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Die Ermittlung von radialen Verteilungsfunktionen aus dem Beugungsbild zweidimensionaler amorpher Strukturen.

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166
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 17, Heft 3-4
*
1966
Die Ermittlung von radialen Verteilungsfunktionen
aus dem Beugungsbild zweidimensionaler amorpher
Strukturen
Von G . BECHERER,
G . HERMS
und P. AHRENHOLZ
Mit 8 Bbbildungen
Herrn Professor Dr. W . Messerschmidt zum 60. Geburtstag a m 6. Marz 1966
gewidmet
Inhaltsiibersicht
Ausgehend vom Intensitiltsverlauf im Beugungsbild amorpher zweidimensionaler
Strukturen werden Formeln fur die radialen Verteilungsfunktionen abgeleitet. Als Anwendung werden die radialen Verteilungskurven einiger Lochanordnungen ermittelt und
mit der Ausgangsstruktur verglichen. Die Auswirkungen von MeBfehlern auf das Aussehen
von Verteilungskurven werden gezeigt und die Parallelen zu den Verteilungskurven amorpher Substanzen hervorgehoben.
___
1. Einfiihrung
Ihre groBte Bereicherung hat die Rontgenstrukturanalyse nichtkristalliner
Stoffe zweifellos durch die Einfuhrung der radialen Verteilungsfunktionen erfahren [l]. Mit ihrer Hilfe ist es bekanntlich moglich, auf direktem Wege zwei
Bestimmungsstucke der Struktur - Atomabstande und Koordinationszahlen aus dem Streuverlauf zu gewinnen. Die Vergangenheit hat aber gezeigt, daB
dieses Werkzeug manchmal zu bedenkenlos benutzt wurde. So wurden z. B. in
einer von GRJOTHEIM[2] kritisierten Arbeit wellenformige Storungen, die bei bestimmten MeBfehlern in der Verteilungskurve auftreten, als Beweis fur einen
hoheren Ordnungsgrad angesehen. Ein wenig wahrscheinliches Strukturmodell
erfuhr seine Stiitze durch ein Maximum der Verteilungskurve, von dem BECHERER und Mitarbeiter [3] zeigen konnten, daB es sich urn ein unechtes Maximum
infolge des Abbrucheffektes handelt. I n einem anderen Falle [4] wurde die Tat8sache, daB bei Si0,-Glas Koordinationszahlwerte von 4 , 3 * -.4,8 bestimmt wurden, als Beweis fur die Existenz einer Sechser-Koordination des Sauerstoffs angesehen, obwohl erst in neuerer Zeit die systematischen Verfalschungen der B o ordinationszahl durch Abbrucheffekt und Verteilungsbreite der Abstiinde geklart wurden [5]. Danach fallt bei sehr wenig schwankenden Abstiinden die Koordinationszahl urn fast 18% zu groB aus, wodurch die beobachteten Abweichungen eine ausreichende Erklarung finden.
Die angefuhrten Beispiele zeigen, daB die Eigenheiten der Verteilungsfunktionen, ihre Anfalligkeit gegenuber verschiedenen Arten von MeBfehlern und die
G. BECHERER,
G. HERMSu. P. .4HRENAOLZ: Radiale Verteilungsfunktionen
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ihnen innewohnenden systematischen Fehler, manchmal nicht geniigend beriicksichtigt wurden. Eine Moglichkeit, mehr uber Verteilungsfunktionen zu erfahren und mit ihrer richtigen Handhabung vertraut zu werden, bietet die Beschaftigung mit den Verteilungsfunktionen zweidimensionaler Modellst,rukturen, iiber die im folgenden berichtet wird.
2. Die Verteilungsfunktion fur ,,amorphe" Bnordnungen gleiehgoSer Hreisof fnungen
Eine undurchsichtige Ebene sei mit transparenten kreisformigen Offnungen
gleicher GroBe versehen. Sie mogen so verteilt sein, daB keine Fernordnung, wohl
aber eine Nahordnung vorliegt. Die Ebene werde als Beugungsmaske in den
parallelen Strahlengang einer FRAnNHoFERschen Beugungsapparatur gebracht.
Bei geniigender Anzahl N von Offnungen wird der Intensitatsverlauf i m Beugungsbild gegeben durch
Dabei ist s
=
in
sin 0
die Winkelvariable
A
-L
f(s) = Amplitude der Beugung an der einzelnen Kreisoffnung, im folgenden als
Formamplitude bezeichnet
Jo = BEssELsche Funktion 0. Ordnung
rlnn= Abstand des Attoms m vom Atom n.
Da im Mittel die Nachbarschaft einer Offnung gleich der einer beliebigen
anderen ist, 1aBt sich die Doppelsumme ersetzen durch N 2 Jo ( s r m n ) bzw.
,
durch
m
N 2 n, Jo (sr,), wenn zweckmaBigerweise in der Reihenfolge wachsender rr sum%
miert wird (n,ist dabei die Anzahl der Locher im Abstand r t ) . Denkt man sich
die Verteilung durch eine kontinuierliche Funktion A ( r )beschrieben, so wird die
Anzahl der Offnungen zwischen r und r
dr gegeben durch A ( r ) . d r , oder
durch 2 n r e ( r )d r , wenn e ( r ) die Anzahl der Offnungen pro Flache angibt. Die
+
Q
2 n r e ( r )J o ( s r )dr ersetzt wer-
Summe uber m kann daher durch das Integral
0
den. Wird noch die mittlere Dichte Po eingefiihrt, so nimmt G1. (1)die Form
an. Der Beitrag des rechten Integrals darf vernachlassigt werden, wenn die unmittelbare Umgebung von s = 0 ausgeschlossen wird. Die obere Grenze des
linken Integrals laBt sich durch 00 ersetzen, da angenommen werden darf, da13
e ( r ) fur wachsende r sehr bald in Po iibergeht. Es folgt
2 n r { p ( r ) - e,,> J o ( s r )
(3)
Mit der Abkiirzung
( 4)
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Band 17, Heft 3-4
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schreibt sich G1. ( 3 )in der Form
m
i(s) = 2n
J
0
r { e ( r , - Qo} J o ( s r ) d r .
(5)
Durch eine zum FouRIERschen Integraltheorem analogen Transformation [ 6 ]
1a13t sich GI. (5) umkehren in
00
1
e(r)-po=T-J
si(s)J0(sr)ds.
2 n0
Daraus ergibt sich die radiale Verteilungsfunktion fur eine ,,amorphe" Anordnung identischer Kreisoffnungen :
m
2 n r e ( r ) = 2ne0r
+ r J s i ( s )~ , ( s r cis.
)
0
(6)
3. Die Terteilungsfunktion bei Kreisoffnungen versehiedener GriiIIe
G1. (6) lie13 sich in volliger Analogie zum Falle der Rontgenbeugung an einatomigen amorphensubstanzen ableitenl) (vgl. [71). Besteht die zweidimensionale
amorphe Struktur aus Lochern verschiedener GroBe, die in identischen Gruppen
(Struktureinheiten) angeordnet sind, dann ld3t sich eine Naherungslosung finden, die der WARRENsChen Gleichung fur mehratomige Substanzen analog ist.
Auch der Weg, auf dem dies geschehen kann, entspricht vollig dem Vorgehen bei
der Rontgenbeugung (vgl. [8] oder [3]).
Die Struktureinheit bestehe aus N A (z. T. verschieden groBen) Lochern, die
bei allen Einheiten in gleicher Weise mit v = 1,2,3 ... usw. durchnumeriert
sind. Die Maske enthalte N s solcher Struktureinheiten, habe also N = N s . N A
offnungen. Dann liifit sich die Intensitat im Beugungsbild durch
beschreiben. Damit die Transformation in den physikalischen Raum moglich
wird, mussen die Formamplituden, die in verschiedener Weise von s abhangen,
czngenahert werden durch
f v (8) = Kv f e (8) *
(8)
Die Funktion
fe
(s) wird berechnet aus
wobei Fv die Flache einer Kreisoffnung der Art v ist. Die Flache Fv tritt an die
Stelle der Elektronenzahl 2, des Atoms v im Rontgenfalle. (Es 1L13t sich namlich
zeigen, da13 bei der Lichtbeugung am Kreis f ( 0 ) gleich der Kreisflache F ist,
wahrend bekanntlich fur die Atomformamplitude f (0) = 2 gilt.) Entsprechend
1) Die hier der Kiirze halber gewahlte Ableitung gibt wie bei GINGRICH
[7] die ,,VOlumenstreuung" nicht richtig wieder, wag jedoch auf G1. (6) oder Gl. (12) ohne EinfluB
ist. Eine ausfuhrlicheDaratellung wird in der Wiss. Z. d. Univ. Rostock erscheinen.
G. BECRERER,
G. HERMSu. P.-AHRENHOLZ:
Radiale Verteilungsfunktionen
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ist Kv in G1. (8) eine ,,effektive Fliiche" in Analogie zur ,,effektiven Elektronenzahl". Die G1. (7) fur die Intensitiit laBt sich also niiherungsweise
schreiben. Die Summierung iiber m kann wieder wie oben durch ein Integral
G
AY(r)JO(sr)
dr ersetzt werden, wobei A Y ( r dr
) die Summe aller effektiven
0
+
d r ist, der die Kreisoffnung v
Fliichen im Kreisring mit den Radien r und r
A Y ( r )dr
zentrisch umgibt. Durch Einfuhrung von gv ( r ) = -.folgt
g v ( r )gibt die ,,effektive Flache" pro Fliicheneinheit, an. Wird nun go, das Verhiiltnis der Gesamtfliiche aller Kreisoffnungen zur Flache der Maske eingefuhrt,
so lafit sich auf ganz analogem Wege wie oben (Gl. ( 2 ) - . - ( 6 ) )die radiale Verteilungsfunktion
NA
NA
2 n r KvgY(r)
~
= 2nrg,-,2
V
Y
m
K,
+ r J si(s)Jo(sr)ds
0
(12)
ableiten. In dieser Formel hat i (s) eine andere Bedeutung :
4. Beugungsapparatur und Beugungsmasken
Die Beugungsaufnahmen wurden in einer FRAuNROFERsChen Anordnung mit
2 Linsen von ie 120 cm Brennweite hergestellt. Als ,,punktformige Lichtquelle"
diente eine Lbchblende von 0,12 mm 0 ,
auf die der Bogen einer Hg-Hochstdrucklampe HBO 50 unter Zwischenschaltung
eines Metallinterferenzfilters (A= 546 nm)
abgebildet wurde. Kleinere Lochblenden
(bis 0,02 mm 0 ) erbrachten keine Anderung im Intensitiitsverlauf, abgesehen
von einem verstiirkten Hervortreten der
Geister [9]. Zur Gliittung des Intensitiitsverlaufes rotierten die Beugungsmasken
wiihrend der Aufnahme. Die auf ORWO
NP 10 aufgenommenen und in H 02 entwickelten Beugungsbilder wurden langs
eines Durchmessers mit dem Zeiss-Schnellphotometer fotometriert.
Abb. 1. AnreiBhilfsmittel
Die Herstellung der Masken erfolgte
euf photographiscvhem Wege. ZuniicYhst
wurden die zweidimensionalen Modellstrukturen auf Zeichenkarton entworfen,
wobei AnreiBhilfsmittel der in Abb. 1 gezeigten Art Verwendung fanden. Es
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handelt sich um zwei stabile Metallscheiben, die mit Stahlstiften versehen sind
und durch Eindrucken in den Zeichenkarton die Mittelpunkte der Offnungen
markieren. Die etwa in der Mitte der Scheiben angebrachten Stempel werden
benutzt, wenn ,,zweiatomige" zweidimensionale Strukturen im Sinne der
ZACHARIAsENsChen Netzwerktheorie konstruiert werden sollen (vgl. Abb. 7).
Einer der Stifte iibernimtnt gleichzeitig die Funktion eines Scharnieres, wodurch
das SchlieBen der Netzwerkmaschen sehr erleichtert wird. Die Offnungen wurden
mit Locheisen ausgestanzt, die mit Zentrierstift versehen waren. Der gelochte Zeichenkarton wurde mit schwarzem Papier hinterlegt und im MaBstab 1: 26 auf
ORWO - FU 5 - Planfilm fotografiert und in ORWO 74 entwickelt.
5. Intensitiitsmessung, Normierung und Transformation
Um die Schwarzungswerte der Beugungsaufnahme in Intensitatswerte umrechnen zukonnen, wurde auf demselben Film die Beugungsfigur eines 0,067 mm
breiten Spaltes festgehaltm und aus dem bekannten Intensitatsverlauf eine
Eichkurve konstruiert . Zur Erhohung der Genauigkeit wurde nur ihr mittlerer
Teil verwendet und von der Beugungsfigur jeder Struktur ein Satz von je 3 Aufnahmen angefertigt, die sich in den Schwiirzungsbereichen unterschieden. Dies
lie0 sich durch Schwachung der einfallenden Intensitiit mit Hilfe eines Stufengraukeils erreichen ; die Belichtungszeit war bei allen 3 Aufnahmen gleich,
namlich gleich der Belichtungszeit der Spaltbeugungsfigur. Auf diese Weise
konnte der EinfluB des Schwarzschildexponenten ausgeschaltet werden. Die
3 Teile der Intensitatskurve wurden auf je 1 Blatt einfach logarithmischen Papiers gezeichnet und so gegeneinander verschoben, daB sich ihre uberlappenden
Enden gut deckten.
Die beschriebene Methode liefert die Intensitat I ( s ) in G1. (4) bzw. (13) nur
bis auf einen konstanten Faktor C . Die in der Rontgenanalyse ubliche Methode,
C so zu wahlen, daB die experimentelle Streukurve in die unabhangige Streukurve N $ bzw. 2 ft ,,einpendelt", erwies sich als ungeeignet. Daher wurdendie
V
Beziehungen
'max
N
J
0
Smax
f2ds
=
c . 0J
I(s)ds
bei ,,einatomigen" Strukturen und
amax
'max
Ns
d
57 f;" a s
t
=
c. J
0
I(s)ds
bei ,,mehratomigen" Strukturen zur Bestimmung der Normierungskonstanten C
verwendet. Die Kurven N f2 bzw. 2 f;" wurden berechnet, zusammen mit der
V
experimegtellen Streukurve auf Millimeterpapier gezeichnet und die Flachen
unter den Kurven mit dem Planimeter bestimmt. Dabei genugt es, die Fliichen
bis zur ersten Nullstelle der Formamplitude zu erfassen, da nur ein sehr geringer
Teil der Gesamtintensitat auf die Nebenmaxima entfallt.
Das in G1. (6) bzw. (12) auftretende Integral wurde mit dem ZRA 1 berechnet. Die s . i(s)-Kurven waren in Schritten von 0,48 mm-l tabelliert, was Abstanden von 0,05 mm im Beugungsbilde entsprach. Der Parameter r lief bei allen
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G. HERMSu. P. AHRENEOLZ:
Radiale Verteilungsfunktionen
untersuchten St,rukturen von 0.s. 2,O mm mit einer Schrittweite von 0,025 mm.
Zum Vergleich sei angegeben, daB die kleinsten Abstiinde in den Strukturen
etwa 0,28 bzw. 0,495 mm betrugen.
6. Die Verteilungsfunktionen einiger Strukturen und ihre Eigenschaften
Die erste zu besprechende Maske stellt eine ,,einatomige" Struktur dar, d. h.
sei hat Kreisoffnungen gleichen Durchmessers ( D = 0,244 mm). Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf den Knotenpunkten eines unregelmafligen Netzwerkes aus gleichseitigen Dreiecken, die mit allen 3 Ecken aneinanderhangen. Die
Liinge der Dreieckseite betriigt 0,495 mm.
Abb. 2 stellt die s i(8)-Funktion und Abb. 3 die radialen Verteilungsfunktionen dieser Strukturen dar, die fur 4 verschiedene Integrationslangen (1* * in
Abb. 2) erhalten wurden. Bei r = 0,s mm zeichnet sich in allen Kurven ein sehr
deutliches Maximum ab. Die Seite des Dreiecks wird also sehr genau wiedergegeben. Das nachste Maximum liegt bei r = 0,98 mm. Dieser Wert ist etwas
kleiner als das Doppelte der Seite. Die Abweichung durfte zum groBten Teil real
sein. Das Doppelte der Seite ware nur zu erwarten, wenn die beiden Schwerpunkte und der gemeinsame Eckpunkt zweier benac'abarter Dreiecke in einer
Geraden liegen wiirden. Jede Verschwenkung fuhrt zu einer Verliurzung (z. B.
a
4
60
2 40
?
z20
0
0
0
0
r (mml
Abh. 2. Die s . i (8)-Funktion
mit den Integrationsgrenzen
1, 2, 3 und 4
$bb. 3. Die radialenVerteilungskurven fur die vier verschiedenen Integrationsgrenzen 1bis
4 (Kurve a bis d)
um 1%,wenn 5 Dreiecke eine Masche in Form eines regularen Funfecks einschlieBen). Beim Vergleich der Kurven in Abb. 3 fiillt a d , daB eich neue Maxima
herausbilden (Kurve b) und irnmer schiirfer hervortreten (Kurven c und d),wenn
der Integrationsbereich nur unwesentlich vergroBert wird. Die starke Zunahme
der Differenzierung deutet auf einen Fehler der s . i. (8)-Funktion hin. I n der Tat
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zeigt ja die s . i(s)-Funktion (Abb. 2) einen auBerordentlich hohen Anstieg, der
mehr und mehr erfal3t wird, wenn die Integrationsgrenze von der Stelle 1nach 4
verschoben wird.
Um zu bestatigen, daB dieser Anstieg die Ursache fur die Verscharfung der
Maxima darstellt, werde vereinfachend angenommen, die s . i (s)-Kurve habe
ein falsches Maximum in Form einer Q-Funktion
a fur s = s o
a Q ( s- so) =
O fur s + s o *
Durch Einsetzen der verfalschten, d. h. um die Q-Funktion vermehrten
s . i(s)-Funktion in G1. (G) erhalt man ein zusatzliches Glied arJo(rso),das sich
in Form einer wellenformigen Storung der richtigen Verteilungskurve uberlagert.
Obwohl Jo nicht streng periodisch ist, la& sich im interessierenden Bereich
naherungsweise eine Periode von d ( s r ) m G,3 angeben. Die falschen Maxima in
den Verteilungskurven folgen im Abstand von 0,4G mm aufeinander. Wegen des
starken Anwachsens der echten Maxima muB jedoch angenommen werden, daB
die Periodedr nur 0,23 mm betragt. Daraus ergibt sich so m 27,4 fur den Ort des
falschen Maximums in der s i (s)-Funktion - in volliger ubereinstimmung mit
den oben angestellten uberlegungen.
Um die Auswirkung eines derartigen Fehlers der s . i (s)-Kurve zu mindern
oder zu beseitigen, bieten sich zwei Wege an, die auch in der Rontgenanalyse benutzt werden :
1. Das als fehlerhaft erkannte Maximum der s i(s)-Kurve wird mehr oder
weniger willkiirlich abgeandert.
2. Die s i (s)-Funktionwird mit einem kunstlichen Temperaturfaktor multipliziert .
Kurve b in Abb. 4 zeigt, daB die falschen Maxima der Kurve d in Abb. 3
nahezu restlos verschwinden, wenn der starke Intensitatsanstieg fur s > 25
durch den in Abb. 2 gestrichelt eingezeichneten Verlauf ersetzt wird. Dabei
wurde die groBte Integrationsgrenze zugrunde gelegt. Kurve d in Abb. 4 veranschaulicht fur dieselbe Integrationsgrenze die Auswirkung eines kunstlichen
Temperaturfaktors, dessen Konstante A so gewahlt wurde, daB die IntensitLten
am Ende des Integrationsbereiches auf 20% ihres ursprunglichen Wertes vermindert wurden. Die falschen Maxima sind zwar stark geschwacht, treten jedoch noch deutlicher in Erscheinung als in Kurve b. Eine Reduzierung der I n tensitaten auf lo%, wie sie KLUGund ALEXANDER
[8] empfehlen, ware zweifel10s vorteilhafter gewesen. Die Anwendung eines kunstlichen Temperaturfaktors
verringert gleichzeitig das Auflosungsvermogen, wie deutlich aus einem Vergleich der Kurve a mit der Kurve c in Abb. 4 zu erkennen ist, die beide mit der
kleinsten Integrationsgrenze berechnet wurden. Kurve c ist noch aus einem
weiteren Grunde aufschluBreich. Das falsche Maximum bei r = 0,22, das schon
in Kurve a auftritt und in Kurve b unverandert erhalten bleibt, obwohl die
ubrige Storung fast beseitigt ist, muB eine andere Ursache haben. Das Verschwinden desMaximums in Kurve c weist darauf hin, daB es eine Folge des Abbrucheffektes ist ; denn bekanntlich vermindert die Anwenduhg des kunstlichen Temperaturfaktors auch die Storungen durch den Abbrucheffekt.
Das Auftreten falscher s i (s)-Maxima bei grol3en 8-Werten erklart sich daraus, daB bei der besprochenen Maske die Formamplitude f (und damit der
Nenner in GI. 4) bei s = 31,4 mm-1 eine Nullstelle besitzt. Daher wirken sich
-
-
G. BECHERER,
G. HERMSu. P. AHRENHOLZ
: Radiale Verteilungsfunktionen
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schon in der Nahe dieses Punktes geringe Fehler bei der Int,ensitatsmessung sehr
stark auf die s . i(s)-Kurve aus. Auf den ganz analogen Umstand in der Ront[lo] hingewiesen.
genanalyse hat FINBAK
Die zweite zu besprechende Maske ist der eben behandelten sehr Lhnlich.
Der Unterschied besteht darin, daB die Zent,ren der offnungen in den Ecken
gleichschenkliger Dreiecke liegen, die 2 lange Seiten (I, = 0,573 mm) und eine
40
1
40
5
.
P 20
k
-4
$, 20
0
2
-4
0
0
0
0
0
0
.r lmml
Abb. 4. Korrigierte Verteilungskurven. a) Integrationsgrenze 1,wie a
von Abb. 3; b) Integrationsgrenze
4, Verlauf der s . i(s)-Kurve fur
s > 25 abgeandert ; c) Integrationsgrenze 1, s . i(s)-Kurve mit, einem
kunstlichen Temperaturfaktormultipliziert; d) Integrationsgrenze 4,
sonst wie c)
"
rlmml
Abb. 5. Radiale Verteilungskurven
fur die zweite Struktur. Gleiche Integrationsgrenzen. a) ohne, b und c)
mit kunstlichem Temperaturfaktor;
b) zeigt ,die Verfalschung der Verteilungskurve, wenn die ,,Volumenstreuung" rnit erfaDt wird
kurze (2, = 0,439 mm) aufweisen. Die Mavke enthalt bei eiiier GroBe von
18 x 18 mm etwa 1050 Offnungen, woraus sich eine durchschnittliche Dichte
von po = 3,24 mm-, ergibt. An dieser Stmktur sollte iiberpriift werden, wie sich
zwei etwas voneinander abweichende Abstiinde I, und I, in der Verteilungsfunktion abzeichnen. Das entsprechende Maximum der Verteilungsfunktion
(s. a in Abb. 5) verriit weder durch eine Unsymmetrie noch durch eine Verbreiterung, daB es in Wahrheit zwei Abstande repriisentiert, von denen der eine
25% grol3er ist als der andere. Der Unbefangene wiirde also aus der Verteilungskurve ein vollig falsches Strukturmodell ableiten. I m vorliegenden Falle ist die
Halbwertsbreite des Maximums groBer als der Unterschied der Abstiinde. Welcher Verlauf sich bei einer Steigerung des Auflosungsvermogens einstellt, konnte
mit der vorhandenen Maske nicht untersucht werden, da sich die Integrationsliinge wegen der Nullstelle bei s = 31,4 mm-l (siehe oben!) nicht wesentlich
vergr6Dern lieD. Die Lage des Maximums bei r = 0,52 mm stimmt sehr gut
mit dem Mittelwert 0,528 mm aller 3 Abstande uberein. Aus der Fliiche unter
dem Maximum ergibt sich eine Koordinationszahl n = 3,4 statstder wirklichen
Koordinationszahl rb = 4.
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Am Beispiel der eben besprochenen Struktur wurde auch der EinfluB des
Intensitatsverlaufes bei kleinen Winkeln untersucht. I m Unterschied zur Rontgenbeugung, wo es aufnahmetechnisch nicht moglich ist, beliebig kleine Streuwinkel zu erfassen, liegen bei der Lichtbeugung die Intensitaten bis s = 0 vor.
Dabei mu13 jedoch beachtet werden, daB die unmittelbare Umgebung von s = 0
vom Beugungsbild des gesamten transparenten Teiles der Maske beherrscht
wird. Dieser Anteil der Intensitat, der der ,,Volurnenstreuung" im Rontgenfalle
entspricht, darf bei der Transformation nicht miterfaBt werden, da er bsi der
Herleitung von Gl. (6) bzw. (12) ausgeschlossen wurde. Es ist daher wie bei der
Rontgenanalyse notwendig, den Intensitatsverlauf auf den Wert Null fur s = 0
zu extrapolieren, wie dies etwa in Abb. 2 durch den punktierten Verlauf angedeutet ist. Wird der unveranderte Intensitatsverlauf zugrunde gelegt, so ergibt sich eine Verteilungskurve, die bei groReren r-Werten nicht in die Gerade der
gleichformigen Verteilung einpendelt und zu hohe Dichten liefert. (Vgl. Kurve b
in Abb. 5 mit Kurve c, die
mit derselben Integrationsgrenze und demselben kunstlichen Temperaturfaktor be50
rechnet wurde .)
Eine weitere Unter&
suchung galt der Frage, wie
k
stark sich ein Fehler bei der
I 30
Nprmierung auf die Verteilungskurve auswirkt. Daher
wurde der experimentell gefundene Normierungsfaktor
10
C um *20yo abgeandert
und fur beide Fiille die Verteilungskurve neu berechnet. Die Abb. G zeigt, daB
der Normierungsfehler den
Abb. 6. EinfluB der Normierung auf die Verteilungskurve. Der Normierungsfaktorwurde um + 20% (strich- Verlauf der Verteilungskurve nur wenig beeinflu&.
punktierte Kurve) und - 2Uyo (punktierte Kurve) abgeandert
Als Beispiel fur eine
,,mehratomige
amorphe
Struktur" wurde eine Maske angefertigt, die Kreisoffnungen von 0,24 mm und
0,15 mm Durchmesser enthalt (Abb. 7 ) . Die kleinen offnungen, die im folgenden
mit dem Buchstaben 0 bezeichnet seien, bilden in ihrer Gesamtheit eine Struktur,
wie sie bei der ersten Maske beschrieben wurde. Die groRen Offnungen sind in den
Schwerpunkten der gleichseitigen Dreiecke angebracht und mogen mit S bezeichnet werden. Der Abstand S - 0 betriigt 0,275 mm, wahrendder Abstand 0-0 (die
Seite des Dreiecks) 0,476 mm groR ist. Das Model1 enthalt, 1287 O-Offnungen und
858 S-Offnungen auf einer Flache von 18 x 18 mm2. Die O-offnung h a t eine
Flache von Fo = 0,0086 . x mm2, die S-offnung F s = 0,0146.x mm2. Daraus ergibt sich das Verhaltnis go = 0,0728 x von durchliissiger Flache zur Gesamtflache. Die Werte, die sich nach Gl. (8) fur die effektiven Flachen K , ergeben,
sind von s abhiingig. Es wurden daher integrale Mittelwerte uber den verwendeten Integrationsbereich (s,,
= 24 mm-l) benutzt. Die effektive Flache der
O-Offnung ergab sich so zu K O = 0,0101 . z mm2, die der S-Offnung zu K s
T
P
a
G. BECHERER,
G. HERMSu. P. AHRENHOLZ:
Radiale Verteilungsfunktionen
1'75
= 0,0126. 7c mm2. Es sei noch erwiihnt, daB in diesem Beispiele die auf der
rechten Seite der G1. (12) vorkommende Summe recht gut mit der Summe der
wirklichen Flachen in der Struktureinheit ubereinstimmt 2 K,, = 0,0555 .
( v
undZF,
Y
=
0,0550
'
Abb. 7. Eine Netzwerkstruktur aus zwei
Arten von Offnungen (Ausschnitt aus der
Beugungsmaske)
Abb. 8. Dieverteilungsfunktionder
in Abb. 7 dargestellten ,,zweiatomigen" Struktur mit den Offnungen 0 und S
Die nach G1. (12) berechnete Verteilungsfunkt#ion ist in Abb. 8 dargestellt.
Die wichtigsten in der Struktur vorliegenden Abstiinde sind durch Pfeile markiert. Bei dem zweiten Maximum der Verteilungsfunktion handelt es sich offensichtlich um die Oberlagerung zweier Abstiinde (Seite des Dreiecks und Schwerpunktabstand). Wird das etwas unsymmetrische erste Maximum aus seiner Umgebung herausgelost (gestrichelte Kurve), so ist zu erkennen, dafl der Schwerpunkt der Fliiche anniihernd den richtigen Abstand bezeichnet. Aus der GroBe
der Fliiche ergibt sich eine Koordinationszahl von 3,17. Die gute Obereinstimmung mit dem wirklichen Wert 3 ist wahrscheinlich zuflillig ; denn die Unsymmetrie weist darauf hin, daB das unechte Maximum, das in den ubrigen Verteilungskurven bei r M 0,22 auftritt, auch hier vorhandaa ist und zum erstm Maximum beitrilgt.
Es sei noch bemerkt, daB die Genauigkeit der 9 . i ( s ) Kurve bei grofleren sWerten auf einfache Weise verbessert werden kann, indem bei gleichen Abstanden kleinere offnungen verwendet werden. Das ware auch Vorbedingung fur eine
Ausdehnung des Integrationsbereiches zur Erzielung schiirferer Maxims. Das fur
die Masken verwendete Filmmaterial lielje eine Verkleinerung des Lochdurchmessers auf 0,08mm zu. Das wiirde fur die Strukturen mit gleichgroflen Lochern bedeuten, daQ die ktegrationsliinge fast verdreifacht werden konnte. Bei
,,mehratomigen Strukturen", bei denen sich der kleinste Lochdurchmesser zum
grogten wie 1:k verhaltsn SOU, wiire der Integrationsbereich bestenfalls 3/kmal
so grol3 wie in der vorliegenden Arbeit. Eine erhebliche Steigerung der Genauigkeit liefle sich erzielen, wenn zur Anfertigung der Maske noch hoher auflosender
Film verwendet und der Intensitiitsverlauf im Beugungsbild mit einem Sekundiir elektronenvervielfacher gemessen wiirde.
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Wie schon aus den oben angefiihrten Beispielen zu erkennen ist, haben die
Verteilungsfunktionen zweidimensionaler Strukturen viele Eigenschaften mit
den Atomverteilungskurven amorpher Substanzen gemeinsam. Daher ist zu
erwarten, da13 die Erfahrungen, die mit den Verteilungsfunktionen zweidimensionaler Modellstrukturen gesammelt werden, fur die Strukturuntersuchung
nichLkristalliner Substanzen von Nutzen sein konnen. Gegeniiber wirklichen
Substanzen haben die Modellstrukturen den Vorteil, daB ihre Strukturparameter
bekannt und in jeder erdenklichen Weise abzuwandeln sind.
Dem Rechenzentrum der Universitat Rostock unter Leitung von H e m
Dr. KERNER
sind wir zu Dank verpflichtet. Insbesondere danken wir Herrn
Dip1.-Phys. St. v. WEBERfur die Programmierung und wertvollen Hinweise.
Literaturverzeiehnis
ZERNICRE,
F., u. J. A. PRINS,
Z. Phys. 41 (1927) 184.
WARREN,
B. E., u. N. S. GINGRICH.Phys. Rev. 46 (1934) 368.
WARREN,
B. E., H. KRUTTERu. 0. MORNINGSTAR
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Bei der Redaktion eingegangen am 19. Oktober 1965.
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