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Die Frequenznderung schwingender Saiten und Stbe in Flssigkeiten und Gasen.

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& 1.
1915.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIERTE FOLQE. BAND 46.
1. D i e Fretpeuwc%nderulzg echwingender Saiten
und StUbe in lFCuesdgkeitern wnd Gaeen;
vom A. EalMhm.e.
B e z e i c h n ungen.
2,y,
z Cartesische Koordinaten; r, b, z -Zylinderkoordinaten.
cp Geschwindigkcitspotential.
u (Komponenten It,, . . .I Geschwindigkeit der Fliissigkeitsteilchen.
u (Komponenten u,, .) Verriickung
U (Komponenten a,, . ..) Gcschwindigkeit der Saiten- bzw. StabU (Komponentt.n U,,.. .) Verruckung
tcilchen.
0 und p momentauer Dichte- und Druckwert
@ und ji Dichte und Druck im Ruhezustand der Flussigkeit
(des Gases).
c Schallgeschwindigkeit
3 Verdichtung
C Geschwindigkeit der Transversalwellen auf dcr Saite.
I halbe Wellenllnge der Saiteu- Gruudschwingong (zugleich gauze
Lglnge der Saite oder des Stabes).
e0 Dichte
go Querschnitt
der Saite oder des Stabes.
r, iiu5erer Radius
ri innerer Radius (bei Hohlstibcn) J
n = /c c Kreisfrequenz
1
kc
A
AT=--=sekundliche Frequenz
einer Schwingung
2n
2n
I
1
..
1
,
1
272
T = - = - Periode
N
n
I
I
I
2n
I = - Wellenlilnge in der Fliissigkeit firiGas).
k
7 Verhiiltnis der spezifischen Wiirmen cp und c, bei Glasen.
~n und p Ordnnngszahlen (Parameter) der Teilschwingungen.
Jm ( f ) , N,,,(t),H t ) ( t ) Zylinderfunktionen - (Beeselsche, N e u m a n n sche und Hankelsche 1. Art).
(5) reelle Funktioneausdrucke far die Besselsche und
I,,,(f),
Han kelsche Funktion mit imaginglrem Argument i f .
--)-'
L,
0, , Ds
gewisse aus Zylinderfunktionen gebildete Koeffizienten.
Annalen der Physik. IV. Folge. 46.
1
2
A. Kalahne.
Einleitnng.
8 1. Problem. Allgerneinee uber die Wirkung umgebender
Fliisaigkeit auf eohwingende K6rper.
Die vorliegende Arbeit schlieSt sich nnmittelbar an die
vor knrzem in diesen Annalen erschienene theoretische Arbeit
Uber die Wellenbewegung urn eine transversal schwingende
Saite in unbegrenzter Fliissigkeit an.l) Sie behandelt, ebenfalls theoretisch, die Riickwirkung, welche die Bewegung der
FlUssigkeit auf die Saite ausiibt , insbesondere die dadurch
entstehende Frequenziinderung der Saitenschwingungen. Das
Ergebnis der Rechnung l i t sich leicht so verallgemeinern,
daS es auf transversal schwingende Stibe angewandt werden
kann. Ea wird damit die frtiher experimentell genauer nntersuchte h d e r u n g der Schwingungszahl schwingender Hohlzylinder (Riihren) in Gasen theoretisch erklart.9 Die Bezeichnungen sind dieaelben wie in der erstgenannten Arbeit.
Die Lndernng der Freqnenz gegen die ohne nmgebendes
Medium im Vakuum vorhandene Eigenfrequenz des schwingenden Kbrpers, den wir kurz ale Klangkarper bezeichnen
wollen, ist immer eine Frequenzerniedrigung. Sie kommt anf
folgende Weise zustande. Das umgebende Medium wird von
dem schwingendem Korper in Wellenbewegung versetzt nnd
iibt dabei auf ihn eine Riickwirkung aus. Die periodischen
DruckkrBfte, mit denen 88 infolge seiner Bewegung auf die
OberflBche des Kiirpers wirkt, treten zu den riicktreibenden
elastischen Kriiften des Klangk6rpers hinzu. Von der gesamten riicktreibenden Kraft und der Masse des Kiirpers hiingt
aber seine Eigenfrequenz in der Weise ab, dab mit VergroBerung der Kraft die Frequenz steigt, mit VergrbSernng der
Masse sinkt. Infolge der Phasendifferenz zwischen Kbrperschwingung nnd Fliissigkeitsschwingung erhBlt man immer eine
Verkleinerung der rticktreibenden Kraft, also eine & e p m z erniedriguny.
1) A; Kaltihne, Ann. d. Phys. 46. p. 657. 1914, im folgcnden ala
,,Wellenbewegung" eitiert.
2) A. K a l l h n e , Ann. d. Phya. 45. p. 321. 1914, im folgenden ala
,,Schwingangseahl6inderung'l eitiert.
Die Bequrnzanderung schwingsnder Saiten und Stabe usw.
3
In die Formel fiir die Frequenzilnde'rung, die sich als
Resultat der Rechnung ergibt, gehen als einzige Materialkonstanten die Dichten des umgebenden Mediums und dee Klang.
kcrpers ein; es tritt also die Yasse als bestimmender Faktor
hervor. Yit Rticksicht hierauf kann man die Wirkung, durch
welche das Vorhandeasein des Mediuhs .die Schwingungsfrequenz beeinflu&, ale eine acheinbare VergrbSermg der
Kbrpermasse ansehen, kann also den Vorgang so auffassen,
ah ob von dem echwiagenden Kbrper Bine ihm anhaftende
Fltissigkeitsschicht mitgeftihrt wid. Diese Auffassung iet aber
nur der summarieche Ausdruok der in der Formel niedergelegten Beziehungen zwischen Frequenanderung und Beschdenheit der umgebenden Flitssigkeit. Einen Einblick in
den Mechanismas des Vorganges gehhrt diese Auffassung
nicht, was schon dlvaus hervorgeht, dst6 sie fiber die Dicke
der scheinbar mitgefiihrten Fliissigkeitsschicht zunbhst gar
nichb zu eagen erlaubt. Diem mu6 vielmehr erst riickwiirts
aus der beobachteten Frequenz&nderung erschlossen werden.
Dagegen fiihrt die erstgenannte Auffassung, nach welcher die
Druckkrifte der Fliissigkeit zu den inneren elastischen Klirperkriiften hinzukommen, nach 'der also eine scheinbare h d e r u n g
dieeer inneren riicktreibenden Krilfte stattfjndet, ohne Zuhilfenahme weiterer Bypothesen oder experimenteller Daten zu
der vollstirndi8en Theorie, deren vereinhchter Ausdruck eben
jene zweite Auffa8sung der Sache i8t.
Selbstverstirndlich enthalten die hier soeben gemachten
Ausfdhrungen nichts Neues, sodern sollen nur zur Einfilhrung
und Erklkung der Bechnungen dienen.
Om die von dem bewegten Medium auf die Saite ausgeiibten Druckkr3fte angeben zu kannen, mu6 man den Bewegungszuetand kennen, der von ihr in demselben erzeugt
wird. Uber die in einem unbegrenzten Medium - ein solches
kommt vornehmlich in Betracht - um eine transversal schwingende Saite herum maglichen Bewegungszustllnde (entweder
fortschreitende oder stehende Wellen) sind wir durch die p. 2
unter 1) zitierte Arbeit (,,Wellenbewegung .") unterrichtet.
Es fehlt dort nur noch der AnschlnLl der Bewegung an die
vorgegebene Saitenbewegung unter BePaoksichtigung der rhumlichen Grenzbedingungen, die an der Saitenoberfllcbe gelten.
..
1.
a
A. lilabiilins.
Duroh diese wird die Fliissigkeitsbewegung spaidaiert und
die Bemchnnng der D r u k r i f t e in dem bescladeren Fall; eti
moglicht. Diess Bechnungen bilden den Qegenstand der mliegenden Abhandlung. Ahnliche Rechnungen hat Stakes 1)
in seiner Arbeit irber die Mitteilnng der Schwingungen eines
schwiogenden E&pere an das nmgebende Gas rmsgefiihrt,
Dabei iet aber angenommen, daS die unendlich lange Saite
ah Qanzes bin nnd her schwingt. Die charakteristische
Schwingungsfigur mit ihren mehr oder weniger zablreichen
hbteilungen ist also ganz vernachlilssigt, wodurch die Rechnung fiir unaere Zwecke, bei denen gerade diese Unterteilung
wesentlich ist, unbrauchbar wird.
T. AnsehlnU Qer Flbsigkeitebewegung an die Saitense1iwfagnnge
@ 2. Die Gleiohungen der FIkigkeitebewegung fiir m = 1
drei Fgllen I (% reell), II ( x = 0), 111 (x imaginiir).
den
In der friiheren Arbeits) war gezeigt worden, daS im
stationaren Zustande fortschreitende Wellen vorhanden sind,
wenn eine gewisse GriiSe
reell ist; dagegen stehende Wellen, wenn x Null oder imaginiir ist. Dabei haben k, p , I die eingangs angegebenen Bedeutungen. I m ersten Fall (x reell) gibt die Saite dauernd
Energie in Form von bhallstrahlung an die umgebende
Fliissigkeit ab , ibre Schwingungen werden daher gedllmpft,
wenn sie nicht durch iluI3ere Kriifte unterhalten werden. Im
zweiten und dritten Fall (x gleich Null oder imaginiir) findet
keine Auastrahlung von Energie statt, Dmpfung tritt nur infolge der inneren Reibung des Saitenmateriale ein. Von der
inneren Reibung in der Fliissigkeit und der durch sie bedingteo Dfimpfung der Fliissigkeitsschwingungen wikd wie
bisher ganz abgesehen. Sieht man auch von der inneren
Reibung der Saite ab, so hat man im Fall 11 und III ganz
ungediimpfte Schwingungen. Wie sich zeigen wird, ksnn man
1) (3. G.
Roy. SOC. 168,
2)
Stokes, Math. and Phys. Papers 4. p. 299; Phil. 'lkans.
18. Juni 1868.
,,Webnbewegnng".
Die Freguenzandcrung schwingender Saiten und Stabe usw.
5
eigentlich nur in diesen beiden Fallen die durch die Gleichungen der vorgenannten Arbeit dargestellte Fliissigkeitsbewegung der Bewegung der Saite anpassen. I m Fall I stort
die unvermeidliche Dampfung. Nur wenn diese genugend klein
ist, so da6 man sie in ereter Annaherung vernachlassigen kann,
la& sich auch in diesem Falle Saiten- und Fliissigkeitsbewegung vereinigen.
Xine Vernachlassigung mu6 man aber unter allen Umstanden machen, ohne die es nicht moglich ist, die Qrenzbedingungen zu erfullen: man muE die auSere Reibung zwischen
Fltissigkeit und Klangkorper gleich Null setzen, also annehmen,
daB die Fliissigkeitsteilchen in der Nachbarschaft der Saite
nur senkrecht zur Saitenoberflilche Bewegungsimpulse erleiden.
Die Annahme verschwindender auBerer Reibung hat aber nichts
Bedenkliches an sich; denn es ist bekannt, daB die Reibung
bei der Ubertragung der Bewegung schwingender Korper auf
die Umgebung tatsachlich nur eine geringe Rolle spielt.
Torsionsschwingungen kreisrunder Stabe werden kaum an das
umgebende Medium iibertragen ; ebenso erfolgt auch bei Longitudinalschwingungen von Stiiben und Saiten keine mesentliche Ubertragung langs des Mantels, wo allein die au6ere
Reibung wirkt, sondern nur an den Endflachen, wo die Teilchen des Mediums eenkrecht zur KGrperoberflache hin und her
getrieben werden.
Auf den hier vorliegenden Fall der Transversalschwir~gung
einer Saite rnit kreisrundem Querschnitt angewandt, bedeutet
diese Einschrankung, da6 man nur die Radialkomponente der
Bewegung beriicksichtigt, die Tangentialkomponente (parallel
dem Saitenumfang) und die Parallelkomponente (in der Saitenrichtung) vernachlassigt. Das Weitere findet man in 0 4.
Fur das Geschwindigkeitspotential 'p, die Komponenten
der Verriickung u , der Geschwindigkeit u der Flussigkeitsteilchen und die Verdichtung s gelten die Gleichungen (58) bis
(63)(Fall I), (68) bis (72) (Fall 11) uhd (78) bis (82) (Fall 111)
der angefuhrten Arbeit iiber ,,Wellenbewegungi6, wenn man
darin den Parameter ni = 1 setzt (vgl. 9 3 jener Arbeit). Die
Gleichungen lauten dann, wie hier der Vollstandigkeit wegen
nochmal hingeschrieben werden sol1 :
6
A . Kulahne.
Fall I; x rrell, fortschreitende Tellen.
Gescliwindigheitspotential
von Jahnke und Emdel); A: und A: sind willkiirliche Amplitudenkonstanten. Das obere Vorzeichen in den eckigen
1) J a h n k e - E m d e , Funktionentafeln und Formeln, p. 93 u. 174.
B. G. Teubner. Leipzig 190%
.Die B'requenzanderung schwinyender Saiteta und Stabe usw.
7
KIammern gilt fir die von der Saite nach auSen fortschreitende auslaufende, das untere flir die einlaufende Welle.
Die mit Strich versehenen Funktionszeichen, z. B. J,' ( x r )
usw., bedeuten hier und im folgenden die Ableitungen der
Funktion nach dem ganzen Argument.
Pall II. x = 0 , stehende Wellen.
Geschwindiykeitspotential
nx 1
y , = Bpcos 4. cos p- COB (at - e).
l r
(5)
Geschwindigkeit
9. COS- p n z
- cos(nt
rB
nx
{ ue = - B, sin 9. cos p__
1
- cos(nt
U, = - Bp COB
(6)
I
us = -
7c
1
1
- E),
1
-
E),
pnx 1
- cos ( n t
1 r
-
1
rp
Bp cos 9. sin-
E).
Yerriickuny
pnx 1
1
u,. = - - Bn B P ~ o ~ 4 ~ o Is - -re
sin(nt-&),
(7)
1
pnx 1
ufi = - -Bvsin 9. cos __ - sin(n t - E ) ,
.n
1 ra
4)"
Qnx 1
u, = - -Bvcos 9. sin- l r s i n ( n t - 6).
nl
Perdichtung
n
0s
BD und
6
pax 1
-
4. cos- 1 sin(nt E ) .
r
sind die willkiirlichen Integrationskonstanten.
s = -€Ip
(8)
COB
Fall 111. x = ix' imayinar, stehende Wellen.
Geschwind~9keit~spotential
n
=
(1)
(z'r)sin(n t F R - q)
cos9.cos--p n1 x GI
- -r,
c o s ~ c o s1 ~ 1 ~ ~ ' ) ( is xi n' (Tn)t T n - q ) .
c2
GE) ist eine mit der Hankelschen Zylinderfunktion erster
ziisarnmenhitngende reelle FunkArt von gleicher Ordnung
tion.')
Es ist
G,(1)
, (x'T)
(13)
1)
m +1
13:' ( i x ' ~ ) ,
=i
Vgl. ,,Wellenbewegung" $
9.
Uie Frequenranderuny sclituinyender Saiten und Stabe
usto.
9
also
(134
G (x' 1.1 = - H: (i x' r ) .
I;,und q sind die willkurlichen Integrationskonstanten.
Die Konstante
n i m Argument der Kreisfunktionen ist fur
die Form der Losung an sich belanglos, sie stammt aus der
allgemeinen Formel, die fur beliebige Werte des Parameters
m gilt und ist nur der Vollstandigkeit wegen beibehalten
worden. Ihre Anwesenheit beeinflu6t nur den absoluten Wert
der Phasenkonstante q , der aus den Anfangs- und Grenzbedingungen zu berechnen ist. Das doppelte Vorzeichen von
n hat hier nicht die Bedentung wie im Fall I, es stammt nur von
dem allgemeinen Integrationsansatz, bei dem die Zeitfunktion
in der Doppelform e f f n t angesetzt worden ist (vgl. ,,Wellenbewegung" 5 2); es ist fur uns ubrigens ganz belanglos.
I n alien drei Fiillen erhalt man den Druck p , wenn die
Beziehung zwischen Druck p und Dichte Q, bzw. Verdichtung s
fur die betreffende Flussigkeit bekannt ist. Fur Gfase ist es
bei Schwingungen das adiabatische Druckgesetz, aus dem abgekilrzt folgt
+
p =$(I
Y4.
Darin ist der Druck im Ruhezustand des Gases, y das Verhaltnis der spezifischen Warmen bei konstantem Druck und
Volumen.
(14)
5 3.
Bleichungen der Saiten- und eugeh6rigen Flussigkeitebewegung, insbesondere im Fall 111 ( x imaginar).
Die Saite bewege sich innerhalh der zx-Ebene in
der x-Richtung hin und her ; ihre Ruhelage bezeichnet die
z-hchse. Verschiebung und Geschwindigkeit eines Punktes der
Aohse seien 7,; und U, = d U , / d t ; die Verschiebung und Geschwindigkeit in der y- Richtung sind nach Voraussetzung
U, = Uy = 0. Wenn die Form des Saitenquerschnitts sich bei
der Bewegung nicht iindert, wie wir annehmen wollen, so gelten
dieselben Werte Us und U, fur alle Punkte eines und desselben Querschnittes, also auch fur die Oberfliichenpunkte.
Die Saite moge eine Sinusschwingung mit der Frequenz n
ausfuhren ; ihre Schwingungsfigur langs der z-Ache ist eine
Sinuslinie mit der halben Wellenliinge l / p . In der Mittelebene
10
A. Kalahne.
z = 0 sei ein Schwingungsbauch. Vx und U, miissen also wie
cos (p n z/Z) langs der z-Acbse variieren. Daher ist zu setzen
y = u,
cos p",n 1
und
pnx
u, = u,
cos .
1
n, sind die Terriickungs- und Geschlcindigkeitswerte
in der Bittele6ene z = 0.
Dieser Ansatz umfaBt wie der entsprechende in der
,,Wellenbewegung'L nur die zur hlittelbene z = 0 symmetrischen
Schwingungen; die antisymmetrischen wiirden sin (p IC 211) als
Faktor verlangen. F u r die Behandlung der Stab-(Hohlzy1inder)schwingungen, urn die es uns besonders zu tun ist, kommen
nur die symmetrischen Schwingungen in Betracht. Ubrigens
geben die antisymmetrischen Schwingungen dasselbe Resultat
hinsichtlich der Frequenzanderung.
Variieren U und U sinusformig mit der Zeit t , so gilt
der Ansatz
D,
(16)
=
U,sin(nt
+ a),
-
U,
=
d urn
dt
= U, cos(nt + w),
U, = n V , ,
(17)
U, und U, sind die Maxiniulwerte der rerruckung und Geschwindigkeit in der Aifittelebene.
Also wird
(18)
{
U, = U,cos Q In zsin (nt + w),
~
nz
U, = U, cos P n1 r c o s ( n t + w)= n U,cos Q-cos
1
~
(nt
+
0).
Hieraus erhalt man die Komponenten der Bewegung in der
r- und 8-Richtung
U, = U, cos 8 cos b n z sin (n t + o),
u, = Uocos9.cos--P g z c o s ( n t + w),
1
\
I
U, = - U,sin 8 cos b n1 x sin (n t
+ o),
U,
+ o).
=
-U,sinacos
__
1
cos(nt
Die Frequenziinderung schwingender Saiten und Stabe usw. 11
Den Werten U, und U, lassen sich nun die Werte ti, und
u, von Gleichung (11) und (10) aupassen, wenn man darin
r = r1 (AuSenradius der Saite) setzt und die willburlichen
Konstanten I’, und q geeignet bestimmt. Die zu erfullenden
Grenzbedingungen lauten: fur T = T~ mu6 sein
Beide Gleichungen, von denen (22) aus (21) durch Differentiation nicht hervorgeht, werden erfiillt, wenn man setzt
Tn-q=w,
also
q = T n - w .
Durch Eineetzen dieser Werte in die Qleichungen (9) ‘bis (12)
erhlllt man folgende Ausdrucke fUr Geschwindigkeitspotential,
Geschwindigkeiten UBW. in der Flussigkeit im Falle 111
( x = i x ’ imaginilr):
Geschmindigbitspotential
Geschwindigkeit
* O0
Q $‘I‘ (x‘ r,)
cos 9. COB ’
3
G~”’(x’T ) cos (n t + 0) ,
1
u~
T
x’ QP)’(x’
vl)
sin 9. cos
7G
(x‘ r)cos (nt
+ m) ,
12
PerrucRun.q
--
1
Perdichtung
S
4. Notwendige Vernachlassigung der auBeren Reibung.
Offenbar gehen fur r = r1 die Werte u, und u, von
(25) und (26) in die Saitenwerte U, und U, von Gleichung (19)
iiber. Dagegen konnen tig und uiE nur dann gleich U, und
Ue von Gleichung (20) werden, wenn x' r1 GI')'(x' r,) = Gil)(x' rl)
ist. Wir werden spater (vgl. (31. (36) und Tab. 2) sehen, dsS
annahernd
x' r1 GI(1)' (x' T , ) = - t2-F) (x' rl)
iet. Es ist also nicht moglich, zugleich mit der T-Komponente
auch die 8-Kornponente von Verriickung und Geschwindigkeit
an der Saitenoberflache mit den entsprechenden Werten der
Saitenpunkte zur Ubereinstimmung zu bringen; denn der Bewegungssinn ergibt sich fur u, und U, gerade entgegengesetzt,
wenn auch die Zahlenwerte annahernd ubereinstimmen. Man
kann also die durrh die Gleichungen (9) bis (22) dargestellte
Schwinyungsbeiuegung in der Flussigkeit nur dann an die Bewegung der Saite anschliepen, wenn man an der Grenqfache
beider vollkommene Gleitung annimmt. Die FIiissigkeitsteiIchen
durfen nicht an der Saitenoberflache haften; sie empfangen
somit nur senkrecht zur Oberflache Bewegungsimpulse , nicht
auch parallel zu ihr.
Zu demselben SchluS kommt man, wenn man die z-Komponente der Bewegung betrachtet. Auch bei ihr ist die Anpassung aus demselben Grunde unmoglich, Sie ist sogar noch
weniger denkbar, da man j a bei der Behandlung der Saiten-
Die EFequenranderung schwingender Saiten und Stabe
usio.
13
bewegung in der iiblichen Form die Bewegung der Teilchen
in der Richtung der Achse ganz vernachlassigt, also so rechnet,
als ob gar keine z-Komponente vorhanden sei. Bei weiter
getriebener Naherung mii6te man freilich die infolge der
periodisch wechselnden Dehnungen immer vorhandene Longitudinalbewegung mit beriicksichtigen, erhielte dann aber
dafiir AusdrUcke etwa von der Form
U, =
(28)
I
5 U, sin 2
E
1
sin (nt
+ w ),
pna
U, = ncu0sin 2cos(nt+w),
1
wo 5 ein konstanter Proportionalitatsfaktor ist. Der Faktor 2
im Argument der Sinusfunktion muB hinzugefiigt werden,
wenn p die friihere Bedeutung behalten soll. Denn offenbar
ist die Longitudinalverriickung riiumlich doppelt so schnell
periodisch wie die Transversalverruckung. Sie ist nilmlich
sowohl an den Knoten, als auch an den Bauchen der Transversalverruckung Null, dazwischen hat sie ein Maximum. Man
sieht dies leicht ein, wenn man zunachst einmal statt der sinusfi3rmigen Ausbiegung der Saite
0' D"
eine dachfdrmige betrachtet,
wie in Pig. 1, die von einzelnen geraden Strecken 0'8,
O D C B A
O'E neugebildet wird. Bei
,
gleichmii6iger Dehnung der
Fig. 1.
Saite beschreiben die Punkte
B, C, B, 0 die geradlinigen Bahnen BB, C C , D B', 0 0' senkrecht zur z-Achse. Die Saitenteilchen erleiden also keine Verschiebung in der z-Richtung.
Nimmt man aber statt dessen die Sinnslinie AO'h', so
ist offenbar, daB nun die Punkte R',Cl, B" den Punkten
3,C', D' entsprechen, so da6 die Saitenpunkte B, C, D die gekriimmten Bahnen BB", CC",BD" beschreihen, und da6 die
seitliche Verschiebung irgendwo zwischen 0 und A ein Maximum haben mu6.
Die Vergleichung von (28) mit (25) bzw. (26) zeigt, da6
man auf keine Weise die Komponenten u, und u, der Fltissig-
va,
14
8.Kalahne.
keitsbewegung den Werten U,und Usgleichmachen kann. Yelbst
wenn 5 den passenden Wert
p .n cos 4 ct\" (x' r )
-__
1 x' r QFJ'(xt r,)
hatte, was wegen des darin enthaltenen Faktors COB 6 ganz
ausgeschlossen erscheint, konnen die Werte nicht gleich werden,
weil us und u, den Faktor sin ( p % . / I ) , Uz und U, aber den
E'aktor sin (2 p n ./I) enthalten, die beide stets voneinander verschieden sind.
Man muB also auf die Berucksichtigung der 6-und z-Komponente verzichten, wenn man sich die in der ,,WellenbewegungLi
diskutierte, hier in den Gleichungen (9) bis (12) dargestellte,
Fliissigkeitsschwingung durch die Schwingung einer Saite
hervorgebracht denken will; d. h. man mu6, wie oben be-.
merkt , die au6ere Reibung an der Saitenoberflache gleich
Null setzen. Bewegungsimpulse werden alsdann nur infolge
der Verdrangung der Fliissigkeit durch die Saite von dieser
erteilt, und der Widerstand, den die Bewegung der Saite
erfahrt, ist das, was i n der Technik ,,VerdrangungswiderstandLi
genannt wird.
11. Zusatzkraft, echeinbare Massenvergr89ernng nnd FreqnenzPndcrnng der schwiugendeu Saite im Fall 111 ( x Imaginlr).
5
5.
Allgemeiner Auadruck der von der Flussigkeitsbewegung
itammenden Zusatzkraft.
Wenn sich die Saite bewegt, so wirkt als bewegende
Kraft nicht nur ihre eigene Elastizitat, bzw. ihre Spannung,
sondern auch der von dem umgebenden Medium auf sie ausgeiibte Druck, der an verschiedenen Stellen ihrer Oberfiache
verschiedeii groB ist und daher immer eine Resultante in
irgend einer bestimmten Richtung, nicht bl06 einen allseitig
gleichen Druck auf die Saite ergibt.
Infolge der Symmetrie der Flussigkeitsbewegung in bezug
auf die z r-Ebene fallt die Resultante stets in die s.Richtung,
denn die beiden auf die obere und die untere Halfte eines
Querschnittes wirkenden y-Resultanten heben sich gegenseitig
auf. Es kommt auch nur die in die z-Richtung fallende Kraft
in Betracht, da dies die Bewegungsrichtung der Saite ist.
Die Rrequenzandtmlng sclmn'ngencler Saiten und Stabe usw. 15
Wir denken uns eine Scheibe von der Dicke d z durch
zwei zur z-Achse senkrechte Ebenen aus der Saite herausgeschnitten.
Auf ein Oborflachenelement r1 d 9. d z einer solchen
Querschnittsscheibe wirkt die Druckkraft p r1 d I? d z senkrecht nach innen,
d. h. in der Richtung - r . Rechnet
man die Kraft in der Bichtung r,
also nach auf3en hin, positiv, so ist
die auf das genannte Oberflachenelement wirkende Kraft
i
- p rI dI? d Z.
Ihre z-Komponente ist (vgl. Fig. 2)
Fig. 2.
- pzrl d 19d z = - p cos 9. r1 d 9. d s .
Dieser Au?druck, iiber den ganzen Scheibenumfang, also
von 4. = 0 bis 9. = 2 x integriert, gibt die gesamte von der
Fliissigkeit in der + x.Richtung auf die Saitenscheibe ausgeilbte Druckkraft. Sie ist
2n
(29)
&=-dtr,Spcos9.d9..
0
9 6. Frequenaanderung einer Saite in Gas im Fall IIL
E'iir Gase als umgebendes Medium ist p =$(l+ y s), wobei s
durch (27) bestimmt ist. Einsetzen dieses Wertes v o n p und s
ergibt
2x
16
A. Kalahne.
Beriicksichtigt man nun die Gleichung (18) bzw. die weiter
daraus hervorgehende Gleichung
so kann man scbreiben
oder damit gleichbedeutend
wobei die bekannte Formel fiir die Schallgesghwindigkeit in
Gasen benutzt ist
(33)
ca =
pr.
4
Bei der Aufstellung tler Bewegungsgleichung der Saite ist
diese Zusatzkraft zu berucksichtigen , die also entweder der
Verschiebung der Saitenteilchen U, selbst oder ibrer Beschleunigung a2U,ld t2 proportional gesetzt werden kann.
F u r die im Vakuum schwingende Saite erhalt man die
Bewegungsgleichung, indem man die auf die Querschnittscheibe
von der Dicke d z und dem Querschnitt qo wirkende Beschleunigungskraft in der x-Rich tung
der infolge der Ausbiegung entstehenden riicktreibenden elastischen Kraft
gleichsetzt. Indem man zu dieser rucktreibenden Kraft die
von dem Flussigkeitsdruck herriihrende Kraft 5, in der Form
von (32a) hinzufugt, erhalt man die vollstandigte Bewegungsgleichung
(34)
Die Frequenzanderung schwingender Saiten und Stabe usw. 17
also rnit Einsetzen des Wertes ( 3 2 4 fur
5,
Darin bedeuten po Dichte, q, Querschnitt, p, Spannung,
rl den Audenradius der Yaite, p die Ruhedichte des umgebenden Glases. Durch Zusammenfassen der Glieder , die
da U, / d t a als Faktor enthalten, ergibt sich diese Gleichung in
derselben Form wie die Bewegungsgleichung der Saite im
Vakuum, nur der Koeffizient von da U J d t z ist ein anderer.
Die neue Gleichung lautet
Durch Vergleichung mit der fur die Saite im Vakuum
giiltigen Gleichung
a9
(35 )
u,
OO~oa,a-=
a2
poqo,.,
u,.
folgt, daS duroh die Anwesenheit des Gases die Made der
Lhngeneinheit der Saite scheinbar urn den Betrag
vergriidert wird.
Dabei ist D, die Abktirzung
Also wird die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Transversalwellen auf der Saite von dem Vakuumwert
(37)
verkleinert auf
4
i
Annalen der Phgsik. 1V. Folge. 46.
.
.
18
A. Kalahne.
In demselben Verhaltnis wird die Eigenfrequenz N verkleinert, d. h. von
Bei einer inassiveri Saite ist qo = r l * l t , so dab sich fur
sie der Wurzelausdruck im Nenner von (38) vereinfacht auf
1st x‘ uiid der Saiteriradius r1 gegeben, so hangt die Prequenzverkleinerung im wesentlichen von dem Verhaltnis der Dichten
des Gases f, und der Saite pa ab.
’r,
ist, wie spater
Der Faktor B, = - G ‘ ~ ) ( x ’ ~ , ) / xGil)’(x’rl)
gezeigt werden wird, von der GroBeuordnung 1. Daher wird
das Zusatzglied bei massiven Saiten von der Ordiiung f , / p ,
also stets klein gegen 1, wenn das umgebende Medium ein Gas
unter nicht extrem hohem Druck ist. (Vgl. Tab. 2 auf p. 31).
I m allgemeinen ist uberhaupt das zweite Gliecl unter der
Wurzel in (38) klein gegen 1. Deshab kann man, die Wurzel
in eine Potenzreihe entwickelnd und nuit dem ersten Gliede
abbrechend, als Naherungswert schreiben
Das zweite Glied der Klammern in diesen Gleichungen
ist bei gegebenem f, und go nur dadurch wesentlich zu vergrofiern, dab man die Saitenmasse po p,, der Langeneinheit
durch Verkleinerung des Querschnitts yo moglichst gering
mrtcht. Damit aber hierbei nicht anch der Zahler rla1tG im
gleichen Verhaltnis abnimmt, darf man die Querschnittverringerung der schwingenden Masse nicht durch Verkleinerung
der Saitendicke 2 r1 bewirken, sondern mu8 die Saite aushohlen, so da6 der wirksame Saitenquerschnitt ringfiirmig wird.
Praktisch la6t sich das hei Saiten lraum ausfuhren; wohl aber
ist dies Verfahren bei schwingenden Staben anwendbar, und
Die Frequenxanderung schwingender Saiten und Stabc USIP.19
man kann durch Benutzung dunnwandiger Hohlstlbe (Rohre)
aus leichtem Material einen 'recht betriichtlichen EinfluB dcs
umgebenden Gases auf die Schwingungsfrequenz erzielen , wie
in der eingangs angofihrten Arbeit ,,SchwingungstaliZanderung~L
nachgewiesen ist.
§ 7 . Zahlenwerte ffn die Frequenahderung von Saiten
in Gaeen.
Wie gering die Frequenzanderung bei massiven Saiten
ist, ersieht man am besten aus einem Beispiel. Bei einer
Stahlsaite von der Dicke 2 r 1 = 0,l cm, also dem Querschnitt
qo = 0,007854 om2, die von einer Kraft P = 20,04 kg-Clew. =
19,64 lo6 Dyn gespannt wird, so da6 ihre Spannung p , =
P /qo = 25 lo8 Dyn cmz betragt, ist die Fortpflanzungsgevchwindigkeit von Transversalwellen
-
wenn die Dichte zu e,, = 7,7 angenommen wird (vgl. ,,Wellenbewegung", Tab. 1 u. 2). Fur die pte Teilschwingung wird
nach ,,Wellenbewegung" Gleichung (113)
indem man daselbst statt des imaginar werdenden x , init Umkehrung der Reihenfolge von c und C unter der Wurzel, die
QroBe x' einfiihrt; c ist die Schallgeschwindigkeit in dem
Gase, I die Lange der Saite. 1st die Umgebung Luft von
O o C., und wird c = 3 3 1 , 8 . loa cm/sec gesetzt (entsprechend
dem runden Wert 344,O m/sec bei 2 0 9 , so wird
E ~ CZ C z = 2,639.
C
Betragt die Saitenlange Z = 100 cm, so w i d demnach, da
r1 = 0,05 cm ist,
x'rl = 0,00132 p ;
bei gro6erer Saitenlange unter sonst gleichen Verhaltnissen
wurde dieser Wert noch kleiner sein. J e hoher die Ordnungszahl der Schwingung, desto gro6er wird x ' r l . Der kleinste
Wert, der sich bier (fur p = 1) ergibt, ist x'rl = 0,00132. Fur
2*
20
A. Kdahne.
so kleine Argumente gibt es keine Tafeln der E'unktionen
G f , ) ( x ' r J und ihre Ableitiingen. Doch lassen sich die Funktionswerte in dieser Gegend des Argumentes leicht fiir die
ersten Ordnungen m = 0 und m = 1 mittels der friiher angegebenen Reihen') berechnen. Aus diesen folgt, da8 mit abnehmendem Argument die Funktion Gf)(x' T J asymptotisch
dem Wert z,
2
-f-n
logx'r,-logy+log2j,
ihre Ableitung also dem Wert
zustrebt ebenso G':) (x' r1) dem Wert
2
1
_.n
%ITl
'
ihre Ableitung also dem Werte
2
1
--.-.
n (x'r,)*
Schon bei dem Argument 0,Ol ist der wahre Funktionswert
G~l'(O,O1) von dem angenaherten nur um etwa 14/472000
= 0,03 Oleo, der Funktionswert GI1)(O,O1) von dem Niiherungswert nur urn etwa 0,026/ 100 = 0,26 o/oo, verschieden. Bei
kleinerem Argument ist der Unterschied noch geringer. Man
kann also unbedenklich mindestens bis zu Argumenten von
der GroSe 0,Ol aufwiirts statt der Funktion Gil) (x't;) die
Funktion 21.. l/x'r1 setzen. Daraus folgt aber sofort, da6
bis zu dieser Gegend des Argnmentes der Faktor
u = - Ctp (x'
1
x'
TI)
-
r, ffI]Y(x' T I )
den Wert 1 hat. Erst bei grofieren Argumenten wird er
merklich kleiner.
In dem angefiihrten Beispiel der massiven Saite hat
dieser Fsktor also fitr alle Teilschwinguogen von nicht sehr
-
1) Vgl. ,,WellenbewegungiiJ Gleichong (39) und (40).
2) Hier ist y nstiirlich nicht dae Verhiiltnis der spezifisehen Warmen
eines Gases, sondern ebeneo wie ,,Wellenbewegungi4 8 5 die Konetsnte
y = 1,7811, log nat 7 = 0,57722 die Eulersche Konetante.
Die Requenzanderuny schwingender Saiten und Stabe usw. 2 1
hoher Ordnung den Maximalwert 1. Trotzdem ist aber die
Frequenziinderung verschwindend klein, weil rla m = qo uud solnit
r l a m ~ / 2 q o e=
o F12g0 ist, welcher Wert hier bei normalem
Gasdruck und mittlererer Temperatur, wo anniiherrd 0,0012
iet, von der Ordnung 0,0012/15 = 0,00008, also noch nicht
ganz ein Zehntausendstel wird. Frequenzanderungen von dieser
GroSe, d. h. also beispielsweise von 0,l Schwing./Sek. bei
einer ursprunglichen Schwingungszahl von 1000 Schwing./Sek.,
lassen sich zwar noch beobachten, bleiben aber doch gerade
an der Grenze des Wahrnehmbaren, zumal da durch andere
Einfliisse (Temperaturiinderung, Nachgeben der Befestigung der
Saite usw.), leicht gr66ere Anderungen herbeigefuhrt werden
ktinnen.
Zur Berechnung des Faktors Dl braucht man den Wert
des Differentialquotienten Gil’(x’ rl), und dieser ergibt sich durch
Anwendung der Differentialformeln der Zylinderfunktionen l) in
den drei Formen
also fur m = 1
Zahlenwerte sind spiiter in
8 10, Tab. 2, nngegeben.
111. Saheinbare 1ILasseuvergrbBernn.gnnd Freqnenzerniedrignng
messiver nnd hohler Sttlbe (Itllhren) im Fall 111.
8
8. Frequensiinderung durch daa umgebende Uae.
Ganz anders wird die Sache, wenn man statt des
massiven schwingenden Ktirpers einen hohlen benutzen kann.
Das ist aber nur mtiglich, wenn an Stelle der gespannten
Suite ein infolge seiner eigenen Elastizitilt schwingender Stab
tritt. Wird derselbe ausgehahlt, so da6 er ein dlinnwandiges
1) Vgl. ,,Wellenbewegung“ § 6 Gleichung 50.
22
A. Xaliihne.
Rohr von noch genugender Steifigkeit bildet, so kann seine
Masse pro Liingeneinheit wesentlich kleiner gemacht werden,
ohne da0 der AuBendurchmesser verkleinert zu werden braucht.
Hier kann also der Quotient r I 2"/yo in (38) und den folgenden
Gleichungen vie1 gr60ere Werte annehmen, so da0 die relative
Frequenzanderung wesentlich gro0er wird.
Zu beriicksichtigen ist, da0 die Schwingungsfigur eines
transversal schwingenden Stabes - ob massiv oder hohl ist
gleichgultig - keine Sinuslinie ist, sondern insbesondere bei
den Eigenschwinguugen niederer Ordnung wesentlich davon abweicht. Deshalb kann man unter keinen Umsthnden mit
einem einzigen Parameterwerte p , also einem Gliede splp des
Geschwindigkeitspotentials auskommen , wie es bei der Saite
der Fall ist; sondern man muB eine gro0ere Anzahl solcher
Glieder - bei gleichbleibender Frequenz - benutzen, die eine
Fourierreihe bilden, mit der man die Flussigkeitsbewegung
der Stabbewegung anpassen kann. Um dabei zu realisierbaren
Fallen zu gelangen, mu6 man sich ebenso wie friiher bei der
Saite denken, da6 der Stab senkrecht zwischen zwei parallelen,
unendlich ausgedehnten Ebenen befestigt ist, so da6 er seine
gesamte Energie nur innerhalb des so gebildeten Raumes, eines
,,Schwingungsfaches" in der fruher gewahlten Bezeichnung, abgibt, d. h. im wesentlichen senkrecht zu seiner Achse. I n der
Fig. 3.
mathematischen Behandlung hat man dafur einen unendlich
langen schwingenden Zylinder zu setzen, dessen der Schwingungsfigur des Stabes entsprechende Schwingungsfigur sich
periodisch wiederholt, wenn man um die Stablange 1 fortschreitet. Dieser Zylinder wird also gewissermafien von unendlich vielen an einandergesetzten, in gleicher Form und
Phase schwingenden Staben gebildet (vgl. Fig. 3). In dem
durch diese Figur dargestellten Beispiel wird angenommen,
daO der Stab mit zwei freien Enden schwingt und zwar in
der Grundschwingung mit zwei Knoten. Selbstverstbdlich
Die I”1.equeiiziinderung schwinptder Saiten wid Stiibe zisu). 23
gilt alles ebenso fur die Schwingungen mit mehr als zwei
Knoten.
Fur jedes einzelne Glied des Geschwindigkeitspotentials
und die dazu gehijrende Flussigkeitsbewegung laBt sich der
AnschluB der Fliissigkeits- an die Stabbewegung genau so
wie bei der Saite ausfuhren.
Man kann die Bewegungsgleichung des Stabes gleich in
der allgemeinen Form benutzen, die fur schichtweise homogene
Stabe gelten, d. h. fur solche Stabe, die aus zur Stabachse
pnrallen Schichten verschiedener Elastizitat und Dichte bestehen. Es sei
U (Komponenten U,, U , . .) die seitliche Verschiebung
I1 (Komponenten ll,, U, ..j die Geschwiiidigkeit
q die Dichte
E der .elastische Dehnungsmodul
]
der Stabteilchen,
} innerhalb einer Schicht,
K =$xP d q das Tragheitsmoment eines mit Masse von der Dichte 1
belegten Querschnitts innerhalb einer homogenen Schicht, bezogen auf die fur die Schwingungen geltende Drehungeachse
des Querschnitts.
2 die Flache eines solchen Querschnitts.
Mit Weglassung eines stets gegen die beiden anderen
kleinen Gliedes lautet die Bewegungsgleichung des Stabes im
Vakuum
(43)
oder mit Weglassung des Faktors d z beiderseits
(43a)
Die Summen 2 Q q und C B K bedeuten die Summen von
~q und h’K uber den ganzen Stabquerschnitt, der in die einzelnen homogenen Teile zerfallt.
Indem man wieder nach.(32a) die von der Gasbewegung
herruhrende Zusatzkraft & rechts hinzufugt, erhalt man die
Bewegungsgleichung des Stahes im Gase
oder mit anderer Anordnung der Glieder und Weglassung’
von d z :
A. Kaliihne.
24
(44a)
a2
u, [C 9 + rl
R
p D,] +
2E K = 0 ,
wobei wieder die Abkurzung D, nach ffleichung (36) benutzt
ist. Die Vergleichung von (43n) und (44s) ergibt, dab die
Summe 2 p p, d. h. die Masse der Langencinheit des Stabes,
urn den Wert B, r I 2R = - rlBn F G\"(x' r,)/x' r1 GI1)' (x' rl) vergro6ert wird, also dasselbe Resultat wie bei der Saite. Und
ebenso folgt auch weiter, da6 die relative Frequenzanderung denselben Wert hat wie dort. Denn die sekundliche Frequenz
fur den jten Teilton i m Vakuum ist')
(45)
im Gas
Durch Reihenentwickelung der Wurzel im Nenner von (46) erhalt man die wie Gleichung (40) gebaute Formel
Die Summe C p p bezieht sich auf alle fest mit dem
schwingenden Stab verbundenen Schichten. 1st der Stab hohl,
so wird eine dieser Schichten durch die das Innere des Hohlstabes ausfiillende Materie gebildet. Diese kann gasfdrmig sein ;
bei einem beiderseits offenen Hohlzylinder, der sich in einem
Gase befindet, ist das z. B. immer der Fall. Man kann dann
annehmen, da6 die Gasfullung, die j a nicht seitlich ausweichen
kann, wie ein starr mit der Zylinderwand verbundener Korper
mitschwingt,.
d
9.
Wirkung des eingeschlossenen Gases bei HohlstZiben.
Will man die Annahme, da6 dns eingeschlossene Gas als
Ganzes an der Stabbewegung teilnimmt, nicht machen, so kann
man genau so, wie es fur den Au6enraum geschehen ist, auch
fiir den Innenraum des Hohlzylinders die Bewegungsgleichungen
der Gasmasse aufstellen und auch hier die Zusatzkraft be. rechnen, welche der Bewegungsgleichung des Stabes infolge
1) Vgl. ,,Schwingungszablanderung" Gleichung (4) auf p. 346.
Die Frequenzanderung schwingender Saiten und Stabe
USID.
25
des Druckes der bewegten Gasmasse hinzugefugt werden mufl ;
die Rechnung und das Ergebnis ist derjenigen fur den AuBenraum ganz analog, sie braucht nur kurz angedeutet zu werden.
Das Geschwindigkeitspotential fur den Innenraum des
Rohres ergibt sich wie das des AuWenraumes aus den Ansiitzen der Gleichung (3)ff. in ,,Wellenbewegung“; nur durfen
in R [Gleichung (13)] blob solche Zylinderfunktionen benutzt
werden, die in der Zylinderachse (r = 0) endlicli bleiben. Diese
Forderung wird nur von der Besselschen Funktion J,(xr)
eowohl mit reellem, als auch imaginiirem Argument erfiillt.
Daher erhiilt man, wenn man nach dem Muster der Entwickelungen i n 06 7, 8, 9 der angefuhrten Arbeit von dem komplexen Wert des Potentials zum reellen tibergeht, folgende einfache Ausdriicke fiir den Innenraum :
Fall I ( x reell):
(47)
ymv = A’,,,v cos m 9. cos -1P- n x Jm( X T ) COB (nt - a’).
Fall II (x = 0):
(48)
P n x rmcos (n t ymv = B’cos m 8 c o s ~I
Fall III (x = i x ’ imaginur):
Pnx
6’).
mn
Im( x ’ T ) COY (n t f --2 - 9;).
(49) Y m p = T l a p cos m 8 cos 7
Dabei bedeutet Im (x‘ r) die reelle Funktion des reellen Argumentes x ’ r , die mit der Besselschen Funktion des imaginaren
Argumentes i X’ r zusammenhiingt nach der Gleichung
(50)
Im(&
= i-mJ m ( i l ) ,
worms fur I,,,(6) die einfache Entwickelung folgt
Die QroBen 6’,E‘, 71‘ sind willkiirliche Phasenkonstanten, A’,,p,
WrnP und Pmp
Amplitudenkonstanten, II (m) die Gausssche
II-Funktion.
Die Gleichung (49), die uns hier zunachst interessiert, hat
genau dieselbe Form wie Gleichung (78) der ,,Wellenbewegungcr,
nur ist Im (x‘ r) an Stelle von G$ (x’ r) getreten ; mit dem Werte
m = 1 entspricht sie vollkommen der Gleichung (9) der vor-
26
A. Kalahne.
liegenden Arbeit , die aus jener durch Spezialisierung des
Wertes m hervorgegangen ist. Alle Rechnungen, die den Anschlu6 der durch (9) dargestellten Flussigkeitsbewegung im
AuBenraum an die Saiten- bzw. Stabbewegung betreffen, gelten
daher formell ungeandert auch fur die Bewegung im Innenraum des Hohlstabes, die durch (49) mit m = 1 dargestellt
wird. Man hat nur zu berucksichtigen, dab als Radius des
Zylindermantels nicht rl (AuSenradius), sondern rz (Innenradius)
einznsetzen ist, urn die Grenzbedingungen zu erfullen. Selbstverstindlich la& sich auch hier nur die Grenzbedingung fur
die T-Komponente der Bewegung, nicht auch fiir die 4- und
z-Komponente erfiillen, wie frtiher (0 4) genauer ausgefiihrt
worden ist.
Man hat zu setzen
und erhalt dann fur Geschwindigkeitspotential, Geschwindigkeit usw. im inneren Flussigkeitsraum die Gleichungen (24)
bis (27) mit den beiden Anderungen, daB r1 und r2 und die
Funktion Gil)(E) durch .TI(t),also auch G!')' (E) durch 1;(g) ersetzt wird.
Tafeln fur die Funktionen 1 , (6) sind mehrfach berechnet
worden.') Mit ihrer Hilfe lassen sich auch die Werte der abgeleiteten Funktionen 1; (6) angeben , denn mittels (50) folgt
fur I' aus der bekannten Differentialformel der Zylinderfunktionen
1) Vgl. z. B. Jahnke-Erndc, Tafel XXIV, p. 159. Die dort angegebeneii Funktionen Jo(i E), -i J, (i t ) usw. sind direkt unsere Funktionen I. (&, ll(6) usw..; die Bczeichnung I, (<) wird iibrigens auch von
cnglischen Autoren benutzt.
Uie Frequenzanderung schwingender Saiten und Stabe usw.
27
also fur m = 1
(54)
[
("
7 5
=
11
(E)
'
1
=2
I
=
1
-E (E) + lo(E)
4 (El + 4(6) = f 4 (8+ f 1,(1)
*
Berechnet man hiernacli I,' (x'
Quotienten (vgl. Tab. 2)
7.J
und damit weiter den
1 (x'r )
4 =--'A
x' r, I,' (x' r,) '
(55)
f
so sieht man, dab dieser fur kleine Werte des Argumentes x'r,
dem Werte 1 asymptotisch zustrebt; fur groBere Werte sinkt
er, zuniichst sehr Inngsam, unter 1. Er hat z. B. fiir x'r, = 0,l
den Wert 0,9974, fur X ' T , = 1 immer noch den Wert 0,8064.
Bei Werten des Argumentes unterhalb 0,l ist er also praktisch, gleich 1 zu setzen. Das hat zur Folge, da6 man auf
diesem Wege praktisch zu derselben Formel gelangt, als wenn
man annimmt, das eingeschlossene Gas oder die Flussigkeit eei
wie eine feste Schicht mit der Rohrwand verbunden und nehme
vollstandig an ihrer Bewegung teil. Es ist die Formel (44),
in der C p q auch uber den Innenraum des Hohlzylinders zu
erstrecken ist; C E K ist daselbst nur uber den Wandquerschnitt zu erstrecken, da das den Innenraum erfullende Medium
(Qas oder Flussigkeit) keine Dehnungselastizitiit besitzt, so daI3 Z
daselbst Null ist. Es ist ubrigens dieselbe Formel, die auf Grund
anderer Uberlegungen schon in ,,Schwingungszahliinderung"
0 8 aufgestellt worden ist.l)
Sie ergibt sich hier, indem man in der Bewegungsgleichung (43) des Stahes rechts auBer der von der iiuSeren
Fliissigkeit herriihrenden Zusatzkraft auch die von der innen
befindlichen stammende Kraft hinzufugt. Diese von dem
periodisch variierenden Druck p daseibst herruhrende Kraft
la6t sich fiir ein eingeschlossenes Gas genau so wie fur ein
den Stab umgebendes Gas berechneu und man erhalt die den
Formeln (32) und (32a) entsprechenden Formeln
(56)
3,
5
1) 1. c.
r Z B n d z ' F n a 4 (x' m)
p. 347.
x'
rpI,'
(x'
U, = r , , n d z p n a D, Uz
ry)
28
A. Kalahne.
oder damit gleichbedeutend
fur die 2-Komponente dieser Kraft. Sie gehen aus jenen hervor, wenn man darin r1 durch r,, GIi’ durch I, und das negative durch das positive Vorzeichen ersetzt. Durch Hinzufugung dieser Kraft geht die Bewegungsgleichung aus (43a)
uber in die vervollstandigte
Wenn, wie es wohl meist der Fall sein wird, die Rohrwand
eine einzige homogene Schicht ist, so ist statt C p g und
C EK natiirlich einfach g q und Eli’ zu setzen. Die Schwingungsfrequenz wird daher statt (45) im Gas’)
D, und 4.
Da D, und D, in sllen praktisch vorkommenden Filllen
annahernd gleich Eins eind, so ist nach dieser Formel die
Wirkung des innen und auBen befindlichen Gases auf den
Schwingungsvorgang annahernd so, als ob die innen eingeschlossene Gasmasse ganz und von der auBeren Gasmaese ein
Volumen an der Bewegung des (Hohl-)Zylinders teilnimmt, das
gleich dem von dem Zylinder verdranngten Gasvolumen ist.
Genauer ist nicht das volle Volumen des Zylinders zu nehmen,
sondern die Bruchteile D, (innen) und Bl (au5en), die immer
etwas - wenn auch oft verschwindend wenig - kleiner als Eins
sind. Das stimm t auch mit den Versuchsergebnissen iiberein,
die ich fruher mitgeteilt habe.z) Danach ist der scheinbare
Gesamtquerschnitt der innen und auBen mitgefiihrten Gas§ 10. Berechnung der Koeffisienten
1) Die Formel l&Bt sich noch ctwas weiter verallgemeinern, indem
man die Gasdichte auEen und innen verschieden annimmt. Man hat
dann D,v,, n uud D,v2*n ),zii sctzen.
2) Vgl. ,,Schwing.-Zahlilnderung“ p. 29.
Die Freqnenzanderun~q schwingender Sailen uiid Stiile
~ISW.
29
masse nicht ganz doppelt so groS wie der Innenquerschnitt
des schwingenden Rohres. Im Mittel war er hei Rohr 4
q' + q" = 22,16 und bei Rohr 5 q' + q" = 9,286, wahrend der
doppelte Innenquerschnitt 2q' 24,14 bzw. 10,75 qcm betrug.
Im ersten Falle ist also der scheinhar mitgefuhrte Qesamtquerschnitt 22,16/24,14 = 0,918, im zweiten Palle 9,286/10,75
= 0,864 des doppelten Innenqueraohnitts.')
Urn die Koeffizienten D, und D, zu berechnen, braucht
man die Kenntnis der Werte x'r, und % I r a , also, da r, und rs
natiirlich gegeben sind, des Wertes x'. Dieser hangt nach
Definition (vgl. die Tabelle der Bezeichnungen am Anfang) von
der QroBe k , also von der Wellenlange der Schwingung in
der Fliissigkeit i l = S m / k , und der Ordnungszahl p der Teilschwingung in Verbindung mit der Stablange I ab. Als Teilschwingungen werden hier die sinusformigen Schwingungen
bezeichnet, welche den Stab wie eine Saite in gleichlange Abschnitte zwischen je zwei Knoten teilen, wobei die Frequenz
ganz beliebig angenommea werden kann. Die ,,Teilschwingungen"
sind also von den Eigenschwingungen des Stabes durchaus
verschieden, denn sie beziehen sich nur auf die raumliche Gestalt, wahrend jeder Eigenschwingung anBer ihrer Schwingungsfigur eine ganz bestimmte Frequenz zukommt. Eine eiuzelne
Teilschwingung ist gar keine mogliche Eigenschwingung des
Stabes, denn deren Schwingungsfigur ist bekanntlich nicht
sinusformig, und ibre Knotenabstande sind ungleich gro6,. was
besonders bei den Eigenschwingungen niederer Ordnung hervortritt. Die Schwingungsfigur einer wirklichen Stabschwingung
wird durch Ubereinanderlagerung mehrerer (unter Urnsanden
unendlich vieler) Teilschwingungen erhalten, die zusammen eine
Pourierreihe bilden. Fur jede dieser Teilschwingungen erhalt
man, da die Frequenz n, also auch k konstant ist, die Ordnungszahl p aber variiert, einen besonderen Wert x bzw. x'.
Nur in roher Annaherung kann man die Schwingungsfigur einer
Stabeigenschwingung nls Sinuslinie ansehen und demgema6
die Eigenschwingung durch die Teilschwingung mit gleicher
1) q' und q" sind identiech mit uneeren
in der alteren Arbeit 4
'.
D,und D,, uneer 5 lautet
30
d . Kalahne.
Knoten- und Ordnungszalil p ersetzen. Bei der tiefsten Eigenschwingung bat man in diesem Falle p = 2 zu setzen.
F u r die beiden fruber') benutzten Aluminiumrohre 4
und 5 ergeben sich so folgende in Tab. 1 zusammengestellte
Werte fir
und x r l , z r 2 .
Rolir 5
/I7
p = O1
#
=2
p =3
# =4
0=5
p
=6
1
0,0543
o,0662
0,0372i
0,0927i
0,1367i
0,1780d
0,2181;
0,0744 i I 0,0729 i
0,1855 d
0,1817 i
0,2735 i
0,2680 d
0,3560
0,3489
0,4362 i
0,4275 i
0,0602 i
0,1377 i
0,2012 i
0,2610 d
0,3192 i
0,1251
0,1005
0,1217
0,0810 i
0,1853 i
0,2706 i
0,3510 i
0,4293 i
0,0787 i
0,1802 i
0,2631 i
0,3413 i
0,4175 i
0,0978
Die Daten diescr Rohre sind
Rohr 4: Liinge L = 82,7 cm; AuBenradius r, = 2,OO cm; Innenradius r, = 1,96 cm; Schwing.-Zahl NT,uft=
362,7 Schwing./Sek.
Rohr 5 : Lginge L = 56,7 cm; AuSenradius r, = 1,345 cm; Innenradius r, = 1,308 cm; Schwing-Zahl ATLuft= 509,4 Schwing./Sek.
Die Schwingungstypen mit den Ordnungszahlen p = 0 und
I mit reellem x , wiibrend
die mit hoheren Ordnungszahlen von p = 2 an zum Fall 111
mit imaginiirem x (= i x') gehoren. Die Zahlenwerte der Argumente x r l (und die davon nnr wenig verschiedenen x r 2 ) bewegen sich von etwa 0,07(bei p = 2) aufwarts; bei p = 6 haben
sie etwa den Wert 0,44 und steigen langsam weiter. Fur
p = 0 und p = 1 liegen sie etwas oberhalb 0,l.
Um einen Anhalt dafur zu haben, wie grot3 die Koef6zienten D, und D, in diesen Fallen werden, sind deren
p
= 1 gehoren hier also zum Fall
1) ,,Schwing.-Zaliliitiderung'L5 3, Tab. 1.
Die Prequenzanderung schwingender Sailen und Stabe usw.
31
Werte fur einige in dem gleichen Qebiete liegende reelle
Argumente = x T in nachfolgender Tabelle angegeben.
T a b e l l e 2.
Wie mau sieht, sinkt B, mit wachsendem schneller als Da.
Das bedeutet: bei den hoheren Teilschwingungen ist der E h flu6 des au6en befindlichen Gases verhiiltnismabig geringer als
der des Innengases, bei den tieferen Teilschwingungen wirken
beide gleich stark. Der in Rechnung zu setzende Bruchteil des
Innengases ist auch bei den hoheren Schwingungen nur wenig
von Eins verschieden. Man kann daher mit einem gewissen
Recht so recbnen, als ob die ganze eingeschlossene Gasmasse
mit dem Rohr fest verbunden ware und an seiner Bewegung
teilniihme. Fur das AuSengss sind aber die Werte D, der
hoheren Teilschwingungen - in Betracht kommen die Schwingungen der Ordnungen p = 2, 4, 6 usw. - nach Tabb. 1 u. 2
so weit von Eins verschieden, daS sehr wohl als Mittelwert des
scheinbar mitgefuhrten Bruchteils der ganzen Gasmasse (innen
und au6en) die experimentell gefundenen Werte 0,918 bzw.
0,864 (vgl. p. 29) sich ergeben kbnnen.
Die genauere Berechnung auf Grund der F o u r i erschen Reihenentwickelung
sol1 hier zunachst noch unterbleiben.
IV. Bewegnngsgleicthnng nnd Freqnenzlodernng eines schwingendeu
Zylinders im Fall I ( x reell).
S 11. Form der Zusatzkraft. UnmGglichkeit genauer Anschmiegung der Flussigkeite- an die Zylinderbewegung wegen
der Strahlungsdiimpfung.
Ebenso wie im Fall I11 (x imaginiir) la& sich auch im
Fall I1 ( x = 0) durch, wenigstens teilweise, Erfullung der
Grenzbedingungen die Bewegung der iiuBeren Gasmasse an
die stehende Schwingungsbewegung einer Saite oder eines
Stabes anschlieSen. Es ergibt sich dabei nichts wesentlich
32
A. Kalahne.
Neues; und es ist unnijtig, diesen Fall ausfuhrlich zu behandeln, da er nur einen labilen ubergang zwischen reellem
und imaginarem x darstellt.
Anders ist es mit dem Fall I (x reell). Es fragt sich, ob
und wie bei ihm der Anschluf3 moglich ist. Die Antwort ist,
daB er nicht mehr streng ausfuhrbar ist, weil die bei reellem x
vorhandene Strahlung eine zeitliche Dampfung bedingt, welche
auch i n der Schwingungsgleichung der Saite zum Ausdruck
kommt, aber in der Gleichung der Wellenbewegung des Gases
nicht dargestellt wird. Bei schwacher Dampfung lii6t sich
aber der AnschluB unter Vernachlassigung derselben niiherungs.
weise durchfuhren. Die Rechnung stellt sich wie im Fall 111.
Es ist die r-Komponente der Verriickung der Gasteilchen an
der Saitenoberflache ur von Gleichung (3) der r-Komponente U,.der Saitenverruckung gleichzumachen, indem man die
Amplituden und Phasen passend bestimmt. Mit den so erhaltenen Konstanten lassen sich dann Geschwindigkeitspotential
und alle daraus ableitbaren Grofien berechnen.
Die beiden gleichzumachenden Grofien sind also (vgl.
Gleichung (3) und (19))
(61)
U, = U,cos 19cos P n1 x [cos w sin n t + sin w cos n t] .
~
Beide Ausdrucke konnen nur dann zu allen Zeiten gleich
sein, wenn die Faktoren von sin n t und cos n t in (60) und
(61) gleich sind. Das liefert zwei Gleichungen, aus denen sich
A: und A; ergeben als
D i e liiequeizzanderung scliwingender Saiten and Stabe usw. 33
Durch Einsetzen dieser Werte in Gleichung (1) bis (4)
erhalt man Geschwindigkeitspotential, Geschwindigkeit usw.
Es wird insbesondere
Geschwindigkeilspotential:
+
[J1’(xrl)J1( x T ) 8,’( x rl) N1(x 7-11cos (n
f [iVl’(xrl)J1(x r) - J1‘( x r,)Nl (x 43 sin (n t
+
(u)
+ cu)
Ferdichtung :
II
s=
(64)
rP U, coa 8 coa 1.’Z“
_- 1
- cpx IJ1‘(x r,y+ N,’(x r1)5]
X
+
- [J,‘( x r,)J1(x t) + N,’ ( x r,) N1(x r)] sin (nt m)
f[N,‘(xrl)4 ( x r) - JI‘ (x rl).Nl( x r)] cos (nt + w)
1.
Setzt man diesen Wert s in p = j ( l + ys), Gleichung (14), ein
und berechnet d a m nach Gleichung (29), die von dem schwingenden Qase ausgeiibte Druckkraft in der I-Richtung, so erhalt man
(65)
1
nx
np U, coa @
--
& = r 1 2 n d z F -x7r i [4 (xri)’ + Ni’1 (xrJ*J
~
X
- [J1’( x r J J1( x r l )+ Nl‘ (xrl) (xyl)] sin (nt + w)
f [N1’
(xr1)4 (xrl)- J1‘(xrl)N1(xrl)]co9 (nt 4
+
I*
Diese Kraft setzt sich aus zwei in der Zeitphase urn n / 2
gegeneinander verschobenen Teilen zusammen. Der erste ist
proportional mit sin (n t + m ) , also mit U, bzw. a2 U , / a ta, wie
durch Vergleich mit (61) folgt; er bedingt, wie das auch im
Fall 111 zutraf, eine scheinbare MassenvergroSerung der Saite
oder des Stabes. Der zweite ist proportional mit cos ( n t + (u),
also mit a U , / d t ; er bedingt eine xeitliche Diimpfung der
Schwingung, die von der Energieabgabe durch Ausstrahlung
herriihrt [unteres Vorzeichen in (65)], bzw. eine Anregung
(Verstiirkung) derselben durch die einlaufende Welle (oberes
Vorzeichen). Es ist niimlich nach (18)
Annalen der Phyaik. IV. FOlge. 46.
8
34
A. Kalahne.
Setzt man diese Werte in 8, ein und bildet damit die vervollstandigte Differentialgleichung fur die Saitenverrtickung U,
[vgl. die entsprechende Gleichung (34)], so erhalt man
Diese Gleichung hat aber nicht mehr wie die fruhere, (34),
eine Losung von der k'orm U, = Uo cos (p w z I 1 ) sin (n t + w),
sondern die Losung ist eine zeitlich gedampfte (bzw. angeregte)
Schwingung von der Form
=
(68)
u,' cos '
2
e
1
+"
sin (u t
+ w'),
wo w = I/na-P2 und @ eine Abkurzung ist [vgl. auch (69)l.
Das obere Vorzeichen in (67) und (68) entspricht einer
von der einlaufenden Welle angeregten (verstarkten), das untere
einer durch die vnn der auslaufenden Welle mitgenommenen
Energie gediimpften Saitenschwingung. Der Einfachheit halber
so11 hier und weiterhin immer nur von der gedampften gesprochen werden. Unsere Losung fur die Wellenbewegung im
Gase ist nun aber eine rein periodische, ungedilmpfte.l) Sie
lil6t sich daher der durch (G8) dargestellten Saitenbewegung
nicht anschmiegen. Eine solche Anschmiegung ist nur moglich, wenn man die durch die Strahlung bewirkte Dampfung
der Saitenbewegung durch eine entsprechende dauernde Energiezufuhr - z. B. durch dauernde magnetische Erregung von
Schwingungen - wieder ausgleicht. Uadurch wtirde das letzte
Glied rechts in (67) beseitigt werden. An solche ,,unterhaltene" Ssitenschwingungen laBt sich unsere in der ,,Wellenbewegung" sufgestellte Bewegung des Gases streng anschlieBen,
.
__
~
1) Vgl. ,,Wellenbe w eguug".
Bie J!requenzanderun,9 schzuingender Saiten und Rube
USIV.
35
natiirlich abgesehen von den immer notigen Vernachlassigungen
in bezug auf die Bewegungskomponenten in der 4-und
z- Rich tung.
8 12. Niiherungsweiser AnschluD der Fliiseigkeitsbewegung und
Berechnung der Frequenziinderung bei Vernachlaesigung der
Strahlungsdhpf’ung.
Auch wenn infolge fehlender Aufrechterhaltung der
Schwingungen durch au6ere Energiezufuhr die Saitenschwingungen gediimpft sind, kann man die Losung wenigstens
naherungsweise anwenden, solange das dampfende Glied (mit
dem Faktor d U X / dt) klein’ gegen das massevergrobernde (mit
dem Faktor da U , / a t * ) ist. Das ist aber der Fall, wenn das
Argument x r1 hinreichend klein ist, wie sich leicht nachweisen
1LBt. Es sind namlich
vgl. (66)
n(d UJdt) und doUz/dta
von gleicher QroBenordnung ; da ferner die iibrigen Faktoren
in den beiden letzten Gliedern der rechten Seite von Gieichung (67) bis auf J,’ (x r,) J1 ( x r,) + N,’(x rl)A’,( x T,) im vorletzten und ATl‘(%r,) J1( x r,) - Jl’(x rl) N, ( x rl) im letzten einander gleich sind, so hiingt das GroSenverbliltnis dieser Giieder
von den ebengenannten beiden Faktoren ab. Von ihnen ilberwiegt aber bei hinreichend kleinem xrl der erste, in dem das
Produkt A’,‘(% rl) (x rl) vorkommt, das mit verschwindendem
Argument schnell unendlich wird. Z. B. ist bei X T , = 0,l
J,’(XT~)J,(XT
N,l)’ ( ~ ~ , ) l V I ( x=
r l) 407,24,
N,’( x r l )J1( x r 1 )- 4’ (x T,) N, (x rl) = + 6,366, I)
Das Verhaltnis des zweiten zum ersten, also des dampfenden
zum massevergrobernden Anteil der Zusatzkraft 3, ist hier
demnach 6,366 :407,24 = 1 : 64 = 0,0156. Bei kleinerem x rl
ist das Verhaltnis noch kleiner.
1st aber das dampfende Glied klein gegen das massenwenigstens bei Gasen
vergroBernde , das seinerseits wieder
- klein ist gegen das Glied d z poqo(daUx/dta), d. h. gegen
die beschlennigende Kraft, so ist die Dampfung klein; genauer
ausgedriickt: es ist der Dampfungsfaktor @ klein gegen die
Kreisfrequenz n. Denn es ist allgemein
-
-
+
-
1) Diescr und den folgendeu Rechnungen liegcn die Zahlenwei te
der Taf. IX auf p. 129 in Jahnkc-Emdes Funktionentafeln zu Grunde.
Nur ist dcr dort nngegebene, ofinbar uurichtige Wcrt 7,0317 fur N,(x)
beim Argument 0,1 durch dcn ricbtigcn Wert 6,4589 creetzt worden.
-
R*
36
A. Kalahne.
Wenn aber p < n ist, so bedeutet das ein kleines logarithmisches Dekrement der Schwingung, also eine nur lnngsame
Abnahme der Schwingungsamplitude der Saite.
Da man bei Saiten die in Betracht kommenden Werte
des Argumentes z r l , auber fur sehr hohe Oberschwingungen,
in der Grobenordnung 0,001 bis 0,l zu suchen hat, so ist bei
diesen die Bedingung p n stets erfiillt, also geringe Dampfung
vorhanden. l) Die Saitenamplitude bleibt uber viele Schwingungsperioden hinweg nahezu konstant, und man kann daher
so rechnen, als ob keine Dampfung vorhanden ware, und kann
die in der ,,Wellenbewegung" fur den Fall I (reelles x ) gefundene Bewegung des Gases an die Saitenbewegung wenigstens
naherungsweise anschlieben.
Dadurch ist man auch hier imstande, die Frequenzanderung durch das umgebende Gas zu berechnen. Die Rechnung
ist dieselbe wie friiher. Die geanderte Frequenz der Saite in
Gas wird
N
(70)
N' =
<
+-
r l * m i j J1'(xrI)J,
( X T J + N , ' ( X T(xr,)
~)N~
$4 li
( x r1)*
( x rdS1
Po 0 0
K'
+ a,'
oder entwickelt und mit den erlaubten Vernachlassigungen
Wie fruher, handelt es sich auch bier um den Wert des
Faktors von rlan F / 2 qo eo. Wir setzen zur Abkiirzung - vgl.
die entsprechenden Gleichungen (36) und 55) L = - 4' ( x r,)4 ( x rl)+ Nl' ( x rl)iVl ( X rl)
(71)
x ~1 14' ( X T I ) * + N1' ( X r,l*J
und konnen dann Gleichung (70a) schreiben ale
Der Verlauf von 1; als Funktion des Argumentes
=x
1'
geht
1) Natiirlich handelt es sich hier nur urn die Strahlungsdlmpfung;
die Dhpfung infolge innerer Reibung usw. ist nicht beriicksichtigt. Sic
kam je nach UmstPnden griiber oder kleiner als jene win.
Die Frequenranderung schwingender Saiten und Stabe usw. 37
am nachstehender Tabelle herror. Fur 6 = 0 liit\t L sich
(lurch eineii Grenzubergang finden, fur E = co ebenfalls, unter
Benutzung der Naherungsformeln der Zylinderfunktionen fur
groBc Argumentel); fur Zwischenwerte liann man 1; mittels
der Tafeln der Zylinderfunktionen a) berechnen.
Wahrend B, und B, mit wachT a b e l l e 3.
sendem Argument gleichmaSig von
Wert der Funktion L.
1 auf 0 fallen, steigt 1; von 1 zunachst
bis zu einem Maximum, das ungefiihr
I
L
bei dem Argument 0,4 liegt und
1
etwas iiber 1 betragt, um 1,125
1,024
herum. Von da faUt L ziemlich
1,069
schnell auf Null herab, moglicherI
1,107
weise nicht gleichmaSig, sondern mit
1,125
1,106
Schwankungen, die aber nicht erheblich sein werden. Bestimmten AufschluU dariiber konnte erst eine Berechnung von hinreichend vielen Einzelwerten geben. Doch kommt dies hier
nicht weiter in Betracht, da wir nur
die Werte fur kleine Argtimente
brauchen, die in Tab. 3 enthalten
sind. Nach dieser ist L ebenso wie
B, und Da in dem in Betracht kommenden Gebiet nahezu
gleich Eins, so daS nlle fruher gezogenen Schlusse iiber die
Veranderung der Schwingungszahl hier im wesentlichen ihre
Gultigkeit behalten.
~~
Busammeofassung.
1. Es wird gezeigt, daB die in einer fruheren Arbeit heliandelte zylindrische Flussigkeitsschwingung durch teilweise
Erfiillung der raumlichen Grenzbedingungen an die transversale
Eigenschwingungsbewegung eines unendlich langen Zylinders
(Saite, Stab) angeschlossen werden kann. Damit ist dau Problem der Erregung von Schallschwingungen in Flussigkeiten
und Gasen durch transversal schwingende Saiten und Stabe
I ) Vgl. ,,Wellenbewrgung" Q 6, besonders Gleichung (44) und (45).
2) Z. B. J a h n k e - E m d c , ,,Fuuktionentafeln" Taf. TI1 und TX der
Zylinderfuii ktionen.
38
A. Kalahne. Bie Il’repuenranderimg schwingender Saiten usw.
in allgemeinerer Weise zu behandeln, als es von G. S t o k e s geschehen ist.
2. Bei der Erfiillung der Grenzbedingungen an der Stab.
(Saiten-)Oberflache inu6 die au8ere Reibung zwischen festem
Korper und Fliissigkeit oder Gas vernachlassigt werden, da
sonst die Grenzbedingungen nicht alle erfiillbar sind. Diese
Vernachlassigung ist erfahrungsgema6 zulassig, ebeuso wie man
auch die innere Fliissigkeits- und Gasreibung bei akustischen
Schwingungen im allgemeinen vernachlassigen kann.
3. Der Anschlu6 der Fliissigkeitsbewegung an die Saiten(Stab.)Bewegung la6t sich streng - abgesehen yon der unter
2. besprochenen, stets erforderlichen Vernachlassigung - nur
in den Fallen ausfiihren, wo nach Erreichung des stationaren
Zustandes keine Ausstrahlung von der Saite mehr stattfindet,
d. h. in den Fallen I1 (x = 0) und I11 ( x imaginlr), bei denen
im ganzen unendlichen Ilaum stehende Wellen vorhanden sind.
4. Auch im Falle I (x reell), in dem fortschreitende
Wellen und damit Ausstrahlung vorhanden ist, ist der Anschlut) naherungsweise moglich, wenn die durcli die Ausstrahlung bewirkte Dampfung der Saitenschwingungen hinreichend
klein ist.
5. Auf Grund der somit vollstandig bekannten Bewegung
des Systems Saite (bzw. Stab) und Fliissigkeit lassen sich die
von der letzteren anf jene ausgeiibten Zusatzdruckkrafte berechnen. Die Einfiihrung derselbeii in die Differentialgleichung
der Saiten- (Stab-)Schwingung hat dieselbe Wirkung wie eine
Massenvergroficrung der Saite bzw. des Stabes bei gleichbleibender riicktreibender, elastischer Kraft und bedingt somit eine Verkleinerung der Eigenfrequenz (Tonvertiefung) von
Saite und Stab.
6. Die Formeln fur diese Frequenzerniedrigung werden
allgemein fur die verachiedenen moglichen Falle (insbesondere
I und 111) bei Saiten und Staben, besonders auch hohlen
Staben, in Gasatmospharen aufgestellt, und an einzelnen Beispielen wird ihre Richtigkeit durch Ubereinstimmung mit den
experimentell gewonnenen Daten nachgewiesen.
D a n z i g -La n g fu h r , Technische Hochschule, Sept. 1914.
(Eingegangen 2. Oktober 1914.
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