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Die exakte Bestimmung der Elektronendichteverteilung in einem endlichen anisotropen Plasma.

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M. FISCRER:
Elekt,ronendichteverteilung in einem endlichen, anisotropen Plasma.
7
Die exakte Bestimmung der Elektronendichteverteifung
in einem endlichen, anisotropen Pfasma
Von M. FISCHER
Mit 6 Abbildungen
,4 bstract
If a microwave cavity containing an anisotropic, inhomogeneous plasma is excited with
a nonresonant frequency o,the electron density distribution inside the plasma can be
obtained from a knowledge of t h e tangential electrical field on a surface enclosing the
plasma. The main step is the derivation of an integralequation relating the tangential field
to the highfrequency plasma current. An experimental setup is discussed. The obtainable
precision is limited by the noise like density fluctuations in the plasma itself and is about
6N
1% for =for a spatial resolution in the same order of magnitude.
N
A. Einleitung
$j1. Ziel des Verlahrens
Die Theorie der Bestimmung der Elektronendichteverteilung in einem
Plasma (Plasmaanalyse oder -diagnostik) mittel$ elektromagnetischer Wellen
(Testwellenmethode) zerfiillt in zwei Teile. Zuniichst muB der Zusammenhang
-+
zwischen Test(we1lenfeldstarke E und der von ihr hervorgerufenen Plasmastromdichte
auf Grund einer mikroskopischen Theorie des Plasmas gefunden
werden, denn diese Relation macht die Anwendung der MAxwELLschen Gleichungen auf das elektromagnetische Feld im Plasma erst moglich. Unter gewissen einschrankenden Voraussetzungen (s. 3 2 dieser Einleitung) lautet diesr
Beziehung [ l . 2, 3. I ]
+
J, =2Q;VE .
(A 1.1)
--f
Dabei ist E,, die Dielektrizitatskonstante des Vakuums, w die Frequenz der Testwelle, Q; die vom Ort abhiingige Plasmafrequenz und Y ein vom iiuBeren Magnetfeld und von der Frequenz aber nicht, vom Ort, abhiingiger Tensor. Der zweite
Teil der Theorie sol1 in dieser Arbeit geliefert werden. Es wird niimlich gezeigt.
wie man aus Messungen an der Testwelle auBerhalb des Plasmas die Elektronen+
+
dichte bestimmen kann. Kennt man J , und E als Funktionen des Ort?es.so erhalt man
einfach aus
Qz
(A 1.2)
8
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 17, Heft 1 - 2
-+
*
1966
-+
weil !P bekannt ist. Da E' auf Grund der Feldgleichungen schon aus J , zu ermitteln ist, geniigt die Bestimmung dieser Stromdichte. Fur ein stationares, von
einem konstanten homogenen Magnetfeld durchsetztes Plasma, das sich in
einem mit fester Frequenz erregten Mikrowellenresonator befindet, werden wir
+
zeigen, daD man J , durch Messung der elektrischen Tangentialfeldstarke auf
einer das Plasma einschlieoenden, ganz im Resonator gelegenen Flache bestimmen kann. Dabei wollen wir nicht, wie es in der Theorie der Testwellenmethode
meist geschieht, voraussetzen, daB sich die Elektronendichte als Funktion des
Ortes nur langsam (im Sinne der geometrischen Optik) andert, oder daB ein bestimmtes Dichteprofil mit zwei oder drei justierbaren Parametern vorliegt. I n
der Beseitigung dieser Einschrankungen gleicht unser Verfahren einer von
STEWART
und KAPRIELLAN
[ r ) ] angegebenen Methode, die Momente der Verteilungsfunktion beziiglich eines geeigneten vollstandigen Orthonormalsystems aus
der Messung der Eigenfrequenziinderungen des durch das Plasmas ,,gestorten"
Resonators zu bestimmen. Zur Durchfiihrung der Rechnung ist aber noch die
Kenntnis der Felder in dem gestorten Resonator notig. Die genannten Autoren
ersetzen die Testwelle in BoRNscher Niherung durch die Eigenfelder des leeren
Resonators und setzen damit voraus, daB man das Plasma als eine kleine Storung
behandeln darf. Waren also die bisherigen Mikrowellenmethoden in ihrer Anwendbarkeit immer durch die Unmoglichkeit begrenzt, exakte Losungen der
MAxwELLschen Gleichungen in einem inhomogenen anisotropen Plasma explizit
anzugeben, so werden wir hier zeigcn, dalJ man solche Losungen zur Plasmadiagnostik gar nicht braucht,.
2. Der Leitfahigkeitstensor
+
Der Zusammenhang zwischen der Stromdichte J , und dem elektrischen
+.
+
Feld E der Form h'(z,
t ) = &(r)e c i w f lautet in einem Plasma
-f
(A 2.1)
Dabei ist 8, die Dielektrizitatskonstante dcs Vakuums, e der Betrag der Elementarladung, m die Elektronenmasse, M die Ionenmasse, N ( F )die Zahl der geladenen Teilchen in der Volumeneinhcit, v,,' die StoBfrequenz der Teilchen der
Sorte a mit denen der Sorte n ' ( n = e : Elektronen; 01 = i : Ionen; 01 = 0 : Neu- e Bo
tralteilchen) und Y =
die normierte Gyrofrequenz der Elektronen in dem
~
mw
auBeren Magnetfeld B,. Diese Plasmaparameter gehen in den folgcnden Konibinationen ein :
Plasmafrequenz
2, = vei
~
+
0
veo
normierte ElektronenstoBfrequenz
normierte IonenstoBfrequenz
51. FISCHER:
Elektronendichteverteilungin einem endlichen, anisotropen Plasma
Die Matrix
Y = (Yik)beschreibt
9
die Anisotropie des Plasmas im Magnet-
go
feld. Hat
die Richtung der z-Achse (von dieser Voraussetzung befreit man sich
durch eine einfache Drehung der Matrix 9)so lauten die von Null verschiedenen
Pik
:
1-
y 11 - y 22
M
Y2 -
z,z,+ i [ Z , + Z,]
~~~~
-
[(l
y
m
~
+ iZ,)2 - YZ] [ (1 + iZJ2
- iZ,)
- (1 - i Z i ) (1
(1 + z:)(1+ 2:)
~
(2Y >2]
~
-
~~
~
3R -
Zur Herleitung und Diskussion dieser Ausdrucke vergleiche man [l, 21 unct
+
[3, 41. Insbesondere ist in J, auch der Beitrag der Ionen zur Stromdichte ent'm
halten, (1. h. die Beziehung (A 2.1) bleibt, auch fur tiefe Frequenzen
Y 9 1
giiltig I) und damit ist die hier vorgeschlagene Untersuchungsmethode auch auf
9 2 ) .Bei der Herleitung des Ausdrucks
sehr dichte Plasmen anwendbar
(A 2.1) fur die Leitfiihigkeit wurde eine Reihe von Vernachlassigungen vorgenommen :
Die LANDAu-I)ampfung ist,, wie z . B. GERSTENKOR.N
[(j] gezeigt hat,, fur
Wellenlangen, die grolJ sind gegeniiber der DEBYE-Lange, unbedeutend im Vergleich 'zur StoBdampfung.
Die im Plasma moglichen Schallwellen (d. h. Druckschwankungen) wurden
zu einem nicht-lokalen Ausdruck fur die Leitfahigkeit fuhren. Ihre hier erfolgte
Vernachlassigung ist, wie die Herleitungen der Leitfiihigkeit zeigen, an die Voraussetzung einer im Verhaltnis zur Phasengeschwindigkeit c p h der elektromagnetischen Welle kleinen Schallgeschwindigkeit, c, der Elektronen gebunden?die wir
(QE
mit der mittleren thermischen Geschwindigkeit
'vTh =
v%
(3t
ist die BOLTZ-
MANNsche Konstante, T , die Elektronentemperatur) identifizieren konnen. Fur
den in die Gleichungen eingehenden Quotienten 'v$h/c$h, erhalten wir ( c s h
C2
- - , c die Lichtgeschwindigkeit' im Vakuum, R), der Plasmabrechungs11.9
index) :
VTh
=
l,(i9 . 1 0 - 1 O T,.II;, T,in
O
K
( A 2.2)
CPS
Die Vorausset,zung fur die Vernachlassigung der Schallwellen ist im Fallc
1und T,5 lo6"K also gut erfiillt 2). I n magnetisierten Plasmen konnen in
der Nahe der Gyroresonanzen sehr groBe ni-Werte auftreten ; der FrequenzbeT L M
~
Eine Diskussion des megnetohydrodynamischen Grenzfelles erfolgt im Anhang A a.
Die GroBenordnung der Plasmaparameter ist folgenden Arbeiten entnommen : [71,
S. 162; [S], Bd. 2, S. 775f.; [9], S. 1768.
1)
2)
10
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 17, Heft 1-2
*
1966
reich in dem die Formel (A 2.1) also eventuell zusammenbricht betragt aber nur
nngefahr & 1%der Gyrofrequenz (s. Anhang Aa).
Die Terme Ze,i beschrieben die durch die StoBe der Teilchen hervorgerufene
Dampfung der Welle. Die kinetische Theorie des Leitfiihigkeitstensors zeigt, daB
die Zahlen v,,,/w im Falle Iv,,,/w I << 1 als effektive StoBfrequenzen zu deuten
sind. Sie hangen unter dieser Voraussetzung auch nur wenig von der Form der
Geschwindigkeitsverteilungder StoBpartner bzw. von der Form der StoBterme in
der kinetischen Gleichung ab. H a t man also durch Dampfungsmessungen experimentell gepriift, daB (v,,,/w I < 1ist, so kann man die Messungen praktisch ohne
Annahmen iiber die Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen usw. interpretieren. Das ist bei den Sondenmessungen nicht so und wiirde auch im Falle der
elektromagnetischen Wellen nicht so sein, wenn v,,,/w m 1 ware3). Aber wegen
der starken Dampfung der Testwelle ist dieser Fall fur die Plasmadiagnostik
ohnehin uninteressant. I n (A 2.1) konnen die Ze,i also immer als klein gegen
1 vorausgesetzt werden.
B. Die exakte Bestimmung der Plasmadichte in einem Resonator
Q 1. Bezeirthnungen und Voraussetzungen
I n Abb. 1wird die Anordnung des Plasmas in dem Resonator G gezeigt, der
+
iiber eine die Antenne reprasentierende Senderstromdichte J , auf der festen
Frequenz w erregt werde. Die Riickwirkung des Plasmas auf die Antenne werde
vernachlassigt. Das stationare Plasma befinde sich in einem zeitlich konstanten,
+
homogenen Magnetfeld B, und habe, wie wir
zunachst voraussetzen wollen, die Form
einer frei schwebenden Wolke G,, deren
Dichte samt ihrem Gradienten stetig sei
und auf dem Rande von G, zusammen mit
der ersten Ableitung verschwinde. Eine Diskussion der experimentellen Anordnungen,
,$bb. 1. Das Plasma im Gebiet GDdes
die diesen Voraussetzungen geniigen, erfolgt
Mikrowellenresonators C:
in C. 3 1.
Mit dem in (A. 1) angegebenen Ausdruck fur die Leitfahigkeit lauten die
iMAxwELLschen Gleichungen nach Abspaltung des Faktors e c i o t
(B 1.1)
*
+
I7
x E
=
iwp,,uoH.
Nach Umbenennung der Felder in
(B 1.2)
3) Weil die Berechnung des Leitfiihigkeitstensors dann spezielle Modelle der StoDprozesse und die Kenntnis der Gleichgewichtsverteilung im Geschwindigkeitsraum voraussetzt
POI-
M. FISCHER:
Elektronendichteverteilung in einem endlichen, anisotropen Plasma
-)
D x 8 = k ( 6 + '$3) + 3,.
lauten (lie Feldgleichungen ( k
11
0
=
( B 1.3)
V ~ 6 = k @
wahrentl tlie Randbedingung
fl r: & ( F a )= 0
(B 3.4)
dns Verschwinden der Tangentialkomponentr von (J auf der Oberflache Fc von
G ausdriickt .
8 2. Aufstellung einer Integralgleichung fur den Plasmastrum
In cliesem Paragraphen sol1 zunachst rein heuristisch eine Integralgleichung
fur den Plasmastrom abgeleitet werden. Eine mathematische Begrundung erfolgt in 5 3.
Wir fassen k '$3 in (B 1 .:3) als gegebenen Strom auf, eliminieren @ und erhalten
Fx Fx 6
-
k2@= k ( 3 ,
+ k$)
(B 2.1)
init)der Randbedingung
h x 6 ( F Q )= 0.
(B 2 . 2 )
Die Losung (J der G1. (B 2.1 u. 2) hangt, nabiirlich linear von dem vorgegebenen
Strom 3,
k'$3 ab! wie die Anwendung des zu (V x V x - k2) inversen Operators k-2
zeigt :
(3 = k-'F 3,+ F p .
+
r
Der Operator 11*) ist7so konstruiert,. daB (3 automatisch die Randbedingung
(B 2.2) erfullt.Das von der vorgegebenen Stromdichte 3, in deni leeren Resonator erzeugbe Feld ist'
&,<= k-
lr
3,
(B 2.3)
und wir erhalt,en somit. die folgende Darstellung des elektrischenFeldes
6
=
Q, +rq?.
D a F ein Int!egraloperator ist,, sttellt,( B 2.4) unt,er Benutzung von '$3 =
(B 2.4)
--
y(3
w-2
nichts anderes als eine zu ( B 2.1 u. 2) aquivalente Integralgleichung dar, aus der
man (3 im Prinzip ermitt(e1n konnt,e. Das wiirde uns z. B. die Eigenwerte des
plasmagefullten Resonators liefern. Uns interessieren aber GroBe und Verlauf
der Plasmadicht,e L?~((E),
oder, wie in der Einleitung gezeigt wurde! der Plasmastromdichte '$. Fassen wir sie als Unbekannte auf, so brauchen wir zu ihrer Bestimmung eine weitere Gleichung neben ( B 2.4). Nun ist aber (3 in dem Teilt-olumen G' (Abb. 2), in dem 3, Null ist,, gegeben durch die dort, vorhandene Strom~~
4 ) Der mit der Verwendung GREENscher Tensoren nicht vertraute Leser sei auf h n hang D.S. [ll]verwiesen.
J = r ( r , r') J (r') dT'
r
i n der dort verwandten Terniinologie.
.C
G
\
\
\
/
Es= (I'-I") '$3-
( B 2.7)
I n dieser Gleichung ist die linke Seite nach
Messung von Et und Vorgabe von 3, beQ'(0.t)
-
$ 3. Der plasmageliillte Resonator als mathematiscthes Randwertproblem
Wir werden hier erstmalig zeigen, daB das in (B 1.3 u. 4) formulierte Rand-
wertproblem eine eindeutige Losung besitzt,. Ausgehend von diesem Existenzsatz kann man dann die Integralgleichung ( B 2 . 7 ) ableiten und die Eindeutigkeit ihrer Losung untersuchen. Dabei werden die von C. MULLER und Mitarb.
[12,13] in die Elektrodynamik eingefuhrten funktionalanlytischen Methoden herangezogen. Zuvor muB die Definition der vektorenanalytischen Operationen, wie
z. B. V x 3, 3, erweit,ert werden. So verst,ehen wir z . B. unter
3 stets
den Ausdruck
1
V . ~ ( x =) lim - j-6 . 8 d f .
v.
v.
v+-
vvp,
Dabei ist V , eine Folge regularer, sich auf den Punkt g zusammenziehender Gebiete mit dem Volumen V , und F , deren Oberflachen. Fur stetig differenzierbare
Felder stimmt die so exhaltene Divergenz mit der ublichen, durch die partiellen
Ableitungen definierten uberein. I m ersten Kapitel von [12] wird gezeigt, daI3 die
erweiterten Operationen den ublichen Regeln genugen und daI3 der GAusssche
und der SToKEssche Satz gelten. Sei PG die Menge der auf dem offenen Gebiet G
definierten, stetigen komplexwertigen Vektorfelder mit stetiger Divergenz. Definieren wir fur jedes 3 E PG eine Norm durch
( B 3.1)
M. FIS~TIER:
Elektronendichteverteilungin einem endlichen, anisotropen Plasma
13
so wird Po ein B a ~ ~ c H r a u mZunachst
~).
ist PQ offenbar ein h e a r e r Vektorraum und Untermenge des bekannten BANACHr&UmeSder stetigen Vektorfelder
iiber G mit der gleichen Norm. Die Abgeschlossenheit von PQ wird im Anhang B a gezeigt. Analog ist der BANACHraUm Pc. uber G' definiert. I n PQ wollen
wir die Losung der Feldgleichungen
c7 x ;s1 = k ( E +
%)
+ 3,
( B 1.3)
V x E = k @
it x Q (PQ)
= 0
( B 1.4)
suchen, wenn G regular und endlich ist und FQ orientierbar, zusammenhangend
und dreimal stetig differenzierbar. 3, sei aus Po und, wie wir zunachst nur annehmen wollen, auch $. Wir fa.ssen wieder 3,
k$ als den vorgegebenen
Strom auf und konnen dann ( B 1.13 u. 4) nach MULLER u. NIEMEYER
[13] formal
integrieren, wenn k mit keinem der diskreten Eigenwerte des leeren Resonators
('$3 = 0) zusarnmenfallts.Das Ergebnis lautetm6)
+
1
+ in,:f
@ ( l )= E,?(l)- 7 $ ( I )
@,(I)
a 3,(1)+ L,f A ( 1 , 2) 3,(Y at7,.
1
=
-
A ( 1 , 2) $ ( 2 ) d V ,
Setzen wir zur Abkiirzung noch
1
(B 3.2)
a;8''
= @((F) und drucken @
! in ( B 3.2)
(JJ "
durch C5 aus. so erhalt!en wir die folgende Integralgleichung fur @
-
& ( 1 ) + 71 @ ( 1 ) @ ( 1 ~) i h.^ r ~ - / 1 ( 1 , ~ ) ~ ( ~ ) 0 =
. ( Es(l).
2 ) d V Z(B3.3)
Gelingt, es uns zu zeigen, da8 diese Gleichung eine Losung @ in PQ hat, so ist
wegen unserer Voraussetzungen uber die Stetigkeit der Dichte und ihres Gra= GO.€Pc und daraus folgt,. daB ( B 3.2) eine mogliche Dardienten auch
stellung der Losung von (B 1 . 3 u. 4) ist. D. h. weisen wir Existenz und Eindeutigkeit der Losung der Integralgleichung ( B :3.3) in PQ nach, so haben wir die eindeutige Losbarkeit des Randwertproblems ( B 1.3 u. 4) gezeigt. Wir fuhren den
Operator K auf Po durch die Definition
( B .3.4)
ein und zeigen in Anhang B b, dab es sich urn einen vollst,etigen Operator ha.ndelt. Folglich hat' die Eigenwertgleichung
O. - K E = 0
_____
5, Verstiinde man die Divergenz hier irn iiblichen Sinne. so ware Po kein BANSCIIRaum .
--c
Nach [13], 8. 334, Yatz 8. Unser il (1,3) ist definiert durchA(l,,) - 6&(1,2)
"
bedeutet das Hauptwertintegral nach Definition 2 a. a. O . , S. 309. Die GREENschen
Tensoren hier leieten zwar das gleiche, sind aber anders konstruiert als die sonst in der
Arbeit verwandten
daher eine andere Bezeichnung.
6,
fG...
r,
14
Annalen der Physik
*
7. Folge
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Band 17, Heft 1 - 2
*
1966
nur Losungen fur diskrete Frequenzen w,. Wahlt man k =+ wile so hat also die
inhomogene Gleichung B - K B = Bseine eindeutige Losung B E Pc.
Die Beziehung (B 3.2) ist das Analogon zu der friiheren G1. (B 2.4). Wir
miissen nun noch die zweite davon unabhangige Gleichung zwischen B und
herleiten. Das Tangentialfeld Qt = it x @ ( F g ist
) HoLDERstetig, weil @ auf F g
den homogenen MAxwELLschen Gleichungen geniigt und dort daher beliebig oft
differenzierbar ist. Bt erzeugt in G' ein elektromagnetisches Feld B', Q' das man
aus den Gleichungen
Ir x @' = kQ'
Ir
x 6' = k@'
ii x 6 ' ( F g )= 61
( B 3.#5)
eindeutig berechnen kann, weil Qt HoLDERstetig ist und k , wie wir fordern konnen, kein Eigenwert des als Resonator aufgefanten Gebietes G' ist. ') AuRerdem
in G' erzeugte Feld
betrachten wir noch dasjenige von dem Plasmastrom
Bp, Q,, dessen elektrische Tangentialkomponenten auf F p gerade verschwinden :
V x QD = k Q D
V x Q, = k Q p
ii x B p ( F g ) = 0.
+kp
( B 3.6)
Seine Berechnung bedeutet nichts anderes als die Konstruktion des vom Strom
k im Resonator G' erzeugten Feldes. Da k kein Eigenwert von G' sein sollte, ist
diese Konstruktion eindeut,ig und liefert
(B 3.7)
wo A' zu G' gehort, wie A zu G. Da '$ und P$,
wie wir schon wissen, stetig sind,
existiert ED eindeutig und erfiillt ( B 3.0). Bildet man B'
und Q' @, so
erfiillen diese Summen die MAxEwLLschen Gleichungen in G' (wo 3, = 0 ist) und
die Randbedingung
17 x [E'(Fg) 6 , ( F g ) ] = ii x Q(Fc')
+
+
+
und da Q uberall in G eindeutig bestimmt ist, mun
Q
=
Q'
+ En
in
G'
sein, d. h. aber in G' gilt:
(B 3.8)
Definieren wir den Operator A bzw. A' durch
7) Es handelt sich bei (B3.6) urn das sogenannte Innenraumproblem, s. [13], 8. 316f.
Zur expliziten Berechnung von (s.' vgl. ((32.8).
M. RSCHER:
Elektronendichteverteilung in einem endlichen, anisotropen Plasma
auf
PG
1b
bzw. Pg,so lauten die Gln. ( B 3.2 u. 8) einfach
B = BS-
1
'$
+A$
( B 3.10)
wobei die Vektoren in der ersten Gleichung aus Pc sind, in der zweiten Gleichung
aber aus PO.,weshalb wir sie auch durch eine Tilde gekennzeichnet haben. Dabei
gilt naturlich @ (g) = @(g), g E G' und b (g) = $ (g), g E G'. Wir konnen die beiden Gleichungen daher nicht ohne weiteres voneinander subtrahieren, um Q zii
eliminieren, sondern mussen sie erst einmal in den selben Raum t,ransformieren.
Dazu betrachten wir ein Gebiet G" mit der Eigenschafb
G, C G" C G' C Q
und betrachten die Unterraume
Mit A bzw. 8' bezeichnen wir die Einschrankungen von A bzw. A' auf PO,,
gelten die G1. (B 3.10) auch fur die eingebzw. P g f . Da
E PO.,und $E
schrankten Operatoren. cpf:' sei die charakteristische Funktion des Gkbietes G'. das heifit,
-
Die Abbildung p'c. Pa ++ Pa.ist ein Isomorphixmus, dabei geht Pee in
und 0: in
iiber,
und dem O p e r a t o r
wird ein isomorpher
Operator pcA. zugeordnet, vgl. Abb. 3. Der
hatA jetzt den gleichen DefiniOperator Q S ~
tionsbereich wie der Operator A', namlich F g ,
und den gleichen Bildbereich wie dieser, namlich Pg.Somit kann man jetzt
e
A
-
QSWQ =
Cj = ~
+
Jsornorphismus
1
? g @
p~
g
& = 6) + jqj -
t-
A ~ ~ g--(pa.'$
$
3
Bbb. 3. Die Konstruktion des Operators qo,A
1 -
$
-
bilden und erhalt. wegen pg '$ = $'3 und 9;'~.Cjs = 6,
...-
@'
-
.
..-
Es= (pqn - A') '$
(B 3.12)
Das ist die gesuchte Integralgleichung fur den Plasmastrom. Die Exist,enz einer
ist nach dem allgemeinen Exist,enzsatz klar, denn (B 3.10) sind
Losung $
ja lediglich Identitaten zwischen den Feldern Q und $. Zu priifen bleibt, die Ein-
I6
Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 17, Heft 1-2
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1966
deutigkeit der Losung von (B 3. 12). Wir setzen voraus, daB k auch kein Eigenwert des Resonators G - G' ist, und nehmen an, $0 ware die Differenz
zweier Losungen von (B 3.12) und aus Fg,. Wir setzen $- uber G" hinaus auf
ganz G durch Null fort und erhalten ein Element '$- c Pc mit
+
=
(pG&$-
A' $-.
(B 3.13)
Nun fassen wir k g - als Stromdichte auf und konstruieren eine Losung der
MAxwELLschen Gleichungen in G zum Strom k '$-. Wir erhalten dann ein elekt,risches Feld @-, das die Randbedingung
i-i x @ - ( F a ) = 0
(B 3.14)
erfiillt und durch
6- =
-$'$-+ n g -
(B 3.15)
gegeben ist.
Analog konstruieren wir in G' ein Feld
G') :
6- zum Strom k $- (mit$-
-
1
6- = - p- + n'p3
=
'$- in
(B 3.16)
mit
it x
&(&)
=
0.
(B 3.17)
Nach (B 3. 13) gilt aber in G'
d. h. aber, daB die Felder 6-und
von Q- ist dann aber auch
6- in G' iibereinst,immen. Wegen der Stetigkeit
ii x
6-((FG")=
0.
Da nun 9-nach Vorausset,zung in G - G' Null ist, geniigt 0.- in G - G' der
Wellengleichung
x
x 6- - k 2 6 - = 0
v v
und der Randbedingung
i-i x O - ( F G - g )
=
0
(B 3.18)
d. h. k ware ein Eigenwert des Resonators G - G'. Das hatten wir aber ausgeschlossen.
Das Ergebnis unserer mathematischen Untersuchungen konnen wir wie folgt
zusammenfassen: Gegeben ein Resonator G mit einem Plasma in G, und einem
Teilgebiet G', so daB G, C G' C G.
Zu jeder Wellenzahl k, die mit keinem der diskreten Eigenwerte der Resonatoren G , G', G - G' zusammenfallt, und zu jeder Stromdichte & c PQ gibt es
eine eindeutige Losung der MAxwELLschen Gleichungen in G und der Plasmastrom '$ laBt sich nach Messung der Tangentialfeldstarke E8auf Fa. eindeutig
nus der Integralgleichung (B 3.12) ermit)teln.
M. FISCKER
: Elektronendichteverteilung in einem endlichen, anisotropen Plasma
1'7
C. Die praktische Durchfiihrung des Verfahrens
8 1. Die MeSsnordnung
Wir miissen die im vorigen Abschnitt fur ziemlich beliebige Resonatoren aufgestellte Theorie nun auf ein System anwenden, dessen GREENscher Tensor (im
Sinne von B. 9 2) explizit angegeben werden kann. Dies ist z. B. fur den Quader
der Fall. Zwar ist seine Oberfliiche nicht, wie in [13] gefordert wird, dreimal
stetig differenzierbar, aber der durch den GREENschen Tensor definierte Integraloperator ist, wie seine explizite Darstellung zeigen wird, ebenfalls vollstetig
und die wesentlichen Ziige der mathematischen Theorie aus B. 9 3 bleiben daher
erhalten. AuSer ihrer experimentellen Handlichkeit, haben alle zylindrischen
Resonatoren aber noch einen weiteren
fur unsere Zwecke erheblichen Vorteil.
Abb. 4 zeigt einen solchen Resonahr a,
im achsenparallelen Schnit,t.
Wenn G und G' den gleichen Querschnitt haben, braucht man nur noch
auf der durch z = a gekennzeichneten
Fliiche zu messen. denn auf dem Rest
von F g ist ( f t = 0. Das verringert aber
nicht nur die Zahl der MeBpunkte, sondern auch die Rechenarbeit zur Be- Abb. 4. Zylindrischer Resonator G im
stimmung des Plasmastromes, wie im achsenperallelen Schnitt mit der zur Abnachsten Paragraphen deut,lich werden
tastung
'
0
'
dienenden MeBantenne
wird.
Wir haben bis jetzt) auch immer noch vorausgesetzt,, daB sich das Plasma in
Form einer freischwebenden Wolke im Resonator befindet. Experimentell
konnte man diese Situation durch eine auf ein kleines Volumen konzentrierte
Hochfrequenzentladung realisieren. Man konnte auch a n die heiBen Gase einer
Flamme denken. Hiiufig wird sich das Plasma jedoch schon aus vakuumtechnischen Grunden in einem GlasgefaS befinden. Man kann sich dann so helfen,
daB man den Verschiebungsstrom im Glas zum Plasmastrom hinzuzlihlt. Sei E'
die relative Dielektrizitarskonstante des Glases und e (g) = E' - 1 d. h . eine nur
im Bereich der Glaswande von Null verschiedene Funktion. dann lassen sich die
MAxwELLschen Gleichungen auf die Form
V x L'
4:
E
-
k2E
-= kz
ie - Tn:! P i C5
i
m-
i
f
kss
(C 1 . 1 )
bringen. Nach Einfuhrung von $' = p !P E stimmt diese Gleichung
ni
dann formal mit ( B 2.1) uberein. Die Unst,etigkeiten von e(g) spielen physikalisch nur dann eine Rolle, wenn an der Glasoberflache eine FlLchenladung induziert wird, d. h. wenn die Normalkomponenten von (3 dort nicht Null sind. Dies
kann man aber haufig durch passende Erregung des Resonators verhindern. Die
gleichen Oberlegungen gelten ubrigens auch fur die evtl. Unstetigkeiten von
Q; (x) am Plasmarand. Die Berucksichtigung der Elektroden ist wegen deren
hoher Leitfiihigkeit schwierig. Ihr storender EinfluB ist am geringsten, wenn
ihre Oberflache in der Resonatorwand liegt, - sofern man sie nicht ganz auBerhalb des Resonators anbringen kann.
2 Ann. Physik. 7. Folge, Bd.
1i
18
h a l e n der Physik
*
7. Folge
*
Bend 17, Heft 1-2
*
1966
Q 2. Umformung der Integralgleichung im Falle eines zylindrischen Resonators
In diesem Paragraphen soll die Integralgleichung (B 3.12) fiir den Plasmastrom
6' - B8 = ( ( p a . f -
f)5jj
in ein unendliches Gleichungssystem ubergefiihrt werden. Dam gehen wir von
einem vollstiindigen System von Eigenvektoren der Resonatoren G und G' aus,
das wir mit
bzw. {O.':},
i = 1,2,3; n = (nl,n,, n3) bezeichnen.
Alle Indices nj laden von Null bis Unendlich. Fur i = 1, 2 sind die (3: Losungen
des Eigenwertproblems
{&I
(C 2.1)
die bei zylindrischen Resonatoren in E- und H-Wellen entartet sind. Diese Felder sind quellenfrei und mussen noch durch wirbelfreie Vektoren erganzt werden,
die man aus
@ = Vqn it x
Apn
=
o.:(PG)
+42qn =0
o
(C 2.2)
q n ( ~ G )= 0
gewinnt. Eine ausfiihrliche Darstellung der Theorie dieser Vektorsysteme findet
man bei GOIJBAIJ[14]. Danach gilt (& &) =
&(z) dz]
Ss1(z).
[ -
( ~ $ 2
Q!
(C 2.3)
= dij
und
(C 2.4)
Die Konvergenz der Summe rechts erfolgt im Mittel.
Mittels dieser Vektorsysteme kann man nun die zu den Operatorenr u n d r ' gehorigen Kerne
l , 2) und r'(1, 2) explizit als unendliche Reihen darstellen.
Der Kern r(1,
2) des Tensoroperators F ist durch die Gleichungen(a(1, 2)
= F(1,2)a fur jeden konstanten Vektor a)
r(
Vl x Vl x
@(l,
2) - k 2 @ ( 1 ,2)
it x @(Fa,2)
=
=
a d ( 1 - 2)
0
definiert. Wendet man auf @ (1, 2) und & den Satz von STRATTON
u. CHIJ [15 18)
an, so erhillt man zuniichst
(C2.5)
0)
Dieser Satz lautet fiir zwei Vektorfelder S1und
im Gebiet G
c7 x I7 x 8z - 3.2-P x I7 x Sl}dV = J(3' x l7 x 31 - 81 x
J{&
@
re
L7
x
82)
M. FISCHER:
Elektronendichteverteilnngin einem endlichen, anisotropen Plasma
19
und somit die ersehnte Darstellung
(C 2.7)
ein i- bezeichnet dabei den transponierten Vektor. Mit den gestrichenen Vektoren erhiilt man eine analoge Darstellung fur r'(1, 2).
Wenden wir uns zuniichst der linken Seite b = &' der Integralgleichung des Plasmastroms zu. Da
GS
V x P x b - k k 2 b = 0 inG'
n x b ( F c ) = &t - fi x &,(Fa.)
ist, kann man die Entwicklungskoeffizienten
= (@,; 8)lr)mit Hilfe des soeben herangezogenen Satzes von STRATTON
u. CHU [I51 leicht berechnen:
(C 2.8)
Di = 0.
Sie lassen sich also direkt aus den gemessenen @-Werten berechnen und sind der
einzig und allein vom Plasma hervorgerufenen Differenz & - fi x &s(Fg)proportional. Wir denken uns nun den gesuchten Vektor '$ ebenfalls entwickelt
bar ist, auf G" einschlieBlich des Randes
eins ist, und in dem Gebiet c' - G" monoton gegen Null geht und zwar so, da13 sie auf
Fa. einschliel3lich ihrer Ableitungen verschwindet (vgl. Abb. 5). 6 sei dabei der
L G P J
+
G"-
. .
-
~
~~
~~
-
Z
-
6-
~-
6'G
-
+
20
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 17, Heft 1-2
Unter Ausnutzung der Orthogonalitat der @':
unendliche Gleichungssystem
*
1966
erhalt man daraus das folgende
(C 2.11)
Die durch das Tripelpaar (iii%), gekennzeichneten Matrixelemente sind selber
wieder 3 x 3 Matrizen. Die Struktur dieser Matrizen beschreibt die Kopplung
der quellenfreien mit den wirbelfreien Komponenten von ?$.Die Tatsache, daB
die Matrixelemente von fpd abhangen, hat auf die Werte von '$ keinen EinfluB,
wie in 0 3 deutlich werden wird.
Bei beliebiger Wahl des Gebietes c' ist die numerische Losung von (C 2.11)
ein nahezu hoffnungsloses Unterfragen. Wahlt man in einem zylindrischen Resonator das Gebiet (2' jedoch so, daB es den gleichen Querschnitt hat wie G aber
eine geringere Hohe, so hangen die Vektorsysteme @
( >: und {(E'b} in gleicher
Weise von den Querschdttskoordinaten ab und man kann die Operatoren F und
r' bzgl. dieser Koordinaten gleichzeitig auf Hauptachsen bringen. Die Dreifachsumme 2 reduziert sich dann auf eine einfachelO),da die Funktion q s in diesem
m
Falle auch nur von der achsialen Koordinate abzuhiingen braucht.
0 3. Anwendung auf einen Quader
Als Anwendung wollen wir das Gleichungssystem (C 2.11) fur den Fall eines
Quaders mit den Kanten a,, a,, a3 explizit anschreiben (vgl. Abb. 4). Die Funktion q s definieren wir durch (vgl. auch die folgende Abb. 5 ) :
1,O<z<a-6
a--d<z<a
0, a
(C 3.1)
< z < a,
Die normierten Eigenvektoren des Quaders G' stehen bei GOUBAU
[14], S. 154ff.
Damit sind nach (C 2.7) die Kerne r' bekannt. Wir ubergehen die lange Reihe
elementarer Zwischenschritte, die von (C 2.11) zu der folgenden expliziten Form
fiihrt.Eine Anzahl mehrfach auftretender Ausdriicke werde zunachst definiert
r,
10) Analoge aberlegungen gelten fiir den Fall, daB die Gebiete (2 und G' konzentrische
Kugeln oder koaxiale Kreiszylinder sind. Doch diirfte die hier gewlihlte Anordnung durch
ein Minimum an MeDaufwand gekennzeichnet sein.
M. FISCHER
: Elektronendichteverteilung in einem endlichen, ankotropen Plasma
21
Die Ausdrucke y:i, und x;l erhalt man, wenn man u3 durch az ersetzt.
(C 3.7)
Die vorvtehenden Matrixelemente sind erst fur beliebige 6 in p;a(z) (vgl. C 3.1)
ausgerechnet worden. S ist der Abstand zwischen den Oberflachen F p und Fg
und kann beliebig klein gewiihlt werden. Da sich, wie die Zwischenrechnungen
zeigen, die fur 6 > 0 berechneten Matrixelemente nur um Terme der GroBenordnung 0 (6) von den im Limes 6 + 0 erhaltenen Ausdriicken unterscheiden,
kann man gleieh die letzteren zur Berechnung von #
! heranziehen und auf diese
Weise die Hilfsfunktion P ) ~ ( Z ) wieder eliminieren. So wurden die Gln. (C 3.5-9)
gewonnen.
berechnet werden karin, mu8 man PA aus
Wahrend l'f allein aus (C 3.6 u. I))
(C 3.5) erst mittels (C 3.7) eliminieren.
22
Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 17, Heft 1-2
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1966
1st der Plasmastrom '$ erst einmal bestimmt, so kann man die Entwicklungskoeffizienten von E sofort anschreiben, aus (B 2.10) und (C 2.8) folgt namlich,
wenn man CF = J
gt& setzt :
e .m
EL
1
(C3.10)
8 4.
Grenzen der Aufliisung
Wir wollen uns zunachst an einem einfachen Beispiel klar machen, welche
Voraussetzungen erfiillt sein miissen, damit Et den raumlichen Verlauf von
i2; (f) hinreichend gut widerspiegelt. Die Vereinfachungen bestehen darin, daB
sa",
wir da8 Magnetfeld abschalten (Y = 1) und auBerdem annehmen, daI3 w2 so
klein gegen 1 ist, da13 wir niiherungsweise
schreiben konnen. Da unser Verfahren primar mit den Entwicklungskoeffizienten der Felder arbeitet, genugt es hier, die Ausdriicke (at, 6)oder - wegen
(B 2.4) '$) zu betrachten. Sei
E8 sin y8,y sin y8,z2
(e,
-
dann ist ohne weiteres klar, da13 (Q&, @) eine Linearkombination von Ausdrukken der Form
ist. Die in dieser Formel auftretenden Terme der Ordnungszahln2 - s2 und n3-s3
zeigen, da13 ein schnell variierendes ES(s2,
s3
1) die Terme hoher Ordnungszahl aus dem FOURIER-Spektrumvon G;,die ja gerade die Information uber die
Feinstruktur der Dichte enthalten, auf Terme niedriger Ordnungszahl im Spektrum der Felder @
' bzw. (3 abbildet. Dies ist sehr wichtig, da die Verwendung
einer Antenne endlicher LLnge zur Ausmessung von Et eine Mittelung uber die
Antennenlange bedeutet, bei der die Terme h6herer Ordnungim Spektrum unterdriickt werden. Kurz gesagt, tastet ein rasch variierendes Eseine fein strukturierte Dichteverteilung besser ab.
Die Aufliisung, d. h. die kleinste detektierbare Dichteilnderung, wird durch
unkontrollierbare Schwankungen in der Plasmadichte L?;und in der Senderstromdichte&, sowie durch die Rauschstrahlung des Plasmas selbst und das Eigenrauschen des Empfangers begrenzt. Die Schwankungen der Erregerstromdichte
kiinnen wir durch Schwankungen 6 Es= qSvs( t )E8von Esbeschreiben und fur
die fluktuierende Plasmadichte l2; (z, t ) schreiben wir
(C 4.1)
Q;(€, 4 = Q;(€) 11 qpvp(t)lDie positive Zahl qp,8ist ein Ma13 fur die relative Amplitude der Fluktuationen,
wahrend vp,8
( t ) ihr zeitliches Verhalten wiedergibt ( I cpp,s( t ) I 5 1).Das Spek-
+
M.FISCHER
: Elektronendichteverteilung in einem endlichen, anisotropen Plasma
83
t m m von q D ( t enthalt
)
alle Frequenzen bis etwa hinauf zur Plasmafrequenz,
aber da die an den Fluktuationen gestreuten Testwellen die Frequenzen
w f wfluu haben. tragt wegen der endlichen Eingangsbandbreite 40 des Empfangers nur derjenige Teil des Spektrums von pD(t)zum Signal bei, der der Bedingung
~
w f- o>flukj
I 5 1 OJ f do 1 geniigt, cl. h.
do
wegen - w
nur
w
der niederfrequente Anteil der Fluktuat#ionen.
Setzen wir zur Abkiirzung q ( ~=)
-
Qt(x)
~
~~~
wz
und der Einfachheit halber
wieder !?' = 1 (kein Magnetfeld ) so haben wir das unter idealen Bedingungen
(rauschfrei) existierende Feld
o = o,
i-rqo:
+
mit dem Feld @
6@ zu vergleichen, clas einerseits durch die h d e r u n g der
Plasmadichte urn 6q und andererseit>svon den unkontrollierbaren Schwankungen
hervorgerufen wird :
+
+
+
+
+
0: 60: = Q,[1
rlsq,,(t)1 i- [I 7/P91D(t)lr(q
dq)@
6e) (C 4.2)
Vernachlassigt man alle von 2. Ordnung kleinen Terme, so erhalt man
+ q D p 9 ( w q 0 +: T 6 q 0 :
(C 4.3)
Das das Inverse des Operators 1 - rq bei dem betrachteten k-Wert existiert
konnen wir die Gl. (C 4.3) nach d0: auflosen. 6Q setzt sich, wie auch physikalisch
zu erwarten war, additiv aus den Beitragen der Schwankungen und dem Anteil
der zeitlich konstanten Dichteanderung zusammen. Es ist,
-Fql 6Q
= qsqs(t)@:,
bQ
= g@(d
+ h@(d+ d@(P',
wobei
dQ(Q)= [l - rq]-'TdpQ
=
[ I - T q ] - ' r d q [ l -rql-los
6 W ) = q,q',$(t)[l
dQ(P) =
-
~
(C 4.5)
rq]-1QS
qvfJIp(t)[ I - rq]-lrq@
= 7/Dq'v(t)
[I
-
(C 4.4)
- .rq]-l(Q
-
ES)
(C 4.6)
rlPPP(t)[1 - r q 1 - 2 r q @ s
gesetzt wurde. Die Beitrage 60:(8) 6 @ P ) haben wegen der Faktoren ~ ~ , ~einen
( t )
statistisch schwankenden Charakter im Gegensatz zu dem ,,monochromatischen"
Beitrag 80:(q). Zur Abschatzung dieser verschiedenen Felder fuhren wir ihren
mittleren Betrag ein
(C 4.7)
24
Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 17, Heft 1-2
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1966
Die relativen Amplituden der drei Felder sind also im wesentlichen durch das
Verhiiltnis der Zahlen ( I 6q I ) qs qp zueinander bestimmt, da ( 1 q I ) M 1 sein
muB, wenn die Testwelle das ganze Plasma durchsetzen soll. I m Folgenden
identifizieren wir die Mittelwerte mit den Amplituden und setzen
(IG~)=Sl/-,E,
0<6<
1
(C 4.9)
Eo ist das von GINZBURG
u. GUREVI~[3] eingefuhrte Plasmafeld
e2
= 2,82
4nt+,mc2
- 10-13 cm
m il x T ,
r, A3
E ~ =E6 7~~ - - M
(C 4.10)
Nur bis zu den Feldstilrken dieser GroBenordnung ist die Wechselwirkung zwischen dem Plasma und der Testwelle linear. Der Fa,ktor 6 in (C 4.9) sorgt dafiir,
daB das Feld ( I ) die richtige GroSenordnung hat.
Um nun das kleinste mefibare Feld d@q) und daraus das kleinste meBbare dq
zu berechnen, erinnern wir daran, daB unsere MeBanordnung ein aus Antenne,
Verstarker, Gleichrichter und MeBinstrument bestehendes Radiometer ist , das
eine durch
(C 4.11)
gegebene Minimalenergie zu messen gestattet [16]. 4 v ist die Eingangsbandbreite
des Verstarkers, tz die Einstellzeit des MeBinstruments. Das Radiometer mittelt
das einfallende Signal eutomatisch uber Zeiten in der GroBenordnung tz, wodurch der Anteil der inkoharenten Schwankungen herabgedriickt wird. I n der
Formel (C 4.11) sind die Schwankungen des Verstarkungsfaktors des Radiometers nicht beriicksichtigt, da sie durch eine entsprechende Kompensationsschaltung eliminiert werden konnen. Die Systemtemperatur Tsyst setzt sich
additiv aus den folgenden 4 Beitragen zusammen.
1. Dem von den Plasmadichteschwankungen beruhrenden Anteil
2. dem durch die Senderstromdichteschwankungen verursachten Anteil
3. der thermischen Strahlung des Plasmas
Tb M 10-2T,
s. [17] und schlieBlich
4. der Rauschtemperatur des Empfangers
T,
< T,M
104°K s. [18].
M. FIBCIIER:
Elektronendichteverteilung in einem endlichen, anisotropen Plasma
25
Setzt man den Ausdruck (C 4.10) fur cOEgein, so erkennt man, daB T, und T,
1
wegen des Faktors und qD > q s 2
die weitaus uberwiegenden Beitrage
7,
liefern. Bus
folgt unter Vernachlassigung von Th und T R
Nun ist rii M 1U-l0 wie man aus L19J S. 475 entnimmt. Demgegeniiber durfte qs
groB sein. Zahlenangaben uber die Amplituden dieser Schwankungen sind dem
Verfasser aus der Literatur nicht bekannt, doch durfte 7, m
die
richtige GroBenordnung angeben. Der
zweit,c
Term
rechts
ist
also
auch
noch
zu
rernachlassigen unci wir erhalten ( N = ,I Ntr)1 ')
(C 1.11)
I n einem gut st,ationaren Plasma (ql,= lop3) und fur dvtl = L O s erhklt man also
einen relativen MeBfehler von lop5. Jetienfalls sollte man ohne weiteres unterhalb des Fehlers bleiben konnen, den man bei der Berechnung des Leitfiihigkeitstensors gemacht hat M 2 1 5
.
(
1
a
I n (C 4.14) ist der EinfluB der raumlichen St,ruktur von BN auf die Auflosung
noch implizit. 1st 6 N nur uber eine Strecke von der Lange 81 verschieden von
Null und das Volumen der Plasmawolke von der GroBenordnung Zi, so erhalt,
man durch Anwendung des Mittelwertsat,zes auf die linke Seik von (C 4.14)
(C 4.15)
dabei sind bN und N spezielle, durch den Mit'telwertsatz bestimmte Werte der
Funktionen S N ( z ) und N ( f ) .(C 4.15) ist eine Unschiirferelation, die besagt, da8
man den Betrag der Elektronendichte und ihre riiumliche Struktur wegen der
statistischen Plasmadichteschwankungen nicht gleichzeitig beliebig genau messen kann. Mit 4
''
I/dyf,
=
61
und-1,
2
-
l o p aerhalt man
6N
7= 1O P . Man iiberlegt,
sich ubrigens leicht, dal3
groBenordnungsmal3ig gleich der Zehl der
FOURIER-Koeffizienten ist, &e man in der Reihe (C 2.9) mitnehmen muB, um die
vorliegende Dichteverteilung auch wirklich darstellen zu konnen. AuBerdeni
wird 61 njcht vie1 kleiner sein als die Antennenlange.
D. Zusammenfassung
Die 1-orliegende Arbeit hat gezeigt, wie man die I)ichtevert,eilung eines beliebigen inhomogenen, anisotropen Plasmas durch Ausmessung des Test8wellenfeldes bestimmt. Die Methode liefert, verglichen mit friiheren Verfahren diesrr
26
Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 17, Heft 1-2
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1966
Art, sehr vie1 mehr Information, erfordert aber auch einen groBeren meBtechnischen und rechnerischen Aufwand. Ihre Anwendung durfte sie daher hauptslichlich bei Prazisionsmessungen und beim Test approximativer Verfahten finden.
Meine Untersuchungen begannen wahrend meiner Tiitigkeit als Forschungsassistent am Institut fur Elekvonik der T. H. Goteborg (Schweden).Dem Leiter
dieses Institutes, Herrn Prof. Dr. 0. E. H. RYDBECK,
mochte ich hier nochmals
fiir die Erlaubnie danken, die Arbeit neben meinen ubrigen Dienstgeschiiften
voranzutreiben. Vielen meiner Kollegen dort bin ich fiir die Diskussion mikrowellentechnischer Probleme zu Dank verpflichtet. Nach meinem Eintritt in das
Institut fur theoretische Physik (V) der Philipps-Universitl, Marburg, konnte
die Arbeit dann dank der grofizugigen und freundschaftlichen Forderung durch
den Institutsdirektor, Herrn Prof. Dr. S. GROSSMANN,
verhaltnismaBig rasch zu
Ende gefuhrt werden. Ihm verdanke ich auch eine Reihe entscheidender Hinweise zur abschlieBenden Gestaltung der Arbeit und der in C Q 2,3 gewiihlten
Losungsmethode.
Anhang
As. Der m a g n e t o h y d r o d y n a m i s c h e Grenzfall
Y + 00 und fiihrt die ALFVEN-
Macht man in (A 2.1) den Grenzubergang
Geschwindigkeit UA durch
ein, so erhiilt man die Stromdichte im magnetohydrodynamischen Grenzfall
0
- C2IUA
M =5. l o 4
Y M lo2, wiihrend die StoBdampfung 3
M O M lop2 ist. Wir wollen die Eigenfrequenzen eines quaderformigen Resonators ausrechnen, der mit einem Wasserstoffplasma der Dichte 10le cm4 gefullt ist und sich in einem Magnetfeld von
104 Gaul3 befindet. Es sind dann nur Wellen mit $1gomoglich und die Wellenw2
c2
*
(1 +
E = 0.
gleichung lautet unter Benutzung von (Aa. 1) : 4 E
UA
Sind WE" die bekannten Eigenfrequenzen des leeren Resonators so erhalten wir
jetzt die Eigenfrequenzen
Zum Beispiel ist fur w
=
106Hz und Bo = lo4 GauB und
111
+
T)
w : H D MU- Aw yem .
Setzen wir w p = los Hz, SO wird wrHD M lo6 Hz bei den angegebenen Werten
von Bound N . In sehr starken Magnetfeldern sind also auch sehr dichte Plasmen
M 106) noch bequem zu untersuchen.
(2
M.FISCHEB:
Elektronendiohteverteilungin einem endlichen, aniaotropen Plasma
27
Aus der Formel (A 2.2) folgt mit dem Brechungaindex fur Ausbreitung in
Richtung des megnetischen Feldes 03 = e
z
)
(
und daraus fur T ,
=
10P"K und w ; / 0 2
eom
=
10 : I Y - 1[
5
Ba. V o l l s t a n d i g k e i t d e s R a u m e s PG
Sei (3,) eine CaucHY-Folge aus Pa. Da sie damit zugleich eine Fundamentalfolge im Raume der nur stetigen Vektorfelder uber G ist, konvergiert sie
gegen ein stetiges Vektorfeld $. Pa ist also vollstiindig, wenn wir zeigen kijnnen,
ds6 V
existiert und stetig ist. Wie wir gleich zeigen werden, bilden die
en = V 3, eine CAUCHY-Folge, deren Limes G gleich P ist. Inder T a t gilt
-
+
Da nun Sn - ;Sm fiirn,m+mbeschrankt ist und die Divergenz dieser VektorllSn - Sm11
differenzen nach Voraussetzung existiert, ist das Integral beschriinkt und wir
erhalten
~~
d . h. aber {en} ist eine CaocHY-Folge, deren Limes wir mit
lim
n--frn
Zur Berechnung der Divergenz von
bezeichnen:
en = 6 .
bilden wir
oder mit'
woraus nach ubergang zu den Betriigen und Abschiitzung der Integrale folgt:
28
Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 17, Heft 1-2
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Diese Beziehung gilt noch fur beliebige 8,. Wir wahlen nun eine Teilfolge
(Sn>80, da'
- o.
lim 11% - Snvll
(Snv) C
Naturlich ist dann auch lim Max
w-
EEG
v -
v*
Wrn
16 - en, I = 0 und da auch
verschwindet, haben wir schlieDlich lim
W r n
Als Limes stetiger Funktionen ist 6
I ef
=
[
-
B.
=
0.
selbst stetig.
Bb. V o l l s t e t i g k e i t v o n K
Nach [13], S. 311, Definition 3 laBt sich A(1, 2)
ben als
2)
S(2)= [H(1>2)
=
- ifg @jll(l,
2) schreiPO
+ ky@-
21)l
+ +vl S(2).v1y ( [ I- 21
S(2)
eiklEl
dabei ist y ( [x I) = -und
H(1, 2) = - iJ/"Rll(l, 2) (loc. cit. S. 315). Der
1x1
PO
Ausdruck H(1, 2)
ky(1
1 - 2 1) erfullt die Voraussetzungen, die nach [12]
S. 252, Satz 58 hinreichend dafiir sind, daB es sich um den Kern eines vollstetigen
Integraloperators handelt. Folglich genugt es, den Operator
1
1
K l S W = -x@(1)5(1)
+ , a f v l @ ( 2 ) S ( 2 ) . v 1 y ( [ l - 21)dv, (Bb.1)
+
zu betrachten. Die kraftige Singularitat unter dem Integral rechts macht es unmoglich, den neben genannten Satz 58 direkt auf diesen Operator anzuwenden.
Wir wollen zunlichst die BeschrBnktheit von Kl nachweisen. Fur den folgenden
Beweis benotigen wir eine Vektoridentitlit die in [13] S. 311 steht. Es ist
f v 1 @ ( 2 ) * v 1 y ( [ l -2 1 ) d v z = 7 @ ( 1 )
G
+
v1
J @ ( 2 ) * 17,g,(l1--21)dvz
a
wenn nur G die Singulatit,at umschlieDt. Wir betrachten nun Kugeln K r um den
Aufpunkt mit den Radien vp, die {rp}bilden eine Nullfolge. I n (Bb. 1)spalten
wir das Integral nach f ... =
f ... auf und fuhren die Hilfs-
s
G-K?
0
operatoren
Krp S =
s
+
K?
V1@(2)5(2).171y(11--2l)dvz
(Bb.2)
-g r l r
r:
ein, so daB wir K1S in der Form
1
1
K ~ =
s Krp 8
+ K?f
pi ~ ( 2 ~) ( 2 * )
11 - 21)dvz
schreiben konnen. Die Operatoren K,, sind jedenfalls beschriinkt. (1.Teil des
oben zitierten Satzes 58.) Die beiden letzten Terme fassen wir mit Hilfe der oben
zitierten Identitiit zusammen und erhalten somit
K i S -Krp
1
S = z p 1 J @(2) S(2)
"2
*
r 1 ~ ( ll 21) d v z .
(Bb.3)
M. RSCHER:
Elektronendichteverteilung in einem endlichen, suisotropen Plasma
29
Das rechte Integral kann man fur kleine rc,durch den Mittelwertsatz abschiitzen
und erhiilt,
K,3
KTp?j
~
=
+ L.’)5 (X + K’) .T I F
T’
const’F‘g (@(F
-
1)
11~~
wo 1 r‘ 1 5 rtLund qp tler Ortmektor eines Punktes auf der Oberflache von K T ist.
Also ist
K,5
=
K ~ ,5
,
-9~~4-0 ( r t , )
+ const, C D ( ~-+ r’) 3 ( $ + r‘) . E
lh
Q/,!
-
9.’
und somit clurch tbergang zu den Betragen und dann zum Maximum derselben :
j iK, 3 ~j I
j lKrp 1 1
und dsmit: im Limes
T/,
-1const 1 j
11% j1
31
~
t 0 (r!i)
+0
I i K ~ I~ IM~ IbZ’I
1I 311.
mit’ endlichem M unabhangig von
Zum Beweis der Vollstetigkeit8von K , nehmeri wir eine beschrankte Folge
(3,)i Pc. Weil K , beschriinkt ist,?ist, {K,3R}eine (gleichmafiig) beschriinkte
Folge. Wenn wir nun noch zeigen konnen. daIj die Vektoren K , 8, gleichgradig
stetig sind, so enthiilt, { K , S n ) a,uf Grund des r o n MULLER [12] S. 253ff. bewiesenen Lemma 100 eine gegen einen stetigen Vektor konvergente Teilfolge.
Dazu schreiben wir K , S mittels einer weit,eren Identit’iit.nochmals nm. Es ist,
niimlich ([13] S. 311)
r,cJ CV ( 2 ) . v, ‘7: ( I 1 - 2 1)
dv,
=
J ii. cr5 ( 2 ) 9- ( 1 I
-
FG
2 1) df,
J’(c,.(11(2))F,v( j I
-
3j)dv,.
(;
Falls 8 ( 2 ) = @ (2) ( 2 ) ist,, fallt das Oberfliichenintegral noch weg, weil die
Plasmadichtr auf FG verschwiridet,. Damit erhiilt’ man
1
K , 3 = - i X j ( F 2 . @ ( 2 ) 3 ( 2 )F2!P(I1
)
-
“)dV,.
Nun ist. aber
G., P( IF
-
tl
1)
=
1 - ik j E
~jj-
wid wir erhalten
( ~ l ? j ~ ) (z )(
1
~ i 3+
~ b)) (=~-sr;J
P”(t1) =
-
-
gj
(z - 0 ) eikji:-n!
[-1
dull p , , , ( ~ )
-
ik IF
-
x - 913
gj
(F - n ) eiklg-‘ll
~~~
V ’ @ ( Q ) 8,(9)‘
Auf der recht,en Seite haben wir zwei Singularit,iit8enunter den1 Integral. die wir
b dem Radius t > I b I einschliefien, wie
in eine um x + b gelegte Kugel K ; - , ~mit’
es die untenstehende Figur zeigt,.
30
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 17, Heft 1-2
*
1966
Indem wir die Integration iiber G aufspalten, erhalten wir zuniichst zwei
Integrale iiber KF+b
Abb. 6. (Erliiuterung im Text)
Zur Abschatzung von
3':
fiihrt man Kugelkoordinaten um den Aufpunkt
b ein und erhiilt d a m +(U
J, - z C;'). Der Betrag der Vektoren 6;" bleibt
wegen der Beschriinktheit von (K13), unter einer gemeinsamen Schranke.
Das zweite Integral spalten wir nochmals auf gemail3
+
+
Das erste Integral gibt mit dem gleichen Argument wie eben einen Beitrag
6i2'z1. Der Integrand des
zweiten Integrals ist im Integrationsintervall stetig und
4 n +(3)
+
es kann daher durch
Cn (z3- zg) mit gleichmaBig beschriinktem Ci3' abgesehiitzt werden. SchlieBlich bleibt noch das Integral
5k3'abzuschiitzen:
M. FISCHER:
Elektronendichteverteilung in einem endlichen, anisotropen Plasma
F
Setzen wir zur Abkiirzung
wir :
- t ) = r und
x
1 + 6 I)
I 1
= ik( t: - t:
31
so erhalten
Die drei Integrale -71)
J , ,+(?
J ; ,7J ,3 ) konnen nun wie folgt abgeschatzt, werden:
is:? 5 C ' l ' t
?;q5 c'2't+ d3)
I3i3)i 5 c ( ~2,;
) +c
(23
~
-7;)
( 5 ) 181
.
Nach E i n f d r u n g einer Langeneinheit konnen t und 16 I als dimensionslos betrachtet werden. Man wiihle dann t < 1 und I b / = tsund erhalt (t,= t - I b
= t [ i - t71)
c(2)I b Ill8 (1 - 2')
1 ( K , 5n) (F) - ( K , 8n)(F b ) I I
C(l) I b
+ C(3) 1 b 13/8[1 - (1 - t7)3] + C(4) 1- b\"H + C(5)b5P
I
+
+
~
(1 - 4
3
+
I W15J ( E l - ( K , 5n)(1: b ) I i const 1 b ys
und das ist genau die gleichgradige Stetigkeit,. Die GleichmiiBigkeit der Abschiitzung bezuglich n folgt letztlich aus der gleichmiiBigen Beschranktheit von
(K,S,]. Die Folge (en} muB nicht gleichmaBig beschrankt sein.
Damit die Losungen von (B 3.3) auch Losungen der Feldgleichungen sind.
mu13 der Operator K den Raum PBin sich transformieren. Es geniigt wieder, K ,
zu untersuchen. Nun existiert aber V . K , 3 und ist stetig, wenn
aus Pa ist.
Denn es ist (Bb. 2 u. 3 ) :
K,S
1
=
- G 0 , p W 5 ( 2 ) .V z d I 1 - 21)dvz
=
-,O,[d'W(11
1
/v(Il-
-B
-
21)@(2)5(2))dv,
21) V 2 - @ , 5 ( 2 ) ~ % ] .
Das erste Integral kann in ein Oberflachenintegral verwandelt werden, dieses
verschwindet aber, weil Qi (PG)
= 0. Bildet man 0, K,5 so erhiilt man unter
Benutzung einer wohlbekannten Formel [12], S. 33, Satz 7)
-
1
Vl-Kl?j=--d
4n
Jp( I 1
lo
-
2 I)
F'2
. @ ( 2 ) 5 ( 2 ) dv,
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 17, Heft 1-2
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1966
Da die rechte Seite existiert und stetig ist, (man denke sich das Integral in Kugelkoordinaten urn den Aufpunkt berechnet), ist es rtuch die linke.
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__
M a r b u r g ( L a h n ) , Institut fur Theor. Physik der Philipps-Universitgt.
Bei der Redaktion eingegangen am 23. Juli 1966.
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