fiihmng des Leitungevorganges g, = g, = g, = g, = y, = g8 = 0 . F u r
die Komponenten des Tensors p folgt: p,, - p,, = p,, - p,, = 0 .
Man sieht dann sofort, daB die 2. Summe in (22) keinen Beitrag
liefert. Diese Aussage ist in einem Koordinatensystem bewiesen,
nnd gilt daher fiir jedes nndere orthogonale Koordinatensystem,
da die 2. Summe in (22) eine Invariante gegeniiber Koordinatentransformationen ist. Nun zum Fall eines fliegenden thermischen
Stromes. Es ist: gl a ga = go = g, = g1 = g, = g, = g, = 0 , auberdem Pl, P S l pa, - p,, = p,, - p,, = p,, - p,, = 0 . Da definitionsgemif\ pS = p , = S z ist, ergibt sich, dab die 2. Summe in (22)
such in diesem Fall keineu Beitrag liefert. Damit wird a) im Fall
des parallel zum Magnetfeld flieSenden elektrischen Stromes:
-
-
b) im Fall des parallel zum Nagnetfeld flieSenden elektrischen
Stromes :
M. Kohler. Die slektl.isohen
und hmischen EigePurcbjtelc usw.
158
Es bezeichnen waB(u,/? = 1,2,. ..G) die Komponenten des z a p inversen
Tensors, dessen waB(a,/? = 1,2,3) den elektrischen Widerstandstensor,
and dessen Komponenten w (a, = 4,5,6) im Anegangskoordinatena.@
system den thermischen Widerstandstensor angegeben. D a m folgt
sofort aus (23a):
A='
w,ji > 0, oder u i , > 0 .
(244
Der elektrische Wideratand ist in dem hier betrachteten Fall eines
longitudinalen Magnetfeldes parallel zu einer mehrzilhligen kristallographischen Achse eine monoton wachsende Fnnktion der Stllrke
des Magnetfeldes. Dies folgt tibrigens auch sofort aus (20)
Aus (23b) folgt:
c$' 3
ii = - (ib,
2
?!, -k
2
$6696
+ '.$Sg3g6)
*
Die rechte Seite ist nun, wie oben schon gezeigt, stets positiv
Daher folgt
w gs> 0.
(24b)
D. h. such der thermische Widerstand ist in dem Fall eines longitndinalen Magnetfeldes parallel einer mehrziihligen Symmetrieachse
eine monoton wachsende Funktion der Starke des Magnetfeldes.
Teil IV. Ableitungen weiterer Ungleiohungen
Wir beweisen zuniichst folgende Ungleichung:
(25)
(@l,@J2*(@17@J
*
(@z,@*).
Diese Beziehung erscheint aderlich der sopnannten Schw arzschen
Ungleichung identisoh. Zum Beweis gehen wir aus von folgender
evidenter Ungleichung:
Durch Ausrechnen der Determinante ergibt sich sofort die Richtigkeit
der dnrch (25) ausgedriickten Ungleichung. Diese I&& sich auch in
der Form schreiben:
i
(@i,@il(@i,@J
( 0 2 9 @,)(@2,@J
In dieser Form kist sich ein analoger Satz fur n beliebige Funktionen
154
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942
Die links stehende Determinante ist analog der sogenannten
Gramsohen Determinante fIir die n-Funktionen all. . .
gebildet.
Wie im Falle der Gramschen Determinante, so gilt anch hier dae
Qleichheitazeichen in (26) nnr, wenn ewischen den +Funktionen
eine lineare Abhtingigkeit beeteht. Im allgemeinen wird in (26)
daher das > -2eichen stehen.
Znm Beweis diesee Satzes betrachten wir die n-Funktionen
@a (a= 1,2.. .n) a l e Komponenbn eines Vektore in einem karthesi=hen Koordinatensyatem des n-dimensionalen Ranmes. Dann bilden
die Intagrde der Form (a,,,
0@)
die KomponenteE eines symmetrischen
Tensors 2. Bangee in diesem Ranm. Die Deterdnante an8 den
Komponenten eines Tensors 2. Ranges ist bekanntlich eine Invarianh
gegeniiber Drehnngen des Koordinatensystema Wenn wir (26) im
Hanptachseneyetem dieses Tensors bewieeen haben, so gilt sie anch
flLr die nrsprlinglichen Funktionen @, . @,
Im Hauptachsensystem
sieht man die Richtigkeit von (26) aber sofort ein. Denn der Wert der
Determinante ist in diesem Fall: (aI',
O1'),'(a,', 0,'). .(0;,a,,'),
wo Q1',
0.' die a d die Hanptachsen transformierten Vektorkomponenten rind. Nach (2b) folgt die Bichtigkeit von (26).
.. .
.
...
Teil V. PhyaikaliaoheBoleerrrnmn a m den Ungleichungen (26) und.(26)
Zndchst kann bewiesen werden, daS der elektrische nnd
thermische Widerstand im schwachen Magnetfeld gr6Ser ist, a l e ohne
Magnetfeld, bei beliebiger kristallpgraphischer Onentierang von Strom
rind Magnetfeld. Zn diesem Zweck verwenden wir dae Hanptachsensystem des .symmetrischen h t e i l s des Tensore pa, (a,
@ = 1,2, . . . 6).
Wir kennzeichnen die Komponenten im Hauptachsensystem wieder
dwch einen Strich. Hat nun der Stromvektor i,(a= 1,2, . . 6) im
Banptachsensystem dieRichtnng der xl-Achee, so intereeeiert me t&.
Dies8 &60e ist allgemein gegeben durch:
.
I
,
,
I
P26
.- PUP'
. . . . .. .
* * *
- PI6 - P26 . . Pa
*
Da wir ME nnr fllr die Widerstiinde im echwachen Magnetfeld
intmessieren, genngt eg bei der Entwicklnng der Determinanten bis
m Qliedern 2. Ordnung in den antisymmetrischen QrirSen. pas@ @)
+
M.Koliler. Dic elakkirolrm tlnd tkrmischen Eigmdq3crr w w .
155
zu gehen. Denn die pas sind in 1. Niiherung proportional zu H.
Dies sieht man ein, wenn man bedenkt, daB Sikh die antisymmetrischen
Teile eines Tensors 2. Ranges unter sich transformieren, und dies9
GroSen im ungestrichenen Koordinatensystem nach den Formeln (8)
und (6) in 1. Nghernng proportional zu H sind. Ea folgt:
‘2
‘2
Pl,
PI3
Setzen wir nun qm= q r ) + qf’, wo q r ’ die Lasungen von (la) bei
verschwindendem Magnetfeld sind, so besteht die Gleichung:
(0,
+ 0,) (qP, + a:’)
= 0,qr.
Daraus folgt:
0,4,= - O&
(28)
AuBerdem ist :
(a,. 4,)
(29)
Weiter ist:
(4,7
a,)
=
(4:.
a?)
= (4,.
):4
*
’+2 (!IT’,4:’) +
(1)
(1)
7
4, ) *
Durch Vergleich mit (29) folgt:
ah“)
(1)
= - (4,
7
(1)
4, ) .
Damit wird:
(30)
(4,1
4,) = (daO’,
4:’) - (ah“,
!t)>
*
Aus dieser Gleichung folgt sofort wieder, daf3 die GroSen pa, im
Magnetfeld stets kleiner sind ds im Fall verschwindenden Magnetfeldes.
Bei schwachem Biagnetfeld ist (Q’, eine gegeniiber [&’),
kleine Qr66e. Wir kbnnen nun in geniigender Ntihernng s c h i b e n :
e))
8))
AnnaZen der Physik. 5. FoEge. Band 42. 1942
166
Ee bleibt nun zu zeigen, daS der Zahler des Brnches in der eckigen
Klammer positiv ist. Zu diesem Zweck verwenden wir die Beziehnngen:
' = 2ea(q1, q;), pba-
Paa
- 2ee1qi~,iadr,=-
2e2(qi,
da'")
( o c + ,1~
, 2=
,-..6).
Der Ziihler in der.eckigen Klammer von (32) ist nun poeitiv, wenn:
[
(33)
(69 q;) (!I;!?
I;
-)- (q:"', Q')
- (qb, !$ (k, !I;)+I;,4)(q;, q y y - - (&, !I;)
((!
I
I
;
;
,
)- (q;, 4:v)az
0.
*
*
* *
* *
Es hl3t sich nun zeigen, da6 die Ungleichung (33) anf Grund der
Ungleichnng (26) zn Recht besteht. Setzt man in (26):
q=q,
ClY
9
oa=q:
so ist also:
(OC
= 2,
3,
* *
- 6),
- - (q;, 4:)')
( q y , q:") <q;, P:"')
*
(q;, 4:)') (q;, !I;)* ' * (q;, q;)
I
. . . . . . . . . . . zo.
. . . . . . . . . . . .
(q;, 4;") (q;, 4;) - - * &* q;) I
Da das gestrichene Koordinatensystem aber dem Hauptachsensystem
-
+
des Tensors (s,qg) entspricht, so sind die Gr66en (qa, qg) 0 f t h a! p.
Entwickelt man die Determinante nun nnter Beriicksichtigung dieses
Umstandes, so folgt sofort die Ungleichung (33), die zn beweisen
war. Damit ist aber bewiesen, da6 w:, im schwachen Magnetfeld
Lnnimmt. Sind nun cap (a,/3 = 1, 2 . . . 6 ) die Koeffizienten derjenigen
Transformation, die das Hauptachsensystem . auf das Ausgangskoordinatensystem znriickdreht, so transformieren sich die Komponenten des Tensors 2. Rnnges wag folgendermaSen:
6
I
2
a' y
6
@'
Y#d=l
d ' wy d
=
2
' 0
y
'
y '
w; y
(a!,/?=
1, 2,
... 6 ) .
y=l
Insbesondere ist:
(34)
Y
Setzen wir foil = wCoy
+ 20")'
wo w:: die GroSe w I Y fiir verYY
YY'
schwindendes Magnetfeld ist, so ist oben bewiesen worden, d d wFl'> 0.
M.Kohler. Die elektrischa
und ulermischen Eigenschaften usw.
157
Damit folgt aus (34):
6
ti
y = l
y=l
Y
Damit ist bewiesen, dab sowohl der
Es ist also w e , > w::.
elektrische Widerstand w0,(a = 1, 2, 3), wie auch der thermische
Widerstand wna(a!= 4, 5, 6) im schwachen Magnetfeld bei beliebiger
kristallographischer Orientierung des Magnetfeldes nnd der Stromrichtung zunehmen.
Im Teil I11 waren fur spezielle kristallographische Orientierungcn
des longitudinalen Magnetfeldes tiefergehende Aussagen abgeleitet
worden. Kehren wir kurz noch einmal zu diesem Fall des longitndinalen Magnetfeldes parallel einer mehrziihligen kristallographischen
Achse zuriick. Aus (25) folgt:
(4,f 4.Y 5 (4,, 4,) .(go7 4ia) *
(35)
Daraus ergibt sich unter Verwendung von (20):
~
oder da - $,
4 -.
S!P""(-&),
positiv ist:
- H P o a S 2Pa,
oder
d log P",
-
(36a)
5 2
dlogH
.( = 1 , 2
*
. 6).
I m Fall des parallel zum Magnetfeld fliefienden elektrischen Stromes
ist nach (23a):
-~
d 1O~Pas-=
5 2.
(36b)
d log H
dlog H
Im Fall des parallel zum Magnetfeld fliebenden thermischen Stromes ist :
-
f)33
5 Pa, - Ps
- 2 H p s = 2e2 2 H
2P,6
- Sgs-
7
2e24Sc= 4
~
~
~
Somit nach (23b):
-
HA
2
1
2
7(p33g3 f
a
P66g6
+ 2P36gsg6) =
'
A
'
Also :
d log A
d log_
wee~
.~
=_
5 2 .
(36 c)
dlog H
dlogH Die Ungleichungen (36b) uud ( 3 6 ~ sind
)
trivial fur das Oebiet kleiner
magnetischer Feldstarken. Im Gebiet g r o h r Widerstandsanderung
(grofier magnetischer Felder) folgen aus diesen Ungleichungen wertvolle Aussagen. 1st der Widerstand ohne Magnetfeld zu vernachlissigen,
.
158
Anmlen der Physik. 5.Folge. Band42. 1942
.
nnd ist w = B Ha, 80 folgt an8 (36b) sofort n 5 2 *. Dasselbe gilt
filr den thermischen Widerstand. In dem Qebiet der magnetischen
Feldstlirke also, wo der Widerstand (elektrischer oder thermiacher)
im Magnetfeld groS ist gegentiber dem Widerstand ohm Magnetfeld,
ist der Exponent n des Potenzgesetzes, das die Feldabhlingigkeit
des Widerstandes angibt, kleiner, oder hiichstens gleich 2.
1st der Wideratand ohne Magnetfeld nicht zn vernachliiesigen,
so schreibt man die Ungleichnngen (36b) nnd (36c) am besten in
der Form:
(364
w s -W
.
-H
2
In Abb. 1 ist w in Abhangigkeit von H dargestellt. Betrachten
wir die Bedeutung der Ungleichung (36d) in einem Pnnkt P der
Abb. 1. Zur geornetriscben Erlfinterung
der Ungleichungen (36) und (37)
Kurve. DieTangente an die Kurve im Punkt P schneide die H-Achse
in Q. Der FoSpunkt des Lotes von P anf :ie H-Achse sei R. Dann
besagt (36dl datl die Neigung der Tangente PQ gegen die H-Achse
kleiner oder hochstens gleich ist dem Wiiikel der Verbindungslinie
der Mitte von 0 Q mit P, oder anders ausgedriickt: der Schnittpnnkt Q
der Tangente mit der H-Achse liegt links der Mitte M der Strecke 0 R.
Eine weitere physikalische Anssage folgt a m der Ungleichung:
(qa, q : ' ) 2 5 (qo,
do) (qh"',
noo">-
Daraus ergibt sich unter Reriicksichtigung von (20) und (29):
(0)
. < pa0
- Pas2~
Fiihrt man an Stelle der Leitfahigkeit den reziproken Wideretand
ein, so ergibt sich:
(37)
M.Kohler. Die elekttiachen und
thetmiden Eigenschjten
urn. 159
Eine geometrisclie Deutung dieser Ungleichung lii6t sich an Hand
von Abb. 1 geben. Man trage vom FnSpunkt R nach links die
@)
ab, bis zum Punkt T.
Strecke 2 8 -"
Der Schnittpunkt Q der
"a a
Tangente mit der H-Achse muS dann links des Pnnktes T liegen.
Solange
3<
aa
und (36c). Fiir
4 ist, bedeutet (37) eine Verscharfung gegennber (36b)
s$>
4 ist es nmgekehrt.
aa
Eine weitere physikalische Konsequenz ergibt sich aus der Ungleichung [unter Verwendung von (28)j:
(J4,0,qgdr,)z = (qa, $;))%
Oder mit Hilfe von (30):
((la,4,) (!I$
4:'),
p:r (antisymmetrisch) 5 pa o. (p::
oder
* PI*
(e
- PkV)
Diese Ungleichung werde nun auf einen isotropen Korper im transversalen Magnetfeld angewandt. Das Magnetfeld habe die Richtung
der x,-Achse. Dann lauten die Gleichungen fur die Komponenten
der elektrischen Stromdichte :
Daraus folgt fiir den parallel zu z1gemessenen elektrischen Widerstand:
(39)
Die Ungleichung (38) lautet in diesem Fall:
Ersetzt man nun die Gro0e
1
--
durch den aus (39) folgenden Aus-
v11
druck
1
1
uI -
1+
'
1%)
\ 1
,, so folgt
-w$
1? d. h. der elektrische Wider-
011
stand des isotropen Korpers ist im transversalen Magnetfeld bei beliebiger magnetischer Feldstiirke im dgemeinen gro0er als ohne
*Magnetfeld.
160
Annalen der Physik. 5.Folge. Band 42. 1942
Teil VI. Betraohtungen zum Umkehreffekt
der Thermokraft im Magnetfeld
Es sol1 untersncht werden, wann umer Leitungsmechanismus
einen Umkehre5ekt der Thermokraft im Magnetfeld znla6t. In (I)
ist ein Ansdruck ftir die adiabatische Thermokraft eines Kristallstabes gegeben worden. Der Stab habe die 2,-Richtnng, dann ist:
3
Nun folgt an8 (712) und ( 7 4 in Matrizenschreibweise:
(41)
TEW=WII.
E W konnen wir zeigen, da6 sie keiuen Umkehreffekt zeigt, d. h. da6
w(Q)= [ E ( - @ ) w(- @)I+. Denn es ist
nach den G1. (8c) und (8d):
Von der Gro6e
&(a)
T E ( - Q ) w ( - Q ) = T e ( - Q ) w + ( @ ) = n + ( @ ) w + ( Q ) - [ w ( 8 , H(Q)I+
und nach (41): a ( - @)w(-- 8)= [ ~ ( Q ) w ( $ j ) ] + .
Ktirzen wir die Grol3e E W mit D ab, so ist: E
wir nun diesen Ausdruck fur E in (40) ein, so ist:
-
Dw-'.
Setzen
Wenn nun in aller Strenge das Wiedemann-Franzsche Gesetz
fUr
)den Fall elaetischer
im Magnetfeld gtiltig ist, wie dies in (I
Streuung der Elektronen und unter der Annahme reiner Elektronenleitung der Wiirme (vorausgesetzt die Fermi-Verteilungsfunktion) abgeleitet ist, so wird:
(43)
tu m /?w
(;3 eine Konstante)
d. h. die beiden Tensoren des elektrischen und thermischen Widerstandes sind einander proportional. Flir diesen Fall folgt aus (42):
(44)
Da nun weder tu,, noch Dll einen Umkehre5ekt zeigen, so besitzt
in diesem Fall auch die adiabatische Thermokraft keinen Umkehreffekt zum Unterschied gegeniiber der isothermen Thermokraft, die
durch E~~ bestimmt ist. Nun sind aber die Grundvoraussetzungen,
die z , Proportionalitilt
~
der beiden Tensoren w nnd tu fiihrten,
niimlich elastische Streuung der Elektronen und reine Elektronenleitnng der Warme streng nie erflillt. Im allgemeinen ist sowohl
die thermische Gitterleitung nie ganz zu vernachliissigen, als auch
esonders in tiefen Temperaturen, die Annahme elastischer Streuung
M.Kohbr. Die elektrischa
und themnisch Eipaschaftm m u .
161
der Elektxonen sicher unzulassig. An Stelle von (43) wird man m
setzen haben :
tt, = p w + A m .
(434
Damit wird:
1
PdJ
= -p3 D,,+ (Dw-1 A tD)ll].
(444
m11
Das 2. Glied in der Klammer liefert nun im allgemeinen einen
Umkehreffekt, der damit proportional zu den Komponenten w n AtU
wird. Die Gitterleitung wird besonders bei den Halbleitern oder
halbleiteriihnlichen Metallen (z. B. Bi und Sb) ein groSes d t ~verursachen. Zusammenfassend soll nochmals festgestellt werden, daB
der Leitungsmechanismns der Elektronentheorie der Metalle bei
strenger Proportionalitilt der Tensoren des elektrischen und thermischen Widerstandes keinen Umkehreffekt fur die adiebatische
Thermokraft im Magnetfeld zultlSt. Ein solcher kommt erst zustande,
wenn entweder die beiden T e n a m nicht genau zneinander proportional sind, oder wenn die Bedingung der Adiabasie nicht streng
erfiillt ist. Umgekehrt kann man aus den beobachteten Umkehreffekten an Bi- und Be-Kristallen schlieSen, daI3 die Tensoren w
nnd tt, im Magnetfeld nicht streng proportional sind (bei vorausgesetzter Adiabasie).
Tea VII. Vergleich mit der Erfahrung
Ein Teil der Ergebnisse des Ted I iat schon in (I) mit der
Erfahrung verglichen worden. Es soll noch hervorgehoben werden,
daS an keiner Stelle dieser Arbeit irgendeine spezielle Annahme
uber die Form der Verteilungsfunktion der Elektronen im Fall
verschwindender auSerer Storungen notwendig war. Die Ergebnisse
sind daher fur beliebiges f,, giiltig. Die Resultate sollten daher
auch fur Halbleiter zutreffen, soweit es sich um reine Elektronenleitung handelt.
Nach Formel (11) besteht im Fall verschwindenden Magnetfeldes
die Moglichkeit der Existenz eines antisymmetrischen Bestandteiles
des Tensors E und damit auch des Tensors n. Dies lie6e sich
experimentell z. B. folgendermaflen priifen. Wir betrachten einen
Kristallstab parallel einer mehrziihligen Achse, etwa einer 3, 4 oder
6ziihligen Achse. Die Richtung dieser Achse sei die x,-Richtung.
Wir zerlegen nun den Tensor n des Peltiereffektes in seinen symmetrischen und antisymmetrischen Bestandteil: 17 = Z7(4 + IT(").
Uann folgt aus Sym~ri~triegriinden
:
rIy: = r.;; =
ri:;
= 0,
Annslen der Physlk. 6 . Bolge.
42.
rI;;
=
rif:!,
--
rI;) = rzr; = 0.
11
162
An&
der Physik. 5.Folge. Band42. 1942
Ee kann also A!:) von Null verschieden sein. Dae heiBt phyeikalisch,
daS ein parallel zu einer 3, 4 oder 6zahligen Achse orientierter
Kriatallstab einen transversalen Peltiereffekt zeigen kann, und in
analoger Weiae auch eine transversale Thermokraft. In Metallkristallen sind aber derartige Effekte schon aus Symmetriegriinden
auszuschlie6en. Vielleicht l i t sich der Effekt in Halbleitern
niedriger Rristallsymmetrie nachweisen, da in Halbleitern infolge
der geringen Zahl von Leitnngselektronen die Thermokrixft und der
Peltiereffekt verhliltnismilSig sehr grofie Werte besitzen.
Das in Teil I11 abgeleitete Ergebnis iiber die monotone Zunahme dee elektriechen und thermischen Wideretandes von Krietallstliben beetimmter kristallographiacher Orientiernng im longitudinalen
Magnetfeld, steht meines Wiwsans mit den bisherigen umfangreichen
experimentellen Ergebnissen an Metallen in vollkommener tfbereinetimmung. D u e l b e gilt ftir dia in Teil III gewonnenen Ausaagen
hinsichtlich der Zunahme des elektrischen nnd thermischen Wideretandes im schwachen, aber kristallographisch beliebig orientierten
Msgnetfeld. Anezunehmen sind natiirlich die ferromagnetischen
Stoffe, wo unsere Qrundvoraussetzungen nicht zutreffen. Anch die
in Teil III angegebenen Ungleichungen fk den Differentialquotienten
log
entsprechen den Experimenten im longitudinalen Magnetfeld.
d log H
Fur die transversale Widemtandslinderung im transversalen Magnetfeld ist 88 nicht gelungen, enteprechende Ungleichungen zu finden.
Uber das Vorzeichea der !l!hermokr&fte und der transversalen galvanomagnetischen und thermomagnetischen Effektk lagsen sich keine
allgemeinen Anssagen machen, ebenso nicht tiber das Vorzeichen
der h d e r n n g dieeer GroBen im Biagnetfeld, in (Ibereinstimmung
mit der Erfahrung.
Zu-enisMnng
Im Fkhmen der Elektronentheorie der Metalle wird unter sehr
allgemein gehaltenen Gmndvoraussetzungen die allgemeine Theorie
der elektrischen und thermischen und thermoelektrischen Erscheinnngen in kristallinen Medien im Magnetfeld entwickelt. Die Arbeit
ist die Fortsetzung einer friiheren Untersnchung iiber denselben
Gegenstand. Da bei den Untersuchungen keine speziellen Annahmen
tiber die Form der Verteilungsfpktion der Elektronen bei verschwindenden iiuBeren Stbrungen gemacht werden, sind die Ergebnisse anch auf Halbleiter anwendbar, solange reine Elektronenleituug
vorliegt.
Y.Kohler. Die elektrkhen
und thmnischen Eipvchajten ubw.
168
I n Teil I werden znnHchst die allgemeinen Gleiohungen fiir die
elektrische nnd thenuische Stromdichte gegeben. Von den 4 adtretenden Tensoren 2. Ranges mit allgemein 36 Koefhienten eqeben
eich nnr 27 als frei wiihlbar. Fib vemhwindendes Yagnetfeld
werden die Teneoren der elektrischen und thermischen Leitfkhigkeit
symmetrisch. Fiir den Tensor der Thermokraft tria dies allgemein
nicht zn. Dieeer Tensor ist nnr dann symmetrisch, wenn entweder
der elektrische Widerstand isotrop ist, oder wenn der elektxische
Widerstandstensor und der Tensor der Thermokraft gleichzeitig anf
Hauptachsen aind. I n den praktisch vorkommenden Metallhistallen
sind antisymmetrische Bestandteile von Tensoren 2. Ranges schon
ans Symmetriegrltnden verboten. Vielleicht liiSt sich die Exietenz
eines antisymmetrischen Anteils des Tensors der Thermokraft nnd
des Peltiereffektee in Halbleitern niedrigerer Kristallsymmetrie nachweisen. Eine einfache experimentelle Methode znm Nachweis eines
solchen Effektes ist in Teil I1 angegeben. Im Magnetfeld bestehen
zwischen den Komponenten des Tensors der Thermokraft nnd des
elektrischen Widerstandes die Beziehnngen (12).
Im Teil II wird gereigt, da6 die elektrischen nnd thermischen
Widerstandstensoren im Magnetfeld positiv d&t
sind.
I n Teil 111 ist der Nachweis erbracht, da6 die elektrischen nnd
thermiechen Widerstllnde von Kristallstihn parallel einer mehrziihiigen Symmetrieachse, die sich im longitudinalen Magnetfeld
befinden, monoton znnehmende Funktionen der Stiirke dee ?&petfeldes sind. Daraus folgt allgemein, da6 anch die longitadinale
Widerstandsiinderung in ieotropen Korpern eine monoton zunehmende
Funktion der megnetischen Feldstiirke iet.
Buf Grund von Ungleichnngen, die im Teil IV abgeleitet sind,
werden im Teil V weitere Aussagen gewonnen fiber die Art der
fnnktionellen Abhiingigkeit des elektrischen nnd thermischen Widerstandes von der Stiirke des Magnetfeldes fiir den Fall longitudinalen
Magnetfeldes parallel einer mehrzilhligen Symmetrieachse. Ea
resultieren die Ungleichnngen (36b), (36c) und (37). In dem Feldstkkenbereich, wo die Widerstilnde im Magnetfeld gr06 sind
gegenliber den feldfreien Widerstanden, ergibt sich aus' den Ungleichnngen (36b) und (36 c) im Ansatz w = B Hm ein n. das kleiner
oder hochstens gleich 2 ist. AuSerdem wird bewiesen, daf3 der
elektrische und thermische Widerstand eines beliebig krietallographisch orientierten Kristallstabes im schwachen Yagnetfeld (bei
beliebiger Orientiernng des Magnetfeldes gegenilber den Eri~tdlachsen und gegenitber dem Kristallstab) zunehrnen. Weder liber
das Vorzeichen der Thermokraft noch iiber das Vorzeichen der
11
164
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942
hindemng der Thermokraft im Magnetfeld lassen sich allgemeine
Aussagen gewinnen. Dasselbe gilt fiir das Vorzeichen der galvanomagnetischen und thermomagnetischen Effekte.
I m Teil VI werden speziell die Bedingungen gesucht, unter
denen die vorliegende Theorie einen Feldumkehreffekt der Thermohaft im Magnetfeld ergibt. Es zeigt sich, daS die adiabatische
Thermokraft (bei Vermeidung seitlicher Wiirmeableitung am Kristallstab wiihrend der Messung) dann keinen Umkehreffekt aufweist,
wenn die Tensoren des elektrischen und thermischen Widerstandes
genau einander proportional sind, das heiJ3t bei strenger Gultigkeit des Wiedemann-Franzschen Gesetzes in seiner allgemeinen
Form im Magnetfeld. Diese Bedingung. ist aber im allgemeinen
nicht erfUllt, so daS man allgemein mit einem Umkehreffekt der
Thermokraft im Magnetfeld rechnen muS (soweit die Kristallsymmetrien einen solchen iiberhaupt zulassen).
TeilVII ist dem Vergleich mit dem Experiment gewidmet. Die
gewonnenen Aussagen etehen mit dem vorhandenen Beobachtnngsmaterial in vollkommener ffbereinstimmung.
Die Ergebnisse haben die durch die Formeln (la) und (lb)
ausgedriickte statistische findamentalgleichung als Voraussetznng,
ohne spezielle Annahmen Uber die Temperatur, die Bindung der
Elektronen an das Gitter oder uber den Mechaniemus der Strenung
der Elektronen.
Berlin, 1. Institut fiir theoretische Physik der Universitat.
(Eingegangen 7. September 1942)
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