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Die Faraday-Maxwellschen Spannungen.

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562
6. Dde Faraday-MaxweZZschem Spannungen;
vow G. B a k k e r .
Die F a r a d a y sche Vorstellung uber den Spannungszustand
elektrischer, magnetischer oder elektromagnetischer Felder ist
bekanntlich durch Maxwell mathematisch formuliert worden.
Sehr oft aber werden nun die absoluten Werte dieser Spannungen, welche sich als Voktoren von Flachenintegralen prasentieren, identifiziert mit den Flachenkraften, welche nach der
Elastizitatstheorie die Deformationen der Korper bestimmen.
Da eine solche Auffassung im allgemeinen ganz irrig ist,
wunscbe ich einige hierauf bezugliche Bemerkungen zu machen.
Maxwell isoliert einen Teil des betrachteten Mediums
durch eine geschlossene Flache und zeigt, daB die Wirkung
des ubrigen Teiles auf den isolierten Teil in der Form eines
Flachenintegrals, genommen uber diese Flache, dargestellt werden
kann. Auf diese Weise findet er die bekannten Vektoren:
aV
8V
1 avav
p x x=
9 , px y = 4 n __
a y a-z
(1)
p y y =etc.
p y a= etc.
Der z-Komponent X der Kraft auf den isolierten Teil
wird nun:
1
(2)
& {(a,$).-(+
X
=
(g+
dY
(=).}
+ g)
d t (d t = Raumelement)
und dieses Raumintegral kann wieder transformiert werdeii in
ein Flachenintegral:
(3)
X=J(p,,cosl
+ pxycosp +
pxz
1
cosv d s
genommen uber die Flache, welche den isolierten Teil ganz
einscbliebt.
Aus (2) folgt, daB die GriiBen pxxetc., aufgefagt als definiert durch (a), etwas Unbestimmtes haben. Denn wird z. B.
1 ) Sind die Einheiten nicht festgestellt, so ist mehr allgemein 1 / 8 n
durch 1 / 8 7c f zu erseteen. Fur die Schwere wird f negativ.
Paraday-Maxwellsche Spannungen.
563
die GrijBe p,, durch den ganzen isolierten Teil des Raumes
um eine bestimmte GroBe vermehrt, so wiirde man denselben
Wert fiir X erhalten haben. 1st der isolierte Teil z. €3. ein
Teil von einem Dielektrikum, so kann man also die Spannungenl) p,, etc. nicht mehr als die gewohnlich in der Elektrizifatstheorie betrachteten Flachenkrafte I) (die inneren Spannungen)
auffassen, da diese GroBen in jedem Punkte einen bestimmten
Wert haben und bestimmte Deformationen hervorrufen. Allein
man kann behaupten, daB die Flachenkrafte (1) eine miigliche
Au0Ssung geben, um die Kraft X durch ein Flachenintegral
darzustellen. Wendet man die Faraday-Maxwellschen Auffassungen auf die Gravitation an und betrachtet man die
Krafte, welche durch die Schwere auf einen isolierten Teil der
Erde ansgeubt werden, so sieht man sehr leicht ein, daB die
Maxwellschen Flachenkratte p,, etc., auch was ihre absoluten
Werte anbetrifft, ganz etwas anderes sind, als die Spannungen
der Elastizitat, welche den betrachteten Teil deformieren.
(Der betrachtete Korper, ohne Gravitation gedacht, wird als
im Null-Zustand befindlich aufgefaBt.)
Betrachten wir z. B. eine ruhende, homogene fliissige,
gravitierende Kugel mit einer konstanten Dichte p und nennen
wir fur einen Punkt im Innern des Kiirpers die Beschleunigung ilirer Schwere 9, so wird die Kraft ttuf die Volumeneinheit e g ; ist weiter der Abstand vom Mittelpunkt r, so gibt
die bekannte Gleichung der Hydrostatik:
dp =
-Qgdr.
1st f die Gravitationskonstante, so ist weiter:
g =tnfgr.
Deshalb:
dp = -$afq2rdr.
1st R der Radius der Kugel und wirken auf sie keine
augeren Krafte, so hat man:
p = # n f [ P ( R E - 7.2).
(4a)
I m Mittelpunkt wird also der Druck:
p&f = # n f ( j 2 A 2 .
(4b)
-
1) Was ihre absoluten Werte anbetrifft.
564
G. Bakker.
Nennt man die Gravitationsbeschleunigung an der Oberflache der Kugel g o , so wird auch:
px
3
2
= --go.
snf
Da f' sehr klein ist, wiirde fur eine Wasserkugel von der
GroBe unserer Erde der innere Druck im Mittelpunkt sehr
grop ausfallen. Die Max wellschen P/achenlcrafte p , ,etc. werden
hingegen im Mittelpunkt gleich Null, denn die Differentialausdriicke :
E
e t c . (Krafte auf die Masseneinheit bezogen)
ax
haben im Mittelpunkt den Wert Null.
Aus diesen Betrachtungen geht genugend hervor, daW die
absoluten Werte der Maxwell when Flachenkrafte nicht identifiziert werden durfen mit denen der Spannungen (Drucke) der
Elastizitatstheorie. Wenn also C. C h r i s t i a n s e n und J. C.
Muller in ihren ,,Elementen der theoretischen Physik" (p. 105,
5 31, zweite Auflage 1903) die Formeln (6) von 8 31 vergleichen mit denen von 5 29 (6), so sol1 das nicht in absolutem
Sinne aufgefaBt werden.
In seiner ,,Theorie des Potentials" (p. 259, 5 6, 11. Teil,
111. Kapitel) bemerkt E m i l e M a t h i e u , da8 die Deformationen
eines dielektrischen Mittels nicht mit denjenigen eines isotropen festen Kiirpers verglichen werden konnen. Er schlieBt,
dap die Molekiile der Substanz. in welcher sich elastische Krafte
entwickeln, eine endliche Peraiderung in ilwer Lagerung erleiden,
indem sie sich nach den Kraftlinien richten.
Unzweifelhaft sollen die elektrischen Krafte die Beschnffenheit des Korpers andern; ich bin aber der Meinung,
dap man nicht so uieit zu gehen braucht, um zu erklaren, weshalb die M a x w ellschen Flachenkrafte die Gleichungen der
Elastizitatstheorie nicht befriedigen, aber daB schon aus obigen
Auseinandersetzungen geniigend hervorgeht, daD die Spannungen
der Elastizitatstheorie, welche die Deformationen der Korper hestimmen, ganz etwas anderes sind, als die Flachenkrafte der
Maxwellschen Theorie.
Mathematisch kommt die Sache auf das Folgende hinaus :
Die Spannungen X, X, etc. der Elastizitatstheorie und die Vo-
565
Paraday-Maxwellsche Spannungen.
lumenkrafte ( X , Y, 2) genugen fur das Gleichgewicht der Beziehungen:
nent
(7)
Nun darf fur die elektrostatischen KrOfte der KompoQ X nach N a x w e l l ersetzt werden durch:
Also wird (6):
a ( P z z + XZ) + a ( p z , + X,)
a ( p z . + X,)
ax
aY
+
a x - = 0.
IIieraus folgt nun aber nicht a priori:
p,, = - X,etc.
Betrachten wir wieder z. B. eine homogene, ruhende,
fliissige, gravitierende Kugel mit der Dichte e, frei von augeren
Kraften, so ist hekanntlich das Potential fiir einen inneren
Punkt :
Y = 7c f Qa. ( + ?/a + 9)- 2 7c f p P . 1 )
Hiemus findet man unmittelbar:
p,, = -87c f p2 (x2 - y2 z", p5, = 3 7d f (12 x y , p,, = 9 72 f pa x 2
und (4a) gibt:
+
-
x,=
wahrend:
Yy=Z,=p=~nf'!,2(~2-22-Y2-
4
1
x,= Y, = 2, = 0.
Deshal b :
Also notwendigerweise:
1 ) Vgl. z. B. Vorlesungen iiber die irn umgekehrten Verhaltnis des
Quadrates der Entfernung wirkenden Krtifte von P. G . L e j e u n e Dirichl e t , p. 17.
566
G. Bakher.
Als ein anderes Beispiel betrachte ich eine elektrisierte
Hohlkugel. Die Kugel sol1 ein Leiter sein und auf ihrer OberAiiche die Ladung + e besitzen. Die Plachenktafte p,, etc.
von M a x w e l l sind im dinern der Kugel gleich Null, denn das
Potential ist im Innern eine Konstante. Die Spannungen X, etc.
hingegen findet man auf folgende Weise.
Wenn der Kugelmittelpunkt der Koordinatenanfangspunkt
ist und fur einen Punkt die GroBe E nur eine Funktion des
Abstandes r zum Mittelpunkt ist, so ergibt sich fur die Verruckung dieses Punktes :
g = & x , T/=&y, C=sz.
1st sp eine neue Funktion von r , so konnen wir also
Im Innern der Kugel wirken keine Volumenkrafte, denn
dort ist Q = 0 und die dielektrische Konstante ist eine Konstante.') Also:
ax, ax,
ax,+ __
(8)
a x a y + a s = 0 etc.
~
Hieraus folgt mit Hilfe der bekannten Gleichungen:
(A + p)=a
8
+ p Vz 6 = 0 etc. { 0 = Dilatation 1,
oder :
V 2 y= Konstante = a.
Die B'eziehungen zwischen Verriickungen und Spannungen
werden nun:
und hieraus mit Hilfe der Formel fur die Spannung auf einem
Flachenelement :
P = x,cosa + x , c o s p + X , c o s y ,
1) Vgl. z. B. C. Christiansen, Elernente der Theor. Physik p. 108.
Erste Auflage.
E'araday-Maxwellsche Spannungen.
567
Auf' diese Weise findet man in der Theorie der Elastizitat
eine Hauptspannung :
~ = ~ a + a*2 p 3
d ra
in der Richtung des Radius und fur ein Flachenelement, das
T enthalt, eine Hauptspannung:
Die Beziehung da9~ = a wird hier:
woraus
und
Demnach:
(9a)
und
(9b)
A = (a
+ Q p) a - 4 rP3b
~
+
A = (1 +p)a+2:As
Hat die betrachtete Hohlkugel nur eine Ladung e auf
ihrer augeren Oberflache und sind R, und Ba der innere bez.
der lubere Radius, so ist fur R,: A = 0 und fur RB:
K
A =Ea,
87C
wenn E die ,,elektrische Kraft" und E die dielektrische Konst,ante des umgebenden Mittels ist. Hieraus findet man:
und
568
G. Bakker.
Da
sieht man, daB die Spannungen fur einen bestimmten inneren
Punkt der Rohlkugel proportional dent Quadrat der Ladung
wachst. Die Maxw ellschen Spanmngen hingegen sindgleich Null
Raumliche Dilatation.
Fur die raumliche Dilatation eines isotropen Korpers fand
C. Chree’):
wo X , Y, 2 die Komponenten der Yolumerikrafte und F,G , H die
Komponenten der Krafte an der Oberflache des Korpers darstellen. Sind nun die Volumenkrafte eine Folge yon im umgekehrten Verhaltnis des Quadrates der Entfernung wirkenden
Kraften, so kann man nach Maxwell fiir die Komponenten
X , Y, Z bez. substituieren:
wo p , , etc. die bekannten Bedeutungen haben.
Nach einer leichten Umformung erhalt man :
( 11)
I
I
I
+ Y (pyx1 + P,, m +py2 + z ( P ~1, + P, m + P,, n)I d s
- J(&,
+ Pyy+ d t .
7 ~ )
P23
Nun ist der Ausdruck:
P,,l
+ psym + P x z n
nichts anderes als der x-Komponent der Maxwellschen Flachenkraft fur das Flachenelement d s . Nennen wir also ihre drei
Komponenten P, Q und R , so wird das Flachenintegral in
der Gleichung (11)
+ +Rz)ds
~ ( P ZQ Y
1) C. C h r e e , Trans. of the Cambridge philos. SOC. 15. p. 318. 1892.
Faraday-Maxwellsche Spannunyen.
569
und ist also das zweifache Varial (mit entgegengesetztem Zeichen)
der Maxwellschen Flachenkrafte an der Oberflache des Korpers.
Weiter wird die Summe p,, + p
p,, (welche gleich ist der
Summe der Hauptspannungen) 'fur Schwere, elektrostatische
Krafte und magnetische Krafte bez.
+
wenn g = Beschleunigung der Schwere, f = Gravitationskonstante, B = dielektrische Konstante und ,u = magnelische
Permeabilitat darstellen.
Fur die raumliche Dilatation des Korpers erhalt man also
z. B. in dem zweiten Fall:
Das zweite Integral verschwindet, wenn keine anderen Krafte
betrachtet werden a19 solche , welche im umgekehrten Verhaltnis des Quadrates der Entfernung wirken. 1st der Korper
ein Leiter, so verschwindet auch das letzte Integral und man
erhalt nur :
Dieses letzte Resultat ist im Einklang-mit der gewohnlichen
Betrachtung, wo die Maxwellsche Spannung als ,,elastische':
Spannung betrachtet wird. Der Ausdruck (12) fur Sv lehrt
aber, daB die Berechnung von S u im allyemeinen nicht so
einfach ist.
E m i l e Mathieul) setzt die Maxwellschen Flachenkrafte
unmittelbar in die bekannten Kirchhoffschen Gleichungen
ein , welohe die Beziehungen zwischen Spannungen und Verriickungen geben und findet als Ausdruck der raumlichen
Dilatation das letzte Glied von (12). Wie schon bemerkt, sagt
er, daB tfieser Ausdruck unmoglich gelten kann, gibt aber den
exakten Ausdruck nicht an.
1) Ernile Mathieu, Theorie des Potentiales, p. 259. 1890.
13.
37
Annalen der Physik. IV. Folge.
570
G. Bakker.
Fur die raumliche Kontraktion einer homogenen isotropen
Kugel zufolge ihrer eigenen Schwere wurden die Flachenkrafte
geben :
1st die Beschleunigung der Schwere an der OberflBche der
Kugel yo, so wird die Flachenkraft:
sa _
-_
Snf
und der bekannte Ausdruck fur das Virial eines auswendigen
Druckes, + p v, gibt unmittelbar:
(14)
1
32+2p
=--
-C?V
.-87cf
”v
(v = Volumen des Ktirpers).
Die gewohnliche Retrachtung nach der Elastizitatstheorie wiirde
gegeben haben I):
Fugen wir weiter bei dem Ausdrucke (14) das Baumintegral
hinzu, welches bei der Schwere das letzte Olied von (12) ersetzen muB, das heiBt das Integral:
(H = Kugelradius und g = gO-R
so erhalt man:
und das ist notwendigerweise der Ausdruck (15).
F u r einen Leiter hat man fur die raumliche Dilatation
zufolge einer Ladung auf seiner Oberflache Formel (13), oder
wenn U das Virial der auBeren Krafte darstellt:
Berechnen wir nun als ein anderes Beispiel die raumliche
Dilatation eines homogenen isotropen leitenden Ellipsoids.
~
1) C. Chree, Trans. of the Cambridge phil. SOC. 15. p. 331. 1892.
Faraday-Maxwellsche Spannungen.
571
1st c die Flachendichte, e die ganze Ladung und p das Lot,
welches vom Mittelpunkt auf die in dem betrachteten Punkt
an das Ellipsoid gelegte Ebene gefallt ist, so hat man:
e
= __--__
Cnabc
x p.
Die elektrische Spannung wird deshalb
wenn wir die dielektrische Konstante des umgebenden Mediums
gleich 1 setzen.
1st d s ein Element der Oberflache des Ellipsoids, und r
sein Radiusvektor, so wird bekanntlich der Ausdruck fiir das
Virial der elektrischen Spannungen:
U=
- ksRrcos(R,r)ds,
wenn R diese Spannungen darstellt.
Weiter ist
P
cos (l?, 7.) = ~und also:
u = - - 16 TC a2
eP
lp3ds.
bBc2
Die ganze VergroBerung des Ellipsoids wird deshalb :
1
e2
lpsbds.
3 2 + 2 p 8ma2bYcB
Wenn n
> b > c,
so setzen wir:
= -.a2 - 6 2
12
$-c2
1'2=7
-
b2 C'
a2 - c2
und weiter:
~~
-~
A = ~ 1 - Z 2 s i n a u , A=l/l--l'2sinzi.
Das Fliichenelement d s kann auf diese Weise ausgedriickt
werden durch :
FCos~U+z'2Cos~v
d s = __
A . A'
- -~
~~
V(u2cosau+b2sinau)(c2cosau+b2sin2v).dudv.
Weiter ist:
und
x = asinu. A ,
y = bcos~ucosv, z = csinv. A
37*
57 2
G. Bakker. Faraday-Maxwellsche Spannungen.
Demnach :
p=--
abc
._ -.
1/(a2eosSu
+ b2 sin2u)(c2 coa2 v f b2 sin2v)
Durch Substitution in (17) wird also die Frage zuriickgefiihrt
auf die Berechnung von elliptischen Integralen.
1st a = b, so erhiilt man leicht:
Setzen wir:
asca
1 = ha (a > c ) ,
so wird:
y('ps ds =
a4 0
~
h
S
arc. tg (h sin v) d u.
F u r einen Oktant des Ellipsoids mussen u und v zwischen 0
und nd/2 genommen werden, und:
.n
n'c
h
$ J p 3 d s = --arc.
2
tgh.
Die VergroBerung des Volumens des Ellipsoids wird deshalb :
Fiir eine bestimmte Ladung und fur gleichformige Ellipsoide
sind also die Dilatationen den Dimensionen umgekehrt proportional.
's G r a v e n h a g e , November 1903.
(Eingegangen 17. November 1903).
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