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Die Entropie von partiell kohrenten Strahlenbndeln.

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hi G .
1907.
ANNALEN DER PHYXIK.
VIERTE FOLGE. BAND 23.
1. D i e EnWopie
uon patitiell koh4Wente.n St/rahleiLbiii~clel,L;
von lK. Laue.
Einleitung.
In einer im Vorjahr erschierienen Abhaiidluiig Jur
Thermodynnmik cler Interferenzerscheiiiuii~e~.'
l) wurcle gezcigt,
tlaB sich bei kohairenten Strahlenbundeln das Additionstheorem
tler Entropie: ,,Die Entropie eiiies Systenis ist die Summe der
Entropien seiner (rilumlich getreniiten) Teile" niclit mit dew
Prinzip der Zunalime der Entropie vertragt. Aus deni Zusammenharig zwischen Eiitropie und Wahrscheinlichkeit wurcle
gefolgert, dub es das Additionstlieorem ist, welches ni:w unlgeben muU. Es wurde auch die Formel fur die Kntropie eiiies
Systeiiis monocliromatischer Strahlenbundel gegeben, welcbc idle
durcli regullre Reflexioii und Brecliung an selbst nicht stralilerrden Kiirpern aus einem einzigen entstanden sind. Dort wiir deniiiacli nur von vollstiindig Itoliirenteii Strahlenbundeln die 1Cetlc.
)(:ntscndet abcr eiiier dieser Korper selbst Strdilung voii dcrselben Schwiiigungszahl wie dns einfrrlleiide Licht, so vcrinisclrcn
sich mit dem reflektierteii u i i d deiii gebrocheiren Stralileiibiindel
ztwi zu ihnen inltohilreirte, so daW die auf diese U'eise entF.t-!:cd!!den weder untereinauder noch n i t etwaigeii Clem cinf'cilii. ,:im Licht koliareiiten Strahlenbundelii vollkoniineii koitit: cut bloibeii. Es w&rcunmiiglich, bei Interferenzerscheinuii~eii
zwisclien Stralilenbiindeln dieser Art absolut dunkele Miriiiiralstellen zu erhalteii, wio sie bei der Superposition gleicli starker,
vollkommen kohiirenter Strehlen auftreten ; andererseits adcliereti
sich dabei die EnergiegrbBen nicht, wie bei vollstandig inI ) $1. Lnue, Ann. d. Phys. 90. p. 365. 1906.
IV.I'olgc. 2.
Aiiu:~Icn der I'liysik.
1
2
M. Laue.
koharenten Strahlen. Vielmehr bilden solche partiell koharente
Strahlenbundel den stetigen Ubergang zwischen diesen beiden
Extremen. Die Formel fur ihre Entropie mu13 demmtsprechend
zwischen der sich aus dem Additionstheorem ergebenden, fur
absolut inkoharente Strahlenbundel und der fur vollstandig
koharente giiltigen den stetigen Ubergang vermitteln.
Um sie abzuleiten, bediirfen wir zunachst eines quantitativen MaBes fir die Interferenzfahigkeit zweier Strahlenbundel.
Dies, die ,,Koharenz", wie wir es nennen wollen, muD eine
von den Intensitaten unabhangige, zudem mefibare, d. h. nur
durch die zeitlichen Mittelwerte gewisser Energiequanten bestimmte GroDe sein. Wir werden sie so wahlen, dab sie stets
ein positiver echter Bruch ist, dessen Grenzwerte 0 und 1absolute
Inkoharenz und vollstandige Koharenz bedeuten. Es ist jedoch
bemerkenswert, da6 nicht die Koharenz selbst, sondern die sie
zu 1 erganzende GriiBe, die ,,Inkoharenz", in den Formeln fur
die Entropie sowie in den die Koharenzverhaltnisse von drei
partiell koharenten Strahlenbundeln beherrschenden Relationen
auftritt. .
Von seiten der Thermodynamik brauchen wir nur den
Satz zu Hilfe zu ziehen, daB die Reflexion und Brechung an
der Grenze nicht absorbierender Kijrper ein umkehrbarer Vorgang ist; da sich zwei inkoharente Strahlenbundel, deren
Entropie bekannt ist, durch gemeinsame Reflexion und Brechung
in zwei partiell koharente verwandeln lassen, la& sich auch die
Entropie der letzteren berechnen (vgl. 8 5). Nun wurde dieser
Satz in der fruheren Abhandlung zwar sehr wahrscheinlich
gemacht , indem das ihm entgegenstehende Additionstheorem
der Entropie beseitigt und die Umkehrbarkeit der Reflexion
und Brechung an einer planparallelen Platte fur monochromatisches Licht und der Wert 'I2 des Reflexionsvermogens
unmittelbar gezeigt wurde. Doch blieb die Beweiskraft des
letzteren Grundes fiir die Thermodynamik deswegcn zweifelhaft, weil es frnglich schien, ob man aus einem kontinuierlichen
Spektrum - nur von solchen wissen wir bestimmt, da13 sic
Entropie besitzen - hinreichend homogene Strahlung spektralanalytisch aussondern und dabei noch merkliche Energiemengen
in der Hand behalten konnte - ganz abgesehen von der Beschrankung anf einen bestimmten Wert des Reflexionsver-
E1itropie voii partiell koharenten Strahlenbundeln.
3
mogens. Deshalb wollen wir zuerst die letztere Frage entscheiden (8 1) und dann die Umkehrbarkeit der Spiegelung und
Brechung sowohl fir die planparallele Platte, als die Grenze
zweier Medien beweisen.
Erster Teil.
Die Umkehrbarkeit der Reflexion und Brechung.
5 1.
D i e r e l a t i v e B r e i t e der echmalsten a u s einem kontinuier1 i c h e n S p e k t r u m au B zu s o n d e rn den B er e i c h e.
DaB sich aus einem kontinuierlichen Spektrum von hoher
Temperatur Bereiche isolieren lassen, die nich t wesentlich
breiter als manche schmale Spektrallinien sind, zeigt der
Rowlandsche Atlas des Sonnenspektrums, in welchem l) noch
F r a u n h o f e r s c h e Linien getrennt erscheinen, deren Differenz der
Wellenlangen Ail zwischen l/lo und l/loo k.-Einh., d. h. zwischen
lo-@ und 10-lo cm, liegt. Die relative Breite des zwischeu
zwei solchen Linien befindlichen Spektralbereiches ist A n / A ,
also etwa
Andererseits geht aus den neuerdings von
Hrn. S c h o n r o c k z, ubersichtlich zusammengestellten Resultaten
blichel s o n s iiber die Sichtbarkeit der Interferenzen als Funktion des Qangunterschiedes hervor, daB die relative Breite bei
manchen Spektrallinien von derselben GroBenordnung ist. Denn
mag man an der dort behaupteten Intensitatsverteilung, welche
ltus der (ubrigens nur auf 10 Proz. genau bestimmten) Sichtbarkeitskurve keineswegs eindeutig hervorgeht 3), zweifeln , so ist
doch diese GroBenordnung sichergestellt ; eine Anderung an ihr
wiirde den Betrag des gr60ten Gangunterschiedes, bei welchem
die Interferenzen gerade noch sichtbar sind , wesentlich verandern. Nun liegt nach den Tabellen der Schonrockschen
Arbeit die beobachtete relative Halbweite S/Lo stets zwischen
und loee, mit Ausnahme der dort genannteu Linien des
Quecksilbers (&/Ao = 7,8.
des Thalliums (&/;lo = 5 , 5 . lo-')
nod des Wismuts (&/Ao = 7,5, lo-'). Um zur relativen Breite
zu gelangen, hat man aber &/Ao noch mit einem zwischeu 4
1) Vgl. H. K a y s e r , Handbuch der Spektroskopie 1. p. 123.
2) 0. Schiinrock, Ann. d. Phys. 20. p. 995, 1906.
3) Lord R a y l e i g h , Phil. Mag. (5.) 31. p. 407. 1892.
I*
M. Jaue.
4
und 5 liegenden Faktor zu multiplizierenl), so dab man dafiir
stets die GrbDenordnung
findet.
Naturlich soll hiermit nicht gesagt sein, daB auch das
Licht der Spektrallinien Entropie besitzen muBte. Nur dab
man in der Strahlungsthermodynamik von fast ebenso homogenem Licht reden darf, wie in den anderen Teilen der Optik,
geht aus unserer Betrachtung hervor.
Haufig wird es aber gar nicht niitig sein, die vorausgesetzte Homogenitat als so extrem hoch aufzufassen. I n den
Betrachtungen des dritten Paragraphen wird z. B. ein Prisma
die Hauptrolle spielen, dessen Dispersion ohne EinfluB sein
soll. Bei einem Flintglasprisma , das die beiden D-Linien
eben noch trennt, mu67 die ausgenutzte Dicke aber mindesteos
1 cm betragen. Es ware nun ein Leichtes, sie wesentlich unter
diese Grenze herunterzusetzsn. Dann kiinnen wir das ganze
Interval1 zwischen den D-Linien als homogen betrachten, obwohl seine relative Breite ziemlich genau gleich
ist.
$ 2. D i e Umkehrbarkeit d-er S p i e g e l u n g und Brechung an
e in e r p I an pa r a11 e 1 en P1at t e.
Nach 8 2 der friiheren Arbeit 1aBt sich die Veranderlichkeit des Reflexionsvermtigens T einer planparallelen Platte durch
Verminderung ihrer Dicke so
herabsetzen, daB e0 selbst fur so
breite Spektralbereicbe, wie der
soeben erwahnte , einen konstanten Wert bat. Wird nun ein
in oder senkrecht zur Einfallsebene polarisiertes, hinreichend
homogenes Strahlenbundel von
der spezifischen Intensirat P (vgl.
Fig. 1) durch Spiegelung und
Fig. 1.
Brechung an der Platte P in
zwei neue zerlegt, deren Intensitaten r R und (1 T)9 sind, und werden diese darauf von den
vollkommen reflektierenden, ebenen, zur Platte P symmetrisch
-
_
_
~
1) Vgl. $ 6 der Schonrockschen Arbeit.
2) Vgl. P. Drude, Lehrbuch der Optik, 11. Aufl., Leipzig, Hirzel,
1906. p. 220.
Entropie von partiell koharenten Strahlenbundeln.
5
liegenden Spiegeln 8, und S, so auf die Platte zuruckgeworfen,
daB sie das zweite Ma1 unter anderem Einfallswinkel zu ihr
gelnngen, so entsteheu vier Strahlenbundel von den spezifischen
Intensifiten ~ ( -.')a,
1
r'(1 - r ) % und T T ' ~ ,(1 - r ) ( l -.')a.
Von diesen uberlagern sich die beiden ersteren sowie die
beiden letzteren und interferieren miteinander ; der Gangunterschied betrtigt beim ersten Paar 0, beim zweiten n,
ganz unabhiingig von der Gr8Be des Offnungswinkels (vgl.
0 2 der ersten Abhandlung). " Wahlen wir nun, was stets
mSglich ist,
T'=
1-
T ,
so werden die Strahlenbiindel des letzterep Paares an Intensitat
einander gleich, heben sich also auf. Die ganze Energie des
einfallenden Strahlenbiindels muB sich dann in dem aus
der Interferenz des ersten Paares hervorgehenden Strahlenbundel wiederfinden; dies hat also, wie man auch auf rechnerischem Wege leicht bestitigt, wieder die volle Intensitat P.
Damit ist die Umkehrung der ersten Reflexion und Brechung
vollzogen.
Durch diese Uberle'gung ist aber die Umkehrbarkeit j e d e r
regulken, absorptionsfreien Spiegelung und Brechung bewiesen.
Im allgemeinen befinden sich zwar der gespiegelte und gebrochene Strahl in verschiedenen Mitteln; doch ist das unwesentlich, da man ein Strahlenbundel unter Benutzung des
Polarisationswinkels ohne Verlust an Energie und Kohiirenz
aus jedem beliebigen Mittel in jedes andere austreten lassen
kann. Auch die Spiegelung und Brechung an der Grenze
kristallinischer Korper ist hier einbegriffen ; denn die dabei
auftretende Zerspaltung eines Strahlenbundels in mehr als zwei
la6t sich immer durch eine Reihe von gewohnlichen Spiegelungen und Brechungen ersetzen. Eine etwaige Krummung
der spiegelnden Flachen andert hieran nichts.
Trotzdem wollen wir im folgenden Paragraphen die Urnkehrbarkeit dieses Vorganges fur die Qrenze zweier isotropen
Medien noch besonders beweisen. Bei der Neuheit des Gegenstandes kann eine doppelte Sicherung der Grundlagen niitzlich
scheinen.
M. Jaue.
6
3. D i e U m k e h r b a r k e i t der S p i e g e l u n g u n d B r e e h u n g an dcr
G r e n z e von z w e i v e r s c h i e d e n e n n i c h t absorbierenden KSrpern.
Nehmen wir an, daB auf das bei A (Fig. 2) gelegene
Flacbenstuck f der ebenen Grenze eines fur Strahlung der betrachteten Wellenlange durchsichtigen KSrpers gegen das
Vakuum ein hinreichend homogenes, in oder senkrecht zur
Einfallsebene polarisiertes Strahlenbundel aus dem letzteren
kommend auffallt. Dann gehen von f zwei Strahlenbundel
aus; das reflektierte schreitet in das Vakuum hinein fort, das
gebrochene dringt in den genannten Korper
ein. Da nun aber selbst der durchsichtigste
ponderabele Stoff die Strahlung auf langeren
Strecken durch Absorption und Zerstreuung erheblich schwacht, wollen wir das letztere sogleich wieder in das Vakuum austreten lassen.
Dies gelingt ohne nochmalige Zerlegung, wenn
wir die Lage der zweiten Grenzflache so wahlen,
daB dsts Strahlenbundel sie unter dern Polarisz
sationswinkel und senkrecht zur Einfallsebene
Fig. 2.
polarisiert erreicht; di%s sol1 in Fig. 2 bei B
der Fall sein. Die Substanz bildet dann ein Prisma, doch
liegt der Strahlengang im allgemeinen nicht, wie in der E'igur
angenommen ist, in einer Ebene.
Das reflektierte Strahlenbundel lassen wir nun auf einen
vollkommen spiegelnden Kugelspiegel 8, auftreffen , welcher
einen Punkt A der Flache f zum Mittelpunkt hat; sein Radius
sei 3,seine Brennweite y ; bekanntlich ist
Y
Es entwirft ein Bild von der Flache f , dessen Lage und Form
wir untersuchen wollen.
Beziehen wir die Koordinaten x , y , z und x', y', z' cines
Punktes und seines Bildes auf ein Achsenkreuz, dessen x-Achse
mit der Richtung des Strahlenbundels nach der Spiegelung
an 8, zusammenfallt, und dessen Anfang im Brennpunkt des
Spiegels liegt, so lauten die Gesetze der geometrischen Optik
Entropie von pnrtiell koharenten Strahlenbundeln.
7
Fur den Punkt A ist x = I', da er offenbar in sich selbst abgebildet wird; also x = x' = y , F u r die seitliche und die
TiefenvergroBerung, die das ihn umgebende Flachenstiick f bei
der Abbildung erfahrt, gilt demnach
Ein Punkt C von f wird in denjenigen Punkt C' der Ebene von f
abgebildet, welcher zu ihm in bezug auf A symmetrisch liegt
(Fig. 3). Das Bild von f liegt in derselben Xbene wie f und unterscheidet
sich von ihm nur durch eine Drehung < c $ p
Y
vom Betrage m urn den Punkt A.
Wir fragen nun nach der optischen
& C'
Weglange W von C uber einen
Fig. 3.
Punkt des Spiegels 8, nach C'.
Zunachst ist unmittelbar einzusehen, daJ3 W fur alle
Punkte von 8, denselben Betrag hat. Fiihren wir sodann in der
Ebene von f ein Koordinatensystem l , q ein, dessen Anfang
in A liegt, so folgt aus der Reziprozitat zwischen Objekt- und
Bildpunkt, daB I f sich bei Vertauschung von C und C', d. h.
wenn man die Vorzeichen von 6 und q umkehrt, nicht andert.
Es gilt demnach in erater Naherung die Reihenentwickelung :
1 Is,
w = w,+ R1 ( a p +
bq2
+clq).
Nun ist N7 eine Lange; die einzigen ihm an Dimension gleichen
unter seinen Bestimmungsstiicken sind g, q und R. Die Koeffizienten a, 6, c sind aber von C und q, daher auch von R unabhangig. Das Verhiiltnis der Differenz ?Y - Wo zur Wellenlange A,
w-w,
L
1
=x ( a P
+ bqa + c E 4 ,
lafit sich also durch Vergrofierung von R so klein machen, als
inan nur will, so groB die Dimensionen von f auch gegen I
sein mogen. Eine gegen die Wellenlange kleine Strecke darf
in der Optik stets gleich Null gesetzt werden. Wir werden
daher W als liings der ganzen Flache f konstant betrachten.
Auch das bei d gebrochcne, bei U das Prisma verlassende
8
X. Laue.
Strahlenbundel sol1 nun auf einen absolut reflektierenden Hohlspiegel S, auftreffen. Im Gegensatz zu S, darf dieser aber
nicht Kugelform haben, da durch die Brechung bei B das
Strahlenbundel astigmatisch geworden ist ; er mug vielmehr so
beschaffen sein, daB er jede Brennlinie des letzteren in sich
selbst abbildet. Dann kehrt das von ihm zuruckgeworfene
Strahlenbundel nach B zuruck, tritt dort wiederum ohne
Spiegelung in das Prisma ein, wird gleichzeitig homozentrisch
und entwirft bei A ein Bild von fi Da die Gesetze der Abbildung unabhangig von der Art sind, wie wir sie verwirklichen, so gilt fur die Abbildung durch Sa alles, was wir fur
die durch S, bewirkte gesagt haben. Wahlen wir als den in
sich selbst abgebildeten Punkt wiedcrum A, so fallen die beiden
Bilder von f genau zusammen und die beiden Strahlenbundel
interferieren bei ihrer Ruckkehr in jedem Punkt der Bildflache
mit ein- und demselben Phasenunterschied.
Bei A entstehen durch abermalige Spiegelung und Brechung
im allgemeinen zwei neue Strahlenbundel, von denen das eine
in die Prismensubstanz eindringt. I n ihm superponieren sich
zwei Strahlenbundel von gleicher Intensitat; denn jedes von
ihnen ist durch eine Reflexion und eine Brechung bei A
geschwacht. Wahlen wir aber die optischen Weglhgen von A
nach Sl und S, einander gleich, so ist ibr Phasenunterschied
gleich n ; denn einen Phasensprung von diesem Betrage hat
das eine bei der Reflexion in A erfahren. Sie hehen sich also
auf. Die ganze Energie des einfallenden Strahlenbundels mu8
sich demnach in dem zweiten, von A aus in das Vakuum
hinein fortschreitenden Strahlenbiindel finden. Dies besitzt
daher auBer derselben Brennflache f , der gleichen Offnung und
dem gleichen Einfallswinkel wie das einfallende auch die
gleiche spezifische Intensitat. Die erste Reflexion und Brechung
bei A ist damit vollkommen riickgangig gemacht.
Zweiter Teil.
Die Entropie von zwei partiell kohiirenten Btrahlenbundeln.
8 4. D a s MaS der Interferenzfahigkeit.
Es mogen zwei monochromatische, in den geometrischen
Bestimmungsstucken, d. h. in der GrijBe der Brennflache und
des Offnungswinkels, sowie in der Neigung gegen die Normale
Entropie von partiell Roharenten Strahlenliundeln.
9
der Brennflache, iibereinstimmende Strahlenbundel unbekannten
Ursprungs gegeben sein. Wir sollen die Frage nach ihrer
Interferenzfahigkeit beantworten. Nun ist diese im allgemeinen
gerade so, wie die Intensitaten, langsam veranderlich ; um die
Vorstellung ein wenig zu vereinfachen, wollen wir den beiden
Strahlenbundeln die geringste Lange zuschreiben , welche sie
haben konnen, wenn sie in der Thermodynamik iiberhaupt
noch eine selbsfandige Rolle spielen sollen. Sie mussen dann
immer noch so lang sein, daS sie ihre Brennflache wiihrend
der kiirzesten moglichen Dauer einer optischen Energiemessung
beleuchten. Dann hat ihre Koharenz ebenso wie die Intensitaten einen einzigen, bestimmten Wert.
Um sie zu ermitteln, miissen wir sie, da ihr Ursprung
uns nach Voraussetzung unbekannt ist, durch Spiegelungen an
vollkommenen Spiegeln so leiten, daB sie sich einmal kreuzen.
Aber mangels jeden Urteils iiber ihren Gangunterschied diirfen
wir keineswegs sogleich beim ersten Nal erwarten, die etwa
vorhandene Interferenzfahigkeit zu entdecken. Vielmehr wird
der Gangunterschied im allgerneinen oberhalb der Grenze
liegen , bei welcher infolge der Inhomogenitht der Strahlung
die Interferenzfahigkeit selbst vollkommen koharenter Strahlen
aufhort. Wir mussen deshalb den Versuch oft wiederholen,
indem wir den Gangunterschied jedesmal um einen unterhalb
dieser Grenze liegenden Betrag verandern. Dabei mu6 dann
einmal die Koharenz zutage treten, wenn sie uberhaupt vorhanden ist. Freilich ware die Zahl der notwendigen Wiederholungen meist auBerordentlich groE; denn selbst bei den
feinsten Spektrallinien liegt die genannte Grenze des Gangunterschiedes unterhalb von loacm, wahrend die Lange unserer
Strahlenbundel sehr vie1 groBer ist. Immerhin ist die Zahl
der moglichen Wiederholungen eine ganz bestimmte, endliche,
so daB mir gegen die prinzipielle Moglichkeit des Verfahrens
nichts einzuwenden zu sein scheint.
Dem sich zunachst vielleicht erhebenden Einwurf, daB
man die fraglichen Interferenzen wie die Strahlung uberhaupt
nur wahrnehmen konnte, wenn man sie absorbieren laBt, ist
entgegenzuhalten, daB wir jm Druck auf vollkommene Spiegel
eine von Absorption unabhangige Wirkung der Strahlung auf
die Materie kennen.
10
N . Jaue.
Haben wir dann das Vorhandensein von Koharenz nachgewiesen, so miissen wir zur Feststellung ihres MaBes den
Gangunterschied innerhalb engerer Grenzen variieren, bis wir die
groBte mogliche Deutlichkeit der Interferenzen erreichen ; dann,
wissen wir, ist der Gangunterschied so klein, daB die Inhomogenitiit der Strahlung keine Rolle mehr spielt. Solche Gangunterschiede wollen wir im folgenden allein in Betracht ziehen.
Der praktisch einzig in Betracht kommende Fall ist natiirlich der, daS man Ursprung und Geschichte beider Strahlenbundel kennt; dann lafit sich, wie wir an mehreren Beispielen
sehen werden, ihre Koharenz leicht berechnen. Es muBte nur
erst einmal festgestellt werden, daB sie, wie die Intensitilteo,
eine der Messung wenigstens prinzipiell stets zugangliche GroBe
ist. Anderenfalls diirfte sie in den Formeln der Thermodynamik nicht auftreten.
Statt von Strahlenbtindeln , die aus vielen Wellen bestehen, sprechen wir in diesem Paragraphen nur von einzelnen
Wellen; der obergang zu Strahlenbiindeln erfolgt dann so,
da8 wir zwischen je zwei einander entsprechenden Wellen
beider Strahlenbundel dieselben Kohilrenzverhiiltnisse voraussetzen. Dies ist gerechtfertigt; denn erlitten bei den Anderungen, denen das Strahlenbiindel unterworfen wird, nicht alle
ihm angehorenden Wellen das gleiche Schicksal, so mii6ten
mir das Strahlenbundel in mehrere Teile zerlegt denken, fur
welche dies zutrifft.
Diese Wellen setzen wir nun als physikalisch homogen,
die Funktionen f ( t ) und g (t), welche die in ihnen stattfindenden
Schwingungen darstellen, also als nahezu periodisch voraus.
Nun ist es in der Optik zwar ublich geworden, in solchen
Fallen mit einzelnen Sinusfunktionen zu rechnen ; doch laBt
sich dann der Unterschied zwischen koharenten und inkoharenten
Wellen nur nachtraglich und etwas gewaltsam einfuhren. Wir
ziehen deswegen die exaktere Darstellung durch Fouriersche
Integrale vor:
Die Integrationsbereiche, in welchen P, und G, merkliche
Bntropie von partiell koliarenten Strahlenbundeln.
11
Werte besitzen, sind nach Ma6gabe der spektralen Reinheit
der Schwingungen schmal; doch brauchen wir diese Voraussetzung erst spiiter einzufiihren.
Bei der Superposition beider Wellen werden alle EnergiegroBen proportional zu dem Mittelwerte
der fur eine mit der Dauer der kiirzesten optischen Messungen
indem
vergleichbare Zeit T zu bilden ist. Wir berechnen
wir die von Hrn. P l a n c k l ) gegebene Ableitung des Wertes
von f" ein wenig verallgemeinern.
Aus (1) folgt unmittelbar:
fs,
t+r
= L S d t [ s d v dv'
2 2
t
n
+
Fv Gvr cos 2 n (v'- v)t cog (2 72 (v'+ v)t
(yyl
- spy))
- (yvr + cpv,))
*
Fuhren wir die Integration nach der Zeit aus, so folgt hieraus:
Sol1 ein von der Zeit t unabhangiger Mittelwert fs existieren,
was erfahrungsgema6 der Fall ist, so mu8 die zweite, v' + v
enthaltende Halfte dieses Integrals verschwindend klein sein ;
denn da T gegen die Lichtperiode 1/v sehr gi+oOBist, ist (v + v') t
eine groBe Zahl, de? in Rede stehende Teil also sicher Funktion
von t. Das gleiche gilt fiir die erste HtElfte in den Bereichen
des Integrationsintervalls , in welchen nicht v'- v klein gegen v
und v' ist; auch diese Bereiche diirfen nicht in Betracht
kommen. Fiihren wir
A = i(v'+ v),
/A = +(v'v)
1) M. Planck, Ann. d. Phys. 1. p. 69. 1900 oder M. Planck,
Theorie der Wgrmeatrahlung p. 190. J. A. Earth, Leipzig 1906.
M, Laue.
12
als neue Integrationsvariable ein, so kiinnen wir dies dahin amdriicken, daB nur ein schmaler Streifen in der Umgebung der
Gerade p = 0 fur die Integration in Betracht kommen darf.
Da in ihm
sin 2 TC p z
2npt
= 1,
so finden wir die Gleichung:
Blle diese Annahmen sind in der Hypothese der natiiriichen
Strahlung enthalten.
SchlieBen sich die Spektralbereiche der Schwingungen f
und g, d. h. die Integrationsintervalle in den Gleichuugen (1)
gegenseitig aus, so folgte hieraus
fs=O
als Ersatz fur die sonst haufig angewandte Formel:
cos(2 m v t - rpv)c0s(2m u't + rppy.) = 0 ,
wenn u und Q' voneinander verschieden sind. Ebenso ist
fs = 0 bei inkohkenten Schwingungen, auch wenn sie dem
gleichen Spektralbereich angehBren. Die Differenz der Phasen,
YL+p
- SPa-p,
schwankt dann ebenso schnell und unregelmaBig hin und her,
wie jede dieser Phasenfunktionen selbst, so da6 sich die in
unregelmaBigster Weise bald positiven, bald negativen Werte
der in (2) zu integrierenden Funktion bei der Integration gegenseitig aufheben.
Anders aber, wenn es sich urn vollstandig koharente,
homogene Wellen von gleicher Schwingungszahl handelt. Da
die betrachteten Gangunterschiede nach Voraussetzung so klein
sind, daB die Inhomogenitat ohne Einflu6 ist, besteht zwischen
ihnen eine Beziehung
yv - r p v = a ,
(3)
wo a als Konstante betrachtet werden darf. Ebenso ist, wenn
eine andere Konstante ist, G, mit P, durch eine Relation
(3 a)
verbunden; denn ware
Q
Gv = epv
Q
noch innerhalb so schmaler Inte-
Entropie von partiell koharenten Strahlenbundeln.
13
grationsbereiche, wie sie in (1) homogener Strahlung entsprechen, veranderlich , so konnte man im Widerspruch zur
Erfahrung aus der Geschichte der Strahlenbiindel nicht auf
ihre relative Starke schlieBen; man muBte vielmehr noch die
Funktionen F, und G, selbst kennen. Definiert man nun die
Funktion f*(t) dahin, daD sie aus f ( t ) hervorgeht, wenn man
in (1) statt der Rosinusfunktion den Sinus setzt, also:
(4
f* (t)= J d v
P,sin (2 m v t - fp,) ,
so lassen sich die Gleichungen (3) und (3a) zusammenfassen
in die Beziehung
g = p(fcosu
f*sina),
(5)
so da6
+
fs = g ( pcos a + j'f'* sin u)
(6)
wird.
Setzen wir jetzt in (2) y = f*, d. h.
Q
Yl+r
= 1,
-Yn-p
a = y,
n
=
y
+
n
- v y= ;z,
('pltp
- Spi-p),
so Gnden wir:
f7 - . . a S S d a d g q + p F n - r s i n ( 4 n P t - ( ~ i + r - ' p i - r ) ) .
Hier wechselt die zu integrierende Funktion mit p ihr Zeichen.
Der Xntegrationsbereich ist aber zur Geraden p =0 symmetrisch.
Also ist
(7)
ff* = 0;
diese Gleichung ist das Analogon zu
c o s 2 m v t s i n 2 m v ~ =0.
Bevor wir (7) anwenden, leiten wir noch einige Rechnungsregeln ab. Der Ubergang von f zu f* setzt fp,
nl2 an die
Stelle von y,,; die Wiederholung dieser Operation an f* macht
daraus 'p, + m, so da6 in (1) alle Kosinusfunktionen ihr Zeichen
wechseln ; daraus folgt
(7 a)
(f*)" = - f .
1st ferner
f f t ) + y (t)= Ik (t)= J d u K, cos (2 m * t - x,) ,
+
14
X Xaue.
so bestimmen sich nach (1) K , und x, aus der komplexen
Gleichung
-Ke - i n v - F v F Y - : q v + G , e - i Y ~ .
Aus ihr schliefien wir, daB
J d v K, sin (2 m v t - z,) =
Jd- P,,sin
v
(2 Ic v t
- y,)
+ ~ d v G Y s i n ( 2 n v t -y,),
(7 b)
ist.
( f +9)*= f*
+ 9*
Aus (6) und (7) folgt unmittelbar
(8)
>
f = Q cosaf2,
und aus (5),(7a) und (7b) geht hervor
g* = g (-fsin a f* cos a) ,
+
.
.-
(9)
f j * = - Q sin at*”
Der gleichzeitige Ubergang von f zu f* und von g zu g*,
welcher sowohl yv als cp, um x12 vergrGBert, la& aber die
Phasendifferenz
YA+P
- Y2-P
in (2) ungeandert; es ist deshalb
_ _ _ -
t‘*9*= t’9 7
(10)
speziell
”f
= f%*
(11)
Aus ( 5 ) und (9) kBnnen wir daher schlie6en:
(12)
= - 79%.
In den Gleichungen (8), (9) und (12) waren f und y als
vollkommen koharent gedacht. Jetzt sol1 sich aber dem z u f
vollstandig koharenten Anteil
gf = g (fcos a + f* sin a)
(13)
an y die dazu vollkommen inkoharente Schwingung 9; gemaB
der Gleichung
(14)
9 = 9f 9;
uberlagern, so daB
f*s
+
(15)
s” =
$. g;2
wird. D a m sind f u n d y nur noch partiell koharent. Trotzdem
bleiben die Gleichungen (8), (9) und (12) in Kraft, weil man
Xntropie von partiell koharenten Strah lenbundeln.
15
nach (13) in ihnen iiberall gf an die Stelle von g setzen kann.
Wir machen jetzt yon den folgenden Gleichungen Gebrauch:
und
2 = pap (vgl. (13),(7)
- _
(16)
f s 2 = @ cos2 u p 2 = COS' a f
(17)
=
(11)))
. g t (vgl. (8))
- _
,
fT2
= g 2 s i n 2 a p 2= sin2afZ.yf2 (vgl. (9) U. (12)).
Durch Addition der beiden letzteren folgt:
Bies Yeriialtnis der Intensitat des zu f koharenten Anteiles
an y zur Gesamtintensitat nennen wir die Koiiarenz irv Die
Reihenfolge der Indizes ist gleichgultig, denn eine Vertauschung
von f und g IaBt nach (17) die linke Seite von (18) unberiihrt,
so daB der Reziprozitatssatz
besteht. Auch macht es nichts aus, wenn man f durch eine
lineare Kombination czf + Pf* ersetzt; nach (7), (lo), (11)
und (12) ist niimlich
_____
=cc=fiz + 2 1 i l / 3 f ~ . f ~ + p f ~ 2 ,
(af + /If *) p2= pfi2- 2 lil /sf ij .f*9 + a2 f*s2
,
(ocf+Pf*)g2
G W f T
+ pqp,
= (UZ
so dafi man dabei den alten Wert wiederfindet. Hierin driickt
sich die Unabhbgigkeit der Koharenz von der Inteneit'at und
der Phasendifferenz aus. Experimentell kann man sie ermitteln , indem man bei in dem angegebenen Sinn kleinen
Gangunterschieden die Helligkeit an zwei Stellen eines Interferenzstreifens mifit, die urn
Streifenbreite voneinander abstehen. 1st ihr Betrag an der einen Stelle
so ist er an der anderen (vgl. (11))
16
M; Laue.
so daB sich die Koharenz nach der Formel
berechnet.
Wegen (15) ist
-
stets ein positiver echter Bruch. Die Qrenzfalle i = O und
i = 1 bedeuten absolute Inkohlrenz und vollstiindige Koharenz.
I n den spateren Formeln wird ubrigens statt der Eoharenz i f g meist die ,,irnkohaTenz"
auftreten.
Urn ein Beispiel far die Verwendung des quantitativen
Koharenzbegriffes zu geben, denken wir uns von zwei vollstandig koharenten Strahlenbundeln das eine zweimal an selbst
emittierenden KBrpern gespiegelt. Wir fragen nach der Koharenz des dann entstehenden Strahlenbundels zu dem nicht
gespiegelten.
Bei der ersten Reflexion geht die Schwingung f in die
ihr partiell koharente
9 = Y f 9;
iiber, diese wiederum bei der zweiten Reflexion in
h = hg + hg"
f und hg' sind in dem betrachteten Fall absolut inkoharent,
dnrum auch hg' und fg', wenn man
+
f=fg+G
setzt.
Aus den beiden letzten Gleichungen und (7b) folgt aber:
fh=R,
jP
= fgTgG,
Der erste dieser drei Bruche ist die Koharenz der vollstandig
koharenten Wellen fg und ]is, also 1, so da6 (vgl. (20))
Ifh
folgt.
. .
= zfge2gh
Entropie von partiell koharenten Strahlenbundebi.
17
Haben die spiegelnden Korper und die auffallenden
Strahlenbiindel gleiche Temperatur (isotherme Reflexion), so
wird die Intensitat bei der Reflexion nicht geandert; es ist
vielmehr
++ha.
Sind andererseits
T~
nnd ra die Ileflexionsverm8gen, so ist
so daS
folgt.
Man sieht ohne weiteres, nach welchem Gesetz die Koharenz zu dem anderen Strahlenbiindel bei weiteren isothermen
Spiegelungen abnimmt. Erleiden zwei partiell koharente Strahlenbiindel beide isotherme Spiegelungen mit den Reflexionavermiigen r,, r2, . rN und el, pa, . em, so wird ihre Koharmz
dadurch auf den Bruchteil des Anfangswertes herabgeaetzt,
welcher dnrch das Produkt r,
r, p1 g ,
g,,, gegeben ist.
..
..
...
...
§ 5. Die Entropie von zwei partiell koharenten Strshlen-
biindeln.
Wir sprechen im folgenden von linear polarisierten Strahlenbiindeln , welche sich im allgemeinen zwar in verschiedenen
Medien befinden, aber so beschaffen sind, daB man sie durch
regdare Spiegelungen und Brechungen in dasselbe Mittel und
in ihm zur Deckung miteinander bringen kann. Nach dem
Sinnssatz der geometrischen Optik miissen d a m ihre Brennfliichen f , ihre Offnungswinkel w und ihre Neigungswinkel 9
zur Normalen der Brennflkbe mit dem Brechungsindex n des
Mittels in der Beziehung stehen, daB der Ausdruck
naf a, cos 9.
fur alle einen und denselben Wert hat. Ihre Langen I miissen
Bich auf3erdem wie die Lichtgeschwindigkeiten 9 verhalten.
Ferner sollen sie dieselbe Schwingungszahl v und dieselbe
spektrale Breite d v besitzen. Wir setzen
1
n 2 f m c o s 8 - d v = o,
(22)
P
und haben dann f~ als fur alle Strahlenbundel gleich zu betrachten.
Annalen der Physik. IT.Folge. 23.
2
M.Laue.
18
Die Energie eines Strahlenbtindels von der spezifischen
Cntensitllt $2 betrggt
1
L
f w cos 9 - R d v = t~ 2 4
Bequemer aber als mit der spezifischen Intensitat rechnet es
sich mit der ,,reduzierten spezifichen Intensitiit"
denn es wird dabei nicht nur der Ausdruck fur die Energie
einfacher, sondern es enthalten auch die Temperatur- und die
Entropieformel 9 stets in der Verbindung 9/79. Die letztere
Formel lautet, waren h und K die Konstanten des P l a n c k schen Energieverteilungsgesetzes , c die Lichtgeschwindigkeit
und v die Schwingungszahl bedeutet:
E = oZ(x),
Jetzt sollen zwei derartige, in oder senkrecht zur Einfallsebene polarisierte , partiell koharente Strahlenbiindel gleichzeitig an der ebenen Grenze
zweier diathermanen Medien so
gespiegelt und gebrochen werden, daB die vier dabei entstehenden Strahlenbundel sich
paarweise genau uberdecken.
Sie miissen dann von verschiedenen Seiten auf die Grenze
auftreffen und die Sinus ihrer
Einfallswinkel mussen sich umFig. 4.
gekehrt wie die Brechungsindizes
verhalten (vgl. Fig. 4). Das
Energieprinzip verlangt die Konstanz der Gesamtenergie
c(xl + xz), in Verbindung mit dem Sinussatz. also, daf3
(24)
x1
+ xz = I'.
bei dem Vorgang invariant bleibt.
1) M. P l a n c k , Ann. d. Phye. 4. p. 553; 6. p. 818. 1901, sowie
M. P l a nc k, Theorie der Wiirmestrablung p. 156, Gleichung (229). Leipzig,
J . A. B a r t h 1906.
Entropie von partiell koharenten Stralilenbiindeln.
19
Nun ist der betrachtete Vorgang umkehrbar ; das Entropieprinzip fordert daher, daB auch die Entropie eine solche
Invariante ist. Sie h h g t im allgemeinen nicht von der Gesamtenergie allein ab, wie wir am Beispiel zweier inkoharenten
Strahlenbundel sehen. Daher mu6 der Vorgang noch eine zweite,
von I' unabhangige Invariante I" besitzen, aber auch nicht
mehr. Dann existierte noch eine dritte, so miiBten alle drei
Bestimmungsstiicke des betrachteten Systems, namlich die beiden
reduzierten spezifischen Intensitaten x1 und x 2 , sowie die Inkohlrenz j , unverandert bleiben, wahrend wir doch offenbar
in der Wahl des Reflexionsvermogens einen Freiheitsgrad besitzen. Die Entropie hangt also sicherlich auBer von CT nur
von zwei Invarianten I' und I" ab. Wir behaupten, daB
(25)
j x , x2 = I"
diese zweite Invariante ist.
Um dies zu beweisen, gehen wir auf die Schwingungsvorgange in entsprechenden Wellen der vier Strahlenbiindel
ein. A h Lichtvektor betrachten wir aber keine der beiden
Feldstkken , sondern eine ihnen proportionale GroBe, deren
Quadrat im zeitlichen Mittelwert unmittelbar der Intensitat x
gleich ist. In den beiden einfallenden Strahlenbundeln sollen
die Funktionen y (t) und y (t) die Schwingung unmittelbar
an der Grenze darstellen, in den beiden neu entstehenden die
Funktionen f (t)und g (t). Ware y = 0, so ware (vgl. Fig. 4)
da
fx6TJ
g=-@sp;
f"+jL$
sein muBJ ist
(26)
62+
Ware sp = 0, so galte aber
p2=
f=c,v,
1.
s=Svy.
Die Gr6Be Q, deren Quadrat das Reflexionsvermogen mi&, muB
hier das entgegengesetzte Vorzeichen erhalten , wie das erste
Mal, weil mit der einen dieser Spiegelungen der Phasensprung n verkniipft ist. Im allgemeinen ist daher
(27)
N. Laue.
20
Da nun
- (G2+ tT2)
-~
j x , x2 = (1 - i ) X l x2 = f ’ 2 . 9 2
ist, so ist zu zeigen, daB
- _
p.9”- (Gz
+ f7a)
=
-
y 2 . 7 ~ 2
ist.
Nach
(a?), (26), (7)
p=
(z2
+
yT2)
und ( 7 b ) ist
+ 02 + 25 0yy,
$7’ = Q 2
+ a2 - 2 8g y?,
fT=(8’-Q2)++
a<j(F-p),
_
~
fT=(a2+ Q2)Spl,U* = _
82
~~
Sp’I,lJ*.
Daraus schlieBen wir unter wiederholter BerCicksichtigung
von (26):
p,S”- (fia+ f7a)
= ( P $ + p”)
(pQj2+ 8”)
+ 2 6 (aa (p- p) - 4 a20’ 5’
- (62 ($ - 2 6 Q (62 - e2)Fv(q-”) _ =
- (G2
+ QDTa)
(I2)
Q
@)$jja
82g2
2 ) 2
* a
y2.y12
7
was zu beweisen war.
Die Entropie ist also Funktion von
2’ = x1 XY
G,
+
und
I” = j
von
XI x 2 .
Urn sie zu bestimmen, denken wir uns die Strahlenbiindel
inkoharent; d a m ist
und wegen j = 1
E = 6 ( L(XI)+ L (%,)
x1
7
+ x2 = I’
x1 x2 = I”,
also
x1 = +(I’
x2 =
oder umgekehrt.
+ 1/P- 4 1 7 ,
+(r- p4I9,
Daher ist die Entropie
P = 6 [ L (+ ( I f + p41”))
-~
+ L (+(I.- V P - - 4 I” ))]
Entropie von partiell hohiirenten Strahlerabiindeln.
21
Bei beliebigem Werte der Inkoharenz .j geht diese Gleichung
uber in
Biese P b m e l stellt die Entropie als Punktion der beiden reduzierten spezipsschen Intensitaten und der hhoharenz j dar.
Da nach (21)
+ x2)' - 4 j x1 xa = (xl- xJ2 + 4 i x l xz ,
(xl
sind die Argumente der beiden I;-Funktionen atetcl reell und
positiv. Fur vollstiindig koharente Wellen (j
= 0) geht (28), da
nach (23) J ( 0 )= 0 ist, in
J = 6 I/ (xl
+ x2)
uber, was mit dem in 8 4 der ersten Abhandlung3 Gesagten
ubereinstimmt.
Wir wollen dies Resultat graphisch diskutieren. Zu diesem
Zweck setzen wir
E wird dann nach (28) und (23) proportional zu der Funktion
wenn
f ( z ) = (1
+ z)log(l + x) - z l o g t
ist. Um eine anschaulichere Figur zu erhalten, haben wir
statt j die Kohilrenz i eingefiihrt; die GriiBe
bleibt bei der gemeinsamen Spiegelung und Brechung unverandert, wir betrachten sie als Konstante und fragen nach
der Flache, welche durch (29) bestimmt ist, wenn man
t = c"xl , i und Cl, (t,i)
2 hvs
als rechtwinklige Koordinaten im Raum betrachtet. Da in (29) x
nur im Quadrat auftritt, ist sie zur Ebene z r= 0 symmetriach.
1)
M. Laue, Ann. d. Phys. 20. p. 365. 1906.
22
11.1. Laue.
Eine phgsikalische Bedeutung kommt ihn aber nur in
dem durch die Ungleichungen
OZiSl,
- a s x s a
Fur i = 0 wird
abgegrenzten Bereich zu.
=f(a
+ 4 + f(a - 4
Den Verlauf dieser Kurve haben wir schon in 8 1 der friiheren
Arbeit diskutiert; @ nimmt fur x = 5 a den Wert f ( 2 a) an
und steigt mit abnehmendem Absolutwert von x bis zu dern
fiir x = 0, d. h. fiir zwei gleich starke Strahlenbiindel erreichten
Betrage 2f(a). Sie ist in der oberen Hiilfte von Fig. 5 zu
Y
Koharenz
Fig. 5.
sehen, wo nach oben die GroBe (I, - f ( 2 a) in einem willkiirlichen MaBstabe, und als Abszisse nach rechts die GroBe x
aufgetragen ist (a ist gleich 1 gesetzt). Fur i = 1, sowie far
Entropie von partiell koltiirenten Strahlenbiindeln.
23
x = fa wird @ =f (2a). I n den Rahmen dieser drei Qeraden und
der genannten Kurven ist die Entropieilache eingespannt.
a @ = { f r (a + r/a2 - (1 - i ) ( d- 2.2))
ai
Da
a3 - x z
a2- 1 - i) (a2- x z )
- f' ( a ]))-/r
ist, und
mit wachsendem z abnimmt, ist in dem ganzen physikalisch
bedeutsamen Bereich der Klammerausdruck negativ , dagegen
sein Multiplikator positiv, demnach:
dies gilt auch im Punkt x = 0, i= 0 , wo
wird.
Mil wachsender Koharenz nimmt die Entropie bei konstanten Intensitiiten ab. Nur langs der Grenzlinien x = f a
wird d @ / di = 0, weil hier, wo x1 oder xz Null ist, der
Koharenzbegriff keine Bedeutung mehr hat. Fur i = 1 wird
d @ / ai zugleich mit
f (a - r/d - (1 - i) (a2- x2)) negativ
unendlich; desgleichen
-
-f
(a - la2
- (1 - i ) ( d - 9))
a2
-
x ( 1 i) .~
- (1 - 2 ) (a2 - s2)
fur x = f a. Die Entropiefliiche fallt also zu den drei sie
begrenzenden Geraden senkrecht ab.
Die beste Ubersicht uber die Form der Fltiche gewahrt
aber die Betrachtung der Kurven gleicher Entropie, deren
Gleichung nach (29)
(1 - i ) ( d - Z Z ) = (2- xi)
autet; x: ist der Parameter der Schar. Fig. 5 zeigt in ihrer
unteren Hiilfte einige dieser Kurven; als Ganzes gibt sie eine
Darstellung der Entropieflache nach Art der daretellenden
Geometrie. Denkt man sie langs der x-Achse urn 90° geknickt und jede der Niveaulinien bis zur Hohe der ihr ent-
M. Laue.
24
sprechenden Geraden gehoben, so gelangt sie dabei auf die
Entropieflache.
Da die Differentialgleichung dieser Schar
di
da=-
Zx(1-i)
a2 x2
-
lautet, sind die Punkte x = & a , i = 1, in welchen d i / d x unbestimmt wird, singulare Punkte. I n der Tat setzt sich die
durch sie fuhrende Kurve, fur welche xi = a2 wird, aus den
Geraden x = fa und i = 1 zusammen. Diese drei Begrenzungsgeraden der Entropieflache bilden die tiefste Niveaulinie. Die
hochste hier auftretende Niveaulinie ist dagegen durch X; = 0
definiert, sic liegt aber nur mit dem Punkt x = 0, i= 0 in
dem physikalisch bedeutsamen Bereich. Von allen Strahlenpaaren gleicher Gesamtenergie haben also zwei inkohiarente,
gleich starke Strahlenbundel die grof3te Entropie. Auf den
anderen Niveaulinien erreicht i seinen Maximalwert x: / a2 fur
a =0, wahrend x seinen grogten im genannten Bereich liegenden
Absolutwert /xo/fur i = 0 annimmt.
Diese Kurven gleicher Entropie geben nun unmittelbar
an, wie sich die Koharenz eines Strahlenpaares bei gemeinsamer Spiegelung und Brechung andert. Alle Zustiinde, welche
durch Punkte derselben Kurve dargestellt sind, lassen aich
dabei durch passende Wahl des Reflexionsvermogens ineinander
iiberfuhren. Zwei inkohlreate Strahlen lassen sich z. B. in
zwei partiell kohiirente verwandeln, wenn man ihre Intensifiten
ganz oder teilweise ausgleicht. Die maximale Koharenz wird
bei vollst andigem Ausgleich erreiclit ; waren die Intensitaten
der inkohhrenten Strahlen xl‘ und x2‘, so betriigt sie
Umgekehrt 1aBt sich jedes Paar partiell koharenter Strahlenbiindel durch gemeinsame Reflexion und Brechung in ein vollkommen inkoharentes Paar verwandeln, wenn man die Differenz
der Intensitaten mtiglichst‘ vergrbBert. Ausgenommen sind nur
vollstlndig kohlirente Strahlenbundel, die wegen
I” = j x l
x2 = 0
stets wieder in zwei vollkommen koharente ubergehen, und
Entropie von partiell Aoharenten Strahlenbundeln.
25
zwei vollsttindig inkoharente Strahleabundel von gleicher Intensitat, die stets unverandert bleiben.
8
6. P a r t i e l l polarisierte Strshlung.
Eine partiell polarisierte Welle 1abt sich in den verachiedensten Arten als Superposition zweier senkrecht zueinander polarisierten Wellen auffassen. Herrschen in einem
Paar von aufeinander senkrechten Richtungen die Schwingungen 'p (1) und (t), BO herrschen in einem anderen Paar die
Schwingungen
f = c0sw.y + s i n w . q ,
g=-sinw.cp+cosw.y~,
wo w der Winkel zwischen entsprechenden Richtungen beider
Paare ist. Diese Gleichungen unterscheiden sich aber von (27)
wegen (26) nur in der Bezeichnungsweise; wir konnen ohne
weiteres
a=: c o a o , Q = sinw
setzen. Daher sind die Ausdriicke
1' = x 1 +-%,
Y =. j x 1 x 2
von der Wahl der Schwingungsrichtungen unabhaagig. Wir
kiinnen der Berechnung der Entropie eines polarisierten Strahlenbiindels
E = ( L [+((%I
~ 2 )
~ 2 ) '- 4 j x 1
+ L [+cxl+
+ + I(%,+
- V(TI,+ X a ) 2 - ' 4 j x ,
<>I
x,)i}
jedes beliebige Paar zueinander senkrechter Richtungen zugrunde legen. Ein partiell polarisiertes Strahlenbiindel la&
sich auch thermodynamisch ah Superposition zweier senkrecht
zueinander polarisierten, partiell koharenten Strahlenbiindeln
auffassen; daS diese in der Fortpflmzungsrichtung zusammenfallen, macht nichts &us.
Hieraus flieSt eine Bestatigung unserer Theorie , welche
sich wohl auch zu einem zweiten Beweise ausgestalten IieBe.
Diese logische Zerlegung in zwei partiell koharente, senkrecht
zueinander polarisierte Schwingungen laBt sich namlich ohne
Verlust an Kohiirenq oder Intensitat verwirklichen, wenn man das
M. h u e .
26
Strahlenbiindel durch eine doppelbrechende Substanz hindurchgehen la&. Die Reflexion beim Ein- und Austritt kann man
dadurch beliebig herabgesetzt denken, daS man die Brechungsindizes des Kristalles a19 nur wenig von dem der Umgebung
verschieden annimmt. Freilich ist dann auch die Doppelbrechung gering, doch laBt sich trotzdem auf hinreichend langen
Strecken die vollstandige Trennung der beiden Strahlenbundel
erzielen. Da der Vorgang umkehrkar ist, lassen sich zwei
inkoharente, linear polarisierte Strahlenbiindel auch auf dem
Wege ohne Entropiezunahlue in zwei partiell kobarente verwandeln, daB man sie zunachst durch Doppelbrechung zu einem
partiell polarisierten Strahlenbundel zusammensetzt und dann
dies nach zwei anderen Richtungen durch Doppelbrechung zerlegt.
Die Niveaukurven in Fig. 5 zeigen die Koharenzverhaltnisse
in einem partiell polarisierten Strehl. Die Koharenz ist Null
fur die beiden Hauptrichtungen, da die entsprechenden Intensicaten, die Hauptintensitaten xl’ und xa‘, den groBtmiiglichen
Unterschied besitzen. Da die Intensitaten fur zwei andere,
aufeinander senkrechte Schwingungen sich nach Gleichungen
x1 F xl‘ cosgw
xz‘ sina w ,
x, = xl’ sin2 w
x2’ cosa w
aus dem Azimut w gegen die Hauptrichtungen berechnen, und
j x1 xa = x1’x2’
sein muB, ist ihre Koharenz
+
+
Ihren Maximalwert
erreicht sie nach 0 4, wenn x1 = x g , also w = fzt/4 wird.
Es liegt nahe,
zur Messung des Polarisationsgrades
zu verwenden und die ,,Polarisation“
zu setzen.’)
Durch Angabe der Gesamtintensitat
x = xl’
+ x2‘
1) Dies MaS hat schon Chr. J e n s e n (BeitrBge zur Photometrie des
Himmels, Diss. Riel 1898; Metereol. Zeitschr. 36. p. 545. 1901) benutzt.
Entropie von partiell koharenten Straldenbundeln,
27
und der Polarisation ist dann ein Strahlenbundel vollkommen
definiert. Seine Entropie betriigt
oder umgekehrt ist.
Eine Ausnahmestellung nimmt elliptisch polarisiertes Licht
ein, welches stets vollkommen polarisiert ist, so daS es sich in
keine zwei inkoharente Hauptschwingungen zerlegen M t ; ihm
ist der Wert p = 1 zuzuschreiben, welcher siah aus (30) fur
vollkommene lineare Polarisation ergibt. Seine Entropie berechnet sich d a m richtig nach (31) zu
E=s~,(x).
Dritter T e i l .
Die Entropie von drei partiell kohiirenten Streblenbundeln.
5 7.
D i e Kohtirenzbeziehungen ewiachen drei p a r t i e l l
k o h l r e n t en S t ra h 1 en b iind eln.
Am Ende von 5 4 lernten wir ein Beispiel kennen, in
welchem zwischen den Koharenzen i f , , igh und inreine Gleichung
bestand; dies war aber nur durch die Annahme vollkommener
Inkohiirenz zwischen den Schwingungen fg' und A,' bedingt.
Jetzt wollen wir die Frage nach dem Zusammenhang dieser
drei Koharenzen in voller Allgemeinheit losen.
Wir gehen zu diesem Zweck wiederum von den Gleichungen
aus, in denen die Schwingungen fi und h; zu g vollstandig
inkoharent, dagegen
und h, zu g vollkommen koharent sein
sollen. Die letzteren sind daher auch zueinander vollkommen
koharent, d. h. es besteht eine Gleichung
(33)
hg = il cos a + f,* sin a ) ,
wahrend die Schwingungen fg' und hg' untereinander noch alle
Grade der Koharenz, von 0 bis 1, haben konnen. Wir werden
im allgemeinen
/Ig' = (h,'Ifi
VL,':;;
(34)
fs
(c
+
M. Aaue.
28
zu setzen haben, wo
(35)
( h i ) f i = p ( f i cos b + fg'* sin b)
zu fi vollkommen koharent, wahrend (hi);; zu
inkoharent ist.
Aus den Gleichungen (32) folgt aber
fi*hg' = psin bfg'8=
-~
~
sin bI/fg.'.(hi);:
fi
absolut
.
Nach Einsetzung dieser Werte in (36) ergibt sich im Hinblici
auf (20) und (21)
._
f B I I .h g l B
fh'
f,' p
i f h=
+ma
__
-
fs.h2
(37) ifh= i f gi g h
f2
+
ha
if,'hijfgjgh
(Wg*
hy
f9
B
+ 2 cos (a-b)l/if;,,;
-
ifgi g l L j f g j g h .
Zwischen den drei Koharenzen i f h ,i f , und iglL
besteht also im
allgemeinen keine Gleichung, sondern nur eine Ungleichung ;
da namlich sowohl if;h; als cos(a - 6 ) hochstens gleich 1 sind,
so ist
-(38)
ifh
(Gigh+
Vjfgjgh)'.
Man uberzeugt sich leicht, dab der rechtsstehende Ausdruck
hijchstens den Wert 1 erreichen kann, indem man if, = C O S ~ D C ,
igh= coszp setzt; diese Ungleichung beschrankt ifh also stets
auf einen Teil des ihm an sich zur Verfiigung stehenden Bereiches von 0 bis 1.
Nach (37) kann man offenbar, abgesehen von der Einschrankung durch (38), die vier Koharenzen i f h , i f , , igh und
if;h; willkiirlich bestimmen. Es konnte zunachst scheinen,
Entropie von partiell koharenten Strahlenbundeln.
29
als wiiren die Koharenzbeziehungen zwischen drei Schwingungen
sogar erst durch sechs GrijBen, au6er den genannten niimlich
und ig.f hlf , vollslandig festgelegt. Doch bestehen
durch ifthgrh
zwischen diesen GroBen zwei stets indentisoh erfiillte Gleichungen, so daf3 nun vier von ihnen unabhangig sind.
Betrachten wir namlich die schoii in (32) und (34) angewandte Zerlegung:
h = h, + h,' ,
h,' = Ch&
Die Summe
h,
+ (h,);;,
+ (hl;)f&'f
la& sich hier nach (34) und (35)als homogene lineare Funktion von 9,g, und fgr* darstellen; oder wenn man verm6ge der Gleichungen
fs'
f=f,+C,
f* = fg*
+ fg*,
(,' und f '*
eliminiert, als Funktion von f , f*, g und g*, oder,
was wiecferum dasselbe sagt, als homogene lineare Funktion
von f , f * , g; und. gi*. Im Gegensatz hierzu ist (hi);; nach
Definition inkoharent zu fg, aber als Differenz den zu g
inkoharenten Schwingungen hi und
auch inkoharent
zu 9; daher auch inkohkent zu
und zu fi und ebenso xu gf
und gi, der Differenz von g und g f .
Wir haben demnach eine Zerlegung
+As;* +
+
+
h = a,y;
r,f
h,
gefunden, wo h, zu gf' und f inkoharent ist. Es kann nur
eine solche Zerlegung geben. Setzen wir namlich noch eine
andere Zerlegung
h=a,gf'+~zg;*+yaf+6zf*+hz
an, wo ha wiederum zu g i und f inkohtirent ist, so ware durch
die Relation
0 =(%--"aggl+
(Pl-p,)Y;*+
(U,-?Jz)f+ (4--z)f*+
(hl--%)
die Differenz h, -ha durch g; und f ausgedruckt, wahrend sie
doch zu beiden inkoharent sein muB. Dieser Widerspruch
zwingt zu dem SchluB, da6 die Koeffizienten der letzten Gleichung identisch Null sind, dal3 also a,=a2 etc. und h, =h, ist.
M,Laue:
30
Dennoch finden wir eine zweite solche Zerlegung, wenn
wir von den Gleichungen
h = hf
h;
ausgehen.
=
+ h;
(h;)g,f
Denn hier ist
hf
+
(/q);,g
+ (h;)Y,l
eine homogene lineare Fanktion von f , f * , 9;. und g;*, dagegen (h;)hf, nach Definition zu g i und als Differenz von h i
und
zu f inkoharent. Daher mu6
h,
+ W)f;= h f + (hf?,;
(hg',a, = 04.+
sein. Und da nnch (21)
_-
__
-
(h '),, =j -f ; lbd
= j f ; h i j g h ha
(39 3
9 fg
ist, folgt aus der letzteren Beziehung die Gleichung
j f; h; i g h =j g ; hfrjf h I
welche sich wegen der Gleichberechtigung derschwingungen f , 9,h
unmittelbar zu der Doppelgleichung
(39)
jfhfYhl
__
.if 9
jYfflq
5-
j gh
- jhifgl
hf
erweitern laBt. Der Symmetrie halber fuhren wir als vierte
unabhangige Variable zur Charakterisierung der Koharenzverhaltnisse neben den drei Inkoharenzen ,,zweiter Ordnung"
j f g j, g h j,h f die ,,Inkoharenz dritter Ordnung"
(40)
=jf,j g h &,' f;= j f g j g ; h ; h f =jfig,,'jgh j h f
ein. Sie ist ein positiver echter Bruch, welcher Null wird,
wenn auch nur zwei der Schwingungen vollkommen koharent
sind, und welcher fur drei vollstandig inkoharente Schwingungen
den Wert 1 annimmt. Denn setzt man in (37)
i f , = igfL= i h f = 0 ,
so folgt
if;hg'= 0 , j f i h ; = 1
und aus (40)
J = 1.
Ohne der Frage nach der einfachsten Art, J zu bestimmen, naher zu treten, wollen wir wenigstens zeigen, daS es
h l r o p i e von partiell kohiirenten Strahlcnbundeln.
31
prinzipiell me0bar ist. Kennen wir namlich die Inkoharenz j f s ,
so wissen wir, in welchem Starkeverhaltnis wir f u n d g zu superaus f zu isolieren; die dazu notige
ponieren haben, urn
Phasendifferenz k 6 t sich durch Probieren bestimmen. Ebenso
konnen wir auch hg' isolieren, wennjg, bekannt ist, und dann
die Inkohkenz j f i h ; , aus welchen sich nach (40) J berechnen
laBt, nach der in 0 4 erwahnten Methode messen.
Die Zahl der unabhangigen Variablen, welche (bei gleichen
Werten von o)ein System von drei partiell koharenten Strahlenbiindeln bestimmen, betragt 7 ; es sind dies namlich die drei
reduzierten spezifischen Intensitaten x1, xa, x3, die drei Inkoharenzen zweiter Ordnung j , , , j , , , j , , und die Inkoharenz
dritter Ordnung J. Um die Anzahl der Invarianten zu ermitteln, von welchen die Entropie eines solchen Systems abhangt, miissen wir nun zunachst fragen, wieviel Freiheitsgrade
wir besitzen, wenn wir es auf umkehrbarem Wege in ein anderes
v erwandeln
.
§ 8. D i e Anzahl der Freiheitsgrade.
Ein optischer Vorgang, welcher drei Schwingungen y, 9,x
in drei andere, f , 9,h, iiberfiihrt, ist dem Superpositionsprinzip
gemaB stets durch Gleichuagen von der Form
f = a, (cp cos a,
+ cjc~* sin a,)+ b, (tp costs, + tp* sin p,)
h = ua (y cos a,
+ sp* sin a,)+ b, (9cos p, + v* sin &)
+
c1
(xcos Y, + x* sin UJ,
+ ( x cos Ya + x* sin 7,),
y = a3 (4p cos a, + y*sin a3)+ b, (qcos 1B, + w* sin p,)
+ ( x cos Ys + x* sin 7,)
c,
c3
dargestellt. Verlauft er ohne Absorption und macht er aus
drei Strahlenbiindeln von gleichem Werte von t~ drei von demselben Wert o (d. h. gilt der Sinussatz der geometrischen Optik),
so muB die gesamte Energie o X x , also auch 2%
ungeandert
bleiben, d. h. es mu6
p
fT + j %+ p = ?+ + xz
(42)
sein. Fiir die Momentanwerte f a etc. la& sich eine solche
Gleichung nicht anfstellen. Bei gemeinsamer Spiegelung und
M. h u e .
32
Brechung von zwei Strahlenbiindeln an einer planparallelen
Platte z. B. wiire
(fZ
+ 93 - (ua+ v9
proportional zur Abnahme der in der Platte befindlichen
Energie, also nur im zeitlichen Mittel gleich Null. Nach (41),
sowie nach (7), (lo), (11) und (12) ist aber
...
fa+?+P=(a;+b;+c;)ip+
+2 (a,6, (a,-B,) + a, b, (@, -&) + 6,
-A)) *+
+ 2 (al 6, sin (al-&) + 6, sin (aa-P,) +a3b3sin (a,-&J) y q * + ...
COS
COS
*'
COB (a3
*3
~
0,
Gleichung (42) fordert daher die Giiltigkeit der folgenden neun
Identitiiten:
u; + 6 ; + c ; = 1 ,
a: + bi + c: = 1 ,
a;+b:+c;=l,
a16, ~
(43)
~ ~ ( a ~ - p l ) + ~ 2 ~ , ~ ~ ~ ( ~ , - ~ , ~ + ~
+
cos (Pi -711 ba ~ 7 ,~ 0 (Is,
5 -YJ
cos (Y,c1 a, cos (Y1- a,) c2
al 6, sin (al-pl)
aa 6, sin (aa-Pa)
61 ~1
+
+
+ ba
+ b3
c3
-73) =0,
COB (Y3 - 4=0,
cos Gs,
+
+ as 6, sin (ocg-&J
+ 6.3 sin
CQ a3
= 0,
sin @ 1 - - ~ 1 )
ca sin (Ba-72)
~3
(/93-~3)=0,
c1 a, sin (7, -a,)+ ca u2 sin (y2-az)+ c, u3 sin (y3-cc,) =0.
Von den 18 Parametern a,, a, . . eel, cc2 . . . in (41) sind
demnach neun willkurlich zu wahlen. Doch entspricht nicht
jedem von diesen ein Freiheitsgrad zur Veranderung der Intensititen und KohlrenzgroBen. Vielmehr kann man au8 den
Gleichungen (41) auch drei Beziehungen zwischen den Funktionen
P = f cos A + p s i n i l ,
(I, = cpcosil'+ rp*sinY,
G = g c o s p + g*sinp,
zY= qcosp'+ q*sinp',
H = h cog v + h* sin v,
X = x cos v' + x* sin v'
ableiten, welche lauten:
P = al[@cos(a~, I - A') + @,"sin(a, + A - A')]
b, [ PCOS
(p, I - p') P*sin (p, A - p')]
+ c1 [X cos (yl+ A - v') + X*sin(yl + A - v')] etc.
Hier treten die Differenzen der sechs Phasenverschiebungen
A, p, v, h; p', v' auf, von denen funf voneinander unabhangig
b,
c1
.
+
+
+
+
+
Entropie von partiell Roharenten Strahlenbundeln.
33
sind; urn die Gleichungen (41) zu vereinfachen, konnen wir beispielsweise
a,+I-Z=O,
/Ix + I - p ’ = O ,
%t
P - P’= 0 ,
yz + p
Y ’ C 0,
ys + v - v’= 0
setzen. Die Anzahl der Gleichungen (43) bleibt davon unberiihrt, wie man leicht sieht. Nun haben aber die Schwingungen F, G, H, @, V, X dieselben Intensitaten wie f , 9,h,
sp, q,x; sie stehen auch in denselben Koharenzbeziehungen
zueinander, wie die letzteren. Zur Anderung der Intensitaten
and Koharenzbeziehungen stehen uns also nur vier Freiheitsgrade zur Verfiigung.
Dieselbe Uberlegung fur n Strahlenbundel ergibt 2 n2 Parameter in den n zu (41)analogen Gleichungen, dagegen n2 Beziehungen, welcbe den Identitaten (43) entsprechen ; fur bloBe
Phasenveranderungen werden dabei 2 n - 1 Freiheitsgrade verbraucht. Zur Veranderung der Intensitaten und Koharenzbeziehungen bleiben demnach
2 na - n2 - (2 n 1) = (n- 1)2
+
-
-
Freiheitsgrade ubrig; fur n = 2 nur einer, in Ubereinstimmung
mit 5 5, welchet uns fur die drei Variabelen xl, x,, j , , zwei
Invarianten kennen lehrte.
Dies Ergebnis hat aber nur dann fur uns Bedeutung,
wenn ein Vorgang von der betrachteten Art in der Natur
moglich ist, und wenn wir sicher sind, dab er umkehrbar verlauft. Denken wir uns nun ein System von drei partiell koharenten Strahlenbundeln nacheinander drei gemeinsamen
Spiegelungen und Brechungen von j e z wei Strahlenbiindeln
unterworfen, welche durch die Gleichungen (vgl. (26) und (27))
(44)
Annnlen der Physik. IV. Folge. 23.
3
34
dargestellt sind.
Ic1; Laue.
Deuten mir y , v, x; spl,
vl, xl;y s , vatxz;
f , 9,h als rechtwinklige Koordinaten im Raum, so stellt jeder
dieser drei Vorgange die Drehung des Koordinatenkreuzes um
eine seiner Achsen dar. Bekanntlich lafit sich jede Drehung um
den Anfangspunkt durch drei solche Drehungen ersetzen,
wahrend eine vierte zu keinem Ergebnis fiihrt, das nicht auch
schon mit dreien zu erhalten ware. Der durch (44) dargestellte Vorgang gibt uns also drei Freiheitsgrade in die Hand.
Offenbar erhalten wir aber einen vierten, wenn z. B.
nicht spz = y l , soudern
cp2 = y1cos oc yl*sin a
+
ist. Daher la6t sich jeder absorptionslose, mit dem Sinussatz vertragliche Vorgang, welcher ein System von drei partiell
koharenten Strahlenbundeln in ein anderes urnwandelt, durch
drei gemeinsame Spiegelungen und Brechungen von j e zwei
Strahlenbiindeln ersetzen. Dieser Satz ist auch auf mehr als
drei Strahlenbundel zu ubertragen (nur ist dann die Zahl der
Spiegelnngen und Brechungen groBer) und beweist, daS Absorptionslosigkeit und Giiltigkeit des Sinussatzes hinreichende Bedingungen fur die Umkehrbarkeit eines optischen Vorganges sind.
5
9. Die Entropie.
Nach $j7 haben wir sieben unabhangige Variabele, nach
8 vier Freiheitsgrade. E s muB also drei Invarianten geben,
welche die einzigen Kombinationen darstellen, in denen xl, x2, 1c,,
jlB,
j Z 3j,,
, und J in der Formel fur die Entropie auftreten
konnen. Da wir jede miigliche Umwandlung unseres Systems
durch eine Reihe gemeinsamer Spiegelungen und Brechnngen
von zwei Strahlenbundeln ersetzen konnen, und die drei Invarianten naturgemaB bezuglich der Indizes 1, 2, 3 symmetrisch
sind, genugt fur jede Invarinnte dar Nachweis der Unveranderlichkeit bei gemeinsamcr Spiegelung und Brechung der
Strahlenbundel 1 und 2.
Bei diesem Vorgang sind aber nach 9 5 unveranderlich
die GroBen
145)
und
(46)
x1
A,
+
xz;
Entropie von partiell koliarenten Straldenbundeln.
35
ferner die Intensitat x3 des unverandert bleibenden Strahlenbundels 3, sowie die GroBe
(47)
. i 1 3 ' j 2 3 X3' 7
Setzen wir namlich wieder
XI = f.2,
x2 = 9 8 , xs = ti=,
so ist nach (39a)
~
__
j13'jas
und (hi)'f; ist nach
an h, wahrend
x3 = j f i l & ij y h
h2 = (A;);:,
8 7 der zu f u n d
h - (h&;
= A,
;
g inkoharente Anteil
+
eine lineare Kombination von f und g darstellt; also auch
eine lineare Kombination der Schwingungen, in welche f u n d g
bei der Spiegelung und Brechung ubergehen, wahrend (hLTf;
auch zu den letzteren inkohhent ist. Eine derartige Zerlegung ist aber (ebenfalls nach 8 7) eindeutig; daher bleibt
bei Spiegelung und Brechung unverandert, und ebenso
der A d r u c k
j:,
A 2 x3 *
SchlieBlich behalt dabei noch der Ausdruck
seinen Wert.
Denn setzt man nach (26) und (27)
I) j ; , sol1 die fruher als
jfih;
bezeichnetc GrijEe sein.
3*
AI. Laue.
36
_ -
y”.i ‘ d - ( g h 2+ g T 2 )= @ [ y a . p- (<Fa
+ yx*L)]
_ _
+ d2 [ w Z X2 --(G2
+ GZ2)J
_
_
~~
_
_
- 2 6 0 [ y w .x2- ( y x .wx + y x ” . V X * ) l .
-,
*
Daraus folgt durch Addition die zu beweisende Gleichung :
s”.~-(gh2+yh*2)+f’”.h2-((flL2+f.hh2)
_
_ - (G2
-_
yz.x2
+ ?Z2)
+_
y r * X z - - (yx2 + -cpx*2).
Gelingt es uns jetzt, aus den Ausdriicken (45), (46),(47),
(48) und x3 drei Kombinationen zu bilden, die sich durch
Vertauschung der Indizes 1, 2, 3 nicht andern, so sind dies
die gesuchten Invarianten. Addieren wir nun zu (45) z 3 , SO
erhalten wir die erste GroBe
I’= x1 x2 x 3 ,
+ +
auf welche dies Kriterium zutrifft ; addieren wir ferner (46)
nnd (48),so finden wir die zweite dieser Art, namlich
1”sj 1 2
xz
+j z 3
x2 x3
+j,,
x3
und multiplizieren wir schliefilich (46) und (47), so finden wir
i n Rucksicht auf Gleichung (40),nach welcher
=j12j23j’13
i n den Indizes 1, 2, 3 symmetrisch ist, als dritte Invariante
P,= Jx,X, x 3 .
Fur drei inkoharente Strahlenbiindel ist nun nach $8 4
nnd 7
j,, =j,, = j .31 = J = 1.
La& sich unser System auf umkehrbarem Wege auf solche
zuriickfuhren, so bestimmen sich ihre Intensitaten Kl, K,, K 3
aus den Gleichuugen:
Kl + K2 x3= I’,
Kl K2 + K2AT3+ K.. K, = I”,
Kl AT, K3 = 7”.
Daraus folgt:
Die Entropie eines Systems von clrei partiell hoharenten
Straldenbiindeln hetragt:
+
(49)
+
E = 6 I? (K,
1 -6 (A?,)
+ I;(K3)]
Entropie von partiell koharenten Stralilenbundeln.
37
wohei K,, I<,, K, die Wurzeln der kubischen Gleichung
k's
1' k ' 2 + I" k' - I"'= 0
(50)
-
sind, und die Koeffizienten 1', I", I
(51)
1
r
die Werte
+x,+x31
f' = j,, x1 x,
I=Jx,x2 X,
+j?, x, x, +j,,
x3
1
haben. Dabei sind, um es zu wiederholen, die x die reduzierten spezifischen Intensitaten der Strahlenbundel, die j die
in 8 4 definierten Inkoh'ienzen zweiter und J die Inkoharenz
dritter Ordnung.
1st x, = 0, 80 verschwindet TIr, also auch eine von den
drei Wurzeln von (50); da sich zugleich I" aufj,, x1 x, reduziert,
findet man unmittelbar die Formel (28) fur die Entropie zweier
partiell koharenter Strahlen wieder. 1st J c 0, so verscbwindet
ebenfalls I"' und eine der Wurzeln. Das System lafit sich
dann auf zwei inkoharente Strahlenbundel zuruckfiihren. Hierher geh6rt auch der Fall, daB von den drei Strahlenbiindeln
zwei vollkommen koharent sind. Dann ist eine der GriiSen j ,
etwa j12,
gleich Null, nach (40) also auch J, wahrend aus (37),
indem man die Indizes f , g, h mit 1, 2, 3 vertauscht, j , , = j Z 3
folgt, so daB
I" =j,, (xl x2)xQ
+
wird. Man sieht hieraus, daB zwei vollkommen koharente
Strahlenbundel einem einzigen thermodynamisch aquivalent
sind, dessen spezifische Intensitat die Summe ihrer spezifischen
Intensitaten ist; denn x1 und xZ treten dann nur noch in der
Verbindung x1 + xa auf. Sind endlich alle drei Strahlenbundel
vollkommen koharent, so verschwinden alle Inkoharenzen, mit
ihnen die Inverianten I" und I"' und zwei der Wurzeln von
Gleichung (50), wahrend die dritte gleich F wird. Die Entropie
eines solchen Systems ist also nach (49) und (51)
E = o L (xl + x2 + x 3 ) .
Schon an diesen Beispielen und ebenso an dem trivialen
Fall dreier inkoharenter Strahlenbundel, in welchem xl, x, , x,
selbst die Wurzeln der Gleichung (50) sind, sieht man, daB
diese reelle positive Wurzeln haben kann. Negative reelle
M. Aaue.
35
Wurzeln sind auch schon allein dadurch ausgeschlossen, daB
ihre Koeffizienten abwechselnd positiv und negativ sind. Dagegen ist mir der Beweis nicht gelungen, da6 komplexe Wurzeh
unmoglich sind. Traten solche einmal auf, so liege sich das
gegebene System auf keinem umkehrbaren Wege in drei vollkommen inkoharente Strahlenbundel verwandeln, und der Beweis von Formel (49) wurde insofern hinfallig, als die Art der
Abhangigkeit der Entropie von den Invarianten I f , I", I"'
unbestimmt bliebe, obwohl diese Formel auch dann noch einen
reellen Wert lieferte.
Ebenso lassen wir es zweifelhaft, wie sich unser Ergebnis
auf mehr als drei Strahlenbundel ubertragt. Die erste Inrariante hat dann naturlich den Wert
und die zweite
Die Doppelsumme hier setzt sich namlich zusammen aus dem
Glied
A 2
x1 xz
9
ferner aus Termen, die wie
A 4 x3 x4
die Indizes 1 und 2 nicht enthalten, und aus Ausdrucken von
der Form
j,,x,x,
fj21x2xt;
alle diese Summanden bleiben aber bei gemeinsamer Spiegelung
und Brechung der Strahlenbundel 1 und 2 unverandert Der
1
Faktor 2! ist hinzugesetzt, weil jeder Summand j,, xI x, auch
noch in der Form j m l x m x l auftritt.
Man kann vermuten, und die Betrachtung am SchluB der
nachsten Paragraphen stutzt diese Annahme, da6
wird, wo
Jlmno
eine ,,Inkohairem vierter Ordnung" ist; bei
Entropie uon partiell Roharenten Strahlenbundeln.
39
allen diesen Summenbildungen sind nur voneinander verschiedene
Werte der Indizes I , m, n, o zuzulassen. Die Entropie ware dann
wo die Kl die n Wurzeln der Gleichung
k'" - I ' k ' n - 1
f p
p - 2
- ,. . fI 0 = 0
bedeuteten. Doch scheinen mir auf diesem Gebiete noch
manche Schwierigkeiten zu liegen.
Allgemeine Folgerungen.
In 9 4 wurde gezeigt, daB die isotherme Spiegelung, d. h.
die Reflexion eines Strahlenbiindels an einem Kijrper von
gleicher Temperatur , die Koharenz des ersteren zu einem
anderen Strahlenbundel herabsetzt; und in 0 5 wurde abgeleitet,
daB mit abnehmender Koharenz die Entropie zunimmt. Demnach ist die isotherme Spiegelung, welche als umkehrbar zu
bezeichnen ist, wenn es sich n u r um den reflektierenden Ktirper
und das gespiegelte Strahlenbundel handelt, irreversibel, sobald
man noch ein ihm partiell koharentes Strahlenbundel mit in
Retracht zieht. Der eigentliche Grund dafur liegt aber nicht
in dem Vorgang an der Grenzflache, sondern allein in der
Absorption und Zerstreuung des in den Xorper eindringenden
Strahlenbiindels; denn dies biiBt dabei zwar nicht seine Intensitat,
wohl aber die Koharenz zu dem genannten ein.
Ferner ist in einem von vollkommen spiegelnden Wanden
eingeschlossenen , absorbierende und diathermane Kijrper enthaltenden Rohlraum Gleichheit der Temperatur aller Kbrper
und Strahlenbundel noch nicht hinreichende Bedingung fur den
Zustand maximaler Entropie. Vielmehr ist es denkbar, daB
trotz des vollzogenen Temperaturausgleiches noch partielle
Koharenz zwischen einigen Strahlenbundeln besteht. Bei jeder
Absorption und Zerstreuung wird diese aber herabgesetzt,
wahrend neue Koharenzen nicht geschaffen werden ; denn gleichtemperierte, inkoharente Strahlen liefern nach 8 5 auch bei
gemeinsamer Spiegelung und Brechung stets wieder inkoharente
Strahlen. Daher nahert sich der Zustand mit der Zeit sicher
dem durch absolute Inkoharenz gekennzeichneten Entropie-
M. h u e .
40
maximum. Die Theorie ist also vollkommen im Recht, wenn
sie auf Gleichgewichtszustande das Additionstheorem anwendet.
Nur falls der Hohlraum gar keine absorbierenden Substanzen
enthalt, kijnnen sich in ihm - wie auch andere instabile
Koharenzen dauernd halten.
Strahlungszustande l)
Eine andere Folgerung betrifft die Fortpfhnzung der
Strahlung in dispergierenden Korpern. Bei fehlender Absorption
lassen sich datrei drei Stadien unterscheiden z, : Im ersten
schreitet die Welle mit Gruppengeschwindigkeit fort und erleidet periodische Formanderungen, indem an die Stelle der
Schmingung f
f cos a f* sin 01
-
+
tritt, wobei cz zur zuriickgelegten Strecke proportional ist ;
Koharenzverhaltnisse werden dadurch nicht beriihrt. Im zweiteu
bewirkt die Dispersion der Qruppengeschwindigkeit eine starker
und s t k k e r werdende Formanderung, welche die Kohiirenz naturlich irnmer mehr herabsetzt. Im dritten Stadium endlich ist die
Welle in einen langen Zug angenaherter Sinusschwingungen
aufgelost, deren Periode sich nur langsam andert. Sinusschwingungen gleicher Periode sind aber stets interferenzfahig,
ganz unabhangig von ihrem Ursprung. Man konnte dann also
die Strahlung verschiedener Borper zur Interferenz bringen,
was sich unmittelbar zur Konstruktion eines Perpetuum mobile
zweiter Art verwenden lieBe.3) Der zweite Hauptsatz fordert
daher, daB die Strahlung praktisch vollkommen absorbiert und
zerstreut ist, bevor sie das letzte Stadium erreicht.
Jetzt kijnnen wir aber zeigen, daB dem Entropieprinzip
zufolge nicht einmal das zweite, vie1 fruher eintretende Stadium
ohne wesentliche Schwachung erreicht werden darf. Leiten
wir namlich das eine von zwei koharenten, anfangs im Vakuuln
befindlichen Strahlenbundeln durch ein dispergierendes Mittel,
so wiirde im zweiten Stadium mit abnehmender Koharenz die
Entropie wachsen. Lassen wir es darauf wieder ins Vakuum
austreten, und das andere in demselben Mittel dieselbe Strecke
1 ) M. P l a n c k , Vorl. uber Theorie der Warmestrahlung, Leipzig
52.
2) M. L a u e , Ann. d. Phys. 18. p. 523. 1905.
3) M. L a u e , Ann. d. Phys. 20. p. 365. 1906, vgl.
3.
1906. Q 51 und
Zntropie von partiel2 koharenten Struhlenbundeln.
41
zurucklegen, so erlitte dies dieselbe Anderung der Schwingungsform, die Koharenz und rnit ihr die Entropie nahme wieder
den Anfangswert an. Auch diesem Widerspruch mit dem
Entropieprinzip entgeht man nur durch die Annahme starker
Absorption. Tatsachlich ist meines Wissens auch noch nie
eine Abnahme der Interferenzfahigkeit bei der Fortpflanzung
durch dispergierende Mittel beobachtet worden. Selbst bei
einem Woodschen Versuch l), bei welchem das Licht der gelben
Heliumlinie sehr stark anomal dispergierenden Natriumdampf
durchsetzte, behielt es seine Koharenz kollkommen.
Es ist bemerkenswert, daB diese zweite Einschrankung
in1 Gegensatz zu der ersteren sich nicht auf das Prinzip von
der Unmoglichkeit des Perpetuum mobile zweiter Art zuriickfuhren lafit, sondern auf dem B o 1t z m a n n schen Gedan ken
des Zusammenhanges zwischen Entropie und Wahrscheinlichkeit und der daraus entspringenden Planckschen Idee der
Nichtgultigkeit des Additionstheorems beruht; denn nur auf
dieser Grundlage laBt sich uberhaupt die Koharenz thermodynamisch werten.
Zum SchluB wollen wir noch einen Schritt zur Deutung
unseres Ergebnisses im Sinne dieser Theorie unternehmen.
Sind die Intensitaten x1 und xa zweier Strahlenbiindel groB
gegen h v 3 / c z und ist ihre Inkoharenz j,, nicht gerade klein
gegen 1, so sind in Gleichung (28) die Argumente der beiden
L-Funktionen von derselben GrbBenordnung wie x1 und x z ,
und man kann Formel (23) durch die einfachere Beziehung
ersetzen.
hieraus
Wir befinden uns d a m , da fur die Temperatur T
1
------ 8 L - k2 v 2
T
ax
c2x
folgt, im Gultigkeitsbereich des Rayleighschen Strahlungsgesetzes2); d. h. wir vernachlassigen die GroBe des elementaren
Wirkungsquantums (Lichtquants). Da die Wahrscheinlich1) R. W. Wood, Phil. Mag. (6) 8. p. 324. 1904.
2) M. Planck, Theoric der Wtirmestrahlung p. 159. Leipzig 1906.
42
M. Laue.
keit W ( X )eines Strahlenbundels mit seiner Entropie durch die
universelle Beziehung
E = klog W
verknupft ist, wird dabei
(53)
W ( 4=
va
2 %a-
(-)
cz
.
Setzen wir nun (52) in (28) ein, so finden wir fur die
Entropie und die Wahrscheinlichkeit eines Systems von zwei
partiell koharenten Strahlenbiindeln nach (53)
Bei absoluter Inkoharenz waren demnach die Wahrscheinlichkeiten beider Strahlenbundel einfach zu multiplizieren, wie das
selbstverstandlich ist. F u r partiell koharente Strahlenbundel
hat man dagegen gemaB unserer Definition der Inkoharenz j
(Gleichung (21)) dabei von der Intensitat des einen den Anteil
abzuziehen, der von dem zum anderen Strahlenbundel koharenten
Anteil der Schwingung herruhrt, und nur ihren dazu inkohkenten
Anteil zu berucksichtigen; denn dessen Intensitat ist
Bei drei Strahlenbiindeln, fur welche j,,, j Z 3j,3 , und J
nicht gerade klein gegen 1 sein durfen, geht Forinel (49) durch
Substitution von (52) gemaB (50) und (51) uber in
Da nach (40)
so wird nsch (53)
Entropie uon partiell koharenten Strahlenhundeln.
43
derjenige Anteil an der Intensitat lcs, welcher allein von dem
zu den beiden anderen Strahlenbundeln inkoharenten Anteil
der Schwingung h herruhrt.
Man sieht ohne weiteres, wie sich die Wahrscheinlichkeit
von vier, funf und mehr Strahlenbundeln berechnen wird;
unsere Vermutung uber die Entropie, die wir am Ende von 8 9
aussprachen, findet hierin eine Stutze. Auch ahnt man, daB
unsere rein phanomenologisch abgeleiteten Formeln im Lichte
der Wahrscheinlichkeitstheorie einen einfachen Sinn erhalten
werden. Diesen zu entdecken, mu8 das nlchste Ziel der
Thermodynamik der Interferenzerscheinungen sein.
B e r l i n , MLirz 1907.
(Eingegangen 27. MLrz 1907.)
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