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Die Farbe des Meeres.

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1924.
17.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIEETE FOLGlE. BAND 75.
1. D i e Xarbe des Meeres;
vom R. C a m s .
Der Meinung Lord Rayleighsl), daB die dunkelblaue
Farbe der tiefen See sich einfach durch Reflektion des blauen
Himmels erklart, stellte R a m a n 2, die fraglos richtige Behauptung gegeniiber , daB die Erscheinung durch molekulare Zerstreuung des Sonnenlichts (Tyndlalleffekt) an den Wasserteilchen hervorgerufen wird, wobei aber die wahre Absorption des
Wassers wesentlich mitspielt. Diese Gedanken hat R a m a n at h a n 3 ) auf Anregung R a m a n s weiter verfolgt.
. Wenn wir das Problem noch einmal in Angriff nehmen,
so geschieht es, um die Frage etwas eingehender zu behandeln,
als es die beiden indischen Physiker getan haben. Diese
haben sich namlich auf normale Incidenz der Strahlen (Sonne
im Zenit) sowie Beobachtung in normaler Xichtung zur Wasseroberflache beschrankt und haben, was mehr ins Gewicht fiillt,
nur die Lichtzerstreuung erster Ordnung berucksichtigt.
Wir wollen die Aufgabe allgemeiner anfassen. Die Sonnenstrahlen fallen unter einem beliebigen Winkel auf die Wasseroberflache, werden dort zurn Teil reflektiert und dringen
zurn Teil ins Wasser ein. Hier werden sie molekular zerstreut und zwar mehrfach, sowie, j e nach dem Spektralbereich,
mehr oder weniger absorbiert, d. h. in Warme verwandelt.
Der Rest kommt a h diffuses Licht an die OberflSiche zuriick,
erleidet dort zum Teil eine innere Reflektion, und zwax je
nach der Neigung der. Strahlen gegen die Vertikale partielle
oder totale Reflektion, zum Teil tritt er in die Luft Bus.
1st die Intensitit des einfallenden Lichts ala Funktion
der Wellenlhge gegeben, so ist fur jeden Austrittswinkel die
1) Lord R a y l e i g h , Cientific Papers 6. B. 540 (mir unzugiinglich).
2) C. V. Raman, Proc. Roy. SOC. (A) 101. S. 64. 1922; vgl. auch
,,Molecular Diffraction of Light", Calcatta 1922. S. 64ff.
3) K. R. R a m a n a t h a n , Phil. Mag. 46. 1923. S. 453.
Annalen der Physlk IV. Folge. 75.
1
2
3.Guns.
Intensifat des diffusen Lichts zu berechnen, und da dieses kein
naturliches Licht ist, so handelt es sich sowohl urn die Intensitaten der in der Austrittsebene wie auch der senkrecht zu
ihr polarisierten Strahlung.
0 1. Die Zerstreuung erater Ordnung.
Es wird niitzlich sein, zuerst nur die Zerstreuung erster
Ordnung zu betrachten, d. h. den Tyndalleffekt, der durch die
einfallende Strahlung erregt wird, aber die Abbeugung zu vernachlassigen) welche das einmal diffus gemachte Licht auf
seinem Wcge im Innern des Meeres erfahrt.
Die Some habe die Zenitdistanz ac. Die Einfallsebene
machen wir zur xz-Ebene, und zwar sei die positive z-Achse,
deren Ursprung in der Wasseroberflache liegen moge, vertikal
nach unten gerichtet.
Den einfallenden Strahl der Intensitat J, zerlegen wir in
zwei Bestandteile der Intensitaten 412, die parallel und senkrecht zur Einfallsebene polarisiert sind, und behandeln zunachst
den Fall ( p ) des parallel der Einfallsebene polarisierten Bestandteils des Sonnenlichts.
Die Primarwelle hat im Innern des Wassers den elektrischen Vektor :
WO
sin ,8 = -. 78
sin a
n = fi ist der Brechungsexponent des Wassers, h der Koeffizient der durch Lichtzerstreuung hervorgerufenen scheinbaren
Absorption, h' der der Verwandlung in Warme entsprechende
Absorptionskoeffizient.
Diese einfallende Welle erzeugt zerstreutes Licht, das
sich - etwa nach Lorentz') - aus dem Hertzschen Vektor:
(3)
mittels der Gleichungen:
1)
H.A. Lorentz, Les theories statistiques en thermodynamique)
S. 83.
Leipzig und Berlin 1916.
3
Die Purbe des Meeres.
Q = grad div 8 -
8
'
sag.
a8
8 = '8
rot a t
berechnet. Der einzige Unterschied dem Lorentzschen Ansatz gegeniiber, den wir gemacht haben und machen mussen,
ist der, da6 wir die optische DielektriziVatskonstante nicht reell,
sondern, der scheinbaren und wahren Absorption entsprechend,
in der komplexen Form:
(4)
)
~
(5)
einfuhren.
Dabei durfen wir aber h + h'
F
c,
d. h. die auf der
Strecke A / 2 TZ erfolgende reIative Intensitatsabnahme als unendlich kein ansehen.
Da die zufalligen, durch Fluktuationen hervorgerufenen
Schwankungen d B der Dielektrizitiitskonstante auBerst klein
sind, so werden wir in vielen Fallen keinen merklichen Fehler
begehen, wenn wir in (3) anstatt des wahren Feldes B das
urspriingliche Feld B, der ungestorten Welle einfuhren. Das
haben E i n s t e i n und L o r e n t z l ) bei der Behandlung des
Tyndallphanomens getan, und das durften sie bei den in Frage
stehenden Problemen auch unbedenklich tun. Wir aber merken
uns, da8 diese Vereinfachung nur gestattet ist, wenn die Intensitat der Tyndallstrahlung unendlich klein, d. h. (d E ) ~proportional ausfallt.
Das Ersetzen von B durch Go in (3) bedeutet, physikalisch
gesprochen, die Beschrankung auf die Zerstreuung erster
Ordnung.
Fur ein Volumelement d z am Orte & 7, 5 ergibt sich aus
(1) und (3)
8, = 8, = 0;
1
Ae'mdz
& =z = x r
C
(sf?)
r1/6
cos v t - (
-
wo
(2)
h+h'
be-^
+
6 @in@ + 5 cos @
0
c
+ (z - LJ2.
r2 = (a! - b2 (y - da
1) A. Einetein, Ann. d. Phys. 38. 1910. S. 1286; H. A. Lorente,
a. a.
0.s. 43 und 84.
1*
4
R. Cans.
Fiihren wir noch Kugelkoordinaten
x-'
- sin 9. cos y ; y - 4 sin 9. sin y ; __ = G O 8 9.
(8) 7
ein, so folgt aus (4)und (6) fur Werte von r, die groB gegeniiber il sind,
(9)
I
Ex= - Za' sin2 4cos y sin sp,
0s
VP
E~= -2 s '
8, = - ZE'VE'-7-cos 4.
I*
2(sinaasin2 sp - I), ay= 0,
c2
Y2
E~= - z e' --r
sin 6 cos 4sin sp,
0
=
sin 9. cosy,
~ 6 t y ~ I l . r
CS
Wegen des verschiedenen Verhaltens beim Austritt in
Luft miissen wir die Bestandteile der Strahlung einzeln kennen,
welche parallel ( p ) und senkrecht (8) der ,,Einfallsebene"
(Ebene z, T ) polarisiert sind. Deshalb berechnen wir aus (9)
Qs und gV mittels der Formeln:
Bs = Gz cos 9.cos sp + (Eycos 9 sin cp Gz sin i9,
(10) Q , = - @ sin sp (Ey cos y ,
und ebenso fiir @. Es ergibt sich:
{
= 2 E'
(11){
-
+
ca COB 9. sin y ~ ,
US
uB
Gv= Ze' COB y ,
9
- ZE' l/ry' cos y,
a9 = + . ~
YH< icos 9 sin v,
@6
=
cp
so daB der absolute Wert des Poyntingschen Strahlungsvektors G' im Wasser sich folgendermasen ausdriickt I)
Setzen wir in diese Formeln den Wert Z &us (6) ein,
nehmen den Mittelwert uber die Zeit, berucksichtigen, daB
(14)
I) Es ist leicht einzusehen, wo man in den Formeln 8' durch 6 ersetzen darf.
2) Vgl. e. B. E. Cohn, Das elektromagnetische Feld, Leipeig
1900, 8. 441.
5
U i e .Farbe des Meeres.
der ins Wasser eintretende Teil der von uns betrachteten
(Fall p ) Sonnenstrahlung ist, und dab
8ns
h = - 3( n04
A
(15)
€)’adz
ist’), so erhalten wir:
Urn die Strahlung zu erhalten, die durch den Punkt P
(x,y, z) innerhalb des Kegels d w hindurchgeht, setzen wir
d z = r 2 d o d r und integrieren uber T . So w i d , da z
5
= r cos 6 ist,
-
3h
16 z
SSf= __ Jo d,
- (h + h’)
t?
cos 6
cosa 9. sin2sp d o
1st 6> $ (die Strahlung geht auf die Oberflache zu),
so sind die Grenzen 0 und m. 1st dagegen 9.<$ (die Strahlung kommt aus der Richtung der Oberflache), so sind die
Grenzen 0 und z/cos6.
Auf diese Weise erhalt man
I
fur 6 > -.2
Die beiden Ausdrucke gehen fur 6 =
z
n
stetigineinander
uber, und (17’) bleibt fur 6 = ,4 endlich.
Genau so gestaltet sich nach (16) der Ausdrnck fir S,’,
nur ist cosa 6 sin2 sp durch cos2v zu ersetzen.
1) Vgl. z. B. R. Cans, Zeitschr. f. Phys. 17. S . 371. 1923,
R. Gans.
6
Die Strahlung durch ein horizontales Fliichenelement d c
ergibt sich durch Multiplikation mit cos 9 .d c,somit folgt fur die
spezifische Intensitat der diffusen Strahlung im Wasser , die
a d die Oberflache zulauft
cos 9 sin 9 d 8 d y
?
h
KP‘cos9.d~= 2-16n h+h’
COS
@ cosa rp
JO dP C___OSP-COSY
cosB s i n 9 d 6 d c p .
Von dieser Strahlung tritt der Bruchteil d 8 ( 0 ) bzw. d p ( 0 ) in
die Luft aus und erfullt dort das Kegelelement
dS;! = sin@ d O d @ .
Hier ist (vgl. z. R. E. Cohn, a. a. 0.)
(20) d* (0)
=
sin* 0 sirla8
.
0 - 8 )’ d,
(0+ 4)
Da ferner
(21) s i n @ = n sin8;
(0)
=
sin 2 0 sin 2 4
sin2 ( 0 + 8)
-
0 = y; cosOdO = n c o s 9 d9.
ist, so ergibt sich fur die spezifische Intensifat K in Luft:
I n den Formeln (20) bis (22) haben wir 9 durch TC - 9. ersetzt; 9 ist also jetzt der spitze Winkel, den die auf die
Oberflache zueilende Strahlung im Wasser an dessen Oberflache
mit der Vertikalen bildet.
Der Fall s erledigt sich ganz analog. Es ist 8, = 0;
8, und 8, haben denselben Wert wie Z friiher in (S), nur ist
B durch D cos p bzw. - B sin p zn ersetzen.
7
Die Parbe des Meeres.
Man erhiilt auf diese Weise fur den Fall s:
Die entsprechenden Formeln (22) und (23) miissen addiert
werden, um das gesamte diffuse Licht der betr. Polarisationsrichtung zu bekommen.
Steht die Some im Zenit, so ist
a = 0 ; /3 = 0 ;
also
4n
ds(0)= d,(O) = __(12 f 1)s '
cos 0 sin 0 d 0 d ct, .
Die ganze Ausstrahlung der Flacheneinheit der Oberfiiiche betragt also
In den G1. (22) bis (25) figuriert bei gegebener Spektralverteilung der einfallenden Strahlung die Wellenlange nur
insofern merklich, als h / ( h + h') von ihr abhiingt, denn die
anderen Terme variieren nur wegen der Dispersion des Wassers
mit I , doch ist diese wegen ihrer Geringfugigkeit fur unser
Problem ganz irrelevant.
Wir kdnnen also sagen, daB die Lichtzerstreuung erster
Ordnung viillig durch die GroBe h / ( h h') bestimmt ist, der
sie in diesem Grade der Naherung proportional ist.
Tab. 1 gibt die GroBe
+
K
=
+ d,, (9)
+ C 0 8 23
d , (0)
cosa 4
1
?
der die Helligkeit in ihrer Abhangigkeit vom Winkel 0 proportional ist; Tab. 2 enthalt die Werte von h gemal3 der aus
der Fluktuationstheorie abgeleiteten E i n s t e i n schen Formel
(y Eompressibilitat)
R. Cans.
8
sowie die photometrisch bestimmten Extinktionen IL + h' nach
v. Aufsess, M a r t i n und Ewan.')
Das Integral i n (25) haben wir mit einem mittleren Werte
n = 1,333 fur reines Wasser numerisch ausgewertet. Es hat
den Wert 0,4315, so da6 die Gesamtstrahlung
R
(27)
= 0,08917
~
h
h + h Jo
wird.
T a b e l l e 1.
K
lr
00
5
10
15
20
25
30
35
40
45
rz
(h
+
0,9795
0,9779
0,9759
0,9696
0,9629
0,9532
0,9434
0,9305
0,9168
0,9005
h') * loa
in l/cm
h lo5
in l/cm
0,8810
0,8584
0,8303
0.7918
0,7372
0,6566
0,5307
0,3304
0,0000
50
55
60
65
70
75
80
85
90
h
h
+ I'
.
Autor von
h-t-h'
Die Parbe des Meeres.
9
wir, ohne die Naherung weiter zu treiben, zwax aus der Kurve,
die h / ( h + h') als Funktion von L darstellt, ablesen, daB ein
aus reinem Wasser bestehender tiefer Ozean blau sein mu6,
aber die quantitativen Ergebnisse im kurzwelligen Teil des
Spektrums wiirden doch unsicher bleiben.
Fragen wir uns einmal nach dem Aussehen eines Ozeans,
wenn das Wasser keine wahre Absorption (h' = 0) hatte,
sondern nur Extinktion infolge von Lichtzerstreuung aufwiese.
Dann ware ___ - I , und infolgedessen kame in unseren
hfh'
Formeln die Wellenlinge iiberhaupt nicht mehr vor, abgesehen
von der belanglosen Dispersion. Das zuriickgestrahlte Licht
ware also weil3. Wir konnen demnach sagen: D a p der Ozean
iiberhaupt diffuses Jicht aussendet, liegt an. der rnolekularen Xichtzerstreuung; dap dieses Licht blau ist, erklart sich durch die
wailre Absorption im Roten, Gelben und Grunen.
Es scheint auf den ersten Blick iiberraschend, daB der
Himmel blau ist , und dab absorptionsloses Wasser , dessen
Farbe sich nach demselben Prinzip erklart (Tyndalleffekt), weiB
aussehen miiBte, doch verstehen wir den Unterschied sofort,
wenn wir beriicksichtigen, daB wir uns in der Atmosphare befinden und die Lichtzerstreuung von der Seite beobachten,
wahrend wir die Farbe des Wassers von oben beurteilen.')
Da die Lichtzerstreuung proportional h ist und - bei absorptionslosem Wasser - die Extinktion ebenfalls, so wiirde
das rote Licht vornehmlich aus groBeren Tiefen kommen, das
blaue dagegen aus den Oberflachenschichten. Unterwasserversuche wurden demgema6 j e nach der Tiefe, in der man sie
anstellt, verschiedene Farbeneindrucke ergeben. Kunstlich kann
man sich die Verhaltnisse des Wassers ohne wahre Absorption
schaffen, indem man es durch sehr kleine kolloidale Bestandteile trubt, weil dann h so grog wird, daB hf daneben vernachlassigt werden kann.
Man konnte den Einwand machen, daB unsere Formeln,
die nur fur kleine h / ( h h') gelten, keine Schlusse zulassen,
wenn diese Gro6e den Wert 1 annimmt. Jedoch laBt gerade
+
1) Es kommt hinzu, daB es zwar so tiefe Meere gibt, da6 praktisch
kein Licht auf den Grund kommt, die Atmosphiire laEt jedoch einen
groSen Teil hindurch.
R. Guns.
10
in diesem Falle schon die Anwendung des Poyntingschen
Satzes das Resultat ableiten. Betrachten wir einen geraden
Zylinder von 1 qcm Querschnitt, dessen Grundflachen in der
Wasseroberflache bzw. auf dem Meeresgrunde liegen miigen.
Durch die Bodenftache geht iiberhaupt keine Strahlung, durch
die Seitenflachen tritt ebensoviel ein wie aus, also mu8 die
oben eintretende ebene Welle dort wieder diffus vollig herauskommen. Da das fur jede Wellenrange gilt, so sahe die E'lussigkeit wei6 aus. Die aus der Flacheneinheit herauskommende
Gesamtstrahlung milBte also (mit Beriicksichtigung des Reflexionsverlustes, den die einfallende Welle an der Oberflache
erleidet)
472
Jo = 0,YS J ,
R=
(92
f 1)s
sein, wahrend unsere Formel (27) fur h' = 0 R = 0,089 Jo ergibt. Wir sehen also, dab fur griiBere Werte von h / ( h + h')
die Beschrhkung auf die Zerstreuung erster Ordnung .such
nicht einen groben Naherungswert gibt. Wir gehen deshalb
zur Entwicklung der allgemeinen Theorie iiber , beschranken
uns in ihr aber aus Grunden der Einfachheit auf senkrecht
einfallende Strahlung, obwohl der Behandlung des allgemeinen
Falles durchaus keine Schwierigkeiten im Wege stehen.
5 2.
Strenge Formulierung des Problems.
Um die Aufgabe der Lichtzerstreuung in einer absorbierenden Fliissigkeit streng zu behandeln, wollen wir zunachst
die Richtungsanderung der Strahlung im einzelnen verfolgen.
Ein Strahl der Intensitat K' und des raumlichen Offnungswinkels
do'= sinWdiYdy'
erleide an einem Volumelement d r Lichtzerstreuung. E s fragt
sich, wieviel von diesem zerstreuten Licht in den Offnungswinkel
d o = sint9dadSp
gerat. Wir miissen die Strahlungen in d w , sowie in do' in
die beiden Bestandteile zerlegen , die parallel der ,,Einfallsebene" (p) bzw. senkrecht zu ihr (s) polarisiert sind. Unter
Einfallsebene verstehen wir dabei die durch die Achse des
Elementarkegels und die im Raume feste z-Achse bestimmte
Ebene.
11
Die 3arbe des Meems.
Wir fuhren Kugelkoordinaten ein, deren Ursprung in d r
liegt. Die Feldstarke in dem Elementarkegel do' habe die
Komponenten Qi, Qq'. Dann ist
[
(28)
@=' = 6s' cos 8 cos sp' - Q i sin sp'
Ei = Qo' cos IYsin sp' + Q,' cos y'
Qz' = Q$ sin 8 ,
-
also lautet nach (3) der fur die Zerstreuung an d z mabgebliche Hertzsche Vektor 8
(29)
8, =
As
dz
4nr
(Qicos 9'cos sp' - 6; sin y') usw.
Mittels (4) folgt daraus fur die Feldstarke im Elementarkegel
d w , und zwar in einer gegen die WellenlSinge groben Entfernung d z
und wenn man
8
aus (29) einsetzt,
+
A8.d~
[Eg cos y G; cos 9. sin ('p 'p')]
4nr
'V
AS-dz
[Eo'cos8'sin(y - y')- E~cos(sp-sp')],
ce 4 n r
v2
c2
-
wo zur Abkurzung gesetzt ist
c o s y = cos9.cos8cos('p - y') + s i n 8 . s i n 8 ' .
(33)
Nun ist
12
€2. Gans.
Somit ist der Strahlungszuwachs, den der Elementarkegel d w
infolge von Zerstreuung an d z der 'urs-priinglich in do' befindlichen Strahlung erfahrt,
1
n 2
d,.K8dffi = - [ ( d ~ ) ~ d t ]
(35)
2,'
.ds.dw[K,'cos2y
+ K p ' c o s 2 8 s i n 2 ( -~ y')]dm'
71.8
dl K p d o = - [(AE ) ~d t]
1204
.dzdw[Ra'cos2+sin2(y - q')+ K,'cos2(rp
- y')]dw',
und der gesamte Zuwachs in d o infolge der Zerstreuung der
Strahlen aller moglichen Richtungen
I Al K g d w = Lo4
g[(d~)~dz]
I
an
j " ~cos2
: y + KL
(39) '
dl*K,dw
= -7Lh d t . d o
87c
Go82 9
sin2 (y - y')]d w'
Die E'arbe des Meeres.
13
AuSer diesem Zuwachs erhalt der Elementarkegel d w aber
noch Strahlung durch Zerstreuung der einfallenden Welle an
at. Diesen Betrag erhalten wir unmittelbar aus (35)) wenn
wir dort K8'dw', sowie Xp'dw' durch
J ,-(71+W)z
2
ersetzen und 9' = 0 setzen. Hier bedeutet J die Intensitatl)
des senkrecht einfallenden Strahls im Wasser, aber an der
Oberflache, somit J e - ( h + h)z dieselbe in der Tiefe z , wenn ii
und h' die Koeffizienten der scheinbaren und wahren Absorption sind. Es ergibt sich also als zweiter Zuwachs in d w
(39) und (40) sind also auf das Gewinnkonto von d m zu
schreiben. Auf das Verlustkonto kommt diejenige Strahlung,
welche K d w beim Durchgang durch d t infolge von Zerstreuung und Absorption verliert. Dieser Betrag ist
A , . K8dd)= (h + h')hTgdtdw
(41)
8,.K~drr,=(h+h')K~dtdw.
Das Volumelement d t war bisher beliebig. W ir wahlen
es jetzt als unendlich kleinen Zylinder der Grundflache d B
und der Hohe d I , und zwar habe d I die Richtung der Kegelachse d m . Da nun K Funktion des Orts ist, so ist der Zuwachs der Strahlung infolge des Durchlaufens von d t
{
und weil in dem von uns behandelten Falle K nur von der
Koordinate z = 1 cos 9. abhangt, ist dieser Zuwachs
(42)
1
A K 8 d w = - aaKs
cos 9. d t d w
x
bzw.
a KP
AKpdw = ---Cos9.drdw.
ax
1) J ist nicbt dasselbe wie das Jo in 5 1. Ersteres bedeutet die
Intensitit im Wasser, letzteres die in Luft. Wegen der Reflexion an
der Oberflache gilt die Beziehung J
=
4m
(n + l ) Z
14
R,Guns.
Die Kontinuitatsgleichung
d 2 Y . d ~= A, . K d m A , . K d w
ergibt also nach (39), (40), (41)und (42)
+
y
-A , . K ~ w
+ Ki cos26 sina(cp - cp')]
Da K aus Symmetriegriinden (wegen der senkrechten Inzidenz)
von cp unabhangig ist, konnen wir nach cp' integrieren und erhalten, indem wir noch
3
h
(44) K I = U ; K p = 7;( h + h ' ) z = ~ ; --8 h + h ' - X
setzen,
.[ V (cosz 8 cos2 9.' + 2 sin29.sin28')+ 7' cos281
+ 2n e - x cos29.
XJ
U' und V' bedeuten hier natiirlich die GroBen U bzw. P fur
das Argument 6'.
Wir sind damit auf zwei simultane inhomogene lineare
Differential-Integralgleichungen gefiihrt, die die Lichtzerstreuung
beherrschen. Die Ableitung derselben hat manche Beruhrungspunkte mit der Methode, die JaffBl) auf ein strahlungstheoretisches Problem angewandt hat.
SchlieBlich sind noch die Grenzbedingungen zu formulieren.
Diese lauten
1) G. Jaff6, Ann. d. Phys. 68. S. 583. 1922.
Die Parbe des Meeres.
15
(46)
f u r x = c o : U = O ; Y=O.
Ferner gelten an der Oberflache fur die diffuse Strahlung die
l?resnelschen Reflexionsformeln, d. h.
76
(47) fiir x = o und o < 9. < T
: U(I9) = u(I9) U(7d - 8)
V ( 8 )= v(I9) V(W - 4).
Hier sind u und v als bekannte, zwischen 0 und nG/2 definierte
Funktionen von 9. aufzufassen, und zwar ist (vgl. z. B. E. Cohn
a. a. 0.)
t g B r 0 - 8) fiir sin 19< la
1 u ( 8 )= 1 fur s i n 8 > ;
1
= tga (0 + a)
(48)
sina (0 - 8)
v(I9) = Sins (0+ 8) (part. Refl.)
v (8)
=1
(Totalrefl.),
{
1
1
7
und 0 druckt sich mittels sin 8 = n sin 9. durch 9. aus.
Aus den Gleichungen (45) bis (48) lassen sich einige allgemeine Folgerungen ziehen.
1. Fur einen bestimmten Wert von x, der noch von der
Wellenlange abhangen kann, und gegebene Spektralverteilung
von J sind U und P Funktionen von 9. und x, d. h. nach (44)
Funktionen von 8 und (h K ) z . Das bedeutet, daB das
Strahlungsfeld in Richtung der z-Achse um so mehr ahnlich
zusammengedruckt ist, je groBer die Gesamtabsorption h + Ii
ist. Das kommt fiir Unterwasserbeobachtungen in Frage.
2. Die Farbe des Wassers hangt von den Werten ab, die
U und 7 fur x = 0 haben, ist also bei gegebener Spektralver3
h
teilung der Beleuchtung J wesentlich durch x = 8h+h' bestimmt, keineswegs aber x proportional, wie es in 0 1 bei Vernachlbsigung der Zerstreuung hoherer Ordnungen folgte.
3. Wurde das Wasser nur Licht zerstreuen, aber nicht
wirklich absorbieren (h' = 0), so hatte x seinen Maximalwert 3/s,
ware also fur alle Wellenlangen dieselbe Zahl, und die Funktionen U und V wurden fur x = 0 von il unabhangig sein, da
auch die Grenzbedingungen es merklich sind. Die Farbe eines
solchen gedachten (oder kunstlich trube gemachten) Meeres
wurde also fur einen auperhalh des Wassers befindlichen Beobachter bei Beleuchtung mit weiBem Licht weiB sein.
+
8 3. Erste Integrationsmethode.
Wir denken uns U und P nach Potenzen von x entwickelt, setzen also an
R. Cans.
16
(49)
x=o
und setzen diese Reihen in (45) ein. Dadurch gewinnen wir
ein Verfahren der sukzessiven Nkherungen, durch das die
simultanen Differential-lntegralgleichungen sieh in nicht simultane Differentialgleichungen fiir jeden Index n verwandeln.
Physikalisch entsprechen did Glieder der Reihe den Zerstreuungen der verschiedenen Ordnungen, und die Reihen konvergieren offenbar urn so besser, j e kleiner x ist, d. h. je grijf3er
die wahre Absorption gegeniiber der scheinbaren ist.
Wir erhalten auf diese Weise
Die Integration liefert
@ und !P sind willkiirliche Funktionen, die aber wegen (46)
fur 9. n/2 verschwinden miissen. Deshalb haben wir folgender-
>
maBen zu unterscheiden
@ und !P bestimmen sich mittels (471, so dal3 wir schlie5lich
erhalten
17
Die Farbe des Meeres.
I
(53)
P
uO
=
?; =
c o s * 3 e-l:
1- cosa
9>4 2
-___
1
e c X - 1 - vtg2-")
2 e -A]
- cos
1 a[
(
7Y
<4 2
Dies ist, nur in anderer Schreibweise, die in 0 1 gefundene
Lbsung [Gleichungen (19) und (23)].
Wir gehen jetzt zur Zerstreuung zweiter Ordnung uber.
Die Gleichungen, denen U, und TI zu gehorchen haben, lauten
nach (45) und (49)
I 2I
I
s
7
.
cos 9. + U, =
0
sin 8' d 6'
Substituiert man in diesen die Werte U, und
erhalt man
I
(cosz 9. cos2 3Y
P, aus
(53), so
+ 2 sinB19sin2 9.')cos2 8'
a
sin 8' d 4'
1
- COSY
4 2
.[cos28' (cosz9. cos2A' + 2 sin29 sin28')+ cos2$1,
Annalen der Physik. IV. Folge. 75.
2
18
3. Gans.
[
r;
gc0si?+
zp
sin 4' d 4'
=0 1 - cos w
s
i
(55)
{
I
'2
.7
Wir integrieren nach x und unterdrucken sofort die Integrale
der homogen gemachten Gleichungen (55), welche die Form
--
z
sp (6)
e 'OS@ haben, weil uns nur U, und TI fur 6 > nl2
interessiert, denn wir wollen uns auf die Zerstreuung zweiter
Ordnung beschranken, und die in die Luft austretende Strahlung
ist durch die U und P fur x = 0 und 9.> n12 bestimmt.
-- X
F u r 6 > a12 mussen aber die Glieder mit e cosA' wegen der
Grenzbedingung (46)verschwinden.
Die Integration ergibt fur x = 0, wenn wir - c o s 8 = s
setzen (wo s also positiv ist),
I
(56)1
I
?j
=--
l+s
(-+
1
6
1
- - 0 , 6 9 7 1 ~ ~ - ~ ~ 3 + 3 ~ 4 +3 - , ~ 5 - 3 ~ G
2
+ (3 - 4 2 -f- 3
s3
4 ---1g-l t s
4
13- s
s
2
+ s"7111 + 2 (1- 2)Ag
+ (3s2 - 2)L,
Da u und nach (48) sich analytisch verschieden darstellen,
j e nachdem sin 6% l / n , so zerlegen wir die Integrale in zmei
Teile, von denen der erste von 0 bis so, der zweite von so bis 1
lauft, wo
19
Die Farbe des Xeeres.
so =
cosi7, =
ir=
0,8613
1
n2
isf. I n dem ersten der beiden Teilintegrale machen wir die
Substitution sin 0' = 71 sin 8,wo 9' durch s' = cos 8'definiert
ist, und erhalten
--lg-I -ss
s+s,
s '
I
+ G1k
i58)
z,2
J
L, =2:
u COB' 4' sin 0
'cos 0'd 0'
-(1
COB H)
(s COB 4.')
-
s
sa
( 1+so) - -lIg-1 - s
+
+
s
- (1 +
so'
+ so
.S)*
'
3
1st s genahert gleich 1, benutzt man besser die folgenden
Niiherungsformeln
xja
1
L, = n
SO
+
1
so
1
s so (4 3- 5.3,)
r)
- _ _
- 3 (1 - s)Ig(l + .so) + -
(1
I
c
so2)
'~
SO
1-S
- 10(1 - 5)1g(1+ s,,) + _
_
2
~ ~ ( 8 f - *9 ~ )
(1
2*
+ soy
R. Gans.
20
Numerische Integration ergibt
T a b e l l e 3.
O o 0,9277
0,9277
1,816
1,810
1,778
1,706
1,582
1,282
0,9696
0,9434
0,9005
0,8303
0,6566
0,0000
1,867
1,884
1,892
1,906
1,953
1,990
Hier bedeutet 0 den 9 entsprechenden Austrittswinkel in Luft.
Ferner ist
d8=l - u ;
d2,=l - v ;
Us--
1
co@.z?!+ .
+C08&
l
1
1+cas$'
P-=----
wie in 5 1. Die Zerstreuung zweiter Ordnung verhalt sich zu
der erster Ordnung wie x y , wo y durch die letzte Kolumne
der Tab. 3 gegeben ist,. y variiert nicht sehr mit dem Winkel 0.
Demnach erhalten wir in zweiter Naherung fiir die spezifische Intensitat in Luft nach (49)
(K8+ Kp)cos@sin@d@d@
J
= 2.
[ Uod,
27-C
+ Tod p + x ( Vl d, + Fi dP)]COB 9. sin 9. d9. d q ,
oder da
J=J0---
(12
412
.
1)2 l
+
cos9.sin9.dtYdy
=
1
11
cosOsinOtlOd@
ist,
(59) K8+ rip= ___ 2 n (m + 1)" m Z = o ( l +
J,x
x=--
8 hfh'
412
1
XY)
= O20877OJO& x ( l
+x y ) -
ergibt sich aus Tab. 2, KO und y Bus Tab. 3.
Da x im Violetten bis 0,137 anwachst, ist der EinfluS der
Zerstreuung zweiter Ordnung dort ziemlich betrachtlich (rund
26 Proz.), wahrend er im langwelligen Teil des Spektrums ganz
unwesentlich ist. Das Blau des Meeres wird somit durch diese
Korrekt,ion noch ausgesprochener.
21
Die Farbe des &eeres.
8
4. Zweite Integrationsmethode.
Die ungeniigende Eonvergenz fur grobere Werte von x
lilBt es wiinschenswert erscheinen, sich nach einer anderen
Integrationsmethode umzusehen. Ohne diese im Augenblick
durchzufiihren, wollen wir sie doch andeuten.
Mau entwickle U und Y nach Kugelfunktionen von s = cos 8,
setze also
wo die B und B Funktionen von x sind. Man substituiere
diese Werte in (45) und beriicksichtige die Entwicklung
s 2 = - 1P
3
0
ferner die Integraleigenschaften
die Beziehung
f - 2p
3
2 ,
der Kugelfunkt,ioaen sowie
Dann erhalt man, wenn A' und 3' die Differentialquotienten
nach x bedeuten,
i
4
15
P,,.
232
Setzt man links im ersten Summenglied n' = n + 1, im
zweiten n' = n - 1, so folgt
R. Gans. Die Farbe des MeeTes.
22
11.
+1
J
4
(62)*
2
.n
[Z-TF
n
-1
+1
+ anfa
91
~n
t1
+ ~~~1p7,
n= O
J
4
\
I
1
yA,’+
A, = x 2 A,
(
1
--A,’
1
2
3
A,’
(63a)i
3
-A2’
5
4
--A.
15
2
2
+ 3B,
+
2
+ -Az‘
+ A, = 0 ,
5
+ y3 A,‘ + A, = x
+ F4A 4 ’ + A , = 0 ,
A,
4
J
+ 158 A, + -B
+e3
3m
0
z),
5
+ +,’
+ A, = 0 ,
5
6
- 8,’+ -A,’ -!-A, = 0 UBW.
( 9
13
4
- A,’
7
‘ 5
( -9B i
6
+ -B,’+B5
13
=O
USW.
Die Integration dieser beiden Systeme und die Bestimmung
der Konstanten durch die Grenzbedingungen wurde die Losung
unseres Problems ergeben.
La P l a t a , Instituto de Fisica, 14. MBrz 1924.
(Eingegangen 46. April 1924.)
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