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Die frei schwingende Kolbenmembran.

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A . Sommerfeld. Die frei schzoilagende Kolbmnmernbran
389
D6e fred echw Ongende Eolben membran
Von A. S o m m e r f e l d
§ 1, Formulierung dea Problems
Wir betrachten eine kreisformig begrenzte, als starres Bebilde
schwingende Platte, die aber*nicht, wie das gewahnlich angenommen
wird,in eine starre Ebene eingebaut ist, sondern ihr Schallfeld in den
unbegrenzten LuRraum ausstrahlt. Ihre Schwingungen werden als hinreichend klein und als harmonisch angenommen. Sei a der Radius
der Platte, v die auf der Platte konstante Amplitude der Plattengeschwindigkeit, v exp. (- i w t ) das Geschwindigkeitspotential, a,
und c Kreisfrequenz und Schallgeschwindigkeit, so gilt far die in eine
Wand eingebaute Membran mit k =
(1)
d y + k a y = , O fur
v
fur
0 fiir
als Wellenzahl:
z>O,
r < a . und
z= 0,
und
z= 0.
r>a
Dagegen haben wir fur die frei schwingende Membran (2) zu ersetzen durch
Die letzte Bedingung versteht man, wenn man sich das Stromlinienbild des entstehenden Schallfeldes vergegenwartigt. Dieaes
hat die Ebene z = 0 zur Symmetrieebene, in dem Sinne, da6 in
zwei Punkten, die spiegelbildlich zur Platte liegen, d v / d z gleich,
ayldr sntgegengesetzt glekh ist. Anders ausgedrucirt: drplaz ist
eine gerade Funkwn tx)n P, acpldr eine ungerade Funktion. Aus
beidem folgt, daB cp eine ungerade Funktion von z ist, bis auf eine
additive Konstante, die aber gleich Null zu setzen ist, weil cp im
Unendlichen verschwinden muB. Das bedeutet: y = 0 ftir 2 = 0
und r > a, wie in G1. (2') gefordert. DaB diese Bedingung fur r < a
ungiiltig wird, folgt daraus, daB das Schallfeld an der Platte selbst
eine Diskontinuitat erleidet: das Schallfeld hinter der Platte ist
hier nicht die analytische Fortsetzung des Schallfeldes auf deren
ss8
890
Anmlen der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942143
Vorderseite; setzen wir beim Durchgang durch die Platte das auf
der Vorderseite herrschende Feld analytisch fort, so kommen wir
zu einem anderen ,,Zweig" der Funktion cp als dem auf der Riickeeite der Platte geltenden.
Umgekehrt bei dei. eingebauten Membran: hier ist cp gerade
in z, sofern wir uns fiir T > a das Feld vor der Wand analytisch
hinter dieselbe fortgesetzt denken; daher wird dcpldz ungerade
in z. Insbesondere ist auf der Riickseite der Kolbenmembran
Aus der letzten Bemerkung folgt, BdaB wir das Feld Qi einer
fiei schwingenden, aber riickwarts durch eine feste Kapsel abgeschlossenen Membran dnrch Superposition der beiden vorgenannten
Liisungen gewinnen konnen, indem wir bilden :
(3)
1
Qi = &Ji
+
ViJ7
wo sich cpI auf die frei schwingende, q ~ auf
, ~ die eingebaute Membran
beziehen m6ge. Daraus folgt namlich fiir die Geschwindigkeit - a @
az
vor bzw. hinter der Membran:
Letzteres entapricht dem AbschluS durch die feste Kapsel.
Die eingebante Membran ist in den letzten Jahren vielfach
behandelt und von H. St e n z el 1) erschopfend dargestellt worden.
Dagegen ist die frei schwingende Membran praktisch nicht in Angriff genommen. Der Grund hierfiir ist dieser: Im ersteren Falle
hat man eine allgemeine, segar fii beliebig begrenzte Membranen
anwendbare Methode, nach der das Schallfeld durch eine exakte
E'ormel dargestsllt werden kann.. Im zweiten Fall versagt diese
Methode schon bei kreisf ormiger Begrenzung.
Es handelt sich um die Methode der GreenscLn Funktion.
Da diese bei den Akustikern nicht geniigend bekannt zu sein
scheint, und auch bei Rayleigh, soweit ich feststellen konnte,
nicht explizite erwiibnt wird, obgleich seine oft zitierte Formela)
darauf beruht, moge sie hier knrz besprochen werden.
1) In dem Buche: Leitfaden zur Berechnung von Schallvorgiingen.
Springer 1939. Vgl. auch Ann. d. Phys. [5] 41. S. 245. 1942.
2) Es handelt sich urn G1. (3) 8 278 der Theory of sound.
.4-3p
A . Sommerjdd. Dze frei schwingende KokbenmcrnbrMI
891
0 2. methode der Greensohen Fllnktion
Der Greensche Satz lautet bekanntlich
E und V werden im ganzen Integrationsgebiet t a l s stetig s a k
ihren ersten Ableitungen vorausgesetzt. Integriert wird iiber den
,,Aufpunkt" P. Wenn U und V in den Koordinaten von P beide
der Schwingungsgleichung (1) geniigen, verschwindet die linke Seite.
Dabei mu6 aber, wenn T' im Punkte Q eine Quelle besitzt, d. h. ftir
P = Q wie l/rpQ unendlich mird, Q von der Integration z. B. durch
eine Kugel K ausgeschlossen und rechter Hand dm Obe-henintegral uber K hinzugefiigt werden. Dadurch entsteht (n bedentet
die vom Integrationsgebiet t nach auSen hin gerichtete Normale):
(4)
Geniigt V iiberdies auf
CT
einer der Bedingnngen
b'= 0 ,
so nennen wir
aus (4)
17
= G (P,Q) ,,Greensche Funktion".
Man erhalt
In unserem Falle ist das Integrationsgebiet t der Halbraum z > 0,
seine Begrenzung c also die Ebene z = 0. Dann lii6t sich die im
E'alle a) oder b) erforderliche Greensche Funktion einfach nach
dem Spiegelungsprinzip herstellen, indem man setzt:
das obere Vorzeichen gdt im Falle a), das untere im Falle b). Da
P bei der in (5a,b) vorgenommenen Integration auf der Ebene z = 0
liegt, wird namlich R
=
dR
a R'
R' und aZ = - a z und daher:
~
(7a)
Mit (7a,b) folgt am (5a, b), wenn wir von jetzt ab U mit dem
Amuden der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942143
892
gesuchten Geschwindigkeitspotentialy identifizieren nnd beachten, daS
a
a
nach unserer Verabredung iiber den Sinn voh dn gilt: 2ny =
-Jx
acp -aa,
eikR
an
- -.
I
a2
(31. (8s) ist die oben zitierte Formel von Rayleigh. Die Integration
ist auf das Innere der Membntn zu beschrilnken, da nach (2) fiir
das h i e r e derselben dypldz verschwindet. G1. (8b) ist nur dann
zu verwenden, wenn y selbst sowohl im Inner& wie im fiuSeren
der Membran gegeben ist. Das ist nach den (31. (2') bei unserer
frei schwingenden Membran nicht der Fall, wo y im h b e r e n , aber
dypldr im h e r e n gegeben ist.
Wir haben es hier mit einem gemischh !Cypus von Grenzbedingungen PU tun. Weder die Greensche Darstellnng (8a) noch
(Sb) niitzen etwas. Man miibte eine ,,gemischte Greensche Funktion" haben, mit
(9)
aG
~
an =
0 auf der Scheibe, G = 0 aufierhalb der Scheibe.
Diese ware aber durch Spiegelung nicht zu erhalten, es sei denn,
dab man im Riemannschen Doppelraum operieren wtirde.
Nnr im Falle der Potentidtheorie (hinreichend langsame
Schwingung) l i t sich diese Greensche Funktion angeben, weil
man dnrch reziproke Radien die Scheibe in die Halbebene transformieren kann, fiir welche die Greensche Funktion des R ie ma n n schen Raumes bekannt ist.
5 3.
Die Methode von King')
Sie geht von meinem mit einer willkiirlichen Funktion f(1) behafteten Ansatz2) fur die drahtlose Telegraphie aus
1) L o u i s V. K i n g , Canadian Institute of Research 11. S. 135. 1934.
2) Vgl. z. B. meinen Beitrag zu Frank-Mises, Bd. 11, Gl. (6) auf 8.921,
der 2. A&. DaS in der an K i n g anschlieSenden Schreibweise (10)f ( l ) l p
steht, wo ieh f ( A ) achrieb, ist naturlich bei dem willkiirlichen Charakter von
f ( l ) kein Unterschied. Der allgemeine Satz iiber Besselsche Funktionen, auf
den im Text Bezug genommen wird, ist in G1. (7) derselben Seite von FrankMises enthalt'en.
A . S o m w j e l d . Die frsi rchtoingandc K o l b d r a n
398
Die Methode iet elegant durchflihrbar bei der in eine Wend eingebauten Membran, gibt aber anoh hier nicht einfachere Reeultate
a l e die Qreen-Sten.zeleche Yethode. Die Bedingungen (2) verlangen bei dieeem Problem :
und fGhren nach einem allgemeinen Satz tkber Beeeelwhe Funktionen anf
D
j ( i )= v J ~ , ( i p ) p d p =
va
J1(ia).
U
Dagegen hat man bei der jrea schtaingenden Membran nach (2') zu
fordern :
K i n g hatte in anderem Zuaammenhange I) versucht, auch
dieee Integralgleichnngen for f Q ) zu 18sen, indem er ein Verfahren
eukzeeeiver Approximationed anwendete. Jedoch iet er llber die
beiden ereten Schritte nicht hinauegekommen, da wine Rechnnagen
zn uniibereichtlich wurden. Dagegen werden wir im folgenden ein
Verfahren kennenlernen, dae in gewiesem Sinne zur volletandigen
Losung fahrt. Dae Verfahren besteht darin, daB wir fiir f ( A ) einen
mit nnendlich vielen willktirlichen Koeffizienten behafteten A n d z
machen, der der zweiten Gll. ( l l b ) genilgt nnd diese Koefiienten
so beetimmen, dab anch die erste G1. ( l l b ) befriedigt wird.
(i 4. Bin dlpemeinor Arwts mu? Idhung do? Integrdgloiohung
0
Wir eetzen znr Abhrzung
-
.
1)
.. _ _
Es handelte sich urn die Einstellung dar Rayleighschen Scheihe
unter dem EinfluB einer ebenen SehaUaelle. Proc. Boy. h c . 163.6.1 u. 17. 1938.
Annackn der Physik. 5. Folqe. Band 42. 1942143
594
und schreiben die G1. (11b) noch einmal in umgekehrter Reihenfolge hin :
oo
J J .(1r ) g (n)a i = o
(1)
fiir
T
> a,
0
~ ~ o ( l r ) p g (=
~ )1 d ~fiir
.
r
(11)
< a.
0
0 wird
befriedigt durch den folgenden Ansatz
..
Die A,, A,, A,, . sind verfiigbare Konstanten (von 1 und r unabhbgig, aber von k und a abhangig). Die Sm bedeuten die von
Stenz e l a. a 0. durchgehend benutzten Abkiirzungen
$
s,,(el = i
(14)
--
y
J n+
1
(0)= e vln (e)9
y,,die enteprechenden Abkiirzungen im H e i n eschen Handbuch
der Kugelfnnktionen sind.
Wir tragen den Ansatz (13) in (
I
ein
)und zeigen, daS dadurch
gliedweise
J
geniigt wird. Das ist mit Riicksicht auf
der Forderung (l
(14) der Fall, weil fiir jedes n gilt
wo
Zum Beweise dieser Gleichung stiitzen wir uns auf die Formel von
Schaftheitlin-Soninel), die wir im AnschluS an (15) schreiben
wollen:
I
.F(P+YZu+l
-
v - u - p f l
2
7
,
v+1,
2).
P'
> q. Da
in unserem Falle r > a ist, miissen wir p mit r, q mit a identifizieren
und dementsprechend setzen:
F ist die hypergeometrische Funktion. G1. (16) setzt voraus p
pLO,
w=n+-,
1
2
1
ri=n----.
2
1) Vgl. z. B. G. N. Watson, Theory of Bessel Function, Cambridge 1922,
S. 401, G1. (2).
A . Somnterfeld. Die j r e i schwingende Kolhenmedran
395
Dann zeigt G1. (16), daS die rechte Seite verschwindet, weil im
Nenner der Faktor
u
+p
-
r (----z
1 ' f
1
-
) = z'(q = m
steht. Daher ist (15) bei beliebigem n > 0 erfiillt. DaB wir rt = 0 auszuschlief3en haben, also die Reihe (13)nicht mit einem Gliede A, So (Lo)
beginnen diirfen, folgt daraus, daB das Integral (15) fiir n = 0 und
r = a bei Ib
=a, di;ergieren wiirde: vgl. hierzu auch 0 9.
Q 5. Umformung der Integralgleichung (
I
I
)
Wir zerlegen (II)indem wir fur g(il) den Ansatz (13) benutzen;
in die beiden Teilintegrale, 0 < il < k und k < I < 00 , wobei wir in
letzterem sogleich p =
als Integbtionsvariable einfiihren:
v m
n=t
0
der imaginare, 3 (II)der reelle Teil von (II). 3 ist, wie
sich zeigen wird, fiir kleine k a von kleinerer Ordnung') als 3. Bei
der Einfiihrung von ,u als Integrationsvariablen wurde benntzt, dab
3 (11) ist
auszuwerten, erinnern wir an das wohlbekannte AdditionsUm
theorem
iffi
--OD
RB=
(204
r 2 + f 2 - 2 r r ' c o s ( ~ p- cp'l.
Ersetzt man hier
~-
~-
1) Dasselbe gilt fur die eingebaute Membran, vgl. S t e n z e l in dem S. 390
zitierten Buche S. 67 und 68. Die beiden Bestandteile p , und p,, des Druckes
von S t e n z e l entsprechen unseren beiden Bestandteilen 3 und W des Geschwindigkeitspotentiales.
A&
896
dcz Physik. 5.Foh3e. Band42. 1942143
md echreibt 29n etatt n, was moglich ist, weil die Qlieder mit ungaradem
n eich kompeneieren, 80 enteteht:
W
J , (vpT+
(21)
k3 r ) m 2 ' 2 (- 1)- J ,
.
)
(pr) Ja ( k r)
.
r = O
Dae Zeichen ' an der Summe in (20) bedeutet, daS dae W e d m = 0
nicht zweifach zd nehmen ist, eondern einfach.
Ein zweitee Additionstheorem, welchee auf Gegenbauerl) e u mckgeht, liefert bemerkenswerter Weise eine enteprechende Entwicklung ftir den rweitan Faktor auf der rechten Seite von (181 Sie
lautet hi gleicher Bedentnng von R wie in (2Oa)
Hier eind die Cz(coe3) definiert a l e Koeffizienten von a n in der
Entwicklung von (1 a a + 2acoet9)-~. Sie heiSen Gegenbauers&c Polynomc oder such Kugelfdctionen h 6 k e r Ordnung und
kdnnen durch hypergeometrieche Funktionen dargestellt werden 3).
Inebeeondere ergibt sich am unserer Definition ftir coeQ = 0
+
Ereetzt man nun in (22)
v9
dnrch
1
n + p
n,
r,
r',
2 s,
Pa,
ka,
I!!
t,
erhillt man mit Rtickeicht auf die Definition von R in (20a) und
von S in (14)
80
I
(24)
1) Vgl. c. B. G. N. W a t s o n , . a a. O., S. 363, G1. (2).
2) N. Nielsen, Handb. d. Zylinderfnnktionen, Teobner 1904, 8.377.
A . Sonzmerfekl. Die frei schcoingende Kohmembran
597
Beim Eintragen von (21) und (24) in (18)nnd gliedweiser Integration
nach ,u entsteht:
(25)
.r(s + n +
J
2 a + n i -
- --
2l )
::a:baJs#)
J
*
1
IkU)n + - -
dP.
1
c
0
\
(Pa)
2r+n+- 2
~-
(rr a)n + T
und an Stelle von (26) bei Vertsuschung der Summationen nach
n nnd s
. F s + m + - - ,3
(
3
m-s-n+1,
2m+1,
2).
'a
398
Anmlen der Physik. 5.FoZge. Band42. 1942143
Wir wollen
2‘nach Potenzen von >:(”
entwickeln:
Die ersten Koeffizienten laseen sich leicht angeben. Bei a, kommt
nur das Glied mit m = 0 in Betracht und von diesem nur je der
Anfangstem von J,, nnd F, die beide gleich 1 sind. Daher
Auch bei al ist nur das Glied mit m = 0 zu beriicksichtigen, wed
das #lied mit m = 1 wegen der Faktoren
(+)’
und J,(iir) bereits
mit der vierten Potenz von r beginnt. In dem Gliede mit m = 0
iet aber jetzt der erste Term von J , mit dem zweiten Term von F
rind der zweite von J , mit dem ersten von F zu kombinieren.
Man findet:
Bei~a2 kommen auSer drei Termen des Gliedes m = 0 auch ein Term
des Gliedes m = 1 zur Geltung mit dem Ergebnis:
1
++;-,
( 2 9 ~ ) ua = 2!y ~T(s+n-2)
Die allgemeine Formel ist
3
r(.++, + --_.
a’ r ( s + + )
+ - F a 1’(.9+12-1) 2!’ T ( s + n )
A . Sommerjeld. Die frei sChwinge?z.de KoBebenrnmbran
399
8 6. Beetimmungsglaichungen fiir dee Koefflsientanrchema der A.
Unser Ziel ist, die Koeffizienten A,, im Ansatz (13) 80 zu bestimmen, daS die Integralgleichung (11) befriedigt wird. Da die
rechte Seite derselben gleich 1 ist, muJ3 auch ihre linke Seite, die
wir in 8 (11) und 3 (TI) zerlegt haben, von r unabhiingig und gleich 1
werden. Wir bemerkten bei (17), da6, wenn k a 1, 3 (II) '8 (II)
sei und wollen daher 3 (11)erst spater d s Korrektioneglied beriicksichtigen. Wir verlangen also, daS 8 (II) fur sich genommen von r
unabhangig und gleich 1 sei. Vermoge iier Darstellungec (27) nnd (29)
fuhrt das auf die unendlich vielen Fordervngen
<
<
(Das Argument ka bei J wird hier und im folgenden weggelassen.)
Wir beschaftigen uns zunachst mit der ersten G1. (31), also
-n-
mit m = 0. I n dieser tritt als Faktor von A n ( k a )
auf [vgl. auch (29a)I:
(32)
5
(;:la
(2s
+ +
)L
I /
J
-cJ
~~
~
die Reihe
~~-
+
T(8
s=o
-1
fl)
1 2sf71+
~
2
Wir vergleichen sie mit der allgemeineren Formel, uber deren Ursprung in 9 12 berichtet werden wird:
Die beiden Yummen stimmen uberein, wenn man
v = n - 1,
p =3,
x=ka
macht. (32) wird also gleicli
unsere G1. (31) geht daher fur m
(34)
=0
uber in
400
A?tnalen der Physik. 5. Folgs. B a d 42. 1942143
oder amfihlich geschrieben:
(35)
Wir wenden uns zur zweiten GL (31), also zu m = 1 und beriicksichtigen (29b). Der hier auftretende Faktor von An(ka)
-1.-
1
-
ist
(36)
Die erste dieser Snmmen bestimmt sich aus (33), wenn wir dort
v=n-2,
p=5
machen, die zweite ist mit (32) identisch, wird also durch (34) dargestellt. Wir erhalten daranfhin als zweite Bedingung fur die A,:
oder, ausfiihrlich geschrieben :
In der dritten 01. (31),
m = 2 tritt mit Rucksicht a d (29c) neben
den. uns schon bekannten die folgende Summe auf:
die sich aus 01 (33) mit
p-7
Als dritte Bestimmungsgleichung fur die An folgt von
v=n-3,
berechnet.
da aus:
Das so entstehende System von unendlich vielen linearen Gleichnngen
fur die nnendlich vielen Unbekannten A,, A,, A,, . ist von erstannlicher Symmetrie; es gestattet eine sehr elegante Auflosung, die ich
meinem stets hilfsbereiten Kollegen 0. ,Perron verdanke. Diese
Auflosung bringen wir im niichsten Paragraphen. Vorher miiesen
..
A . Sommerjeld. Lhe frei schwingende Kolbenmembran
401
wir uns uoch mit den rechten Seiten des Gleiohungssystems befassen.
Wir bezeichnen sie der Reihe nach mit
co, C ] .
c2. . . . cm . . .
und haben oben gefunden
c = - 2aq
0
n '
Allgemein besteht die Rekursionsformel, die sich mit, Hilfe von (30)
beweisen lafit:
m
Macht man hier den Ansatz
so erhalt man aus (40b) leiclit die einfacbere Rekursion
m
(40 di
1
Als Arifangswert derselben entnimmt mau aus (40c) unmittelbar 2, =
und berechnet daraufhin aus (40d)
ZS = - 2 4 4 ,
2, = - 1 ,
Z , = 42944, .. .
2, = 10
Die beiden ersten Zahlen fuhren vermoge (40c) auf die in (40a) angegebexn Werte von cl und c2 zuruck.
~
7 . Losung eines unendliohen Systems linearer Qleichungen
Wir schreiben unsere G1. (35)' (38), (40) noch einmal ubersichtlich
zusamrnen:
I
. . . . . . . . _ . . . . . . . .
Das Koeffizientenschema ist ,,zyklisch" in folgendem Sinne: I n der
Diagonalreihe steht uberall der Koeffizient J , (k a). in der ersten
Parallelreihe rechts bzw. links dazu
Anoslen der Physih- 5 . Folge. 4 2
"0
402
Annalen de7 Physik. 5. Folge. Band 42. 1942143
robei man ilbrigens wegen der Beziehung
J - ( 2 ) ( - 1)y J , ( 2 )
-
fiir die letztgenannte QroBe auch schreiben kann
- k a J , (ka).
Entapreahend steht in der zweiten Parallelreihe rechts bzw. links
yon der Diagonalen
Znr Auflosung dieses Systems (41) verfahrt man nach P e r r o n
folgendermaSen:
Man gehe am von der Fourierentwicklungl) der ebenen Welle
in zwei Dimeneionen:
Man setee hierin
und erhalt aus (42)
(43)
n=-m
Hier ersetze man die Exponentialfunktionen rechts und links durch
ihre Potenzreihen und vergleiche die beiderseitigen Faktoren von t n .
Fur n u 0, 1,2 findet man (bei Weglassung des Argumentes k a in Jn):
ka
1
(44)
1 = J , - ? -2-J-,+
1
')
-1
.
ka
*
( T )J-,
-
Diese Gleichungen geniigen, um A, zu beutimmen. Multipliziert man
niimlich die G1. (41)der Reihe nach mit
1,
-
1
1!2 7
.
-,' 2 ! I2 ' 7
--1
3 ! 23
1) Vgl. z. B. Frank-MiRes 11, 2. Aufl. S. &ii, w o die Reihe gerade in
der bequemen Form (12) angeschrieben ist. Diese Formel dient oft als erzeugende Funktion der Besselschen Funktionen mit ganzzrrhligem Index.
A . Somwmjeld. Die frei schwingende Kolbenmembran
403
und addiert sie, so tritt als Faktor von A, die rechte Seite von (44),
als Faktor von A,, A, . . die rechte Seite von (45),(46). .. auf. Man
erhalt also aus (41):
.
(47) l . A , + O . A , + O - A , +
. * -
= C
1
c
1
c
*--L-.-.
" - -l !I +
2
2!
23
Um sodann A, zu bestimmen, suche man in (43) beiderseits die
Faktoren von t - 1 auf. Durch Qleichsetzung derselben erhiilt man
(481
- 2
Man la& jetzt in dem System (41)die erste Gleichung fort und
multipliziert die ubrigen Gleichungen dieses Systems der Reihe nach
wieder mit
1,
1
-_
_
1!2'
1
.L _ _
'
2 ! 29
- --; <1! 2 J ' . . .
Dann ergibt sich als Paktor von A , bei der Addition
ku ( J - , und als der von A?
7
1
Ersterer ist wegen (48) gleich -
1
letzterer wegen (44)gleich- 1 ,
w a r e n d die Faktoren von A s , A 4 , . . . wegen (461, (46). . . wieder
gleich 0 werden. Man erhalt auf diese Weise mit der dbkiirzung cz
aus (29b)
(49)
-2rr?.A,+A,+O.-4,+
. . . = G , - - - ,ll-!+c -L,- - - - .2.1!
c
2%
Uer dritte Schritt, bei dem man die zwei ersten Gleichungen von (41)
fortzulassen hat, liefert A, ausgedriickt durch A , , A, und die GroSen c,
namlich
Be1 jedem neuen Ychritt hat man eine weitere Gleichung dea
Systems (41) fortzulassen und eine neue Gleichung yon der Form (48)
hinzuzunehmen. Z. B. beim (rn 1)ten Schritt die aus dem Faktor
von
in (43)sich ergebende Gleichung
+
t - 1 , ~
26'
404
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942/43
Dabei ergibt sich zur Bestimmung von
A,+1
die Beeiehung
Dank der eigenartigen Symmetrie dee vorgelegten Systems (41) laseen
sich aleo die A rekurrent berechnen nach dem allgemeinen Schema (52),
von dem die friiheren GL (47), (49), (50)spezielle Falle sind. Man
gelangt aber leicht von hieraus auch zur expliziten Bestimmung der A
durch folgenden Kunstgriff:
Man bezeichne die rechten Seiten der G1.(47),(49),(50) (52)mit
...
a,,, a,, a,. . . . a,, . . .
und bilde mit der Unbestimmkn z:
a. +a,% + a,xe + ...
(53)
Anderemeits entsteht durch Multiplikation der linkeu Seiten von (4i).
(49), (50),. . . mit 1, 5,z e . . . und Addition:
A, + ( A , = A , 1-2ux
(
+A,s'(l
2 n A , ) z + ( A 3 - 2 u A , + '?I2
+
-22ux
A,
- ...)+..l,sjl-2rrx+
2!
$- ( 22!
as)*
) t2a +
52
*.-
2)'
27
-
...)
- ...).
dae ist:
(54)
(A, + -4 ,x + .-1 z 2 + .- I e- ? a r .
Durch Gleichsetzen von (53) und (54) ergibt sicli
(55) A , + A , 5 + A , x 2 + . . = (do + d , x + d, xz . . - )e ' l a S .
Daraus folgt durch abermalige Koeffizientenvergleichung
.
+
Solnit ist unser Gleichungssystem (41) explizite gelijst.
8 S. Angenaherte Beruckeichtigung von 3 (111
K i r haben bei der Berechnung der A,, bisher uur den reellell
Teil % (TI) G1. (18) beriicksichtigt und. den imaginiiren 3 (]I), G1. (li).
vernachlassigt. Leider wird durch seine Hinzunahme die schone
A . Sommerfeld. Die frei schwingende Kolbamembran
406
Symmetrie des Gleichungsschemas in 8 7 gestort, so da8 sich die
weitere Rechnung nur korrektionswaiee ausfhhren liiSt.
)*(:
Wir denken une 3 (11) nach Potenzen von
~lennendie enbtehenden Koeffizienten
entwickelt und
5 , , . . . h" , , . . .1
b,.
[die entsprechendenKoeffizienten bei%(lI) nannten wir in GL(29)...urn...>
Fnr b, erhalt man aus &r Potenzreihe von J,,(,lr) nach (17) mit der
Integationsvariabeln 5 = i.a
m
ka
Wir schreiben dafiir [der Faktor n / 2 wird zum,bequemeren Vergleich
rnit %(II) hinzugefitgtl:
a,
(571
bN
ni
= 2 ax
(-
1)"'
2 A n K d
m! , I
Wir wollen zeigen, daS K n , mit abnehmendem
CY
=
wie ccrn+V3
($)2
verschwindet. Zu dem Zwecke driicken wir Sn nach (14) durch J
aus uod benutzen die Potenzentwicklung von J
i1 [
Kn,m =
.
:
dann wird:
a
2-2m-''
);
[;I*
1?I
0
. ? +
+
?!
is!' + ;)
(,' + ;)
+ 3 rco.2
6 ~in2rn+ 1
dt
(1
-~L'JU+O~;+;
(Jsin'm+I
t d (. -
b
. .I
'\
I
(?a
Das Integral iiber das erste (;lied der Reihe ist, wenn w i r
inachen
;ka:2m
5I
-:-- F \ , ( k a " - _ _x P x 2 n i + I d s
ynI.(n+
(Ii8'
1
n+
n+
/'sin?m+3tdt]
5
= kasing
406
A n d m det Physik. 5. Folge. Band 42. 1942143
Dieaelbe Rechnmg zeigt, d d die folgenden Glieder der Reihe in (58)
je mit einer um 1 htiheren Potenz von a! behaftet sind. K,,,, verm+-
3
f 0.
schwindet also in der Tat wie a! 2 fur a
Wenn wir z. B. verabreden, alle Qlieder mit as einschliefllich zu
rernachlbsigen, so erhalten wir
Wir mtesen nun untereuchen, inwiefern die vorangehende Berechnnng der A, durch das Hinzukommen von 3 (11)abgeandert wird.
Zn dem Ende bestimmen wir der Reihe nach die Faktoren von
(3',
- .
(,):'
(;-)O:
+ 3 (11) auftreten.
die in dem jetzt komgierten Ausdrucke % (11)
Nach (27), (29a) uod (33) ist der Faktor von
m
-:--An
2a'
Jn-1
('a)
- .
(G)'in 8 (11)
.
(ka)"-
n=l
Dazu kommt jetzt nach (57) mit m = 0:
m
Wir mtissen also nach der Integralgleichung I1 jetzt statt (35) fordern:
(59)
Der Faktor von
'):(
in 8 (19 ist nach (27), (29b) und (33)
dam kommt nach (57) mit m = 1
Nach der Integralgleichung (11) mnB die Summe der beiden vorangehenden Ansdrilcke gleich Null gesetzt werden. Mit Benutzung
von (69) folgt daraus
A . Sommerfeld. Die frci schwingende Kolbmmmbran
407
Wiihrend in (59) das Korrektionsglied K n , , Glieder mit
und $11
enthillt, sind die beiden Korrektionsglieder E n , , nnd Kn,o in (60)
nach (58a) beide von der Ordnnng a'/*.Die in der nhhetfolgenden
Bestimmungsgleichung der .4 entsprechend anftretenden Korrektionsglieder Km,z , Kn, K , , . sind alle von hoherer Ordnnng ale d l 8 nnd
daher nach unserer Verabrednng zn vernachllsigen. Dieee Bestimmnngsgleichung lantet also wie im vorigen Paragraphen
~
Erinnern wir uns nun der i n (31. (50) durchgeftihrten Berechnnng
von A , , bei der die beiden ersten Gleichnngen nnseree mheren
Schema8 (41) fortzulaaeen waren, so sehen wir, daB die frUhere (31. (50)
als Anflosung dieses Schemas ungeandert bestehen bleibt, allerdings
mit den gema6 G1. (59) nnd (60) abgeanderten Werten von A , nnd A,.
Dieaelbe Bemerknng gilt fur die Berechnung von -4,, A,, .
Tim nun die abgeiinderten Werte von A,, A, zn finden, echreiben
wir uns die G1. (59), (60), (61) ausfiihrlich nntereinander:
. .
+
(59a) ..I ,( J , i li,,,)+
.
.
.
A , ( iJ i
.
.
.
.) + A , ((2).
+ i li3,.) + -
-t1 K 2 ,
.
.
.
.
.
.
.
. = co:
. .
und verfahreo wie wir es i n $ iiiiit dem Gleichnngesystem (41) taten.
Wir multiplizieren also die vorstehenden Qleichnngen der Reihe nach
mit 1, -
1
1
yj
.
1
1
.ll 3i
. . . . und erhalten nach den GL(44), (45), (46):
A n zweiter Stelle ergibt sich nach der Vorachrift bei G1. (48) nnd (49)
unter Fortlassung der GI. (59a):
408
Annalen der
Physik. 5. Folge. Band 42. 1942!43
Aus (62) und (63) folgt niit den Werten (58a) fur die K:
Wir erinnern uns jetzt daran, daS ohne unsere jetzigen Korrsktioneo A,, A,, A,, . von der Ordnung 1, u, u2, :. wnren. Bei
Vernachliiasigung von u3 konnen mir daher die beiden vorigen
Gleichungen vereinfachen zu
.
..
Aus ihnen berechnet sich durch Elimination von A ,
1 G i 2':
dl
45,
16 a
9X
25
I
und daher
Der letzte Wert folgt aus der, wie oben bemerkt, auch jetxt zu Recht
bestehenden G1. (50) und stimmt Uberein mit der unkorrigierten
01. (56) fiir A,.
.
Um diese unerfreulichen Niiherungen zu Ende zu fiihren, haben
wir ooch die d nach ihrer Definition in 5 7 dnrch die c auszudriicken
und in gleicher Anniihernng (ausschlieSlich von Gliedern mit a9 als
Polynome von u anzuschreiben. Man erhiilt leicht
(65)
1
d, = c
O
16
-,
.3
-a,,
Einsetzen in (64) liefert
d, = d , =
.- .= 0 .
409
A . Sommerfcld. Die f r e i schwinptde Kolbenmembran
Erst jetat iet unser M h e r e r Aneatz (13) endgiiltig in der beabeichtigten Naherung beetimmt. Er lsntet nach Eineetaen von (68)
und etimmt iiberein mit GI. (34) der in 8 3 zitierten Arbeit von
K i n g , in der aber, entaprechend der dort angeetrebten Ctenenigkeihgrenze, die Olieder a' nnd a':* fehlen. Offenbar weiet unmm
Behandlungeweiee den Weg anch zu hoheren Approximationen.
p 9. Die Wsrto dea Geoohwfndigkeitspoknthb 'p euf der %ohdm
nnd in derem Umgebung
Nachdem wir die Koeffizienten A kennen, konnen wir tp fb r < a
iind z n 0 nach (lo), (12) und (13) berechnen. Ee ergibt sich bei
gliedweieer Integration
I
oder iiiit R;ickeicht auf (14)
Z A "' ' +~. J J , , [ ~ . ~ ) J
j
W
,671
m
R
n= I
1ti.a)
+7
dA
.
~
n- -
A '
o
Dae hier anftretende Integral, das mit X bezeichnet werden moge,
la& eich wieder nach S c h a f h e i t l i n - S o n i n e , G1. (16) berechnen.
Man hat daselbet wegen r < a zii eetzen:
p - a,
q =r.
rr=n+!
2 '
v a o .
/T=n--
1
2
iind tindet
(68)
X
-
I,
-
3
-
l
1
2" - 1
qn ;'I
F(1.
- " + ? 1,
I,
i,:.)').
.+-
Dieee hypergeometrieche Reihe iet aber nichts snderea ale die
Binomialreihe von
Einsetzen von (68) in (67) gibt daher
410
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 42. 1942143'
Hier ist zunachat eine Zwischenbemerkung am Platze, die sich
a d den Beginn nnserer Reihe (69) mit n = 1 bezieht. Hiltten wir
aie mit n = 0 begonnen, also im Ansatz (13) das Glied A, S,(ka)
hinzngeftigt, 80 wilrde zu (69) rechta der Term
hinzngetretan sein, der am Scheibeqande singaliir ware und in dem
durch grad cp gegebenen Schallfelde sogar eine Singularitlit hbherer
Ordnnng erzeugen wtirde. Das iet aber durch die Bedingnngen des
Problems auegeechloeeen. Unser Ansatz (13)erweiet sich so a18 uoZL
stiindig, wie ubrigens anch daraus hervorgeht, da6 g s mit seiner
Hilfe mbglich war, die Unbekanntan A, eindeutig und widersprnchsloe
zu berechnen.
Man konnte ferner daran denken, den Ansatz (13) dadurch zu
erweitern, da6 man Glieder der Form
hinzuniihme, weil dann im Nenner von (16) statt dee friiheren T(0)
der Faktor r(-g) auftreten wtirde, der ebenfalls die rechte Seite
von (16) zum Verschwinden brilchte. Aber such diese Ekweiternng
wtirde in (69) hbhere Singularitliten am Scheibenrande bewirken.
Nachdem wir nnnmehr den Verlauf von 'p fiir r < a in (69) kennengelernt and das Verachwinden von cp fiir r > a in 3 4 gesichert haben,
ist cp in der ganzen Ebene z = 0 bekannt. Unaer ursprhngliches
Problem von ,,gemiechtem Typns~'ist also anf den einheitlichen Typus
der Daretellung (8b) znriickgefuhrt.
Q 10. DM SohaUfeld in der Umgebung der Kolbenmembmn,
sylindrisohe und sphlirisohe Polarkoordinaten
Die in (69) gefnndene Werteverteilung von cp auf der Scheibe
nennen wir weiterhin 'po. Dann liefert GI. (8b) fiir z > 0 die Dar-
in der eich die Integration tiber die Scheibe 0 < r < a erstreckt.
Wir benntzen znnilchst, weil das bei unserer bisherigen R e c h n n n g e
am nkheten liegt:
A. Z y 1in d r i ache Po 1ark o o r d i n a t e n
Diese mbgen fiir den Aufpunkt heifleu:
r , V', 2 ,
f a r den Intagrationspunkt anf der Ycheibe
(),
z,, = 0 ,
aG =
do aqlo.
,4. Sommerfeld. Die frei s c h w i n g e d Kolbenmembran
411
Dann wird
R'=
+ 9 , R,' = r2 + {J' - 2 r p cos ( 1 1 1 - yo).
Aus meinen Arbeiten ilber drahtlose Telegraphie ist die folgende
Darstellnngl) des Hertzschen Dipols hekannt:
Ftir J , (i. H,) benutzen wir dae Additionstheorem (20) das sich vermoge
der in dfi vorgeschriebenen Integration nach w,, vereinfacht zu:
[
.I, 0. z1,) d w,, = 2 -z J , i1.r) J,, ( j . 0 ) .
Durch Einsetzen in ( 7 1 ) und (70) erhalt man
1).
n
a?
-
:
d 1. e -
11
:
0
J,
0.rt
:I'
y o J,, ti.!,))!
und schlieBlich durch Einsetzen aus (69):
I
,,_
Das hier vorkommende Integral nach 0 la& sich verhiiltnismiiSig einfach diskutieren, aber das Integral nach i. wird reichlich kompliziert.
B. S p h iir i nc h e P o l a r k o o r d i n a t e n
Ihre Einfuhrung entspricht dem bieherigenGebrauch der Aknetiker.
Indem wir r in underet Bedeutung als vorher benutzen, nennen wir die
Koordinaten des Aufpunktes
a
a:
r , 8,w , mit
a a,.
= "0s 17 -
sin 9
(1
7
as
-
die des Integrationspunktes
0 . b,,=
11
Vgl.
2.
n
,
I",,,
mit dri
= !)d!,dwo.
B. F r a n k - M i s e s 11, 2. Aufl. S . Y24, G1. (11).
Amwbn der Physrk. 5. F o b . Band 42. 1942143
412
Dam wird
RZ= ra+ 4'00s
2 r p cos 8 ,
8 = COB 9. COB a0+ sin 9 sin 1 9COB
~ (y-lp0)
-
sin 9 COB (I,+ q p 0 )
nnd wie bekanntl)
Nimmt man hier die in do vorgeechriebene Integration nach yo vor,
80 erhlllt man an8 dem Additionstheorem der Kagelfunktionen
j.,,,,,.
O)di/Jo= 2%P 1 ( C 0 S ~ ~ P , ( O ) .
U
P,(O) verschwindet aber ftir alle nngeraden nt, so dal3 wir .in (73) m
durch 2m ersetzen konnen. Ans (70) erhirlt man daranfhin:
I
n
Setzt man hier den Wert von 'po ans (69) ein, 80 ergibt sich ftkr die
noch noezuf0hrende Integration nach 4, die wir mit X,, bezeichnen
wollen :
oder, mit der Integrationevariabeln x = 2:
1
Da der Intagrand far z = 0 wie
z2=+1 nnd fth z
1 wie (1- z j - 5
3
vemchwindet, ist aFunktion von ak.
X,, eine mit
m und n stark abnehmende
.1) Frank-Misen, e b b 8.869 mit den S.863 dmlbst erkkten Bereichnungen. f m r i g s ~geht (73) auo der allgemsinen GI. (84) den Anhanger
1
hervor, wenu man dort sinngemUl r', r, Y dnrch kt, kg,
enebt.
2
-
A . Sommerjeld. Die frei s c h w i n g d Kolbcnvumbran
413
Durch Einsetzen von (69) in (74) erhiilt man so:
Uiese Darstellung gilt aber wie h i (73) bemerkt nur dann,
wenn r gro8er ist als alle hei der Integration iiber die Scheibe vorkommenden Abetiinde 0, d. h. nur wenn
r>a
1st. Fur r < u kompliziert sich die Darstellung dadurch, daS man (73)
nur fur den Kreisring
?<!,<a
benotzen dad, wahrend man fur !) < r diejenige Formel zu verwenden
hat, die aus (73) durch Vertauschung von r und 0 entetsht. Wir
verweisen dieserhalb auf die Auefiihrungen von S t e n z e l I ) . aus denen
sich die dann an die Stelle von (75) tretenden etwas umstiindlicheren
Ansdriicke unechwer ablesen lassen.
Ftir die folgenden speziellen Rechnungen diirften die sphiiriechen
Polarkoordinaten gunstiger sein als die zylindrischen. Wir kniipfen
also im folgenden Paragraphen an GI. l k i 5 ) an.
g
1 1 . Entwickluog dea Bchellfeldes nsch Potensen von
(I
Cm diese k'ormeln der numerischeu Berechnung zuganglich zu
inacheu, haben wir zunachst die nlhere Bestimmung der X , , nachzutragen, wobei wir mit X,,z beginneu und une wieder auf Glieder
bit3 a3 ausschlie6lich beschriinken. Nach (74a) hahen wir:
1
i
(76)
a-
2 X"2
=J':lz2)"-
!
J.;$ar)fidz.
IJ
Einsetzen der Heihe fur Jv
liefert
]em S. :3!N zitierteti Ihche S.
G!l
rind 70
414
Annalen der Physik. 5.Folge. Band42. 1942143
Hier ist es konseqnent, schon das zweite Glied der 1 ] zu streichen,
da dieses von haherer Ordnnng a l s us eein wiirde, Wir schreiben
also nach einer kleinen Umformnng:
.. .
Da nun, wie wir sllhen, die Ausdrucke fur A,, A,
bereits
mit 01, u2, ... beginnen, reduziert sich im Falle m = 2 die in (75)
vorkommende Summe nach n , wehn wir hohere Potenzen als 01s
weiter vernachlassigen, auf das eiue Glied mit A , , wobei wir such
in dem Ausdruck von A, nur das erete Glied z u beriicksichtigen
haben. Es wird auf diese Weise:
.
?An2=
2’2
c,a-,i-
(77b)
Bezeichnen wir den von m = 2 herruhrenden Beitrag zu
1.3.
so haben wir nach (75) mit PI(0)=
.
Wir erganzen dies durch die expliziten Ausdrucke far:
P,(z)= j1- ( 3 5 & - 3 0 s a + 2),
welche exakt (nicht abgebrochen) sind.
‘p
mit cp2,
A . Sommerfeld. Dic f r e i schu.i?qande Kolbenmabran
I m Falle
115
gilt statt ( 7 7 )
m = 1
:
wo nunmehr d a s zweite (;lied der i
mitzunehmen ist. Man tindet
Bei der Rildung der zu ( 7 i b ) malogen Summe hat man -4, zweigliedrig, A, eingliedrig mitzunehmen und erhiilt :
Ijaher w i d , wenn man noch P2(0)=
herriihrende Beitrag
Der operator 1
zu (1 nach
rfl
1
beriicksichtigtt der yon m= 1
2
(is):
I hat dieselbe Redeutung wie in
(78) untl es iet:
1 . 1 1 1 schlieBlich y,) ZII berechueii (die Bezeichnung ist hier in
nnderem Siiine gemeirit als in 3 9) niuB man sowohl bei XnOwie
bei - 1 , . A, je ein weiteres Glietl hinziifugen und aucli -4, in erster
Xiherung berucksichtigen. Man erh:tlt.
. i l k uiiwre Approximationen beziehen sicti au! den Fall langer
Welleii und nicht zu groBer Meinbranradieu. Z. R. hedeutet nach
der Defiuitiori von c/ i n ( 2 9 b
/f
<
I
-
4
6 I ~ v l e l n1c
/.
> 41
((.
416
Anlaoh der Physik. 5.Folge. Band42. 1942143
Ftir knrze Wellenkngen (Ultrtuchall) oder sehr gro6e Membranradien versagen sie. Hier mu6 man Entwicklungen heranziehen,
die auf 8 . k u b i n o w i c z zuriickgehen und die fiir das Problem der
eingebauten Membran von A. Schoch') una H. S te n z e ls ) ausgearbeitat sind. Ihre ffbertragung auf das Problem der frei
sohwingenden Membran wird neue Uberlegungen erfordern , in die
wir hier nicht eintreten wollen.
0 12. Mathematiecher
Anheng
o b e r d e n U r s p r u n g d e r GI. (33) u n d (22). D i e W e l l e n g l e i c h u n g
im p o l y d i m e n s i o n a l e n R a u m
.
In einer besonderen Abhandlung? habe ich die G1. (33), auf der die
merkwfirdige Einfachheit unseres Koefficientenscheman der A, bernhte, auf
folgendem Wege abgeleitet: Ich betrachte die einfnchste Losung der Wellengleichung Au + k9u = 0 , niimlieh die ebene Welle
ffl = e i k Z
im zwei-, drei- und p + 2-dimensionalen Raum. Im zweidimene'lonalen h u m
gilt mit r t r COB cp und rs = z1 + yp die G1. (42), im dreidimensionalen mit
2 = r COB 9 und vS o z2 + '
y +z
' die wohlbekannte Gleichung
d~ 2
- 0 0
u=
P + W ~ Q=
n=O
(Zn + 1) i" J
( k r )P, w o s Y)
n+T
I
Sie iat in der allgemeineren Formel von L.G e g e n b a u e r ' )
m
enthalten, wenn man darin p = 1 setzt. Hier sind die C,, die bereits b d
GI. (22) definiercen ,,Rugelfunktionen hdherer Ordnung". G1. (82) bedeutet also
phymkalkch die Entwieklung der ebenen Welle im p + 2-dimcnsionah Ilaum.
Wir merken dabei an, daS das einzelne Reihenglied von (82), also
bis auf einen Normierungsfaktor die nte Eigenfunktion der ( p + 2)-diwaensionalm Wellengleichung bedemtet , wenn man dieselbe in Polarkoordinaten r, 3.
separiert.
mit rz = + xg + * . 2;
-
+
1) A r n o l d S c h o c h , Aknstische Ztschr. 6. S. 318. 1941.
2) H e i n r i c h S t e n z e l , Ann. d. Phys. [5] 41. S. 245. 1942.
3) Die ebene und sphiirische Welle im polydimensionalen Raum, Mathem.
Ann., im Druck.
4) Ygl. z. B. G. N. W a t s o n , Theory of Beesel Fundions, Cambridge 1922,
S. 368, G1. (2).
A . Somnzerfeld. Die frei schwingende Kolbe~inzembran
417
Unsere GI. (33) entsteht nun aus (82) einfach dadurch, dsS man sie in
geeigneter Weise uber 4 mittelt, niimlich mit
multipliziert und narh Y von 0 biu 2 n integriert. Dabei erhslt man links
J * ( k r ) ; rechts verschwinden alle Glieder, in denen n die Form 28 + Y + 1
hat (s = beliebige ganze Zahl), und es bleiben nur die Glieder mit m = 28 + v
iibrig, die nach Ausfiihrung der genannten Mittelung uber C:/2(cos a) direkt
(3.
(33) iiefcrn.
Wie aber beweist man auf physikalisch sinnvollem Wege die bei dieser
Mittelung benutzte Ausgangagleicbung (82)? Das ist sehr einfach, wenn man
die ebenfalls auf G e g e n b a u e r zuruckgehende G1. (22) als bewiesen vorlrusaetgt
uncl sie iiberdies aufspvltet in das Gleichungspaar
Hier bedeuten H ’ und H* die beiden H a n k e l s c h e n Funktionen, die rnit der
ebenso indizierten Besselschen Funkdon J bekanntlieh so znssmmenhhgen:
J=
(848)
1
-(a‘+
H?.
2
Dieser Zusammenhang zeigt zugleich den Zusamrnenhang der beiden GI. (84)
mit der friiheren GI. (22). In (84) ist vorausgesetet r’ > r. Im umgekehrten
Falle sind in (84) die Bezeichnungen r und r‘ zu vertauschen, wobei die linken
Seiten ungesndert bleiben, vgl. (20s).
Mvchen wir nun ip der erstpn GI. (64) sowie in (20s)den Grenaiibergang
r‘-+
to,
cp
- q‘
=
-8
und wenden die bekannte asymptotische Darstellung fur H’ in erster Ngherueg
an, so rrhalten wir
=r‘+rcosJI,
Ferner gilt, wie man unmittelbsr aus ihrer erzeugenden Funktion abliest, fur
die hoheren Kegelfunktiunen I?; ebenso a i e fur die gewohnliehen
Beziehung
c; {cos(n - a)l = ( - 1)” (COS f t ) .
c:,
Annalen der Physlk. 5. Folge. 42
27
P,, die
418
A n 4 m dct Physik. 5.Fo2ge. Band42. 1942143
~ folgts n d h Forthebong gcmeinsamer Faktoren
h
u30
D i u irt aber mit (82) identiwh hie anf die Bereichnongen (I stattp/2, r d t t kr).
WKnn rir vou der rreiten 01. (84) anagegangen, ro hKtten wir ebenfrlls
(31.
aber mit amgekehrtem Vorzeichen von i gefunden.
Ebenro wie (82)eine ebene Welle im p 2-dimensionalen h u m durtellt,
bedeuted d e n b u die beiden GL (84) Darstellungen der polydimeniionden
Bagelrelle, nnd m a r die ente dersclben eine a w r h . a k & , vom Pnnkte B = 0
aadaafende, die zweite eine einrtrdZendc, im Punkte B = 0 rusammenlaufende
Kagelaelle. Die D i d o n s z a h l irt dabei, in dem I der 01. (641mqedrtlckt,
lrich 2(1 1). U n m obiger Q r e n d l b e ~ n gist d s o nichts anderes als der
b e r p g von der Kugelwde ZPT ebenen Welle h i m Abrandern dea K q e l rentrnmr ins Unendlichc
Um die Kette nnserer Beneise su whlieEen, hKrten wir j e t d noch eine
der beiden 01. (84) ails den dlgemeinen Vorstellungen der mathematiachen
Pbysik abruleiten. DM ist mgglicb nach einer Mlheren Arbeit') den Verf.
nnd w i d in der 6. 416, Anm.3 genannten Abhmdlang naher ansgeffihrt.
Hier mamen einige Andeutungen genngen.
Die ruslaufende Bngelnelle kann bei Zugrnndelegung der ,Aussh.ahlungsbedingong" aofgefdt r e r d e n di Q r e e n w h e Funktion f a r den unbegnnzten
Rmm. Dar gilt filr .den plydimensionalen h a m uo gut n i e f i r den z r e i and dreidimensionden. Erne Greensche Funktion mit dem Aufpnnkt P und
dem Qoellponkt Q lPBt sich aber dlgemein'als Somme aber J l e unendlich
vielen Eigenfunktionen darntellen n.eh der Formel (6) der genannten Arbeit
(a),
8
+
+
',k
ist der Eigenrert, der snr Eigenfunktion u, geh&t, d. b. die Konstante
der von ihr befriedigten Wellengleichung du, + k . ' ~ = 0. Die Eigenfnnktionm sind drbei auf 1 normiert gedacht
Wir nennen die far uns in Frage kommenden Koordinaten voo P brw. Q
in einem beliebigen Polanystem r, 4 brw. r', a', wollen aber gleich die
Polarachse desselben so v e r l e p , d d ihre negative Seite durch den Punkt Q
hindorchgebt, robei wir do Koordinaten erhalten
von P: r, 3 , von Q: r ' , n .
Dann r i d nach (83), wenn wir den dortigen Index n darch m ersetwn, von
Normierungsfaktoren abgeeehen :
1) Die,Greensche Funktion der Schwingungsgleichung. Jahresbericht der
Deutschen Mathematiter-Vereiniguog '21. S. 309. 1913, vgl. insbesondere 5 10.
A . S o ~ f e l d Dhe
. frei sehwingende Kolbenmembran
419
wobei iibrigens am der bei (22) sngegebenen Definition der C
, Wr geradw
bew ungeradee TJS folgt:
(87s)
Wir setren (87) nach Hinsufiigung des erforderlichen Normierungsfaktors N',
in den wir uns such die Grofle (87a) aufgenommen denken wollen, in (88)
ein ond teilen die Summation suf in eine solcbe nach dem Index m des
Winkelbestandteils C c a (gewobnliche Summation von 0 bin a)) und eine
eolche uber das kondnuierlicbe Spektrum der Eigenwerte, die von dem radialen
Beatandteil der Eigenfunktion bei gegebenem m herrnhrt (Integration iiber .k
von 0 bis OD). so entstebt:
Der Iotegrationswcg fur .k darf bier ersichtlich nicht 1hgs der reellen A c h e
gefilbrt werden, sondern muS dem Pol k. = k aueweichen; durch die Art des
Ausweichens (nach der negativ-imaginllren Seite hin) kann man dabei der
Ausstrahlungsbedingung Geniige leisten, vgl. Abb. 3 der genannten Arbeit.
Indem man dann im Falle r' > r, wie dort ausgefubrt, J(k,,r') nach (848) in
H' und a*aufloef kann man daa Integral iiber a' auch nacb Multiplikation
mit J ( k . r) ins Unendliche der negativen Halbebene heriiberziehen und eum
Verschwinden bringen. Es bleibt nur daa Integral iiber H' iibrig, welchee
necb der poeitiv-imaginiren Hslbebene heriibergesogen werden kann, aber am
Pole k, = k blingen bleibt. Der Umlauf urn letzteren liefert als allgemeines
Glied der Summe in (88)
Dies stimmt mit dem allgemeinen Glied der rechten Seite der ersten G1. (84)
tiberein; daS auch der hier fortgelassene aus der Normierung NP hervorgehende konetante Faktor damit iibereinstimmt, wird in der S. 416 zitierten
Abhandluug geeeigt.
Ee wgre n u r noch ein Wort hinzuzufugen iiber die linken Seiten der
&) ist nach Definition diejenige aphtirisch apmmetrlsche
G1. tB8) und (84): G (P,
Losung der polydimensionalen Wellengleicbung d u + k'u = 0, die der Ansstrahlungsbedingung geniigt und in ihrem Symmetriezentrum R = 0 die fiir
den (p + 2) dimensionalen Raum charlrkteristische Singultrritiit besitzt. Die
um 7 = 0 spbtiriech symmetriscbe und daaelbst stetipe Losung, welche eber
nicht der Ausstrahlungsbedingung genagt, ist in (83) entbalten, wenn wir dort
n = 0 machen rind lautet
JPiZ(li Y l
uo =
rp'2
2; *
420
Annalm der Physik. 5.Folgc. Band 42. 1942/43
Unter Benutrung von (89) ktinnen r i r d&r
durch B ersetxeni
Y,*
sehreiben, nenn r i r no&
und yo' stimmen, wie es sein mu& Liberein mit den linken 8eiten der
G1. (87), nenn man dort einngemlS I =
{
2
macht. Damit d i i r h d e mathe-
matinchen LGeken, die nir im vorrsgebenden gelamen haben, im wesentliehen
aurgefullt sein.
Herrn. H. S t e n z e l . der mir dae Thema dieeer Arbeit wiederholt a m Herz gelegt hat, verdanke ich Literatarnachweise dazu nnd
manche ntitzliche Bemerkung.
Mllnchen 23, Dunantstr. 6, Dezember 1942.
e
(Eingcgangen 22 Uesember 1942,
V e r a n t r o r t l l e h : IOr dle Bedaktlon: Prof. Dr. B. Or(Lnekn, WburglL.; fW Anne@a
B c m h d v Ammon Leiprig. A n r e l ~ e n a n d m e : h i p s @ C 1. 8.lomom. 18B. Td. 70861.Va&
: Jo&
Ambmtru B a d . LelpdS. Dmd: Yetxuer & W W . Lslpdg C 1.
zlu Zelt uilt Rsbbts 4. RLDted In OenMnr.
~
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die, frei, kolbenmembran, schwingen
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