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Die Elementarkonstanten und die Mathematik.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 47, Heft 2/3, 1990, S. 206-210
J. A. Barth, Leipzig
Die Elementarkonstanten und die Mathematik
Von ROBERT
ROMPE
Zentralinstitut fur Elektronenphysik
der Akademie der Wissenschaften der DDR, Berlin, DDR
HANS-JURGEN
TREDER
Einstein-Laboratorium fur Theoretische Physik
der Akademie der Wissenschaften der DDR, Caputh, DDR
Fur Arm% Uhlmann
Inhnltsubersicht. Die Elementarkonstanten in1 Sinne yon Max Planck sind von Lhnlicher
Redentung wie die reinen Zahlen der Mathematik. Die Newtonschen Prinzipien und die Elementar konstimten zusammen sind der Grundbau der physikalischen Theoriebildung.
Tho Elementary Constants and the Mathematie
Abstract. The elementary constants in the sense of Max Planck are of analogous meaning as
numbers in mathematics. The Newtonian principles together with the elementary constants
the p u r ~
are thc bnsis for cresting physical theories.
T
1.
Jjie enge Verbindung von Physik iind Mathematik, die bekaiintlich von Anbeginn
wisscnschaftlicher Tiitigkeit his zum Ende des 19. Jahrhunderts bestand, und fiir beide
(unabhangigen 2 ) Seiten der exakten Erfassung der Wirklichkeit iiuBerst produktiv
wareir, erfahrt heute eine n e u e Helehung. Uns crscheint so die Frage, welche Auswirkungen die in der Physik zweifellos bedeutuiigsvollen Elementarkonstanten Plancks
fiir die Problematik der Mathematik haben kiinnen, durchaus zulassig.
Die Elementarkonstanten sind das ,,Knochengerust" der Physik, sowohl im Makroskopischen als auch im Mikroskopischen. Im Makroskopischen sind sie das feste Gerippe
in der Flut von Einzelheiten der Biographie der Gegenstande ; diese bedingen wiederum
gerade ihre individuelle Unterscheidbarkeit und Markierbarkeit - als einer wesentlichen
Eigenschaft der ,,Kijrperlichen Objekte". Tm Mikroskopischen sind die Elementarkonstanten der Zugang zu deli Phanomenen der ,,Superposition der Zustiinde" (Dirac) init
ihrer prinzipiellen Unbestimmtheit und ihren Wahrscheinlichkeitsgesetzen.
Ein J a h r vor der epochalen Eritdeckung seiner Strahlungsformel und des Wirkungsquantums ti verijffentlichte M. Planck die Vermutung, daO Konstanten, die in den Grundgesetzen der Physik auftreten, eine erstaunliche, fur die damalige Physik viillig unverstandliche Unveranderlichkeit besitzen : Sie hingen, wie er schrieb, ,,von nichts, aher
auch von gar nichts ah". Wie sich mit der Zeit heraixsstellte, entspricht das der Unveriinderlichkeit der chemischen Elemente.
R. RonfPE 11. H.-J. TREDER,
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11.
Planck betrachtete als Grundgesetzlichkeiten der Physik die Gesetze der Mechanik
nach Newton,
die Gesetze der Elektrodynamik nach Maxwell, Hertz und die Gesetze der Hohlraumstrahlung nach Kirchhoff, Boltzmann, und es lag vor die Strahlungsformel von W. Wien.
Diese Konstanten sind deshalb
die Gravita,tionskonstante f ,
die Lichtgeschwindigkeit c und
die in die Wiensche Strahlungsformel eingehenden Konst,anten h iind k. Wir kiinnen
diese 4 auch die Planckschen oder universellen Elementarkonstanten nennen.
Planck zeigte auch, daB diese 4 Konstanten es ermoglichen, ein universelles MaBsystem zu forniiilieren, das - wie er es ausdriickte -- von jeder menschlichen Setzung
und Willkur frei iind objektiv in der Wirklichkeit enthalten ist. Tri diesem MaDsysteni
tritt aber eine oharakteristische Lange von 10-33 cm ixnd auch eine charakteristische Zeit
von 10-43 s auf, was fur den praktischen Gebranch urigiinstig ist. Man darf aber darauf
offenbar in der Wirklichkeit
hinweisen, da13 auch die ,,Eddingtonschen Zahlen" ,1040
bedeutungsvoll sind, etwa fiir das Verhaltnis elektrischer zu gravischer Kraft (oder fiir
s) zum Weltalter ( lo1' s ) ) . Darum ist das System der
das Verhaltnis des ,,Chronori" (
Planckschen Einheiten fiir tiefergehende Forschung such heute noch aktuell.
Es gibt in diesem universellen MaBsystem keine Elementarkonstanten fiir die Langeri,
die Zeit und keine fur die Masse, wie auch Elektronen und Atome nicht vorkommen.
Einstein nnd Heisenberg schreiberi : IL ist fundamentaler als die Atomistik.
Kedeuturigsvoll ist die Idee Plancks, die Gruridlage der fiir die Technik wesentlichen
Metrologie mit den Pundamenten der Physik z n verhiinden.
lm AnschluB an die Arbeiten von Plarick wrxrde das Verzeichnis der Elementarkoiistanten ausgedehnt anf Ladung e und Masse 7n, dles Elektrons und des Protons n i p .
N. Kohr konnte a m diesen ,,atomistischen" Elementa,rkonstanten die Ahmessringen des
Wasserstoffatoms und seine Toriisationsenergie bereehnen .
111.
Auf Grund der Arbeiten von N. Rohr entwickelte sich die theoretische rind experimentelle Quantenphysik stiirmisch. Die Elementarkconstanten wurden zu ihrem nnersetzlichen Bestandteil. Eine mathematisch-theoretische Behandlung quantenphysikalisuher Probleme, die iiber Rohr und Sommerfeld hinausging, verdanken wir der Entdeckung Heisenbergs und Diracs iiber die Bedeutung nichtkommiitativer Mathematik.
Sie trat in den Vertaiischurigsrelatiorieri zwischen Koordinaten und Tmpulsen erstmalig
i n Erscheinung, wobei die Konstante h das AusmaB der Nichtvertauschbarkeit darstellt.
Diese Entdeckung fiihrte zu einer ungeahnten stiirmischen Entwicklung niathematischer
Methoden und ziir ErschlieBung viillig neuer Seiten der Wirklichkeit - ,,virtuelle"
Zustande -, wobei wir hier nur auf die Entdeckungen von E. Schrijdinger und P. Dirac
hinweisen wollen.
Da die Eleinentarkonstanten mit normalen physikalischen Geriiten geniessen werden,
kiinneri sie ohne Iriterpretationsproblematik i n die Technik eingehen ; z. R. die Einsteinsche Formel fiir den Photoeffekt. Das hat das Eindringen quantenphysikalischer Ergebiiisse in die Technik entscheidend gefordert.
Fiir die Probleme der nichtrelativistischen Qrxantenphysik fand diese Eritwicklring
bereits Mitte des Jahrhunderts einen weitgehenden iind endgultigen AbschluB (J.v. Senmarin). Dieser reicht aus, urn wohl alle wissenschaftlichen und technischen Frageri im
Temperaturbereich des Lehens urid der Technik, gegebenenfalls durch geeigiiete mathematische Modelle, behandeln zu konnen. Durch die Verbindung der Elementarkonstanten mit den chemischen Eigenschaften der Atome ist eine direkte Priifung ihrer zeitlicheri
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Konstanz leicht moglich. Da wir gewichtige Grunde haben, die Unveranderlichkeit der
chemischen Elemente und ihrer Eigenschaften uber 1010 Jahre ,1017 s anzunehmen, muB
das fiir die Unveranderlichkeit der Elementarkonstanten auch gelten. Planck ist offenbar
mit der Vermutung, es gabe in der Physik GroBen, die ,,von nichts abhangen", der Wahrheit sehr nahegekommen.
Wenngleich der Plancksche Vorschlag eines naturlichen MaBsystems gestutzt auf die
Konstanten c , f , h, k in der Praxis wenig Anklang fand, so wurden durch die Ergebnisse
von I3ohr und der theoretischen Quantenphysik neue Moglichkeiten erschlossen, durch
Einbeziehung der atomaren Elementarkonstanten e , me, nil, sie als wissenschaftliche
Grundlage der Metrologie zu betrachten. Dies geschah insbesondere, nachdem entdeckt
worden war, dalj technisch hergestellte Strukturen, wie die Josefson-Kontakte oder das
zweidimensioriale Elektronengas des Quanten-Hall-Effekts, zu makroskopischen Quanteneffekten fuhren, die eine unmittelbare Ermittlung der Elementarkonstanten mit hijchster Prazision zulassen.
IV.
Wenn wir so das Faktum der Existenz der Elementarkonstanten als gegeben ansehen,
so bleibt die Frage ihrer weiteren Erfassung offen, da sie ,,Ton nichts, aber auch von gar
nichts" - wie Planck sagte - abhangen, durfen sie auch nicht voneinander abhangen.
Man kann derzeit nicht erwarten, daB sie im Rahmen der heute zuganglichen Physik behandelt werden kimnen. Versuche sind zwar in den letzten Jahrzehnten unternom'men
worden, auch von Heisenberg, gelten aber nicht als erfolgreich. Vielleicht liegt die Antwort auf die Frage nach dem tieferen Wesen der Elementarkonstanten in jenem Saum
zwischen Mathematik und Physik, der durch die Erkenntnis der Bedeutung nichtkommutativer Mathematik entstanden ist.
Wir haben 1966 geschrieben, dalj die Mathematik den enormen Erkenntniszuwachs
der Physik kaum beriicksichtigt, da sie nach wie vor sich auf die aus der Existenz korperlicher Objekte abgeleiteten Generalisierungen der abzahlbaren, markierbaren Gegenstande und damit der ganzen Zahlen stiitzt. Uber die enorme Leistungsfahigkeit, die
dieses Konzept der Mathematik zustande gebracht hat, braucht man sich kaum zu
auBern. Es ist erstaunlich, wie viele vollig unerwartete Seiten der Wirklichkeit mit
diesem Verfahren erfaBt werden konnten.
Immerhin gibt es aber Aspekte, die uber das blol3e Ubereinstimmen oder Nichtubereinstimmen von mathematischer Erfassung und Wirklichkeit hinausgehen. Wir wollen
versuchen, das kurz zu kennzeichnen.
V.
Da ist zunachst einmal das Problem der ,,Exaktheit". Was die Mathematiker unter
Exaktheit verstehen, kann man bei verschiedenen Autoren nachlesen, nicht immer mit
dem gleichen Ergebnis. F. Klein, H . Hilbert, H . Weyl, W. Brouwer, R. v. Mises hahen
sich dariiber geauBert ; naturlich auch viele andere internationale Gelehrte. Und nun
kommt durch die Entdeckung Plancks zum Vorschein, dalj unabhlingig vom menschlichen Intellekt und menschlicher Willkur in der Natur so etwas wie ,,Exaktheit" realisiert ist, etwas Erstaunliches und vollig Unerwartetes, da im Sinne der sonst in der Natur
feststellbaren Dialektik eine entsprechende Relativierung der ,,Exaktheit" durchaus
angebracht ware.
Anfang des Jahrhunderts schrieb ein Philosoph (R. Eisler) in seinem ,,Handworterbuch" unter dem Stichwort ,,Zufall" : Es gibt keinen absoluten Zufall. Wir wissen aber,
daB der Zufall in der Realisierung der Zustande eines Photons im Sachverhalt selbst
enthalten und nicht eine mathematische Erfindung ist ; oder, daB das Atom, das durch
eine Strahlung ionisiert wird, nicht als Folge einer mathematisch faBbaren Iteration, son-
R. ROMPEu. H.-J. TREDER,
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dern als ein einmaliger Akt der Auswahl zustaride kommt, der durch die Natur vorgenommen wird (Dirac). Zufall und Exaktheit sind in der Wirklichkeit miteinander verbunden.
Ebenso schrieb ein Philosoph und Sprachforscher (I?. Mauthner) zu Beginn uiiseres
Jahrhunderts : Ganze Zahlen gibt es in der Wirklichkeit nicht, game Zahlen gibt es
nur, wenn jemand da ist, der zahlen kann. Aber seit N. Bohr wissen wir, daB ein-, zwei-,
dreiwertige chemische Elemente entsprechende Verbiridungen eingehen, daB das Gesetz
der multiplen Proportionen Cultigkeit hat und daB all das ein Ergebnis der Auswirkungen des Vorhandenseiris der Elementarkonstanten ist. Unabhangig davon, ob Mathematiker, Physiker oder Chemiker leben.
Es ist natiirlich nicht unsere Meinung, daB mit diesen wenigen Andeutungen mehr
als eine Skizze neuer mathematischer Betatigungen .aufgezeigt wird. Aber man sollte
doch daran denken, daB hier tatsachlich a m der Existenz der E1ementark:onstanten
iiberraschende Zusammeriharige erschlossen werden kiinnten.
Die Erfindung der Schrodinger-Gleichung ermiigliclht, aus den ,,exakten" Ellementarkonstanten die (,,a priori") Wahrscheinlichkeiten physikalischer GroBen zu berechnen.
Die Stabilitat der chemischen Elemente bedingt die Stabilitat der korperlichen Objekte, deren Eigenschaften der Mathematik und der Logik zugrunde liegen. So verstanden, erhalt die Zuverlassigkeit der Grundlageri der Arithmetik und der Logik, genauso
wie Newtons Axiome, eirien ,,aprioristischen Charakter" - solange, bis man mehr uber
die Elementarkonstanten weiB.
Hesonders auffallend ist das Vorkommen VOII Zahlen in der Natur, die im Sinne der
iiblichen Definitionen der Mathematik als transzendent bezeichriet werden kiinnten,
wobei aber sicher ist, daB ein mathematischer Heweis ihrer Transzendenz nicht obligatorisch und auch weniger wahrscheinlich ist. Es ist das die Sommerfeld-Konstante a,
das Verhaltnis der Masse des Elektrons zur Masse des IProtoris m,/mp,das Verhaltnis der
elektrischen zur Gravitatiotiskraft zweier Elektronen. All das sind dimensionslose Zahlen, deren Wert demnach riicht von MaBsystemen oder Bewegungsformen abhangig sein
kann. Es sieht so aus, als ob es von der Art ,,quasitranszendenter" Zahlen in der Natur
noch viele giht. Was hat es mit ihnen fiir eine Bewandtnis Z
V1.
Mas Plarick schlug vor, die Physik auf die Theorie von vier universellen Konstanten
zuriickzufuhren : das Wirkungsquaritum h, die Lichtgeschindigkeit c und die Newtonsche
Gravitationskotistarite f iind in bezug auf die Thermodynamik die Boltzmann-Konstante
k . Plancks Idee ist heute als Problem der ,,GroBen Unitarisierung der Physik" allgemeirl
rezipiert. Ilas ,,Planckion" mit der Planckschen Masse
dem Planckschen Radius
aber auch mit der Planckschen Ladung
hc
Q2
2n
gelten als Grenzwerte sowohl fur die Hochenergie-Physik als auch fur die Kosmologie.
Heute sind alle Theoretiker, Kosmologen und Hochenergie-Physiker der Ansicht, daB
Plancks Masse ( l ) ,Plancks Lange (2) und die Planckschen Ladungen f Q das gemeinsame
Ergebnis von Quantentheorie, Spezieller urid Allgemeiner Itelativitatstheorie sind. Diese
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GriiBen sind nunmehr fundamental fur eine GroBe Unifikation der Physik, die tatsachlich
die Gesamtheit der Vorgange umfaBt, fur die sich die Physik als zustandig betrachten
muB, und die zwischen den Baryonen und dem Vakuum mit seiner elektromagnetischen
Strahlung ablaufen.
Eine Sonderstellung haben die dimensionslosen Konstanten, insbesondere die Sommerfeld-Konstante a und das Massenverhaltnis Proton/Elektron, die offenbar ,,a priori"
in der Natur vorgegeben sind. Diese waren dann, wenn dem wirklich so ist, einer tiefergreifenden Erklarung nicht bedurftig und auch nicht zuganglich, genauso wie die Existenz von ein-, zwei-, dreiwertigen Atomen bzw. dem Vorkommen ganzer Zahlen in der
Natur.
So betrachtet, setzt die GroBe Unifizierung die Giiltigkeit der Newtonschen Prinzipien
in Verbindung mit der Existenz der Elementarkonstanten voraus. Wenn auch der physikalische Tatbestand weitgehend klar ist, entstehen aus der Verbindung der Newtonischen Prinzipien und den Elementarkonstanten, insbesondere c und h, Komplikationen
der Darstellung, und die Problematik der Vereinigung voh Dingen, die GOTT getrennt
hat (W. Pauli), wird damit in die Kompetenz der Mathematik verlagert.
Nachdem A. Einstein in ,,Autobiographical Notes" (,,Autobiographisches"), 1949
die Bedeutung von Plancks Wirkungsquantum Iz dargestellt hatte, und die Beziehung des
Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c fur die Itelativitatstheorie erorterte,
schrieb Einstein :
,,Bemerkung. Die Lichtgeschwindigkeit c ist eine der GroSen, welche in physikalischen
Gleichungen als ,,universelle Konstante" auftritt. Wenn man aber als Zeiteinheit statt
der Sekunde die Zeit einfuhrt, in welcher das Licht 1 cm zuriicklegt, so tritt c in den Gleichungen nicht mehr auf. Man kann in diesem Sinne sagen, daB die Konstante c nur eine
scheinbare universelle Konstante ist.
Es ist offenkundig und allgemein angenommen, daB man auch noch zwei andere
universelle Konstante dadurch aus der Physik eliminieren kijnnte, daB man an Stelle des
Gramms und Centimeters passend gewahlte ,,natiirliche" Einheiten einfuhrt (z.B. Masse
und Radius des Elektrons).
Denkt man sich diese ausgefuhrt, so wiirden in den Grund-Gleichungen der Physik
nur mehr ,,dimensionslose" Konstante auftreten konnen. Beziiglich dieser mochte ich
einen Satz aussprechen, der vorlaufig auf nichts anderes gegrundet werden kann als auf
ein Vertrauen in die Einfachheit, bzw. Verstandlichkeit, der Natur ; derartige willkiirliche Konstante gibt es nicht ; d. h. die Natur ist so beschaffen, daS man fiir sie logisch
derart stark determinierte Gesetze aufstellen kann, daS in diesen Gesetzen nur rational
vollig bestimmte Konstante auftreten (also nicht Konstante, deren Zahlwerte verandert,
werden konnten, ohne die Theorie zu zerstoren)."
Bei der Redaktion eingcgangen am 27. Marz 1989.
Anschr. d. Verf.: Prof. Dr. R. ROMI'E
Zentmlinstitnt f8r Elektronenphysik
der Akademie der Wissenschaften der DDR
Hansvogteiplatz 6/7
Berlin
DDR-1086
Prof. Dr. H.-J. TREDER
Einstein-Labor;~toriumfur Theoretische Physik
der Akademie der Wissenschaften der DDR
Rosa-Luxemburg-Str. 1 7 a
Potsdam
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